Lesson 06 Mathjazz

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com συναρτήσεις Σελίδα 96

Μάθημα 7ον «Συνάρτηση "1-1" και αντίστροφη»

Σκοπός και στόχος του μαθήματος 1. Να ξέρεις τους ορισμούς της «1-1» συνάρτησης και να μην τους μπερδεύεις με τους

μαθηματικούς ορισμούς της συνάρτησης. 2. Να διακρίνεις από τη γραφική παράσταση όταν μια συνάρτηση είναι «1-1». 3. Να ξέρεις ότι μια γνήσια μονότονη συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα Δ είναι και «1-1»,

χωρίς να ισχύει το αντίστροφο. 4. Να ξέρεις (όλους τους τρόπους) να αποδεικνύεις ότι μία πραγματική συνάρτηση f με

πεδίο ορισμού το Α είναι συνάρτηση «1-1». 5. Να ξέρεις να λύνεις εξισώσεις της μορφής f (g(x)) f (h(x))= . 6. Να ξέρεις να αποδεικνύεις πότε μια δίκλαδη συνάρτηση της μορφής

1 1

2 2

f (x) x Af (x)

f (x) x Aαν ∈⎧

= ⎨ αν ∈⎩ είναι «1-1».

7. Να ξέρεις να ορίζεις την αντίστροφη συνάρτηση, να βρίσκεις το πεδίο ορισμού της, το σύνολο τιμών της και τον τύπο της.

8. Να ξέρεις ότι οι αντίστροφες συναρτήσεις έχουν γραφικές παραστάσεις που είναι συμμετρικές καμπύλες ως προς την ευθεία y=x, δηλαδή τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

9. Να ξέρεις ότι η αντίστροφη συνάρτηση 1f − έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f. 10. Να ξέρεις την εκθετική και τη λογαριθμική συνάρτηση που είναι η μια αντίστροφη της

άλλης. 11. Να ξέρεις να βρίσκεις τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο αντίστροφων

συναρτήσεων. 12. Να ξέρεις τις τρεις περιπτώσεις «σύνθεσης και 1-1». Ας δούμε στη συνέχεια το μάθημα στην ανάπτυξή του.

www.mathjazz.com


Προσοχή!

x

y

συνάρτηση 1-1

O

O x2 x1

B A

x

y

συνάρτηση όχι 1-1

Συνάρτηση «1-1»

Μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται συνάρτηση «1 1− » (ένα προς ένα), όταν:

για οποιαδήποτε 1 2x ,x A∈ με 1 2x x≠ συνεπάγεται ότι 1 2f (x ) f (x )≠ , δηλαδή «δυο οποιαδήποτε διαφορετικά πρότυπα 1 2x ,x A∈ έχουν πάντοτε διαφορετικές εικόνες, 1 2f (x ) f (x )≠ ».

Ισοδύναμος ορισμός

Μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται συνάρτηση «1 1− » (ένα προς ένα), όταν:

όταν για οποιαδήποτε 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )= συνεπάγεται ότι 1 2x x= , δηλαδή «δυο οποιεσδήποτε ίσες εικόνες 1 2f (x ) f (x )= προέρχονται πάντοτε από ίσα πρότυπα, 1 2x x= ».

• Από το ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι 1 1− , αν και μόνο αν:

Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f (x) y= έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.

Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο.

Μονοτονία και «1-1» Έστω μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Αν η f είναι γνήσια αύξουσα θα ισχύει:

για οποιαδήποτε 1 2x ,x A∈ με:

1 2x x< ισχύει 1 2f (x ) f (x )< ή ισοδύναμα

1 2x x> ισχύει 1 2f (x ) f (x )> , δηλαδή έχουμε για οποιαδήποτε 1 2x ,x A∈ με 1 2x x≠ συνεπάγεται ότι 1 2f (x ) f (x )≠ , άρα «1-1».

Tom Raik

Highlight

Μαθαίνουμε και τους δυο ορισμούς και δεν τους μπερδεύουμε με τους ορισμούς της συνάρτησης

Tom Raik

Highlight

πρόσεξε να ξεχωρίζεις από τη γραφική παράσταση αν μια συνάρτηση είναι 1-1 ή όχι

www.mathjazz.com


O x

y

y=g(x)

Προσοχή!

Αν η f είναι γνήσια φθίνουσα θα ισχύει:

για οποιαδήποτε 1 2x ,x A∈ με:

1 2x x< ισχύει 1 2f (x ) f (x )> ή ισοδύναμα

1 2x x> ισχύει 1 2f (x ) f (x )< , δηλαδή έχουμε για οποιαδήποτε 1 2x ,x A∈ με 1 2x x≠ συνεπάγεται ότι 1 2f (x ) f (x )≠ , άρα «1-1».

Επομένως,

αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο Α, τότε είναι συνάρτηση "1 1"− στο Α.

Έτσι, οι συναρτήσεις

1f (x) αx β= + , α 0≠ , 32f (x) αx= , α 0≠ ,

x3f (x) α= , 0 α 1< ≠ , 4 αf (x) log x= , 0 α 1< ≠ ,

είναι συναρτήσεις «1-1».

To το αντίστροφο της πρότασης δεν ισχύει, δηλαδή:

Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1 1− αλλά δεν είναι γνησίως

μονότονες, όπως για παράδειγμα η συνάρτηση x , x 0

g(x) 1 , x 0x

≤⎧⎪= ⎨

>⎪⎩

.

Μέθοδοι

«Πως δείχνουμε ότι μια συνάρτηση είναι «1-1»»

Α. Για να δείξουμε ότι μία πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι συνάρτηση «1-1» εφαρμόζουμε έναν από τους παρακάτω τρόπους:

• 1ος τρόπος (συνθετικά) Θεωρούμε δυο τυχαία στοιχεία 1 2 1 2x ,x A με x x∈ ≠ και με μία σειρά πράξεων δημιουργούμε τις παραστάσεις 1f (x ) και 2f (x ) δείχνοντας ταυτόχρονα ότι 1 2f (x ) f (x )≠ . • 2ος τρόπος Θεωρούμε δυο τυχαία στοιχεία 1 2x ,x A∈ με 1 2f(x ) f (x )= και δείχνουμε ότι η υπόθεση 1 2f(x ) f (x )= συνεπάγεται αποκλειστικά ότι 1 2x x= . Πολλές φορές ξεκινώντας από την σχέση 1 2f(x ) f (x )= καταλήγουμε σε μια σχέση της μορφής 1 2 1 2(x x ) h(x ,x ) 0− ⋅ = . Σε αυτή την περίπτωση πρέπει οπωσδήποτε να δείξουμε ότι 1 2h(x ,x ) 0≠ για να είναι 1 2x x= . • 3ος τρόπος Θεωρούμε ένα τυχαίο y∈— και δείχνουμε ότι η εξίσωση f (x) y= , με άγνωστο το x, έχει ακριβώς μία λύση στο Α. Συνήθως με αυτόν τον τρόπο ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με εκείνη της εύρεσης του συνόλου τιμών μιας πραγματικής συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Α.

