ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΟΥusers.sch.gr/kbour/themata...

download ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΟΥusers.sch.gr/kbour/themata ejetasevn lykeioy 2015-2016.docx · Web viewΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

If you can't read please download the document

Transcript of ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΟΥusers.sch.gr/kbour/themata...

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΟΥΑΠΟ λυκεια ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ δυτικησ θεσσαλονικησKων/νου Μπουραζάνα Θεσσαλονίκη 2016 Επιμέλεια: Κων/νος Μπουραζάνας

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Τα θέματα που ακολουθούν είναι συλλογή θεμάτων που τέθηκαν στις προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις της περιόδου Μαΐου – Ιουνίου τη σχολική χρονιά 2015-2016, σε Λύκεια της Δυτικής Θεσσαλονίκης, αρμοδιότητας του σχολικού συμβούλου Κωνσταντίνου Μπουραζάνα.

Η συλλογή των θεμάτων είναι μια προσπάθεια που σκοπό έχει να λειτουργήσει ως ανταλλαγή, διάχυση αλλά και ανατροφοδότηση στη προσπάθεια αυτοβελτίωσης του προσφερόμενου έργου των εκπαιδευτικών.

Στην παρουσίαση των θεμάτων επιλέχθηκε να διατηρηθεί η αρχική μορφοποίηση αυτών, μιας και είναι η επιλογή των συναδέλφων εισηγητών, στους οποίους ανήκει αυτή η προσπάθεια.

Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους τους εκπαιδευτικούς για τη μεγάλη ανταπόκριση που επέδειξαν, ιδιαίτερα θα ήθελα να ευχαριστήσω τον συνάδελφο κ. Γεώργιο Χριστοδουλίδη για τη βοήθειά του στη παρουσίαση αυτής της συλλογής.

Με τιμή

Κωνσταντίνος Μπουραζάνας

Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης

Συμμετέχοντες εκπαιδευτικοί:

· ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΔΟΥ ΑΝΤΙΟΠΗ

· ΑΛΤΑΝΤΖΗΣ ΚωνσταντΙνος

· ΑφεντουλΙδου ΕΥΤΥΧΙΑ

· ΒαρδακΑς Νικόλαος

· ΓεωργΑκη ΣταυροΥλα

· ΖαχαρΕα Μαρία

· ΖουναρΕλης Δημητρης

· ΗλιοΥ Αδρομαχη

· ΙΩΑΝΝΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

· ΚΑΛΦΟΠΟΥΛΟΥ ΑΙΚατερινη

· ΚΑΜΠΟΣΑΚΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ

· ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΧρΗστος

· ΚαντζοΥρας Βασιλης

· ΚΑΡΙΝΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

· ΚΑΡΥΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

· ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ ΣΤυλιανΗ

· ΜΑΚΑΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ

· ΜΑστορης ΑθανΑσιος

· ΜουρατΙδου Καλλιοπη

· ΜΠΑΡΟΥΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

· ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΕΥΘΥΜΙΟΣ

· ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Γεωργιοσ

· ΠΑΠΑΠΕΤΡΟΥ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ

· ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΣ Ευαγγελοσ

· Παχατουριδου Θεοδωρα

· ΣαραφΙδου Βαρβαρα

· Σέντερης ΠασχΑλης

· ΣΤΑΜΕΛΟΣ ΟΔυσσεας

· ΤΖΑΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

· ΤζικοΥδη – Παπαγεωργιου Χρυσανθη

· ΤΖΙΟΤΖΙΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

· ΦΟΥΤΖΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΡΙΑ

· ΦΡΑΓΚΟΥ ΜαρΙα

· ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

· ΧΑΤΖΗΜΑΝΩΛΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ

· ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΙΔΗΣ Γεωργιος

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ σελ. 2

Συμμετέχοντες εκπαιδευτικοί 3

Θέματα Α΄ Λυκείου 5

Αλγεβρα 6

γεωμετρια 28

Θέματα Β΄ Λυκείου 44

Αλγεβρα 45

γεωμετρια67

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 87

Θέματα Γ΄ Λυκείου102

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 103

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 129

Θέματα Εσπερινών Λυκείων και ΕΠΑΛ 141

ΘΕΜΑΤΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΠΕΡ. Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ - Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

Σχολ. Έτος 2015 - 2016

Θεσσαλονίκη 26 / 5 /2016

Δ/ΝΣΗ Δ.Ε. ΔΥΤΙΚΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

1Ο ΓΕΝ. ΛΥΚ. ΕΥΟΣΜΟΥ

Θάλειας & Νεμέας

Τ.Κ. 56224- ΕΥΟΣΜΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Τηλ: 2310768147

ΘΕΜΑΤΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ

ΤΑΞΗ: Α΄

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: ΑΛΤΑΝΤΖΗΣ Κ., ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ ΣΤ., ΣΤΑΜΕΛΟΣ ΟΔ., ΦΡΑΓΚΟΥ Μ.,ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΙΔΗΣ

ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΙΔΗΣ Γ.

ΘΕΜΑ Α

Α1.Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις:

1.

Αν τότε

2.

Αν

3.

Αν Δ=0 τότε

4.

Αν και θετικός περιττός ακέραιος τότε

5.

Αν τότε οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και

μόνο αν

Μονάδες 10

Α2.Να αποδείξετε ότι: , όπου α, β πραγματικοί.

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται οι παραστάσεις:

με και .

B1. Να αποδείξετε ότι η παράσταση είναι ανεξάρτητη του x

Μονάδες 9

Β2. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης .

Μονάδες 7

Β3. Αν και να λύσετε την εξίσωση: .

Μονάδες 9

ΘΕΜΑ Γ

Σε μια αριθμητική πρόοδο () είναι

Γ1. Να δείξετε ότι

Μονάδες 6

Γ2. Να βρείτε τον πρώτο όρο () της προόδου καθώς και την διαφορά της (ω)

Μονάδες 5

Γ3. Να υπολογίσετε το άθροισμα

Μονάδες 7

Γ4. Να λύσετε την εξίσωση:

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η εξίσωση R

Δ1. Αν η εξίσωση έχει δυο πραγματικές ρίζες με να δείξετε ότι ή

Μονάδες 9

Δ2. Να βρείτε το άθροισμα S των ριζών και το γινόμενό τους P συναρτήσει του λ

Μονάδες 5

Δ3. Αν ισχύει τότε

(i) να αποδείξετε ότι

(ii) να βρείτε την τιμή της παράστασης

Μονάδες 5+6=11

Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

ΘΕΟΔΩΡΟΣ Κ. ΜΑΚΑΡΙΟΣ

ΑΛΤΑΝΤΖΗΣ Κωνσταντίνος,

ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ ΣΤυλιανή,

ΣΤΑΜΕΛΟΣ ΟΔυσσέας,

ΦΡΑΓΚΟΥ Μαρία,

ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΙΔΗΣ Γεωργιος.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ,

ΕΡΕΥΝΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ

ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

Δ/νση Δ/θμιας Εκπ/σης Δυτικής Θεσσαλονίκης

2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 17 – 06 - 2016

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 2016

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ: Α

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑ 1Ο

Α. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β να αποδειχθεί ότι

Πότε ισχύει η ισότητα; (15 μονάδες)

Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις αν είναι σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).

