gerasimos-politis.blogspot.com http://gerasimos-politis.blogspot.com/2011/12/blog-post_09.html

Μια σύγχρονη μαθηματική θεωρία μπορεί να αναλύσεικάθε είδος αναμέτρησης, από την ντάμα και το σκάκιμέχρι τον «τζόγο» ή έναν πυρηνικό πόλεμο, και ναπροβλέψει τον νικητή.

Η φύση αποτελεί το μεγαλύτερο εργαστήριοπειραμάτων. Πράγματι, για να επεξεργαστούν μιαθεωρία, οι επιστήμονες συνήθως ξεκινούνπαρατηρώντας τη φύση, στη συνέχεια αφαιρούν τα μηουσιώδη στοιχεία και τέλος δοκιμάζουν να κάνουνπροβλέψεις για αυτό που θα έπρεπε να συμβεί σεαπόλυτα ελεγχόμενες πειραματικές συνθήκες. Αυτόέκανε ο...Ισαάκ Νεύτων για να επεξεργαστεί τη θεωρία τηςπαγκόσμιας έλξης: παρατήρησε ότι τα σώματαπέφτουν, παράβλεψε την τριβή με τον αέρα καιεφάρμοσε τις υποθέσεις του για την αμοιβαία έλξηακόμα και στους πλανήτες. Η παρατήρηση τωντροχιακών κινήσεών τους επιβεβαίωσε τους συλλογισμούς του.

«Ανθρώπινες» εξισώσεις

Ο Τζον Νας, τη δεκαετία του ’50, έκανε κάτι παρόμοιο δημιουργώντας ένα νέο μαθηματικό πεδίο πουονομάστηκε «θεωρία παιγνίων»: παρατήρησε πώς συμπεριφέρονται οι άνθρωποι σε διάφορες καταστάσεις,έφτιαξε ένα απλοποιημένο σχήμα των σχέσεων και των ενεργειών τους και επεξεργάστηκε κάποιεςεξισώσεις που τις περιέγραφαν. Το αποτέλεσμα δεν ήταν βέβαια ο μαθηματικός τύπος των ανθρώπινωνσχέσεων, όμως αποδείχτηκε αρκετά σημαντικό ώστε να του χαρίσει το νόμπελ οικονομίας το 1994.

Το 2000 ο Κρις Φέργκιουσον κέρδισε το πρώτο βραβείο και 1,5 εκατομμύριο δολάρια, στο Poker WorldSeries Champion στο Λας Βέγκας. Στο τουρνουά συμμετείχαν περίπου 500 παίκτες, όμως ο Φέργκιουσον,που είχε το παρατσούκλι «Ιησούς» λόγω των γενειάδας και των μακριών μαλλιών του, κατάφερε να τουςνικήσει όλους, ακόμα και παίκτες πολύ πιο έμπειρους από εκείνον, χάρη στη θεωρία παιγνίων.

Η εποχή με τους παίκτες που είναι προικισμένοι μόνο με ταλέντο έχει περάσει ανεπιστρεπτί. Για να νικήσεικάποιος στο πόκερ, εκτός από τα απαραίτητα χαρίσματα της πειθαρχίας και της υπομονής, πρέπει να έχεικαι μαθηματική ικανότητα, για να μπορεί να υπολογίζει τις επιπτώσεις κάθε κίνησης. Πράγματι, οΦέργκιουσον ανέλυσε ένα μεγάλο αριθμό παρτίδων, για να επεξεργαστεί τη νικηφόρα στρατηγική του.

Βομβαρδίστε την ΕΣΣΔ!

«Αν παίζουν δύο, συμφέρει να μπλοφάρεις μόνο όταν έχεις τα χειρότερα χαρτιά, όχι όταν έχεις μέτρια».Αυτός ο κανόνας αναφέρεται στο βιβλίο Theory of Games and EconomicBehaviour (1944) του μαθηματικούΤζον φον Νόιμαν και του οικονομολόγου Όσκαρ Μόργκενστερν, που συγκαταλέγονται τους θεμελιωτές τηςθεωρίας παιγνίων.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μείνει μόνο δύο παίκτες. Ο μοναδικός τρόπος για να κερδίσω ενώ έχω ταχειρότερα χαρτιά είναι να μπλοφάρω. Αν περιμένω την κίνηση του αντίπαλου, θα χάσω, είτε αυτός ποντάρειείτε όχι.