Tom Raik

Highlight

μάθε ότι αν μια συνάρτηση είναι (πρόσεξε) γνήσια μονότονη σε διάστημα τότε στο διάστημα αυτό είναι 1-1. Πρόσεξε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει

Tom Raik

Highlight

μαθαίνουμε τις τεχνικές

www.mathjazz.com


f (x2)

f (x1)

x2 x1 O x

y

x=

1 y

• 4ος τρόπος (γραφικά) Από την γραφική παράσταση της f και το σύνολο τιμών της f, δηλαδή για κάθε f (A)λ∈ η ευθεία y = λ τέμνει την γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο. • 5ος τρόπος (με τη μονοτονία) Δείχνουμε ότι η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι γνησίως μονότονη στο Α, άρα «1-1».

Β. Για να δείξουμε ότι μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α δεν είναι «1-1», συνήθως βρίσκουμε δύο ορισμένα 1 2 1 2x ,x A με x x∈ ≠ για τα οποία όμως ισχύει 1 2f(x ) f (x )= .

Γ. Αν μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι «1 1− », τότε και κάθε «περιορισμός» της στο 1A A⊆ είναι συνάρτηση «1 1− ». Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Μελέτησε τα λυμένα Θέματα. Θέμα 70

Έστω η συνάρτηση 1f (x)x

= . Να εξετασθεί αν είναι «1-1».

Λύση

Είναι x 0≠ , οπότε έχει πεδίο ορισμού το A ( , 0) (0, + )= −∞ ∪ ∞ .

Για κάθε 1 2x ,x 0≠ , με 1 2x x≠ συνεπάγεται 1 2

1 1x x

≠ οπότε τελικά

1 2f (x ) f (x )≠ . Άρα συνάρτηση 1f (x)x

= είναι συνάρτηση «1 1− » (ένα

προς ένα). Θέμα 71

Έστω η συνάρτηση f (x) x= α +β , με 0α ≠ . Να εξετασθεί αν είναι «1-1».

Λύση

Η f έχει πεδίο ορισμού το A = — .

Αν 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )= , τότε έχουμε διαδοχικά:

1 2αx β αx β+ = + ⇒ 1 2αx αx= ⇒ 1 2x x= .

Άρα συνάρτηση f (x) x= α +β , με 0α ≠ είναι συνάρτηση «1 1− » (ένα προς ένα).

O x x2 x1

f (x1) f (x2)

a>0

y

O x

y

x2 x1

f (x2) f (x1)

α<0

Θέμα 72

Έστω η συνάρτηση f (x) β= . Να εξετασθεί αν είναι «1-1».

Λύση

www.mathjazz.com


−1 1

1

y=x2

O x

y

Η συνάρτηση f (x) β= δεν είναι συνάρτηση 1-1 αφού 1 2f (x ) f (x ) β= = για οποιαδήποτε 1 2x ,x ∈— . Θέμα 73

Έστω η συνάρτηση 2f (x) x= . Να εξετασθεί αν είναι «1-1».

Λύση

Η συνάρτηση 2f (x) x= δεν είναι συνάρτηση 1 1− , αφού f ( 1) f (1) 1− = = αν και είναι 1 1− ≠ . Θέμα 74

Δείξτε ότι η συνάρτηση f με 3f (x) 2x 1= + είναι «1-1».

Λύση


Αν 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )= , τότε έχουμε διαδοχικά: 3 3 3 3 3 3

1 2 1 2 1 2 1 22x 1 2x 1 2x 2x x x x x+ = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = , άρα η συνάρτηση f είναι «1-1». Θέμα 75

Δείξτε ότι η συνάρτηση f με 3f (x) x x 1= + + είναι «1-1».

Λύση



3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2x x 1 x x 1 x x x x+ + = + + ⇔ + = + ⇔ ( ) ( )3 3

1 2 1 2x x x x 0− + − = ⇔

( ) ( ) ( )2 21 2 1 1 2 2 1 2x x x x x x x x 0− ⋅ + ⋅ + + − = ⇔ ( ) ( )2 2

1 2 1 1 2 2x x x x x x 1 0 (1)− ⋅ + ⋅ + + = ⇔

1 2

2 21 1 2 2

x x 0 (2) ήx x x x 1 0 (3)

− =

+ ⋅ + + =

.

Η (1) 1 2x x⇔ =

Η (2) αν θεωρηθεί δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο το 1x (αντίστοιχα το 2x ) έχει διακρίνουσα:

( )2 2 22 2 2x 4 x 1 3x 4 0− + = − − < , άρα αδύνατη.

Επομένως η (1) δίνει μοναδική λύση 1 2x x= , επομένως η συνάρτηση f είναι «1-1». Θέμα 76

Δείξτε ότι η συνάρτηση f με x 1f (x)x 1+

=−

είναι «1-1».

Λύση

O x

y

x2

β

x1

www.mathjazz.com


Η f έχει πεδίο ορισμού το ( ) ( )A , 1 1, += −∞ ∪ ∞ .


1 2

1 2

x 1 x 1x 1 x 1+ +

= ⇔− −

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1x 1 x 1 x 1 x 1+ ⋅ − = + ⋅ − ⇔

1 2 1 2 1 2 2 1x x x x 1 x x x x 1− + − = − + − ⇔

1 2 1 22x 2x x x− = − ⇔ = , άρα η συνάρτηση f είναι «1-1».

Δ. Οι πράξεις «άθροισμα, γινόμενο, …» δυο πραγματικών συναρτήσεων f ,g με πεδίο ορισμού

το Α, οι οποίες είναι «1 1− », δεν είναι πάντοτε συνάρτηση «1-1».

Ε. Αν η συνάρτηση f είναι πολλαπλού τύπου τότε η f είναι «1 - 1», όταν: • Κάθε «κλάδος» της είναι «1-1». • Δείχνουμε ότι δεν υπάρχουν κοινά y για διαφορετικά x, ή ότι τα σύνολα τιμών των «κλάδων»

είναι ανά δυο «ξένα» σύνολα, δηλαδή δεν έχουν ανά δύο κοινά στοιχεία.

Έτσι για να δείξουμε ότι μια δίκλαδη συνάρτηση της μορφής 1 1

2 2

f (x) x Af (x)

f (x) x Aαν ∈⎧

= ⎨ αν ∈⎩ είναι

«1-1», εργαζόμαστε ως εξής:

• Δείχνουμε ότι για 1x A∈ ο κλάδος 1f (x) είναι συνάρτηση «1-1». • Δείχνουμε ότι για 2x A∈ ο κλάδος 2f (x) είναι συνάρτηση «1-1».

