Το κέντρο μάζας ενός συστήματος υλικών...

AANA B P Y T A

19 5 0

Το κέντρο μάζας ενός συστήματος υλικών σημείων

Θεωρήματα και εφαρμογές

Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, PhD

Η ισχύς των νόμων του Newton για καθένα από τα υλικά σημεία που αποτελούν ένα σύ-στημα, μας προτρέπει να ορίσουμε ένα υποτιθέμενο υλικό σημείο στο χώρο, με μάζα ίση με το άθροισμα των μαζών των επί μέρους υλικών σημείων του συστήματος, που κινείται υπακούοντας στους νόμους του Newton.

Η περίπτωση κατά την οποία το κέντρο μάζας ενός συστήματος υλικών σημείων κινείται ευθύγραμμα ομαλά είναι γνωστή ως αρχή της διατήρησης της ορμής του συστήματος.

Γίνεται συζήτηση για τον παρατηρητή του κέντρου μάζας, και προσδιορίζεται το κέντρο μά-ζας ομογενών στερεών σωμάτων με απλό γεωμετρικό σχήμα.

Υπολογίζονται η κινητική ενέργεια και η στροφορμή ενός στερεού σώματος συνδυάζοντας την κίνηση του κέντρου μάζας με τη στροφική κίνηση ως προς τον παρατηρητή του κέ-ντρου μάζας.

Μάιος 2014

Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Μάιος 2014 1

Περιεχόμενα

1. Ορισμός του κέντρου μάζας ........................................................................................3

2. Η ώθηση της εξωτερικής δύναμης στο σύστημα .........................................................6

Παράδειγμα για τη χρήση της (προσεγγιστικά) διατήρησης της ορμής συστήματος σε κρούση .................................................................................................................6

Αντιπαράδειγμα για τη χρήση της (προσεγγιστικά) διατήρησης της ορμής συστήμα-τος σε κρούση ...........................................................................................................8

Τυπολόγιο ...................................................................................................................9

3. Ο παρατηρητής του κέντρου μάζας ...........................................................................10

Θέσεις .....................................................................................................................10

Ταχύτητα, επιταχύνσεις, ορμές ...............................................................................10

Ο 2ος νόμος του Newton..........................................................................................11

4. Η κινητική ενέργεια συστήματος σωμάτων ................................................................13

Κινητική θεωρία των αερίων....................................................................................14

Σύστημα δύο υλικών σημείων .................................................................................14

Στροφική κίνηση στερεού σώματος και το θεώρημα του Steiner.............................15

Κύλιση πάνω σε κατακόρυφο κυκλικό οδηγό ..........................................................17

5. Στροφορμή ενός συστήματος υλικών σημείων ..........................................................20

Στροφική κίνηση στερεού σώματος και το θεώρημα του Steiner.............................21

Κύλιση πάνω σε κατακόρυφο κυκλικό οδηγό ..........................................................23

6. Εφαρμογή της θεωρίας σε ένα πετρόμυλο ................................................................24

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Παραδείγματα προσδιορισμού της θέσης του κέντρου μάζας....................26

Σύστημα 2 υλικών σημείων .....................................................................................26

Ημικυκλική ομογενής λεπτή στεφάνη ......................................................................26

Ημικυκλικός ομογενής λεπτός δίσκος......................................................................27

Κέντρο μάζας κέντρων μαζών .................................................................................28

Λεπτή ομογενής τριγωνική πλάκα ...........................................................................29

Τρύπιος ομογενής κυκλικός δίσκος .........................................................................30

Ομογενής ορθός κώνος ..........................................................................................31

Ομογενής ημισφαιρικός λεπτός φλοιός ...................................................................32

Ομογενές ημισφαίριο...............................................................................................33

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ


1.. Ορισμός του κέντρου μάζας

Έστω ότι στο χώρο κινούνται υλικά σημεία με σταθερή μάζα , αντίστοιχα, το καθένα

από αυτά. Τα σημεία αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με δυνάμεις, σύμφωνα με τους νόμους του Newton. Έτσι, το υλικό σημείο ασκεί μία δύναμη στο υλικό σημείο

N im

i j , την ijF

, και

ταυτόχρονα, το υλικό σημείο j ασκεί μία δύναμη στο υλικό σημείο i , την . ijFF

ji

Τα αυτά υλικά σημεία θα λέμε ότι αποτελούν ένα σύστημα υλικών σημείων. Αν το σύστημα έχει περιβάλλον, τότε πολύ πιθανόν το περιβάλλον θα ασκεί δυνάμεις στα υλικά σημεία του συστήματος, , αντίστοιχα σε κάθε υλικό σημείο του συστήματος.

N

iF

Η κίνηση του κάθε υλικού σημείου περιορίζεται από το 2ο νόμο του Newton:

1

1

1

21

2222

21111

N

jjNNNN

N

ijj

jiiii

N

jj

j

N

jj

FFam

FFam

FFam

FFam

Εξ.(1)

Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις εξισώσεις της Εξ.(1) θα έχουμε:

NiNNii FFFFamamamam

212211

Σημειώστε ότι δεν έμεινε ίχνος από τις μεταξύ τους αλληλεπιδράσεις, αφού κατά την πρό-σθεση, για κάθε ζεύγος δυνάμεων μιας αλληλεπίδρασης, ijF

και jiF

, ισχύει jiij FF

0 ijij FF

. Αυτός είναι και ο λόγος που προσθέτουμε κατά μέλη όλες τις εξισώσεις της

Εξ.(1). Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης γράφεται σε συντετμημένη μορφή:

N

ii

N

iii Fam

11

Εξ.(2)

Το μέγεθος ονομάζεται εξωτερική δύναμη στο σύστημα.

N

iiFF

1


Αν i

είναι η ταχύτητα του υλικού σημείου, τότε από τον ορισμό της επιτάχυνσης: i

dtda ii

, και το πρώτο σκέλος της Εξ.(2) γράφεται:

N

iii

N

iii dtdmam

11

. Επομένως:

Fm

dt

d N

iii

1

Εξ.(3)

Το φυσικό μέγεθος ονομάζεται ορμή του συστήματος, ενώ το μέγεθος

N

iiimP

1

iii mp

ονομάζεται ορμή του υλικού σημείου i .

Η Εξ.(3) διαβάζεται: Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος ισούται με την εξωτερική δύναμη που ασκείται στο σύστημα,

FdtPd

.

Αν ir

είναι η θέση του υλικού σημείου στο χώρο, τότε από τον ορισμό της ταχύτητας: i

dtrd ii

, και η συνολική ορμή του συστήματος γράφεται:

N

iii

N

iii

N

iii rm

dt

ddtrdmmP

111

Εξ.(4)

Με τη βοήθεια της Εξ.(4), η Εξ.(3) ξαναγράφεται:

Frm

dt

d N

iii

1

2

2

Η γραφή όμως αυτή θα γινόταν σαφώς καλύτερη αν ορίζαμε ένα σημείο στο χώρο, που θα το ονομάζουμε κέντρο μάζας του συστήματος, και θα βρίσκεται στη θέση:

N

iiirmM

R1

1 , όπου είναι η συνολική μάζα του συστήματος. Εξ.(5)

N

iimM

1

Στον ορισμό της θέσης του κέντρου μάζας αναγνωρίζουμε τη μέση τιμή των θέσεων των υλικών σημείων του συστήματος, με βάρη τις μάζες των σημείων.

Το κέντρο μάζας του συστήματος κινείται στο χώρο με ταχύτητα:

MPmM

rmM

rmMdt

dRV

N

iii

N

iii

N

iii

111

111 Εξ.(6)


Μάλιστα, το κέντρο μάζας μπορεί να επιταχύνεται με επιτάχυνση:

M

F

dt

Pd

MM

P

dt

d

dt

VdA cm

1

dt

PdFAM

Εξ.(7)

Μπορέσαμε να μετασχηματίσουμε την εξίσωση Εξ.(2), η οποία αφορά στο σύστημα των υλικών σημείων στο σύνολό του, στην εξίσωση Εξ.(7), η οποία αφορά ένα υποτιθέμενο υλικό σημείο, το κέντρο μάζας του συστήματος. Η Εξ.(7) είναι ο 2ος νόμος του Newton για το κέντρο μάζας του συστήματος.

Αυτή μας η δυνατότητα να μετασχηματίσουμε την Εξ.(2) στην Εξ.(7), αποτελεί την καλύτε-ρη δικαιολογία για τον ορισμό του κέντρου μάζας.


2. Η ώθηση της εξωτερικής δύναμης στο σύστημα

Το μέγεθος ονομάζεται ώθηση της εξωτερικής δύναμης στο σύστημα για

το χρονικό διάστημα . Αν το χρονικό διάστημα είναι μεγαλύτερο και διαρκεί από τη χρο-νική στιγμή έως τη χρονική στιγμή τότε η ώθηση της εξωτερικής δύναμης στο σύστη-μα είναι:

dtFId

dt

1t 2t

12

2

1

2

1

21PPdtFIdI

t

t

t

t

tt

Εξ.(8)

Στην περίπτωση που το σύστημα είναι απομονωμένο, δηλαδή στην περίπτωση που η εξωτερική δύναμη στο σύστημα είναι μηδενική, τότε 0

21ttI

και 12 PP

. Το υπό προϋπο-

θέσεις αυτό αποτέλεσμα ονομάζεται αρχή της διατήρησης της ορμής του συστήματος.

