Δίκτυα ΙΙ

Ενότητα: Το πρωτόκολλο TSMA

Κωνσταντίνος Οικονόμου

Τμήμα Πληροφορικής

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η

άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του

διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ιόνιο Πανεπιστήμιο»

έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και

Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή ΄Ενωση (Ευρωπαϊκό

Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Περιεχόμενα

Αʹ Το πρωτόκολλο TSMA 1

Αʹ.1 Το πρωτοκολλο TSMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Αʹ.1.1 Χρήσιμα Στοιχεία από τη Θεωρία των Galois Πεδίων . . . . . . . . . 2

Αʹ.1.1.1 Ορισμοί Πεδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Αʹ.1.1.2 Πεπερασμένα Πεδία και Πεδία Galois . . . . . . . . . . . . 2

Αʹ.1.1.3 Πολυώνυμα στο Πεδίο Galois GF (q) . . . . . . . . . . . . 3

Αʹ.1.2 Πρόσβαση Μέσου με Πολυώνυμα στο Πεδίο Galois GF (q) . . . . . 4

Αʹ.1.3 Η Λειτουργία του TSMA Πρωτοκόλλου . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Αʹ.1.3.1 Αλγόριθμος των Chlamtac και Farago . . . . . . . . . . . 7

Αʹ.1.3.2 Αλγόριθμος των Ju και Li . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Αʹ.1.3.3 Διαφορές των Αλγορίθμων . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Βιβλιογραφία 11

ii

Κατάλογος Σχημάτων

Αʹ.1 Παραδείγματα δικτύων με N = 10 και D = 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

iii

Κατάλογος Πινάκων

Αʹ.1 Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός για τα πεδία Galois GF (2), GF (3). . . . . . . 3

Αʹ.2 Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός για το πεδίο Galois GF (22), για το οποίο έχει

χρησιμοποιηθεί το αμείωτο πολυώνυμο f(x) = x2 + x+ 1. . . . . . . . . . . . 4

Αʹ.3 Επιλεγμένα πολυώνυμα στο πεδίο GF (7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Αʹ.4 Μετάδοση κάθε κόμβου σε κάθε υποπλαίσιο. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Αʹ.5 Επιτρεπόμενες μεταδόσεις για κάθε χρονοθυρίδα ενός πλαισίου. . . . . . . . . 6

iv

Κεφάλαιο Αʹ

Το πρωτόκολλο TSMA

Αʹ.1 Το πρωτόκολλο TSMA

Είναι ιδιαίτερα ελκυστικό το πρόβλημα της εύρεσης μιας χρονοδρομολόγησης σε ένα κατά

περίπτωση δίκτυο, στο οποίο οι κόμβοι γενικά αλλάζουν θέση και η τοπολογία δεν παραμένει

η ίδια. Το σημαντικότερο είναι πως η χρονοδρομολόγηση των κόμβων, όπως αυτή προκύπτει

από τα προαναφερόμενα πρωτόκολλα, πρέπει να αλλάζει κάθε φορά. Προκειμένου να λύσουν

αυτό ακριβώς το πρόβλημα, οι Chlamtac και Farago, [36], βασιζόμενοι στις ιδιότητες των

πεδίων Galois, πρότειναν έναν τρόπο εξαγωγής της χρονοδρομολόγησης κάθε κόμβου, τέτοιον

ώστε να μην υπάρχει εξάρτηση από την τοπολογία ή έστω η εξάρτηση αυτή να είναι ιδιαίτερα

περιορισμένη σε σημείο που ακόμα και η κίνηση των κόμβων στο δίκτυο να μην προκαλεί

σοβαρά προβλήματα λειτουργίας. Εκείνο, λοιπόν, που χαρακτηρίζει αυτή τη προσέγγιση, είναι

η ανάθεση σε κάθε κόμβο ενός συνόλου χρονοθυρίδων κάθε πλαισίου, δίχως να λαμβάνονται

υπόψη τα σύνολα των χρονοθυρίδων που έχουν ανατεθεί στους γειτονικούς κόμβους.

΄Ενα τέτοιο πρωτόκολλο ανεξάρτητο της τοπολογίας αποφεύγει εξ ορισμού τα προβλήματα

που δημιουργούν οι αλλαγές των γειτόνων και κατά συνέπεια τα προβλήματα που προκαλούν

οι μεταβολές της τοπολογίας του δικτύου. Το ανεξάρτητο της τοπολογίας πρωτόκολλο που

πρότειναν οι Chlamtac και Farago, [36], ουσιαστικά ‘διασπείρει’ την έννοια του χρόνου και

ως εκ τούτου ονομάζεται Time Spread Multiple Access (TSMA). Ουσιαστικά, εξασφαλίζει

μια ελάχιστη εγγυημένη απόδοση και πιο συγκεκριμένα, πως τουλάχιστον μία μετάδοση ενός

κόμβου σε ένα πλαίσιο θα είναι επιτυχής, ακόμα και υπό συνθήκες υψηλού φορτίου κίνησης

δεδομένων. Μια παραλλαγή αυτής της πολιτικής προτάθηκε στη συνέχεια, από τους Ju και

Li, [37], η οποία μεγιστοποιεί την ελάχιστη εγγυημένη απόδοση.