• Δείχνουμε ότι το σύστημα 1 1

2 2

y f (x) , x Ay f (x) , x A= ∈⎧

⎨ = ∈⎩ είναι αδύνατο ή ότι τα σύνολα τιμών των δυο

«κλάδων» είναι ανά δυο «ξένα» σύνολα, δηλαδή ότι ( ) ( )1 1 2 2f A f A∩ = ∅ . Μελέτησε το λυμένο Θέμα. Θέμα 77

Έστω η συνάρτηση f με τύπο 2

3x 1 , x 0f (x)

x 1 , x 1− ≤⎧

= ⎨ + ≥⎩. Να εξετασθεί αν είναι «1-1».

Λύση Έστω οι συναρτήσεις 1f (x) 3x 1= − , ( ]1x A , 0∈ = −∞ και

22f (x) x 1= + , [ )2x A 1, +∈ = ∞ .

Έχουμε ( ][ )

1 1

2 2

f (x) , x A , 0f (x)

f (x) , x A 1, +⎧ ∈ = −∞⎪= ⎨ ∈ = ∞⎪⎩

.

• Αν 1 2 1x ,x A∈ με:

1 2 1 2 1 2x x 3x 3x 3x 1 3x 1< ⇔ < ⇔ − < − ⇔

1 1 1 2f (x ) f (x )< , άρα η 1f είναι γνήσια αύξουσα στο 1A , οπότε η 1f είναι «1-1» στο 1A .

www.mathjazz.com


Επίσης, αφού η 1f είναι γνήσια αύξουσα στο 1A έχουμε για κάθε 1 1x 0 f (x) f (0)≤ ⇔ ≤ ⇔ 1f (x) 1≤ − .

• Αν 1 2 2x ,x A∈ με: 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2x x x x x 1 x 1< ⇔ < ⇔ + < + ⇔


Επίσης, αφού η 2f είναι γνήσια αύξουσα στο 2A έχουμε για κάθε 2 2x 1 f (x) f (1)≥ ⇔ ≥ ⇔ 2f (x) 2≥ .

• Οπότε το σύστημα 2

y 3x 1 , x 0y x 1 , x 1= − ≤⎧

⎨ = + ≥⎩ είναι ισοδύναμο με το

y 1 , x 0y 2 , x 1≤ − ≤⎧

⎨ ≥ ≥⎩ που είναι

αδύνατο, άρα τελικά η συνάρτηση f είναι «1-1) στο Α.

ΣΤ. Λύση εξίσωσης της μορφής ( ) ( )g h(x) g f (x)= . Για να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής ( ) ( )g h(x) g f (x)= , h f gx A A και h(x), f(x) A∈ ∩ ∈ , η οποία δεν μπορεί να επιλυθεί με αλγεβρικές μεθόδους, θα εργαζόμαστε ως εξής: i. Δείχνουμε ότι η συνάρτηση g είναι 1-1. ii. Επειδή η συνάρτηση g είναι 1-1 συμπεραίνουμε ότι h(x) f (x)= , οπότε επιλύουμε αυτή. Μελέτησε το λυμένο θέμα. Θέμα 78

Να λυθεί η εξίσωση:

( ) ( )5 3x 1 x 1 x 1e x 3 e x 3 e x 0− − −+ − + + − + + = .

Λύση

( ) ( )5 3x 1 x 1 x 1e x 3 e x 3 e x 0− − −+ − + + − + + = ⇔

( ) ( )5 3x 1 x 1 x 1e x 3 e x 3 e x 3 3− − −+ − + + − + + − = − ⇔

( ) ( ) ( )5 3x 1 x 1 x 1e x 3 e x 3 e x 3 3 0− − −+ − + + − + + − + = (1).

Έστω η συνάρτηση 5 3f (x) x x x 3= + + + , x∈— .

Παρατηρούμε ότι: 5 3f ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 3 0− = − + − + − + = , οπότε f ( 1) 0− = (2).

Η σχέση (1) λόγω της (2) παίρνει τη μορφή ( )x 1f e x 3 f ( 1)− + − = − (3).

Θα δείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1, δείχνοντας ότι είναι γνήσια μονότονη.

Για κάθε 1 2x ,x ∈— με 1 2x x< (4) έχουμε: 5 5

1 2x x< (5) και 3 31 2x x< (6).

www.mathjazz.com


O x x

y=f (x)

y

f ( y) x− =1

−f 1

f f(A) A

y=f(x)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (4), (5), (6) έχουμε: 5 3 5 3

1 1 2 2 2 2x x x x x x+ + < + + ⇒ 5 3 5 31 1 2 2 2 2x x x 3 x x x 3+ + + < + + + ⇒

1 2f (x ) f (x )< , άρα γνήσια αύξουσα, οπότε και 1-1.

Από την (3) έχουμε:

( )x 1 x 1f e x 3 f ( 1) e x 3 1− −+ − = − ⇔ + − = − ⇔ ( )x 1e x 1 1− + − = (7).

Έστω η συνάρτηση x 1g(x) e x 1−= + − , x∈— .

Παρατηρούμε ότι: 0g(1) e 1 1 1= + − = (8).

Η σχέση (7) λόγω της (8) παίρνει τη μορφή ( )g x g(1)= (9).

Για κάθε 1 2x ,x ∈— με 1 2x x< έχουμε 1 2x 1 x 1− < − , οπότε και 1 2x 1 x 1e e− −< . Προσθέτοντας κατά μέλη τις έχουμε: 1 2x 1 x 1

1 2e x 1 e x 1− −+ − < + − ⇒ 1 2g(x ) g(x )< , άρα η συνάρτηση g είναι γνήσια αύξουσα, άρα 1-1, οπότε από την (9) έχουμε:

( )g x g(1) x 1= ⇔ = . Αντίστροφη Συνάρτηση

Έστω μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι 1 1− , τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, f (A) , της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο x του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει f (x) y= .

Επομένως ορίζεται μια νέα πραγματική συνάρτηση g

με πεδίο ορισμού το f (A) με την οποία κάθε y f (A)∈ αντιστοιχίζεται στο μοναδικό x A∈ για το οποίο ισχύει f (x) y= .

Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι:

• έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f (A) της f,

• έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και

• ισχύει η ισοδυναμία: f (x) y g(y) x= ⇔ = .

Αυτό σημαίνει ότι, αν η f αντιστοιχίζει το x στο y, τότε η g αντιστοιχίζει το y στο x και αντιστρόφως. Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της f. Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με

1f − .

Επομένως έχουμε: 1f (x) y f (y) x−= ⇔ =

Tom Raik

Highlight

μαθαίνουμε τα πάντα για την αντίστροφη

www.mathjazz.com


Προσοχή!

οπότε:

1

1

f (f (x)) x , x A

f (f (y)) y , y f (A)

−

−

⎧ = ∈⎪ και⎨⎪ = ∈⎩

, δηλαδή

ισχύει ότι ( )

( )

1

1

f f (x) x , x A

f f (y) y , y f (A)

−

−

⎧ = ∈⎪⎪ και⎨⎪ = ∈⎪⎩

.

Γραφική παράσταση αντίστροφης συνάρτησης.

