Παραγωγη Ομοιομορφου Μαγνητικου Πεδιου

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

«Παραγωγή Ομοιόμορφου Μαγνητικού

Πεδίου σε τρεις διαστάσεις»

Τάσος Λαζαρίδης

email: [email protected]

Η εργασία αυτή πραγματοποιήθηκε στο Εργαστήριο Ηλεκτρομαγνητισμού και

Διαστημικής του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών της

Πολυτεχνικής Σχολής του Δημοκρίτειου Πανεπιστημίου Θράκης.

Ξάνθη, 2014

1. Γενική Ιδέα

Σκοπός της παρούσας εργασίας ήταν η θεωρητική μελέτη η σχεδίαση και η κατασκευή μίας διάταξης πηνίων που έχει τη δυνατότητα να παράγει ομοιόμορφο μαγνητικό πεδίο σταθερής έντασης στο εσωτερικό του σε κάθε μία από τις τρεις διαστάσεις του χώρου. Έπειτα έπρεπε να γίνει η προσομοίωση του Μαγνητικού Πεδίου (ΜΠ) της γης κατά μήκος της τροχιάς ενός δορυφόρου Cudesat και ο έλεγχος του ADCS (Attitude Determination and Control System) του ίδιου του δορυφόρου.

2. Περίληψη

Στην παρούσα εργασία, αρχικά γίνεται η περιγραφή του προβλήματος και η θεωρητική

ανάλυσή του. Στη συνέχεια παράγονται οι διανυσματικές εξισώσεις που διέπουν τη Φυσική

του προβλήματος. Οι εξισώσεις αυτές λύνονται με Αριθμητικές μεθόδους χρησιμοποιώντας

λογισμικό Matlab. Στο περιβάλλον Matlab έχουν γραφτεί κι άλλα βοηθητικά προγράμματα,

που παρουσιάζονται αναλυτικά οι κώδικες τους. Τέλος προτείνονται διαστάσεις, τεχνικα

χαρακτηρηστικά και μαγνητικοί αισθητήρες μέτρησης που αφορούν το πρόβλημα.

3. Θεωρητική Ανάλυση 3.1. Περιγραφή του Προβλήματος

Έχουμε 3 ζευγάρια κυλινδρικών πηνίων, δύο ομοαξονικά πηνία για κάθε μία από τις τρεις

διαστάσεις του χώρου. Ζητούμενο είναι το μαγνητικό πεδίο (ΜΠ) που παράγεται από τα πηνία

σε σχέση με το ρεύμα που τα διαρέει. Αρχικά θα υπολογίσουμε την διανυσματική συνάρτηση

του ΜΠ και στη συνέχεια εύκολα λύνουμε ως προς το ρεύμα, αφου οι ποσότητες είναι

ανάλογες.

Χωρίζουμε το πρόβλημα σε τρία υποπροβλήματα. Θα βρούμε το ΜΠ που δημιουργείται

από κάθε ζευγάρι πηνίων και στο τέλος θα τα αθροίσουμε. Χρησιμοποιούμε τους

συμβολισμούς:

, ,x xB r B x y z το ΜΠ των πηνίων που βρίσκονται στον άξονα x

, ,y yB r B x y z το ΜΠ των πηνίων που βρίσκονται στον άξονα y

, ,z zB r B x y z το ΜΠ των πηνίων που βρίσκονται στον άξονα z

Θα υπολογίσουμε αναλυτικά το ΜΠ των πηνίων που βρίσκονται στον άξονα z , τα άλλα δύο

υπολογίζονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, αυτό που αλλάζει είναι ο προσανατολισμός των

επιφανειών.

3.2. Εύρεση του ΜΠ

Θεωρούμε ότι έχουμε τα πηνία ως κυλίνδρους με επιφανειακή πυκνότητα ρεύματος

τοποθετημένα στους άξονες όπως φαίνεται στο Σχήμα 1, με τα κέντρα τους να είναι πάνω

στον άξονα z συμμετρικά ως προς την αρχή.

