ΛΥΣΕΙΣΛΥΣΕΙΣΛΥΣΕΙΣΛΥΣΕΙΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄Β΄Β΄Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΛΥΚΕΙΟΥΛΥΚΕΙΟΥΛΥΚΕΙΟΥ 5555 //// 1111 //// 2013201320132013

ΘΕΜΑΘΕΜΑΘΕΜΑΘΕΜΑ 1111οοοο

ΑΑΑΑ....1.1.1.1. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 372.2.2.2. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 61

ΒΒΒΒ.... 1→Λ ,,,, 2 →Σ ,,,, 3→Λ ,,,, 4 →Λ ,,,, 5→Λ ,,,, 6 →Λ ,,,, 7 →Λ ,,,, 8→Σ ,,,, 9 →Λ ,,,, 10 →Σ

ΓΓΓΓ.... 1→Β ,,,, 2 →∆ ,,,, 3→Α ,,,, 4 →Α ,,,, 5→Α

ΘΕΜΑΘΕΜΑΘΕΜΑΘΕΜΑ 2222οοοο

( ) ( )A , 2 , 6λ µ Β µ λ −

αααα....

( )

A BM

A B

x x 2x 7 14 22 2

y y 6y 1 2 6 82 2

2 142 14 (1)

8 1

8 (2)

Μ

+ λ + µ= ⇒ = ⇒ = λ + µ

+ µ + λ −= ⇒ = ⇒ = µ+ λ − ⇒ = µ+ λ

µ + λ =⇒ µ+λ =

µ + λ = ⋅ −

−µ −λ = −Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (1) και (2) και προκύπτει ότι 6 2µ = και λ =

ββββ....( ) ( )

( ) ( )( )

2,6 12, 4

2,6 B 12, 4

B 2 12 6 4 24 24 0 Ά B

Α Β −

ΟΑ = Ο = −

ΟΑ⋅Ο = ⋅ + ⋅ − = − = ρα ΟΑ ⊥ Ο

���� ����

���� ���� ���� ����

γγγγ....( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

Έ ί y ' y ό 0, y

AB 12 2, 4 6 10, 10

A 0 2, y 6 2, y 6

10 10έ det AB, A 0 0 10 y 6 10 2 0

2 y 6

10y 60 20 0 10y 80 y 8 Ά 0,8

στω Γ σηµε ο του οπ τε Γ

= − − − = −

Γ = − − = − −

−πρ πει Γ = ⇒ = ⇒ − − − − = ⇒

− −

⇒ − − = ⇒ = ⇒ = ρα Γ

����

����

���� ����

δδδδ....

( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

O B

2 2

22

έx xx x 6 y 2 6, 2

22 6,6 2 4,8

B 12 6, 4 2 6, 2

B 4 6 8 2 24 16 40

4 8 16 64 80 2 40

B 6 2 36 4 40

Bό , B

Ν Ν Ν

Ν µ σο του ΟΒ+

= ⇒ = = − Ν −

ΝΑ = − − − = −

Ν = − − − − = −

ΝΑ⋅Ν = − ⋅ + ⋅ − = − − = −

ΝΑ = − + = + = = ⋅

Ν = + − = + =

ΝΑ⋅Νοπ τε συν ΝΑ Ν =

ΝΑ Ν

����

����

���� ����

����

����

���� �������� ��������

^40 1 2 3Ά , B2 42 40 2B

⎛ ⎞− π= = − = − ρα ΝΑ Ν =⎜ ⎟

⋅ ⎝ ⎠

���� ��������

ΒΒΒΒ....αααα....

