ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

7/21/2019 ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

http://slidepdf.com/reader/full/-56d6c0741a28ab30169a758d 1/36

-

ΜΗΧ ΝΙΚΕΣ

Τ Λ ΝΤΩΣΕΙΣ

-

ΜΗΧ ΝΙΚΕΣ

Τ Λ ΝΤΩΣΕΙΣ

Απλή αρμονική

ταλάντωση

9

Ηλεκτρικές

ταλαντώσεις

14

Φθίνουσες

ταλαντώσεις

18

Εξαναγκασμένες

ταλαντώσεις 21

Σύνθεση

ταλαντώσεων 25

Σύνοψη

29

Ασκήσεις

30



1 - 1 Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Η

Σε προηγούμενες τάξε ις ασχοληθήκαμε με δυο περιοδικά φαινόμενα,

την ομαλή κυκλική κ ίνηση και την απλή αρμονική ταλάντωση.

Στην ενότητα αυτή θα επεκτε ίν ουμε την έννοια «ταλά ντωσ η» για να

συμπεριλάβουμε και τ ις ηλεκτρικές ταλαντώσεις .

Θα εξετάσουμε επίσης τις ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος

ελαττώνεται -τ ις φθίνουσες ταλαντώσεις- και τ ις ταλαντώσεις στις οποίες

προσφέρουμε ενέργε ια στο σώμα που ταλαντώνεται -τ ις εξαναγκασμένες

ταλαντώσεις .

Τέλος θα ασχοληθούμε και με την περίπτωση που το σώμα

συμμετέχε ι σε περισσότερες από μια ταλαντώσεις (σύνθετες ταλαντώσεις) .

1 -2 Π Ε Ρ Ι Ο Δ Ι Κ Α Φ Α Ι Ν Ο Μ Ε Ν Α

Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται τα φαινόμενα που εξελίσσονται

και επαναλαμβάνονται αναλλοίωτα σε σταθερά χρονικά διαστήματα. Τέτοια

φαινό μενα ε ίναι η κ ίνηση της Γης γύρ ω α πό τον Ήλ ιο, η κ ίνηση τ ου

εκκρεμούς, το άναμμα και το σβήσιμο του φάρου κ .ά .

Κάθε περιοδικό φαινόμενο χαρακτηρίζεται από την περίοδο του (Τ),

το χρόνο δηλαδή που απαιτε ίται γ ια να ολοκληρωθεί . Αν σε χρόνο t γίνονται

επαναλήψεις του φαινομένου, η περίοδος ε ίναι ίση με το πηλίκο

Το αντ ίστροφο πηλίκο

του αριθμού των επαναλήψεων του φαινομένου προς τον αντ ίστοιχο χρόνο

ονομάζουμε

σ υ χ ν ό τ η τ α

του περιοδικού φαινομένου.

Μ ονά δα μ έτρησης της περιόδου ε ίναι το 1 s

και της συχνότητας το

Από τον ορισμό τους, τα μεγέθη περίοδος και συχνότητα ε ίνα ι

α ν τ ί σ τ ρ ο φ α , συνδέοντα ι δηλαδή με τη σχ έση

Από τον ορισμό τους, τα μεγέθη περίοδος και συχνότητα ε ίνα ι

α ν τ ί σ τ ρ ο φ α , συνδέοντα ι δηλαδή με τη σχ έση

Ένα τρίτο μέγεθος που αναφέρεται σε όλα τα περιοδικά φαινόμενα,

χωρίς άμεση φυσική σημασία, ε ίναι η

γ ω ν ι α κ ή σ υ χ ν ό τ η τ α

(ω ) για την οποία

ισχύει

Μο νάδα μέτρησης της γων ιακής συχνό τητας ε ίνα ι το 1 rad/s.

Π α ρ α τ ή ρ η σ η

: Στην κυκλική κ ίνηση ορίζεται το διανυσματ ικό μέγεθος

Μο νάδα μέτρησης της γων ιακής συχνό τητας ε ίνα ι το 1 rad/s.


: Στην κυκλική κ ίνηση ορίζεται το διανυσματ ικό μέγεθος

γωνιακή ταχύτητα με μέτρο

Στην ομαλή κυκλική κ ίνηση το μέτρο

της γωνιακής ταχύτητας που έχε ι ως κυκλική κ ίνηση ε ίναι ισο με τη γωνιακή

συχνότητα που έχε ι ως περιοδική κ ίνηση.

Σ χ . 1.1 Το διάνυσμα της γωνιακής

ταχύτητας στην κυκλική κίνηση.



1 - 3 Α Π Λ Η Α Ρ Μ Ο Ν Ι Κ Η Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Η

α ) Κ ι ν η μ α τ ι κ ή π ρ ο σ έ γ γ ι σ η

Μια περιοδική παλινδρομική κ ίνηση ονομάζεται

ταλάντωση . Η

ταλάντωση που γίνεται σε ευθεία τροχιά ονομάζεται γραμμική ταλάντωση .

Ει κ. 1.1 Η κίνηση του εκκρεμούς είναι μια ταλάν τωση. Στη φωτογρ αφία α πεικονίζονται

διαδοχικά στιγμιότυπα της κίνησης στη διάρκεια μισής περιόδου.

Η απλή αρμονική ταλάντωση ε ίναι μ ια ε ιδική περίπτωση γραμμικής

ταλάντωσης .

Έστω ένα σώμα που κ ινε ίται παλινδρομικά πάνω σε ένα άξονα γύρω

από το σημείο 0 , που ε ίναι το μέσο της τροχιάς του.

Αν η απομάκρυνση Χ του σώματος δίνεται από τη

σχέση

(1.1)

η κ ίνηση του σώματος ονομάζεται απλή αρμονική ταλάντωση . Το Α είναι η

μέγιστη απομάκρ υνση , δηλαδή η μέγιστη απόσταση από το σημείο 0 στην

οποία φτάνει το κ ινητό, και ονομάζεται π λ ά τ ο ς της ταλάντωσης.

Σχ. 1.2 Το σώμ α του σχήμ ατος

εκτελεί γραμμική ταλάντωση

κινούμενο παλινδρομικά γύρω από

το σημείο Ο, που είναι το μέσο της

τροχιάς του.



Αν σε κάποια ταλάντωση ε ίναι γνωστή η σταθερά επαναφοράς,

μπορούμ ε να υπολογ ίσουμε την περίοδο της .

Από τη σχέση

προκύπτε ι

(1.8)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1-1

Σώμα μάζας m έχε ι προσδεθεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου το άλλο άκρο του

οποίου ε ίναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Απομακρύνουμε το σώμα κατακόρυφα και το αφήνουμε

ελεύθερο. Να υπολογιστε ί η περίοδος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει .

Απάντηση :

Δεν ε ίναι δυνατόν να εφαρμόσουμε τη σχέση

(1.8), που ισχύει μόνο στις αρμονικές

ταλαντώσεις , αν πρώτα δεν αποδείξουμε ότ ι η κ ίνηση του σώματος ε ίναι απλή αρμονική ταλάντωση. Γ ια να

γίνε ι αυτό θα αποδείξουμε ότ ι η συνισταμένη δύναμη σε μ ια τυχαία θέση του σώματος ε ίναι ανάλογη της

απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας και αντ ίθετης φοράς.

Το σώμα αρχικά ισορροπεί έχοντας επ ιμηκύνει το ελατήριο κατά

(σχ. 1 .8.β) . Κατά την ισορροπία του σώματος ισχύει

F=w (1.9)

Έστω μια τυχαία θέση στην οποία θα βρεθεί το σώμα κάποια στ ιγμή

κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του. Θεωρώντας θετ ική φορά τη φορά της

απομάκρυνσης x από τη θέση ισορροπίας του θα ισxύει :

ή, λόγω της (1.9),

(1.10)

Σύμφωνα με το νόμο του Hooke F=Kl κα ι F =K(l+x), οπότε η (1.10)

γίνεται

(1.11)

Σχ. 1.8

Από την 1 . 1 1 ) παρατηρούμε ότ ι η συνισταμένη δύναμη ε ίναι ανάλογη της απομάκρυνσης από τη

θέση ισορροπίας και αντ ίθετης φοράς.

