ΚΡΙΤΗΡΙΑ ∆ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική συνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάσταση σε ένα σηµείο της µάζας του υλικού, ώστε στο σηµείο αυτό να συµβαίνει διαρροή. Μαθηµατική έκφραση ενός κριτηρίου διαρροής • Γενική µορφή: C),,,,,(f zxyzxyzyx =τττσσσ (1)

• Συναρτήσει των κύριων τάσεων: C),,(f 321 =σσσ (2) Βασικές υποθέσεις για τη θεµελίωση ενός κριτηρίου διαρροής • ∆εν λαµβάνεται υπόψη η επίδραση του φαινοµένου Bauschinger, δηλαδή το όριο διαρροής σε

εφελκυσµό και θλίψη θεωρούνται ίσα. • Ισχύει η αρχή διατήρησης όγκου στην πλαστική περιοχή, οπότε ο λόγος Poisson v=0.5.

• Η τιµή της υδροστατικής συνιστώσας των τάσεων 33

321yyxm

σ+σ+σ=

σ+σ+σ=σ δεν

επηρεάζει τη διαρροή. ΒΑΣΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ∆ΙΑΡΡΟΗΣ ΓΙΑ ΙΣΟΤΡΟΠΑ ΥΛΙΚΑ A. Κριτήριο διαρροής κατά Tresca Χωρίς βλάβη της γενικότητας µπορεί να τεθεί 321 σ>σ>σ . ΒΑΣΙΚΗ ΠΑΡΑ∆ΟΧΗ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ: Έναρξη πλαστικής ροής σε ένα σηµείο της µάζας του υλικού λαµβάνει χώρα όταν η µέγιστη διατµητική τάση στο σηµείο αυτό λάβει µια καθορισµένη σταθερή τιµή. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

.2

31max σταθ=

σ−σ=τ ή ισοδύναµα C31 =σ−σ (3)

Επειδή ένα κριτήριο διαρροής πρέπει να ισχύει σε κάθε εντατική κατάσταση, θα είναι: (i) Σε µονοαξονικό εφελκυσµό: Υ=σ1 και 032 =σ=σ , όπου Υ το όριο διαρροής σε εφελκυσµό. (ii) Σε καθαρή διάτµηση: και k31 =σ−=σ 02 =σ , όπου k το όριο διαρροής σε διάτµηση. Με βάση αυτές τις δύο εντατικές καταστάσεις λαµβάνεται η ακριβής µαθηµατική σχέση του κριτηρίου ως

k231 =Υ=σ−σ (4) B. Κριτήριο διαρροής κατά Mises ΒΑΣΙΚΗ ΠΑΡΑ∆ΟΧΗ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ: Έναρξη πλαστικής ροής σε ένα σηµείο της µάζας του υλικού λαµβάνει χώρα όταν η αποθηκευµένη ενέργεια διατµητικής παραµόρφωσης στο σηµείο αυτό λάβει µια καθορισµένη σταθερή τιµή. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Οι κύριες τάσεις γράφονται στην εξής µορφή:

1

)()()( 3131

2131

32131

1 σ−σ+σ−σ+σ+σ+σ=σ

)()()( 3231

1231

32131

2 σ−σ+σ−σ+σ+σ+σ=σ

)()()( 2331

1331

32131

3 σ−σ+σ−σ+σ+σ+σ=σ Ο πρώτος όρος στις ανωτέρω εκφράσεις είναι η υδροστατική συνιστώσα των τάσεων mσ και παράγει µόνο ογκοµετρική παραµόρφωση εv ίση µε

)21(

)()()(

321

213132321321v

ν−Ε

σ+σ+σ=

Εσ+σν

−Ε

σ+

Εσ+σν

−Ε

σ+

Εσ+σν

−Ε

σ=ε+ε+ε=ε

(5)

και η αντίστοιχη ενέργεια ογκοµετρικής παραµόρφωσης είναι

)21()(61)21(

3U 321

32132121

vm21

v ν−⋅σ+σ+σ⋅Ε

=ν−⋅Ε

σ+σ+σ⋅

σ+σ+σ⋅=εσ= (6)