( ) ( )( ) ( )

0

2 2

2 22 2 0

2 22

2 :92 2

3 , 120 3 6 5

3 6 5 0 18 15 6 5 0

18 9 5 0 18 9 120 5 0

1 2718 9 3 5 3 0 18 45 02 2

36 27 90 0 4

→ →

⋅

⎛ ⎞β = α β = α −β ⊥ α + β⎜ ⎟⎝ ⎠

α −β ⋅ α + β = ⇒ α + α ⋅β− α ⋅β− β = ⇒

⇒ α + α ⋅β− β = ⇒ α + α β ⋅συν − β = ⇒

⎛ ⎞⇒ α + α ⋅ ⋅ − − ⋅ = ⇒ α − α − = ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ α − α − = ⇒ α −

� � �� �

� � � � �� � � � �

� � � �� � � �

� � � �

� � �

( ) ( )2

1 2

3 10 0

3 4 4 10 9 160 1693 13 3 13 10 52 , ί

8 8 8 4

α − =

∆ = − − ⋅ ⋅ − = + =

+ −α = = α = = − = − απορρ πτεται

�

� �

ββββ....22 2 2i) 3 2 9 12 4 9 4 12 2γ = α + β = α + α ⋅β+ β = ⋅ + ⋅� � �� � � � 13

2⋅ ⋅ −

( )

2 2

^ ^0

4 9

36 36 36 36 . Ά 36 6

1ί 3 2 3 2 3 2 2 2 32

12 6 66 1ii) , Ά , ή 60

2 6 2 3

⎛ ⎞+ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − + = ρα γ = =

⎛ ⎞Ε ναι γ = α + β⇒ α⋅ γ = α + α ⋅β⇒ α⋅ γ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ α ⋅ γ = − ⇒ α⋅ γ =α ⋅ γ π

συν α γ = = = ρα α γ =α γ ⋅

�

� �� � � � � � � �

� � � �� �� � � �� �

ΘΕΜΑΘΕΜΑΘΕΜΑΘΕΜΑ 3333οοοοΑΑΑΑ.... αααα....

Έστω 1 βα = προβ α�� �

Είναι

115 2 3 2 3// 15α β

µ + µ +α β⇒ λ = λ ⇒ = ⇒ − = ⇒

− µ µ��

��

2 3 3 3 1−µ = µ + ⇒ − µ = ⇒µ = −

Άρα είναι ( 1,1)β = −�

.Επίσης ισχύει ότι :

( 5,5) ( 5,5)β β

προβ α = − ⇒β⋅προβ α = − ⋅β⇒� �� �� �

( 5,5) ( ,8) ( 1,1) ( 5,5) ( 1,1)α ⋅β = − ⋅β⇒ κ ⋅ − = − ⋅ − ⇒� ��

8 5 5 8 10 2⇒ −κ+ = + ⇒ −κ + = ⇒ κ = −Άρα είναι ( 2,8)α = −

�.

ββββ.... iiii)))) Είναι 8// 42α ε ε εα ε⇒ λ = λ ⇒ λ = ⇒ λ = −

−�

� .

Έστω (x ,0)ΓΓ και (0, y )∆∆ και (x , x 3)Μ ΜΜ + επειδή y x 3Μ Μ= + .

Το Μ είναι μέσο του ΓΔ οπότε : 0 y yy2 2

∆ ∆Μ

+= = και xx

2Γ

Μ =

Άρα είναι: y x 3 y x 62 2∆ Γ

∆ Γ= + ⇒ = + (1)

y 4 y 4xx∆

ε ∆ ΓΓ

λ = = − ⇒ =−

(2)

(2)

(1) 4x x 6 3x 6 x 2Γ Γ Γ Γ⇒ = + ⇒ = ⇒ = , άρα Γ(2,0).Άρα, η εξίσωση της ευθείας ε θα είναι της μορφής:(ε): y y (x x ) y 0 4(x 2) y 4x 8Γ ε Γ− = λ − ⇒ − = − − ⇒ = − +

iiiiiiii)))) 3 3( 1,1) ( 2,8)ΟΗ = β−α⇒ΟΗ = − − − ⇒���� ����� �

( 3,3) ( 2,8) ( 3 2,3 8) ( 1, 5)⇒ΟΗ = − − − ⇒ΟΗ = − + − = − −���� ����

, άρα Η(–1 , –5).

Θα βρούμε αρχικά την εξίσωση της ευθείας ΗΗ΄ που διέρχεταιαπό το σημείο Η( -1,-5) και είναι κάθετη στην ε.

