Ραϊκόφτσαλης Θωμάς

ο δρόμος προς τις εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ! ΛΥΚΕΙΟΥ

20 προτεινόμενα θέματα

AΜιγαδικοί Αριθμοί

A Μιγαδικοί

1

Μέρος Α

Θέμα 1

Έστω η εξίσωση: 3: z 3z 0, z , , για την οποία γνωρίζουμε ότι εχει

ρίζα τον μη πραγματικό αριθμό 0z .

i. Να αποδειχθεί ότι 0z 1.

ii. Αν γνωρίζουμε ότι 0z 1 i, 0, να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί , .

iii. Για 14 να λυθεί στο , η εξίσωση .

Υπόδειξη

i. 3

30 0 0 0z 3z 0 z 3z 0. Αφαίρεση κατά μέλη και τριγωνική ανισότητα.

ii. 31 i 3 1 i 0 ... 6, 14 .

iii. 1 2 3z 1 i 6, z 1 i 6, z 2.

Θέμα 2

Έστω ο μιγαδικός w για τον οποίο ισχύει: 2 22 w 3 2w 1 : E .

i. Να αποδειχθεί ότι 2w . ii. Να βρεθεί ο w.

iii. Να λυθεί η εξίσωση: 2 21 12 z 3 i 2 z i 2 , θετικός ακέραιος.

Υπόδειξη

i. Προφανές. ii. 2

2 2 19w w w ... w .

12

iii. 2 22 21 1 19

2 z 3 i 2 z i 2 ... 2 z i 3 2 z i 1 ... z i.12

z i w

2 2 192 z 3 i 2 z i 1 ... z i.

12

Θέματα Εξετάσεων – Α: Μιγαδικοί αριθμοί

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

2

Θέμα 3

Έστω z ώστε z 1 i z : 1 .

i. Να βρεθούν:

ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z x iy , x, y ,

η σχέση που συνδέει τα x, y .

ii. Να αποδειχθεί ότι, αν οι μιγαδικοί 1 2 3 4 2014z , z , z , z ,..., z ικανοποιούν την 1 , τότε:

1 2 3 4 2014z z z z ... z 0 .

iii. Εάν για τους μιγαδικούς z ισχύει: z i Im z 1 , να βρεθεί ο

γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z .

Υπόδειξη

i. z x yi , x, y , οπότε: x yi 1 i x yi ... y x 1. … ημιεπίπεδο 1H .

ii. Εις άτοπο.

iii. Ο γ.τ είναι το τμήμα της παραβολής 2x

y4

που βρίσκεται στο ημιεπίπεδο H .

Θέμα 4

Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί: z x yi , x, y και w i , , .

A. Αν w 4 3 i z 5 i z , να βρεθούν:

i. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w .

ii. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z , όταν w 2 5 .

B. Αν ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z είναι ο κύκλος με κέντρο την αρχή

των αξόνων και ακτίνα 2 και ισχύει: 1

w zz

, τότε:

i. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w .

ii. Να βρεθούν τα: max w z και min w z .

A Μιγαδικοί

3

Υπόδειξη

Αi. x 2y 0 .

Αii Ζεύγος παραλλήλων ευθειών x 2y 1 0 , x 2y 1 0 .

Βi Είναι:

2 2x y 4

...1i x yi

x yi

έλλειψη με εξίσωση 2 2

2 2

x y1

5 3

2 2

.

Β ii 1

max w z min w z2

.

Θέμα 5

A. Για κάθε ζεύγος μιγαδικών αριθμών u, w , να δείξετε ότι ισχύει:

i. 2 2 2 2

u w u w 2 u 2 w .

ii. 2 2 21 u 1 w u w .

B. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί u, w, z για τους οποίους ισχύουν:

u w 3z 1 i, u w z 3 3i, iz 1 i 1.

i. Να βρεθούν οι u, w συναρτήσει του z .

ii. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο.

iii. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης:

2 23z 1 i z 3 3i .

Υπόδειξη

A.i 2 2

u w u w ... 2 2

2 u 2 w .