Οι δύο προτεινόμενες προσεγγίσεις επιτρέπουν συγκρούσεις των μεταδόσεων μέσα σε κάθε

1

2 Κεφάλαιο Αʹ. Το πρωτόκολλο TSMA

πλαίσιο και ενδέχεται ο κόμβος που εκπέμπει να απαιτείται να μεταδώσει την ίδια μετάδοση

σε όλες τις χρονοθυρίδες που του αναλογούν ώστε να εξασφαλίσει πως τελικά θα υπάρχει

τουλάχιστον μία επιτυχημένη μετάδοση στη διάρκεια ενός πλαισίου, [38]. Για τον λόγο αυτό

έχει προταθεί, [39], η χρήση μηνυμάτων επιβεβαίωσης, συμβολιζόμενων ως ACK.

Πριν όμως δούμε αναλυτικότερα το TSMA, είναι απαραίτητο να εισάγουμε μερικές πρώτες

έννοιες των πεπερασμένων (Galois) πεδίων.

Αʹ.1.1 Χρήσιμα Στοιχεία από τη Θεωρία των Galois Πεδίων

Αʹ.1.1.1 Ορισμοί Πεδίων

Ορισμός Αʹ.1 ΄Ενα ‘πεδίο’ F είναι μία ομάδα από στοιχεία για τα οποία ικανοποιούνται οι

επόμενοι κανόνες.

1. a+ b = b+ a, ∀a, b ∈ F .

2. a · b ∈ F , ∀a, b ∈ F .

3. a · b = b · a, ∀a, b ∈ F και a, b 6= 0.

4. (a+ b) · c = a · c+ b · c, ∀a, b, c ∈ F .

Παραδείγματα πεδίων είναι οι πραγματικοί αριθμοί αναφορικά με τις γνωστές πράξεις της πρό-

σθεσης και του πολλαπλασιασμού, οι μιγαδικοί αριθμοί, οι ρητοί αριθμοί αλλά όχι οι ακέραιοι

αριθμοί, αφού δεν αποτελούν ομάδα υπό την πράξη της πρόσθεσης.

Αʹ.1.1.2 Πεπερασμένα Πεδία και Πεδία Galois

΄Ενα πεπερασμένο πεδίο είναι ένα πεδίο βάσει του κλασικού ορισμού, το οποίο όμως αποτελείται

από ένα συγκεκριμένο αριθμό στοιχείων.

΄Εστω Zm το σύνολο των ακεραίων Z modulo m, για οποιονδήποτε ακέραιο m. Μπορεί να

αποδειχθεί πως το Zm είναι ένα πεδίο, αν και μόνο αν το m είναι ένας πρώτος αριθμός, [40].

Για κάθε έναν πρώτο αριθμό q υπάρχει ακριβώς ένα πεδίο με q στοιχεία, το οποίο μπορεί να

κατασκευαστεί σαν ένα διασπασμένο πεδίο του πολυωνύμου xq − x στο Zq, [40].

Πόρισμα Αʹ.1 Το πεδίο Galois GF (q), είναι το μοναδικό πεπερασμένο πεδίο με q στοιχεία,

[40].

Αʹ.1. Το πρωτόκολλο TSMA 3

Δεδομένου πως το πεδίο GF (q) είναι το μοναδικό πεπερασμένο πεδίο με q στοιχεία, αν υπάρχει

ένα πεδίο με q στοιχεία, τότε αυτό είναι το πεδίοGalois GF (q). Τελικά, για κάθε πρώτο αριθμό

q, το πεδίο GF (q) είναι το πεδίο που καθορίζεται από τους ακεραίους {0, 1, . . . , q−1}, με την

modulo q πρόσθεση και πολλαπλασιασμό. Παραδείγματα των πράξεων της πρόσθεσης και του

πολλαπλασιασμού για τα πεδία GF (2), GF (3), απεικονίζονται στον Πίνακα Αʹ.1.

Πίνακας Αʹ.1: Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός για τα πεδία Galois GF (2), GF (3).

GF (2)+ 0 10 0 11 1 0

· 0 10 0 01 0 1

GF (3)

+ 0 1 20 0 1 21 1 2 03 2 0 1

· 0 1 20 0 0 01 0 1 23 0 2 1

Αʹ.1.1.3 Πολυώνυμα στο Πεδίο Galois GF (q)

Ορισμός Αʹ.2 ΄Ενα πολυώνυμο f(x) βαθμού k, f(x) = a0 + a1x+ · · · + akxk, όπου ai ∈

GF (q), ονομάζεται ‘πολυώνυμο στο πεδίο Galois GF (q)’.

Ο αριθμός q δεν είναι ανάγκη να είναι πρώτος για να οριστεί ένα πεδίο Galois. Μπορεί να

έχει τη μορφή am, όπου ο a είναι πρώτος και ο m κάποιος φυσικός αριθμός (m ∈ N). Στην

περίπτωση αυτή, το πεδίο Galois μπορεί να γραφεί και σαν πεδίο GF (am). Πρόκειται δηλαδή,

για το διασπασμένο πεδίο του πολυωνύμου xq − x στο Za. Βέβαια, για να αντιστοιχεί το

πεπερασμένο σύνολο GF (am) σε πεδίο, οι πράξεις του πολλαπλασιασμού δύο πολυωνύμων

στο πεδίο GF (am) θα πρέπει να είναι τέτοιες ώστε το παραγόμενο πολυώνυμο να ανήκει και

αυτό στο πεδίο GF (am). Δηλαδή, ο πολλαπλασιασμός στο πεδίο GF (am) μπορεί να οριστεί

σαν πολλαπλασιασμός modulo f(x), όπου το f(x) είναι ένα ‘αμείωτο’ πολυώνυμο στο πεδίο

GF (am).