Τον Φον Νόιμαν τον ενδιέφερε το πόκερ μόνο ως σημείο αφετηρίας για μια θεωρία που θα εξηγούσε κάθεείδος ανθρώπινης σχέσης, από την οικονομία ως τις σχέσεις των ζευγαριών. «Η ζωή είναι γεμάτη μπλόφες»,υποστήριζε, «γεμάτη μικρές τακτικές παραπλάνησης: αυτό αποκρυπτογραφούν τα παιχνίδια της θεωρίαςμου». Στόχος ομολογουμένως πολύ φιλόδοξος, ακόμα και γι’ αυτόν τον εκκεντρικό επιστήμονα που, όπωςλέγεται, κατάφερνε να απομνημονεύσει μια σελίδα του τηλεφωνικού καταλόγου μέσα σε λίγα λεπτά. Όμωςπολλά συμπεράσματα του Φον Νόιμαν ισχύουν ακόμα σε μεγάλο βαθμό, παρ’ όλο που κάποια οδήγησαν σεπαράδοξες προτάσεις. Για παράδειγμα, μετά το Β΄ Παγκόσμιο πόλεμο υπήρχε μεγάλη ένταση ανάμεσα στηνΕΣΣΔ και τις ΗΠΑ. Βασισμένος στη θεωρία παιγνίων, ο Φον Νόιμαν προέβλεψε ότι, όταν η Σοβιετική Ένωσηκατασκεύαζε την ατομική βόμβα, θα ξεκινούσε ένας φρενήρης συναγωνισμός πυρηνικών εξοπλισμών. Για νααποφευχθεί αυτό το αδιέξοδο, ο Φον Νόιμαν πρότεινε μια δραστική λύση: να βομβαρδιστεί με πυρηνικά ηΕΣΣΔ για προληπτικούς λόγους. Ευτυχώς δεν εισακούστηκε.

Συνεργασία αντί ανταγωνισμού

Από αυτό το επεισόδιο μπορεί να δημιουργηθεί η εντύπωση ότι Φον Νόιμαν απέκλειε τη δυνατότητασυνεργασίας. Ωστόσο ο ίδιος έθεσε τη συνεργασία στους ακρογωνιαίους λίθους της θεωρίας του. Γνώριζε,πράγματι, ότι σε ορισμένες περιπτώσεις η συνεργασία είναι επωφελής. Όπως σε μια σκηνή της ταινίας Έναςυπέροχος άνθρωπος που περιγράφει τη ζωή του μαθηματικού Τζον Νας: σε ένα μπαρ βρίσκονται τέσσεριςφίλοι που διασκεδάζουν, ενώ ο Νας είναι απορροφημένος με τη δουλειά του. Η πόρτα ανοίγει και μπαίνουνπέντε κοπέλες, μια εντυπωσιακή ξανθιά και τέσσερις μελαχρινές. Οι τέσσερις φίλοι γοητεύονται από τηνξανθιά και προκαλούν ο ένας τον άλλο για το ποιος θα καταφέρει να την κατακτήσει.Ο Νας όμως κάνει τηνεξής παρατήρηση: «Αν προσπαθήσετε όλοι να κατακτήσετε την ξανθιά, θα ακυρώσετε αμοιβαία τιςπροσπάθειές σας και στη συνέχεια, όταν θα συμβιβαστείτε με τις μελαχρινές, εκείνες θα σαςαπορρίψουν, γιατί καμιά γυναίκα δεν θέλει να αποτελεί τη δεύτερη επιλογή. Ο μοναδικός τρόποςγια να κερδίσετε είναι να δοκιμάσει καθένας με μια μελαχρινή και κανένας με την ξανθιά». Αυτή ηιστορία, παρ’ όλο που πλάστηκε στο μυαλό των σεναριογράφων της ταινίας και όχι του ίδιου του Νας, μαςδιδάσκει ότι το καλύτερο σύστημα δεν είναι πάντα αυτό στο οποίο καθένας αγωνίζεται για τοατομικό συμφέρον του.