1) Αν για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω είναι , τότε είναι ξένα μεταξύ τους .

2) Αν είναι α ,β ,γ διαδοχικοί όροι μιας Αριθμητικής Προόδου τότε ισχύει

3) Αν οι ρίζες της εξίσωσης τότε ισχύουν οι σχέσεις

4) Αν είναι τότε είναι

5) Αν το τριώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα , τότε για κάθε τιμή του , παίρνει τιμές ομόσημες του συντελεστή .

(10 μονάδες)

ΘΕΜΑ 2Ο

Α. Να λυθούν οι ανισώσεις :

, , (18 μονάδες)

Β. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων (1) , (2) , (3) .

Ποιες είναι οι κοινές ακέραιες λύσεις τους; (7 μονάδες)

ΘΕΜΑ 3Ο

Δίνεται το τριώνυμο R

Α. Να αποδειχθεί ότι για κάθε τιμή του έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

Να αιτιολογήσετε γιατί οι ρίζες του είναι και ετερόσημες. (8 μονάδες)

Β. Για ποιες τιμές του R για τις ρίζες του ισχύει η σχέση (7 μονάδες)

Γ. Για

α) να βρεθούν οι ρίζες του τριωνύμου και να γραφεί ο πίνακας προσήμου του (5 μονάδες) β) να βρεθεί το πρόσημο της παράστασης (5 μονάδες)

ΘΕΜΑ 4Ο

Για τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) δύο ενδεχομένων Α , Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν:

και

Α.Από τις σχέσεις (1) και (2) να δειχθεί ότι (10 μονάδες)

Β.Αν επιπλέον δίνεται ότι να βρεθούν οι πιθανότητες :

(6 μονάδες)

Γ.Να βρεθεί η πιθανότητα να μη συμβεί κανένα από τα ενδεχόμενα Α , Β ( 5 μονάδες)

Δ.Αν το πλήθος των στοιχείων ενδεχομένου Α είναι , να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του ενδεχομένου Β.

(4 μονάδες)

Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣΟ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΠΕΡ. Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΙΑΣ ΕΚ/ΣΗΣ

ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚ/ΣΗΣ ΔΥΤ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ

3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2016

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 08/06/2016

ΤΑΞΗ Α’

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΘΕΜΑ Α

Α1 ) Αν ρίζες της εξίσωσης , να αποδειχθεί ότι:

. (Μονάδες 15)

Α2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ

1. Για κάθε 0 ισχύει: .

2. Αν θ>0 ισχύει: ΙxΙ< θ -θ

3. Η εξίσωση με Δ>0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες .

4. Η εξίσωση αx=β είναι αόριστη (έχει άπειρες λύσεις) όταν α=β=0 .

5. Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ισχύει: .

(Μονάδες 10 )

ΘΕΜΑ Β

Β1) Να λυθεί η εξίσωση: (Μονάδες 10 )

Β2) Να λυθεί η ανίσωση: (Μονάδες 10 )

Β3) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις της εξίσωσης και της ανίσωσης των (Β1) και (Β2) (Μονάδες 5 )

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η εξίσωση .

Γ1) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης (Μονάδες 10 )

Γ2) Αν η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης είναι ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου αν (δηλ. α1=x1) και η διαφορά της προόδου είναι η μεγαλύτερη ρίζα ( δηλ. ω=x2 ) , να βρείτε:

i) Τον όρο α21 και το άθροισμα S=α1+α2+….+α30 . (Μονάδες 8 )

ii) Τον φυσικό αριθμό ν , αν είναι αν=44 . (Μονάδες 7 )

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση και

Δ1) Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες , έστω , , τότε:

α) Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του λ . (Μονάδες 8 )

β) Να βρεθεί ο λ ώστε να ισχύει: (Μονάδες 7 )

Δ2) Για λ=1/3 να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και μετά να απλοποιηθεί ο τύπος της (Μονάδες 10 )

Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ

ΙΩΑΝΝΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

ΚΑΡΙΝΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΜΠΑΡΟΥΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

ΙΩΑΝΝΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΕΥΘΥΜΙΟΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Δ/ΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΔΥΤΙΚΗΣ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ

ΓΕ.Λ ΣΟΧΟΥ

Θ. ΚΑΡΑΚΟΛΗ 50

Τ.Κ.57002

Περίοδος: Μαΐου - Ιουνίου Σχολικό Έτος: 2014 – 2015

Τάξη: A Ημερομηνία: 08 / 06 / 2015

Μάθημα: ΑΛΓΕΒΡΑ Εισηγητής: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Θέματα Γραπτών Προαγωγικών Εξετάσεων

Περιόδου Μαΐου – Ιουνίου 2015

ΘΕΜΑ 1ο

Α. Aν είναι οι ρίζες της εξίσωσης να δειχθούν οι τύποι:

(15 μονάδες)

Γ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε στο γραπτό

σας αν είναι Σωστή (Σ) ή λάθος (Λ).

1.Αν είναι

2.Αν οι μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου τότε ισχύει 2β=α+γ

3.Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει ότι

4. Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο το και διαφορά ω δίνεται από τον τύπο .

5.Αν είναι

(10 μονάδες)

Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι .

Α.Να βρεθεί ο πρώτος όρος της και η διαφορά της προόδου ω.

(8 μονάδες)

Β.Αν είναι ,

α) να βρεθεί ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με το 340; (8 μονάδες)

β) να βρεθεί το άθροισμα των 200 πρώτων όρων της προόδου.

(8 μονάδες)

ΘΕΜΑ 3ο

Α. α) Να λυθεί η ανίσωση : (5 μονάδες)

β) Να λυθεί η ανίσωση : (5 μονάδες)

γ) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων (1) και (2) (5 μονάδες)

Β.Να λυθεί η εξίσωση (10 μονάδες)

ΘΕΜΑ 4ο

Δίνεται η εξίσωση (1)

Α.Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου k για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. (10 μονάδες)

Β.Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1) για k=6

α) Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο

των ριζών της (1) (4 μονάδες)

β) Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης (6 μονάδες)

β) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες όπου (5 μονάδες)

Κ α λ ή ε π ι τ υ χ ί α!!!

Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

ΘΕΜΑ 2ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΠΕΡ. Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΔΥΤΙΚΗΣ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ

ΚΑΛΛΙΤΕΧΝΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ-ΛΥΚΕΙΑΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΩΝ

Σχολικό έτος: 2015 – 2016

Εξεταστική περίοδος: ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ

Τάξη: Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Εξεταζόμενο μάθημα ΑΛΓΕΒΡΑ

Εισηγητές: …ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΔΟΥ

Μενεμένη 17 ΜΑΙΟΥ 2016

ΘΕΜΑΤΑ

Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων

Απάντησε σε όλα τα θέματα. Διάρκεια εξέτασης: δύο (2) ώρες. Δυνατή αποχώρηση: μια (1) ώρα μετά την έναρξη της εξέτασης. Όλες οι απαντήσεις να δοθούν στα φύλλα των απαντήσεων.

ΘΕΜΑ 1ο

Α Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λανθασμένες

1) Εάν α,β Є Ŗ με α<β , τότε 1/α >1/β

2) | 0(-2) - 2|= -2

3) |χ2 – χ +1| = χ2 – χ +1

4) Εάν α , β , γ είναι πραγματικοί αριθμοί και διαδοχικοί όροι μιας Γεωμετρικής προόδου, τότε ισχύει : β2 =αγ

5) √α . √β = √αβ , όπου α,β › 0 (10 ΜΟΡΙΑ)

Β Εάν χ1 , χ2 είναι οι δύο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης αχ2 + βχ + γ = 0 με α≠0 , να υπολογίσετε το άθροισμα τους S = χ1 + χ2 και το γινόμενο τους P = χ1χ2 . Ποιά μορφή παίρνει τότε η εξίσωση ; (15 ΜΟΡΙΑ)

ΘΕΜΑ 2ο

Εάν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύουν ότι :

2 ≤ α ≤ 4 και -4 ≤ β ≤ -3

Να υπολογίσετε τα όρια μεταξύ των οποίων κυμαίνεται η τιμή της παράστασης

Κ = α2 - 2β (25 ΜΟΡΙΑ)

ΘΕΜΑ 3ο

Να αποδείξετε ότι : α) Α = √5 √5-√5 √5+√5 = 10 και Β = √3/√5-√3 + √5/√5+√3 = 4

(10 ΜΟΡΙΑ)

β) Να σχηματίσετε εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς Α και Β.

(10 ΜΟΡΙΑ)

γ) Να βρεθεί η διακρίνουσα Δ της αντίστοιχης εξίσωσης. (5 ΜΟΡΙΑ)

ΘΕΜΑ 4ο

1. Να λύσετε την ανίσωση : |χ2 - 8χ + 16 | ≤ 1 (15 ΜΟΡΙΑ)

2. Να βρείτε το είδος της προόδου που σχηματίζουν οι ακέραιες λύσεις της ανίσωσης με πρώτο όρο την μικρότερη τιμή . Ποιος είναι ο εικοστός όρος, α20 ; (5 ΜΟΡΙΑ)

3. Να υπολογισθεί το άθροισμα των είκοσι πρώτων όρων της προόδου. (5 ΜΟΡΙΑ)

Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΔΟΥ ΑΝΤΙΟΠΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΔΥΤΙΚΗΣ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ

3ο ΓEΛ ΕΧΕΔΩΡΟΥ

ΚΑΛΟΧΩΡΙ 02/06/ 2016

ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ : 2015 – 2016

ΤΑΞΗ : Α΄

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ – ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2016

ΜΑΘΗΜΑ : ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : ΧΑΤΖΗΜΑΝΩΛΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ

ΘΕΜΑ 1ο:

(Α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες (Σ-Λ) τις παρακάτω προτάσεις:

(i) Αν θ>0, τότε . (2 μον.)

(ii)Αν θ>0, τότε . (2 μον.)

(iii)Ο γενικός όρος μιας γεωμετρικής προόδου δίνεται από τον τύπο αν=α1λν1. (2 μον.)

(iv)Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου δίνεται από τον τύπο . (2 μον.)

(v)Για θετικούς αριθμούς α και β και ν φυσικό και θετικό αριθμό ισχύει η ισοδυναμία . (2 μον.)

(Β) Να αποδείξετε ότι . (15 μον.)

ΘΕΜΑ 2ο:

(Α)Να λύσετε την εξίσωση . (12 μον.)

(Β)Να λύσετε την ανίσωση . (13 μον.)

ΘΕΜΑ 3ο: Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν): 4, 9, 14, 19, …

(i)Να υπολογίσετε τη διαφορά ω της αριθμητικής προόδου (αν).

(4 μον.)

(ii)Να γράψετε το γενικό τύπο της αριθμητικής προόδου (αν) . (6 μον.)

(iii)Να υπολογίσετε το άθροισμα των 100 πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν). (7 μον.)

(iv)Να λύσετε την εξίσωση 2x4(α521)x22=0 όπου α5 είναι ο 5ος όρος της αριθμητικής προόδου (αν). (8 μον.)

ΘΕΜΑ 4ο: Δίνονται οι συναρτήσεις και, όπου λ ένας πραγματικός αριθμός με λ3.

(Α) Να δείξετε ότι:

(i)ισχύει για κάθε xR. (4 μον.)

(ii) οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν δύο σημεία τομής για κάθε πραγματικό αριθμό λ, με λ3. (5 μον.)

(Β) Να βρείτε τον αριθμό λ, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να διέρχεται από το σημείο Α(2,4). (3 μον.)

(Γ) Για να βρείτε:

(i)το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x΄x.

(3 μον.)

(ii)τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y΄y.

(4 μον.)

(iii)τις τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x΄x. (6 μον.)

Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα.

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣΟ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΑΞΗ Α΄

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015 - 2016

Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΔΥΤΙΚΗΣ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ ΚΥΜΙΝΑ 24 – 05 - 2016

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΞΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2016

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: ΚΑΡΥΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

ΚΑΜΠΟΣΑΚΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Για τους πραγματικούς αριθμούς α και β να αποδείξετε ότι ισχύει:

(Μονάδες 13)

Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος

1. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει:

1. Αν και μ , ν θετικοί ακέραιοι αριθμοί, τότε ισχύει:

1. Η εξίσωση είναι αδύνατη.

