Es conveniente representar las distribuciones de tamao de sistemas particulados mediante funciones matemticas que permitan formular modelos de operaciones. Estas funciones deberan adems permitir el clculo de los parmetros de la distribucin, tales como valor promedio (), varianza (2) y los momentos.

Las funciones de distribucin ms utilizadas en la son:Distribucin de Schuhman.Distribucin de Rosn-Rammler, yDistribucin de tres parmetros.

Aunque otras funciones pueden ser usadas, tales como las funciones estadsticas:Distribucin Logaritmo-Normal.Distribucin Gamma.Distribucin Beta.Aparecen como muy interesantes y prometedoras en su uso.En la mayora de los casos no hay justificacin terica para preferir una funcin de la otra y esta se hace exclusivamente por la calidad de ajuste que se obtiene.

Esta funcin, tambin conocida como distribucin deGaudin Gates- Schuhman. Es la funcin matemtica mas utilizada en Amrica para representar sistemas de partculas en el campo de la mineralurgia.La funcin se utiliza generalmente para representar la distribucin en peso segn:

Dondex0 es el modulo de tamao [L], y m es el modulo de posicin [-]

Recordar que F3(x) representa el porcentaje acumulado pasante (fino), si hacemos x =x0 entonces F3(x) = 1, por lo tanto el modulo de tamao es el tamao mximo que a su vez significa que el 100% de las partculas son menores al tamao x0.Para encontrar el significado del modulo de distribucin m, tomamos el logaritmo de la ecuacin de Schuhmann.

Si graficamos en un papel log-log, podemos observar la siguiente grafica:

Podemos concluir que m es la pendiente de la recta obtenida al graficar la Funcin F3(x) vs x, indicndonos esto que m es un modulo de distribucin.

La funcin frecuencia f3(x), que es el porcentaje en peso, se obtiene derivando F3(x) con respecto a x:

Los momentos quedan expresados de la siguiente forma:

DemostracinSabemos que:y tenemos que los momentos lo podemos expresar de la siguiente forma:

Remplazando en esta ultima relacin, tenemos:

Integrando la ltima expresin tenemos:

De acuerdo a esto el valor medio de la distribucin es:

y la varianza es:

La funcin frecuencia f3(x), que es el porcentaje en peso, se obtiene derivando F3(x) con respecto a x:

Los momentos quedan expresados de la siguiente forma:

DemostracinSabemos que:

Integrando tenemos que:

Factorizando x0m+2, transponiendo trminos y efectuando operaciones

El tamao x12 se calcula mediante la siguiente relacin:

Luego tenemos que:

Un conjunto de datos experimentales de abertura de malla y su respectivo % acumulado fino, se ajustaran a una distribucin de Rosn Rammler, si se adecua a la siguiente expresin:O tambin a la siguiente expresin:En esta ltima expresin R3(x)es el acumulado grueso.Dondex0 es un tamao caracterstico [L], y m es un coeficiente de uniformidad [-]

Es fcil demostrar que para partculas pequeas se cumple xx0, la funcin Rosn-Rammler se transforma en la distribucin de Schuhmann

Expandiendo en serie de potencias el exponencial resulta:

Despreciando los trminos de orden superior tenemos que:Por lo tanto tenemos:

De la ecuacin de Rosin Rammler, podemos observar que para x=x0, F3(x)=0.632 y R3(x)=0.368, indicndonos esto que x0 no es un tamao mximo como en el caso de la ecuacin de Schuhmann.

El significado de m se puede obtener graficando la funcin de Rosn-Rammler de acuerdo al siguiente procedimiento:

Tomando logaritmo neperiano y luego logaritmo decimal tenemos:

Si graficamos log(ln [1/R3(x)]) vs log x, obtendremos una lnea recta con una pendiente m, indicndonos que es un modulo de distribucin, para facilitar esta grafica esta se realizara en un papel Rosn-Rammler , tal como se puede observar a continuacin:

La funcin densidad f3(x) se obtiene derivando la ecuacin de Rosn-Rammler con respecto a x:

Los momentos resultan ser:

Demostracin

Introduciendo la funcin densidad en la ecuacin de los momentos tenemos:

(a)(b)

Esta integral es complicada en su resolucin analtica, pero si podemos transformarla y por similitud podemos compararla con integrales conocidas como es el caso de la funcin gamma que se da a continuacin:

Por lo tanto transformaremos la ecuacin (b), multiplicando y dividiendo por x0i

(c)

Si realizamos cambio de variable tal como y=x/x0, derivando esta expresin y despejando tenemos: dx=x0dy y remplazando estas variables en (c) tenemos lo siguiente:

Si lo comparamos con la funcin gama, la solucin es:

En funcin de esto el valor medio es:

La varianza es:

El tamao se pude calcular como a continuacin se indica:

Los mtodos disponibles para determinar la distribucin de tamaos de un sistema particulado no nos permite obtener funciones continuas. Ello se debe a que lo que se mide es la fraccin de partculas contenidas entre dos tamaos a y b; si estos tamaos son suficientemente cercanos ellos definen una frecuencia relativa discreta de la forma siguiente:

En forma grafica se observa:

Si evaluamos la integral mediante el teorema del valor medio resulta:

Donde x=(xb-xa) y xab es un valor promedio en el intervalo a y b.Podemos concluir que la frecuencia relativa estar dada por:

La forma ms comn de efectuar un anlisis granulomtrico, es someter al sistema particulado a la accin de una serie de tamices en forma sucesiva tal como se observa en la siguiente figura:Cada tamiz utilizado tiene una malla con aberturas menores que el anterior.

De esta manera el sistema de partculas queda atrapado en los tamices, correspondiendo a un tamiz en particular todas aquellas partculas con un tamao menor que la malla del tamiz anterior y mayor que la malla del tamiz en cuestin.El tamao de las partculas se asocia entonces a la abertura de la malla de los tamices.Se define como malla el nmero que tiene un tamiz por pulgada lineal. Mientras mayor el numero de la malla menor es el tamao de las aberturas.

Se acostumbra designar por xi el tamao de una malla cualquiera, denominando x0 aquella malla por la que pasa todo el material y dividiendo este en n fracciones.La primera malla utilizada ser x1 y la ltima xn-1 del material que pasa esta ltima malla solo sabemos que es de tamao menor que xn-1.Las series de tamices estn estandarizadas en cuanto a la relacin entre mallas consecutivas.La serie normal tiene una relacin de ,y La serie doble tiene una relacin de

Debido a la relacin geomtrica entre mallas se ha elegido el Promedio Geomtrico como tamao caracterstico del material retenido en un tamiz y se lo denomina tamao de la malla, entonces:

Por lo tanto en el caso de las series se tiene:

Serie Normal

Serie Doble

De donde resulta que el tamao promedio xi es igual a:

Serie Normal

Serie Doble

Distribucin discreta de tamao

La distribucin discreta de tamao representada por un tamizaje es una distribucin discreta si:

La frecuencia relativa ser:

La distribucin se normaliza mediante la suma:

La funcin distribucin queda representada por:

Con la relacin:

Una muestra es una cantidad pequea que contiene todos los componentes en la misma proporcin en que ellos ocurren en el lote original.El objeto de la reduccin y el muestreo de una mena es obtener para el anlisis, una muestra que represente al lote original o en otras palabras que sea una muestra representativa.En una operacin inteligente de una planta metalrgica es necesario el muestreo y los ensayes continuamente, en ellas es costumbre que cada operacin y proceso se muestreen en forma regular con el fin de realizar ensayes y en funcin de estas determinar la eficiencia de sus trabajos.

El muestreo y ensaye no pueden descuidarse y de hecho se est siendo ms importante cada da, debido a que la calidad de las menas esta disminuyendo y el margen de ganancia se vuelve menor.Los ensayadores normalmente tendrn la mayor parte del muestreo y se espera que sepan como hacerlo cuando se les solicita. l normalmente tiene que preparar slo la muestra final, pero recibir muy de vez en cuando de 5 a 50 o ms kg para ensayar en este caso l tendr que hacer su propio muestreo. Todo tipo de ensaye se realiza sobre una pequea muestra. Un requisito fundamental para que el ensaye sea til es que la muestra sea representativa del sistema original.

Podemos observar, entonces, que la ejecucin de un ensaye requiere realizar dos operaciones consecutivas:Un muestreo, y El anlisis o ensaye respectivo.Ambas aplicaciones estn sujetas a errores, que son independientes entre s, por lo que el error total del anlisis se puede escribir:DondeSEm = Error estndar de muestreo.SEa = Error estndar de anlisis.SE = Error total de anlisis.

Tamao de una muestraSupongamos que deseamos determinar el valor de F(x) de una muestra. El valor que determinamos ser F*(x) y como el muestreo est sujeto a un error SEm, el verdadero valor del ensaye en la muestra ser:

Por otra parte al analizar la muestra se obtuvo un valor F**(x) y como el anlisis est sujeto a un error SEa, de modo que:Por lo tanto el valor de F(x) de la muestra ser la siguiente:

En la prctica podemos aceptar errores de muestreo de 1% y errores de anlisis de 2%; esto significa que:SEm = 0.010;SEa = 0.020y mediante clculo el SE del anlisis es

entonces:La pregunta es, cual debe ser el tamao de la muestra para que el error del ensaye sea de 2.2%.