Ποιος έχει το πάνω χέρι;

Όμως τα λεγόμενα «συνεργατικά παιχνίδια» είναι εξαιρετικά πολύπλοκα. Για παράδειγμα, είναι δύσκολο νακαθορίσουμε ποιος από τους πολλούς μετόχους μιας εταιρείας έχει τον έλεγχο, γιατί οι πιθανές συμμαχίεςκαθιστούν απρόβλεπτη την κατάσταση.

Ας υποθέσουμε ότι το ελληνικό κράτος αποφασίζει να ιδιωτικοποιήσει μια εταιρεία και πρέπει να καθορίσειτο ποσοστό που μπορεί να πουλήσει ώστε να συνεχίσει να έχει τον έλεγχό της. Σε πρώτη ανάγνωσηφαίνεται ότι, κρατώντας το 51% των μετοχών, το κράτος παραμένει το αφεντικό. Αυτή η απόφαση είναιέξυπνη από οικονομική άποψη; Η απάντηση είναι όχι. Το κράτος μπορεί να συνεχίσει να βρίσκεται στο τιμόνιτης εταιρείας κρατώντας το 35% ή και ακόμα λιγότερο. Φυσικά χρειάζεται πολλή προσοχή, γιατί αν το κράτοςκρατήσει το 35% και πουλήσει το υπόλοιπο 65% σε ένα μεγιστάνα, η εταιρεία δεν ανήκει πλέον στο ελληνικόκράτος αλλά στο μεγιστάνα. Αν θέλει να διατηρήσει τον έλεγχο, πρέπει να φροντίσει ώστε οι υπόλοιπεςμετοχές να καταλήξουν στα χέρια χιλιάδων μικρομετόχων.

Ο δείκτης του Σάπλεϊ

Ένα μέτρο για την ικανότητα ελέγχου ενός μετόχου στην εταιρεία είναι ο λεγόμενος «δείκτης ισχύος», πουμπορεί να υπολογιστεί με πολλούς τρόπους. Ο πιο γνωστός είναι ο δείκτης του Σάπλεϊ, από το όνομα τουεμπνευστή του, Λόιντ Στόγουελ Σάπλεϊ, συμφοιτητή του Νας στο Πρίνστον. Αυτός ο δείκτης μπορεί ναχρησιμοποιηθεί και για το διαμερισμό των κερδών, τα οποία δεν είναι απαραιτήτως ανάλογα με τον αριθμότων μετοχών που κατέχει κάθε μέτοχος. Ιδού ένα συγκεκριμένο παράδειγμα: αν το 100% των μετοχών έχειμοιραστεί σε τέσσερις συνεταίρους που κατέχουν αντίστοιχα το 10%, το 20%, το 30% και το 40%, ο δείκτηςτου Σάπλεϊ προβλέπει ότι τα κέρδη θα διανεμηθούν ως εξής: 8,3%, 25%, 25%, και 41,6%.

Κάλλιο πέντε...

Σε κάποια παιχνίδια δεν προβλέπεται η συνεργασία, αλλά μπορεί να εκδηλωθεί αυθόρμητα. Ένα γνωστόπαράδειγμα είναι το «δίλημμα του κατηγορούμενου»: δύο εγκληματίες ύποπτοι για τη συμμετοχή σε μιαληστεία συλλαμβάνονται και ανακρίνονται χωριστά. Ο ανακριτής λέει και στους δύο: «Γνωρίζουμε ότι είστεένοχοι. Αν εσύ ομολογήσεις και ο συνεργός σου δεν ομολογήσει, θα είσαι ελεύθερος και ο φίλος σου θαεκτίσει ποινή δεκαετούς φυλάκισης. Αν όμως ομολογήσετε και οι δύο, θα μοιραστείτε την ποινή: 5 χρόνιαέκαστος. Σε περίπτωση που δεν ομολογήσει κανείς σας, θα πάρετε το ελάχιστο, 1 χρόνο έκαστος. Σεπληροφορώ ότι ο συνεργάτης μου κάνει την ίδια κουβέντα με το συνεργό σου. Τι αποφάσισες να κάνεις;». Οιδύο παίκτες έχουν όλες τις πληροφορίες (το παιχνίδι είναι «πλήρους πληροφόρησης»), αλλά βρίσκονταιχωριστά και δεν μπορούν να επικοινωνήσουν (το παιχνίδι είναι «μη συνεργατικό»).