Ορισμός Αʹ.3 ΄Ενα πολυώνυμο f(x) ονομάζεται ‘αμείωτο’ στο πεδίο GF (q), αν δεν είναι

δυνατόν να βρεθούν δύο πολυώνυμα στο πεδίο GF (q), τέτοια ώστε το γινόμενό τους να είναι

το πολυώνυμο f(x).

΄Ενα παράδειγμα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού στο πεδίο GF (22), για το οποίο έχει χρη-

σιμοποιηθεί το αμείωτο πολυώνυμο f(x) = x2 + x+ 1, απεικονίζεται στον Πίνακα Αʹ.2.

4 Κεφάλαιο Αʹ. Το πρωτόκολλο TSMA

Πίνακας Αʹ.2: Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός για το πεδίο Galois GF (22), για το οποίοέχει χρησιμοποιηθεί το αμείωτο πολυώνυμο f(x) = x2 + x+ 1.

GF (22)

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 0 3 22 2 3 0 13 3 2 1 0

· 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 3 13 0 3 1 2

Αʹ.1.2 Πρόσβαση Μέσου με Πολυώνυμα στο Πεδίο Galois GF (q)

΄Εστω πως σε ένα δίκτυο ανατίθεται σε κάθε κόμβο u ένα πολυώνυμο fu σε ένα κατάλληλα

ορισμένο πεδίο Galois GF (q), επιτρέποντας στον κόμβο u να μεταδίδει μόνο σε έναν αριθμό

από χρονοθυρίδες του πλαισίου μεγέθους L = q2, οι οποίες καθορίζονται από το ίδιο το

πολυώνυμο fu. Τονίζεται πως η τιμή του κάθε πολυωνύμου σε ένα πεδίο Galois, ανήκει στο

πεδίο αυτό. Συνεπώς, είναι δυνατόν να οριστεί μία ένα προς ένα σχέση ανάμεσα σε ένα πεδίο

Galois, GF (q), και τις χρονοθυρίδες ενός πλαισίου μεγέθους L = q2, [36].

Το καίριο σημείο αυτής της προσέγγισης αφορά το γεγονός πως δύο πολυώνυμα βαθμού k,

έχουν το πολύ k κοινές ρίζες και εν τέλει, μεταδίδουν το πολύ σε k κοινές χρονοθυρίδες

προκαλώντας εσφαλμένες μεταδόσεις. Αν το πεδίο GF (q) έχει επιλεγεί κατάλληλα, τότε

είναι δυνατόν ένας αριθμός από μεταδόσεις να είναι επιτυχής, αφού το πάνω όριο του αριθμού

των εσφαλμένων μεταδόσεων ανάμεσα σε δύο κόμβους είναι το k. Δεδομένου πως D είναι ο

μέγιστος αριθμός των γειτόνων ενός κόμβου, είναι σαφές πως kD είναι ο μέγιστος αριθμός των

εσφαλμένων μεταδόσεων για έναν κόμβο σε ένα πλαίσιο, υποθέτοντας βέβαια πως L > kD.

Στο σημείο αυτό θα δοθεί ένα απλό αριθμητικό παράδειγμα προκειμένου να γίνει κατανοη-

τός ο τρόπος με τον οποίο τα πολυώνυμα σε πεδία Galois είναι δυνατόν να χρησιμοποιη-

θούν για πρόσβαση στο μέσο μετάδοσης. ΄Εστω δίκτυο 10 κόμβων (N = 10), ονομαστικά:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9. ΄Εστω πως ο μέγιστος αριθμός γειτόνων για κάθε κόμβο είναι 6 (D = 6)

και έστω ένα πλαίσιο μετάδοσης μεγέθους L = 49 = 72, (προφανώς q = 7). ΄Εστω το πεδίο

Galois GF (7) και πολυώνυμα πρώτου βαθμού, k = 11, στο πεδίο GF (7).

Είναι προφανές πως υπάρχουν qk+1 = 72 = 49, διαφορετικά πολυώνυμα. ΄Εστω τυχαία επιλεγ-

μένα δέκα από αυτά, τα οποία ανατίθενται τυχαία στους δέκα κόμβους, fi(x), i = 0, 1, . . . , 9.

΄Εστω πως αυτά τα τυχαία επιλεγμένα πολυώνυμα είναι αυτά που εμφανίζονται στον Πίνακα

Αʹ.3.

1Η τιμή του q όπως και του k, δεν έχει επιλεγεί αυθαίρετα αλλά σε σχέση με τις τιμές των N και D κατά

τρόπο που θα αναλυθεί αργότερα.

Αʹ.1. Το πρωτόκολλο TSMA 5

Πίνακας Αʹ.3: Επιλεγμένα πολυώνυμα στο πεδίο GF (7).

Πολυώνυμο Μορφήf0(x) x+ 1f1(x) 2x+ 1f2(x) 3x+ 4f3(x) 4x+ 3f4(x) 3x+ 2f5(x) x+ 2f6(x) 5x+ 6f7(x) 6x+ 1f8(x) x+ 5f9(x) 6x+ 3

Πίνακας Αʹ.4: Μετάδοση κάθε κόμβου σε κάθε υποπλαίσιο.

s0 s1 s2 s3 s4 s5 s6f0(sχ) 1 2 3 4 5 6 0f1(sχ) 1 3 5 0 2 4 6f2(sχ) 4 0 3 6 2 5 1f3(sχ) 3 0 4 1 5 2 6f4(sχ) 2 5 1 4 0 3 6f5(sχ) 2 3 4 5 6 0 1f6(sχ) 6 4 2 0 5 3 1f7(sχ) 1 0 6 5 4 3 2f8(sχ) 5 6 0 1 2 3 4f9(sχ) 3 2 1 0 6 5 4