La forma de contar las muestras, cuyos detalles se describirn ms adelante, permite suponer que los errores de muestreo se distribuyen en forma binomial, esto significa de acuerdo a la estadstica que la varianza del anlisis es: donde n es el nmero de partculas en la muestra; como SEm = tm (donde m es la desviacin estndar) y para una muestra t=2, entonces m = 0.005, de acuerdo a esto el nmero de partculas necesarias para obtener un m = 0.005 ser:

En esta expresin se puede observar que el mnimo nmero de partculas depende del valor F(x) y que ser mximo para:

de donde se deduce que el mximo error se produce para F(x) = 0.5, esto es para el tamao x50 introduciendo este valor en la ecuacin de n (nmero de partculas) se encuentra que:n = 10000 partculasPara que el error de muestreo sea menor a 1%.

Es fcil comprobar que si se obtiene una muestra de n = 100 partculas el error de muestreo sube a 10%.El nmero de 10,000 partculas representa diferentes problemas para los diversos anlisis y mtodos de ensaye, en la determinacin del tamao de muestra debemos seguir el siguiente procedimiento para determinar el peso mnimo de muestra para un error de muestreo del 1%.

La muestra se adecua a la ecuacin de Schuhmann que se da en la siguiente expresin:

en la que x0 es el tamao mximo de partcula de la muestra y m es un modulo de distribucin y que en este caso toma el valor de 0.7.

Se calcula el tamao medio del sistema x30, mediante la siguiente ecuacin:Se calcula el peso mediante la ecuacin siguiente:

en donde es la densidad del mineral y es el factor de forma volumtrico, que en este caso lo tomamos con el valor 0.2.

Ejemplo de clculosTamao de muestra en el zarandeo Se nos pide determinar el tamao de muestra en el zarandeo de un mineral en planta, cuyo tamao mximo es de 10 cm (cuya densidad es de 2.6 y factor de forma volumtrico es 0.2)De acuerdo al esquema propuesto tenemos x0 = 10 cm.

por lo tanto el peso a muestrear es:

Tamao de muestra en el tamizajePara un tamizaje entre 5mm y 37 micras (400m) y de acuerdo a las mismas caractersticas del material dadas en l calculo anterior. Cual es el tamao de muestra a tomar. x0= 0.5 cm

por lo tanto el peso a muestrear es:

Tamao de muestra para ensayesSupongamos un tamao mximo de 100 micras. (1 = 10-4 cm)x0 = 0.01 cm

por lo tanto el peso a muestrear es:

Reduccin de tamao de muestra

Como podemos observar en el caso de la toma de muestra en el zarandeo vemos que el peso de la muestra sobrepasa al peso de muestra que se enva al laboratorio.Este es uno de los motivos por el cual se tiene que reducir a las muestras inciales hasta alcanzar el peso necesario para la muestra de ensaye. Durante la reduccin de muestra debe observarse la siguiente condicin indispensable: No debe ser destruida su representatividad".Los pasos a seguir durante el tratamiento de las muestras son:

TrituracinTamizajeMezclado ,yMuestreo de las mismas

La trituracin puede ser gruesa con partculas que estn en el rango de tamao de 100 a 30 mm; mediana en rango de tamaos de 20 a 5 mm; fina en el rango de tamao de 2 a 1 mm y extrafina (pulverizacin) en el rango de tamao de 0.5 a 0.07 mm y algo menos.La trituracin gruesa se realiza fundamentalmente en trituradoras de quijadas tal como se observa en la siguiente fig. IV-1.

La trituracin mediana y fina se realiza en pequeas trituradoras de quijadas o de rodillos tal como se muestra en la fig. IV-2.

La pulverizacin se realiza en pulverizadores de discos o de anillos tal como se observa en la siguiente fig. IV-3.

El control de la trituracin y pulverizacin se realiza en cedazos o tamices, antes y despus de la trituracin y/o pulverizacin. Los tamices se pueden ver en forma amplia en la fig. IV-4.

La obtencin de una muestra de laboratorio para realizar un ensaye qumico se puede realizar mediante diversas tcnicas. Sin embargo, un requisito previo es una buena mezcla del mineral.La mezcla previa se efecta frecuentemente con un pao roleador (fig. IV-5), este pao vara en tamao de acuerdo con el tamao de la muestra. Para muestra de varias decenas de kilogramos, el roleo es realizado por dos personas que sujetan el pao que descansa en el suelo por dos de sus extremos, haciendo rodar el material de una esquina a la otra. La operacin se repite durante varios minutos. Cuando la muestra es pequea, menor a 3 kg, la operacin puede ser realizada en un pao roleador sobre una mesa por una sola persona.