Η απόσταση των πηνίων είναι 2a , η ακτίνα τους a και το μήκος τους d . Με βάσει αυτά τα

γεωμετρικά στοιχεία ορίζουμε τα πηνία ως τους κυλίνδρους

zS : , cos , sin ,

zs u v a u a u v , 0,2u , ,v a a d

zS : , cos , sin ,

zs u v a u a u v , 0,2u , ,v a a d

Θα χρησιμοποιήσουμε τον Νόμο Biot-Savart για να υπολογίσουμε το ΜΠ, ο οποίος για

επιφανειακά ρεύματα γράφεται

0

2

ˆ ', ,

4S

K r rB r B x y z dA

l

Όπου S η επιφάνεια ολοκλήρωσης, K r K η επιφανειακή πυκνότητα ρεύματος, ˆ 'r το

μοναδιαίο διάνυσμα από την επιφάνεια S προς το σημείο , ,x y z r , l η απόσταση της S

από το r και dA το στοιχειώδες εμβαδόν της S . Στην περίπτωσή μας ο Νόμος Biot-Savart

γράφεται

0 0

2 2

ˆ ˆ' ', ,

4 4z z

z z

z z z z

S Sz z

K r r K r rB r B x y z dA dA

l l

(1.1)

Για ευκολία και για να ελαττώσουμε τα πολλά σύμβολα θα χρησιμοποιήσουμε τους παρακάτω

συμβολισμούς

, ,OP r x y z η επιβατική ακτίνα,

cos , sin ,z

OT a u a u v , 0,2u , ,v a a d το διάνυσμα που κινείται στην z

S και

cos , sin ,z

OT a u a u v , 0,2u , ,v a a d το διάνυσμα που κινείται στην z

S .

Οπότε τα διανύσματα cos , sin ,z

TP x a u y a u z v και cos , sin ,z

TP x a u y a u z v

έχουν διεύθυνση από τις επιφάνειες z

S και z

S , αντίστοιχα, προς το ζητούμενο σημείο

zK

Σχήμα 1

, ,x y z και μέτρο ίσο με την απόσταση της κάθε επιφάνειας από το , ,x y z του χώρου. Έτσι

η σχέση (1) γράφεται

0 0

3 34 4

z z

z zz zz z z

D Dz z

K TP K TPB r dA dA

TP TP

(1.2)

όπου z

D και z

D οι τόποι , 0,2 ,u v a a d και , 0,2 ,u v a a d , αντίστοιχα.

Και η επιφανειακή πυκνότητα ρεύματος zK ισούται με

1 2ˆ ˆ ˆsin cos sin ,cos ,0zK nI u nI u e u e nI u u , 0,2u

όπου 1 2ˆ ˆ ˆsin cosu u e u e η αζιμουθιακή διεύθυνση των σφαιρικών συντεταγμένων και

το n είναι ο αριθμός σπειρών ανά μονάδα μήκους δηλαδή

Nn

d

με N τον αριθμό σπειρών του πηνίου (αδιάστατος) και d το μήκος του πηνίου.

Μένει τώρα να υπολογίσουμε τα εξωτερικά γινόμενα των αριθμητών τα μέτρα των

διανυσμάτων στους παρονομαστές και τα στοιχειώδη εμβαδά τις σχέσης (1.2) και στη

συνέχεια να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα. Έτσι

1 2 3ˆ ˆ ˆ

sin cos 0

cos sinz

e e e

K TP u u nI

x a u y a u z v

1 3 3 2ˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cos cos sinnI u z v e u y a u e u x a u e u z v e

με , 0,2 ,u v a a d , ενώ το z

K TP είναι το ίδιο με το παραπάνω μόνο που αλλάζει ο

τόπος σε , 0,2 ,u v a a d .