Οι δύο επόµενοι όροι των εκφράσεων των κύριων τάσεων ευθύνονται για την στρέβλωση του υλικού στην εξεταζόµενη θέση και σχετίζονται µε την ενέργεια διατµητικής παραµόρφωσης, η οποία θα ισούται µε

vtotals UUU −= (7) H ολική ενέργεια παραµόρφωσης ισούται µε totalU

)](2[E21)(

)()(U

13322123

22

21

21332

1

31222

132112

1332

1222

1112

1total

σσ+σσ+σσν−σ+σ+σ⋅=Ε

σ+σ⋅ν−σ⋅σ+

Εσ+σ⋅ν−σ

⋅σ+Ε

σ+σ⋅ν−σ⋅σεσ+εσ+εσ=

και αντικαθιστώντας στην (7), προκύπτει µετά την εκτέλεση των πράξεων για την ενέργεια διατµητικής παραµόρφωσης

])(

)()[(6

1)](2)(2[6

1U

213

232

221133221

23

22

21s

σ−σ+

σ−σ+σ−σ⋅Εν+

=σσ+σσ+σσ−σ+σ+σ⋅Εν+

=

και πρέπει να λαµβάνει σταθερή τιµή ή ισοδύναµα να ισχύει

C)()()( 213

232

221 =σ−σ+σ−σ+σ−σ (8)

Από την απαίτηση να ισχύει το κριτήριο διαρροής σε συνθήκες µονοαξονικού εφελκυσµού και καθαρής διάτµησης λαµβάνεται η ακριβής µαθηµατική σχέση του κριτηρίου ως

22213

232

221 k6Y2)()()( ==σ−σ+σ−σ+σ−σ (9)

2

Γ. Συσχετισµός των ορίων διαρροής Υ και k Από τις εξ. (4) και (9), αντίστοιχα, προκύπτει

• Από το κριτήριο Tresca: 2Yk = (10α)

• Από το κριτήριο Mises: 3

Yk = (10β)

Συνεπώς, όπου εµπλέκονται τα δύο όρια διαρροής, θα πρέπει να δηλώνεται σαφώς το κριτήριο που ακολουθείται. ∆. Γραφική παράσταση των κριτηρίων διαρροής Tresca και Mises ΤΡΙΣ∆ΙΑΣΤΑΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Σχήµα 1: Γραφική παράσταση κριτηρίων στο σύστηµα (σ1,σ2,σ3) Ο τόπος διαρροής (yield locus) του κριτηρίου Mises είναι κυλινδρική επιφάνεια µε άξονα την ισοκλινή του συστήµατος αξόνων (σ1,σ2,σ3) και ακτίνα ίση προς 3/2Y (βλ. απόδειξη κατωτέρω). Ο αντίστοιχος τόπος διαρροής του κριτηρίου Tresca είναι κανονική εξαγωνική πρισµατική επιφάνεια εγγεγραµµένη στον τόπο διαρροής του Mises. To επίπεδο-π είναι κάθε επίπεδο µε εξίσωση c321 =σ+σ+σ και είναι κάθετο στην ισοκλινή του συστήµατος (σ1,σ2,σ3)

3

∆ΙΣ∆ΙΑΣΤΑΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Σχήµα 2: Γραφική παράσταση κριτηρίων στο σύστηµα (σ1,σ3)

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο-π (Σχ. 3)

Σχήµα 3: Σχηµατική παράσταση κριτηρίων στο επίπεδο-π ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΤΟΠΟΥΣ ∆ΙΑΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ (Σχ. 4)

4

(α)

(β)

Σχήµα 4: Περιοχές καταπόνησης στα διαγράµµατα του δισδιάστατου τόπου διαρροής (α) Κριτηρίου Tresca, (β) Κριτηρίου Mises