Με άλλα λόγια, η ορμή ενός απομονωμένου συστήματος παραμένει διαρκώς σταθερή, έως ότου το σύστημα πάψει να είναι απομονωμένο. Παράδειγμα τέλειου απομονωμένου συ-στήματος είναι το σύμπαν, για το οποίο εξ’ ορισμού δεν υπάρχει περιβάλλον. Βέβαια για το παράδειγμα αυτό θα μπορούσε κάποιος να εγείρει ερωτήματα ως προς το κατά πόσον ι-σχύουν οι νόμοι του Newton για ένα τόσο μεγάλο σύστημα σαν το σύμπαν!

Πέραν της απόλυτης εφαρμογής της αρχής της διατήρησης της ορμής ενός απομονωμέ-νου συστήματος, υπάρχει και η προσεγγιστική ισχύς της αρχής της διατήρησης της ορμής, για περιπτώσεις που, ενώ το σύστημα δέχεται εξωτερικές δυνάμεις, εν τούτοις, το χρονικό διάστημα ενδιαφέροντος είναι πολύ μικρό και σε συνδυασμό με το μέγεθός τους, δεν προλαβαίνουν να δημιουργήσουν αξιοσημείωτη μεταβολή στην ορμή του συστήματος.

Θα δώσουμε ένα παράδειγμα και ένα αντιπαράδειγμα της εφαρμογής της αρχής με προ-σεγγιστική ισχύ.

Παράδειγμα για τη χρήση της (προσεγγιστικά) διατήρησης της ορμής συστήματος σε κρούση

Έστω ότι μια σφαίρα μάζας , πέ-

φτει με ταχύτητα

gm 50sm600 πάνω σε ένα

μεγάλο κομμάτι σκληρού ξύλου μάζας , που βρίσκεται πάνω σε οριζό-

ντιο τραπέζι. Το κομμάτι ξύλου ακουμπάει σε γερό τοίχο ώστε να μη μπορεί να κινη-θεί κατά τη διάρκεια της κρούσης. Η σφαίρα εισχωρεί στο ξύλο απόσταση .

kgM 30

cmx 20

Mm

Η μέση δύναμη που σταματάει τη σφαίρα, μπορεί να υπολογιστεί από το ΘΜΚΕ και εί-


ναι: NFmxF 000.4522 . Η ορμή της σφαίρας πριν από την κρούση είναι:

skgmp 30 και ο χρόνος που απαιτείται για να σταματήσει θα είναι: tpF

msFmt 7,0 . Η ορμή του συστήματος σφαίρα-ξύλο προφανώς δεν διατηρείται.

Έστω τώρα ότι μεταξύ του σώματος και του τοίχου παρεμβάλουμε ένα σκληρό ελα-τήριο, με συντελεστή mNk 750 .

Mm

Πυροβολούμε ξανά και θέλουμε να υπολο-γίσουμε τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρί-ου.

Το σύστημα σφαίρα-ξύλο δεν είναι απολύτως απομονωμένο γιατί κατά την εισχώ-ρηση της σφαίρας στο ξύλο, το ελατήριο συμπιέζεται και ασκεί δύναμη στο ξύλο. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να διστάζουμε να εφαρμόσουμε την αρχή της διατήρη-σης της ορμής για την κρούση σφαίρα-ξύλο. Θα δείξουμε όμως ότι άδικα ανησυ-χούμε και ότι ισχύει η διατήρηση της ορμής με μεγάλη ακρίβεια.

Ο χρόνος συμπίεσης του ελατηρίου είναι περίπου mskMTt 30024 . ∆η-

λαδή, περίπου 450 φορές μεγαλύτερος από το χρόνο εισχώρησης της σφαίρας στο ξύ-λο, που μπορεί τώρα να είναι θεωρητικά μεγαλύτερος από αλλά δεν μπορεί να είναι πολύ διαφορετικός από .

ms7,0ms1~

Θέλουμε να αποκτήσουμε μια αίσθηση για το πόσο είναι η ώθηση της δύναμης από το ελατήριο στο ξύλινο σώμα για το χρονικό διάστημα εισχώρησης της σφαίρας ms1~ .

Αν ίσχυε η αρχή διατήρησης της ορμής στο σύστημα σφαίρα-ξύλο, το ξύλο θα απο-κτούσε ταχύτητα smMmV 1 και θα συμπίεζε το ελατήριο κατά 22 22 MVlk

. Επομένως, τη χρονική στιγμή , η δύναμη που θα ασκούσε το ελα-

τήριο στο ξύλο θα ήταν

cml 20 ms1~

tlkF 1N και η μέση δύναμη από το ελατήριο κατά

τη διάρκεια της εισχώρησης της σφαίρας θα πρέπει να είναι . N5.0~

Έτσι, η δύναμη από το ελατήριο, κατά το χρονικό διάστημα του θα δημιουργού-

σε ώθηση

ms1~

sNtFI 41052 . Συγκρίνοντας την ώθηση αυτή με την ορμή του

συστήματος πριν από την κρούση smkgm 30 , συμπεραίνουμε ότι η ώθηση αυτή είναι μηδαμινή και μπορεί επομένως να αγνοηθεί.

Αυτό ήταν ένα παράδειγμα, όπου μπορούμε να εφαρμόσουμε την αρχή διατήρηση της ορμής, παρόλο που το σύστημα δεν είναι απομονωμένο. Η εξωτερική δύναμη ήταν πεπερασμένη και η χρονική διάρκεια που μας ενδιέφερε ήταν τόσο μικρή που εντέλει η ώθηση ήταν μηδαμινή και θα μπορούσε να αγνοηθεί.

Αν το όλο σύστημα κρεμόταν από σταθερό σημείο, τότε θα επαναλαμβάναμε ακρι-βώς τους ίδιους υπολογισμούς, αφού το βάρος του ξύλου θα εξουδετέρωνε το με-γαλύτερο μέρος της δύναμης από το ελατήριο.

Αν το ξύλο κρεμόταν από σκοινί, τότε η ώθηση της δύναμης του βάρους του ξύλου θα ήταν sN , που είναι πάλι πολύ μικρή συγκρινόμε-

νη με την αρχική ορμή του συστήματος

sNtMgI 3,010300 3

smkgm 30 .


Αντιπαράδειγμα για τη χρήση της (προσεγγιστικά) διατήρησης της ορμής συστήμα-τος σε κρούση

Στο προηγούμενο παράδειγμα, όταν το κομμάτι ξύλου ακουμπούσε στο γερό τοίχο, εκ του αποτελέσματος φαίνεται ότι δεν ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής κατά την ει-σχώρηση της σφαίρας στο ξύλο. Η δύναμη από τον τοίχο στο ξύλο θα πρέπει να είναι τόσο μεγάλη που αν και το χρονικό διάστημα της εισχώρησης της σφαίρας στο ξύλο διαρκεί , η ώθηση που δημιουργεί η δύναμη αυτή είναι εφάμιλλη της ορμής της σφαίρας και δεν μπορεί να αγνοηθεί.

ms1~

Για τον ίδιο ακριβώς λόγο δεν μπορεί να εφαρμοστεί η αρχή της διατήρησης της ορμής στο παρακάτω πρό-βλημα. Μία ξύλινη σφύρα κρέμεται από το ταβάνι. Το πάνω άκρο της A παραμένει σταθερό, όντας συνδεδε-μένο με το ταβάνι με ένα συνήθη μηχανισμό άρθρωσης που όμως επιτρέπει στη σφύρα να περιστρέφεται γύρω από το σημείο αυτό στήριξης και σε ένα κατακόρυφο επίπεδο.

Πυροβολούμε τη σφύρα οριζόντια στο κάτω της άκρο και με τη σφαίρα να κινείται στο επίπεδο περιστροφής της σφύρας. Το σημείο στήριξης κατά τη διάρκεια της κρούσης, αναπτύσσει τόσο μεγά-λη δύναμη στη σφύρα, που η ώθηση που δημιουργεί κατά τη διάρκεια του απειροστού χρόνου κρούσης γίνεται σημαντική σε σχέση με την ορμή του συστήματος σφύρα-σφαίρα και δεν μπορεί να αγνοηθεί.