Έχουμε: ΄ ΄ ΄1΄ 1 ( 4) 14ΗΗ ε ΗΗ ΗΗΗΗ ⊥ ε⇔ λ ⋅λ = − ⇔ λ ⋅ − = − ⇔ λ =

Άρα η εξίσωση της ευθείας ΗΗ΄ είναι:

( )H ΄ H1y y (x x ) y ( 5) x ( 1)4ΗΗ− = λ − ⇒ − − = − − ⇒

41 1y 5 x 4y 20 x 1 x 4y 19 04 4

⋅

⇒ + = + ⇒ + = + ⇒ − − =

Η προβολή Μ του σημείου Η στην ευθεία ε είναι το σημείο τομής των ευθειών ε και ΗΗ΄.Για να βρούμε τις συντεταγμένες του Μ, λύνουμε το σύστημα:

x 4y 19 0 x 4( 4x 8) 19 0 x 16x 32 19 0y 4x 8 y 4x 8 y 4x 8− − = − − + − = + − − =⎧ ⎧ ⎧

⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨= − + = − + = − +⎩ ⎩ ⎩

17x 51y 4x 8

=⎧⇔⎨ = − +⎩

x 3 x 3y 4 3 8 y 4= =⎧ ⎧

⇔ ⇔⎨ ⎨= − ⋅ + = −⎩ ⎩, άρα Μ (3 , –4).

Αν Η΄ H΄ ΄(x , y )Η είναι το συμμετρικό του Η ως προς την ευθεία ε,τότε το Μ είναι μέσο του τμήματος ΗΗ΄, οπότε:

• ΄ ΄M ΄ ΄

x x 1 xx 3 6 1 x x 72 2

Η Η ΗΗ Η

+ − += ⇒ = ⇒ = − + ⇒ =

• ΄ ΄΄ ΄

y y 5 yy 4 8 5 y y 32 2

Η Η ΗΜ Η Η

+ − += ⇒ − = ⇒ − = − + ⇒ = −

Άρα το συμμετρικό του σημείου Η ως προς την ευθεία ε είναι το σημείο Η΄(7 , –3).

iiiiiiiiiiii)))) Αφού ΄ΗΗ ⊥ ε , η γωνία που σχηματίζουν οι δύο ευθείες είναι ορθή, δηλαδή 90� .

ΒΒΒΒ.... αααα.... Aφού το σημείο Μ(0,2) απέχει από την ευθεία : x 3y 3 0ε λ − + λ − = απόσταση ίση με 1,θα ισχύει ότι:

2 2 2

0 3 2 3 6 3d(M, ) 1 1 1

( 3) 9

λ ⋅ − ⋅ + λ − − + λ −ε = ⇒ = ⇒ = ⇒

λ + − λ +29 9λ − = λ + ⇒

( )22 2 29 9⇒ λ− = λ + ⇔ λ 218 81− λ + = λ 9 18 72+ ⇒ − λ = − 4⇒λ =

ββββ.... Είναι : 4x 3y 1 0ε − + = . Έστω Α(x,0) σημείο του άξονα x΄x. Έχουμε:

2 2

2 2

4x 3 0 1d(A, ) (2 x) ( 3 0)

4 ( 3)

− ⋅ +ε = ΑΝ⇒ = − + − − ⇒

+ −24x 1

(2 x) 925+

= − + ⇒

( ) ( )222 24x 1 5 (2 x) 9 4x 1 5 (2 x) 9⇒ + = − + ⇒ + = − + ⇒

2 216x 8x 1 25(13 4x x )⇒ + + = − + 2 216x 8x 1 325 100x 25x⇒ + + = − + ⇒2 2 29x 108x 324 0 x 12x 36 0 (x 6) 0 x 6⇒ − + = ⇒ − + = ⇒ − = ⇒ =

Άρα είναι Α(6,0).

