SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016

MS 53

Korelasi Kendall (τ) untuk Estimasi Parameter

Distribusi Clayton-copula Bivariat

Apriliana Wiji Nurcahyani, Dewi Retno Sari Saputro, dan Nughthoh Arfawi Kurdhi

Program Studi Matematika (FMIPA, Universitas Sebelas Maret (UNS))

aprilianawn@gmail.com

Abstrak— Untuk membentuk fungsi distribusi bersama dari dua variabel random

yang berdistribusi ekstrem diperlukan fungsi penghubung. Fungsi penghubung

tersebut adalah copula. Copula dibagi ke dalam beberapa kelas, salah satunya

Clayton-copula. Copula juga dapat digunakan untuk menjelaskan korelasi dari dua

variabel random. Sedangkan untuk mengetahui korelasi antara dua variabel random

digunakan korelasi Kendall (τ). Korelasi Kendall (τ) digunakan karena terdapat

perbedaan antara peluang konkordan dan diskordan untuk dua variabel random yang

dependen. Tujuan penelitian ini untuk estimasi parameter parameter distribusi

Clayton-copula bivariat dengan korelasi Kendall (τ). Hasil dari estimasi parameter

pada distribusi Clayton-copula bivariat dengan korelasi Kendall (τ) adalah

.

Kata kunci: Estimasi parameter, Korelasi Kendall (τ), Distribusi Clayton-copula

I. PENDAHULUAN

Fungsi distribusi bersama diperlukan dalam menyelesaikan permasalahan yang mempunyai dua atau

lebih variabel random baik dalam ruang sampel yang sama atau berbeda. Fungsi distribusi bersama dapat

dibentuk dari beberapa variabel random independen, namun dalam beberapa kasus ditemukan pula

variabel random dependen. Oleh karena itu digunakan copula. Referensi [1] menyebutkan bahwa copula

adalah fungsi distribusi bersama multivariat yang dapat dibentuk hanya menggunakan informasi dari

distribusi marginal variabel random dependen.

Dalam suatu penelitian, asumsi kenormalan suatu data harus dipenuhi karena dapat memudahkan

dalam menentukan fungsi distribusi bersamanya sehingga memudahkan untuk estimasi parameternya.

Peran copula akan menjadi penting ketika data mempunyai distribusi tidak normal, sehingga tetap dapat

dilakukan estimasi parameter tanpa mengabaikan asumsi ketidaknormalan distribusinya. Data yang

bersifat tidak normal mengandung nilai ekstrem. Oleh karena itu, copula digunakan ketika data

mempunyai nilai ekstrem dan tidak normal. Namun, penelitian menggunakan copula masih belum banyak

dilakukan.

Referensi [2] menyebutkan bahwa keluarga copula dibagi menjadi tiga yaitu elliptical copula,

archimedean copula, dan Marshall-Olkin-copula. Keluarga elliptical copula merupakan copula dari

distribusi elips. Terdapat dua tipe copula yang termasuk dalam kelas elliptical copula yaitu gaussian

copula dan student-t copula. Archimedean copula terdiri dari tiga kelas yaitu Frank-copula, Gumbel-

copula, dan Clayton-copula. Archimedean copula paling banyak digunakan dalam kasus bivariat. Hal ini

disebabkan karena kemudahan dalam menentukan fungsi copulanya dan kelas dalam archimedean copula

mempunyai fungsi pembangkit yang berbeda-beda.

Fungsi pembangkit archimedean copula adalah kontinu, monoton turun, memiliki fungsi dengan . Nilai dari untuk dan untuk

. Fungsi adalah copula bivariat dan disebut archimedean

copula bivariat dengan fungsi pembangkit ϕ seperti pada [3]. Penelitian yang pernah dilakukan oleh [4]

adalah Clayton-copula pada financial market risk management. Pada penelitian tersebut, digunakan

gabungan dari dua kelas archimedean copula yaitu Clayton-copula dan Gumbel-copula. Referensi [5]

menyebutkan bahwa Clayton-copula lebih cocok digunakan untuk data hidrologi. Clayton-copula lebih

menitikberatkan pada distribusi multivariat dengan struktur implisit yang dependen. Penelitian financial

market risk management mengindikasikan bahwa Clayton-copula dan Gumbel-copula dapat digunakan

dalam mengestimasi nilai ekstrem.