A.ii Αρκεί να δείξουμε ότι: 2 2 21 u 1 w u w ... …

Β.i u w 3z 1 i u 2z 2 2i

... .u w z 3 3i w z 1 i

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

4

Β.ii Κύκλος με κέντρο 1, 1 και ακτίνα 1 .

Β.iii Έχουμε:

2 23z 1 i z 3 3i ...

2 22z 2 2i z 1 i 2z 2 2i z 1 i ...

2 2

2 u 2 w ... Bii

2 2 228 z 1 i 2 z 1 i 8 1 2 z 1 i 2

8 2 z 1 i : 1 .

Αν C ο κύκλος με κέντρο 1, 1 και ακτίνας 1 , 1,1 η εικόνα του μιγαδικού 1 i,

M x, y η εικόνα του z x yi , x, y και , τα σημεία στα οποία τέμνει η ευθεία τον

κύκλο C , είναι: M … 26 8 2 26 8 2.

Θέμα 6

Έστω ο μιγαδικός z.

A. Να αποδειχθούν τα εξής:

i. 2 2z z z z 2 2.

ii. z z 1 z 1 z 2 .

B. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών z που ικανοποιούν τη συνθήκη:

z z 1 z 2 z 3 4.

Υπόδειξη

Αi. Τριγωνική ανισότητα.

Αii. 2 22 2z z 1 z 1 z 2 z z 1 z 1 z 2 .. z z z z 2. 2 …

Β. Αν M x, y , 0,0 , 1,0 , 2,0 και 3,0 τότε είναι: z z 1 z 2 z 3 4 ...

4. Ο γ.τ είναι το ευθύγραμμο τμήμα AB, με 1,0 και 2,0 .

Θέμα 7

A. Για τον μιγαδικό z ισχύει: 2 2 2z 2iz 1 z 2iz 1 2 z 1 .

i. Να δειχθεί ότι z i z i .

ii. Να δειχθεί ότι ο z .

Β. Για κάθε ζεύγος μιγαδικών αριθμών 1 2z , z , να αποδείξετε ότι ισχύει:

A Μιγαδικοί

5

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2z z z z 2 z 2 z .

Γ. Έστω ο μιγαδικός w 1 2i 5 i , .

i. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού w ανήκει σε κύκλο, του οποίου να

βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

ii. Αν 1 2w , w , ώστε:

1 2w 1 2i w 1 2i 5 ,

1 2w w 10 ,

να αποδειχθεί ότι 1 2w w 2 5.

Υπόδειξη

A.i Εύκολο.

A.ii Λόγο Αi.

B 2 2

u w u w ... 2 2

2 u 2 w .

Γ.i Κύκλο κέντρου K 1, 2 και ακτίνας 5.

Γ.ii Χρησιμοποίησε το Γi και δείξε ότι 1 2w w 2 4i, οπότε 1 2w w 2 5.

Θέμα 8

Δίνονται:

ο πραγματικός αριθμός 0 ,

η εξίσωση E : 4 3 2 2z 2z 5z 4z 12 0 , z .

Αν ο μιγαδικός q είναι μια ρίζα της E και 2w q q , τότε:

i. Να αποδεχθεί ότι q 1 .

ii. Να βρεθεί το w (σε συνάρτηση του α).

iii. Αν 2, να αποδειχθεί ότι 17 16 17w 4w 4 .

Υπόδειξη

i. Εις άτοπο απαγωγή.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

6

ii. 4 3 2 2q 2q 5q 4q 12 0 ... 2 2w 4w 12 0, όπου 2w q q.

Είναι 2w 12.

iii. 2 2 3 3 3 3w 4w 2 12 0 ... w 4 0 w 4 ...

Θέμα 9

A. Για κάθε μιγαδικό z να αποδειχθεί η ταυτότητα:

2 2

2 z z : E .z 1 z 1

B. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

i. z 1 z 1 2.

ii. z z 1 z z 1 .