Έστω μία «ένα προς ένα» πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και σύνολο τιμών το f (A). Εφόσον η f είναι «ένα προς ένα» υπάρχει η 1f − και είναι και αυτή «ένα προς ένα» με πεδίο ορισμού το f (A) και σύνολο τιμών το Α.

Έστω C και C′ οι γραφικές τους παραστάσεις. Επειδή 1f (x) y f (y) x−= ⇔ = (1) σε κάθε σημείο (α, β) της γραφικής παράστασης C αντιστοιχεί ακριβώς ένα σημείο (β,α ) της

γραφικής παράστασης C′ και αυτό γιατί από την (1) έχουμε: f(α)=β, τότε 1f (β) α− = . Αυτό σημαίνει ότι το σημείο (β,α ) βρίσκεται στη

γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης 1f − , δηλαδή το ( , α)β είναι σημείο της C′ που παριστάνει γραφικά την 1f − . Τα σημεία όμως (α, β) και (β, α) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y x= , δηλαδή ως προς τη διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων. Έτσι, αν κάποιο σημείο (α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση της f, τότε το συμμετρικό του σημείο (β, α)

ως προς την ευθεία με εξίσωση y=x ανήκει στη γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης 1f − . Αλλά και αντίστροφα, αν ένα σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 1f − , τότε

το συμμετρικό του ως προς την ευθεία y=x ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

Επομένως: Οι αντίστροφες συναρτήσεις έχουν γραφικές παραστάσεις που είναι συμμετρικές καμπύλες ως προς την ευθεία y = x, δηλαδή τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

Αν μια πραγματική συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη, έχει πεδίο ορισμού το Α, σύνολο τιμών το f (A)

και είναι γνήσια μονότονη στο Α, τότε η αντίστροφη συνάρτηση 1f − είναι και αυτή γνήσια μονότονη στο f (A) και έχει με την f το ίδιο είδος μονοτονίας.

Στο σχήμα βλέπουμε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο Α και η 1f − είναι επίσης γνήσια αύξουσα στο f (A) .

Tom Raik

Highlight

μαθαίνουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις δυο αντιστρόφων συναρτήσεων είναι καμπύλες συμμετρικές ψς προς τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων (y=x)

www.mathjazz.com


y=ax

y

1

1 y=logax

O x

α>1

y=ax

y=logax

1

1

O x

y0<α<1

Η εκθετική συνάρτηση έχει για αντίστροφη συνάρτηση τη λογαριθμική.

Έστω η εκθετική συνάρτηση xf (x) = α . Όπως είναι γνωστό η συνάρτηση αυτή είναι 1 1− με πεδίο ορισμού το — και σύνολο τιμών το (0, )+∞ . Επομένως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση 1f − της f. Η συνάρτηση αυτή, σύμφωνα με όσα είπαμε προηγουμένως,

• έχει πεδίο ορισμού το (0, )+∞

• έχει σύνολο τιμών το — και

• αντιστοιχίζει κάθε y (0, )∈ +∞ στο μοναδικό x∈— για το οποίο ισχύει x yα = .

Επειδή όμως x y x log yαα = ⇔ = θα είναι 1f (y) log y−α= . Επομένως, η αντίστροφη της

εκθετικής συνάρτησης xf (x) = α , 0 1< α ≠ , είναι η λογαριθμική συνάρτηση g(x) log xα= .

Συνεπώς

x

log x

log x , xκαι

x , x (0, + )α

α⎧ α = ∈⎪⎨⎪ α = ∈ ∞⎩

—

.

Μέθοδοι

Α. «Πως βρίσκουμε την Αντίστροφη Συνάρτηση»

Για να προσδιορίσουμε την αντίστροφη ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνάρτηση «ένα προς ένα». (Αν δεν είναι «ένα προς ένα» δεν

υπάρχει η 1f − ) • Προσδιορίζουμε το σύνολο τιμών της f (A) , το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της 1f − . • Βρίσκουμε τον τύπο της, αν φυσικά αυτό είναι δυνατό, λύνοντας ως προς x τον τύπο της και

καταλήγουμε σε σχέση της μορφής 1x f (y)−= . • Επειδή συνηθίζεται η ανεξάρτητη μεταβλητή να συμβολίζεται με x και η εξαρτημένη με y,

κάνουμε αλλαγή στις μεταβλητές , θέτοντας όπου x το y και όπου y το x, οπότε προκύπτει ότι η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι η -1y f (x)= .

Σε πολλές περιπτώσεις, ενώ ξέρουμε ότι υπάρχει η 1f − δεν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της. Αυτό συμβαίνει γιατί η εξίσωση y f (x)= δεν μπορεί να λυθεί αλγεβρικά ως προς x, είναι όμως πολύ σημαντικό να γνωρίζουμε ότι υπάρχει η αντίστροφη 1f − μιας συνάρτησης f, έστω και αν δεν έχουμε

Tom Raik

Highlight

μάθε ότι η μια είναι αντίστροφη της άλλης

Tom Raik

Highlight

μελέτησε και μάθε όλες τις περιπτώσεις

www.mathjazz.com


τον τύπο της. Έτσι, μπορούμε π.χ. να γράψουμε 1f (f (x)) x, x A− = ∈ , αν είναι γνωστό ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση 1f − . Μελέτησε τα λυμένα Θέματα. Θέμα 79 Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f με x 1f (x) e += . Λύση Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = — .

Αν 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )= , τότε έχουμε διαδοχικά: 1 2x 1 x 1

1 2 1 2e e x 1 x 1 x x+ += ⇔ + = + ⇔ = , επομένως η συνάρτηση f είναι «1-1», οπότε αντιστρέψιμη. Έχουμε x 1y e += , x∈— . Επειδή x 1e 0+ > , έχουμε και y 0> (1), οπότε:

( )x 1ln y ln e ln y x 1 x ln y 1+= ⇔ = + ⇔ = − (2). Κάνοντας αλλαγή των μεταβλητών στις σχέσεις (1) και (2) έχουμε: y ln x 1= − , x 0> , άρα 1f (x) ln x 1− = − , x 0> . Θέμα 80

Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f με x 1f (x)x 1−

=+

Λύση Έχουμε, x 1 0 x 1+ ≠ ⇔ ≠ − . Επομένως το πεδίο ορισμού της f είναι το ( ) ( )A , -1 1, += −∞ ∪ − ∞ .


1 2

1 2

x 1 x 1x 1 x 1− −

= ⇔+ +

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1x 1 x 1 x 1 x 1+ ⋅ − = + ⋅ − ⇔

1 2 1 2 1 2 2 1x x x x 1 x x x x 1− + − = − + − ⇔

1 2 1 22x 2x x x− = − ⇔ = , άρα η συνάρτηση f είναι «1-1», οπότε αντιστρέψιμη. x 1y f (x) y y (x 1) x 1x 1−

= ⇔ = ⇔ ⋅ + = − ⇔+

yx y x 1 yx x 1 y x(y 1) 1 y⇔ + = − ⇔ − = − − ⇔ − = − − (1). Αν y 1 0 y 1− = ⇔ = , από την (1) έχουμε: 0 x 2⋅ = − , αδύνατο, οπότε από την (1) έχουμε:

1 yxy 1− −

=−

με y 1≠ (2).