Επομένως η κ ίνηση ε ίναι αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς τη σταθερά Κ του

ελατηρίου. Η σχέση (1.8) ισχύει και γ ίνεται

γ ) Ε ν ε ρ γ ε ι α κ ή π ρ ο σ έ γ γ ι σ η

Έσ τω και πάλι το σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Το

σώμα, σε μια τυχαία θέση, έχει κινητική ενέργεια

(1.12)



Αν δεχτούμε ότ ι στη θέση 0 το σώμα έχε ι δυναμική ενέργε ια μηδέν,

σε κάθε άλλη θέση θα έχε ι δυναμική ενέργε ια που υπολογίζεται ως εξής :

Εάν το σώμα βρίσκεται στο σημείο 0 και ε ίναι ακίνητο, γ ια να

μετακινηθεί στη θέση Δ, που απέχε ι απόσταση χ από τη θέση ισορροπίας ,

πρέπει να του ασκηθεί δύναμη F ' τέτοια ώστε να εξουδετερώνει τη δύναμη

επαναφοράς F. Το μέτρο αυτής της δύναμης, σε κάθε θέση, θα ε ίναι

Αν δεχτούμε ότ ι στη θέση 0 το σώμα έχε ι δυναμική ενέργε ια μηδέν,

σε κάθε άλλη θέση θα έχε ι δυναμική ενέργε ια που υπολογίζεται ως εξής :

Εάν το σώμα βρίσκεται στο σημείο 0 και ε ίναι ακίνητο, γ ια να

μετακινηθεί στη θέση Δ, που απέχε ι απόσταση χ από τη θέση ισορροπίας ,

πρέπει να του ασκηθεί δύναμη F ' τέτοια ώστε να εξουδετερώνει τη δύναμη

επαναφοράς F. Το μέτρο αυτής της δύναμης, σε κάθε θέση, θα ε ίναι

Σχ. 1.9

Το έργο της δύναμης F ' υπολογίζεται από τη γραφική παράσταση

(σχ. 1.10) και είναι

. Το έργο της δύναμης F ' αποθηκεύεται ως

δυναμική ενέργε ια στο σύστημα, επομένως

(1.13)

Ό μ ω ς

οπότε η (1.13) γ ίνεται

(1-14)

Από τ ις σχέσεις (1.12) και (1.14) προκύπτε ι ότ ι η κ ινητ ική και η

δυναμική ενέργε ια στην απλή αρμονική ταλάντωση μεταβάλλονται περιοδικά

με το χρόνο (σχ. 1.11).

Η ενέργε ια ταλάντωσης του συστήματος σε μ ια τυχαία θέση δίνεται

από τη σχέση

η οποία από τ ις (1.12) και (1.14) γ ίνεται

ή

Η ενέργε ια στην απλή αρμονική ταλάντωση ε ίναι σταθ ερή και

ανάλογη με το τετράγων ο του πλάτο υς .

Σχ. 1.10 Για να μετατοπιστεί κατά

χ , στο σώμα ασκούμε δύναμη

F'=Dx. Το εμβαδόν της επιφάνειας

μεταξύ του διαγράμματος και του

άξονα των x είναι αριθμητικά ίσο

με το έργο που απαιτήθηκε για τη

μετατόπιση.

Σχ. 1.11 Στο διάγραμμα παριστά-

νονται η κινητική, η δυναμική και

η συνολική ενέργεια της ταλά-

ντωσης, σε συνάρτηση με το χρό-

νο.



1 - 4 Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ

Στους οπλισμούς πυκνωτή χωρητ ικότητας C

σχ.

1.12) συνδέουμ ε πηνίο

με συντελεστή αυτεπαγωγής L. Τ ο πηνίο και οι αγωγοί δεν έχουν α ντίσταση.

Φορτ ίζουμε τον πυκνωτή (π .χ . φέρνοντας σε επαφή τους οπλισμούς

του με τους πόλο υς πηγής συνεχούς τάσης ) με φορτ ίο Q και κλε ίνουμε το

διακόπτη Δ (σχ. 1 .13α) . Αρχίζε ι τότε η εκφόρτ ιση του πυκνωτή και το

κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα. Η ένταση του ρεύματος, λόγω της

αυτεπαγωγής του πηνίου, αυξάνεται σταδιακά και γ ίνεται μέγιστη (I) τη

στ ιγμή της πλήρους εκφόρτ ισης του πυκνωτή (σχ. 1 .13β) .

Σχ. 1.12 Στους οπλισμούς

πυκνωτή έχει συνδεθεί μέσω

διακόπτη ιδανικό πηνίο. Ένα

τέτοιο κύκλωμα ονομάζεται

κύκλωμα LC.

Το ρεύμα, εξαιτ ίας του φαινομένου της αυτεπαγωγής στο πηνίο, δε

μηδενίζεται αμέσως μετά την εκφόρτ ιση του πυκνωτή. Το κύκλωμα συνεχίζε ι

γ ια λίγο χρόνο να διαρρέεται από ρεύμα που συνεχώς ελαττώνεται . Η κ ίνηση

αυτή των φορτ ίων έχε ι ως αποτέλεσμα ο πυκνωτής να φορτ ιστε ί πάλι , τώρα

όμως με αντ ίθετη πολικότητα. Όταν το ρεύμα μηδενιστε ί ο πυκνωτής θα έχε ι

αποκτήσει πάλι φορτ ίο Q (σχ. 1.13γ).

Το ρεύμα, εξαιτ ίας του φαινομένου της αυτεπαγωγής στο πηνίο, δε

μηδενίζεται αμέσως μετά την εκφόρτ ιση του πυκνωτή. Το κύκλωμα συνεχίζε ι

γ ια λίγο χρόνο να διαρρέεται από ρεύμα που συνεχώς ελαττώνεται . Η κ ίνηση

αυτή των φορτ ίων έχε ι ως αποτέλεσμα ο πυκνωτής να φορτ ιστε ί πάλι , τώρα

όμως με αντ ίθετη πολικότητα. Όταν το ρεύμα μηδενιστε ί ο πυκνωτής θα έχε ι

αποκτήσει πάλι φορτ ίο Q (σχ. 1.13γ).

Σχ . 1.13 Τη στιγμή μηδέν, που ο πυκνω τής έχει φορτίο Q, κλείνουμε το διακόπτη. Στο σχήμα φα ίνονται

διάφορες φάσεις της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώματος κατά τη διάρκεια μιας περιόδου.

Στη συνέχεια η διαδικασία επαναλαμβάνεται αντίστροφα. O πυκνωτής

αρχίζει να εκφορτίζεται, το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα και το κύκλωμα

επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση (σχ. 1.13δ-ε). Στην ιδανική περίπτωση

που δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας η διαδικασία επαναλαμβάνεται συνέχεια.

Το φαινόμενο ονομάζεται ηλεκτρική ταλάντωση.

Αποδεικνύεται ότ ι το φορτ ίο του πυκνωτή μεταβάλλεται με το χρόνο

σύμφωνα με τη σχέση

(1.15)



και η ένταση του ρεύματος στο πηνίο, σύμφωνα με τη σχέση

(1.16)

όπου

Στις σχέσεις αυτές , χρονική στ ιγμή μηδέν θεωρείται η στ ιγμή που κλείνο υμε

το διακόπτη. Θετ ική θεωρείται η φορά του ρεύματος όταν αυτό κατευθύνεται

προς τον οπλισμό του πυκνωτή που για t = 0 ήταν θετ ικά φορτ ισμένος.

Από ενεργειακή άποψη, η αρχική ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στον

πυκνωτή

με την εκφόρτ ισή του ελαττώνεται και μετατρέπεται σε

ενέργεια μαγνητ ικού πεδίου στο πηνίο

Όταν ο πυκνωτής

εκφορτ ιστε ί εντελώς η ενέργε ια του ε ίναι μηδενική και όλη η ενέργε ιά του

έχει μετατρ απεί σε ενέργ εια

αποκτήσ ει τη μέγιστη τ ιμή της . Στη συνέχε ια αυτή η διαδικασία

γίνεται αντ ίστροφα, με ιώνεται η ενέργε ια στο πηνίο και αυξανεται στον πυ-

κνωτή, μέχρι την πλήρη φόρτ ισή του οπότε το κύκλωμα επανέρχεται ενερ-

γε ιακά στην αρχική του κατάσ ταση. Η όλη διαδικασία επαναλ αμβά νεται .