Mm

A


ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

Η συνολική μάζα του συστήματος:

N

iimM

1

Η θέση του κέντρου μάζας του συστήματος:

N

iiirmM

R1

1

Η ορμή του συστήματος:

N

iiimP

1

Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του συστήματος: MPmM

VN

iii

1

1

Η εξωτερική δύναμη στο σύστημα:

dt

PdFF

N

ii

1

Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος:

M

Fam

MA

N

iii

1

1

Η ώθηση της εξωτερικής δύναμης στο σύστημα: 12

2

1

2

1

21PPdtFIdI

t

t

t

t

tt


3. Ο παρατηρητής του κέντρου μάζας

Ο παρατηρητής του κέντρου μάζας, , είναι αυτός που κάθεται στο κέντρο μάζας ενός

συστήματος υλικών σημείων, και παρατηρεί το σύστημα. Ως παρατηρητής που είναι, δια-θέτει ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και ένα ρολόι, από το ίδιο εργοστάσιο που κατα-σκευάζει αυτά τα όργανα για όλους τους παρατηρητές. Κάνει μετρήσεις, γράφει νόμους και ανταλλάσσει πληροφορίες με άλλους παρατηρητές, με τους οποίους μπορεί άλλες φορές να διαφωνεί και άλλες φορές να συμφωνεί.

cmO

Θέσεις

Έστω ότι ως προς τον (αδρανειακό) παρατηρητή , η θέση του υλικού σημείου είναι O i

ir

. Τότε, ως προς τον , το υλικό αυτό σημείο θα βρίσκεται στη θέση cmO icmr ,

, και θα ι-

σχύει η σχέση:

Rrr icmi

, Εξ.(9)

, όπου να θυμηθούμε ότι R

είναι η θέση του κέντρου μάζας του συστήματος ως προς τον . Η Εξ.(9) αποτελεί ένα συνδετικό κρίκο μεταξύ των δύο παρατηρητών. Για να γραφτεί η Εξ.(9) πρέπει να συμπράξουν και οι δύο παρατηρητές. Ο παρατηρητής

εισφέρει στη σχέση τα

OO

ir

και R

ενώ ο παρατηρητής το cmO icmr ,

.

Επίσης, για να γραφτεί η Εξ.(9) θα πρέπει τα ir

, R

και icmr ,

να αναφέρονται στην ίδια

χρονική στιγμή. ∆ηλαδή, οι δύο παρατηρητές θα πρέπει να έχουν αναπτύξει ένα σύ-στημα ρολογιών, συγχρονισμένων μεταξύ τους, και ένα κώδικα επικοινωνίας ώστε να ξέρουν σε ποια χρονική στιγμή αναφέρονται τα μεγέθη που παραδίδουν για να γραφτεί η Εξ.(9).

Τέλος, η Εξ.(9) είναι σχέση διανυσματική και δεν προϋποθέτει την αναφορά στον μετα-ξύ τους προσανατολισμό των ορθοκανονικών συστημάτων των δύο παρατηρητών. Βε-βαίως, αν η Εξ.(9) πρόκειται να αναπτυχθεί σε σύστημα εξισώσεων με συντεταγμένες, τότε θα πρέπει ο να λάβει υπόψη του και το σχετικό προσανατολισμό των δύο ορ-Oθοκανονικών συστημάτων. Πάντως, σε κάθε περίπτωση υποθέτουμε ότι ο προσανατο-λισμός των δύο ορθοκανονικών συστημάτων παραμένει σταθερός με το χρόνο.

Με άλλα λόγια για να γραφτεί η Εξ.(9) χρειάζονται όλες εκείνες οι προϋποθέσεις που συνιστούν τη σχετικότητα του Γαλιλαίου και τις έννοιες του απόλυτου χώρου και απόλυτου χρόνου του Newton.

Ταχύτητες, επιταχύνσεις, ορμές

Αντίστοιχα, η ταχύτητα και η επιτάχυνση του υλικού σημείου ως προς τους δύο παρα-τηρητές θα συνδέονται με τις σχέσεις:

Vicmi

, Εξ.(10)

Aaa icmi

, Εξ.(11)


Υποθέτοντας ότι οι δύο παρατηρητές μετρούν την ίδια μάζα για ένα σωματίδιο, η συνο-λική ορμή του συστήματος ως προς τον , θα είναι: cmO

011

,

VMPVmmPN

iii

N

iicmicm

Εξ.(12)

∆εδομένου ότι ο παρατηρητής συμφωνεί με τον ότι κάθεται στο κέντρο μάζας

του συστήματος, διότι: cmO O

01111

1111,

RmM

rmM

RrmM

rmM

RN

ii

N

iii

N

iii

N

iicmi

, η ταχύτητα V του κέντρου μάζας ως προς τον , είναι μηδέν.

cmO

Ο 2ος νόμος του Newton

Ασχολούμενος με τις επιταχύνσεις των σωματιδίων, ο γράφει: cmO

N

iii

N

iii

N

iicmi AmFAamam

111,

Εξ.(13)

Η Εξ.(13) προδιαθέτει τον να υποθέσει ότι ισχύουν οι τρεις νόμοι του Newton,

, για κάθε σωματίδιο. Όμως, ο αν και δέχεται την ύπαρξη

όλων των δυνάμεων που υποθέτει ο , ισχυρίζεται ότι κάθε σωματίδιο δέχεται μία

επιπλέον εξωτερική δύναμη, που δεν την αντιλαμβάνεται ο , την

, δηλαδή:

cmO

N

ijj

jicmicmicmi FFam1

,,,

AmFF iiicm

cmO

O i

miO A

, .

Η επιπρόσθετη αυτή εξωτερική δύναμη είναι ανάλογη της μάζας του σωματιδίου στο οποίο ασκείται. Στην περίπτωση που είναι η μοναδική δύναμη που δέχεται το σωματί-διο ή έστω ισούται με τη συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σωματίδιο, τό-τε, το σωματίδιο επιταχύνεται με Aa icm

, .

Ο πιστεύει πραγματικά ότι έχει δίκιο και ότι δεν κάνει λάθος, γιατί, όταν ο ισχυρί-

ζεται ότι δεν ασκείται εξωτερική δύναμη στον , ο αδιάψευστα αισθάνεται την πί-

εση από μια εξωτερική δύναμη.

cmO O

cmO cmO

Φυσικά, αν , οι δύο παρατηρητές συμφωνούν απόλυτα ως προς τις δυνάμεις που ασκούνται στα σωματίδια.

0A


Είνα άρη ι αναπόφευκτη η παρατήρηση ότι οι εξωτερικές δυνάμεις, Ami

, μοιάζουν με β

gmi

που έχου σωματίδια μέσα σε ένα ομογενές βαρυτικό πεδίο, με ένταση g

ν τα .

Πράγματι, ο cmO αισθάνεται ότι όλα τα σωματίδια, καθώς και αυτός μαζί, βρίσκονται

α μέσ σε ένα ομογενές βαρυτικό πεδίο, έντασης Agcm

.

Ο cmO αρχίζει να ψάχνει γύρω του, στο χώρο, με σκοπό να εντοπίσει εκείνο το ουράνιο

σώμα που δημιουργεί το ομογενές βαρυτικό πεδίο. Προς μεγάλη του απογοήτευση, κάθε κοντινός πλανήτης ή αστέρι είναι υπεύθυνα για αντίστοιχες εξωτερικές δυνάμεις

γαλαξίες, τότε εί-

μειο-ηφία παρατηρητών που για κάποιο λόγο δε μετρούν το βαρυτικό αυτό πεδίο.

που ήδη έχει προσμετρήσει.

Τελικά αποφασίζει ότι υπεύθυνο για το βαρυτικό αυτό πεδίο θα πρέπει να είναι το σύ-νολο των μακρινών αστεριών και γαλαξιών. ∆εν περιμένει κάποιος ότι: ένα μακρινό α-στέρι ή γαλαξίας μπορεί να δημιουργήσει, μόνο του, ένα τέτοιο βαρυτικό πεδίο, αν ό-μως λάβουμε υπόψη μας ότι υπάρχουν τρισεκατομμύρια αστέρια και ναι δυνατόν όλα μαζί να δημιουργούν ένα σημαντικό βαρυτικό πεδίο.

Κάνοντας ένα γκάλοπ ανάμεσα σε παρατηρητές συνειδητοποιεί ότι οι περισσότεροι από αυτούς μετρούν ένα ομογενές βαρυτικό πεδίο που το αποδίδουν στο σύνολο των μακρινών αστεριών και γαλαξιών και ότι μάλλον ο παρατηρητής O ανήκει σε μιαψ

Όποτε ένας παρατηρητής αναγκάζεται να εμπλέξει το σύνολο του έναστρου ουρανού για να δικαιολογήσει την ύπαρξη ενός ομογενούς βαρυτικού πεδίου, τον λέμε μη-αδρανειακό παρατηρητή. Ενώ, όταν ένας παρατηρητής δε χρειάζεται τη συνδρομή των μακρινών α-στεριών και γαλαξιών για να εξηγήσει τις δυνάμεις που μετράει, λέγεται αδρανειακός πα-ρατηρητής.

Απ’ ότι φαίνεται, τα μακρινά αστέρια και γαλαξίες κινούνται με σταθερή ταχύτητα ως προς ένα αδρανειακό παρατηρητή και επιταχύνονται ως προς ένα μη-αδρανειακό παρατηρητή.

βαρυτικό πεδίο και άλλες φορές

ει ή δεν υπάρχει μαγνητικό πεδίο. Ο ένας λέει ότι υπάρχει και ο άλλος ότι δεν υπάρχει.