5

ΙΣΟ∆ΥΝΑΜΗ ΤΑΣΗ - ΙΣΟ∆ΥΝΑΜΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Η ισοδύναµη τάση σ ορίζεται συναρτήσει των υπολοίπων συνιστωσών τάσεων έτσι, ώστε, όταν αρχίζει η διαρροή, να λαµβάνει την τιµή Υ. Συνεπώς, για τα ανωτέρω κριτήρια διαρροής προκύπτουν οι ακόλουθες εκφράσεις • Κριτήριο Tresca: 31 σ−σ=σ (11α)

• Κριτήριο Mises: ])()()[( 213

232

2212

1 σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ (11β)

Η ισοδύναµη παραµόρφωση (ή αύξηση της παραµόρφωσης) ε (ή εd ) ορίζεται έτσι, ώστε η αύξηση του ειδικού έργου παραµόρφωσης dw να ικανοποιεί τη σχέση

332211 dddddw ε⋅σ+ε⋅σ+ε⋅σ=ε⋅σ= (12) Αποδεικνύεται ότι για τα εξετασθέντα ανωτέρω κριτήρια αντοχής ισχύει, αντίστοιχα • Κριτήριο Tresca: maxidd ε=ε , όπου i=1, 2, 3 (13α)

• Κριτήριο Mises: ])dd()dd()dd[(d 213

232

2219

2 ε−ε+ε−ε+ε−ε=ε (13β)

ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ / ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ (FLOW RULES) Α. Εξισώσεις Lévy-Mises Οι γενικές καταστατικές εξισώσεις µεταξύ αποκλινουσών τάσεων και ολικών αυξήσεων των παραµορφώσεων για την περίπτωση του στερεού-ιδεωδώς πλαστικού υλικού προτάθηκαν αρχικά από τον Lévy (1871) και στην πλήρη διατύπωσή τους αργότερα από τον von Mises (1913) ως εξής: "Το πηλίκο της αύξησης της παραµόρφωσης προς την αντίστοιχη αποκλίνουσα τάση είναι σταθερή" ή ισοδύναµα

λ=τγ

=τ

γ=

τ

γ=

σ′ε

=σ′

ε=

σ′ε

ddddddd

zx

zx

yz

yz

xy

xy

z

z

y

y

x

x (14α)

ή σε τανυστική µορφή λ⋅σ′=ε dd ijij , i, j = x, y, z (14β)

όπου: dλ µη αρνητική σταθερά αναλογίας εξαρτώµενη από την ιστορία της παραµόρφωσης. Συνεπώς, συνολικά θα ισχύει:

)]([ddd zy21

x32

xx σ+σ−σ⋅λ⋅=λ⋅σ′=ε (15α)

)]([ddd xz21

y32

yy σ+σ−σ⋅λ⋅=λ⋅σ′=ε (15β)

)]([ddd yx21

z32

zz σ+σ−σ⋅λ⋅=λ⋅σ′=ε (15γ)

λ⋅τ=γ dd xyxy (15δ)

λ⋅τ=γ dd yzyz (15ε)

λ⋅τ=γ dd zxzx (15στ)

6

Β. Εξισώσεις Prandtl-Reuss Οι γενικές καταστατικές εξισώσεις µεταξύ αποκλινουσών τάσεων και πλαστικών αυξήσεων των παραµορφώσεων για την περίπτωση του ελαστικού-ιδεωδώς πλαστικού υλικού προτάθηκαν αρχικά από τον Prandtl (1924) για την περίπτωση της επίπεδης παραµορφωσιακής παραµόρφωσης και στην γενική διατύπωσή τους αργότερα από τον Reuss (1930) ως εξής: "Το πηλίκο της πλαστικής αύξησης της παραµόρφωσης προς την αντίστοιχη αποκλίνουσα τάση είναι σταθερή" ή ισοδύναµα

λ=τγ

=τ

γ=

τ

γ=

σ′ε

=σ′

ε=

σ′ε

ddddddd

zx

pzx

yz

pyz

xy

pxy

z

pz

y

py

x

px (16α)

ή σε τανυστική µορφή

λ⋅σ′=ε dd ijpij , i, j = x, y, z (16β)