Τα μέτρα των διανυσμάτων των παρονομαστών είναι ίσα με

2 2 2

cos sinz

TP x a u y a u z v , , 0,2 ,u v a a d

2 2 2

cos sinz

TP x a u y a u z v , , 0,2 ,u v a a d

Τα προς τα έξω κάθετα διανύσματα των επιφανειών z

S και z

S είναι τα z

N και z

N

αντίστοιχα, τα οποία είναι ίσα με

sin , cos ,0 0,0,1 cos , sin ,0z z

z

s sN a u a u a u a u

u v

, , 0,2 ,u v a a d

sin , cos ,0 0,0,1 cos , sin ,0z z

z

s sN a u a u a u a u

u v

, , 0,2 ,u v a a d

Όπως φαίνεται τα παραπάνω διανύσματα έχουν ίσα μεταξύ τους μέτρα και ίσα με

2 2 2 2(sin ) (cos )z z

N N a u a u a

οπότε τα στοιχειώδη εμβαδά κάθε επιφάνειας είναι και αυτά ίσα μεταξύ τους και ίσα με

z zdA N dudv adudv και

z zdA N dudv adudv .

Και έτσι έχουμε υπολογίσει όλες τις ποσότητες που εμφανίζονται στα ολοκληρώματα της

σχέσης (1.2), κάνοντας αντικατάσταση έχουμε

2

1 3 3 20

32 2 2

0

ˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cos cos sin

4cos sin

a d

z

a

nI u z v e u y a u e u x a u e u z v eB r advdu

x a u y a u z v

2

1 3 3 20

32 2 2

0

ˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin cos cos sin

4cos sin

a d

a

u z v e u y a u e u x a u e u z v eadvdu

x a u y a u z v

(1.3)

Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία υπολογίζουμε το ΜΠ που παράγεται από τα άλλα δύο

ζευγάρια πηνίων και έχουμε τα εξής αποτελέσματα

2

1 1 2 30

32 2 2

0

ˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos cos cos sin

4cos sin

a d

x

a

nI u z a u e u y a u e u x v e u x v eB r advdu

x v y a u z a u

2

1 1 2 30

32 2 2

0

ˆ ˆ ˆ ˆsin sin cos cos cos sin

4cos sin

a d

a

nI u z a u e u y a u e u x v e u x v eadvdu

x v y a u z a u

(1.4)

2

1 2 2 30

32 2 2

0

ˆ ˆ ˆ ˆsin sin sin cos cos cos

4sin cos

a d

y

a

nI u y v e u x a u e u z a u e u y v eB r advdu

x a u y v z a u

2

1 2 2 30

32 2 2

0

ˆ ˆ ˆ ˆsin sin sin cos cos cos

4sin cos

a d

a

nI u y v e u x a u e u z a u e u y v eadvdu

x a u y v z a u

(1.5)

Τα ολοκληρώματα των σχέσεων (1.3), (1.4) και (1.5) θα τα υπολογίσουμε αριθμητικά με

χρήση Matlab.

4. Προγράμματα Matlab 4.1. Το πρόγραμμα Main.m

Το πρόγραμμα Main.m υπολογίζει αριθμητικά το ΜΠ που δημιουργείται από τα έξι

συνολικά πηνία. Οι είσοδοι του είναι τα χαρακτηριστικά των πηνίων, τα ρεύματα που τα

διαρρέουν και το σημείο στο χώρο που υπολογίζει το ΜΠ καλώντας τις συναρτήσεις Cylx, Cyly

και Cylz (βλ. επόμενη παράγραφο). Παρακάτω φαίνεται ο κώδικας.

% Main.m

% Copyrights © Tasos Lazaridis 2014

clear all

close all

clc

fprintf('\nEnter the radius a [in meters] of each cyclic loop:\n');

a = input(' a = '); fprintf('\b m \n');

fprintf('\nEnter the length d [in meters] of the inductors:\n');

d = input(' d = '); fprintf('\b m \n');

fprintf('\nEnter the number of the turns:\n');

N = input(' N = ');

n = N/d; % to ypologizoun kai oi synartiseis !

fprintf('\nEnter the value of the current Ix [in Ampere] flowing through the x-centered

inductors:\n');

Ix = input(' Ix = '); fprintf('\b A \n');

Kx =n*Ix; % to ypologizoun kai oi synartiseis !

fprintf('\nEnter the value of the current Iy [in Ampere] flowing through the y-centered

inductors:\n');

Iy = input(' Iy = '); fprintf('\b A \n');

Ky = n*Iy; % to ypologizoun kai oi synartiseis !