Πώς όμως είναι δυνατόν άλλες φορές να υπάρχει ένανα μην υπάρχει, ανάλογα με το ποιος το παρατηρεί;

Και όμως, έχουμε και άλλο τρανταχτό παράδειγμα μιας τέτοιας πραγματικότητας. Ως προς ένα αδρανειακό παρατηρητή, ένα σημειακό ηλεκτρικό φορτίο που παραμένει ακί-νητο δημιουργεί γύρω του μόνο ηλεκτροστατικό πεδίο και καθόλου μαγνητοστατικό πε-δίο, ενώ όταν κινείται ευθύγραμμα και ομαλά, δημιουργεί και ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο. Έστω ότι πάνω στο ηλεκτρικό φορτίο κάθεται και ένας παρατηρητής. Τότε, ενώ οι δύο παρατηρητές συμφωνούν ότι υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο, διαφωνούν ως προς το αν υπάρχ


4. Η κινητική ενέργεια συστήματος σωμάτων

Ένας (αδρανειακός) παρατηρητής υπολογίζει την κινητική ενέργεια ενός συστήματος υλικών σημείων που παρατηρεί, αθροίζοντας τις κινητικές ενέργειες των επί μέρους σωμα-τιδίων:

O N

N

iii

N

ii mKK

1

2

1 2

1

Το ίδιο κάνει και ο παρατηρητής του κέντρου μάζας του συστήματος : cmO

N

iicmi

N

iicmcm mKK

1

2,

1, 2

1

Εφαρμόζοντας την Εξ.(10) έχουμε:

N

iicmicmi

N

iicmi

N

iii VVmVmmK

1

2,,

2

1

2

,1

2 22

1

2

1

2

1

N

iicm

N

iicmi

N

ii

N

iicmi

N

iicmi

N

ii KmVVmmVmVmK

1,

1,

2

11

2,

1,

1

2

2

1

2

1

2

1

Από τον ορισμό του παρατηρητή του κέντρου μάζας ισχύει: , 01

,

N

iicmicm mP

Εξ.(12),

οπότε:

cmcm KM

PKMVK

22

1 22

Εξ.(14)

Το αποτέλεσμα αυτό είναι ανεξάρτητο από το αν ο παρατηρητής του κέντρου μάζας είναι αδρανειακός ή μη-αδρανειακός. Ο θα μπορούσε να επιταχύνεται. cmO

Μάλιστα, η σχέση Εξ.(14) θα μπορούσε να γραφτεί και από ένα μη-αδρανειακό παρατηρη-τή , που όμως το ορθοκανονικό του σύστημα αναφοράς έχει σταθερό προσανατολισμό Oμε εκείνο του αδρανειακού παρατηρητή O .

Ενώ για ένα υλικό σημείο ισχύει πάντα ότι: iii mpK 22 , για ένα σύστημα σωμάτων

θα ισχύει το αντίστοιχο: MPK 22 , μόνο στην περίπτωση που ο παρατηρητής του κέντρου μάζας βλέπει όλα τα υλικά σημεία του συστήματος να είναι ακίνητα.

Όταν τα υλικά σημεία παραμένουν ακίνητα ως προς τον παρατηρητή του κέντρου μάζας για ένα ολόκληρο χρονικό διάστημα, τότε λέμε ότι το σύστημα σωματιδίων εκτελεί μετα-φορική κίνηση ως προς κάθε παρατηρητή . Όλα τα σωματίδια του συστήματος έχουν

την ίδια ταχύτητα V

ως προς τον παρατηρητή O .

O


Αν ένα σύστημα σωματιδίων εκτελεί μεταφορική κίνηση ως προς ένα αδρανειακό παρατη-ρητή , τότε θα εκτελεί μεταφορική κίνηση και ως προς κάθε άλλο παρατηρητή του οποί-ου το ορθοκανονικό σύστημα έχει σταθερό προσανατολισμό με εκείνο του .

OO

Κινητική θεωρία των αερίων

Αν το σύστημα σωματιδίων είναι ιδανικό αέριο τότε, στα πλαίσια της κινητικής θεωρίας των αερίων, η απόλυτη θερμοκρασία του αερίου ορίζεται ως προς τον παρατηρητή του κέντρου μάζας:

23kTNKcm Εξ.(15)

Και είναι το μέρος της εσωτερικής ενέργειας του αερίου που έχει σχέση με τη με-

ταφορική κίνηση των μορίων. cmK

Σύστημα δύο υλικών σημείων

Έστω ένα σύστημα μόνο δύο υλικών σημείων, με μάζες και . Ως προς τον παρα-

τηρητή του κέντρου μάζας θα ισχύει ότι 1m 2m

cmcm pp ,2,1

. Οπότε:

22

11

222

22,

21,

21

21,

2

22,

1

21, cmcmcmcmcm

cm

pp

mm

p

m

p

m

pK

Εξ.(16)

Η μάζα , η οποία ορίζεται ως: 21

111

mm

, ονομάζεται ανοιγμένη μάζα του συστή-

ματος των δύο υλικών σημείων. Όταν 12 mm , τότε 2m .


Στροφική κίνηση στερεού σώματος και το θεώρημα του Steiner

Στο διπλανό σχήμα, ο αθλητής που κάνει άρση βαρών είναι ένα στερεό σώμα που εκτελεί μεταφορική κίνηση ως προς τον παρατηρητή . Το κέ-ντρο μάζας του αθλητή κινείται πάνω σε κύκλο με ακτίνα

O

R και γωνιακή τα-χύτητα k

, γύρω από τον άξονα

– z . Το μέτρο της γραμμικής ταχύτη-τας του κέντρου μάζας είναι:

RV .

Στο σχήμα φαίνεται επίσης και ο πα-ρατηρητής του κέντρου μάζας, ,

που κινείται μαζί με το σώμα. Προσέ-ξαμε το ορθοκανονικό σύστημα ανα-φοράς του παρατηρητή να διατη-

ρεί τον προσανατολισμό του ως προς το σύστημα αναφοράς του παρατηρητή . Ο αθλητής ως προς τον παρατηρητή

παραμένει ακίνητος. Από την

cmO

cmO

O cmO

Εξ.14 η κινητική ενέργεια που μετράει ο O είναι:

222

2

1

2

1 MRMVK

Στο διπλανό σχήμα, ο αθλητής που κάνει άρση βαρών είναι ένα στερεό σώμα που εκτελεί στροφική κίνηση με γωνιακή τα-χύτητα k

, γύρω από τον άξονα –

z του παρατηρητή . Στο σχήμα φαίνε-ται και ο παρατηρητής του κέντρου μά-ζας, , που κινείται μαζί με το σώμα,

πάνω σε κύκλο, πάνω στο επίπεδο , με κέντρο τον , ακτίνα

O

cm

O

O

xOyR και γωνιακή

ταχύτητα

. Προσέξαμε το ορθοκανονι-κό σύστημα αναφοράς του παρατηρητή

να διατηρεί τον προσανατολισμό του

ως προς το σύστημα αναφοράς του πα-ρατηρητή O .

cmO

Σημειώστε ότι, καθώς το σώμα στρέφεται γύρω από τον παρατηρητή , περι-στρέφεται επίσης και γύρω από τον πα-ρατηρητή , και μάλιστα κατά ακριβώς την ίδια γωνία. Με άλλα λόγια, το σώμα εκτε-

λεί στροφική κίνηση γύρω από τον άξονα – του , με την ίδια γωνιακή ταχύτητα

.

O

cmO

cm

cmz cmO

cm k


Η κινητική ενέργεια του σώματος ως προς τον είναι O 22 IK , όπου εί-

ναι η ροπή αδράνειας του σώματος, ως προς τον άξονα περιστροφής (άξονας –

N

iiimI

1

2

z ). i

είναι η ακτίνα του κύκλου που διαγράφει το υλικό σημείο καθώς στρέφεται γύρω

από τον άξονα – im

z .

Η κινητική ενέργεια του σώματος ως προς τον είναι cmO 22 cmcm IK , όπου

είναι η ροπή αδράνειας του σώματος, ως προς τον άξονα περιστροφής

(άξονας – ). i

N

iicmicm mI

1

2,

cmz cm, είναι η ακτίνα του κύκλου που διαγράφει το υλικό σημε im κα-

θώς στρέφεται γύρω από τον άξον –

ίο

α cmz .

Από την Εξ.(14): 22222

2

1

2

1

2

1

2

1cmcm IMRIKMVK

2MRII cm

R είναι η ακτίνα του κύκλου που διαγράφει το κέντρο μάζας του σώματος καθώς στρέ-φεται γύρω από τον άξονα – z .

Η σχέση αυτή μεταξύ των ροπών αδράνειας είναι γνωστή και ως θεώρημα του Steiner.


Κύλιση πάνω σε κατακόρυφο κυκλικό οδηγό

Έστω πάνω σε κατακόρυφο κυκλικό δρόμο ακτίνας R μπορεί να κυλίεται ένας ομογενής δίσκος ακτίνας r , όπως φαίνεται στο σχήμα.

Στο κέντρο του κυκλικού δρόμου κά-θεται ο αδρανειακός παρατηρητής

, ενώ στο κέντρο του δίσκου κάθε-ται ο παρατηρητής του κέντρου μά-ζας . Ο σχετικός προσανατολι-

σμός των δύο συστημάτων αναφο-ράς παραμένει σταθερός.