όπου: dλ µη αρνητική σταθερά αναλογίας εξαρτώµενη από την ιστορία της παραµόρφωσης και p δείκτης που δηλώνει το πλαστικό τµήµα της αύξησης της παραµόρφωσης. Η ολική αύξηση της παραµόρφωσης ισούται µε το άθροισµα ενός ελαστικού µέρους και ενός πλαστικού, δηλαδή

mijij

ijeij

pijij d

E21

G2d

dddd σ⋅δ⋅ν−

+σ′

+λ⋅σ′=ε+ε=ε (17)

ή συνολικά

E)dd(d

)]([dd zyxzy2

1x3

2x

σ+σν−σ+σ+σ−σ⋅λ⋅=ε (18α)

E)dd(d

)]([dd xzyxz2

1y3

2y

σ+σν−σ+σ+σ−σ⋅λ⋅=ε (18β)

E)dd(d

)]([dd yxzyx2

1z3

2z

σ+σν−σ+σ+σ−σ⋅λ⋅=ε (18γ)

G2d

dd xyxyxy

τ+λ⋅τ=γ (18δ)

G2d

dd yzyzyz

τ+λ⋅τ=γ (18ε)

G2d

dd zxzxzx

τ+λ⋅τ=γ (18στ)

Οι εξισώσεις Prandtl-Reuss συναρτήσει των κύριων συνιστωσών τάσεων και παραµορφώσεων εκφράζονται ως εξής:

λ=σ−σ

ε−ε=

σ−σ

ε−ε=

σ−σ

ε−εd

dddddd

13

p1

p3

32

p3

p2

21

p2

p1 (19)

7

Η εξ. (19) δηλώνει ότι οι κύκλοι Mohr για τις τάσεις και τις πλαστικές αυξήσεις της παραµόρφωσης είναι όµοιοι, βλ. Σχ. 5.

Σχήµα 5: Κύκλοι Mohr για τάση και πλαστική αύξηση παραµόρφωσης

Τέλος, εάν χωριστούν οι ογκοµετρικές από τις αποκλίνουσες συνιστώσες της αύξησης παραµόρφωσης στην εξ. (17) και λαµβάνοντας υπόψη το κριτήριο διαρροής του Mises, οι εξισώσεις Prandtl-Reuss µπορεί να γραφούν υπό την ακόλουθη τανυστική µορφή

2ijij

iiii

ijijij

k2

dE21d

G2d

dd

=σ′⋅σ′

σ⋅ν−

=ε

σ′+λ⋅σ′=ε′

(20)

Γ. Καταστατικές εξισώσεις για κρατυνόµενο υλικό Βασική υπόθεση: "Η ισοδύναµη τάση σ είναι συνάρτηση του συνολικού ειδικού πλαστικού έργου

pw "∆ηλαδή θα ισχύει: )w(f p=σ όπου:

)(])()()[( 23

22

212

3213

232

2212

1 σ′+σ′+σ′=σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ (21)

p33

p22

p11p ddddw ε⋅σ′+ε⋅σ′+ε⋅σ′= (22)

8

Επειδή στην πλαστική περιοχή ισχύει η αρχή διατήρησης του όγκου (d ), η πλαστική συνιστώσα της αύξησης παραµόρφωσης µπορεί να παρασταθεί στο επίπεδο-π µε ένα διάνυσµα. Επίσης η εισαγωγή του συντελεστή (2G) εξασφαλίζει στο διάνυσµα αυτό διαστάσεις τάσης και έτσι τούτο µπορεί να απεικονιστεί στο ίδιο διάγραµµα µε το διάνυσµα της αποκλίνουσας τάσης. Από την υπόθεση ότι οι κύριοι άξονες πλαστικής αύξησης παραµόρφωσης και τάσης συµπίπτουν, στο Σχ. 6 το διάνυσµα τάσης

0dd p3

p2

p1 =ε+ε+ε

OP πρέπει να είναι παράλληλο προς το διάνυσµα της πλαστικής αύξησης παραµόρφωσης RQ . Άρα, το παραγόµενο πλαστικό έργο θα ισούται µε