Το πλαίσιο αποτελείται από L = q2 χρονοθυρίδες και συνεπώς, είναι δυνατόν να χωριστεί σε

q ‘υποπλαίσια,’ το καθένα αποτελούμενο από q χρονοθυρίδες ως εξής: το πρώτο υποπλαίσιο,

s0, αποτελείται από τις q πρώτες χρονοθυρίδες, {0, 1, . . . , q − 1}, το δεύτερο υποπλαίσιο, s1,

από τις επόμενες q χρονοθυρίδες, {q, q+1, . . . , 2q− 1} κ.ο.κ. Η χρονοθυρίδα στην οποία θα

μεταδώσει ο κόμβος u στο υποπλαίσιο sχ, χ = 0, . . . , q − 1, καθορίζεται από την τιμή του

πολυωνύμου fu(sχ). Στον Πίνακα Αʹ.4 φαίνεται η αντίστοιχη τιμή (χρονοθυρίδα) για κάθε

υποπλαίσιο, για το πολυώνυμο που έχει ανατεθεί στον κάθε κόμβο.

Για κάθε υποπλαίσιο sχ από τα συνολικά 7 υποπλαίσια, κάθε κόμβος είναι δυνατόν να μεταδώσει

μόνο σε μία χρονοθυρίδα, όπως προκύπτει από τον Πίνακα Αʹ.4. Τα αποτελέσματα μπορούν

να συγκεντρωθούν σε έναν πίνακα με το πλαίσιο να απεικονίζεται σαν μια στοίβα των q

6 Κεφάλαιο Αʹ. Το πρωτόκολλο TSMA

Πίνακας Αʹ.5: Επιτρεπόμενες μεταδόσεις για κάθε χρονοθυρίδα ενός πλαισίου.

s0 0, 1, 7 4, 5 3, 9 2 8 6s1 2, 3, 7 0, 9 1, 5 6 4 8s2 8 5, 9 6 0, 2 3, 6 1 7s3 1, 6, 9 3, 8 0, 4 5, 7 2s4 4 1, 2, 8 7 0, 3, 6 5, 9s5 5 3 4, 6, 7, 8 1 2, 9 0s6 0 2, 5, 6 7 8, 9 1, 3, 4

υποπλαισίων. Ο Πίνακας Αʹ.5 προκύπτει από μια τέτοια διάταξη, ενώ για κάθε χρονοθυρίδα

φαίνονται οι κόμβοι οι οποίοι επιτρέπεται να μεταδώσουν σε αυτή.

Το πλέον ενδιαφέρον που προκύπτει από τον Πίνακα Αʹ.5, αφορά το γεγονός πως για κά-

θε κόμβο, υπάρχει τουλάχιστον μια χρονοθυρίδα μέσα στο πλαίσιο κατά την οποία, ακόμα

και αν υπάρξει μετάδοση από άλλους κόμβους, ο κόμβος μπορεί να μεταδώσει δίχως κίνδυ-

νο να φθαρεί η μετάδοσή του. Αυτό ισχύει για οποιοδήποτε δίκτυο με 10 κόμβους, αν ο

μέγιστος αριθμός γειτόνων για κάθε κόμβο είναι 6, όπως τα απεικονιζόμενα παραδείγματα

του Σχήματος Αʹ.1. Από τη στιγμή που ισχύει αυτή η ιδιότητα για οποιαδήποτε τοπολογία

και τα πολυώνυμα ανατίθενται τυχαία στους κόμβους, η οποιαδήποτε αλλαγή της τοπολογίας

(π.χ., εξαιτίας της κινητικότητας των κόμβων) δεν επηρεάζει τον εγγυημένο ελάχιστο αριθμό

επιτυχών μεταδόσεων.

Βέβαια, για να προκύψει αυτό το συμπέρασμα παίζει ρόλο η επιλογή του q, που καθορίζει το

πεδίο Galois GF (q), όπως και η επιλογή του k, που συνδιαμορφώνει τη μορφή των πολυωνύ-

μων στο πεδίο GF (q). Ο τρόπος με τον οποίο γίνεται ο καθορισμός των παραμέτρων αυτών

καθώς και άλλες χρήσιμες λεπτομέρειες, είναι αντικείμενο του επόμενου κεφαλαίου.

Αʹ.1.3 Η Λειτουργία του TSMA Πρωτοκόλλου

Βάσει των πεδίων Galois GF (q), είναι δυνατόν, λοιπόν, να οριστούν πολυώνυμα βαθμού k

στα πεδία αυτά και να προκύψει η χρονοδρομολόγηση για τους κόμβους του δικτύου. Ο κάθε

κόμβος, ανάλογα με το φορτίο κίνησης δεδομένων, αποφασίζει σε ποια από τις χρονοθυρίδες

του πλαισίου θα μεταδώσει βάσει μιας συγκεκριμένης πολιτικής, της Νομοτελειακής Πολιτικής.

Διάφοροι παράμετροι που αφορούν αυτή την πολιτική παρουσιάζονται στη συνέχεια και γίνεται

ανάλυση αυτής αναφορικά με το φορτίο κίνησης δεδομένων.

Το πρώτο βήμα, πάντως, είναι η εξαγωγή του βαθμού q του πεδίου GF (q) καθώς και του

βαθμού k του πολυωνύμου στο πεδίο GF (q), ώστε να προκύψει η χρονοδρομολόγηση των

Αʹ.1. Το πρωτόκολλο TSMA 7

0

1

2

3

4

5

6

9

7

80

1

2

3

4

5

6

9

7

8

α. |S4| = 6. β. |S7| = 6.