O

cmO

Πάνω στο δίσκο έχουμε σημειώσει ένα σημείο του για να το παρακο-λουθούμε.

Σε πρώτη φάση υποθέτουμε ότι ∆ΕΝ υπάρχουν τριβές μεταξύ του δίσκου και του δρόμου. ∆εν υπάρ-χουν ροπές για να περιστρέψουν το σώμα γύρω από το κέντρο μάζας του και ο δίσκος παραμένει ακίνητος ως προς τον παρατηρητή του κέντρου μάζας, όπως φαίνεται στο σχήμα. Επομένως, και η κινητική ενέργεια του δίσκου ως προς τον παρα-

τηρητή O είναι

0cmK

22MVK .

Αν υπάρχουν τριβές μεταξύ του δίσκου και του δρόμου, στατικές ή ολίσθησης, ο δίσκος θα περιστρέφεται ως προς τον παρατηρητή του κέντρου μάζας με γωνιακή ταχύτητα

cmk

. Ταυτόχρονα, το κέντρο μάζας θα κινείται πάνω σε κύκλο με κέντρο τον ,

ακτίνα

O

rR , γωνιακή ταχύτητα k

και γραμμική ταχύτητα με μέτρο rRV .

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η ειδική περίπτωση, που οι τριβές είναι στατικές.

O x

y

R^

^

i

j

Ocm

O

y

R^

^

i

A B

j

x

Ocm

Δθ

ΔθΔφ

Δφ-Δθ


Στην εικόνα Α φαίνεται ένας δίσκος ακτίνας r πάνω σε κατακόρυφο κυκλικό δρόμο α-κτίνας R . Ο δίσκος κυλίεται δεξιόστροφα χωρίς να ολισθαίνει. Στο δίσκο σημειώσαμε το σύστημα συντεταγμένων του παρατηρητή του κέντρου μάζας. Με ένα μικρό κίτρινο κύκλο σημειώσαμε την ακτίνα του δίσκου που είναι κάθετη στον κυκλικό δρόμο και βρί-σκεται πάνω στον άξονα του παρατηρητή του κέντρου μάζας. Με ένα μικρό πρά-

σινο κύκλο σημειώσαμε επίσης την ακτίνα που θα είναι αργότερα κάθετη στον κυκλικό δρόμο. Οι δύο ακτίνες έχουν γωνιακό άνοιγμα

cmy

που αντιστοιχεί σε τόξο του δίσκου μήκους rs .

Στην εικόνα Β φαίνεται ο δίσκος μετά από κύλιση ώστε η ακτίνα με το μικρό πράσινο κύκλο να είναι κάθετη στον κυκλικό δρόμο. Το κέντρο μάζας κινήθηκε πάνω σε κύκλο με ακτίνα rR και διέγραψε γωνία . Το μήκος τόξου που ορίζει η γωνία στον κυκλικό δρόμο είναι rRs . Οπότε: rR .

Στην εικόνα Β, φαίνεται, επίσης, και η ακτίνα που είχαμε σημειώσει με το μικρό κίτρινο κύκλο. Η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα cmy του παρατηρητή του κέντρου μάζας

είναι ίση με

r

rR~ .

Επομένως, στην ειδική αυτή περίπτωση κύλισης χωρίς ολίσθηση, ως προς τον παρα-τηρητή του κέντρου μάζας, ο δίσκος περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα t ~

.

Η γωνιακή ταχύτητα

σχετίζεται με τη γωνιακή ταχύτητα

της κυκλικής κίνησης του

κέντρου μάζας γύρω από το κέντρο O :

r

rR

Οπότε, για τη γραμμική ταχύτητα του κέντρου μάζας γράφουμε: rrRV

.

Από την Εξ.14 η κινητική ενέργεια του δίσκου που μετράει ο O είναι:

2222222

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1MVMrMVIMVKMVK cmcm

Όπου η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που είναι κάθετος στη σελίδα και διέρχεται από το κέντρο μάζας του δίσκου (δηλαδή τον άξονα cmz ) είναι: . 2MrIcm

O x

y

R^

^

i

j

Στην περίπτωση που η ακτίνα του δίσκου είναι ίση με 2Rr , τότε οι δύο γωνιακές ταχύτητες

είναι αντίθετες μεταξύ τους:

.

Η σύνθετη κίνηση της κύλισης χωρίς ολίσθη-ση, σε καμία περίπτωση, δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα και στροφική κίνηση. Για στροφική κίνηση οι γωνιακές ταχύτητες θα έπρεπε να εί-ναι ίσες, ενώ εδώ είναι αντίθετες.


O Ox x

y y

R^ ^

^ ^

i i R

j j

Ocm

Ocm

A B

ΔφΔφ

Δθ

Δθ

Δφ+Δθ

Στην εικόνα Α φαίνεται ένας δίσκος ακτίνας r πάνω σε κατακόρυφο κυκλικό δρόμο α-κτίνας R . Ο δίσκος κυλίεται δεξιόστροφα χωρίς να ολισθαίνει. Στο δίσκο σημειώσαμε το σύστημα συντεταγμένων του παρατηρητή του κέντρου μάζας. Με ένα μικρό κίτρινο κύκλο σημειώσαμε την ακτίνα του δίσκου που είναι κάθετη στον κυκλικό δρόμο και βρί-σκεται πάνω στον άξονα του παρατηρητή του κέντρου μάζας. Με ένα μικρό πρά-

σινο κύκλο σημειώσαμε επίσης την ακτίνα που θα είναι αργότερα κάθετη στον κυκλικό δρόμο. Οι δύο ακτίνες έχουν γωνιακό άνοιγμα

cmy

που αντιστοιχεί σε τόξο του δίσκου μήκους rs .

Στην εικόνα Β φαίνεται ο δίσκος μετά από κύλιση ώστε η ακτίνα με το μικρό πράσινο κύκλο να είναι κάθετη στον κυκλικό δρόμο. Το κέντρο μάζας κινήθηκε πάνω σε κύκλο με ακτίνα rR και διέγραψε γωνία . Το μήκος τόξου που ορίζει η γωνία στον κυκλικό δρόμο είναι rRs . Οπότε: rR .

Στην εικόνα Β, φαίνεται, επίσης, και η ακτίνα που είχαμε σημειώσει με το μικρό κίτρινο κύκλο. Η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα cmy του παρατηρητή του κέντρου μάζας

είναι ίση με

r

rR~ .

Επομένως, στην ειδική αυτή περίπτωση κύλισης χωρίς ολίσθηση, ως προς τον παρα-τηρητή του κέντρου μάζας, ο δίσκος περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα t ~

.

Η γωνιακή ταχύτητα

σχετίζεται με τη γωνιακή ταχύτητα

της κυκλικής κίνησης του

κέντρου μάζας γύρω από το κέντρο O :

r

rR

Οπότε, για τη γραμμική ταχύτητα του κέντρου μάζας γράφουμε: rrRV

.


5. Στροφορμή ενός συστήματος υλικών σημείων

Έστω ότι ο αδρανειακός παρατηρητής παρατηρεί ένα σύστημα υλικών σημείων για το οποίο υπολογίζει τη στροφορμή ως προς σημείο. Το σημείο είναι η αρχή των αξόνων του:

O

N

iiii

N

iii rmprL

Εξ.(17)

Όμοια κάνει και ο παρατηρητής του κέντρου μάζας, που θα μπορούσε να είναι μη-αδρανειακός, αλλά το ορθοκανονικό του σύστημα παραμένει σε σταθερό προσανατολισμό ως προς το ορθοκανονικό σύστημα του O .

N

icmicmii

N

icmicmicm rmprL ,,,,

Εξ.(18)

Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις Εξ.(9) και Εξ.(10) στην Εξ.(17) και έχουμε:

N

iicmicmi

N

iiii

N

iii VRrmrmprL

,,

N

ii

N

iicmi

N

iicmi

N

iicmicmi VRmVrmRmrmL

,,,,

VRmVrmmRLLN

ii

N

iicmi

N

iicmicm

,,

VRMVRMVRMLL cmcmcm

Όμως, επειδή και , έχουμε: 0cmV

0cmR

PRLL cm

Εξ.(19)

∆ηλαδή, ο αδρανειακός παρατηρητής O μετράει, για το σύστημα, στροφορμή ως προς την αρχή των αξόνων του, ίση με την (τροχιακή) στροφορμή του κέντρου μάζας του συστήμα-τος, συν τη στροφορμή (spin) που μετράει ο παρατηρητής του κέντρου μάζας, ως προς την αρχή των δικών του αξόνων.

Την Εξ.(19) θα μπορούσε να τη γράψει και ένας μη-αδρανειακός παρατηρητής O αρκεί να έχει σύστημα συντεταγμένων σε σταθερό προσανατολισμό με το σύστημα συντεταγμένων του αδρανειακού παρατηρητή . O


Στροφική κίνηση στερεού σώματος και το θεώρημα του Steiner

Στο διπλανό σχήμα, ο αθλητής που κάνει άρση βαρών είναι ένα στερεό σώμα που εκτελεί μεταφορική κίνηση ως προς τον παρατηρητή . Το κέ-ντρο μάζας του αθλητή κινείται πάνω σε κύκλο με ακτίνα

O

R και γωνιακή τα-χύτητα k

, γύρω από τον άξονα

– . Η γραμμική ταχύτητα του κέ-ντρου μάζας είναι: V

z

R

.