Υπόδειξη

Α 2 2

z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 ... Βi Ευθ. τμήμα με A 1, 0 και B 1, 0 .

Βii 2 2

z z 1 z z 1 z z 1 z z 1 ...

z z 0 ή z 1 z 1 2 z ή z 1 z 1 2, άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων

των μιγαδικών αριθμών z, είναι: ή η ευθεία x 0 ( y y) ή το ευθύγραμμο τμήμα (λόγω του Bi).

Θέμα 10

Έστω:

ο μιγαδικός αριθμός 5 3i 3

z ,1 2i 3

, B αντίστοιχα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, z και z , 0 στο μιγαδικό

επίπεδο.

i. Να γραφεί ο μιγαδικός αριθμός z στη μορφή i, , .

ii. Να αποδειχθεί ότι 3z .

iii. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Υπόδειξη

A Μιγαδικοί

7

i. z 1 i 3. ii. 3z 8. iii. AB B 2 3.

Θέμα 11

Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί: z 0, 1 και z 1

w z .z 1

i. Να αποδειχθεί ότι 1

w z w 0.z

ii. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους

οποίους ισχύει: w z w z .

iii. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους

οποίους ισχύει: w z w 2i .

Υπόδειξη

i. Πράξεις.

ii. Ο γ.τ είναι τα σημεία του άξονα x x εξαιρουμένων μόνο των σημείων O 0,0 και A 1,0 .

iii. Ο γ.τ είναι τα σημεία του άξονα y y εξαιρουμένου μόνο του σημείου O 0,0 .

Θέμα 12

Έστω οι διαφορετικοί μιγαδικοί z, w, για τους οποίους ισχύει ότι:

3 2 3 2 2z w z 2wz z w wz 2z w,

η εικόνα A του z ανήκει στον κύκλο 2 21C : x y 2x 0.

i. Να αποδειχθεί ότι z 1 iw.

ii. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα B του w ανήκει σε σταθερό κύκλο 2(C ) .

iii. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της απόστασης των εικόνων των z , w καθώς και οι

αντίστοιχες τιμές των z , w . (Να προσεχθεί ιδιαίτερα το ερώτημα )

iv. Να αποδειχθούν τα εξής:

1. Αν z 1 iw , τότε τα σημεία O,A,B είναι συνευθειακά.

2. Αν z 1 iw , τότε το τρίγωνο AOB :

α. Έχει σταθερό εμβαδόν.

β. Δεν είναι ισόπλευρο.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

8

Υπόδειξη

i. 3 2 3 2 2z w z 2wz z w wz 2z w … 2 2 2(z 1) i w 0 …

ii. z 1 iw ... η εικόνα του w ανήκει στον κύκλο 2 22C : x y 1 .

iii. Η μέγιστη τιμή της απόστασης των εικόνων των z , w είναι 1 2 και επιτυγχάνεται για

2 2 2z i

2 2

και

2 2w i

2 2 ή

2 2 2z i

2 2

και

2 2w i .

2 2

iv. 1. Αν w x yi , x, y , τότε: 1 y x

det OA,OB ... 0.x y

iv. 2. α. Αν w x yi , x, y , τότε: 1 y x

det OA,OB ... 2.x y

v. 2.β. Για να είναι ισόπλευρο το AOB

πρέπει:

1y

2(OA) (OB)1

(AB) (OA) ... x ,2

(AB) (OB)x y 1

άρα 1 1

(x, y) , .2 2

Αλλά 2 2 1 1 1x y 1 1 1

4 4 2 που είναι αδύνατο.

A Μιγαδικοί

9

Μέρος Β (Σύνθετα Θέματα)

Θέμα 13

Έστω z τέτοιος ώστε 2 i

z2 i

, .

i. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z .

ii. Αν 1 2z , z δύο από τους z , να δείξετε ότι 1 2

5z z

2 .

iii. Να βρεθούν (αν υπάρχουν)

η ελάχιστη τιμή του μέτρου z ,

η μέγιστη τιμή του μέτρου z .