fprintf('\nEnter the value of the current Iz [in Ampere] flowing through the z-centered

inductors:\n');

Iz = input(' Iz = '); fprintf('\b A \n');

Kz = n*Iz; % to ypologizoun kai oi synartiseis !

fprintf('\nEnter the three coordinates of the point:\n');

x = input(' x = ');

y = input(' y = ');

z = input(' z = ');

Btotal = Cylx(x,y,z,a,d,N,Ix) + Cyly(x,y,z,a,d,N,Iy) + Cylz(x,y,z,a,d,N,Iz);

fprintf('\nThe three components of the magnetic field in Cartesian coordinates are:\n');

fprintf('\nThe x-component:\n\n Bx = '); disp([num2str(Btotal(1)) ' Tesla ' '('

num2str(1e4*Btotal(1)) ' Gauss' ')']);

fprintf('\nThe y-component:\n\n By = '); disp([num2str(Btotal(2)) ' Tesla ' '('


fprintf('\nThe z-component:\n\n Bz = '); disp([num2str(Btotal(3)) ' Tesla ' '('


fig(a,d)

scatter3(x,y,z,'fill','black')

4.2. Οι συναρτήσεις Cylx, Cyly και Cylz

Οι συναρτήσεις Cylx, Cyly και Cylz υπολογίζουν το ΜΠ που δημιουργείται από κάθε ζευγάρι

πηνίων, υπολογίζουν δηλαδή αριθμητικά τα ολοκληρώματα (1.3), (1.4) και (1.5). Παρακάτω

φαίνεται ο κώδικας της κάθε συνάρτησης.

function [ Bx ] = Cylx( x,y,z,a,d,N,I )

n = N/d;

K = n*I;

f1x = @ (u,v) (-sin(u).*(z-a*sin(u))-cos(u).*(y-a*cos(u)))./((x-v).^2+(y-

a*cos(u)).^2+(z-a*sin(u)).^2).^(1.5);

f1y = @ (u,v) ((x-v).*cos(u))./((x-v).^2+(y-a*cos(u)).^2+(z-a*sin(u)).^2).^(1.5);

f1z = @ (u,v) ((x-v).*sin(u))./((x-v).^2+(y-a*cos(u)).^2+(z-a*sin(u)).^2).^(1.5);

Bx1 = 1e-07*a*K*[integral2(f1x,0,2*pi,a,a+d) integral2(f1y,0,2*pi,a,a+d)

integral2(f1z,0,2*pi,a,a+d)];

f2x = @ (u,v) (-sin(u).*(z-a*sin(u))-cos(u).*(y-a*cos(u)))./((x-v).^2+(y-

a*cos(u)).^2+(z-a*sin(u)).^2).^(1.5);

f2y = @ (u,v) ((x-v).*cos(u))./((x-v).^2+(y-a*cos(u)).^2+(z-a*sin(u)).^2).^(1.5);

f2z = @ (u,v) ((x-v).*sin(u))./((x-v).^2+(y-a*cos(u)).^2+(z-a*sin(u)).^2).^(1.5);

Bx2 = 1e-07*a*K*[integral2(f2x,0,2*pi,-a-d,-a) integral2(f2y,0,2*pi,-a-d,-a)

integral2(f2z,0,2*pi,-a-d,-a)];

Bx = Bx1 + Bx2;

end


function [ By ] = Cyly( x,y,z,a,d,N,I )

n = N/d;

K = n*I;

f1x = @ (u,v) ((y-v).*sin(u))./((x-a*sin(u)).^2+(y-v).^2+(z-a*cos(u)).^2).^(1.5);

f1y = @ (u,v) (-sin(u).*(x-a*sin(u))-cos(u).*(z-a*cos(u)))./((x-a*sin(u)).^2+(y-

v).^2+(z-a*cos(u)).^2).^(1.5);

f1z = @ (u,v) ((y-v).*cos(u))./((x-a*sin(u)).^2+(y-v).^2+(z-a*cos(u)).^2).^(1.5);

