ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ...

Click here to load reader

  • date post

    25-May-2020
  • Category

    Documents

  • view

    0
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ...

  • ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Α' & Β' ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΜΙΝΙΩΝ

    ΤΙΤΛΟΣ: Η ΟΜΟΡΦΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

    Φεβρουάριος- Ιούνιος 2012

    Επιβλέποντες καθηγητές ΠΕ 3:

    Θ. Παπαδημητρίου Α1, Α2, Α3, Α4 Ε. Χατζησταματίου Α5, Β2, Β3, Β5 Β. Παναγιωτόπουλος Β1, Β4 Α. Αναστασίου Α6

    Θέματα: 1. Άπειρο και τα παράδοξά του 2. Αριθμητικά τετράγωνα περιττής τάξης 3. Γεωμετρικές κατασκευές - τα 4 άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας 4. Διαγωνισμός Θαλής της ΕΜΕ - Ολυμπιάδες - μετάλλιο Fields 5. Εικασίες: η εικασία του P. Fermat (1637), αποδείχθηκε (1995) από τον A. Wiles 6. Εscher M.C.: ο ολλανδός χαράκτης 7. Fibonnaci αριθμοί: το παράδειγμα με τα κουνέλια και τις μέλισσες 8. Fractals: αυτo-όμοια σχήματα, πχ του B. Mandelbrot 9. Hanoi πύργος: μετακινείστε τον, μεταφέροντας έναν έναν τους δίσκους του 10. Ηλιακό ρολόι (κατασκευή) 11. Ημερολόγια: κύκλος ηλίου - κύκλος σελήνης - ισημερίες - εορτασμός Πάσχα 12. Ιστορία των Μαθηματικών - Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί - Ευκλείδης 13. Καμπύλες: καρδιοειδής - κογχοειδής - κισσοειδής - στροφοειδής - δελτοειδής 14. Κανονικά πολύγωνα και αριθμοί Fermat 15. Κανονικά πολύεδρα 5 (Πλάτωνα) - Ημικανονικά πολύεδρα 13 (Αρχιμήδους) 16. Κωνικές τομές: οι 3 καμπύλες του Απολλώνιου 17. Μobius ταινία 18. Μουσική & Μαθηματικά: το μονόχορδο του Πυθαγόρα και η μουσική εξέλιξη 19. Όγκοι στερεών: Vκώνου+Vσφαίρας = Vκυλίνδρου 20. Origami - Tangram 21. π = 3,14… (το πηλίκο της περιφέρειας με τη διάμετρο) 22. Πολύγωνοι αριθμοί: τρίγωνοι, τετράγωνοι, … 23. Πρώτοι αριθμοί 24. Πυθαγόρειο θεώρημα 25. Rubik κύβος 26. Sudoku 27. Συνδιαστική: yin & yang τριγράμματα 28. Συμμετρία 29. Τέλειοι αριθμοί και αριθμοί Mersenne 30. Τέχνη (αρχιτεκτονική, γλυπτική, ζωγραφική) & Μαθηματικά: το φ του Φειδία 31. Το τρίγωνο του Pascal 32. Φύση & Μαθηματικά 33.

    Aφιερώνεται στους:

    Henry Poincare (+1912) Jiovanni-Domenico Cassini (+1712) Alan Turing (*1912)

  • 1. Άπειρο και τα παράδοξά του

  • 2. Aριθμητικά τετράγωνα περιττής τάξης

    8 1 6 3 5 7 4 9 2 Στο παραπάνω τετράγωνο, κάθε γραμμή έχει άθροισμα 15. Επίσης κάθε στήλη και κάθε

    διαγώνιος. Αυτό το τετράγωνο λέγεται αριθμητικό.

    Η διάταξη των αριθμών είναι 3Χ3, για αυτό λέμε η τάξη του είναι ν=3. Περιέχει τους

    αριθμούς 1, 2, …, ν2. 1 Το 15 λέγεται σταθερά Α του τετραγώνου και υπολογίζεται ως εξής: Ισχύει

    1+2+…+9 = 2 109 

    = 45

    αλλά έχουμε βρει το άθροισμα 3 γραμμών, έτσι η ζητούμενη σταθερά είναι 45:3 = 15.

    Γενικότερα είναι Α = 2

    )1( 2

    )1( 222  

      

    v .

    Έτσι έχω: ν Α 3 15 4 34

    1 Αν τον αριθμό στο κέντρο του τετραγώνου τον πούμε μεσαίο μ (για ν=3, μ=5) τότε ισχύει ότι μ =

    2 12 

    , οπότε Α=ν·μ.