Με αλλαγή των μεταβλητών στις σχέσεις (2) έχουμε: 1 xyx 1− −

=−

με x 1≠ , άρα 1 1 xf (x)x 1

− − −=

− με

x 1≠ . Θέμα 81 Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f με τύπο ( )xf (x) ln e 1= + . Λύση Είναι xe 1 0+ > για κάθε x∈— , A = — .

www.mathjazz.com



( ) ( )1 2 1 2x x x xln e 1 ln e 1 e 1 e 1+ = + ⇔ + = + ⇔ 1 2x x1 2e e x x= ⇔ = , άρα η συνάρτηση f είναι «1-1»,

οπότε αντιστρέψιμη. ( )x y x x yy f (x) y ln e 1 e e 1 e e 1= ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = − (1).

Επειδή το πρώτο μέλος της (1) είναι xe 0> ⇔ y y y 0e 1 0 e 1 e e y 0− > ⇔ > ⇔ > ⇔ > , οπότε λύνοντας την (1) ως προς x, έχουμε ( )yx ln e 1= − , με

y 0> (2). Κάνοντας αλλαγή των μεταβλητών στις σχέσεις (2) έχουμε: ( )xy ln e 1= − , με x 0> ,

άρα ( )1 xf (x) ln e 1− = − , με x 0> . Θέμα 82

Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f με τύπο 2

3x 1 , x 0f (x)

x 1 , x 1− ≤⎧

= ⎨ + ≥⎩.

Λύση Δείξαμε στο θέμα 65 ότι η συνάρτηση είναι «1-1». Έστω οι συναρτήσεις 1f (x) 3x 1= − , ( ]1x A , 0∈ = −∞ και

22f (x) x 1= + , [ )2x A 1, +∈ = ∞ .

Έχουμε ( ][ )

1 1

2 2

f (x) , x A , 0f (x)

f (x) , x A 1, +⎧ ∈ = −∞⎪= ⎨ ∈ = ∞⎪⎩

.

• Αν 1 2 1x ,x A∈ με:

1 2 1 2 1 2x x 3x 3x 3x 1 3x 1< ⇔ < ⇔ − < − ⇔


Επίσης, αφού η 1f είναι γνήσια αύξουσα στο 1A έχουμε για κάθε 1 1x 0 f (x) f (0)≤ ⇔ ≤ ⇔ 1f (x) 1≤ − .

• Αν 1 2 2x ,x A∈ με: 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2x x x x x 1 x 1< ⇔ < ⇔ + < + ⇔


Επίσης, αφού η 2f είναι γνήσια αύξουσα στο 2A έχουμε για κάθε 2 2x 1 f (x) f (1)≥ ⇔ ≥ ⇔ 2f (x) 2≥ .

• Οπότε το σύστημα 2

y 3x 1 , x 0y x 1 , x 1= − ≤⎧

⎨ = + ≥⎩ είναι ισοδύναμο με το

y 1 , x 0y 2 , x 1≤ − ≤⎧

⎨ ≥ ≥⎩ που είναι

αδύνατο, άρα τελικά η συνάρτηση f είναι «1-1) στο Α.

Θέμα 83 Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το —. Αν για κάθε x∈— ισχύει ότι

3f (x) f (x) x 0+ − = , τότε: i. Να δειχθεί ότι η f είναι «1-1». ii. Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f.

www.mathjazz.com


Λύση i. Έστω 1 2x ,x ∈— με 1 2f (x ) f (x )= (1) , οπότε και

3 31 2f (x ) f (x )= (2).

Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2) οπότε: 3 3

1 1 2 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x )+ = + (3). Έχουμε ότι:

31 1 1f (x ) f (x ) x 0+ − = (4) και 3

2 2 2f (x ) f (x ) x 0+ − = (5). Από την (4) 3

1 1 1x f (x ) f (x )⇔ = + (6) Από την (5) 3

2 2 2x f (x ) f (x )⇔ = + (7) Από (6) και (7) λόγω της (3) έχουμε 1 2x x= , άρα η συνάρτηση f είναι «1-1», οπότε υπάρχει 1f − . ii. Αν θέσουμε y f (x)= , έχουμε:

3 3f (x) f (x) x 0 y y x 0+ − = ⇔ + − = ⇔ 3 2x y y x y(y 1)= + ⇔ = + (8). Επειδή x∈— από την (8) έχουμε: 2y(y 1) y+ ∈ ⇔ ∈— — (9).

Κάνοντας αλλαγή στις μεταβλητές στις (8) και (9) έχουμε: 2y x(x 1)= + , x∈— , άρα 1 2f (x) x(x 1)− = + , x∈— .

Θέμα 84 Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το —. Αν για κάθε x∈— ισχύει ότι

3 xf (x) f (x) e 0+ − = , τότε: i. Να δειχθεί ότι η f είναι «1-1». ii. Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f. Λύση i. Αν 1 2x ,x ∈— με 1 2f (x ) f (x )= (1), είναι και 3 3

1 2f (x ) f (x )= (2). Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1)

και (2) οπότε: 3 31 1 2 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x )+ = + (3).

Έχουμε ότι: 1x31 1f (x ) f (x ) e 0+ − = (4) και 2x3

2 2f (x ) f (x ) e 0+ − = (5). Από την (4) 1x 3

1 1e f (x ) f (x )⇔ = + (6) Από την (5) 2x 3

2 2e f (x ) f (x )⇔ = + (7) Από (6) και (7) λόγω της (3) έχουμε:

1 2x x1 2e e x x= ⇔ = , άρα η συνάρτηση f είναι «1-1».

ii. Αν θέσουμε y f (x)= , έχουμε: 3 x 3 xf (x) f (x) e 0 y y e 0+ − = ⇔ + − = ⇔ x 3 x 2e y y e y(y 1)= + ⇔ = + (8).

Επειδή xe 0> από την (8) έχουμε 2y(y 1) 0 y 0+ > ⇔ > . Λύνουμε την (8) ως προς x οπότε: ( ) ( ) ( )x 2 2ln e ln y(y 1) x ln y(y 1)= + ⇔ = + , y 0> (9).

Κάνοντας αλλαγή στις μεταβλητές στις σχέσεις (9) έχουμε: ( )1 2f (x) ln x(x 1)− = + , x 0> .

www.mathjazz.com


Β. Κοινά σημεία των fC και 1fC −

Οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων f και 1f − έχουν κοινά σημεία, αν, και μόνο αν, το ακόλουθο σύστημα έχει λύση.