Οι ενέργε ιες του ηλεκτρικού και του μαγνητ ικού πεδίου κάποια

στ ιγμή ε ίναι , αντ ίστοιχα

και

(1.17)

(1.18)

Η ολική ενέργε ια του κυκλώματος στην ιδανική περίπτωση όπου δεν

υπάρχουν απώλειες , θεωρείται σταθερή και ε ίναι

Η σχέση (1.17) γ ίνεται από την (1.15)

(1.19)

και η (1.18) από τη (1.16)

1-20)

Από τ ις σχέσεις (1.19) και (1.20) φαίνεται αυτό που προηγουμένως

περιγράψαμε ποιοτ ικά, ότ ι δηλαδή η ενέργε ια ηλεκτρικού πεδίου στον πυ-

κνωτή μετατρέπεται περιοδικά σε ενέργε ια μαγνητ ικού πεδίου στο πηνίο και

αντ ίστροφα. Στο σχήμα 1.15 βλέπουμε τ ις γραφικές παραστάσεις των Ό Ε και

U σε συνάρτηση με το χρόνο. Να σημειωθεί ότ ι το άθροισμα U

E

και U

B

δια-

τηρείται σταθερό.

Σχ. 1.14 Οι γραφικές παραστάσεις

του φορτίου στον πυκνωτή και του

ρεύματος σε συνάρτηση με το

χρόνο, σε κύκλωμα LC.

Σχ. 1.15 Η ενέργεια ηλεκτρικού

πεδίου στον πυκνωτή, μετατρέπεται

περιοδικά σε ενέργεια μαγνητικού

πεδίου στο πηνίο.



Περιγράψαμε την ηλεκτρική ταλάντωση με την προϋπόθεση ότ ι η

ενέργεια του συστήματος διατηρείται . Η κατάσταση αυτή, όμως, ε ίναι

ιδανική. Στην πραγματ ικότητα υπάρχουν δυο λόγοι γ ια τους οποίους η

ενέργεια του συστήματος με ιώνεται . Πρώτον, οι αγωγοί του συστήματος

έχουν αντ ίσταση κ ι επομένως ένα μέρος της ενέργε ιας μετατρέπεται σε

θερμότητα . Δεύτερον , τα κυκλώματα ηλεκτρ ικών ταλαντώσεων εκπέμπουν

ηλεκτρομαγνητ ική ακτ ινοβολία, δηλαδή χάνουν ενέργε ια .

Η περίοδος Τ ενός τέτοιου ιδανικού κυκλώματος ε ίναι

(1.21)

Αξιοσημείωτο ε ίναι ότ ι η περίοδος εξαρτάται μόνο από τη χωρητ ικότητα και

την αυτεπαγωγή του κυκλώματος.


Η ηλεκτρική ταλάντωση ενός τέτοιου κυκλώματος, παρουσιάζε ι

αναλογίες με την απλή αρμονική ταλάντωση που εκτελεί σώμα μάζας m

προσδεμένο σε ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ. Αν το σώμα στο σχήμα 1.16

απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας και αφεθεί ελεύθερο να κ ινηθεί , χωρίς

τριβές , θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. Αν ως χρονική στ ιγμή μηδέν

θεωρηθεί η στ ιγμή κατά την οποία αφέθηκε ελεύθερο, η ταλάντωση θα έχε ι

αρχική φάση π/2.

Οι σχέσεις που περιγράφουν την απομάκρυνση και την ταχύτητα του

σώματος κάθε στ ιγμή ε ίναι

Στην ηλεκτρική ταλάντωση το φορτ ίο στον πυκνωτή και το ρεύμα στο

κύκλωμα μεταβάλλονται όπως η απομάκρυνση και η ταχύτητα στη μηχανική

ταλάντωση που περ ιγράψαμε .

Στο μηχανικό σύστημα, η αρχική δυναμική ενέργε ια

μετατρέπεται περιοδικά σε κ ινητ ική, ενώ η συνολική ενέργε ια - μηχανική

ενέργεια - δ ιατηρείται . Αντ ίστοιχα στο κύκλωμα LC , η αρχική ενέργεια

-ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου - μετατρέπεται περιοδικά σε ενέργεια

μαγνητικού πεδίου, ενώ η συνολική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή.

Σχ. 1.16 Η ηλεκτρική ταλά ντωση

παρουσιάζει αναλογίες με την

ταλάντωση που εκτελεί το σώμα

του σχήματος .



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 .2

Κύκλωμα LC αποτελείται από πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L= 2mH, και πυκνωτή χωρητικότητας

C=5μF. Φέρουμε στιγμιαία τους οπλισμούς του πυκνωτή σε επαφή με πηγή τάσης V=20V.

α) Να υπολογιστεί η συχνότη τα των ηλεκτρικών ταλαν τώσε ων στο κύκλωμ α.

β) Να γραφούν οι σχέσεις που δ ίνουν το φορτίο στον πυκνω τή και το ρεύμα στο κύκλω μα σε

συνάρτηση με το χρόνο.

Απάντηση :

α) Η περίοδος των ηλεκτρικών ταλαντώ σεων στο κύκλω μα είναι

Επομ ένως η συχνό τητα είναι

β) Αν στιγμή μηδέν θεωρηθεί η στιγμή κατά την οποία φορτίστηκε ο πυκνω τής από την πηγή, το

Η γωνιακή συχνότητα είναι

Επομ ένως η σχέση που δ ίνει το φορτίο στον πυκνω τή σε συνάρτη ση με το χρόνο είναι

(S

.I.)

Αν θεω ρήσουμ ε ότι η ενέργεια στο κύκλωμα διατηρείται , η μέγ ιστη ενέργεια μαγνητικού πεδίου στο

πηνίο ε ίναι ίση με τη μέγ ιστη ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνω τή, επ ομένως

άρα

Η σχέση που δ ίνει το ρεύμα στο κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο είναι

(S .I.)



Σχ. 1 .17 Απομακρύνουμε το

σώμα Σ από τη θέση ισορροπίας Ο

και το αφήνουμε ελεύθερο στο

σημείο Ρ. Το σώμα λόγω τριβών

δεν επιστρέφει στο Ρ.

Εικ. 1.4 Ο καταδύτης θέτει σε

ταλάντωση το βατήρα. Το πλάτος

της ταλάντωσης μειώνεται, λόγω

τριβών.

Σχ. 1.18 Στο σχήμα παριστάνονται

σχηματικά τα διανύσματα της

ταχύτητας (κόκκινο χρώμα) και

της δύναμης F' που αντιτίθεται

στην κίνηση (πράσινο χρώμα)

στις διάφορες θέσεις κατά την

ταλάντωση ενός σώματος .

Σχ . 1 .19 Μεταβάλλοντας την

πίεση μέσα στο δοχείο

μεταβάλλουμε τη σταθερά

απόσβεσης του ταλαντούμενου

συστήματος .

1 - 5 Φ Θ Ι Ν Ο Υ Σ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ

Α . Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ

Το σώμα Σ του σχήματος 1.17 απομακρύνεται κατά Α από τη θέση

ισορροπίας και αφήνεται ελεύθερο στη θέση Ρ. Όταν ολοκληρώσει μ ια

ταλάντωση, όσο μικρή και αν είναι η τριβή του με το δάπεδο, δε θα

επιστρέψει στο σημείο Ρ. Αν το σώμα συνεχίσε ι την ταλάντωσή του, χωρίς

εξωτερική επέμβαση, το πλάτος της ταλάντωσης συνεχώς θα με ιώνεται και

μετά από ορισμένο χρόνο θα σταματήσει . Μια τέτοια ταλάντωση ονομάζεται

φ θ ί ν ο υ σ α ή α π ο σ β ε ν ν ύ μ ε ν η τ α λ ά ν τ ω σ η . Φ θ ί ν ο υ σ α ε ί ν α ι η τ α λ ά ν τ ω σ η π ο υ

κάνει ένα σώμα όταν ε ίναι κρεμασμένο από ελατήριο και κ ινε ίται μέσα στον

αέρα, όπως και η ταλάντω ση του εκκρεμούς. Όλ ες οι ταλαντώ σεις στο

μακρόκοσμο ε ίναι φθίνουσες γιατ ί καμιά κ ίνηση δεν ε ίναι απαλλαγμένη από

τριβές και αντιστάσεις.

Η απόσβεση (ελάττωση του πλάτους) οφείλεται σε δυνάμεις που

αντ ιτ ίθενται στην κ ίνηση. Οι δυνάμεις αυτές μεταφέρ ουν ενέργε ια από το

ταλαντούμενο σύστημα στο περιβάλλον. Έτσι , η μηχανική ενέργε ια του

συστήματος με την πάροδο του χρόνου ελαττώνεται και το πλάτος της

ταλάντωσης με ιώνεται .

Ιδιαίτερη σημασία έχουν οι φθίνουσες ταλαντώσεις στ ις οποίες η

αντ ιτ ιθέμενη δύναμη ε ίναι ανάλογη της ταχύτητας.

Τέτοια δύναμη ε ίναι η δύναμη αντ ίστασης που ασκείται σε μ ικρά

αντ ικε ίμενα που κ ινούνται μέσα στον αέρα ή μέσα σε υγρό.