Στο σχήμα φαίνεται επίσης και ο πα-ρατηρητής του κέντρου μάζας, ,

που κινείται μαζί με το σώμα. Προσέ-ξαμε το ορθοκανονικό σύστημα ανα-φοράς του παρατηρητή να διατη-

ρεί τον προσανατολισμό του ως προς το σύστημα αναφοράς του παρατηρη-τή . Ο αθλητής ως προς τον παρα-τηρητή παραμένει ακίνητος. Από την

cmO

cmO

O

cmO Εξ.(19) η στροφορμή που μετράει ο O είναι:

2MRVRMPRL

Στο σχήμα, ο αθλητής που κάνει άρση βαρών είναι το στερεό σώμα που εκτελεί στροφική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα

, γύρω από τον άξονα – του παρατηρητή O . Στο σχήμα φαίνεται και ο παρατηρητής του κέντρου μάζας, ,

που κινείται μαζί με το σώμα, πάνω σε κύκλο, πάνω στο επίπεδο , με κέ-ντρο τον , ακτίνα

k

z

cmO

xOyO R και γωνιακή ταχύ-

τητα

. Προσέξαμε το ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς του παρατηρητή

να διατηρεί τον προσανατολισμό του ως προς το σύστημα αναφοράς του παρα-τηρητή O .

cmO

Σημειώστε ότι, καθώς το σώμα στρέφεται γύρω από τον παρατηρητή , περι-στρέφεται επίσης και γύρω από τον παρατηρητή , και μάλιστα κατά ακριβώς την ί-

δια γωνία. Με άλλα λόγια, το σώμα εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από τον άξονα –

του , με την ίδια γωνιακή ταχύτητα

O

cmO

cmz

cmO

cmcm k .


Η στροφορμή του σώματος ως προς τον είναι ,

όπου είναι η ροπή αδράνειας του σώματος, ως προς τον άξονα περιστρο-

φής (άξονας – ).

O IrrmrmL

N

iiii

N

iiii

N

iiimI

1

2

z i είναι η ακτίνα του κύκλου που διαγράφει το υλικό σημείο κα-

θώς στρέφεται γύρω από τον άξονα – . im

z

Η στροφορμή του σώματος ως προς τον είναι

, όπου είναι η ροπή αδράνειας του σώμα-

τος, ως προς τον άξονα περιστροφής (άξονας – ).

cmO N

iicmicmicm rmL ,,

cm

N

iicmcmicmi Irrm ,,

N

iicmicm mI

1

2,

zcm icm, είναι η ακτίνα του κύκλου

που διαγράφει το υλικό σημείο καθώς στρέφεται γύρω από τον άξονα – . im cmz

Από την Εξ.19: RRMIIVRMLL cmcm

2MRII cm

R είναι η ακτίνα του κύκλου που διαγράφει το κέντρο μάζας του σώματος καθώς στρέ-φεται γύρω από τον άξονα – . z

Η σχέση αυτή μεταξύ των ροπών αδράνειας είναι γνωστή και ως θεώρημα του Steiner.


Κύλιση πάνω σε κατακόρυφο κυκλικό οδηγό

Έστω πάνω σε κατακόρυφο κυκλικό δρόμο ακτίνας R μπορεί να κυλίεται ένας ομογενής δίσκος ακτίνας r , όπως φαίνεται στο σχήμα.

Στο κέντρο του κυκλικού δρόμου κά-θεται ο αδρανειακός παρατηρητής

, ενώ στο κέντρο του δίσκου κάθε-ται ο παρατηρητής του κέντρου μά-ζας . Ο σχετικός προσανατολι-

σμός των δύο συστημάτων αναφο-ράς παραμένει σταθερός.

O

cmO

Πάνω στο δίσκο έχουμε σημειώσει ένα σημείο του για να το παρακο-λουθούμε.

Σε πρώτη φάση υποθέτουμε ότι ∆ΕΝ υπάρχουν τριβές μεταξύ του δίσκου και του δρόμου. ∆εν υπάρ-χουν ροπές για να περιστρέψουν το σώμα γύρω από το κέντρο μάζας του και ο δίσκος παραμένει ακίνητος ως προς τον παρατηρητή του κέντρου μάζας, όπως φαίνεται στο σχήμα και επομένως,

. 0cmL

Το κέντρο μάζας κινείται πάνω σε κύκλο με κέντρο τον , ακτίνα O rR , γωνιακή ταχύ-

τητα

και γραμμική ταχύτητα με μέτρο k rV R . Από την Εξ.19, η στρο-

φορμή του δίσκου είναι μόνο τροχιακή και ίση με:

2ˆ rRR MVrML R .

Αν υπάρχουν τριβές μεταξύ του δίσκου και του δρόμου, στατικές ή ολίσθησης, ο δίσκος θα περιστρέφεται ως προς τον παρατηρητή του κέντρου μάζας με γωνιακή ταχύτητα

cmk

.

Στην ειδική περίπτωση, που οι τριβές είναι στατικές, έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση, και

ισχύει rRr

, όπου τα διανύσματα

και

είναι αντίρροπα. Οπότε:

rRr . Από την Εξ.19, η στροφορμή του δίσκου που μετράει ο O είναι:

22 rRMILrRMLL cmcm

rR

rrRMrRMrRMrL

122

Όπου η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που είναι κάθετος στη σελίδα και διέρχεται από το κέντρο μάζας του δίσκου (δηλαδή τον άξονα cmz ) είναι: . 2MrIcm

Όταν η ακτίνα του δίσκου είναι:

1

Rr η συνολική στροφορμή του δίσκου ως προς

τον παρατηρητή είναι μηδέν γιατί στην περίπτωση αυτή η τροχιακή στροφορμή είναι αντίθετη του spin του δίσκου.

O


6. Εφαρμογή της θεωρίας σε ένα πετρόμυλο

Στη φωτογραφία βλέπετε ένα παραδοσιακό πετρόμυλο για τη σύνθλιψη σπόρων και καρ-πών. Το κέντρο μάζας του κυλίνδρου διαγράφει οριζόντιο κύκλο γύρω από κεντρικό κατα-κόρυφο άξονα (άξονας z ) ενώ, ταυτόχρονα, ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από κινού-μενο οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας και είναι κάθετος στον κεντρικό κατακόρυφο άξονα (διάνυσμα θέσης R

του κέντρου μάζας).

Θα νόμιζε κανείς ότι η κίνηση αυτή προσιδιάζει στην κύλιση χωρίς ολίσθηση, όμως, στο πέλμα του κυλίνδρου, τα σημεία που ακουμπάνε στην οριζόντια επιφάνεια του οδηγού, δεν μπορούν να έχουν όλα την ίδια ταχύτητα, με αποτέλεσμα ο κύλινδρος να κυλίεται και να ολισθαίνει. Ακριβώς αυτό το γεγονός είναι χρήσιμο για τη σύνθλιψη των σπόρων.

Εμείς εδώ θα μελετήσουμε ένα μαθηματικό μοντέλο γενικότερο του συγκεκριμένου συστή-ματος του πετρόμυλου.

Έστω ότι σε πρώτη φάση δεν υπάρχουν καθόλου τριβές μεταξύ του στερεού σώμα-τος και του οριζόντιου επιπέδου.

Στην περίπτωση αυτή το στερεό σώμα εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από τον κατακόρυφο άξονα , όπου κάθεται ο αδρανειακός παρατηρητής , με γωνιακή ταχύτητα z O k

.

Έχουμε ήδη σημειώσει σε προηγούμενη ενότητα ότι καθώς το σώμα στρέφεται γύρω από τον παρατηρητή O , περιστρέφεται επίσης και γύρω από τον παρατηρητή του κέντρου μά-ζας , και μάλιστα κατά ακριβώς την ίδια γωνία. Με άλλα λόγια, το σώμα εκτελεί στροφι-

κή κίνηση γύρω από τον άξονα – του , με την ίδια γωνιακή ταχύτητα

.

cmO

cmz cmO

cmcm k


Αν είναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα cmzI , cmz που διέρχεται από

το κέντρο μάζας, τότε από τις εξισώσεις Εξ.14 και Εξ.19 η κινητική ενέργεια και η στρο-φορμή του σώματος ως προς τον αδρανειακό παρατηρητή είναι: O

cmzcm

zcm

kIkMRL

IMRK

ˆˆ2

1

2

1

,2

2,

22

Εξ.(20)

Στο σημείο αυτό, ο παρατηρητής του κέντρου μάζας προκαλεί στο σώμα επιπλέον

περιστροφή γύρω από τον μεταβλητό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας και είναι κάθετος στον κατακόρυφο άξονα περιστροφής (δηλαδή γύρω από το διάνυσμα θέσης

cmO

R

του κέντρου μάζας). Η στροφή αυτή δημιουργεί οριζόντια στροφορμή

RRcm

L,,

cmI , όπου είναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα αυτόν

και Rcm

I ,

η γωνιακή ταχύτητα που αντιστοιχεί σε αυτήν την περιστροφή.