1

y f (x) , x A (S)

y f (x) , x f(A)−

= ∈⎧⇔⎨ = ∈⎩

1

1f (x) f (x) , x A

(S )y f (x) , x f(A)

−⎧ = ∈⎨

= ∈⎩ ή

1

21

f (x) f (x) , x A(S )

y f (x) , x f(A)

−

−

⎧ = ∈⎨

= ∈⎩

Τα συστήματα (S1) και (S2) είναι πολλές φορές αρκετά δύσκολο να λυθούν, επειδή η εξίσωση 1f (x) f (x)−= είναι δύσκολη ή ακόμη δεν λύνεται. Στη περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής:

1

y f (x) , x A (S)

y f (x) , x f(A)−

= ∈⎧⇔⎨ = ∈⎩

1

y f (x) , x Af (y) f (f (x)) , y A−

= ∈⎧⇔⎨ = ∈⎩

y f (x) (1) , x Ax f (y) (2) , y A= ∈⎧

⎨ = ∈⎩.

Το τελευταίο σύστημα το επιλύουμε αφαιρώντας αρχικά κατά μέλη τις δυο εξισώσεις (1) και (2), οπότε καταλήγουμε σε εξίσωση της μορφής

y x x, y A (3)(y x) g(x,y) 0

g(x,y) 0 x,y A (4)

= ∈⎧⎪− ⋅ = ⇔ ⎨⎪ = ∈⎩

ή .

Στη συνέχεια επιλύουμε τα δυο συστήματα που προκύπτουν και τα οποία έχουν τη μορφή:

4

y f (x) , x,y A (S )

y x= ∈⎧

⎨ =⎩ και

5

y f (x) , x,y A (S )

g(x, y) 0= ∈⎧

⎨ =⎩.

Μελέτησε τα λυμένα Θέματα. Θέμα 85 Έστω η συνάρτηση f με 3f (x) x x 1= + + . i. Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη. ii. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων fC και 1f

C − . Λύση Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = — . Δείξαμε στο θέμα 63 ότι η f είναι «1-1».

Έχουμε: ( )

( )3

3

xx και x x 1 y

x 1

⎧ ∈⎪∈ ⇔ ⇔ + + ∈ ⇔ ∈⎨⎪ + ∈⎩

—

— — —

—

,

άρα το σύνολο τιμών της f είναι το f (A) = — .

Tom Raik

Highlight

μελέτησέ το καλά

www.mathjazz.com


Συμπέρασμα: Υπάρχει η 1f − και ορίζεται στο f (A) = — . Πρόσεξε!!! Αν θέσουμε y f (x)= , έχουμε:

3 3f (x) x x 1 y x x 1= + + ⇔ = + + , x∈— και y∈— . 3y x x 1= + + , x∈— και y∈— (*).

Η σχέση 3y x x 1= + + δεν είναι δυνατόν με αλγεβρικές μεθόδους να λυθεί ως προς x, άρα δεν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της 1f − , οπότε δεν μπορούμε να επιλύσουμε την εξίσωση 1f (x) f (x)−= . Κάνοντας αλλαγή των μεταβλητών στις σχέσεις (*) έχουμε: 3x y y 1= + + , x∈— και y∈— . Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και 1f − έχουν κοινά σημεία, αν, και μόνο αν, το ακόλουθο σύστημα (S) έχει λύση.

(S): 3

3

y x x 1 , x A (1)x y y 1 , x f (A) (2)

⎧ = + + ∈ =⎨

= + + ∈ =⎩

—

—.

Αφαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις (1) και (2), έχουμε: ( ) ( )3 3y x x x 1 y y 1− = + + − + + ⇔

( ) ( )3 3y x x y x y− = − + − ⇔

( ) ( ) ( )2 2y x x y x xy y x y− = − + + + − ⇔

( ) ( )2 2y x x y x xy y 1− = − + + + ⇔

( ) ( ) ( )2 2y x x y x xy y 1 0− − − + + + = ⇔

( ) ( ) ( )2 2y x y x x xy y 1 0− + − + + + = ⇔

( ) ( )2 2y x x xy y 2 0− + + + = ⇔2 2

y x 0 (3)

x xy y 2 0 (4)

− =⎧⎪⎨⎪ + + + =⎩

ή

Στη συνέχεια επιλύουμε τα δυο συστήματα που προκύπτουν και τα οποία έχουν τη μορφή: 3

1

y x x 1 , x (S )

y x , y⎧ = + + ∈⎨

= ∈⎩

—

— και

3

22 2

y x x 1 , x (S )

x xy y 2 0 , x⎧ = + + ∈⎨

+ + + = ∈⎩

—

—.

Το (S1):

3 x 1x x x 1 , x

y 1y x , y= −⎧ = + + ∈ ⎧

⇔⎨ ⎨ = −= ∈ ⎩⎩

—

—.

Το (S2) είναι αδύνατο, γιατί η 2 2x xy y 2 0 + + + = , αν θεωρηθεί εξίσωση ως προς x, έχει διακρίνουσα 2 2 2y 4(y 2) 3y 8 0Δ = − + = − − < .

Άρα το κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων fC και 1f

C − είναι το ( 1, 1)− − . Θέμα 86 Αν f μια αντιστρέψιμη πραγματική συνάρτηση στο A , τότε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων f(C ) και 1f

(C )− των συναρτήσεων f και 1f − , εφόσον υπάρχουν, είναι:

www.mathjazz.com


• ή σημεία που ανήκουν στην ευθεία εξίσωση y x= , • ή σημεία συμμετρικά ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία y x= . Απόδειξη Έστω ότι οι γραφικές παραστάσεις f(C ) και 1f

(C )− των συναρτήσεων f και 1f − έχουν κοινό το σημείο 1 2M(x ,x ) . Αφού 1 2 f(x ,x ) C∈ , θα είναι 2 1x f (x )= (1) και αφού 11 2 f

(x ,x ) C −∈ , θα είναι 12 1x f (x )−= ⇔

1 2x f (x )= (2). Το ζεύγος 2 1 f(x ,x ) C∈ γιατί λόγω της (2) είναι 2 1f (x ) x= . Το ίδιο ζεύγος 12 1 f

(x , x ) C −∈ γιατί λόγω

της (1) 2 1x f (x )= 11 2x f (x )−⇔ = .

Άρα όταν οι γραφικές παραστάσεις f(C ) και 1f

(C )− των συναρτήσεων f και 1f − έχουν κοινό το σημείο 1 2M(x ,x ) , τότε έχουν κοινό και το σημείο 2 1N(x ,x ) .

