Лекция № 9 Уравнение Шредингера.

Волновые функции и их свойства. Квантование

Алексей Викторович Гуденко

12/04/2013

План лекции

1. Дифракция электронов и соотношение неопределённостей Гейзенберга.

2. Ψ-функции и их свойства.

3. Уравнение Шредингера.

4. Частица в прямоугольной яме.

5. Нулевая энергия квантового осциллятора.

демонстрации

Ψ – функция - состояние частицы в квантовой механике

Состояние частицы в квантовой механике задаётся пси-функцией Ψ(r,t) – комплексная функция, обладающая волновыми свойствами.

|Ψ|2 = ΨΨ* - плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства: dP = |Ψ|2dV

Нормировка пси-функции: ∫|Ψ|2dV = ∫ΨΨ*dV = 1

Принцип суперпозиции пси-функций:если для частицы возможны состояния Ψ1 и Ψ2, то существует также состояние Ψ = с1 Ψ1 + с2 Ψ2

Ψ-функция свободной частицы – плоская волна де Бройля

Ψ = Сei(kr-ωt) = Сei(pr- εt)/ћ – свободное равномерное движение в определённом направлении с:

– энергией ε = ћω – импульсом p = ћk

Фазовая скорость волн де Бройля нерелятивистской свободной частицы:vф = ω/k = ε/p = p/2m = v/2

Групповая скорость: vгр = dω/dk = dε/dp = p/m = v – просто скорость частицы

|Ψ|2 = ΨΨ* = const – свободная частица с равной вероятностью м.б. обнаружена в любой точке пространства (однородность пространства-времени)

Волновые свойства частицы и соотношение неопределённостей.

Дифракция электрона на щели: Δx – неопределённость координаты → Δp – неопределённость импульса

дифракционная расходимость θ = λ/Δx = Δp/p → Δpx Δx ~ λp = h

Соотношение неопределённости. Почему электрон не падает на ядро?

Произведение неопределённостей значений двух сопряжённых величин не меньше постоянной Планка (ћ/2)Δpx Δx ≥ ћ/2; Δpy Δy ≥ ћ/2; Δpz Δz ≥ ћ/2; ΔE Δt ≥ ћ/2

1. невозможно состояние, в котором частица находилась бы в состоянии покоя

2. квантовые частицы не имеют траектории

3. энергия квантовой частицы не делится на потенциальную и кинетическую

Соотношение неопределённостей, размер атома водорода и энергия основного состояния

Для минимальной энергии импульс частицы равен его неопределённости: p = <p> + Δp ~ = <p> + ћ/ℓ → pmin ~ ћ/ℓ ~ Δp.

E = p2/2m – e2/r ~ ћ2/2mr2 – e2/r E → min: dE/dr = 0 → -ћ2/mr3 + e2/r2 = 0 →

r = ћ2/me2 = 0,529*10-8 см = 0,529 A – боровский радиус

Emin = -e2/2r = - me4/2ћ2 = -13,6 эВ – энергия основного состояния атома водорода

Минимальная энергия квантового гармонического осциллятора U = æx2/2

E → min: p = Δp; x = Δx →E = K + U = p2/2m + æx2/2 ~ ћ2/2mx2 + æx2/2

Emin: dE/dx = 0 → xmin = ћ2/mæ → Emin = ћ(æ/m)1/2 = ћω

Точный расчёт даёт E0 = ½ ћω

Уравнение Шредингера для свободной частицы

Уравнение Шредингера – основное уравнение нерелятивистской квантовой механики

Уравнение Шредингера для свободной частицы:iћ∂Ψ/∂t = - ћ2/2m (∂2Ψ/∂x2 + ∂2Ψ/∂y2 + ∂2Ψ/∂z2) iћ∂Ψ/∂t = - (ћ2/2m)∆Ψрешение: Ψ(r,t) = Cei(pr – Et)/ћ

∆ = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 + ∂2/∂z2 – оператор Лапласа E* = iћ∂/∂t – оператор энергии p* = ћ/i ∂/∂x – оператор импульса E*Ψ = (p*2/2m)Ψ