0

1

2

3

4

5

6

9

7

80

1

2

3

4

5 6

9

7

8

γ. |S3| = 6. δ. |S3| = 6, |S4| = 6.

Σχήμα Αʹ.1: Παραδείγματα δικτύων με N = 10 και D = 6.

κόμβων του δικτύου.

Για να υπολογιστούν τα k και q είναι απαραίτητο να υπάρχει γνώση των N και D. Υπάρχουν

δύο διαφορετικοί αλγόριθμοι που υπολογίζουν τα k και q. Ο πρώτος αλγόριθμος, που προ-

τάθηκε από τους Chlamtac και Farago, [36], είναι απλός και με ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Ο

δεύτερος αλγόριθμος, ο οποίος προτάθηκε από τους Ju και Li, [37], παρουσιάζει και αυτός

ενδιαφέρον λόγω της μεγιστοποίησης της ελάχιστης εγγυημένης απόδοσης.

Αʹ.1.3.1 Αλγόριθμος των Chlamtac και Farago

΄Εστω, q1, q2, . . . , η κατά αύξουσα σειρά αριθμών που είναι δυνάμεις πρώτων αριθμών. Αν a

είναι ένας πρώτος αριθμός, τότε ο οποιοσδήποτε qi γράφεται στη μορφή am, m ≥ 1 είναι ένας

φυσικός αριθμός. Ο αλγόριθμος των Chlamtac και Farago, [36], είναι ο ακόλουθος.

Από τον αλγόριθμο γίνεται αντιληπτό πως σε κάθε βήμα το q αυξάνει με αποτέλεσμα σε

8 Κεφάλαιο Αʹ. Το πρωτόκολλο TSMA

counter := 0;

repeat

counter := counter + 1

q := qcounter

k :=⌊

q−1D

⌋

until (k ≥ 1 and qk+1 ≥ N)

κάποιο βήμα να ικανοποιείται η σχέση qk+1 ≥ N . Η ανισότητα αυτή ικανοποιεί το γεγονός

της ύπαρξης ικανού αριθμού πολυωνύμων ώστε να ανατεθούν στους κόμβους (υπάρχουν qk+1

διαφορετικά πολυώνυμα βαθμού k στο πεδίο GF (q)).

Καθώς το q αυξάνει σε κάθε βήμα του αλγορίθμου, είναι προφανές πως και η τιμή του k

σταδιακά αυξάνει. Υπάρχει, λοιπόν, κάποιο βήμα στο οποίο ικανοποιείται η σχέση k ≥ 1. Η

ανάγκη για την ικανοποίηση της σχέσης αυτής προκύπτει αν μελετηθεί για λίγο η περίπτωση

που αντιστοιχεί στο k = 0. Σε αυτή την περίπτωση, όλα τα πολυώνυμα γίνονται πολυώνυμα

του σταθερού παράγοντα, ενώ το q, όπως προκύπτει από τον αλγόριθμο, παίρνει τιμές μεγα-

λύτερες ή ίσες του N . Συνεπώς, το όλο σύστημα εκφυλίζεται σε ένα σύστημα παρόμοιο με

αυτό ενός πλαισίου μεγέθους N , όπου ο κάθε κόμβος μεταδίδει σε μία δεδομένη χρονοθυρίδα.

Μετά το πέρας του αλγορίθμου, ισχύει πως k =⌊

q−1D

⌋

. Συνεπώς, k =⌊

q−1D

⌋

≤ q−1Dή k ≤

q−1D. Τελικά, q ≥ kD + 1. Αυτή είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα ιδιότητα, αφού επιτρέπει στους

κόμβους που μεταδίδουν σε ένα πλαίσιο, να έχουν τουλάχιστον μία επιτυχή μετάδοση σε ένα

πλαίσιο. ΄Εστω, για παράδειγμα, πως σε ένα δίκτυο υπάρχει υψηλό φορτίο κίνησης δεδομένων

και πως όλοι οι κόμβοι στο δίκτυο θέλουν να μεταδώσουν σε κάθε χρονοθυρίδα που τους

αναλογεί. ΄Εστω πως ένας κόμβος u θέλει να μεταδώσει στον κόμβο v. Υπάρχουν ακριβώς

|Sv| κόμβοι, γείτονες του κόμβου v, οι οποίοι μεταδίδοντας στην ίδια χρονοθυρίδα φθείρουν τη

μετάδοση u → v. ΄Ομως, κάθε ένας από τους κόμβους αυτούς καθορίζει τη χρονοθυρίδα που

θα μεταδώσει βάσει του πολυωνύμου βαθμού k στο πεδίο GF (q), με αποτέλεσμα δύο κόμβοι

να μεταδώσουν το πολύ σε k κοινές χρονοθυρίδες (δύο πολυώνυμα βαθμού k έχουν το πολύ

k κοινές ρίζες). Συνεπώς, η μετάδοση u → v το πολύ να φθαρεί σε k|Sv| χρονοθυρίδες (Sv

οι γείτονες του κόμβου v). Δεδομένου πως |Sv| ≤ D, προκύπτει πως ο μέγιστος αριθμός των

χρονοθυρίδων στις οποίες μπορεί μια μετάδοση να φθαρεί σε ένα πλαίσιο είναι kD. ΄Ομως,

στη διάρκεια ενός πλαισίου, ένας κόμβος μπορεί να μεταδώσει σε q χρονοθυρίδες και αφού

q ≥ kD + 1, προκύπτει πως θα υπάρχει τουλάχιστον μία μετάδοση που θα είναι επιτυχής σε

ένα πλαίσιο.