γγγγ.... iiii)))) Το σημείο ( , )Α α β ανήκει στην ευθεία : 4x 3y 1 0ε − + = , οπότε: 4 3 1 0α − β+ = (1)Το σημείο ( 2 ,4 3 )Β − α − β ανήκει στην ευθεία : 4x 3y 1 0ε − + = , οπότε:4( 2 ) 3(4 3 ) 1 0 8 12 9 1 0 8 9 11 0− α − − β + = ⇒ − α− + β+ = ⇒ − α+ β− = (2)

Λύνοντας το σύστημα των σχέσεων (1), (2) βρίσκουμε ότι:

4 3 1 0 (2) 88 9 11 0α − β+ = ⋅ α⎫

⇔⎬− α + β− = ⎭

6 2 0

8

− β+ =

− α 9 11 0

3 9 0 3

⎫⎪⎬

+ β− = ⎪⎭β− = ⇒β=

+

Άρα από (1) 4 3 3 1 0 4 8 0 2⇒ α− ⋅ + = ⇒ α− = ⇒α = .

iiiiiiii)))) Είναι Α(2 , 3) , Β(–4 , –5) , Γ(5 , 2)AB ( 4 2 , 5 3) ( 6 , 8)= − − − − = − −����

A (5 2 , 2 3) (3 , 1)Γ = − − = −����

( ) 6 8det AB, A 6( 1) ( 8) 3 6 24 30

3 1− −

Γ = = − − − − ⋅ = + =−

���� ����

(ΑΒΓ)= ( )1 1det AB,A 30 15 . .2 2

Γ = ⋅ = τµ���� ����

ΘΕΜΑΘΕΜΑΘΕΜΑΘΕΜΑ 4444oooo

ΑΑΑΑ....

αααα.... Το διάνυσμα ( )2,4ν = −�

έχει 4 22

λν = = −−

�.

Η ευθεία ( )1 1 1 111 2 12

ε ⊥ ν⇒ λε ⋅λν = − ⇒ λε ⋅ − = − ⇒ λε =� �

Η 1ε διέρχεται από το ( )10,5Α , άρα

( )11: y 5 x 10 y 52

ε − = − ⇒ −1 x 52

= −1y x 2y x x 2y 02

⇒ = ⇒ = ⇒ − =

Είναι ( )2 1 3 16 3 9 3ΒΓ

− −λ = = = −

− − −

Άρα ( ) ( )21: y 1 x 3 y 13

ε − − = − − ⇒ +1 x 13

= − +1y x 3y x x 3y 03

⇒ = − ⇒ = − ⇒ + =

ΒΒΒΒ....

iiii)))) Είναι ( )1

34ζ

− λ −λ =

λ −και

2 2ζ

−λλ =

λ −

Αφού ( )1 21 2

3 3//4 2 4 2ζ ζ

− λ − −λ λ − λζ ζ ⇒ λ = λ ⇒ = ⇒ = ⇒

λ− λ − λ − λ −

( )( ) ( ) 23 2 4⇒ λ− λ − = λ ⋅ λ − ⇒ λ 22 3 6− λ − λ + = λ 4− λ⇒5 6 4 5 4 6 6 6⇒ − λ + = − λ⇒ − λ + λ = − ⇒ −λ = − ⇒ λ =

Άρα 1 : 3x 2y 28 0ζ + − = και 2 : 6x 4y 12 0ζ + − =

iiiiiiii)))) Οι ευθείες 1 2,ε ε διέρχονται από την αρχή των αξόνωνάρα το σημείο τομής τους είναι το ( )0,0Ο .Οι ευθείες 1 1,ε ζ έχουν σημείο τομής το Κ.

( )31

1

3x: x 2y 0: 3x 2y 28 0

⋅ − −ε − =⇒

ζ + − =

6y 0

3x

+ =

_________________________2y 28 0

28 78y 28 0 8y 28 y y8 2

⎧⎪⎨ + − = ⊕⎪⎩

− = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Για 7y2

= είναι x 2− 72

⋅ 0 x 7= ⇒ = . Άρα 7K 7,2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Οι ευθείες 2 1,ε ζ έχουν σημείο τομής το Λ.