Η γενική θεωρία των εξισώσεων κίνησης ενός στερεού σώματος (H. Goldstein) στην ειδική περίπτωση με καθετότητα των δύο γωνιακών ταχυτήτων

και

οδηγεί σε επαύξηση

των εξισώσεων Εξ.(20) με απλή πρόσθεση των αντίστοιχων όρων:

Rcmcmzcm

Rcmzcm

IkIkMRL

IIMRK

,,2

2,

2,

22

ˆˆ2

1

2

1

2

1

Εξ.(21)

Η περίπτωση που το σώμα είναι ομογενής σφαίρα ή ομογενής σφαιρικός φλοιός, είναι πο-λύ συμμετρική και επομένως ειδική, γιατί η ροπή αδράνειας ως προς οποιονδήποτε άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της σφαίρας είναι ίδια: . Επιπλέον αν η

σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει μεταξύ των μέτρων των δύο γωνιακών ταχυτήτων ι-

σχύει η σχέση:

2MrIcm

Rr

. Στην ειδική αυτή περίπτωση, η κινητική ενέργεια και η στρο-

φορμή της σφαίρας ως προς τον αδρανειακό παρατηρητή O είναι:

222

222222

ˆˆ2

1

2

1

2

1

MrkMrkMRL

MrMrMRK

cm

2222

2222

ˆ1

112

1

MrkRrMRL

RrMRK


ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Παραδείγματα προσδιορισμού της θέσης του κέντρου μάζας

Σύστημα 2 υλικών σημείων

dM m

Επιλέγουμε τον άξονα των x έτσι ώστε τα δύο υλικά σημεία να είναι πάνω του. Επί-σης, το σημείο με μάζα M να βρίσκεται στη θέση 0x , ενώ το σημείο με μάζα , να βρίσκεται στη θέση . Το κέντρο μάζα έχει μη μηδενική συντεταγμένη μόνο τη

mdx x :

dmM

m

mM

dmMXcm

0

Εξ.(Π:1)

Αν τότε mM 21

dmM

dXcm

, δηλαδή το κέντρο μάζας βρίσκεται πιο κοντά στο

βαρύτερο σώμα. Αν τα δύο σώματα έχουν ακριβώς την ίδια μάζα, τότε το κέντρο μάζας του συστήματος βρίσκεται ακριβώς στη μέση της απόστασής τους.

Ημικυκλική ομογενής λεπτή στεφάνη

Έστω ημικυκλική λεπτή στεφάνη με ακτίνα R και σταθερή γραμμική πυκνότητα mkg . Η μάζα της στεφάνης είναι RM . Θέλουμε να προσδιορίσουμε τις συντε-

ταγμένες του κέντρου μάζας της.

θ

dθ

Rx

y

O

CMds

Τους υπολογισμούς μας θα τους κά-νουμε σε πολικές συντεταγμένες.

Χωρίζουμε τη στεφάνη σε μικρά τόξα με ακτίνες, που μεταξύ τους έχουν ά-νοιγμα γωνίας d , όπως φαίνεται στο σχήμα.

Το κέντρο του στοιχειώδους κομματιού της στεφάνης που έχουμε σημειώσει έχει συντε-ταγμένες RR , , μήκος Rdds και μάζα Rddsdm . Στον υπολογισμό

της x -συντεταγμένης του κέντρου μάζας συνεισφέρει και στον υπολογισμό της -συντεταγμένης του κέντρου μάζας συνεισφέρει

.

dR2Rdm y

dR2dm R


Προσθέτοντας τις συνεισφορές από όλα τα μικρά κομματάκια έχουμε:

01

0

2

0

2

0

2

M

Rd

M

RRd

MXcm

R

M

R

M

Rd

M

RRd

MYcm

221 2

0

2

0

2

0

2 Εξ.(Π:2)

Άρα το κέντρο μάζας της ημικυκλικής αυτής στεφάνης βρίσκεται πάνω στον άξονα των y και λίγο πιο πάνω από το 2R , ακριβέστερα σε ύψος R637,0 .

Ημικυκλικός ομογενής λεπτός δίσκος

Έστω ημικυκλικός λεπτός ομογενής δίσκος με ακτίνα R και σταθερή επιφανειακή πυ-κνότητα 2mkg . Η μάζα του δίσκου είναι 22RM . Θέλουμε να προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του κέντρου μάζας του.

r dr

θ

dθ

R x

y

O

CM

Τους υπολογισμούς μας θα τους κά-νουμε σε πολικές συντεταγμένες.

Χωρίζουμε το δίσκο σε λεπτούς κυκλι-κούς δακτυλίους πάχους και τον κάθε κυκλικό δακτύλιο ακτίνας

drr τον

χωρίσουμε με ακτίνες, που μεταξύ τους έχουν άνοιγμα γωνίας d , σε μι-κρά κομμάτια κυκλικού τομέα, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Το κέντρο του στοιχειώδους κομματιού του δίσκου που έχουμε σημειώσει έχει συντε-ταγμένες rr , , εμβαδόν ίσο με drrd και μάζα rdrddm . Στον υπολο-

γισμό της x -συντεταγμένης του κέντρου μάζας συνεισφέρει και στον υπολογισμό της

ddrr 2rdm y -συντεταγμένης του κέντρου μάζας συνεισφέρει

. ddrr 2rdm

Προσθέτοντας τις συνεισφορές από όλα τα μικρά κομματάκια έχουμε:

01

0

0

2

00

2

0 0

2

RRR

cm drrM

ddrrM

rddrM

X

3

4

3

23

1 3

003

00

2

0 0

2 R

M

Rr

Mddrr

Mrddr

MY

RRR

cm Εξ.(Π:3)

Άρα το κέντρο μάζας του ημικυκλικού αυτού δίσκου βρίσκεται πάνω στον άξονα των y

και λίγο πιο κάτω από το 2R , ακριβέστερα σε ύψος R424,0 .


Κέντρο μάζας κέντρων μαζών

Έστω ότι έχουμε υλικά σημεία, που το καθένα έχει μάζα και βρίσκεται στη θέση N im

ir

. Το κέντρο μάζας του συστήματος βρίσκεται στη θέση:

N

iiirmM

R1

1 με

N

iimM

1

Χωρίζουμε τα σημεία σε ομάδες σημείων, με τρόπο ώστε κάθε σημείο να ανήκει μόνο σε μια ομάδα.

Έτσι η πρώτη ομάδα περιλαμβάνει υλικά σημεία, που το καθένα έχει μάζα και

βρίσκεται στη θέση 1N im ,1

ir ,1

. Το κέντρο μάζας των σημείων αυτής της ομάδας βρίσκεται στη

θέση:

1

1,1,1

11

1 N

iiirm

MR

με

1

1,11

N

iimM

Όμοια, η δεύτερη ομάδα περιλαμβάνει υλικά σημεία, που το καθένα έχει μάζα

και βρίσκεται στη θέση 2N im ,2

ir ,2

. Το κέντρο μάζας των σημείων αυτής της ομάδας βρίσκεται

στη θέση:

2

1,2,2

22

1 N

iiirm

MR

με

2

1,22

N

iimM

Και ούτω καθεξής. Προφανώς, 21 MMM .

Με αναδιάταξη των όρων στα αθροίσματα για τον προσδιορισμό του κέντρου μάζας όλου του συστήματος, γράφουμε:

22111

,2,21

,1,11

111 21

RMRMM

rmrmM

rmM

RN

iii

N

iii

N

iii Εξ.(Π:4)

Πράγμα που αντιστοιχεί στον προσδιορισμό της θέσης του κέντρου μάζας υλικών ση-μείων, που δεν είναι άλλα από τα κέντρα μάζας των ομάδων, στο καθένα από τα οποία υποτίθεται ότι συμπυκνώνεται η μάζα της αντίστοιχης ομάδας.


Λεπτή ομογενής τριγωνική πλάκα

Έστω λεπτή ομογενής τριγωνική πλάκα με σταθερή επιφανειακή πυκνότητα 2mkg . Η μάζα της πλάκας είναι M . Θέλουμε να προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του κέ-ντρου μάζας του.

x

y

O

dy

dy

dy

-a/2 +a/2

( )x ,h1A

cm

h

B Γ

y

Τοποθετούμε την τριγωνική πλάκα σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η βάση του τριγώνου έχει μήκος a απέναντι κο-ρυφή A ει συντεταγμένες hx ,1 το ύψος του τριγώνου είναι h .

, ηέχ και

Το εμβαδόν του ισούται με 2ah , και επομένως η μάζα του εκφράζεται και ως: 2ahM .