Αʹ.1. Το πρωτόκολλο TSMA 9

΄Εστω Gmin η ελάχιστη εγγυημένη ρυθμαπόδοση. Από την προηγούμενη συζήτηση εύκολα

προκύπτει πως,

Gmin =q − kD

q2. (Αʹ.1)

Ενδιαφέρον έχει και η σημασία της τιμής του k, πέρα από το γεγονός πως είναι ο βαθμός του

πολυωνύμου. Η σημασία της τιμής k = 0 έχει ήδη περιγραφεί. Για k > 1, είναι σαφές πως

οι ανισότητες, q ≥ kD + 1 και qk+1 ≥ N , ικανοποιούνται. Για δεδομένο D και καθώς το

N αυξάνει, είναι δυνατόν ο αριθμός των πολυωνύμων να είναι μικρότερος του απαιτούμενου ή

qk+1 < N . Σε αυτή την περίπτωση, το k πρέπει να αυξηθεί. Δεδομένου πως το q εξαρτάται

από τα k και D (q ≥ kD + 1), προκύπτει πως καθώς το k αυξάνει, το q επίσης αυξάνει με

συνέπεια, το qk+1 να αυξάνει ιδιαίτερα γρήγορα. Συνεπώς, οι τιμές k > 1 αντιστοιχούν σε

εκείνα τα δίκτυα που περιλαμβάνουν έναν μεγάλο αριθμό από κόμβους (σχετικά μεγάλο N)

σε σύγκριση με τον αριθμό των γειτόνων (σχετικά μικρό D). Για παράδειγμα, 113 είναι η

μέγιστη τιμή του N , όταν k = 2, D = 5 και q = 11 (q ≥ kD + 1 = 11). Δίκτυα σαν και

αυτό (113 κόμβοι στο δίκτυο αλλά όχι πάνω από 5 γείτονες για κάθε κόμβο) δεν μπορεί να

θεωρηθεί πως αποτελούν τη συνηθισμένη περίπτωση, παρόλο που μπορεί να υπάρχουν, [18].

Γενικά, αναμένεται αύξηση του αριθμού των γειτόνων με την αύξηση του αριθμού των κόμβων

ενός δικτύου, με συνέπεια να είναι πιο πιθανές τιμές των N και D τέτοιες ώστε k = 1.

Αʹ.1.3.2 Αλγόριθμος των Ju και Li

Η προσπάθεια που περιγράφεται στο [37], βασίστηκε εξ ολοκλήρου στις ιδέες που περιγράφη-

σαν στο [36]. Η βασική ιδέα είναι η μεγιστοποίηση της ελάχιστης εγγυημένης ρυθμαπόδοσης,

η οποία συμβολίζεται με max(Gmin)2. Παραγωγίζοντας, το Gmin ως προς την παράμετρο q,

και μελετώντας τη συμπεριφορά της παραγώγου, προκύπτει το ακόλουθο συμπέρασμα.

max(Gmin) =

1

4kD, αν N

1

k+1 < 2kD,

N1

k+1−kD

N2

k+1

, αν N1

k+1 ≥ 2kD.(Αʹ.2)

Ειδικότερα, για την περίπτωση που N1

k+1 < 2kD, αποδεικνύεται πως το μέγιστο για το Gmin

επιτυγχάνεται για q = 2kD, ενώ για N1

k+1 ≥ 2k, η μέγιστη τιμή του Gmin επιτυγχάνεται για

q = N1

k+1 , [37]. Αντικατάσταση των τιμών αυτών στη σχέση της Εξίσωσης Αʹ.1, δίνει ως

αποτέλεσμα την Εξίσωση Αʹ.2.

Βέβαια, οι τιμές για το q πρέπει να είναι της μορφής am. Προφανώς, οι απαιτήσεις για q = 2kD

2Ο τελεστής max(Z) συμβολίζει τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το μέγεθος Z.

10 Κεφάλαιο Αʹ. Το πρωτόκολλο TSMA

ή q = N1

k+1 , ανάλογα με την περίσταση, μπορεί να μην ικανοποιούν αυτή την προϋπόθεση.

Ουσιαστικά, λοιπόν (αν και αυτό δεν ξεκαθαρίζεται στο [37]), οι πλέον κοντινοί αριθμοί της

μορφής am θα επιλέγονται κάθε φορά ως τιμές του q, και όσο πιο κοντά είναι στην τιμή

του q για την οποία το Gmin μεγιστοποιείται, τόσο η τιμή του Gmin θα είναι πιο κοντά στο

max(Gmin). Εν τέλει, ο αλγόριθμος επιλογής των k και q είναι, περιληπτικά, ο ακόλουθος.

Επιλογή των k και q έτσι ώστε να γίνεται μέγιστο το Gmin.

Αʹ.1.3.3 Διαφορές των Αλγορίθμων

Ενώ είναι σαφές πως ο Αλγόριθμος Αʹ.1.3.2 πλησιάζει το μέγιστο της ελάχιστης εγγυημένης

απόδοσης. Από την άλλη πλευρά, το μέγεθος του πλαισίου αυξάνει ιδιαίτερα. ΄Εστω η περί-

πτωση για την οποία, N1

k+1 < 2kD και έστω πως η τιμή του q είναι ένας αριθμός της μορφής

am πολύ κοντά στην τιμή που γίνεται από τη σχέση 2kD. Είναι σαφές πως το μέγεθος του

πλαισίου L, θα έχει τιμή πολύ κοντά στην τιμή 4k2D2 (L = q2).