T o b ε ίνα ι μ ια σταθερά που ονομάζετα ι σταθερά απόσβεσης κα ι

εξαρτάται από τις ιδιότητες του μέσου καθώς και από το σχήμα και το μέγεθος

του αντικειμένου που κινείται. Ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται το πλάτος

μιας ταλάντωσης εξαρτάται από την τ ιμή της σταθεράς b.

Πειραματ ικά ο ρόλος της σταθεράς b σε μια φθίνουσα ταλάντωση

μπορεί να φανεί με τον εξής τρόπο: Με τη χρήση μιας αεραντλίας μπορούμε

να μεταβάλουμε την π ίεση του αέρα στο εσωτερικό του δοχε ίου (σχ. 1 .19) ,

μέσα στο οποίο ταλαντώ νεται η σφαίρα Σ. Η μεταβολή της π ίεσης μέσα στο

δοχείο μεταβάλλει τη σταθερά απόσβεσης b. Στην περίπτωση που το ελατήριο

ε ίναι ιδανικό, αν αφαιρούσαμε όλο τον αέρα -κάτ ι που στην πράξη ε ίναι

αδύνατο- η σταθερά απόσβεσης θα ήταν μηδέν και η ταλάντωση αμείωτη

(σχ. 1 .20α). Ότα ν α υξάνεται η π ίεση αυ ξάνεται η τ ιμή της σταθερά ς b και η

απόσβεση ε ίναι ταχύτερη.

Μελετώντας φθίνουσες ταλαντώσεις αυτής της κατηγορίας

διαπιστώνουμε ότ ι :



α)

β)

Η περίοδος, γ ια ορισμένη τ ιμή της σταθεράς b , δ ιατηρείται σταθερή

και ανεξάρτητη από το πλάτος (σχ.1.20β) . Όταν η σταθερά b μεγαλώ-

νε ι το πλάτος της ταλάντωσης με ιώνεται π ιο γρήγορα (σχ.1.20γ) και η

περίοδος παρουσιάζε ι μ ια μ ικρή αύξηση που στα πλαίσια αυτού του

βιβλίου θεωρείται αμελητέα.

Σε ακραίες περιπτώσεις στις οποίες η σταθερά απόσβεσης παίρνει πολύ

μεγάλες τιμές, η κίνηση γίνεται απεριοδική, δηλαδή, ο ταλαντω τής, επι-

στρέφει στη θέση ισορροπίας χωρίς ποτέ να την υπερβεί σχ. 1,20δ)

Κάτι τέτοιο θα μπορούσε να συμβεί αν το σύστημα ελατήριο σώμα

βρισκόταν μέσα σ ' ένα παχύρρευστο υγρό.

(α)

Σχ . 1 .20 (α) Ότα ν η σταθερά από-

σβεσης είναι μηδέν η ταλάντωση

είναι αμείωτη.

(β) Φθίνουσα ταλάντωση. Η περί -

οδος διατηρείται σταθερή και ανε-

ξάρτητη του πλάτους,

(γ ) Όταν ο συντελεστής απόσβε-

σης μεγαλώνει , το πλάτος της τα-

λάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα,

(δ) Όταν ο συντελεστής απόσβε-

σης είναι πολύ μεγάλος η κίνηση

είναι απεριοδική.

(β)













(γ)

Σχ. 1 .20 (α) Ότα ν η σταθερά από-
























(δ)

γ )

Το πλάτος της ταλάντωσης με ιώνεται εκθετ ικά με το χρόνο. Ισχύει

δηλαδή η σχέση

Τ ο Λ ε ίναι μ ια σταθερά που εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης και

τη μάζα του ταλαντούμενου σώματος.

Από την παραπά νω σχέση προκύπτει ότι ο λόγος δύο διαδοχικών μέγιστων

απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση διατηρείται σταθερός, δηλαδή

Σχ. 1.21 Σε μια φθίνουσα ταλά-

ντωση ο λόγος των διαδοχικών

μέγιστων είναι σταθερός.



Σχ. 1.22 Κύκλω μα φθινουσώ ν

ηλεκτρικών ταλαντώσεων.

(α)

Σχ. 1.23

(α) Αμείωτη ηλεκτρική

ταλάντωση, (β) και (γ) Φθίνουσες

ηλεκτρικές ταλαντώσεις, (δ) Όταν

η αντίσταση είναι πολύ μεγάλη το

φαινόμενο δεν είναι περιοδικό.

Σχ. 1.23






(β)

Σχ. 1.23






(γ)

δ)

Το σύστημα ανάρτησης του αυτοκινήτου ε ίναι ένα σύστημα αποσβεν-

νύμενων ταλαντώσεων . Τα αμορτ ισέρ εξασφαλίζουν δύναμη απόσβεσης -που

εξαρτάται από την ταχύτητα- τέτοια , ώστε όταν το αυτοκίνητο περνά από ένα

εξόγκωμα του δρόμου, να μη συνεχίζε ι να ταλαντώνεται γ ια πολύ χρόνο. Κα-

θώς τα αμορτ ισέρ παλιώνουν και φθείρονται , η τ ιμή του b ελαττώνεται και η

ταλάντωση διαρκεί περισσότερο. Η φθορά αυτή με ιώνει την ασφάλεια , επε ιδή

οι ρόδες έχουν λιγότερη επαφή με το έδαφος.

Ενώ όμως στην περίπτωση του αυτοκινήτου ε ίναι επ ιθυμητή η μεγάλη

απόσβεση, σε άλλα συστήματα, όπως σε ένα εκκρεμές ρολόι , επ ιδιώκεται η

ελαχιστοποίηση της απόσβεσης.

Β . Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ

Για να ε ίναι σε ένα κύκλωμα LC (σχ. 1 .22) η ηλεκτρική ταλάντωση

αμείωτη δεν πρέπει να υπάρχει απώλεια ενέργε ιας , κάτ ι που πρακτ ικά ε ίναι

αδύνατο. Οι ηλεκτρικές ταλαντώσεις ε ίναι φθίνουσες. Το πλάτος του ρεύμα-

τος καθώς και το μέγιστο φορτ ίο στον πυκνωτή μικραίνουν και τελικά το κύ-

κλωμα παύει να ταλαντώνεται .

Στην περίπτωση των ηλεκτρικών ταλαντώσεων, ο κύριος λόγος της

απόσβεσης ε ίναι η ωμική αντ ίσταση, η αύξηση της οποίας συνεπάγεται π ιο

γρήγορη απόσβεση της ταλάντωσης και μ ικρή αύξηση της περιόδου της . Τα

κυκλώματα LC που χρησιμοποιούνται στην πράξη παρουσιάζουν μικρή αντ ί-

σταση και η αύξηση της περιόδου μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα.

Για ορισμένη τ ιμή της αντ ίστασης, η περίοδος ε ίναι σταθερή.

Αν η τ ιμή της αντ ίστασης υπερβεί κάποιο όριο η ταλάντω ση γίνεται

απεριοδική.



1 - 6 Ε Ξ Α Ν Α Γ Κ Α Σ Μ Ε Ν Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ

Α . Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ

Αν το σφαιρίδιο του σχήματος 1.24 εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας

του και αφεθεί ελεύθερο θα εκτελέσει κατακόρυφη ταλάντωση. Αν δεν

υπάρχουν αντ ιστάσεις η ταλάντωση θα ε ίναι αμείωτη, με συχνότητα

Στην πραγματ ικότητα η ταλάντωση θα ε ίναι φθίνουσα. Η συχνότητά της θα

είναι λίγο μ ικρότερη, στην πράξη όμως μπορούμε να τη θεωρήσουμε ίση με

την f

0

.

Μια τ έτο ια ταλάντωση λέγετα ι ελεύθερη ταλάντωση κα ι η

συχνότ ητα με την οπο ία πραγματοποιε ί τα ι λέγετα ι ιδ ιο συχ νότ ητα ( f

0

) της


Αν θέλουμε να διατηρείται σταθερό το πλάτος της ταλάντωσης πρέπει

να ασκήσουμε στο σύστημα μια περιοδική δύναμη. Αυτή την πρόσθετη

δύναμη την ονομάζουμε δ ιεγε ίρουσα δύναμη .