Σχήµα 6

G2RQOPdwp

•= (23α)

όπου

σ⋅=σ′+σ′+σ′= 322

32

22

1 )(OP (23β)

p232p

32p

22p

1 dG2])d()d()d[(G2RQ ε⋅=ε+ε+ε= (23γ)

Σηµειώνεται ότι η πλαστική συνιστώσα της αύξησης παραµόρφωσης µπορεί να γραφεί υπό τη µορφή

)dd()dd()dd(d 2p1

p3

2p3

p2

2p2

p19

2p ε−ε+ε−ε+ε−ε=ε (23δ)

Αντικαθιστώντας στην εξ. (10α) προκύπτει για το πλαστικό έργο

pp ddw ε⋅σ= (24)

9

Από το συνδυασµό των εξ. (19), (20), (21) και (23δ) προκύπτουν οι πλήρεις καταστατικές εξισώσεις για κρατυνόµενο υλικό

2ijij

iiii

ijpij2

3ij

k2

dE

)21(d

G2dd

d

=σ′⋅σ′

σ⋅ν−

=ε

σ′+

σ

εσ′=ε′

(25)

ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Ορισµός Είναι η µεταβολή των ιδιοτήτων του υλικού στις διάφορες διευθύνσεις. Μετριέται µε τους συντελεστές Rα, όπου α είναι η γωνία που σχηµατίζει η µελετούµενη διεύθυνση µε την διεύθυνση έλασης του ελάσµατος. Επίπεδη ανισοτροπία (planar anisotropy) Είναι το είδος ανισοτροπίας που αναφέρεται σε διαφορετικές ιδιότητες του υλικού στις διάφορες διευθύνσεις πάνω στο επίπεδο του ελάσµατος. Μετριέται µε τον συντελεστή επίπεδης ανισοτροπίας ∆R, που υπολογίζεται από τη σχέση

4ή2RR2R

R 90450 +−=∆ (26)

Κάθετη ανισοτροπία (normal anisotropy) Είναι το είδος ανισοτροπίας που αναφέρεται σε διαφορετικές ιδιότητες του υλικού στις διάφορες διευθύνσεις κατά το πάχος του ελάσµατος. Μετριέται µε τον συντελεστή κάθετης ανισοτροπίας R , που υπολογίζεται από τη σχέση

4RR2R

R 90450 ++=

(27)

Συντελεστής ανισοτροπίας Rα κατά τη διεύθυνση α Είναι ο λόγος των παραµορφώσεων κατά το πλάτος και το πάχος που σηµειώνονται σε δοκίµιο εφελκυσµού, κοµµένου σε διεύθυνση α από το έλασµα, σε επιµήκυνση της τάξης του 15-20% ή πριν την εµφάνιση λαιµού σε υλικά µικρής ολκιµότητας. Ισχύει

z

2d

d

Rε

ε

=

π+α

α

(28)

Τυπικές µεταβολές του συντελεστή ανισοτροπίας µε τη διεύθυνση α παρουσιάζονται στο Σχ. 7.

10

Σχήµα 7: Μεταβολή του συντελεστή ανισοτροπίας µε την διεύθυνση α

Παρατηρήσεις • Η επίπεδη ανισοτροπία σχετίζεται µε το µέγεθος και τον προσανατολισµό των «αυτιών» που σχηµατίζονται στην βαθεία κοίλανση κυαθίων, βλ. Σχ. 8. Όσο µεγαλύτερος είναι ο συντελεστής ∆R, τόσο εντονότερος είναι ο σχηµατισµός «αυτιών».

Σχήµα 8: Επίδραση του συντελεστή επίπεδης ανισοτροπίας στο σχηµατισµό «αυτιών»

• Η κάθετη ανισοτροπία σχετίζεται µε την ικανότητα του ελάσµατος προς βαθεία κοίλανση, δηλ. µε το µέγιστο ύψος κυαθίου που µπορεί να επιτευχθεί µε ασφάλεια σε ένα πάσο. Όσο µεγαλύτερος είναι ο συντελεστής R , τόσο µεγαλύτερη είναι η ικανότητα προς κοίλανση. • Σηµαντική είναι η εξάρτηση των συντελεστών ανισοτροπίας από το µέτρο ελαστικότητας του υλικού, βλ. Σχ. 9.