Βάσει του Αλγορίθμου Αʹ.1.3.1, η τιμή του q είναι ένας αριθμός της μορφής am, μεγαλύτερος

του kD αλλά πολύ κοντά σε αυτόν. Συνεπώς, το μέγεθος του πλαισίου L θα πάρει τιμή

πολύ κοντά στην τιμή k2D2. ΄Ετσι, με απλούς υπολογισμούς, προκύπτει πως το μέγεθος του

πλαισίου μπορεί να είναι αρκετές φορές μεγαλύτερο αν χρησιμοποιηθεί ο Αλγόριθμος Αʹ.1.3.2.

Βιβλιογραφία

[1] K. Oikonomou, N. B. Pronios, “Ad-Hoc Networking: A Unified Evaluation Frame-

work,” IST Mobile & Communications Summit 2003, Aveiro- Portugal, 15-18 June

2003.

[2] Hend Koubaa, “Reflections on Smart Antennas for MAC Protocols in Multihop Ad

Hoc Networks,” European Wireless 2002, February 25-28, 2002, Florence, Italy.

[3] T. Rappaport, “Wireless Communications: Principles and Practice,” Prentice Hall;

2nd edition, December 31, 2001.

[AAhmad-2005] Aftab Ahmad, “Wireless and Mobile Data Networks,” John Wiley &

Sons Inc., 2005.

[Murthy-2004] C. Siva Ram Murthy, and B. S. Manoj, “Ad Hoc Wireless Networks,

Architectures and Protocols” Prentice Hall PRT, Pearson Education Inc., 2004.

[TRappaport-2002] Theodore S. Rappaport, “Wireless Communications, Principles and

Practice,” 2nd Edition, Prentice Hall Inc., 2002.

[4] N. Pronios, “Performance considerations for slotted spread-spectrum random access

networks with directional antennas,” in Proc. of IEEE GLOBECOM ’89, Nov. 1989.

[5] Y.B. Ko, V. Shankarkumar, and N.H. Vaidya, “Medium access control protocols

using directional antennas in ad hoc networks,” in Proceedings of IEEE Conference

on Computer Communications (INFOCOM), volume 1(3), pages 13–21, Tel Aviv,

Israel, Mar. 26–30 2000.

[6] J. Ward and R. T. Compton, “Improving the Performance of Slotted ALOHA Packet

Radio Network with an Adaptive Array,” IEEE Transactions on Communications,

40(2):292–300, February 1992.

11

12 Βιβλιογραφία

[7] R. T. Compton, Jr. and J. Ward, “High throughput slotted ALOHA packet radio

networks with adaptive arrays,” IEEE Trans. Comm., vol. 41, no. 3, pp. 460-470,

March 1993.

[8] R. Wattenhofer, L. Li, P. Bahl, and Y. M. Wang, “Distributed topology control

for power efficient operation in multihop wireless ad hoc networks,” in Proc. IEEE

Infocom, 2001.

[9] M. Kubisch, H. Karl, A. Wolisz, L. C. Zhong and J. Rabaey, “Distributed Algorithms

for Transmission Power Control in Wireless Sensor Networks,” in WCNC 2003, New

Orleans, LA, March 2003.

[10] J. Monks, V. Bharghavan, and W. W. Hwu, “Transmission power control for multiple

access wireless packet networks,” in Proceedings of The 25th Annual IEEE Conference

on Local Computer Networks (LCN 2000), Tampa, FL, November 2000.

[11] S. Narayanaswamy, V. Kawadia, R. S. Sreenivas, and P. R. Kumar, “Power con-

trol in ad-hoc networks: Theory, architecture, algorithm and implementation of the

COMPOW protocol,” in Proceedings of European Wireless Conference, 2002.

[12] J. P. Monks, J.-P. Ebert, A. Wolisz, and W. mei W. Hwu, “A study of the energy

saving and capacity improvement potential of power control in multi-hop wireless

networks,” in Workshop on Wireless Local Networks, Tampa, Florida, USA, also

Conf. of Local Computer Networks (LCN), Nov. 2001.

[13] R. Zheng and R. Kravets, “On-demand power management for ad hoc network,”

IEEE Infocom 2003, San Franciso, CA, USA, March 30 - April 3, 2003.

[14] R. Kravets and P. Krishnan, “Power management techniques for mobile communi-

cation,” in Proc. ACM Mobicom 99, pages 24–35, 1999.

[15] W. Ye, J. Heidemann, and D. Estrin, “An energy-efficient MAC protocol for wireless

sensor networks,” in INFOCOM 2002, New York, June 23-27, 2003.

[16] S. Singh and C. S. Raghavendra, “PAMAS: Power Aware Multi-Access protocol

with Signalling for Ad Hoc Networks,” (to appear) ACM Computer Communications

Review, 1999.

[17] U. Kozat, I. Koutsopoulos and L. Tassiulas, “A Framework for Cross-layer Desi-

gn of Energy-efficient Communication with QoS Provisioning in Multi-hop Wireless

Networks,”

Βιβλιογραφία 13

[18] R. Albert and A.-L. Barabási, “Statistical mechanics of complex networks,” Rev.

Mod. Phys., in press.

[19] R. Albert, H. Jeong and A.-L. Barabási, 1999, Nature (London), 401, 130.

[20] M. Faloutsos, P. Faloutsos and C. Faloutsos, Computer Communications Review, 29,

251.

[21] B. Bollobas, 1981, Discrete Math. 33. 1.

[22] D. J. Watts and S. H. Strogatz, 1998, Nature (London), 393, 440.