Για τα παιχνίδια αυτού του είδους ο Νας απέδειξε, εν έτει 1950, την ύπαρξη μιας ισορροπίας, δηλαδή ενόςσυνδυασμού «βέλτιστων» στρατηγικών. Στο δίλημμα του φυλακισμένου, η ισορροπία του Νας προβλέπει ότιθα ομολογήσουν και οι δύο. Πράγματι, ο κίνδυνος δεκαετούς φυλάκισης ξεπερνά το δυνητικό όφελος από τηφυλάκιση ενός μόνου χρόνου.

Τα αποτελέσματα αυτού του είδους μπορεί να μοιάζουν προφανή, όμως οι ίδιες τεχνικές υπολογισμούμπορούν να εφαρμοστούν σε καταστάσεις όλο και πιο πολύπλοκες, παρέχοντας λιγότερο προφανήαποτελέσματα.

Το δίλημμα του καφέ

Η θεωρία του Νας είναι εμπνευσμένη από ένα μαθηματικό μοντέλο του 1838 του Γάλλου οικονομολόγου

Αντουάν Ογκιστέν Κουρνό, στο οποίο δύο εταιρείες αγωνίζονται για την κυριαρχία στο ίδιο κομμάτι τηςαγοράς.

Σε αυτή την περίπτωση μπορεί να προκύψει μια κατάσταση παρόμοια με το δίλημμα του κατηγορούμενου,όπως το εξής παράδειγμα: σε μια περιοχή υπάρχουν μόνο δύο καφετέριες και ο νόμος λέει ότι στην αρχήκάθε μήνα οι δύο ιδιοκτήτες πρέπει να ορίζουν την τιμή του καφέ για όλο τον προσεχή μήνα. Οιεπιτρεπόμενες τιμές είναι μόνο δύο: 1 ευρώ και 1,5 ευρώ. Αν οι δυνητικοί πελάτες είναι πάντα οι ίδιοι, πόσοθα χρεώνουν τον καφέ οι δύο καφετέριες; Με την υψηλή ή τη χαμηλή τιμή; Οι δύο ιδιοκτήτες μπορούν νασυμφωνήσουν και να κρατήσουν την τιμή στο 1,5 ευρώ. Οι πελάτες θα μοιραστούν δίκαια και στις δύοκαφετέριες. Όμως αν ένας από τους δύο χαμηλώσει την τιμή, θα «κλέψει» πελάτες του άλλου και συνεπώςθα κερδίζει περισσότερα. Όπως στο προηγούμενο δίλημμα, οι παίκτες τείνουν να «προδίδουν» ο ένας τονάλλο. Η κύρια διαφορά ανάμεσα στα δύο παιχνίδια είναι ότι το «δίλημμα του καφέ» επαναλαμβάνεται, άραμπορεί να προκύψει η συνεργασία.

Αν κάποιος από τους δύο προδώσει τον άλλο, πρέπει να περιμένει ότι στο μέλλον ο αντίπαλός του θα κάνειτο ίδιο. Είναι λοιπόν πιθανό να κρατήσουν και οι δύο την τιμή στο 1,5 ευρώ σχηματίζοντας ένα «καρτέλ»ακόμα και χωρίς συγκεκριμένη συμφωνία. Αυτό εξηγεί γιατί είναι πολύ δύσκολο για τους ελέγχους αντιτράστνα αποδείξουν την ύπαρξη των «καρτέλ»: μπορεί να υπάρχει σύμπραξη ανάμεσα σε εταιρείες πουδραστηριοποιούνται στον ίδιο τομέα ακόμα και χωρίς συγκεκριμένες μυστικές συμφωνίες.