Υπόδειξη

i. Τα σημεία του κύκλος, 3

0,4

, 5

4 , εξαιρουμένου ενός σημείου.

iii. 1

min z ,2

για 1

z i.2

max z δεν υπάρχει.

Θέμα 14

Δίνεται η εξίσωση 2 2E : z 2 z n 1 0 , z , 0 .

Α) Να δειχθεί ότι οι ρίζες της E είναι μη πραγματικοί μιγαδικοί αριθμοί.

Β) Να βρεθεί το ελάχιστο μέτρο των ριζών της E .

Γ) Αν 1 2z , z οι ρίζες της E να δειχθεί ότι: 1 2

22z z

1 2

ee z z

4 .

Υπόδειξη

Α) 24 1 n f ( ) , όπου, 2f ( ) 4 1 n , 0 .

1

8 12

f ( )

, f ( ) 4 4 0.

Β) Είναι: 1 2z z και 2 1z z , επομένως, 2 2

1 1 1 1 2z z z z z n 1 h( ) , όπου

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

10

2h( ) n 1 , 0 . Είναι: 2 1h ( ) 2 1 ,

0 ….

Τελικά: 1 2 minmin min

3 n2z z h

2

.

Γ) Τύποι Vieta: 1 2z z 2 , 21 2z z n 1 .

1 2z z

2

1 2

e...

z z

2 2

n 2

e e e eg( )

4 e 4

, 0 ,

2 1

3

eg ( ) ... 1 1 ,

2

0 .

Για κάθε 0 ισχύει:

1 2z z 2

min 2

1 2

e eg( ) g

4z z

και επειδή, 21 2z z 4 0 ,

έπεται ότι, 1 2

22z z

1 2

ee z z

4 .

Θέμα 15

Δίνονται:

ο θετικός πραγματικός αριθμός ,

ο μιγαδικός αριθμός z 9 i, για τον οποίο ισχύει: 2 3Im z Im z ,

η συνάρτηση f : , για την οποία ισχύει:

x 4f x z x , για κάθε x .

Να βρεθούν:

i. Ο αριθμός z. ii. Ο αριθμός f 0 .

iii. Το όριο:

x

x 0

z 1im .

x

iv. Ο αριθμός f 0 .

Υπόδειξη

i. z 9 15i. ii. Από x 4f x z x , θέτοντας x 0, βρίσκουμε f 0 1.

iii.

0x

0

x 0 D.L.H

z 1im ... n 306.

x

A Μιγαδικοί

11

iv.

x xx x 4 34

x 0

f x z f x zf x z x f x z x x ... im 0.

x x

x x6

x 0 x 0

f x z z 1f x f 0im im ... n 306 f 0 n 306.

x 0 x x

Θέμα 16

Δίνονται:

οι πραγματικοί αριθμοί , , με ,

οι μιγαδικοί αριθμοί z με z και z , για τους οποίους ισχύει:

2z ,

η συνάρτηση f : , με x x

z zf x .

i. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z.

ii. Να μελετηθεί η συνάρτηση f , ως προς τη μονοτονία.

iii. Να λυθεί, ως προς x , η εξίσωση: x x x

z z .

Υπόδειξη

i. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z,

είναι όλα τα σημεία M του επιπέδου, με M A ,0

και M B ,0 , τα οποία ανήκουν στον κύκλου C

που έχει εξίσωση: z 0 i 0.2 2

ii. Γνησίως φθίνουσα στο .

iii. Δείξτε ότι «1: 1»f

f x f 2 x 2.

Θέμα 17

Έστω η συνάρτηση f : 1,1 , με

12 2x 2x 1 x 1

2f x

12 2x 2x 1 1 x

2

και

οι μιγαδικοί αριθμοί z με z 1.

i. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f .

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

12

ii. Να αποδειχθεί ότι 21 z 1 z z 1 z 2 Re z 1 .

iii. Να αποδειχθεί ότι 2 133 1 z 1 z z .

4

Υπόδειξη

i. f 1, 1 13

3, .4

ii.