Referensi [3] menyebutkan bahwa terdapat dua perilaku ekor dependen yaitu ekor dependen atas

(upper tail dependence) dan ekor dependen bawah (lower tail dependence). Ekor dependen atas dapat

S - 9

ISBN 978-602-73403-1-2

MS 54

didekati dengan distribusi Gumbel-copula dan ekor dependen bawah dapat didekati dengan distribusi

Clayton-copula. Dalam penelitian yang dilakukan oleh [4] estimasi yang digunakan untuk fungsi distribusi Clayton-

copula dan Gumbel-copula adalah maximum likelihood estimation (MLE). Copula juga dapat digunakan untuk menjelaskan korelasi dari suatu distribusi seperti pada [6]. Referensi [7] menyebutkan bahwa korelasi Kendall (τ) dapat digunakan untuk mengkonstruksi parameter kelas Clayton-copula dan Gumbel-copula. Dalam konsep korelasi Kendall (τ) dikenal dengan adanya istilah konkordan dan diskordan.

Misalkan dan menyatakan dua observasi dari vektor variabel random kontinu

. Observasi dan dikatakan konkordan apabila

dan dikatakan diskordan apabila . Kelebihan korelasi Kendall (τ) adalah tidak

terpengaruh oleh nilai-nilai outlier dan dapat digunakan meskipun bentuk hubungan antara variabel random tidak bersifat linear. Referensi [8] menyatakan bahwa korelasi Kendall (τ) merupakan salah satu korelasi yang sesuai untuk mengestimasi parameter distribusi Clayton-copula. Oleh karena itu, pada penelitian ini dikaji ulang estimasi parameter distribusi Clayton-copula dengan korelasi Kendall (τ) dengan rumusan masalah adalah bagaimana mengestimasi parameter distribusi Clayton-copula bivariat dengan korelasi Kendall (τ). Tujuan penelitian ini untuk mengestimasi parameter distribusi Clayton-copula bivariat dengan korelasi Kendall (τ) dan manfaat dari penelitian ini adalah menambah pengetahuan tentang copula pada nilai ekstrem dan estimasi parameter distribusi Clayton-copula bivariat dengan korelasi Kendall (τ).

II. METODE PENELITIAN

Penelitian ini merupakan penelitian teori dengan estimasi parameter distribusi Clayton-copula bivariat.

Berikut adalah langkah-langkah estimasi parameter distribusi Clayton-copula menggunakan korelasi

Kendall ( ).

a. Menentukan fungsi pembangkit distribusi Clayton-copula.

b. Menentukan turunan pertama fungsi pembangkit distribusi Clayton-copula.

c. Mensubstitusi fungsi pembangkit distribusi Clayton-copula ke persamaan

(1)

d. Menghitung nilai

e. Mensubstitusi hasil perhitungan

ke (1).

f. Menghitung nilai

g. Mensubstitusikan hasil integral ke (1).

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Archimedean Copula Bivariat

Copula dapat digunakan untuk mengetahui korelasi dari suatu distribusi. Ukuran korelasi yang dikenal

antara lain korelasi linear Pearson, korelasi rank (rank correlation), dan koefisien kebergantungan ekor

(coefficient of tail dependence). Referensi [6] menyebutkan bahwa korelasi rank dan koefisien

kebergantungan ekor digolongkan sebagai korelasi yang berbasis copula. Copula berperan dalam

menggabungkan struktur depedensi untuk membentuk distribusi bersama dua variabel random U1 dan U2.

Dependensi dalam konteks ini dapat dianggap dari kejadian ekstrem. Copula dengan variabel random

yang memiliki nilai ekstrem termasuk ke dalam keluarga archimedean copula. Secara umum fungsi

distribusi archimedean copula didefinisikan dalam persamaan

. (2)

Dalam penelitian ini digunakan dua variabel random dengan dua fungsi pembangkit sehingga menurut

[3], fungsi distribusi archimedean copula bivariat dinyatakan sebagai berikut

, (3)

dengan adalah fungsi pembangkit pada variabel random pertama dan adalah fungsi

pembangkit pada variabel random kedua.