Σχήµα 9: Εξάρτηση των συντελεστών ανισοτροπίας από το µέτρο ελαστικότητας Ε

(Τα µεγέθη E και ∆Ε ορίζονται κατ' αναλογία προς τα R και ∆R)

11

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ∆ΙΑΡΡΟΗΣ ΓΙΑ ΑΝΙΙΣΟΤΡΟΠΑ ΥΛΙΚΑ Κριτήριο διαρροής κατά Hill • Κατά τον Hill η ανισοτροπία κατανέµεται οµοιόµορφα κατά µέγεθος και διεύθυνση και οι άξονες ανισοτροπίας λαµβάνονται κατά τη διεύθυνση έλασης του ελάσµατος (άξονας x), εγκάρσια προς αυτή και πάνω στο επίπεδο του ελάσµατος (άξονας y) και κάθετα προς το επίπεδο του ελάσµατος (άξονας z). • Tρισδιάστατη διατύπωση του κριτηρίου

1N2M2L2)(H)(G)(F)(f2 2xy

2zx

2yz

2yx

2xz

2zyij =τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ≡σ (29)

όπου F, G, H, L, M, N είναι χαρακτηριστικές παράµετροι της τρέχουσας κατάστασης ανισοτροπίας. • Η συνθήκη ροής για σταθερή τιµή του πλαστικού δυναµικού f, ως γνωστόν, γράφεται στη µορφή

λ⋅σ∂∂

=ε dfdij

ij (30)

όπου dλ µη αρνητικός συντελεστής αναλογίας. Εφαρµόζοντας την εξ. (30) στο κριτήριο διαρροής προκύπτουν οι σχέσεις

xyxy

zxzx

yzyz

yzxzz

xyzyy

zxyxx

NddMdd

Ldd

)](F)(G[dd

)](H)(F[dd

)](G)(H[dd

τ⋅⋅λ=γτ⋅⋅λ=γ

τ⋅⋅λ=γ

σ−σ+σ−σ⋅λ=ε

σ−σ+σ−σ⋅λ=ε

σ−σ+σ−σ⋅λ=ε

(31)

Σηµείωση: Παρατηρούµε ότι η εξίσωση συνέχειας (dεx+dεy+dεz=0) ικανοποιείται. • ∆ισδιάστατη µορφή του κριτηρίου Στις κατεργασίες του λεπτού επιπέδου ελάσµατος µπορούµε να θεωρήσουµε τη δράση µόνο των συνιστωσών τάσεων σx, σy και τxy, ενώ οι υπόλοιπες συνιστώσες λαµβάνονται ίσες µε µηδέν. Άρα, οι σταθερές L και Μ θα είναι µηδενικές. Με τις υποθέσεις αυτές, το κριτήριο διαρροής µπορεί να γραφεί στη µορφή

1N2)FH(H2)HG( 2xy

2yyx

2x =τ⋅+σ⋅++σσ⋅−σ⋅+

(32)

• Υπολογισµός των συντελεστών του κριτηρίου (α) Μονοαξονικός εφελκυσµός κατά τον άξονα x: Προφανώς θα είναι σy=σz=0 και µε αντικατά-σταση στις εξ. (31) προκύπτει

12

Gd

Hd

HGd zyx

−ε

=−

ε=

+ε

(33)

ή εισάγοντας τον ορισµό του συντελεστή ανισοτροπίας για τη διεύθυνση x µέσω της εξ. (28), έχουµε

GH

dd

Rz

yx =

ε

ε=

(34)

(β) Μονοαξονικός εφελκυσµός κατά τον άξονα y: Είναι σx=σz=0 και εργαζόµενοι µε όµοιο τρόπο λαµβάνουµε