Στη διάταξη του σχήματο ς 1.25 το ελατήριο ε ίναι δεμένο με σχοιν ί ,

το άλλο άκρο του οποίου προσδένεται στον τροχό Τ

2

ο οποίος , με κατάλληλη

διάταξη, μπορεί να περιστρέφεται . Η περιστροφή του τροχού αναγκάζει το

σφαιρ ίδ ιο να εκτελε ί κατακόρυφη ταλάντωση . Η συχνότητα της ταλάντωσης

συμπίπτε ι με τη συχνότητα περιστροφής του τροχού. Η κ ίνηση του σφαιριδίου

ονομάζετα ι εξαναγκασμένη ταλάντωση κα ι το σώμα που προκαλε ί την

ταλάντωση με την περ ιοδ ική δύναμη που ασκε ί ( δ ιεγε ίρουσα δύναμη) -στο

παράδε ιγμά μας ο τροχός - δ ιεγέρτης .

Εικ . 1.5 Το φαινόμε νο της παλίρροιας στον κόλπο του Fundy στον Καναδά . Η βαρυτική έλξη

της Σελήνης εξαναγκάζει τη μάζα του νερού στην επιφάνεια της Γης σε ταλάντωση.

Όπως ε ίπαμε , η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης που

εκτελ εί το σφα ιρίδιο Σ είναι f και όχι f

o

, δηλα δή ο διεγέρτης επ ιβάλλει

στην ταλάντωσ η τη συχνότητά του .

Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης εξαρτάται από τη συχνότητα

f του διεγέρτη. Συγκεκριμένα, αν μεταβληθεί η συχνό τητα f του διεγέρτη

μεταβάλλεται και το πλάτος της εκτελούμενης ταλάντωσης. Οι τ ιμές του πλάτους

Σχ. 1 .24 Το σώμα Σ απομακρύ-

νεται από τη θέση ισορροπίας και

αφήνεται ελεύθερο. Η ταλάντωσή

του είναι ελεύθερη.

Σχ. 1.25 Το σώμα Σ εκτελεί εξα-

ναγκασμένη ταλάντωση.

Εικ. 1.6 Σ' ένα κουρδιστό ρολόι η

αποθηκευμένη ενέργεια στο σπει-

ροειδές ελατήριο αντισταθμίζει τις

απώλειες λόγω τριβών και διατη-

ρεί το πλάτος των ταλαντώσεων

αμείωτο. Κάποτε η ενέργεια τε-

λειώνει και το ρολόι θέλει κούρδι-

σμα.



είναι γενικά μικρές, εκτός αν η συχν ότητα f πλησιάζει στην ιδιοσυχνό τητα

οπότε το πλάτος παίρνει μεγάλες τιμές και γίνεται μέγιστο όταν η συχν ότητ α f

γίνει ίση με την ιδιοσ υχνότητα

Τότε λέμε ότι έχουμε συντονισμό.

Στην ιδανική περίπτωση που η ταλάντωση δεν έχε ι απώλειες

ενέργε ιας (πρακτ ικά αυτό ε ίναι αδύνατο) , όταν

, το πλάτος της

εξαναγκασμένης ταλάντωσης γίνεται άπειρο.

Σχ. 1.26 Τα διαγράμματα του πλά-

τους μιας εξαναγκασμένης ταλά-

ντωσης, σε συνάρτηση με τη συ-

χνότητα του διεγέρτη.

(α) Ταλάντωση χωρίς απόσβεση, (β)

Ταλάντωση με απόσβεση.

Εικ. 1.7 Τα παιδιά, από πολύ μικρή

ηλικία, μαθαίνουν ότι οι κινήσεις

που κάνουν με τα πόδια τους όταν

κάνουν κούνια πρέπει να έχουν μια

συγκεκριμένη συχνότητα. Τότε

επιτυγχάνεται συντονισμός και το

πλάτος της αιώρησης γίνεται

μέγιστο.

Σχ. 1.27 Το σώμα Σ εκτελεί εξα-

ναγκασμένη ταλάντωση, μέσα σε

δοχείο στο οποίο μπορούμε να με-

ταβάλλουμε την πίεση του αέρα.

Με τη διάταξη του σχήματος 1.27 μπορούμε να παρατηρήσουμε το

πλάτος της ταλάντωσης σε συνάρτηση με τη συχνότητα του διεγέρτη, για

διάφορες τιμές της σταθεράς απόσβεσης. Στο σχήμα 1.28 παριστάνεται το πλάτος

της ταλάντωσης για διάφορες τιμές της σταθεράς απόσβεσης. Το πλάτος της

ταλάντωσης κατά το συντονισμό εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης. Αύξηση

της σταθεράς απόσβεσης, συνεπάγετα ι μείωση του πλάτους της εξαναγκασμένη ς

ταλάντωσης.

Το σημείο οπό το οποίο ξεκ ινούν όλες οι καμπύλες στο διάγραμμα,

απέχε ι από την αρχή των αξόνων όσο απέχε ι το σημείο πρό σδεσ ης του

σχοιν ιού από το κέντρο του τροχού Τ

2

.

Ε ν ε ρ γ ε ι α κ ή μ ε λ έ τ η

Στις ελεύθερες ταλαντώσεις κατά τη διέγερση του συστήματος δίνεται

σε αυτό κάποια μηχανική ενέργε ια , η οποία διατηρείται σταθερή -αν η

ταλάντωση ε ίναι αμείωτη- ή μετατρέπεται σταδιακά σε θερμότητα -αν ε ίναι

φθίνουσα. Στ ις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις , στο σύστημα προσφέρεται

συνεχώς ενέργε ια με συχν ότητ α f μέσω της διεγε ίρουσας δύναμ ης.



Η ενέργεια που προσφέρεται στο σύ-

στημα αντισταθμίζει τις απώλειες και έτσι το

πλάτος της ταλάντωσης δ ιατηρείται σταθερό.

σύστημα αποδέχεται την ενέργεια ε ίναι εκλεκτι -

κός και έχει να κάνει με τη συχνότητα υπό την

οποία προσφέρεται . Κατά το συντονισμό η

ενέργεια μεταφέρεται στο σύστημα κατά το βέλ-

τ ιστο τρόπο, γ ι αυτό και το πλάτος της ταλά-

ντωσης γ ίνεται μέγ ιστο.

Σχ. 1.28 Το διάγραμμα του πλά-

τους μιας εξαναγκασμένης ταλά-

ντωσης σε συνάρτηση με τη συ-

χνότητα του διεγέρτη για διάφορες

τιμές του

b

(

b i< b

2

). Στις ταλαντώ-

σεις με απόσβεση η συχνότητα

συντονισμού είναι λίγο μικρότερη

από την f

0

Όσο αυξάνεται η από-

σβεση η μείωση της συχνότητας

συντονισμού γίνεται μεγαλύτερη.

Αυτή η μετατόπιση της συχνότη-

τας συντονισμού είναι πολύ μικρή

και στην κλίμακα του διαγράμμα-

τος δε φαίνεται .

Σχ. 1 .29 Στο κύκλωμα LC δη-

μιουργείται εξαναγκασμένη ηλε-

κτρική ταλάντωση.

Σχ.1.30 Τα διαγράμματα του πλά-

τους της έντασης του ρεύματος /

σε ένα κύκλωμα LC που εκτελεί

εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλά-

ντωση σε συνάρτηση με τη συχνό-

τητα του διεγέρτη, για διάφορες

τιμές της αντίστασης του κυκλώ-

μ α τ ο ς {R,<R

2

Εικ. 1.8

Όταν η συχνότητα ενός

ηχητικού κύματος γίνει ίση με την

ιδιοσυχνότητα του κρυστάλλινου

ποτηριού, το ποτήρι ταλαντώνεται

με το μέγιστο δυνατό πλάτος και

τελικά σπάει .

Β . Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ

Ενα κύκλω μα LC αν διεγερθει (π.χ. με στιγμιαία επαφή των οπλισμών

του πυκνωτή με τους πόλους πηγής συνεχούς τάσης) εκτελεί ελεύθερη ηλεκτρική

Ενα κύκλω μα LC αν διεγερθει (π.χ. με στιγμιαία επαφή των οπλισμών

του πυκνωτή με τους πόλους πηγής συνεχούς τάσης) εκτελεί ελεύθερη ηλεκτρική

ταλάντωσ η με συχνότητα ταλάντωσ ης Αν το κύκλωμα δεν

παρουσιάζει αντίσταση η ταλάντωση είναι αμείωτη. Αν ομως η αντίσταση του

κυκλώμ ατος είναι διάφορη του μηδενός η ταλάντωση είναι φθίνουσα.

Το κύκλωμα μπορεί να εκτελέσει εξαναγκασμένη ταλάντωση. Ως δ ιε-

γέρτης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια πηγή εναλλασσόμενης τάσης (σχ .1 .29) .