En algunos casos y para muestras de varias decenas de kilos, se utilizan mezcladores mecnicas.Con relacin al muestreo, existen una serie de mtodos de cuarteo, el fin de estos mtodos es el de mantener la representatividad de la muestra original y para evitar lo siguiente:

Lo ideal es que el material presente una homogeneidad perfecta tal como se puede observar en el esquema

Pero el caso es que por regla general presenta cierta segregacin como el esquema que se da a continuacin:

o como en el caso que se presenta una mxima segregacin del material y especficamente en el caso de materiales que contienen oro y este se segrega debido a su alto peso especifico tal como se indica en el siguiente esquema:

En el siguiente esquema se da un tipo de muestreo en la que al determinar los ensayes respectivos no vamos apreciar mucho error

Pero se da el caso que al muestrear, se cometa errores bastante grandes y por ende los ensayes van a dar resultados errneos, como es el caso que se da en el esquema siguiente:

O nos puede dar resultados engaosos como es el caso siguiente, en la que existe una segregacin bastante alta.

La solucin a estos problemas es adoptar la metodologa adecuada de muestreo, tomando en cuenta el tamao de partcula y en funcin de esta tomar el tamao adecuado de muestra, practicando cualquiera de los siguientes mtodos de muestreo:Cono y Cuarteo

El mtodo de cono y cuarteo para reducir una muestra es ampliamente utilizado debido a su simplicidad y a no requerir equipos especializados, el mtodo es aplicable a materiales con tamaos de partculas menores a 1 y consiste en construir un cono, en el que la simetra es muy importante, bien en el suelo o sobre una mesa, aplastarlo formando una torta circular, dividirlo en cuatro partes iguales, dos fracciones opuestas se retiran cuidadosamente, juntndose las dos fracciones restantes y construyendo con ellas un nuevo cono.

El procedimiento se repite hasta obtener una muestra del tamao deseado, tal como se observa en la fig. IV.6

Cortadores de Chutes

Un buen mtodo de reduccin de muestras es verter las partculas en forma homognea sobre un cortador de chutes tal como se observa en la figura IV.7, que divide la muestra en dos partes aproximadamente iguales; el uso repetido del cortador de chutes permite obtener fracciones de 1/2, 1/4, 1/8,.....,1/2n de la muestra original.

Reducidor Binomial

Otro equipo utilizado en el laboratorio es el reducidor binomial, que permite obtener una muestra de un 1/16 de tamao de la muestra original en una sola pasada. l limite de tamao de partculas es de 1/2 en este caso, tal como se puede ver en la fig.IV.8.

Muestreador de Mesa Rotatoria

Un excelente mtodo de muestreo es la mesa rotatoria. El material se alimenta a la mesa mediante un alimentador vibratorio y cae por una serie de chutes a cajas o frascos. La mesa debe moverse con velocidad constante para permitir la misma oportunidad a todas las partculas. El equipo se muestra en la siguiente figura IV.9.

Diagrama de Flujo para la Reduccin de Tamao de Muestra

El peso inicial de las muestras qumicas durante su recoleccin sobrepasa significativamente al peso de la muestra que se enva al laboratorio. Es por ello que se reduce a las muestras inciales hasta que sus peso alcanza el peso necesario para la muestra de laboratorio.En funcin de esto todas las operaciones indicadas anteriormente, deben ser coordinadas en un solo esquema general tal como se indica en el siguiente diagrama de flujo (fig., IV.10), el cual puede variar de acuerdo a las caractersticas de las muestrasEn cada etapa nosotros podemos determinar el peso de muestra en funcin del peso final que quisiramos obtener.

Por ejemplo:Un peso de 2000 g de muestra

Aplicando las relaciones que hemos revisado anteriormente tenemos:

Por lo tanto el tamao de partcula a tomar en cuenta es de 0.73 cm

Existen diversos mtodos para la determinacin experimental del tamao y forma de las partculas de una distribucin.

Estos mtodos se pueden agrupar de acuerdo al principio utilizado para las medicin.

En la tablas siguiente se dan algunos datos sobre los mtodos experimentales de medicin:

TcnicaVariable de separacinRango de tamao(micrones)Equipos-mtodoTamizajeL(x)105-30TamicesRecuentoL(x)105-102102-1102-10-110-10-3ProyeccinMicroscopia de luzMicroscopia electrnica de barridoMicroscopia electrnica de TransmisinSedimentacinV(x) gV(x) 2R 102-110-10-1GravitacionalCentrifuga (Ds)Dispersin de LuzS(x)103-10-1Contadores de dispersinSensores de conductividadV(x)102-5x10-1Coulter-Counter (de)Absorcin de Rayos X o V(x)102-1Densmetros