1. Αν θ > 0 , τότε

1. Αν α , β , γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ισχύει:

1. Αν γ < 0 , τότε:

(Μονάδες 12)

ΘΕΜΑ Β

Β1. Να λύσετε την ανίσωση: (Μονάδες 12)

Β2. Για -2 < χ < 4 να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση:

(Μονάδες 13)

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με όρους και

Γ1. Να αποδείξετε ότι και ω = 4 , όπου ο πρώτος όρος της προόδου και ω η διαφορά της προόδου. (Μονάδες 9)

Γ2. Να βρείτε ποιος όρος της προόδου ισούται με 98. (Μονάδες 8)

Γ3. Να υπολογίσετε το άθροισμα: (Μονάδες 8)

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η εξίσωση

Δ1. Να δείξετε ότι (Μονάδες 8)

Δ2. Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. (Μονάδες 8)

Δ3. Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

(Μονάδες 9)

Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα

Όλες οι απαντήσεις να γραφούν στην κόλλα των εξετάσεων

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

ΚΑΡΥΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΡΥΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

ΚΑΜΠΟΣΑΚΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ

& ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ. ΔΥΤ.ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΚΑΡΠΙΑΣ

Δ/νση: Παλαιών Πατρών Γερμανού 1,Τ.Κ.:56429

ΤΗΛ. 2310685630

Σχολικό έτος : 2015 – 2016

Εξετ. Περίοδος : Μαΐου –Ιουνίου 2016

Τάξη : A΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μάθημα : ΑΛΓΕΒΡΑ

Εισηγητές : Ζουναρέλης Δημήτρης

Μάστορης Αθανάσιος

Σέντερης Πασχάλης

Θεσσαλονίκη 02/06/2016

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Στα α,β,γ να σημειώσετε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ):

α) Αν α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε θα ισχύει

β) Αν ισχύει 0<α<1 τότε θα ισχύει α2<α3

γ) Ισχύει ότι με xR

δ) Για κάθε α<0 ισχύει

i.

ii.

iii. α2+1<0

iv.

επιλέξτε ποια είναι η σωστή απάντηση

ε) Δίνεται το τριώνυμο f(x)=αx2+βx+γ με α<0 και ρίζες x1, x2 με x1< x2 και ο άξονας των πραγματικών αριθμών

Ισχύει ότι f(x)>0. Να επιλέξετε μια από τις παρακάτω απαντήσεις ως λύση της ανίσωσης

i.

ii.

iii.

iv.

v.

Μονάδες 2x5=10

Α2. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα S και το γινόμενο Ρ των ριζών x1, x2 της εξίσωσης αx2+βx+γ=0 με α δίνεται από τους τύπους

S= x1+ x2= P = x1 x2 =

Μονάδες 6+9

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται τα τριώνυμα

f(x)= και g(x)= -x2 + 4

Β1) Να λυθεί η ανίσωση f(x)>0

Μονάδες 10

Β2) να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

h(x)= και να γίνει απλοποίηση της h(x).

Μονάδες 3+3

Β3) Να λυθεί η ανίσωση: (2x-6)2- 6+8

Μονάδες 9

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η αριθμητική πρόοδος 2,6,10,14……..

Γ1) Να υπολογίσετε το α1 το ω και το άθροισμα

Σ= 2+6+10+14+…..+202

Μονάδες 2+4=6

Γ2) Αν ω είναι η διαφορά της παραπάνω Αριθμητικής προόδου τότε να αποδείξετε ότι:

+ = 4

Μονάδες 5

Γ3) Δίνεται η εξίσωση :

η οποία έχει άπειρες λύσεις για κάθε x.

Να βρεθούν οι τιμές του κ καθώς και τα α,β.

Μονάδες 7+7=14

ΘΕΜΑ Δ

Δίνονται τα τριώνυμα:

f(x) =2x2+3x-5 και

g(x) = x2- (2α+ 5)x-9

Δ1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g(x) = 0 έχει πάντοτε δύο ρίζες πραγματικές και άνισες

Μονάδες 6

Δ2) Δίνονται οι αριθμοί f(2), -g(1) , οι οποίοι είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Να βρεθεί το α.

Μονάδες 8

Δ3) Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g για κάθε x.

Μονάδες 11

Καλή Επιτυχία !!!

Ο Διευθυντής Οι Εισηγητές

Ζουναρέλης Δημήτρης

Σέντερης Πασχάλης Μάστορης Αθανάσιος

Σέντερης Πασχάλης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΥΟΣΜΟΣ 17/05/2016

ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ: 2015-2016

ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΑΞΗ: A

Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΔΥΤΙΚΗΣ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓEΛ ΔΙΑΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΥΟΣΜΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2016

ΘΕΜΑ 1ο

Α. Δίνεται το τριώνυμο αχ2 + βχ + γ = 0 ,α ≠ 0

1. Να γράψετε τους τύπους της Διακρίνουσας ( Δ ) και των ριζών χ1 , χ2 του τριωνύμου.

2. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ριζών ισούται με S = χ1 + χ2 = - και το γινόμενο των ριζών ισούται με Ρ= χ1 χ2 = . ( Μονάδες 5 + 10=15)

Β. Να συμπληρώσετε (αντιστοιχίσετε ) τον πίνακα στο φύλλο εξέτασης.

Στήλη Α- Εξίσωση

Στήλη B – Πλήθος Λύσεων

A. χ − 1 = 3

1. Καμία

B. χ2= x

2. Μία

Γ. χ2 + 5 = 0

3. Δύο

Δ. χ − 5 = − 5 + χ

4. Τρεις

E. x(x-1)(x+11)=0

5. Άπειρες

(Μονάδες 2Χ5=10 )

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται η αριθμητική πρόοδος ( αν ) με α1=5 και α6- α5=4

Να υπολογίσεις : α ) την διαφορά ω της προόδου (Μονάδες 5)

β ) τον α16 (Μονάδες 10)

γ ) το S20 (Μονάδες 10)

ΘΕΜΑ 3ο

α) Να λύσεις την ανίσωση : (Μονάδες 10)

β) Να λύσεις την ανίσωση : (Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων σε μορφή διαστημάτων .(Μονάδες 5)

ΘΕΜΑ 4ο

α ) Δίνεται το τριώνυμο f(χ)=χ2-6χ+λ-3 με λ Є R .

1) Να υπολογίσεις τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου .. (Μονάδες 7)

2 ) Να βρεις τις τιμές του λ για τις οποίες το τριώνυμο έχει δυο άνισες και πραγματικές ρίζες. (Μονάδες 8)

β ) Δίνεται οι συναρτήσεις με τύπο : , και

Να βρεις το πεδίο ορισμού τους. (Μονάδες 2χ5=10)

Ο Διευθυντής Οι Εισηγητές

ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ Χρήστος.

ΚΑΛΦΟΠΟΥΛΟΥ ΑΙΚατερίνη..

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2015-2016 . ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙO ΧΑΛΑΣΤΡΑΣ ΠΕΡΙΟΔΟΣ :ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2016

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΑΞΗ: Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ:

ΘΕΜΑ1ο

Α.Να δείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει : .

Μονάδες 15

Β.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα σας " Σωστό" ή "Λάθος" δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Η απόσταση των αριθμών α και β ισούται με .

β. Τρείς αριθμοί α, β και γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν 2β=α+γ.

γ. Αν α0 η εξίσωση αx=0 είναι αδύνατη.

δ. Aν ρ Є R με ρ>0 και x Є R, τότε ισχύει η ισοδυναμία: .