Το κύκλ ωμα τότε δ ιαρρέεται από εναλλα σσόμ ενο ρεύμα, με συχνό τητα /

ίδ ια με τη συχνότητα της τάσης. Αν μεταβάλουμε τη συχνότητα της τάσης, το

πλάτος του ρεύματος μεταβάλλεται και παίρνει τη μέγιστη τιμή του όταν

. Τότε έχουμε συντονισμό.

Στο σχήμ α 1 .30 παριστάνεται το πλάτος του ρεύματος / σε συνάρ-

τηση με τη συχνότητα / , γ ια δ ιάφορες τ ιμές της ωμικής α ντίστασης.

Ε φ α ρ μ ο γ έ ς τ ο υ σ υ ν τ ο ν ι σ μ ο ύ

Τα παραδείγματα του συντονισμού στη φυσική είναι πολλά. Ο συντο-

νισμός λαμβάνετα ι πολύ σοβαρ ά υπόψ η σε πολλές εφαρμογές που αφορούν

στην καθημερινή μας ζωή



Το ΑΒ (σχ. 1 .31) ε ίναι ένα μεταλλικό έλασμα, στερεωμένο στο κάτω

άκρο του Β σε ακλόνητο δάπεδο (σχ. 1 .31α) . Αν τραβήξουμε το άκρο Α του

ελάσματος και το αφήσουμε ελεύθερο, θα εκτελέσει ταλάντωση, με συχνότητα

ίση με την ιδιοσυχνότητά του (σχ. 1.31 β). Θεω ρητικ ά ένα κτίριο (σχ. 1 .31γ),

αν διεγερθεί , έχε ι τη δυνατότητα να εκτελέσει ελεύθερη ταλάντωση, παρόμοια

με αυτή του ελάσματος με ιδιοσυχνότητα f

o

. Στη διάρκ εια ενός σεισ μού , το

έδαφος πάλλεται με συχν ότητα / (σχ. 1.31 δ) και τα κτ ίρια εξαναγκ άζοντα ι

να εκτελέσουν ταλάν τωση . Αν η συχνό τητα f με την οποία πάλλετα ι το

έδαφος (διεγέρτης) ε ίναι ίση με την ιδιοσυχνότη

τα

του κτιρίου, το πλάτος

της ταλαντωσης του κτ ιρίου θα γίνε ι μεγάλο, γεγονός που μπορεί να οδηγήσει

στην κατάρρευσή του.

Σχ . 1.31 Το κτίριο συμπ εριφέρ εται

όπως το μεταλλικό έλασμα. Όταν

ταλαντώνεται το έδαφος (σεισμός)

το κτίρ ιο κάνει εξαναγκασμένη

ταλάντωση.

Η χορδή του σχήματος 1.32α έχε ι στερεωμένα τα άκρα της σε

ακλόνητα σημεία . Αν την τραβήξουμε από το μέσον της Μ και την αφήσουμε

ελεύθερη, θα εκτελέσει ταλάντωση με τη φυσική της συχνότητα

( ιδιοσυχνότητα) . Παρόμοια κ ίνηση μπορεί να εκτελέσει και η γέφυρα του

σχήματος 1.32β αν διεγερθεί .

Αν μια ομάδα ανθρώπων κ ινηθεί με βηματ ισμό πάνω στη γέφυρα, η

γέφυρα διεγε ίρεται και εκτελε ί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Αν η συχνότητα

βηματισμού ε ίναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της γέφυρας, έχουμε συντονισμό,

η γέφυρα ταλαντώνεται με μεγάλο πλάτος και υπάρχει κ ίνδυνος κατάρρευσης.

Σχ. 1 .32 Μια γέφυρα συμπεριφέ-

ρεται όπως η χορδή. Μια ομάδα

ανθρώπων που κινείται πάνω στη

γέφυρα με βηματισμό μπορεί να

την κάνει να ταλαντώνεται με

μεγάλο πλάτος.

Ένα τέτοιο ατύχημα συνέβη στη Γαλλία το 1850. Μια γέφυρα

κατέρρευσε και 226 στρατ ιώτες σκοτώθηκαν. Από τότε , όταν ένα τμήμα

στρατού περνάει πάνω από γέφυρα, οι στρατ ιώτες προχωρούν με ελεύθερο

βηματισμό.



Κάθε ραδιοφωνικός σταθμός εκπέμπει σε ορισμένη συχνότητα. Στην

κεραία ενός ραδιοφώνου κάθε στιγμή φτάνουν πολλά ηλεκτρομαγνητικά κύματα,

με διαφορετικές συχνότητες. Η επιλογή ενός σταθμού στο ραδιόφωνο στηρίζεται

στο φαινόμενο του συντονισμού. 'Οταν γυρίζουμε το κουμπί επιλογής των

σταθμών μεταβάλ λουμε τη χωρητικότητα ενός μεταβλητού πυκνωτή. Ο πυκνωτής

αυτός είναι μέρος ενός κυκλώματος LC, το οποίο βρίσκεται σε επαγωγική σύζευξη

με την κεραία του ραδιοφώνου. Στην κεραία τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που

φτάνουν αναγκάζουν τα ηλεκτρόνια της να εκτελέσουν ταλάντωση. Η κίνηση των

ηλεκτρονίων στην κεραία δημιουργεί σ' αυτή ένα πολύ ασθενές μεταβαλλόμενο

ρεύμα. Εξαιτίας της επαγωγικής σύζευξης το κύκλωμα LC εξαναγκάζεται να

εκτελέσει ηλεκτρική ταλάντωση. Το πλάτος της ηλεκτρικής ταλάντωσης (πλάτος

του ρεύματος) είναι ασήμαντο εκτός εάν έχουμε συντονισμό. Μεταβάλλοντας

όμως τη χωρητικότητα του πυκνωτή στο κύκλωμα LC, μεταβάλλουμε την

ιδιοσυχνότητά του. Όταν η ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος συμπέσει με κάποια

από τις συχνότητες με τις οποίες ταλαντώνονται τα ηλεκτρόνια της κεραίας

(δηλαδή με κάποια από τις συχνότητες των κυμάτων τα οποία φτάνουν στην

κεραία), το κύκλωμα συντονίζεται και διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα

μέγιστου πλάτους. Αυτό το σχετικά μεγάλο ρεύμα, περιέχει το ηλεκτρικό σήμα, το

οποίο, ενισχυμ ένο, οδηγείται στο μεγά φων ο του ραδιοφ ώνου και το διεγείρει.

1 -7 Σ Υ Ν Θ Ε Σ Η Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ω Ν

Το σώμα Σ του σχήματος 1.34 βρίσκεται πάνω σε οριζόντ ια βάση και

είναι δεμ ένο στις άκρες δύο ελατ ηρίω ν, οι άλλες άκρες των οποίω ν είναι

στερεωμένες σε ακίνητα σημεία . Το σώμα μπορεί να κ ινε ίται χωρίς τριβές . Αν

το σώμα απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας του και αφεθεί ελεύθερο θα

εκτελέσει απλή αρ μονική ταλάντω ση (με περίοδο Τ,) . Αν και η βάση πάνω

στην οποία βρίσκεται το σώμα -με κατάλληλο μηχανισμό- εκτελεί αρμονική

ταλάντωση (με περίοδο Τ

2

) , το σώμ α Σ κάνει ταυτόχρον α δυο αρμονικές

ταλαντώ σεις . Η ταλάντωσ η της βάσης δεν ε ίναι απαραίτητο να γίνεται στη

διεύθυνση της ταλάντωσης του σώματος.

Η κ ίνηση του σώματος Σ ε ίναι , γενικά, πολύπλοκη. Η διεύθυνση, η

συχνότητα, το πλάτος και η φάση της εξαρτώνται από τα αντ ίστοιχα

χαρακτηριστ ικά των επ ί μέρους ταλαντώσεων.

Η κ ίνηση που κάνε ι το σώμα λέγετα ι σύνθετη ταλάντωση κα ι η

μ ε λ έ τ η τ η ς σ ύ ν θ ε σ η τ α λ α ν τ ώ σ ε ω ν .

Στη συνέχε ια θα μελετήσουμε μερικές ε ιδικές περιπτώσεις σύνθεσης

ταλαντώσεων .

Α . Σ ύ ν θ ε σ η δ ύ ο α π λ ώ ν α ρ μ ο ν ι κ ώ ν τ α λ α ν τ ώ σ ε ω ν τ η ς ί δ ι α ς

σ υ χ ν ό τ η τ α ς , π ο υ γ ί ν ο ν τ α ι γ ύ ρ ω α π ό τ ο ί δ ι ο σ η μ ε ί ο σ τ η ν ί δ ι α

δ ι ε ύ θ υ ν σ η .