• Αν 1 2x x= τότε 1 1 1 1M(x ,x ) N(x ,x )≡ , οπότε το κοινό τους σημείο βρίσκεται στην ευθεία y x= που είναι η διχοτόμος της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

• Αν 1 2x x≠ τότε οι γραφικές παραστάσεις f(C ) και 1f(C )− των συναρτήσεων f και 1f − όταν

έχουν κοινό το σημείο 1 2M(x ,x ) , έχουν κοινό και το σημείο 2 1N(x ,x ) , που σημαίνει ότι τα κοινά σημεία τους είναι συμμετρικά σημεία ως προς την ευθεία με εξίσωση y x= που είναι η διχοτόμος της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

Θέμα 87 Έστω f μια αντιστρέψιμη πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α. Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα, τότε οι εξισώσεις 1f (x) f (x)− = και f (x) x= , x A f(A)∈ ∩ είναι ισοδύναμες. Απόδειξη Η απόδειξη του θέματος θα γίνει με την εξής τεχνική: Θα δείξουμε ότι

κάθε ρίζα της εξίσωσης 1f (x) f (x)− = x A f(A)∈ ∩ είναι και ρίζα της εξίσωσης f (x) x= , και αντίστροφα

κάθε ρίζα της εξίσωσης f (x) x= , x A f(A)∈ ∩ είναι και ρίζα της εξίσωσης 1f (x) f (x)− = . • Έστω 0x A f(A)∈ ∩ μια ρίζα της εξίσωσης 1f (x) f (x)− = , άρα

10 0f (x ) f (x )− = ⇒ ( ) ( )1

0 0f f (x ) f f (x )− = ⇒ ( )0 0x f f (x )= (1).

Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι το 0x είναι ρίζα και της εξίσωσης f (x) x= , δηλαδή θα δείξουμε ότι 0 0f (x ) x= . Έστω ότι 0 0f (x ) x≠ .

Αν ( )(1)

0 0 0 0 0 0f (x ) x f f (x ) f (x ) x f (x )< ⇒ < ⇒ < , άτοπο.

Αν ( )(1)

0 0 0 0 0 0f (x ) x f f (x ) f (x ) x f (x )> ⇒ > ⇒ > , άτοπο. Άρα 0 0f (x ) x=

www.mathjazz.com


Προσοχή!

• Έστω 0x A f(A)∈ ∩ μια ρίζα της εξίσωσης f (x) x= , άρα:

(2)1 1

0 0 0 0 0 0f (x ) x (2) x f (x ) f (x ) f (x )− −= ⇒ = ⇒ = , οπότε το 0x είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης 1f (x) f (x)− = .

Γνωρίζουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων f και 1f − έχουν κοινά σημεία, αν, και μόνο αν, το ακόλουθο σύστημα έχει λύση.

1

y f (x) , x Ay f (x) , x f(A)−

= ∈⎧⇔⎨ = ∈⎩

1f (x) f (x) , x A

y f (x) , x f(A)

−⎧ = ∈⎨

= ∈⎩.

Αν λοιπόν η f είναι γνήσια αύξουσα, το σύστημα αυτό λόγω του Β είναι ισοδύναμο με το:

f (x) x , x Ay f (x) , x f(A)

= ∈⎧⎨ = ∈⎩

ή 1

f (x) x , x Ay f (x) , x f(A)−

= ∈⎧⎨ = ∈⎩

.

Συμπέρασμα: Αν μια συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα (και μόνο) για να βρούμε τα κοινά σημεία των f(C ) και 1f

(C )− αρκεί να λύσουμε ένα από τα συστήματα:

y x , x Ay f (x) , x f(A)

= ∈⎧⎨ = ∈⎩

ή 1

y x , x Ay f (x) , x f(A)−

= ∈⎧⎨ = ∈⎩

.

Σύνθεση και «1-1»

Θέμα 88 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g με αντίστοιχα πεδία ορισμού Α και Β. Με την προϋπόθεση ότι f (A) B∩ ≠∅ ορίζεται η g f και έχει πεδίο ορισμού το { }D x A : f(x) B= ∈ ∈ . «Αν η συνάρτηση f είναι «1-1» στο Α και η συνάρτηση g είναι «1-1» στο f (A) τότε η g f είναι «1-1» στο D». Απόδειξη Έστω 1 2x ,x D∈ με

( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )= ⇔

( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )= ⇔ (επειδή g «1-1»)

1 2f (x ) f (x )= ⇔ (επειδή f «1-1»)

1 2x x= , άρα η g f είναι «1-1» στο D. Θέμα 89 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g με αντίστοιχα πεδία ορισμού Α και Β. Με την προϋπόθεση ότι f (A) B∩ ≠∅ ορίζεται η g f και έχει πεδίο ορισμού το { }D x A : f(x) B= ∈ ∈ . «Αν η συνάρτηση g f είναι «1-1» στο D τότε η f είναι «1 1− » στο Α. Απόδειξη

Tom Raik

Highlight

δεν το λέει το σχολικό βιβλίο, άρα για να το χρησιμοποιήσεις πρέπει να το αποδείξεις

Tom Raik

Highlight

θα μάθεις και τις τρεις περιπτώσεις

www.mathjazz.com


Έστω 1 2x ,x A∈ με

1 2f (x ) f (x )= (επειδή g συνάρτηση έχουμε) ( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )= ⇔ ( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )= ⇔ (επειδή g f «1-1»)

1 2x x= , άρα η f είναι «1-1» στο Α. Θέμα 90 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g με αντίστοιχα πεδία ορισμού Α και Β. Με την προϋπόθεση ότι f (A) B∩ ≠∅ ορίζεται η g f και έχει πεδίο ορισμού το { }D x A : f(x) B= ∈ ∈ . «Αν η συνάρτηση g f είναι «1-1» στο D τότε η g είναι «1 1− » στο f (A)∩B. Απόδειξη Έστω 1 2y ,y f (A) B∈ ∩ με 1 2g(y ) g(y )= (1). Επειδή 1 2y ,y f (A) B∈ ∩ , υπάρχουν 1 2x ,x A∈ τέτοια ώστε να είναι 1 1y f (x )= και 2 2y f (x )= , οπότε η (1) γίνεται:

( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )= ⇔ ( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )= ⇔ (επειδή g f «1-1»)

1 2x x= , άρα η g είναι «1-1» στο f (A) B∩ . Προτεινόμενες ασκήσεις Συνάρτηση «1-1» Θέμα 186 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1 1"− . i. f (x) 3x 2= − ii. f (x) ln(1 x)= − iii. 2f (x) x 1= + vi. xf (x) e 1−= + Θέμα 187 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1 1"− .

i. f (x) (x 1)(x 2) 1= − − + ii. x

x

e 1f (x)e 1−

=+

iii. 3f (x) 1 x= − iv. f (x) | x 1 |= − Θέμα 188 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1 1"− .

i. x 1f (x) lnx 1−

=+

ii. f (x) 2 x 1= + +

iii. 2x 1f (x)

x 1+

=+

vi. 1 1 x

xf (x) 1 e+ −

= −

Θέμα 189 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1 1"− . i. f (x) x 1 ln x= − + ii. ( ) x 1f (x) ln x 1 e x 1−= − + + −

iii. 3f (x) x 1 x= + + vi. f (x) x x= − συν , x [0, π]∈ Θέμα 190 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1 1"− . i. 3f (x) x 7x= − , ii. 2f (x) ln x x 1= + συν +

iii. 2x xf (x) e −= , vi. 2f (x) x x= − .

www.mathjazz.com


Θέμα 191 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1 1"− .