Κόβουμε το τρίγωνο σε οριζόντιες φέτες, απειροστού πάχους . Οι φέτες αυτές δεν έχουν την ίδια μάζα, αφού δεν έχουν το ίδιο μήκος. Το κέντρο μάζας κάθε φέτας βρί-σκεται στο μέσον της, που είναι σημείο της διαμέσου ΑΟ του τριγώνου.

dy

Αφού τα κέντρα μάζας όλων των φετών βρίσκονται επάνω στην διάμεσο ΑΟ τότε και το κέντρο μάζας θα βρίσκεται κάπου επάνω στη διάμεσο ΑΟ.

Για μία τυχαία φέτα θα θέλαμε να ξέρουμε τη μάζα της και τη θέση του κέντρου μάζας της (δηλαδή του μέσου της). Η φέτα μπορεί να προσδιορίζεται από την απόστασή της y από τον οριζόντιο άξονα, όπου το y μεταβάλλεται από 0 μέχρι h .

Οι ευθείες ΑΒ, ΑΟ και ΑΓ περιγράφονται από τις παρακάτω εξισώσεις:

2

2

1 ax

axhy

, 1xhxy και 2

2

1 ax

axhy

αντίστοιχα

Έτσι, για μια φέτα που βρίσκεται σε ύψος , βρίσκουμε ότι το μέσον της έχει συντε-

ταγμένες

y

yhyx ,1 και ότι εκτείνεται από το σημείο yhyaxa ,22 1 έως το ση-

μείο yhyaxa ,22 1 . Το μήκος της είναι:

hyahyaxahyaxaly 12222 11

Και η μάζα της dyhyadm 1


Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας του τριγώνου υπολογίζονται πλέον με βάση τα κέντρα μάζας των φετών:

3632

111

363211

1

2

0

32

00

11

0

321

0

1

0

1

h

M

ah

h

yy

M

ayhydy

M

ayhyady

MY

x

M

ahx

h

yy

Mh

axyhydy

Mh

axhyxhyady

MX

hhh

cm

hhh

cm

Εξ.(Π:5)

Το σημείο αυτό ονομάζεται βαρύκεντρο του τριγώνου.

Το κέντρο μάζας της τριγωνικής πλάκας, για τον ίδιο λόγο που βρίσκεται επάνω στη διάμεσο ΑΟ θα βρίσκεται επίσης επάνω και στις άλλες δύο διαμέσους. Αυτό σημαίνει ότι το κέντρο βάρους του τριγώνου είναι κοινό σημείο όλων των διαμέσων, ή αλλιώς, και οι τρεις διάμεσοι διέρχονται από το ίδιο σημείο, το βαρύκεντρο του τριγώνου.

Τρύπιος ομογενής κυκλικός δίσκος

Από ένα λεπτό ομογενή κυκλικό δίσκο με ακτίνα R , σταθερή επιφανειακή πυκνότητα 2mkg και μάζα , αφαιρούμε ένα κυκλικό κομμάτι, με ακτίνα 2RM 2R , όπως

φαίνεται στο σχήμα. Θέλουμε να γνωρίζουμε τη θέση του κέντρου μάζας του κομματιού του δίσκου που απέμεινε.

RR/2Ocm

d

Το κομμάτι που αφαιρέθηκε έχει μάζα 42Rm και επομένως το κομμάτι που απέμεινε θα έχει μάζα

43 2RmM .

Μελετούμε τον αρχικό πλήρη δίσκο που αποτελείται από αυτά τα δύο κομμάτια.

Αν το κέντρο του πλήρους δίσκου βρίσκεται στην αρχή του άξονα x και το κέντρο του κομματιού που αφαιρέ-σαμε στο σημείο 2R x , τότε το κέντρο μάζας του κομ-ματιού που απέμεινε θα βρίσκεται στο σημείο x d . Από τους τύπους υπολογισμού της θέσης του κέντρου μάζας, για τον πλήρη δίσκο, γράφουμε:

622

10 RR

mM

mddmM

Rm

M

Εξ.(Π:6)


Ομογενής ορθός κώνος

Έστω ο ορθός ομογενής κώνος, με μάζα M , με πυ-κνότητα 3mkg , με κυκλική βάση ακτίνας R και με ύψος . h

Κόβουμε τον κώνο σε λεπτές κυκλικές φέτες πάχους . Η ακτίνα dy r μιας λεπτής φέτας εξαρτάται από τη

θέση της. Αν είναι η απόσταση του κέντρου της από την κορυφή του κώνου, από την ομοιότητα ορθογωνίων τριγώνων ισχύει:

yO

hRyr . Ο όγκος

της λεπτής φέτας είναι: και η μάζα της: dyrdV 2dVdm .

Θέλουμε να γνωρίζουμε τη θέση του κέντρου μάζας του κώνου. Από τη συμμετρία του κώνου, το κέντρο μάζας θα βρίσκεται πάνω στο ύψος του κώνου. Η απόσταση του κέ-ντρου μάζας από την κορυφή του κώνου θα είναι:

hh

cm rydyV

dmyM

y0

2

0

11

Ο όγκος του κώνου ισούται με: hRdyyh

RrdydVV

hhh2

0

22

2

0

2

0 3

1

Οπότε:

43333

0

33

02

23

20

22 hydy

hh

Rydy

hRyrdy

hRy

hhh

cm Εξ.Π.7


Ομογενής ημισφαιρικός λεπτός φλοιός

Έστω ημισφαιρικός λεπτός φλοιός με α-κτίνα R και σταθερή επιφανειακή πυκνό-τητα 2mkg . Το εμβαδόν του ημισφαι-

ρικού φλοιού είναι , οπότε και η μάζα του είναι .

22 R2R2M

Από τη συμμετρία του ημισφαιρίου το κέ-ντρο μάζας του θα βρίσκεται πάνω στον άξονα συμμετρίας του.

Τους υπολογισμούς μας θα τους κάνουμε σε πολικές συντεταγμένες.

Με επίπεδα παράλληλα στη βάση του ημισφαιρικού φλοιού, τον χωρίζουμε σε λεπτές κυκλικές λουρίδες, πάχους dRds και μάζας . dm

Η ακτίνα r των λωρίδων, οπότε και το μήκος τους r2 , εξαρτάται από τη θέση του κέντρου τους, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η μάζα της λωρίδας είναι:

ydsrdm 2 .

Αν είναι η πολική γωνία ενός σημείου της λεπτής λωρίδας, το κέντρο της λωρίδας θα απέχει από το κέντρο του ημισφαιρίου απόσταση O Ry , ενώ η ακτίνα της λωρί-δας θα είναι: Rr .

Μεταβάλλοντας την πολική γωνία από έως 0 2 , η απόσταση του κέντρου μάζας από το κέντρο του ημισφαιρίου θα είναι:

2

02

2

0

2

0

2

0 2

2

211

dR

R

RdRR

dsrRM

dmyM

ycm

224

224

22

20

2

0

2

0

RR

dR

dR

ycm

Εξ.Π.8


Ομογενές ημισφαίριο

Έστω ομογενές ημισφαίριο με ακτίνα R και σταθερή πυκνότητα 3mkg . Ο όγκος του ημισφαιρίου είναι

32 2R , οπότε και η μάζα του είναι

32 3RM .

Από τη συμμετρία του ημισφαιρίου το κέντρο μάζας του θα βρίσκεται πάνω στον άξονα συμμετρίας του. Τους υπολογισμούς μας θα τους κά-νουμε σε πολικές συντεταγμένες.

Με επίπεδα παράλληλα στη βάση του ημισφαιρίου, το χωρίζουμε σε λεπτές κυκλικές φέτες μάζας dm .

Η ακτίνα r μιας φέτας, εξαρτάται από την απόσταση y του κέντρου της από το κέντρο του ημισφαιρίου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν είναι το πάχος της λεπτής φέτας, η

μάζα της είναι: .

dy

dyrdm 2

Αν είναι η πολική γωνία ενός σημείου της λεπτής λωρίδας που αποτυπώνει η φέτα πάνω στην επιφάνεια του ημισφαιρίου, το κέντρο της φέτας θα απέχει από το κέντρο του ημισφαιρίου απόσταση

ORy , ενώ η ακτίνα της θα είναι: Rr .

Το πάχος της φέτας μπορεί να προσδιοριστεί είτε παραγωγίζοντας τη σχέση dyRy είτε και γεωμετρικά. Αν σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου η

υποτείνουσα να περιέχει το μικρό τόξο Rdds – πάχος της λεπτής λωρίδας και η μία κάθετος το πάχος dy , τότε αποδεικνύουμε ότι: dsdy .

Μεταβάλλοντας την πολική γωνία από έως 0 2 , η απόσταση του κέντρου μάζας από το κέντρο του ημισφαιρίου θα είναι:

32

113

2

0

222

0

22

0 R

RdRR

dyrRM

dmyM

ycm

8342

3

2

3

2

32

0

42

0

32

0

3 RR

dR

dR

ycm

Εξ.Π.9



ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Herbert Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley 1977

2. C. Moeller, The Theory of Relativity, Oxford University Press 1972

3. Alexander L. Fetter & John Dirk Walecka, Theoretical mechanics of particles and continua, McGraw-Hill Book Company 1980

Το κέντρο μάζας ενός συστήματος υλικών...

Documents

Transcript of Το κέντρο μάζας ενός συστήματος υλικών...