1.2 Propiedades de Los Solidos 2

download 1.2 Propiedades de Los Solidos 2

of 64

  • date post

    12-Sep-2015
  • Category

    Documents

  • view

    222
  • download

    1

Embed Size (px)

description

MANUAL

Transcript of 1.2 Propiedades de Los Solidos 2

  • Es conveniente representar las distribuciones de tamao de sistemas particulados mediante funciones matemticas que permitan formular modelos de operaciones. Estas funciones deberan adems permitir el clculo de los parmetros de la distribucin, tales como valor promedio (), varianza (2) y los momentos.

    Las funciones de distribucin ms utilizadas en la son:Distribucin de Schuhman.Distribucin de Rosn-Rammler, yDistribucin de tres parmetros.

  • Aunque otras funciones pueden ser usadas, tales como las funciones estadsticas:Distribucin Logaritmo-Normal.Distribucin Gamma.Distribucin Beta.Aparecen como muy interesantes y prometedoras en su uso.En la mayora de los casos no hay justificacin terica para preferir una funcin de la otra y esta se hace exclusivamente por la calidad de ajuste que se obtiene.

  • Esta funcin, tambin conocida como distribucin deGaudin Gates- Schuhman. Es la funcin matemtica mas utilizada en Amrica para representar sistemas de partculas en el campo de la mineralurgia.La funcin se utiliza generalmente para representar la distribucin en peso segn:

    Dondex0 es el modulo de tamao [L], y m es el modulo de posicin [-]

  • Recordar que F3(x) representa el porcentaje acumulado pasante (fino), si hacemos x =x0 entonces F3(x) = 1, por lo tanto el modulo de tamao es el tamao mximo que a su vez significa que el 100% de las partculas son menores al tamao x0.Para encontrar el significado del modulo de distribucin m, tomamos el logaritmo de la ecuacin de Schuhmann.

  • Si graficamos en un papel log-log, podemos observar la siguiente grafica:

    Podemos concluir que m es la pendiente de la recta obtenida al graficar la Funcin F3(x) vs x, indicndonos esto que m es un modulo de distribucin.

  • La funcin frecuencia f3(x), que es el porcentaje en peso, se obtiene derivando F3(x) con respecto a x:

    Los momentos quedan expresados de la siguiente forma:

  • DemostracinSabemos que:y tenemos que los momentos lo podemos expresar de la siguiente forma:

    Remplazando en esta ultima relacin, tenemos:

    Integrando la ltima expresin tenemos:

  • De acuerdo a esto el valor medio de la distribucin es:

    y la varianza es:

  • La funcin frecuencia f3(x), que es el porcentaje en peso, se obtiene derivando F3(x) con respecto a x:

    Los momentos quedan expresados de la siguiente forma:

  • DemostracinSabemos que:

    Integrando tenemos que:

    Factorizando x0m+2, transponiendo trminos y efectuando operaciones

  • El tamao x12 se calcula mediante la siguiente relacin:

    Luego tenemos que:

  • Un conjunto de datos experimentales de abertura de malla y su respectivo % acumulado fino, se ajustaran a una distribucin de Rosn Rammler, si se adecua a la siguiente expresin:O tambin a la siguiente expresin:En esta ltima expresin R3(x)es el acumulado grueso.Dondex0 es un tamao caracterstico [L], y m es un coeficiente de uniformidad [-]

  • Es fcil demostrar que para partculas pequeas se cumple xx0, la funcin Rosn-Rammler se transforma en la distribucin de Schuhmann

    Expandiendo en serie de potencias el exponencial resulta:

    Despreciando los trminos de orden superior tenemos que:Por lo tanto tenemos:

  • De la ecuacin de Rosin Rammler, podemos observar que para x=x0, F3(x)=0.632 y R3(x)=0.368, indicndonos esto que x0 no es un tamao mximo como en el caso de la ecuacin de Schuhmann.

    El significado de m se puede obtener graficando la funcin de Rosn-Rammler de acuerdo al siguiente procedimiento:

  • Tomando logaritmo neperiano y luego logaritmo decimal tenemos:

  • Si graficamos log(ln [1/R3(x)]) vs log x, obtendremos una lnea recta con una pendiente m, indicndonos que es un modulo de distribucin, para facilitar esta grafica esta se realizara en un papel Rosn-Rammler , tal como se puede observar a continuacin:

  • La funcin densidad f3(x) se obtiene derivando la ecuacin de Rosn-Rammler con respecto a x:

    Los momentos resultan ser:

  • Demostracin

    Introduciendo la funcin densidad en la ecuacin de los momentos tenemos:

    (a)(b)

    Esta integral es complicada en su resolucin analtica, pero si podemos transformarla y por similitud podemos compararla con integrales conocidas como es el caso de la funcin gamma que se da a continuacin:

    Por lo tanto transformaremos la ecuacin (b), multiplicando y dividiendo por x0i

  • (c)

    Si realizamos cambio de variable tal como y=x/x0, derivando esta expresin y despejando tenemos: dx=x0dy y remplazando estas variables en (c) tenemos lo siguiente:

    Si lo comparamos con la funcin gama, la solucin es:

  • En funcin de esto el valor medio es:

    La varianza es:

    El tamao se pude calcular como a continuacin se indica:

  • Los mtodos disponibles para determinar la distribucin de tamaos de un sistema particulado no nos permite obtener funciones continuas. Ello se debe a que lo que se mide es la fraccin de partculas contenidas entre dos tamaos a y b; si estos tamaos son suficientemente cercanos ellos definen una frecuencia relativa discreta de la forma siguiente:

  • En forma grafica se observa:

  • Si evaluamos la integral mediante el teorema del valor medio resulta:

    Donde x=(xb-xa) y xab es un valor promedio en el intervalo a y b.Podemos concluir que la frecuencia relativa estar dada por:

  • La forma ms comn de efectuar un anlisis granulomtrico, es someter al sistema particulado a la accin de una serie de tamices en forma sucesiva tal como se observa en la siguiente figura:Cada tamiz utilizado tiene una malla con aberturas menores que el anterior.

  • De esta manera el sistema de partculas queda atrapado en los tamices, correspondiendo a un tamiz en particular todas aquellas partculas con un tamao menor que la malla del tamiz anterior y mayor que la malla del tamiz en cuestin.El tamao de las partculas se asocia entonces a la abertura de la malla de los tamices.Se define como malla el nmero que tiene un tamiz por pulgada lineal. Mientras mayor el numero de la malla menor es el tamao de las aberturas.

  • Se acostumbra designar por xi el tamao de una malla cualquiera, denominando x0 aquella malla por la que pasa todo el material y dividiendo este en n fracciones.La primera malla utilizada ser x1 y la ltima xn-1 del material que pasa esta ltima malla solo sabemos que es de tamao menor que xn-1.Las series de tamices estn estandarizadas en cuanto a la relacin entre mallas consecutivas.La serie normal tiene una relacin de ,y La serie doble tiene una relacin de

  • Debido a la relacin geomtrica entre mallas se ha elegido el Promedio Geomtrico como tamao caracterstico del material retenido en un tamiz y se lo denomina tamao de la malla, entonces:

    Por lo tanto en el caso de las series se tiene:

    Serie Normal

    Serie Doble

  • De donde resulta que el tamao promedio xi es igual a:

    Serie Normal

    Serie Doble

    Distribucin discreta de tamao

    La distribucin discreta de tamao representada por un tamizaje es una distribucin discreta si:

  • La frecuencia relativa ser:

    La distribucin se normaliza mediante la suma:

    La funcin distribucin queda representada por:

    Con la relacin:

  • Una muestra es una cantidad pequea que contiene todos los componentes en la misma proporcin en que ellos ocurren en el lote original.El objeto de la reduccin y el muestreo de una mena es obtener para el anlisis, una muestra que represente al lote original o en otras palabras que sea una muestra representativa.En una operacin inteligente de una planta metalrgica es necesario el muestreo y los ensayes continuamente, en ellas es costumbre que cada operacin y proceso se muestreen en forma regular con el fin de realizar ensayes y en funcin de estas determinar la eficiencia de sus trabajos.

  • El muestreo y ensaye no pueden descuidarse y de hecho se est siendo ms importante cada da, debido a que la calidad de las menas esta disminuyendo y el margen de ganancia se vuelve menor.Los ensayadores normalmente tendrn la mayor parte del muestreo y se espera que sepan como hacerlo cuando se les solicita. l normalmente tiene que preparar slo la muestra final, pero recibir muy de vez en cuando de 5 a 50 o ms kg para ensayar en este caso l tendr que hacer su propio muestreo. Todo tipo de ensaye se realiza sobre una pequea muestra. Un requisito fundamental para que el ensaye sea til es que la muestra sea representativa del sistema original.

  • Podemos observar, entonces, que la ejecucin de un ensaye requiere realizar dos operaciones consecutivas:Un muestreo, y El anlisis o ensaye respectivo.Ambas aplicaciones estn sujetas a errores, que son independientes entre s, por lo que el error total del anlisis se puede escribir:DondeSEm = Error estndar de muestreo.SEa = Error estndar de anlisis.SE = Error total de anlisis.

  • Tamao de una muestraSupongamos que deseamos determinar el valor de F(x) de una muestra. El valor que determinamos ser F*(x) y como el muestreo est sujeto a un error SEm, el verdadero valor del ensaye en la muestra ser:

    Por otra parte al analizar la muestra se obtuvo un valor F**(x) y como el anlisis est sujeto a un error SEa, de modo que:Por lo tanto el valor de F(x) de la muestra ser la siguiente:

  • En la prctica podemos aceptar errores de muestreo de 1% y errores de anlisis de 2%; esto significa que:SEm = 0.010;SEa = 0.020y mediante clculo el SE del anlisis es

    entonces:La pregunta es, cual debe ser el tamao de la muestra para que el error del ensaye sea de 2.2%.

  • La forma de contar las muestras, cuyos detalles se describirn ms adelante, permite suponer que los errores de muestreo se distribuyen e