( )32

1

3x: x 3y 0: 3x 2y 28 0

⋅ − −ε + =⇒

ζ + − =

9y 0

3x

− =

_________________________2y 28 0

287y 28 0 7y 28 y y 47

⎧⎪⎨ + − = ⊕⎪⎩

− − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = −−

Για y 4= − είναι x 3( 4) 0 x 12 0 x 12+ − = ⇒ − = ⇒ = . Άρα το ( )12, 4Λ −

Το διάνυσμα 7 7OK 7 0, 0 7 ,2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

����

Το διάνυσμα ( ) ( )O 12 0, 4 0 12, 4Λ = − − − = −����

Είναι ( ) ( )77 7det , 7 4 12 28 42 702

212 4ΟΚ ΟΛ = = ⋅ − − ⋅ = − − = −

−

���� ����

Άρα ( ) ( )1 1 70det , 70 35 . .2 2 2

ΟΚΛ = ΟΚ ΟΛ = − = = τµ���� ����

iiiiiiiiiiii)))) Έστω ( )x , yΜ

Είναι ( ) ( )( )

1 2 2 2 22

1 x 2 y 1 x 3 yd , 2d , 2

1 31 2

⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅Μ ε = Μ ε ⇒ = ⇒

++ −

x 2y 2 x 3y x 2y 2 x 3y 5 2x 2y

1 4 1 9 5 10− + − + ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ − =+ +

x 3y

10

+⇒

xx 2y x 3y⇒ − = + ⇒

2y x− = 3y 5y 0yή ή y 0 ή x

2x 2y x 3y 2x y

⎫+ − = ⎫⎪ −⎪⇒ ⇒ = =⎬ ⎬⎪ ⎪− = − − = − ⎭⎭

Επειδή τα σημεία Μ ανήκουν στην 2 : 6x 4y 12 0ζ + − = έχουμε:Για y 0= είναι 6x 12 0 6x 12 x 2− = ⇒ = ⇒ = . Άρα 1M (2,0) .

Για yx2−

= είναι y6 4y 12 0 3y 4y 12 0 y 122−⎛ ⎞ + − = ⇒ − + − = ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Οπότε 12x x 62

= − ⇒ = − . Άρα ( )2M 6,12−

ΒΒΒΒ....αααα.... Για να είναι ευθεία για κάθε Rα∈ πρέπει A 0≠ ή B 0≠Είναι 22 1 0α +α + =

21 4 2 1 1 8 7 0∆ = − ⋅ ⋅ = − = − <Άρα 22 1 0α +α + ≠ για κάθε Rα∈ οπότε η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε Rα∈ .

ββββ.... Για 0α = είναι 1 : x y 0ε + =Για 1α = είναι 2 : 4x y 3 0ε + − =

Το σημείο τομής των 1 2,ε ε είναι το Α.

( )11

2

x y: x y 0: 4x y 3 0

⋅ − − −ε + = ⎫⇒⎬ε + − = ⎭

0

4x y

=

+______________________

3 0

3x 3 0 3x 3 x 1

⎧⎪⎨ − = ⊕⎪⎩

− = ⇒ = ⇒ =

Για x 1= , 1 y 0 y 1+ = ⇒ = −Άρα το ( )A 1, 1−Για x 1= και y 1= − στην (1) έχουμε

( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 1 1 2 0α +α + ⋅ + α −α + ⋅ − −α − α = ⇔22 1⇔ α +α + 2 1−α +α − 2 2 22 0 2 2 2 2 0 0 0−α − α = ⇔ α + α − α − α = ⇔ = ισχύει.

Άρα όλες οι ευθείες της μορφής (1) διέρχονται από το ( )A 1, 1− .

γγγγ.... Η 1y x 32

= + έχει συντελεστή διεύθυνσης 112

λ = .

Η κάθετη σ’ αυτήν πρέπει να έχει 111 1 22

λ ⋅λ = − ⇒ λ ⋅ = − ⇒ λ = −

Πρέπει( ) ( ) ( )

22 2

2

2 12 2 1 2 1

1

− α +α += − ⇒ − α +α + = − α −α + ⇒

α −α +22⇒ − α 21 2−α − = − α

12 2 3 13

+ α − ⇒ − α = − ⇒ α =