  • 5 65 6 111 7 175 … … Στο παραπάνω αριθμητικό τετράγωνο μπορούμε να αλλάξουμε τη θέση της 1ης στήλης με την 3η: θα προκύψει πάλι αριθμητικό τετράγωνο με την ίδια σταθερά. Επίσης της 1ης γραμμής με την 3η. Ακόμη μπορούμε να προσθέσουμε έναν αριθμό α, πχ α = 10 σε κάθε έναν από τους παραπάνω αριθμούς: θα προκύψει πάλι αριθμητικό τετράγωνο. 18 11 16 13 15 17 14 19 12

    Τότε Α = 3·10+15 = 45 και γενικότερα Α = ν·α+ 2

    )1( 2  .2

    Τρόπος κατασκευής: Αν ν=περιττός, τότε υπάρχει λύση: 1ος τρόπος (του Yang Hui, +1298): γράφω διαγώνια τους αριθμούς 1, 2, …, 9: 9

    8 … 6 7 … 5 … 3

    4 … 2 1

    Η περιοχή με τα έντονα γράμματα θα αποτελέσει το τετράγωνο. Μετακινώ το 1 και το 9 μέσα στο τετράγωνο, πηγαίνοντάς τα σε τετράγωνο της ίδιας στήλης, αλλά στο πιο μακρινό: 8 1 6 7 … 5 … 3 4 9 2 Μετακινώ το 3 και το 7 μέσα στο τετράγωνο με παρόμοιο τρόπο: 8 1 6 3 5 7 4 9 2 2ος τρόπος (από το Σιάμ/Ταϋλάνδη): φανταστείτε ότι το τετράγωνο επαναλαμβάνεται γεμίζοντας το επίπεδο.

    Αρχίζω από τη μεσαία θέση της 1ης γραμμής, όπου γράφω το 1: … 1 … … … … … … … Γεμίζω πηγαίνοντας προς τα επάνω & δεξιά: 2 … 1 … … … … … … … Αν ο αριθμός είναι εκτός του τετραγώνου, τον πηγαίνω στη θέση του: αν φανταστείτε ακόμη ένα τετράγωνο πάνω από δεδομένο, το 2 θα ήταν στην κάτω δεξιά γωνία του. Το γράφω στην κάτω δεξιά γωνία του δεδομένου τετραγώνου: … 1 … … … … … … 2

    2 Α = ν·α+ν·μ = ν(α+μ).

  • Γεμίζω πηγαίνοντας επάνω & δεξιά. Είμαι εκτός του τετραγώνου. αν φανταστώ ακόμη ένα τετράγωνο δεξιά του δεδομένου, το 3 θα ήταν στη μέση της 1ης στήλης του. Το γράφω στη μέση της 1ης στήλης του δεδομένου τετραγώνου: … 1 … 3 … … … … 2 Επειδή η επόμενη θέση είναι κατειλημένη, δεν συνεχίζω επάνω & δεξιά, αλλά κάτω από εκεί που είναι το 3: … 1 … 3 … … 4 … 2 συνεχίζω επάνω & δεξιά: … 1 … 3 5 … 4 … 2 … 1 6 3 5 … 4 ... 2 Σε ένα φανταστικό τετράγωνο διαγώνια επάνω δεξιά από το δεδομένο, το 7 θα ήταν στην κάτω αριστερά γωνία του. Επειδή είναι κατειλημένη (από το 4), γράφω το 7 κάτω από τον τελευταίο αριθμό που έγραψα: … 1 6 3 5 7 4 ... 2 Σε ένα φανταστικό τετράγωνο δεξιά από δεδομένο, το 8 θα ήταν στην πάνω αριστερή γωνία: 8 1 6 3 5 7 4 … 2 Σε ένα φανταστικό τετράγωνο επάνω από το δεδομένο, το 9 θα ήταν στη μέση της κάτω γραμμής. Το γράφω στη μέση της κάτω γραμμής του δεδομένου τετραγώνου: 8 1 6 3 5 7 4 9 2 Συνοπτικά η τεχνική έχει ως εξής: 1. Ξεκινώ από τη μεσαία θέση της 1ης γραμμής, όπου γράφω το 1. 2. Συνεχίζω με την επάνω δεξιά θέση. Αν είναι κατειλημένη, συνεχίζω κάτω από τον τελευταίο αριθμό που έγραψα. Αν είμαι έξω από το δεδομένο τετράγωνο, φαντάζομαι ένα άλλο, σε ποια θέση θα γραφόταν και το γράφω στην ίδια θέση στο δεδομένο τετράγωνο.

    Το παρακάτω είναι ένα αριθμητικό τετράγωνο τάξης 5 (με τον τρόπο από το Σιάμ):

    17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22

  • 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 και το επόμενο είναι 7Χ7:

    22 47 16 41 10 35 4 5 23 48 17 42 11 29 30 6 24 49 18 36 12 13 31 7 25 43 19 37 38 14 32 1 26 44 20 21 39 8 33 2 27 45 46 15 40 9 34 3 28 Για ν=άρτιος δεν υπάρχει γενική μέθοδο