[23] A.-L Barabási and R. Albert, 1999, Science 286, 509.

[24] R. Krishnan and J.P.G. Sterbenz, “An Evaluation of the TSMA Protocol as a Control

Channel Mechanism in MMWN,” Technical report, BBN Technical Memorandum No.

1279, 2000.

[25] Dimitri Bertsekas and Robert Gallager, “Data networks,” 2nd edition, Prentice-Hall,

Inc., 1992.

[26] G. Wang and N. Ansari, “Optimal Broadcast Scheduling in Packet Radio Networks

Using Mean Field Annealing,” IEEE Journal on Selected Areas in Communications,

VOL. 15, NO. 2, pp 250-260, February 1997.

[27] IEEE 802.11, “Wireless LAN Medium Access Control (MAC) and Physical Layer

(PHY) specifications,” Nov. 1997. Draft Supplement to Standard IEEE 802.11, IEEE,

New York, January 1999.

[28] P. Karn, “MACA- A new channel access method for packet radio,” in ARRL/CRRL

Amateur Radio 9th Computer Networking Conference, pp. 134-140, 1990.

[29] F. A. Tobagi and L. Kleinrock, “Packet Switching in Radio ChannelsQ Part II - the

Hidden Terminal Problem in Carrier Sense Multiple Access Modes and the Busy-Tone

Solution”, IEEE Transactions on Communications, Vol. 23, pp. 1417-1433, 1975.

[30] V. Bharghavan, A. Demers, S. Shenker, and L. Zhang, “MACAW: A Media Access

Protocol for Wireless LAN’s,” Proceedings of ACM SIGCOMM’94, pp. 212-225, 1994.

[31] F. Talucci, M. Gerla and L. Fratta, “MACA-BI (MACA By Invitation): A Receiver-

Oriented Access Protocol for Wireless Multihop Networks,” PIMRC ’97, the 8th IEEE

International Symposium on Personal Indoor and Mobile Communications, Vol. 2,

1997, pp. 435-39.

14 Βιβλιογραφία

[32] J. Deng and Z. J. Haas, “Busy Tone Multiple Access (DBTMA): A New Medium

Access Control for Packet Radio Networks,” in IEEE ICUPC’98, Florence, Italy,

October 5-9, 1998.

[33] C. Wu and V.O.K. Li, “Receiver-Initiated Busy Tone Multiple Access in Packet

Radio Networks,” ACM Computer Communications Review, 17(5):335-342, August

1987.

[34] R. Nelson, L. Kleinrock, “Spatial TDMA, A collision-free Multihop Channel Access

Protocol,” IEEE Transactions on Communications, Vol. COM-33, No. 9, September

1985.

[35] C. Zhu and S.M. Corson, “A Five-Phase Reservation Protocol (FPRP) for Mobile

Ad Hoc Networks,” in Proceedings of IEEE Infocom ’98, Vol. 1, Pp. 322-331, San

Francisco, CA, March/April 1998.

[36] I. Chlamtac and A. Farago, “Making Transmission Schedules Immune to Topology

Changes in Multi-Hop Packet Radio Networks,” IEEE/ACM Trans. on Networking,

2:23-29, 1994.

[37] J.-H. Ju and V. O. K. Li, “An Optimal Topology-Transparent Scheduling Method

in Multihop Packet Radio Networks,” IEEE/ACM Trans. on Networking, 6:298-306,

1998.

[38] J. A. Stankovic, T. Abdelzaher, C. Lu, L. Sha, J. Hou, “Real-Time Communication

and Coordination in Embedded Sensor Networks,” Proceedings of the IEEE, 91(7):

1002-1022, July 2003. (invited paper).

[39] R. Rozovsky and P. R. Kumar, “SEEDEX: A MAC protocol for ad hoc networks,”

ACM Mobihoc’01, October 2001.

[40] Ian Stewart, “Galois Theory,” Chapman & Hall/CRC Mathematics, 3rd Edition,

2004.

[41] K. Oikonomou and I. Stavrakakis, “Analysis of a Probabilistic Topology-Unaware

TDMA MAC Policy for Ad-Hoc Networks,” IEEE JSAC Special Issue on Quality-of-

Service Delivery in Variable Topology Networks, Vol. 22, No. 7, September 2004, pp.

1286-1300.

[42] C. P. . P. Bhagwat, “Highly Dynamic Destination-Sequenced Distance Vector Rou-

ting (DSDV) for Mobile Computers,” Proceedings of ACM SIGCOMM’ 94, pp. 234-

244, September 1994.

Βιβλιογραφία 15

[43] S. Murthy and J.J. Garci-Luna-Aceves, “A Routing Protocol for Packet Radio Netw-

orks,” in Proceedings of ACM First International Conference on Mobile Computing

& Networking (MOBICOM ’95), November 1995.

[44] C. Perkins and E. Royer, “Ad-Hoc On-Demand Distance Vector Routing,” Pro-

ceedings of 2nd IEEE Workshop on Mobile Computing Systems and Applications,

February 1999.

[45] D. B. Johnson and D. A. Maltz, Mobile Comupting, Kluwer Academic Publishers,

1996.

[46] M.R. Pearlman, Z.J. Haas, “Determining the Optimal Configuration for the Zone

Routing Protocol”, IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 17(8), 1395-

1414, August 1999.

[47] Y,-B. Ko and N.H. Vaidya, “Location-Aided Routing (LAR) in Mobile Ad Hoc

Networks”, in Proceedings of the 4th ACM/IEE International Conference on Mobile

Computing and Networking (MobiCom), pp. 66-75, Dallas, Texas, October 1998.