Fd

HFd

Hd zyx

−ε

=+

ε=

−ε

(35)

FH

dd

Rz

xy =

εε

= (36)

(γ) Μονοαξονικός εφελκυσµός σε τυχούσα διεύθυνση α ως προς τον άξονα x Αν είναι σ η ασκούµενη εφελκυστική τάση, τότε οι συνιστώσες σx, σy και τxy είναι ίσες προς

α⋅α⋅σ=τ

α⋅σ=σ

α⋅σ=σ

cossin

sin

cos

xy

2y

2x

(37)

και µε αντικατάσταση στην εξ. (31) παίρνουµε

λ⋅σα⋅α⋅=γλ⋅σα+α⋅−=ε

λ⋅σα⋅Η−α+=ε

λ⋅σα⋅Η−α+=ε

d]cossinN[dd]cosGsinF[d

d]cossin)HF[(d

d]sincos)HG[(d

xy

22z

22y

22x

(38)

ενώ η dεα+π/2 θα ισούται µε

α⋅αγ−αε+αε=ε π+

cossind2cosdsindd xy2

y2

x2

a

(39)

O συντελεστής ανισοτροπίας Rα από την εξ. (28), µετά τις αντικαταστάσεις και την εκτέλεση των πράξεων, προκύπτει ίσος προς

α+α

α⋅α−−−+=

ε

α⋅αγ⋅−αε+αε=

ε

ε

=

π+α

α

22

22z

xy2

y2

x

z

2

cosGsinFcossin)H4GFN2(H

dcossind2cosdsind

d

d

R (40)

13

(δ) Καθαρή διάτµηση: Ισχύει σx=σy=0 και τxy=k, όπου k το όριο διαρροής του υλικού σε διάτµηση. Με αντικατάσταση στο κριτήριο διαρροής (εξ. 32), προκύπτει

2k21N =

(41)

Συνεπώς, ταυτίζοντας τη διεύθυνση x µε τη διεύθυνση έλασης (α=0ο) του ελάσµατος, είναι δυνατός ο προσδιορισµός των συντελεστών F, G, H, N του κριτηρίου από τη λύση του συστήµατος

2

45

90

0

k21N

)GF(2GFN2R

FHR

GHR

=

+−−

=

=

=

(42)

• Γενικευµένη τάση – γενικευµένη παραµόρφωση κατά Hill

21

2xy

2zx

2yz

2yx

2xz

2zy

HGFN2M2L2)(H)(G)(F

23

++

τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ⋅=σ (43)

21

2yz

2zy2

1

...Ld2

...HFGHFGdHdG

F)HGF(23d

+

γ⋅++

++

ε⋅−ε⋅++⋅=ε (44)

14

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ ΤΟΥ ΤΟΠΟΥ ∆ΙΑΡΡΟΗΣ MISES ΚΑΙ TRESCA

Υπολογισµός της ακτίνας του τόπου διαρροής Mises και Tresca

Θα αποδειχθεί ότι 32

Υ=ΡΝ .

Η ισοκλινής ΟΗ έχει συνηµίτονα κατεύθυνσης 3/1( , 3/1 , 3/1 ). Αν ΟΝ είναι η προβολή του ΟΡ πάνω στην ισοκλινή, θα είναι

331

31

31ON 321

321σ+σ+σ

=⋅σ+⋅σ+⋅σ= (α)

Όµως,

])()()[(3

)(2)()(

3)(

213

232

2213

1

13322123

22

212

322

21

23212

322

21

222

σ−σ+σ−σ+σ−σ=

σσ+σσ+σσ+σ+σ+σ−σ+σ+σ=

σ+σ+σ−σ+σ+σ=ΟΝ−ΟΡ=ΡΝ

(β)

Σύµφωνα µε το κριτήριο Mises, διαρροή επέρχεται όταν συµβαίνει

2213

232

221 Y2)()()( =σ−σ+σ−σ+σ−σ (γ)

Από το συνδυασµό των εξ. (β) και (γ) προκύπτει

32YPN ⋅= (δ)

15