ε.Το τριώνυμο αx2+βx+γ, α0 με Δ>0 και x1, x2 ρίζες είναι ετερόσημο του α, μόνο για τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ2ο

α. Να λυθεί η ανίσωση .

Μονάδες 10

β. Να λυθεί η ανίσωση .

Μονάδες 10

γ. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων και να τις γράψετε σαν ένωση διαστημάτων.

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ3ο

Δίνεται η εξίσωση x2+(λ–2)x–2λ=0 , λ Є R (1).

α. για ποιες τιμές του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

Μονάδες 8

β. αν λ–2 και x1, x2 οι ρίζες της εξίσωσης (1) να βρεθούν τα x1+x2 και x1x2 συναρτήσει του λ.

Μονάδες 6

γ. να βρεθούν οι τιμές του λ που επαληθεύουν την εξίσωση x12x2 = 6 – x1x22

Μονάδες 11

ΘΕΜΑ4ο

Δίνεται η συνάρτηση

f(x)= .

α. να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f.

Μονάδες 12

β. Να δείξετε ότι f(0)= – και f(5)= .

Μονάδες 6

γ. Να δείξετε ότι .

Μονάδες 7

ΧΑΛΑΣΤΡΑ 10-6-2016

Ο Δ/ΝΤΗΣΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ

ΘΕΜΑΤΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΠΕΡ. Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ - Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

Δ/ΝΣΗ Δ.Ε. ΔΥΤΙΚΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Σχολ. Έτος 2015 - 2016

Θεσσαλονίκη 13 / 6 /2016

1Ο ΓΕΝ. ΛΥΚ. ΕΥΟΣΜΟΥ

Θάλειας & Νεμέας

Τ.Κ. 56224- ΕΥΟΣΜΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Τηλ: 2310768147

ΘΕΜΑΤΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ

ΤΑΞΗ: Α΄

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: ΑΛΤΑΝΤΖΗΣ Κ, ΚΑΤΣΙΚΙΝΗ Σ, ΣΤΑΜΕΛΟΣ ΟΔ, ΦΡΑΓΚΟΥ Μ,ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΙΔΗΣ Γ

ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΙΔΗΣ Γ.

Θ Ε Μ Α Α (Μονάδες: Α1. 3x2 – Α2. 4 – Α3. 15)

Α1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος

1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει δύο οξείες γωνίες

2. Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι ίση με το άθροισμα των βάσεών του.

3. Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία

Α2. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με ένα στοιχείο της στήλης (Β)

Στήλη Α

Στήλη Β

Το σύνολο των σημείων του επιπέδου που:

α. Ισαπέχουν από τα άκρα ενός τμήματος ΑΒ

β. Ισαπέχουν από δύο παράλληλες ευθείες

γ. Απέχουν απόσταση ρ από ένα σημείο Κ

δ. Ισαπέχουν από τις πλευρές μιας γωνίας

Είναι:

1. Ο κύκλος (Κ , ρ)

2. Η διχοτόμος της γωνίας

3. Η μεσοκάθετη του τμήματος

4. Ο κύκλος διαμέτρου ΑΒ

5. Η μεσοπαράλληλη

6. Το τόξο κύκλου

Α3. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρνουμε από την κορυφή της ορθής

γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θ Ε Μ Α Β (Μονάδες: Β1. 8 – Β2. 8 – Β3. 9)

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ.

Η κάθετη στο μέσο Κ της πλευράς ΑΒ τέμνει

την ΑΓ στο σημείο Η και την προέκταση της

πλευράς ΒΓ στο Δ , ενώ η κάθετη στο μέσο Λ

της πλευράς ΑΓ τέμνει την ΑΒ στο Ζ και την

προέκταση της ΓΒ στο Ε. Να αποδείξετε ότι:

Β1. Τα τρίγωνα ΒΚΔ και ΓΛΕ είναι ίσα

και να γράψετε τα ίσα στοιχεία τους

Β2. ΑΔ = ΑΕ

Β3. Τα τρίγωνα ΒΖΕ και ΓΔΗ είναι ίσα

Θ Ε Μ Α Γ (Μονάδες: Γ1. 7 – Γ2. 5 – Γ3. 7 – Γ3. 6)

Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος

είναι τραπέζιο με ΑΒ // ΓΔ , = 900 και ΑΒ = 6.

Αν η διάμεσος ΕΖ του τραπεζίου τέμνει την ΒΔ

στο σημείο Η έτσι ώστε το τετράπλευρο ΑΒΖΗ

να είναι ρόμβος τότε:

Γ1. Να υπολογίσετε τα τμήματα ΕΗ και ΓΔ

Γ1. Να αποδείξετε ότι η γωνία ΑΔΒ είναι 300

Γ3. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΓΔ είναι ισόπλευρο

Γ4. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου

Θ Ε Μ Α Δ (Μονάδες: Δ1. 5 – Δ2. 7 – Δ3. 8 – Δ3. 5)

Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ

είναι παραλληλόγραμμο με ΑΒ = 2ΒΓ.

Τα σημεία Ε , Ζ είναι τα μέσα των πλευρών

ΑΒ και ΓΔ και το τμήμα ΔΗ είναι κάθετο

στο τμήμα ΒΗ. Να αποδείξετε ότι:

Δ1. Η ΔΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Δ

Δ2. Το ΒΕΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο

Δ3. Το τρίγωνο ΔΕΗ είναι ισοσκελές

Δ4. Η γωνία ΔΕΓ είναι ορθή

Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2015-2016 . ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙO ΧΑΛΑΣΤΡΑΣ ΠΕΡΙΟΔΟΣ :ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2016

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΤΑΞΗ: Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ:

ΘΕΜΑ1ο

Α.Να δείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της.

Μονάδες 15

Β.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα σας " Σωστό" ή "Λάθος" δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη.

β. κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου ισούται με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών του γωνιών.

γ. ορθόκεντρο ενός τριγώνου είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του.

δ. οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι ίσες.

ε.το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου

είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ2ο

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (=90ο). Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Δ. Φέρουμε τμήμα ΔΕ κάθετο στην πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι:

α. ΒΕ=ΑΒ.

Μονάδες 12

β. Αν επιπλέον ΒΑ=55ο, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΓΔΕ.

Μονάδες 13

ΘΕΜΑ3ο

Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με κέντρο το σημείο Ο. Στην προέκταση της ΑΒ θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο, ώστε ΒΕ=ΑΒ.

Να αποδείξετε ότι:

α. οι ευθείες ΓΕ και ΒΔ είναι παράλληλες.

Μονάδες 7

β. ΒΟ=ΕΓ.

Μονάδες 8

γ. η γωνία ΑΕ είναι ορθή.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ4ο

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90ο) και Δ, Ε και Ν τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ και ΔΕ αντίστοιχα. Στην πλευρά ΒΓ θεωρούμε σημεία Κ και Λ ώστε ΔΚ=ΚΒ και ΕΛ=ΛΓ. Να αποδείξετε ότι:

α. ΔΛ=2 και ΕΚ=2.