Έστω ότ ι ένα σώμα Σ κάνει ταυτόχρονα τ ις ταλαντώσεις με εξ ισώσεις

(1.22) (σχ. 1.35α)

(1.23) (σχ. 1.35β)

Σχ . 1 .33 Το κύκλωμα επιλογής

σταθμών στο ραδιόφωνο είναι ένα

κύκλωμα LC, που εξαναγκάζεται

σε ηλεκτρική ταλάντωση από την

κεραία.

Σχ . 1 .34 Το σώμα Σ εκτελεί ταυ-

τόχρονα δυο ταλαντώ σεις.



Σχ. 1.35 Το σώμα Σ κάνει ταυτό-

χρονα τις αρμονικές ταλαντώσεις

(α) και (β). Η απομάκρυνσή του

κάθε στιγμή είναι ίση με το αλγε-

βρικό άθροισμα των απομακρύν-

σεών του στις επιμέρους ταλαντώ-

σεις στις οποίες μετέχει (γ).

Σύμ φωνα μ ε την αρχ ή της επ αλληλ ίας των κ ι νήσεων , η απ ομ άκ ρυνση

του σώμ ατος κ άθε στ ι γμ ή θα ε ί να ι το άθρο ισμ α των απ ομ ακ ρύνσεων π ου θα

είχε αν έκαν ε την κάθε ταλάν τωσ η ξεχωρ ιστά (σχ . 1 .35γ) , δηλ αδή

(1.24)

Αν λάβουμε υπόψη τ ις (1 .22) και (1 .23) η (1 .24) γ ίνεται

(1.25)

Η σχέση αυτή μπορεί να πάρει τη μορφή

(1.26)

όπ ου

(1.27)

και

(1.28)

αι

(1.28)

Το συμπέρασμα που προκύπτε ι από την (1 .26) ε ίναι ότ ι το σώμα Σ

κάνει απλή αρμονική ταλάντωση γύρω από το σημείο Ο, με την ίδ ια

διεύθυνση και την ίδ ια συχνότητα. Το πλάτος και η αρχ ική φάση της

ταλάντωσης εξ αρτώντα ι απ ό τα στο ι χ ε ία των επ ί μ έρους ταλαντώσεων .

Στην ε ι δ ικ ή π ερ ίπ τωση π ου =0 (σχ. 1.36α). οι σχέσεις (1.27) και

Σχ. 1.36 (α) Από τη σύνθεση

των ταλαντώσεων 1 και 2 που

έχουν την ίδια φάση, προκύπτει η

ταλάν τωση 3. (β) Από τις ταλα-

ντώσεις 1 και 2 που π αρουσ ιάζουν

διαφορά φ άσης 180° προκύπτει η

ταλάντωση 3.








(1 .28) δίνουν

δηλαδή το π λάτος της ταλάντωσης

χ. 1.36 (α) Από τη σύνθεση














ε ίναι ισο με το αθροισμα των πλατών και η φαση της ε ίναι ίδ ια με τη φαση

των επ ιμ έρους ταλαντώσεων .















Ό τ α ν

πάλι από (1.27) και (1 .28) , προκύπτε ι ότ ι

και θ = 0 ή

(σγ. 1 .36β) , δηλαδή το πλάτος ε ίναι ίσο με τη διαφορά

των πλατών και η φάση ίση με τη φάση της ταλάντωσης που έχε ι το

μ εγαλύτερο π λάτος .



Β . Σ ύ ν θ ε σ η δ ύ ο α ρ μ ο ν ι κ ώ ν τ α λ α ν τ ώ σ ε ω ν ί δ ι α ς δ ι ε ύ θ υ ν σ η ς , π ο υ

γ ί ν ο ν τ α ι γ ύ ρ ω α π ό τ ο ί δ ι ο σ η μ ε ί ο , μ ε τ ο ί δ ι ο π λ ά τ ο ς κ α ι

δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ έ ς σ υ χ ν ό τ η τ ε ς .

Έ στ ω ότ ι το σώμα Σ μετέχε ι στ ις ταλαντώ σεις

(1.29) (σχ. 1.35α)

(1.30) (σχ. 1.35β)

Και στην περίπτωση αυτή, η απομάκρυνση του σώματος κάποια

στιγμή θα είναι

(1.31) (σχ. 1.35γ)

η οποία από τις (1.29) και (1.30) γίνεται

(1.32)

Με βάση την τρ ιγωνομετρ ική ταυτότητα

η (1.32) γ ίνεται

(1.33)

Απο τη σχέση αυτη φαίνεται οτ ι η κ ίνηση του σώματος ε ίναι

πολύπλοκη. Ενδιαφέρον παρουσιάζε ι η κ ίνηση στην περίπτωση που οι δύο

επιμέρους γωνιακές συχνότητες διαφέρουν πολύ λίγο. Τότε ο παράγοντας

(1.34)

της σχέσης (1.33) μεταβάλλεται με το χρόνο πολύ π ιο αργά από τον

πα(:

άγοντα

ο οποίος μεταβάλλετα ι με γωνια κή συχ νότητα

ίση με τη μέση τιμή των

Επειδή αυτές διαφέρουν ελάχιστα

μπορούμε να γράψουμε

Επομένως η (1.33) μπορεί να γραφεί

(1.35)

Η σχέση (1.35) περιγράφει μ ια ιδιόμορφη ταλάντωση που έχε ι την

ίδια περίπου συχνότητα με τ ις επ ί μέρους ταλαντώσεις .

Το πλάτος Α της κίνησης του Σ μεταβάλλεται, με αργό ρυθμό, από

μηδέν μέχρι 2Α . Λ έμε ότι η κίνηση του Σ παρουσιάζει

διακροτήματα

(σχ. 1.37).

Ο χρόνος ανάμεσ α σε δύο δ ιαδοχικούς μηδενισμούς ή δύο δ ιαδο -

χ ικες μεγ ιστοποιήσεις ) του πλάτους ονομάζεται π ερίοδος

τ ω ν δ ι α κ ρ ο -

τημάτων.



Σχ . 1.37 Από τη σύνθεση δύο ταλαντώ σεων που οι συχνό τητές τους διαφέρουν πολύ λίγο (πράσινη και μπλε

γραμμή) προκύπτει ιδιόμορφη περιοδική κίνηση (κόκκινη γραμμή) που παρουσιάζει διακροτήματα.

Υ π ο λ ο γ ι σ μ ό ς τ η ς π ε ρ ι ό δ ο υ τ ω ν δ ι α κ ρ ο τ η μ ά τ ω ν

Το πλάτος Α' μηδενίζεται όταν

Αυτό συμβαίνε ι όταν

όπου Κ = 0,1,2,

Δύο διαδοχικές χρονικές στ ιγμές που αποτελούν λύσεις της εξ ίσωσης ε ίναι οι

(σχ. 1.37) για τις οποίες

και

ή

ή

Η δ ιαφορά t

2

- t

1

είναι η

περίοδος των διακροτημάτων.

Είναι επομένως

ή ή

και τελικά



Σ Υ Ν Ο Ψ Η

Α π λ ή α ρ μ ο ν ι κ ή τ α λ ά ν τ ω σ η ονομάζεται η ταλάντωση στην οποία η απομάκρυνση του σώματος από τη

θέση ισορροπίας δίνεται

από

τη σχέση

Στην ταλάντωση αυτή η ταχύτητα και

η

επιτάχυνση μεταβάλλονται με το χρόνο σύμφωνα

με

τις σχέσεις

Η δύναμη που αναγκάζει ένα σώμα να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση είναι

και ονομάζεται

δ ύ ν α μ η ε π α ν α φ ο ρ ά ς . Η

σχέση

αποτελεί την αναγκαία συνθήκη για να εκτελέσει

ένα κινητό απλή αρμονική ταλάντωση.

Η π ε ρ ί ο δ ο ς

σε μια απλή αρμονική ταλάντωση είναι

Στην απλή αρμονική ταλάντωση η μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερή.

Τ ο

κ ύ κ λ ω μ α η λ ε κ τ ρ ι κ ώ ν τ α λ α ν τ ώ σ ε ω ν

αποτελείται από ένα πυκνωτή συνδεδεμένο σε σε ιρά με ιδανικό

πηνίο. Αν ένα τέτοιο κύκλωμα διεγερθεί , το φορτ ίο του πυκνωτή και το ρεύμα μεταβάλλονται με το χρόνο

σύμφωνα με τ ις σχέσεις

Η ολική ενέργε ια του κυκλώματος θεωρείται σταθερή και ε ίναι

Φ θ ί ν ο υ σ ε ς ονομάζονται οι ταλαντώσεις στ ις οποίες το πλάτος με ιώνεται .