i. 3x 2 1 x 2

f (x)5x 2 2 x 4

+ αν − ≤ ≤⎧= ⎨ − αν ≤ ≤⎩

ii. xe x x 0

f (x)x x x 0

⎧ − αν <⎪= ⎨− αν ≥⎪⎩

iii. x 1e 1 x 1

f (x)ln x x 1

−⎧ − αν >= ⎨

αν ≤⎩

Θέμα 192 Αν για τη συνάρτηση f ισχύει για κάθε x∈— ότι f (f (x)) x f (x)= + , να δειχθεί ότι είναι 1-1. Θέμα 193 Αν για τη συνάρτηση f ισχύει για κάθε x∈— ότι f (f (x)) 3x 2f (x)= + , να δειχθεί ότι είναι 1-1. Θέμα 194 Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και για τη συνάρτηση g ισχύει για κάθε x∈— ότι

3g(x) f (x) f (x) 1= + + , τότε: α. Να δειχθεί ότι συνάρτηση g είναι 1-1. β. Να βρεθεί ο αριθμός κ∈— όταν για κάθε x∈— ισχύει ότι: g(3 x) g(x 2) g( x 1)− ⋅ − = κ + .

Θέμα 195

Αν υπάρχει συνάρτηση f τέτοια ώστε να ισχύει x 1f (f (x))x 1+

=−

, για κάθε x {1}∈ −— , να δειχθεί

ότι η συνάρτηση f είναι 1-1. Θέμα 196 Αν υπάρχει συνάρτηση f τέτοια ώστε για κάθε x 0≥ να ισχύει f (x) 0> και f (f (x)) x xf (x),= + να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι 1-1. Θέμα 197 Αν υπάρχει συνάρτηση f η οποία να είναι 1-1 και τέτοια ώστε για κάθε x∈— να ισχύει (f f )(x 1) f (2x 3)− = − , να δειχθεί ότι f (x) 2x 1= − . Θέμα 198

Θεωρούμε τη πραγματική συνάρτηση f με τύπο 5f (x) x x 1= + − . Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1. Θέμα 199

Θεωρούμε τη πραγματική συνάρτηση f με τύπο 2

2x 1f (x)x 1

+=

+

α. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) = λ , για τις διάφορες τιμές του λ∈— . β. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι 1-1. γ. Να βρείτε το σύνολο των τιμών της f. Θέμα 200 Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το —, τέτοια ώστε να ισχύει:

2 3f (x) f (x) 1 x+ + = για κάθε x∈— . Να δείξετε ότι είναι «1 – 1». Αντίστροφη συνάρτηση Θέμα 201

Δίνεται η συνάρτηση x 2f (x) 3e 5−= − . Να δειχτεί ότι η f είναι «1 – 1» και να ορισθεί η 1f − .

www.mathjazz.com


Θέμα 202

Δίνεται η συνάρτηση f με f (x) 1 x 2= − − . Να δειχτεί ότι η f είναι «1 – 1» και να ορισθεί η 1f − . Θέμα 203

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: x

x

3f (x)1 3

=+

. Να δειχτεί ότι η f είναι «1 – 1» και να ορισθεί η 1f − .

Θέμα 204 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x) 1 3 x= − − . α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. β. Να λυθεί η εξίσωση: 1f (x) f (x)− = . Θέμα 205

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: 1 xf (x) ln1 x+

=−

. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να

βρείτε την 1f − . Θέμα 206 Δίνεται η συνάρτηση x 2f (x) 3e 5−= − . Να δειχτεί ότι η f είναι «1 – 1» και να ορισθεί η 1f − . Θέμα 207 Δίνεται η συνάρτηση f με f (x) 1 x 2= − − . α. Να δειχτεί ότι η f είναι 1 – 1. β. Να ορισθεί η 1f − . Θέμα 208

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: 2 x 13x 1 ,

f (x)x 13x 2 ,

αν ≥⎧ += ⎨ αν <−⎩

.

α. Να δειχτεί ότι η f είναι 1 – 1 β. Να ορισθεί η 1f − . Θέμα 209 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο:

x x 3f (x)

x 3 2 x 3+ α αν ≤⎧

= ⎨α + − α αν >⎩.

α. Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου α∈R, ώστε η συνάρτηση f να είναι 1 – 1. β. Στη συνέχεια να ορισθεί η 1f − . Θέμα 210 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x) 1 x 3= − − . α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. β. Να λυθεί η εξίσωση 1f (x) f (x)− = . Θέμα 211 Δίνεται η συνάρτηση 3 3f (x) x x= + − α , α∈—. i. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. ii. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των fC και 1f

C − . Θέμα 212

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 xf (x) ln1 x−

=+

. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί

η 1f − .

www.mathjazz.com


Θέμα 213 Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το —, έχει την ιδιότητα (f f )(x) f (x) x= + , για κάθε x∈— . Δείξτε ότι: α. Η f(x) είναι αντιστρέψιμη, β. f (0) 0= , γ. 1f (x) f (x) x− = − . Θέμα 214 Δίνεται η πραγματική συνάρτηση f , τέτοια ώστε να ισχύει: 32f (x) f ( x) x x+ − = + για κάθε x∈—. α. Να δείξετε ότι η f είναι περιττή. β. Να βρείτε τον τύπο της f. γ. Να δείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο —. δ. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. ε. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και 1f − . Θέμα 215

Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g με f (x) 1 ln x= − και x

x

eg(x)e 1

=+

.

i. Δείξτε ότι είναι αντιστρέψιμες. ii. Ορίστε τις συναρτήσεις: f g , 1 1f g− − , 1 1g f− − . Θέμα 216 Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — με (f f f )(x) (f f )(x) x 1= + − , για κάθε x∈—. Να αποδειχθεί ότι: i. Ορίζεται η 1f − . ii. 1f (x) (f f )(x) f (x) 1− = − + , για κάθε x∈— και 1f (1) 1− = . Θέμα 217 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το — με (f f g f )(x) x+ = για κάθε x∈—. Να αποδειχθεί ότι: i. Η f αντιστρέφεται στο —, ii. Ισχύει ότι 1f (x) f (x) g(x)− = + για κάθε x∈—. Θέμα 218 Να λυθεί η εξίσωση

2 2x 2 3 x 2 x 2 3 x(2 x 1) 2 x 1 (2 x 3) 4.2 x 3++ + + + + = + + + + + . Θέμα 219 Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g : R R→ και για κάθε x∈— ισχύει ότι: (f g)(x) x 1= + . i. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη. ii. Να λυθεί η εξίσωση x x 1 x 2g(4 2 4) g(2 4)+ +− + = − .

www.mathjazz.com


Φύλλο εργασίας

1. Εξηγείστε i.

ii.

2.

3.

4.

5.

6.

www.mathjazz.com


7. Να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση της f (x) 2x 1= − με x (0,2)∈ . 8. 9.

10.

11.

Lesson 06 Mathjazz

Documents

Transcript of Lesson 06 Mathjazz