Μονάδες 10

β. Το τετράπλευρο ΔΕΛΚ είναι παραλληλόγραμμο.

Μονάδες 8

γ. ΑΝ= .

Μονάδες 7

ΧΑΛΑΣΤΡΑ 26-5-2016

Ο Δ/ΝΤΗΣΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΠΕΡ. Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΙΑΣ ΕΚ/ΣΗΣ

ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚ/ΣΗΣ ΔΥΤ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ

3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2016

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 08/06/2016

ΤΑΞΗ Α’

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΘΕΜΑ Α

Α ) Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο με την τρίτη πλευρά και ισούται με το μισό της. (15 μ)

Β) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ

1. Κάθε σημείο που ισαπέχει από τις πλευρές μιας γωνίας ανήκει στη διχοτόμο της.

2. Δύο τρίγωνα με ίσες περιμέτρους είναι ίσα.

3. Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο έχει μία γωνία ίση με 45⁰.

4. Αν ένα τετράπλευρο έχει δύο πλευρές παράλληλες είναι παραλληλόγραμμο.

5. Ένα τετράπλευρο μπορεί να έχει κάθετες διαγώνιους και να μην είναι ρόμβος. (10 μ)

ΘΕΜΑ Β

Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ κατά ίσο τμήμα ΜΔ. Να αποδείξετε ότι

Α) ΑΜΒ=ΓΜΔ (12 μ)

Β) ΑΒΓ=ΒΓΔ (13 μ)

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με . Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας που τέμνει την ΑΓ στο Δ και τη διχοτόμο της γωνίας που τέμνει την ΑΒ στο Ε (Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα).

Α) Αν οι διχοτόμοι τέμνονται στο Ι να δείξετε ότι (12 μ)

Β) (13 μ)

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται τυχαία γωνία και Α εσωτερικό της σημείο. Φέρνω την ΑΒ κάθετη στην Οx και την ΑΓ κάθετη στην Oy. Αν Μ μέσο της ΟΑ και Ν μέσο της ΒΓ να αποδειχθεί

Α) ΜΓ=ΜΒ (13 μ)

Β) Η ΜΝ είναι κάθετη στην ΒΓ (12 μ)

Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ

ΚΑΡΙΝΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΜΠΑΡΟΥΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

ΙΩΑΝΝΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΕΥΘΥΜΙΟΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΑΞΗ Α΄

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015 - 2016

Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΔΥΤΙΚΗΣ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ ΚΥΜΙΝΑ 26 – 05 - 2016

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΞΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2016

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΚΑΡΥΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές της είναι σημείο της διχοτόμου.

(Μονάδες 13)

Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος

1. Δύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές ίσες είναι πάντοτε ίσα.

2. Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα.

3. Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοί του είναι ίσες.

4. Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

5. Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες, αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.

6. Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος αν είναι παραλληλόγραμμο και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες.

(Μονάδες 12)

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Από σημείο Α εκτός του κύκλου, φέρουμε τα

εφαπτόμενα τμήματα ΑΒ και ΑΓ. Τα σημεία Ε και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία

των Β και Γ αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι:

Β1. Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα. (Μονάδες 13)

Β2 Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 12)

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ . Η ΑΜ τέμνει την προέκταση της ΔΓ στο Ε. Να αποδείξετε ότι:

Γ1. ΓΔ = ΓΕ (Μονάδες 10)

Γ2. το τρίγωνο ΔΒΕ είναι ορθογώνιο (Μονάδες 8)

Γ3. ΒΔ = ΒΕ (Μονάδες 7)

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με και η διχοτόμος ΒΔ της γωνίας . Από το μέσο Μ της ΑΓ φέρνουμε παράλληλη στη διχοτόμο ΒΔ που τέμνει την πλευρά ΒΓ στο Ν.

Να αποδείξετε ότι:

Δ1. Το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5)

Δ2. Το τρίγωνο ΜΝΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10)

Δ3. (Μονάδες 10)

Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα

Όλες οι απαντήσεις να γραφούν στην κόλλα των εξετάσεων

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

ΚΑΡΥΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΡΥΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΥΟΣΜΟΣ 31 /05/2016

ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ: 2015-2016

ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΑΞΗ: A

Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΔΥΤΙΚΗΣ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΓEΛ ΔΙΑΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΥΟΣΜΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2016

ΘΕΜΑ 1

Α1 . Να αποδείξετε την πρόταση : « Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το

μισό της υποτείνουσας» ( Mονάδες 15 ) .

Α2 . Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) στο φύλλο εξέτασης τις παρακάτω προτάσεις :

ΠΡΟΤΑΣΗ

Σ

Λ

1

Στο παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα και είναι ίσες.

2

Ρόμβος είναι το τετράπλευρο που έχει κάθετες διαγώνιες.

3

Σε κάθε πολύγωνο με ν – πλευρές το άθροισμα των γωνιών του είναι (2ν +4) ορθές.

4

Κάθε σημείο της διχοτόμου γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας.

5

Το ισοσκελές τρίγωνο που έχει μία γωνία του είναι ισόπλευρο

( Mονάδες 2X5=10 )

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ και ΓΑ (προς το Α) θεωρούμε τα σημεία Ε και Δ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΑΔ = ΑΕ.

Να αποδείξετε ότι:

α) ΒΕ = ΓΔ (Μονάδες 6)

β) ΒΔ = ΓΕ (Μονάδες 10)

γ) Οι γωνίες ΔΒΓ και ΕΓΒ είναι ίσες. (Μονάδες 9)

ΘΕΜΑ 3

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με μήκη πλευρών ΑΒ = 4 , ΒΓ = 2 και γωνία Δ = 80ο. Το σημείο Μ είναι το μέσο της ΑΒ και το σημείο Ν είναι το μέσο της ΔΓ.

Γ1.Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΜΓΝ είναι παραλληλόγραμμο .

Γ2.Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΔΝ .

Γ3. Να αποδείξετε ότι η ΑΝ είναι διχοτόμος της γωνίας Α του παραλληλογράμμου.

Γ4.Ν α δείξετε ότι το σημείο τομής της ΜΓ με τη ΒΝ είναι το μέσο της ΒΝ.

( Mονάδες 6+6+6+7 )

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ, τυχαίο σημείο Μ της βάσης του ΒΓ και το ύψος του ΒΗ. Από το Μ φέρουμε κάθετες ΜΔ, ΜΕ και ΜΘ στις ΑΒ, ΑΓ, και ΒΗ αντίστοιχα. Να αποδείξεις ότι:

i. Το τετράπλευρο ΜΕΗΘ είναι ορθογώνιο.

ii. ΒΘ= ΜΔ

iii. Το άθροισμα ΜΔ+ΜΕ= ΒΗ (Μονάδες 8+9+8)

Ο Διευθυντής Οι Εισηγητές

ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ X.

ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΑΛΦΟΠΟΥΛΟΥ ΑΙΚ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Γ..

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ,

Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ. ΔΥΤ. ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΚΑΡΠΙΑΣ

Δ/νση: Παλαιών Πατρών Γερμανού 1, Τ.Κ.: 56429

Τηλ.: 2310685630

Σχολικό έτος 2015 – 2016

Εξετ. Περίοδος: Μαΐου – Ιουνίου ………….

Τάξη:Α’ …………….……………………….

Μάθημα: … ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ……………

Εισηγητές:..ΣΕΝΤΕΡΗΣ ΠΑΣΧΑΛΗΣ.

……ΠΑΠΑΠΕΤΡΟΥ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ….

Θεσσαλονίκη 26 / 5 / 2016

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ).

1. Αν δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες τότε τα αποστήματα τους είναι ίσα.

2. Δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά αν η διάκεντρος ισούται με την διαφορά των ακτίνων τους.

3. Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου παραλληλογράμμου τέμνονται κάθετα.

4. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30ο, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το διπλάσιο της υποτείνουσας.

5. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές.

( 10 μονάδες )

Α2. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου ισούται με 1800.

( 15 μονάδες )

ΘΕΜΑ Β

Στο παρακάτω σχήμα, η ημιευθεία Αχ είναι παράλληλη στο ΒΓ και .

Β1. Να αποδείξετε ότι η Αχ είναι διχοτόμος της γωνίας . ( 8 μονάδες )

Β2. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. ( 9 μονάδες )

Β3. Το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς τις γωνίες είναι:

Α. Ορθογώνιο. Β. Οξυγώνιο. Γ. Αμβλυγώνιο. ( 4 μονάδες )

Β4. Το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς τις πλευρές του είναι:

Δ. Ισοσκελές. Ε. Ισόπλευρο. Ζ. Σκαληνό. ( 4 μονάδες )

ΘΕΜΑ Γ

Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με .

Η διχοτόμος της γωνίας Α τέμνει την πλευρά ΓΔ σε σημείο Ε, ενώ η διχοτόμος της γωνίας Δ τέμνει την ΑΕ σε σημείο Η και την ΑΒ σε σημείο Ζ.

Γ1. Να αποδείξετε ότι ΑΔ=ΔΕ. ( 9 μονάδες )

Γ2. Να αποδείξετε ότι ΒΓ=2ΔΗ ( 7 μονάδες )

Γ3. Να αποδείξετε ότι το ΑΖΕΔ είναι ρόμβος. ( 9 μονάδες )

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ και ΓΔ=2ΑΒ. Έστω και Μ το μέσο της ΓΔ.

Από το Α φέρνουμε παράλληλη στη ΒΜ η οποία τέμνει την προέκταση της ΓΒ στο σημείο Δ.

Στην προέκταση της ΒΓ προς την πλευρά του Γ παίρνουμε σημείο Ε, έτσι ώστε ΒΓ=ΓΕ.

Δ1. Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΜ είναι παραλληλόγραμμο.

( 6 μονάδες )

Δ2. Να αποδείξετε ότι 2ΕΜ=ΓΔ.

( 7 μονάδες )

Δ3. Να αποδείξετε ότι το ΑΒΕΜ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

( 6 μονάδες )

Δ4. Αν η ΑΜ τέμνει τη ΔΕ στο σημείο Ζ, να αποδείξετε ότι η ΜΖ είναι μεσοκάθετος του ΔΕ.

( 5 μονάδες )

Ο Διευθυντής Οι Εισηγητές

Σέντερης Πασχάλης

Παπαπέτρου Χαράλαμπος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Δ/ΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΔΥΤΙΚΗΣ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ

ΓΕ.Λ ΣΟΧΟΥ

Θ. ΚΑΡΑΚΟΛΗ 50

Τ.Κ.57002

Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου Σχολικό Έτος: 2014 – 2015

Τάξη: A Ημερομηνία: 10 / 06 / 2015

Μάθημα: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Εισηγητής: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Θέματα Γραπτών Προαγωγικών Εξετάσεων

Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2015

ΘΕΜΑ 1ο

Α. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

(15 μονάδες)

Β. Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε στο γραπτό

σας αν είναι Σωστή (Σ) ή λάθος (Λ).

(10 μονάδες)

1. Οι διαγώνιοι παραλληλογράμμου διχοτομούνται.

2. Σε κάθε ρόμβο οι διαγώνιες είναι ίσες.

3. Στο ισοσκελές τρίγωνο κάθε διάμεσος είναι ύψος και διχοτόμος.

4. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος.

5. Η διάμεσος τραπεζίου ισούται με την ημιδιαφορά των δύο βάσεων του.

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ

με ΑΒ = 2ΒΓ.

Προεκτείνουμε την ΑΔ προς το Δ κατά ίσο τμήμα ΔΕ.

Α) Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΒΔΕΓ είναι παραλληλόγραμμο.

(10 μονάδες)

Β) Να υπολογιστεί η γωνία

(5 μονάδες)

Γ) Να αποδειχθεί ότι

(10 μονάδες)

ΘΕΜΑ 3ο

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή το Α και .

Έστω τυχαίο σημείο Δ της ΒΓ.

Θεωρούμε σημείο Ε της ΑΒ τέτοιο ώστε ΒΕ=ΒΔ και σημείο Ζ της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΖ=ΓΔ.

Α) Να υπολογιστούν οι γωνίες (5 μονάδες)

Β) Να υπολογιστεί η γωνία (10 μονάδες)

Γ) Φέρουμε ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ που διέρχεται από το Α.

Η προέκταση της ΔΕ τέμνει την (ε) στο Κ και η προέκταση της ΔΖ τέμνει την (ε) στο Λ.

Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΚΔΛ είναι ισοσκελές. (10 μονάδες)

ΘΕΜΑ 4ο

Δίνεται ισοσκελές τρπέζιο ΑΒΓΔ με μικρή βάση ΑΒ=5 , μεγάλη βάση

ΓΔ=13 και γωνία .

Α)Να υπολογιστού τα μήκη της διαμέσου ΜΝ του τραπεζίου και του τμήματος που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του ΚΛ. (10 μονάδες)

Β)Αν ΑΕ και ΒΖ τα ύψη του τραπεζίου , να αποδειχθεί ότι ΔΕ=ΖΓ

(5 μονάδες)

Γ)Να βρεθεί η περίμετρος του τραπεζίου. (5 μονάδες)

Δ) Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΜΝΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

(5 μονάδες)

Κ α λ ή ε π ι τ υ χ ί α!!!

Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΠΕΡ. Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ - Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

Δ/ΝΣΗ Δ.Ε. ΔΥΤΙΚΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Σχολ. Έτος 2015 - 2016

Θεσσαλονίκη 17 / 5 /2016

1Ο ΓΕΝ. ΛΥΚ. ΕΥΟΣΜΟΥ

Θάλειας & Νεμέας

Τ.Κ. 56224- ΕΥΟΣΜΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Τηλ: 2310768147

ΘΕΜΑΤΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ

ΤΑΞΗ: Β΄

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: ΑΛΤΑΝΤΖΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ, ΜΑΚΑΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ, ΣΤΑΜΕΛΟΣ ΟΔΥΣΣΕΑΣ, ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΙΔΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΘΕΜΑ Α.

Α1. Χαρακτηρίστε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις τρεις (1,2,3) επόμενες προτάσεις:

1. Αν χ1<χ2 και χ1, χ2 θετικοί αριθμοί ισχύει: log χ1 > log χ2

2. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ = ex και ψ = lnx είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία ψ = χ

3. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε χ1, χ2 Є Δ με χ1< χ2 ισχύει:

f (χ1 )

Για κάθε μια από τις επόμενες δυο ερωτήσεις (4 & 5) επιλέξτε τις δυο σωστές ιδιότητες

4. Η συνάρτηση f(x)= ex ποιες από τις παρακάτω ιδιότητες παρουσιάζει;

α) Είναι γνησίως φθίνουσα στο R

β) Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο Α(0,1)

γ) Ισχύει f(x) < 0 για κάθε χ Є R

δ) Η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ’χ

ε) Είναι περιττή στο πεδίο ορισμού της

5. Η συνάρτηση f(x)= logχ ποιες από τις παρακάτω ιδιότητες παρουσιάζει;

α) Είναι γνησίως αύξουσα στο R

β) Έχει πεδίο ορισμού το R

γ) Παίρνει θετικές τιμές στο διάστημα (1,+∞)

δ) Είναι άρτια στο πεδίο ορισμού της

ε) Η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο (1,0)

(5χ2=10 μονάδες)

Α2. Να αποδείξετε ότι αν α>0 με α ≠ 1, τότε για οποιοδήποτε θ>0

και k є R, ισχύει: logα θk = k logα θ (15 μονάδες)

ΘΕΜΑ Β.

α) Να λύσετε την εξίσωση: 3σφχ-2ημχ = 0, με χ ≠ κπ. (15 μονάδες)

β) Ποιες από τις λύσεις της εξίσωσης βρίσκονται στο διάστημα (-2π, π) ;

(10 μονάδες)

ΘΕΜΑ Γ.

Δίνεται το πολυώνυμο P(χ) = λχ3 + (μ-1)χ2 + 2χ + 3 με ακεραίους συντελεστές. Το πολυώνυμο έχει μια αρνητική ακέραια ρίζα ρ με │ρ│≠3, ενώ διαιρούμενο με χ-1 αφήνει υπόλοιπο 6.

Γ1) Να βρείτε τους ακεραίους λ και μ (10 μονάδες)

Γ2) Αν λ=μ=1τότε:

α) Να λύσετε την εξίσωση P(χ) = 0 (5 μονάδες)

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση Ρ (χ) είναι γνησίως αύξουσα στο R (5 μονάδες)

γ) Σε ποιο διάστημα η Cp βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ’χ ; (5 μονάδες)

ΘΕΜΑ Δ.

Δίνεται η συνάρτηση f(χ) = ln

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α = (-2,2)

(10 μονάδες)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(χ) + χ ln3 =0 (5 μονάδες)

γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή στο Α (5 μονάδες)

δ) Να δείξετε ότι τα τόξα και είναι παραπληρωματικά και ισχύει f() + f()=0 (5 μονάδες)

Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2015-2016 . ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙO ΧΑΛΑΣΤΡΑΣ ΠΕΡΙΟΔΟΣ :ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2016

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΑΞΗ: Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ:

ΘΕΜΑ1ο

Α.Να αποδείξετε ότι « Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x-ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x=ρ».

Μονάδες 15

Β.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα σας " Σωστό" ή "Λάθος" δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. εφχ=εφθ x=κπ +θ, κ.

β. Η εξίσωση συνx= είναι αδύνατη.

γ. αν α>1, η συνάρτηση f(x)=αx είναι γνησίως αύξουσα.

δ. αν θ1,θ2 >0 τότε ισχύει: ln(θ1+θ2)=lnθ1 θ2.

ε.ln1=1.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ2ο

Δίνεται η παράσταση Α=, x 2κπ , κ.

α. να αποδείξετε ότι Α=1+συνx.

Μονάδες 12

β. να λύσετε την εξίσωση =.

Μονάδες 13

ΘΕΜΑ3ο

Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x)=2x3+αx2+βx+2 με α, β.

α. αν το Ρ(x) έχει παράγοντα το x-2 και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το x+1 είναι –6, να βρείτε τα α, β.

Μονάδες 12

β. αν α=–5 και β=1 να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) 0

Μονάδες 13

ΘΕΜΑ4ο

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex – 2).

α. να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

Μονάδες 7

β. να λύσετε την εξίσωση f(x)+lnex = 3ln2

Μονάδες 9

γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x)+lnex 3ln2

Μονάδες 9

ΧΑΛΑΣΤΡΑ 31-5-2016

Ο Δ/ΝΤΗΣΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ. ΔΥΤ.ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΚΑΡΠΙΑΣ

Δ/νση: Παλαιών Πατρών Γερμανού 1,Τ.Κ.:56429

ΤΗΛ. 2310685630

Σχολικό έτος : 2015 – 2016

Εξετ. Περίοδος : Μαΐου –Ιουνίου 2016

Τάξη : B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μάθημα : ΑΛΓΕΒΡΑ

Εισηγητές : Ζουναρέλης Δημήτρης

Μάστορης Αθανάσιος

Θεσσαλονίκη 31/05/2016

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑ Α

Α1α) Δίνονται οι παρακάτω γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων:

(α) (β)

Να αντιστοιχίσετε κάθε γραφική παράσταση με μια μόνο από τις συναρτήσεις

1.

2.

3.

4.

Μονάδες 2

β) Να σημειώσετε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) για τις παρακάτω προτάσεις

1. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x-ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x=ρ είναι δηλαδή υ= Ρ(ρ).

2. Αν x>0 τότε ισχύει

3. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδήποτε x1, x2 ∈Δ με x1< x2 ισχύει f(x2)

Μονάδες 6

γ) Αν θ1,θ2 > 0 τότε ℓn(θ1·θ2) είναι ίσο με:

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση

1. ℓnθ1 - ℓn θ2

2. θ1·θ2

3. ℓnθ1 + ℓn θ2

4. θ1 · ℓn θ2

Μονάδες 2

Α2. Αν α>0 με α≠1 , θ>0 και