By1 = 1e-07*a*K*[integral2(f1x,0,2*pi,a,a+d) integral2(f1y,0,2*pi,a,a+d)


f2x = @ (u,v) ((y-v).*sin(u))./((x-a*sin(u)).^2+(y-v).^2+(z-a*cos(u)).^2).^(1.5);

f2y = @ (u,v) (-sin(u).*(x-a*sin(u))-cos(u).*(z-a*cos(u)))./((x-a*sin(u)).^2+(y-

v).^2+(z-a*cos(u)).^2).^(1.5);

f2z = @ (u,v) ((y-v).*cos(u))./((x-a*sin(u)).^2+(y-v).^2+(z-a*cos(u)).^2).^(1.5);

By2 = 1e-07*a*K*[integral2(f2x,0,2*pi,-a-d,-a) integral2(f2y,0,2*pi,-a-d,-a)


By = By1 + By2;

end


function [ Bz ] = Cylz( x,y,z,a,d,N,I )

n = N/d;

K = n*I;

f1x = @ (u,v) ((z-v).*cos(u))./((x-a*cos(u)).^2+(y-a*sin(u)).^2+(z-v).^2).^(1.5);

f1y = @ (u,v) ((z-v).*sin(u))./((x-a*cos(u)).^2+(y-a*sin(u)).^2+(z-v).^2).^(1.5);

f1z = @ (u,v) (-sin(u).*(y-a*sin(u))-cos(u).*(x-a*cos(u)))./((x-a*cos(u)).^2+(y-

a*sin(u)).^2+(z-v).^2).^(1.5);

Bz1 = (1e-07)*a*K*[integral2(f1x,0,2*pi,a,a+d) integral2(f1y,0,2*pi,a,a+d)


f2x = @ (u,v) ((z-v).*cos(u))./((x-a*cos(u)).^2+(y-a*sin(u)).^2+(z-v).^2).^(1.5);

f2y = @ (u,v) ((z-v).*sin(u))./((x-a*cos(u)).^2+(y-a*sin(u)).^2+(z-v).^2).^(1.5);

f2z = @ (u,v) (-sin(u).*(y-a*sin(u))-cos(u).*(x-a*cos(u)))./((x-a*cos(u)).^2+(y-

a*sin(u)).^2+(z-v).^2).^(1.5);

Bz2 = (1e-07)*a*K*[integral2(f2x,0,2*pi,-a-d,-a) integral2(f2y,0,2*pi,-a-d,-a)


Bz = Bz1 + Bz2;

end


4.3. Η συνάρτηση getCurrent

Η συνάρτηση getCurrent υπολογίζει το ρεύμα που διαρρέει το κάθε ζεύγος πηνίων.

Είσοδοί της είναι οι συνιστώσες του ΜΠ και τα χαρακτηριστικά των πηνίων.

function [I] = getCurrent (Bx, By, Bz, d, a, N)

% x = y = z = 0

%Bx = (((m0*I*N)/(d))*(((a+d)/sqrt(a^2+(a+d)^2))-(sqrt(2)/2)))* [1,0,0];

%By = (((m0*I*N)/(d))*(((a+d)/sqrt(a^2+(a+d)^2))-(sqrt(2)/2)))* [0,1,0];

%Bz = (((m0*I*N)/(d))*(((a+d)/sqrt(a^2+(a+d)^2))-(sqrt(2)/2)))* [0,0,1];

m0 = 4*pi*(1e-7);

Ix = ((d/m0)*Bx*(1/(((a+d)/sqrt(a^2+(a+d)^2))-(sqrt(2)/2))))/N;

Iy = ((d/m0)*By*(1/(((a+d)/sqrt(a^2+(a+d)^2))-(sqrt(2)/2))))/N;

Iz = ((d/m0)*Bz*(1/(((a+d)/sqrt(a^2+(a+d)^2))-(sqrt(2)/2))))/N;

I = [Ix Iy Iz];

end


4.4. Οι συναρτήσεις figx, figy και figz

Οι συναρτήσεις figx, figy και figz σχεδιάζουν τις επιφάνεις που θεωρούμε ως πηνία. Μέσα στον

κώδικα φαίνονται και οι αναλυτικές εξισώσεις των επιφανειών.

function [ ] = figx(a,d)