1z

z21 z 1 z z ...

z 1 2Re z 1 .

iii. Αν θέσουμε z x yi, x, y , τότε… 21 z 1 z z 1 z 2 Re z 1

12 2x 2x 1 x 1

2 f x ,1

2 2x 2x 1 1 x2

οπότε: 2 133 1 z 1 z z .

4

Θέμα 18

Έστω:

H παραγωγίσιμη συνάρτηση f : , με f 1 2, f 1 0, για την οποία

ισχύει: xf x 2f x x, για κάθε x .

Οι άνισοι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν:

z f w w f z ,

zz x w ,

2 για κάθε x .

i. Να βρεθεί η συνάρτηση f .

ii. Να αποδειχθεί ότι z w .

iii. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός z w

z w

είναι φανταστικός.

iv. Να αποδειχθεί ότι 23

Re z w z .2

v. Να υπολογισθεί το όριο: 2 22x

t f x x

xx

im e dt.

Υπόδειξη

A Μιγαδικοί

13

i.

2

2

2

x x x 0

f x 0 x 0 f x x x, x .

x x x 0

ii. 2f x x x

z f w w f z

… iii. Δείξτε ότι z w z w

.z w z w

iv. 2 z w 0

2z zz x w z x w ...

2 4

2

2 2 3x 2x Re zw 0, x ...

4

v. Κριτήριο παρεμβολής, 2 22x

t f x x

xx

im e dt .

Θέμα 19

Δίνονται:

η συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση g : .

οι μιγαδικοί αριθμοί: 1z 1 2i, 2z 7 2i και w, με 1w z .

Αν για κάθε x ισχύει: 1 2w z g x 1 w z g 2 x 1 0 : E . τότε:

i. Να αποδειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι μια

ευθεία .

ii. Αν 1A z και 2B z να αποδειχθεί ότι AB .

iii. Να αποδειχθεί ότι για κάθε x ισχύει: g x g 2 x 2.

iv. Να επιλυθεί στο η ανίσωση: g x 1.

v. Να υπολογισθεί το 2

0

g x dx.

Υπόδειξη

i. Δείξτε ότι 1 2w z w z : . Η ευθεία : 3x 2y 12 0.

ii. ... 1.

iii. Από τη σχέση E λόγω της … g x g 2 x 2, x : T .

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

14

iv. Από την T δείξτε ότι g 1 1 και μονοτονία της g.

v. Ολοκληρώστε τη σχέση T από 0 έως 2. 2

0

g x dx 2.

Θέμα 20

Δίνονται:

η συνεχής συνάρτηση g : 0,1 , ώστε 1

0

g t dt 2,

οι μιγαδικοί αριθμοί: 1

0

1w g t dt i g t dt, 0,1 .

2

i. Να αποδειχθεί ότι οι εικόνες των μιγαδικών w ανήκουν σε μια ευθεία της

οποίας να βρεθεί η εξίσωση.

ii. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μιγαδικός mw , με m

2 5w min w .

5

iii. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 0 0,1 , ώστε 0

0

4g t dt .

5

iv. Αν ο μιγαδικός mw με m

2 5w min w

5 προκύπτει από δυο διαφορετικές

τιμές 1 2, 0,1 με 1 2 , να αποδειχθεί ότι υπάρχει 0,1 , ώστε

g 0.

Υπόδειξη

i. Θέτουμε w i, , , οπότε … : 2 2.

ii. 2w ... 5 8 4 οπότε για 4

5 έχουμε

2 5min w .

5

iii. Θεωρούμε τη συνάρτηση 0

5 g t d 8, 0,1

και Bolzano.

iv. Αν ο μιγαδικός mw με m

2 5w min w

5 προκύπτει από τις τιμές 1 2, 0,1 με 1 2 ,

A Μιγαδικοί

15

έχουμε: 1 2 1 2

1 2

1 1

m

0 0 0 0

w g t dt 2i g t dt g t dt dt 2i g t dt g t dt g t dt.

Rolle για τη συνάρτηση x

0

G x g t dt στο 1 2, .

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

16