B. Distribusi Clayton-copula

Distribusi Clayton-copula merupakan fungsi distribusi gabungan dari dua variabel random yang

berdistibusi Clayton. Fungsi distribusi archimedean copula bivariat dibutuhkan untuk membentuk

distibusi bersama tersebut. Fungsi distribusi archimedean copula bivariat dinyatakan pada (3) dengan

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016

MS 55

dan

merupakan fungsi pembangkit dari Clayton-copula pada

variabel random dan serta sebagai parameternya. Fungsi distribusi bersama Clayton-copula

bivariat dengan variabel random dan diperoleh dengan mensubstitusi fungsi pembangkit Clayton-

copula masing-masing variabel random dan ke (3) sehingga diperoleh

dengan merupakan inverse dari fungsi pembangkit variabel random dan pada distribusi

Clayton-copula bivariat. Untuk memperoleh inverse fungsi pembangkit dengan mengubah persamaan

menjadi bentuk u sebagai fungsi dari y, hasil perubahan bentuk u menjadi fungsi y dinamakan

sebagai , selanjutnya mengubah y menjadi u.

sehingga inverse dari adalah

(4)

Berdasakan fungsi inverse pada (4) diperoleh

Dengan demikian distribusi Clayton-copula bivariat dinyatakan sebagai

(5)

selanjutnya parameter pada (5) diestimasi menggunakan korelasi Kendall ( ).

C. Pembuktian Ekor Dependen

Fungsi distribusi Clayton-copula bivariat pada (5) memiliki ekor dependen bawah yang berarti bahwa

dan

, dengan pembuktian sebagai berikut

ISBN 978-602-73403-1-2

MS 56

dan untuk

misalkan diperoleh

D. Estimasi Parameter Distribusi Clayton-copula

Menurut Genest dan Rivers (1993) dalam [9], untuk mengestimasi parameter menggunakan observasi

nilai Kendall (τ) pada distribusi Clayton-copula dapat dihitung menggunakan (1) dengan fungsi

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016

MS 57

pembangkit yang digunakan adalah

. Langkah pertama adalah menentukan turunan

pertama fungsi pembangkitnya yaitu

Setelah diperoleh turunan pertama fungsi pembangkitnya, fungsi pembangkit dan turunan pertamanya

disubstitusi pada (1). Langkah kedua adalah menghitung nilai

dan diperoleh

Langkah berikutnya adalah mensubstitusi (6) ke (1) dan diperoleh

Kemudian dilakukan pengintegralan parsial pada (7) ruas kanan suku kedua yaitu

Untuk memperoleh estimasi parameter pada (5), (8) disubstitusi ke (7) sehingga diperoleh

ISBN 978-602-73403-1-2

MS 58

Dari (9) diperoleh estimasi parameter distribusi Clayton-copula bivariat yaitu

IV. SIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan yaitu estimasi paremeter distribusi Clayton-

copula dengan korelasi Kendall ( ) adalah

Estimasi parameter yang dilakukan pada penelitian ini hanya menggunakan dua variabel random dan korelasi Kendall ( ). Sedangkan metode untuk mengestimasi parameter tidak hanya korelasi Kendall ( ) sehingga disarankan bagi penelitian selanjutnya menggunakan metode yang lain untuk membandingkan estimasinya.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Zimmer, D. M. and P. K. Trivedi, “Using Triviate Copulas to Model Sample Selection and Treatment Effect: Application to

Family Healt Care Demand,” Journal of Business and Economic Statistics, vol. 24, no. 1, pp. 63-67, 2006.

[2] Embrechts, P., F. Lindskog, and A. McNeil, “Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management,” Tech. report, Department of Mathematics ETZH, 2001.

[3] Kort, J., “Modelling Tail Dependence Using Copulas-literature review,” ResearchGate, 2007.

[4] Shamiri, A., N. A. Hamzah, and A. Pirmoradian, “Tail Dependence Estimate in Financial Market Risk Management: Clayton-Gumbel Copula Approach,” Sains Malaysiana, pp. 927-937, 2011.

[5] Bakrizadeh, H., G. A. Parhan, and M. R. Zadkarni, “Weighted Clayton Copulas and their Characterizations: Application to Probable of The Hydrology Data,” Journal of Data Science, vol. 11, pp. 293-303, 2013.

[6] Syuhada, K., “Peubah Acak, Fungsi Distribusi Bersama dan Copula,” Jurnal Matematika, Institut Teknologi Bandung, vol. 2, 2011.

[7] Mahfood, M., “Bivariate Archimedean Copulas: An Application to Two Stock Market Indices,” Tech. report, Vrije Universteit, 2012.

[8] Genest, C. and J. Segers, “On the Covariance of The Asymptotic Empirical Copulas Process,” Journal of Multivariate Analysis, vol. 101, 2010.

[9] Syahrir, I., I. Zaini, dan H. Kuswanto, “Estimasi Parameter Copula Archimedean dan Aplikasinya dalam Klimatologi,” Paper dan Presentasi Statistika, Institut Teknologi Sepeluh November, 2012.