Τριψήφιο κόλπο

Μια συγκεκριμένη περίπτωση στην οποία, κατά τη διάρκεια ενός μη συνεργατικού παιχνιδιού, αναπτύχθηκεμια μορφή συνεργασίας είναι οι πλειστηριασμοί συχνοτήτων τηλεφωνίας που προκηρύσσονταν στις ΗΠΑ απότο 1994. Αρχικά όλα έβαιναν καλώς, αλλά το 1997 κάτι άλλαξε. Εκείνη τη χρονιά το αμερικανικό κράτοςκέρδισε από τις πωλήσεις των συχνοτήτων μόλις το 1% του ποσού που είχε προβλέψει: σαν να λέμε ότιβγάζοντας ένα σπίτι σε πλειστηριασμό θα κέρδιζε κάποιος 5.000 ευρώ αντί για 500.000. Αν οι εταιρείες πουπλειοδοτούσαν συναγωνίζονταν η μία την άλλη σε κάθε συχνότητα χωριστά, θα ανέβαζαν πολύ τη ζήτηση καισυνεπώς θα η τελική τιμή θα ήταν πολύ ακριβή. Άρχισαν λοιπόν να ανταλλάσσουν σινιάλα με ένα ευφυέςσύστημα που οι διοργανωτές της δημοπρασίας δεν είχαν προβλέψει: για τις εταιρείες που συμμετείχαν στηδημοπρασία δεν είχε μεγάλη διαφορά να ξοδέψουν 1.537.000 δολάρια ή 1.537.385… όμως η δεύτερηπροσφορά περιείχε ένα μήνυμα προς τους άλλους, το οποίο αναφερόταν στη συχνότητα που προτιμούσεαυτός που έκανε την προσφορά. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον κώδικα, οι συμμετέχοντας στη δημοπρασίακατάφεραν να συμφωνήσουν χωρίς ποτέ να συναντηθούν.

Μετά από λίγα χρόνια όμως, μια άλλη δημοπρασία για δικαιώματα κινητής τηλεφωνίας που έγινε στην Αγγλίαοργανώθηκε από ειδικούς στη θεωρία παιγνίων, οι οποίοι εμπόδισαν αυτές τις παράνομες συνεννοήσεις: ηπροσφορά στρογγυλοποιούνταν εξαλείφοντας τα τρία τελευταία ψηφία, άρα τα 1.537.385 δολάρια γίνονταν1.537.000. Ξέσπασε έτσι το αντίθετο αποτέλεσμα: καθώς ανέβαιναν οι προσφορές, οι συμμετέχοντεςπείθονταν αμοιβαία για την αξία των δημοπρατούμενων αδειών και ανέβαζαν την προσφορά. Αυτό τοσοβαρότατο «παιχνίδι» μας διδάσκει ότι, για να έχει όφελος ο δημοπράτης σε έναν πλειστηριασμό, πρέπεινα εμποδίσει τη συνεργασία, διαφορετικά κινδυνεύει να βρεθεί σε ένα παιχνίδι τελείως διαφορετικό από αυτόπου είχε διοργανώσει.

Ασφαλιστικές δικλείδες

Μια παρόμοια οικονομική συναλλαγή είναι η πώληση ενός μεταχειρισμένου αυτοκινήτου. Εδώ όμως οι δύοπρωταγωνιστές (ο πωλητής και ο αγοραστής) έχουν διαφορετικό βαθμό πληροφόρησης. Ενώ ο πωλητήςγνωρίζει πλήρως τα προτερήματα και τα ελαττώματα του εμπορεύματός του, ο αγοραστής δεν μπορεί παράνα έχει μια ανακριβή ιδέα. Γι’ αυτό, αν πραγματοποιηθεί η πώληση, ο πωλητής κερδίζει περισσότερα απότην πραγματική αξία του αυτοκινήτου, ενώ ο αγοραστής πάντα χάνει κάτι. Μια αγορά με αυτούς τους«κανόνες» δε θα είχε λόγο ύπαρξης: για να λειτουργήσει, κάθε αγοραστής θα έπρεπε να έχει όλες τιςαπαραίτητες πληροφορίες.