%figure('units','normalized','outerposition',[0 0 1 1])

hold on , grid on , axis equal

[U,V] = meshgrid(0:pi/100:2*pi,a:.01:a+d);

X = a*cos(U);

Y = a*sin(U);

Z = V;

mesh(Z,X,Y)

[U,V] = meshgrid(0:pi/100:2*pi,-a-d:.01:-a);

X = a*cos(U);

Y = a*sin(U);

Z = V;

mesh(Z,X,Y)

view([-30 15])

axis(a*[-2 2 -2 2 -2 2])

zoom(1)

scatter3(0,0,0,'fill','black')

zlabel('z - axis')

xlabel('x - axis')

ylabel('y - axis')

title('x-centered Inductors')

end


function [ ] = figy(a,d)




X = a*cos(U);

Y = a*sin(U);

Z = V;

mesh(Y,Z,X)


X = a*cos(U);

Y = a*sin(U);

Z = V;

mesh(Y,Z,X)

view([-30 15])

axis(a*[-2 2 -2 2 -2 2])

zoom(1)


zlabel('z - axis')

xlabel('x - axis')

ylabel('y - axis')

title('y-centered Inductors')

end


function [ ] = figz(a,d)




X = a*cos(U);

Y = a*sin(U);

Z = V;

mesh(X,Y,Z)


X = a*cos(U);

Y = a*sin(U);

Z = V;

mesh(X,Y,Z)

view([-30 15])

axis(a*[-2 2 -2 2 -2 2])

zoom(1.1)


zlabel('z - axis')

xlabel('x - axis')

ylabel('y - axis')

title('z-centered Inductors')

end


5. Χαρακτηρηστικά πηνίων

Μέγιστη-Ελάχιστη τιμή μέτρου ΜΠ από IGRF:

max 65000B nT και min 25000B nT

Οι τιμές αυτές αντιστοιχούν στα ρεύματα:

max 0.84I A και min 0.32I A

Δηλαδή σε κάθε ζευγάρι πηνίων θα πρέπει να ρέει ρεύμα από 0,32Α μέχρι και 0,84Α.

Πρακτικά θα στα κυκλώματα θα υπάρχει η δυνατότητα να ρέει ρεύμα 0-1Α.

Χαρακτηριστικά των Πηνίων

Χρειάζονται 6 πηνία, 2 για κάθε άξονα x, y, z. Τα πηνία θα είναι κυλινδρικού σχήματος:

Ακτίνας: 0.5a m

Μήκους: 0.1d m και

Αριθμό περιτυλίξεων: 100#N

Επιλέγουμε από τις τυποποιημένες διατομές αγωγών την 20.75S mm .

Άρα το μήκος αγωγού που χρειαζόμαστε για κάθε πηνίο είναι:

100 2 314.16L m

Η ειδική αντίσταση του χαλκού είναι 2

0.0175 Cumm

m

Άρα η ηλεκτρική αντίσταση που εμφανίζει κάθε πηνίο είναι:

2

2

10.0175 314.159 7.33

0.75Cu

L mmR m

S m mm

6. Ηλεκτρικά Κυκλώματα

Κάθε ζεύγος πηνίων τροφοδοτείται από μία πηγή 20V dc. Ενας ηλεκτρονόμος χρειάζεται

ανάμεσα στην πηγή και στο υπόλοιπο κύκλωμα για να εναλλάσει τη ροή του ρεύματος

(πόλους της πηγής) για να μπορεί να επιτευχθεί θετική και αρνητική τιμή ΜΠ σε κάθε άξονα.

Παρακάτω φαίνεται το κύκλωμα για ένα ζεύγος πηνίων, όμοια είναι και τα υπόλοιπα.

7. Μαγνητικοί Αισθητήρες

Πίνακας Μαγνητικών Αισθητήρων

Για τη συγκεκριμενη εφαρμογη προτείνονται αιαθητηρες τεχνολογιας:

Fiber-Optic, Anisotropic Magnetoresistive και Flux-Gate.

Παραγωγη Ομοιομορφου Μαγνητικου Πεδιου

Documents

Transcript of Παραγωγη Ομοιομορφου Μαγνητικου Πεδιου