Стационарное уравнение Шредингера

Для частицы в силовом поле U(x,y,z): E*Ψ = (p*2/2m + U)Ψ

Стационарное состояние – это состояние с определённой энергией: Ψ = ψ(х,y,z)e-iωt →

[p*2/2m + U]ψ = Eψ - уравнение Шредингера для стационарных состояний

ћ2/2m (∂2Ψ/∂x2) + (E – U)Ψ = 0

Основные свойства и квантование

Ψ-функция должна быть:1. ограниченной2. однозначной 3. непрерывной4. гладкой (без изломов)

Решение уравнение Шредингера, удовлетворяющее этим условиям возможно лишь при определённых значениях энергии. Это собственные значения энергии E.

Ψ(r) – соответствующие E собственные функции. Собственные значения м.б. дискретными

(квантованными) или непрерывными (сплошной энергетический спектр)

Частица в прямоугольной яме

(∂2Ψ/∂x2) + k2Ψ = 0,где k2 = 2mE/ћ2

Ψ = Asinkx + Bcoskx Ψ(0) = 0 → B = 0

Ψ(ℓ) = 0 → kℓ = πn (n = 1,2,3…) En = ћ2π2n2/2mℓ2 – энергия квантуется Нормировка ∫|Ψ|2dx = 1 → A = (2/ℓ)1/2

Ψn(x)= (2/ℓ)1/2sinπnx/ℓ λn = 2π/kn = 2ℓ/n

(ℓ = n λn/2 – в яме укладывается целое число полуволн)

картинки

Некоторые важные особенности

En – собственные значения; Ψn – собственные функции. Дискретность – следствие граничных условий. Минимальное значение энергии не равно нулю – это

соответствует принципу неопределённости Число n – главное квантовое число Число узлов на единицу меньше номера

соответствующего состояния. С ростом n максимумы |Ψ|2 сближаются, а

относительное расстояние между уровнями энергии уменьшается – дискретность «смазывается» и частица из «квантовой» превращается в «классическую» - в этом заключается принцип соответствия.

Численные оценки

Молекула в сосуде: m ~ 10-23г ℓ ~ 10 смΔEn = ћ2π2 (2n+1)/2mℓ2 ≈ ћ2π2 n/mℓ2 ≈ 10-32n эрг

E ~ kT ~ 10-14 эрг n ~ 109

ΔEn/E ~ 10-9

Принцип соответствия

Частица, находящаяся в яме с непроницаемыми стенками, излучает фотон, переходя из состояния с номером n+1 в состояние с номером n. Определить связь частоты фотона с классическим периодом колебаний частицы с энергией En.

Квантовая частица: ωкв = (En+1 – En)/ћ = ћπ2(n + ½) /mℓ2

Классическая: mv2/2 = En = ћ2π2n2/2mℓ2 → v = ћπn/mℓ → период T = 2ℓ/v = 2mℓ2/ћπn → ωкл = 2π/T = ћπ2n/mℓ2 →

ωкв/ωкл = 1 + 1/2n → при больших n: ωкв ≈ ωкл

А что будет в трёхмерной прямоугольной яме?

Ψnmp = Ψn(x)Ψm(y)Ψp(z) = Ψnmp = (8/abc)1/2 sinπnx/a sinπmy/b sinπpz/c

Квантовый осциллятор ½æx2. Нулевая энергия Е0 = ½ ћω

ћ2/2m (∂2Ψ/∂x2) + (E – U)Ψ = 0 → (ћ2/2m) ∂2Ψ/∂x2 + EΨ - ½æx2Ψ = 0замена: λ = 2E/ћω; ξ = x(æ/ћω)1/2 →- (∂2Ψ/∂ξ2) + ξ2Ψ = λΨ

Одно из решений Ψ = exp(αξ2) → для любого ξ должно быть: (1 - 4α2)ξ2 - 2α = λ → 1 - 4α2 = 0 → α = - ½ (+ не годится) → Ψ = exp(-ξ2/2); λ = 1

Это решение не имеет узлов → значит основное состояние (n = 1) → E0 = ½ ћω