Η συναλλαγή του παραδείγματος ανήκει σε μια μεγάλη κατηγορία καταστάσεων στις οποίες ένας από τουςδύο πρωταγωνιστές διαθέτει περισσότερες πληροφορίες από τον άλλο. Χάρη στην ανάλυση αυτών τωνπροβλημάτων, ο Τζ. A. Άκερλοφ, ο Μάικλ Σπενς και ο Τζόζεφ Στίγκλιτς κέρδισαν το βραβείο νόμπελοικονομίας το 2001. Τα προβλήματα που ονομάζονται «πλήρους πληροφόρησης» είναι πολύ κοινά καισυνεπώς πολύ σημαντικά. Η πώληση ενός οποιουδήποτε καταναλωτικού προϊόντος είναι ένα από αυτά.Πόσο θα αντέξει το κινητό που αγοράσαμε; Είναι φτιαγμένο με ποιοτικά ή φτηνά υλικά; Τη στιγμή της αγοράςδεν μπορούμε να είμαστε βέβαιοι. Γι’ αυτό υπάρχουν διάφορες ασφαλιστικές δικλείδες, όπως η εγγύηση καιτο δικαίωμα επιστροφής, που καθησυχάζουν τον καταναλωτή για την πραγματική αξία του προϊόντος.

Υπολογισμός της «ωφέλειας»

Στα παιχνίδια όπου μπορεί να καθοριστεί η «ωφέλεια» κάθε παίκτη μπορούν να βρεθούν πολύσυγκεκριμένες λύσεις. Ένα καλό παράδειγμα είναι η διαπραγμάτευση, την οποία μελέτησε ο Νας το 1950:δύο άτομα πρέπει να μοιραστούν ένα χρηματικό ποσό, ο ένας είναι πλούσιος ενώ ο άλλος όχι. Ενώ οφτωχός, λόγω ανάγκης, θα ικανοποιηθεί ακόμα και με λίγα, ο πλούσιος, λόγω ισχύος, θα ευχαριστηθεί μόνομε πολλά χρήματα. Αυτό το μοντέλο οδηγεί σε ένα άνισο αποτέλεσμα. Στην περίπτωση που έλυσε ο Νας, αντο ποσό είναι 500 ευρώ, ο πλούσιος θα πάρει 310 ενώ ο φτωχός μόλις 190. Ο Νας λαμβάνει υπόψη έναθεμελιώδη παράγοντα: τα πράγματα, ακόμα και το χρήμα, έχουν διαφορετική αξία για κάθε άτομο και αυτόεπηρεάζει το παιχνίδι.

Αυτό το συμπέρασμα μπορεί να μοιάζει κυνικό, όμως η ίδια θεωρία μπορεί να εκφράσει συναισθήματααγάπης, αλτρουισμού και φιλανθρωπίας. Ένα παράδειγμα είναι το παρακάτω. Ένας πατέρας παίζειμουτζούρη με το μικρό γιο του και οι κανόνες είναι απλοί: χάνει όποιος μείνει στο τέλος με το μουτζούρη. Αντο παιδί με κάποιον τρόπο δώσει στο γονέα του να καταλάβει ποιο χαρτί είναι ο μουτζούρης, παρ’ όλο που οικανόνες προβλέπουν ότι χάνει αυτός που μένει με το μουτζούρη, ο πατέρας και πάλι θα το πάρει. Γιατί σεαυτή την περίπτωση η ωφέλειά του δεν είναι τόσο να νικήσει ο ίδιος όσο να δει το παιδί ευχαριστημένο. Οαλτρουισμός των παικτών είναι ένα στοιχείο του παιχνιδιού και πρέπει να λαμβάνεται υπόψη προκειμένου ηθεωρία να περιγράψει, έστω και τμηματικά, τη ζωή.

Πηγή: www.focusmag.gr