Η περ ίοδος σε μ ια φθ ίνουσα ταλάντωση δ ιατηρε ίτα ι σταθερή . Όταν η σταθερά απόσβεσης b μεγαλώνει το

πλάτος της ταλάντωσης με ιώνεται π ιο γρήγορα. Γ ια πολύ μεγάλες τ ιμές της σταθεράς απόσβεσης η

ταλάντωση γίνεται απεριοδική. Σε μ ια φθίνουσα ταλάντωση το πλάτος με ιώνεται εκθετ ικά με το χρόνο.

Ι δ ι ο σ υ χ ν ό τ η τ α ενός συστήματος ε ίναι η συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται ελεύθερα το σύστημα. Σε

μια

ε ξ α ν α γ κ α σ μ έ ν η τ α λ ά ν τ ω σ η

η συχνότητα ταλάντωσης ε ίναι η συχνότητα του διεγέρτη. Το πλάτος της

εξαναγκασμένης ταλάντωσης δ ιατηρε ίτα ι σταθερό κα ι εξαρτάτα ι από τη συχνότητα του δ ιεγέρτη . Όταν η

συχνότητα του δ ιεγέρτη γ ίνε ι ίση με την ιδ ιοσυχνότητα του συστήματος το πλάτος της ταλάντωσης

μεγιστοποιε ίται και έχουμε

συντονισμό .

Η κίνηση που προκύπτε ι από

τ η σ ύ ν θ ε σ η δ ύ ο α π λ ώ ν α ρ μ ο ν ι κ ώ ν τ α λ α ν τ ώ σ ε ω ν

εξαρτάται από τ ις

συχνότητες , τα πλάτη, τη διαφορά φάσης και τ ις διευθύνσεις των επ ί μέρους αρμονικών ταλαντώσεων.

Από τη σύνθεση δύο απλών αρμο ν ικών ταλαντώσεων , της ίδ ιας δ ιεύθυνσης κα ι συχνότητας που γ ίνοντα ι

γύρω από το ίδιο σημείο, προκύπτε ι απλή αρμονική ταλάντωση.

Από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, της ίδιας διεύθυνσης που γίνονται γύρω από το ίδιο

σημείο με συχνότ ητες που διαφέρο υν πολύ λίγο, προκύπτει περιοδική κίνηση που παρουσιάζει διακροτήματα.

Η σ υ χ ν ό τ η τ α τ ω ν δ ι α κ ρ ο τ η μ ά τ ω ν ε ί ν α ι



1 .

Ε ξ α ν α γ κ α σ μ έ ν η τ α λ ά ν τ ω σ η κ α ι ι δ ι ο σ υ χ ν ό τ η τ α τ α λ α ν τ ω τ ή .

Στερεώστε στο ένα άκρο ενός ελατηρίου μεγάλου μήκους ένα σώμα.

Κρατήστε την άλλη άκρη του ελατηρίου με το χέρι σας. Αρχίστε να

ταλαντώνετε το άκρο που κρατάτε με όσο γίνεται π ιο σταθερό ρυθμό

(συχνότητα) . Δοκιμάστε το ίδιο γ ια διαφορετ ικές συχνότητες . Γ ια κάποιες

συχνότητες (πολύ μικρότερες ή πολύ μεγαλύτερες της ιδιοσυχνότητας του

ταλα ντω τή) το πλάτος ταλάν τωση ς του σώμ ατος ε ίναι μ ικρό ακόμη κ ι αν το

πλάτος ταλάντωσης του χεριού ε ίναι μεγάλο. Γ ια κάποια συχνότητα

ταλάντωσης του χεριού το πλάτος ταλάντωσης του σώματος γίνεται μέγιστο.

Έχετε τώρα εντοπίσει την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή.

Δοκιμάστε το ίδιο αφού αντ ικαταστήσετε το πρώτο σώμα με ένα άλλο

που έχε ι μάζα το ένα τέταρτο της μάζας του πρώτου. Τώρα η ιδιοσυχνότητα

του ταλαντωτή πρέπει να έχε ι γ ίνε ι περίπου διπλάσια της προηγούμενης.

Σκεφτείτε , γ ιατ ί δ ιπλασιάστηκε η ιδιοσυχνότητα;

2 . Σ υ ν τ ο ν ι σ μ ό ς

Πάρτε ένα κουτ ί αναψυκτ ικού και αδε ιάστε το περιεχόμενο του.

Αφαιρέστε ολόκληρη την πάνω βάση του. Με ένα μεγάλο ψαλίδι κόψτε στο

πλευρικό του τοίχωμα επτά κατακόρυφες λουρίδες , τη μ ια δίπλα στην άλλη.

Οι λουρίδες πρέπει να έχουν το ίδιο πλάτος αλλά διαφορετ ικά μήκη (η πρώτη

να έχε ι μήκος περίπου ίσο με το ένα τρίτο του ύψους του κουτ ιού και η

τελευταία περίπου ίσο με τα δύο τρίτα του ύψους) . Φροντ ίστε ώστε οι

λουρίδες να έχουν σταθερό πλάτος και να υπάρχει ανάμεσά τους ένα μικρό

διάκενο ώστε να μπορούν να κ ινούνται ελεύθερα χωρίς να ακουμπούν στ ις

διπλανές τους. Οι επτά λουρίδες πρέπει να καταλαμβάνουν περίπου το μ ισό

της πλευρικής επ ιφάνειας του κουτ ιού. Ακριβώς απέναντ ι από την τέταρτη

λουρίδα (αντ ιδιαμετρικά) κόψτε μια ακόμη λουρίδα με το ίδιο μήκος με την

τέταρτη.

Θέστε σε ταλάντωση την τελευταία λουρίδα που κόψατε και δε ίτε

ποια από τ ις απέναντ ι λουρίδες ταλαντώνεται με μεγαλύτερο πλάτος. Πώς

ερμηνεύετε την παρατήρηση;

3 . Σ υ ζ ε υ γ μ έ ν α ε κ κ ρ ε μ ή

Όταν υπάρχει δυνατότητα να μεταφέρεται ενέργε ια από ένα

ταλαντούμενο σύστημα σε ένα άλλο τότε λέμε ότ ι τα δύο συστήματα

βρίσκονται σε σύζευξη. Δύο τέτοια συστήματα παριστάνονται στο σχήμα 1.39

Η περίοδος ενός εκκρεμούς εξαρτάται μόνο από το μήκος του σχοιν ιού του και

την επ ιτάχυνση της βαρύτητας. . Τα δύο εκκρεμή στο σχήμα έχουν το ίδιο

μήκος σχοιν ιού, επομένως την ίδια ιδιοσυχνότητα και ε ίναι συνδεδεμένα με

ένα νήμα στο οποίο έχουμε τοποθετήσει ένα μικρό βάρος π .χ . ένα κομματάκι

σύρμα. Κατασκευάστε τη διάταξη. Θέστε σε ταλάντωση το εκκρεμές Α

απομακρύνοντας το σφαιρίδιο του σε διεύθυνση κάθετη από το επ ίπεδο που

ορίζεται από τα δύο εκκρεμή. Παρατηρήστε την κ ίνηση των δύο εκκρεμών.

Προσπαθήστε να περιγράψετε ενεργε ιακά το φαινόμενο.



Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ

Α π λ ή α ρ μ ο ν ι κ ή τ α λ ά ν τ ω σ η

1.1

Ένα σώμα δεμένο στην άκρη κατακόρυφου ελατήριου του οποίου η

άλλη άκρη ε ίναι στερεωμένη ακλόνητα, εκτελε ί απλή αρμονική

ταλάντωση πλάτους Α. Εάν διπλασιάσουμε το πλάτος της

ταλάντωσης, ποια από τα μεγέθη

α) συχνότητα

β) μέγιστη ταχύτ ητα

γ) μέγιστη επ ιτάχυν ση

δ) σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης

ε) ενέργε ια της ταλά ντωσ ης

θα μεταβληθούν;

1.2

Ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση βρίσκεται τη

χρονική στ ιγμή μηδέν στη θέση ισορροπίας . Ποια ε ίναι η αρχική φάση

της ταλάντωσής του; Αιτ ιολογήστε την απάντησή σας. Αν γνωρίζουμε

τη θέση στην οποία βρίσκεται το σώμα τη χρονική στ ιγμή μηδέν,

μπορούμε πάντα να υπολογίσουμε την αρχική φάση της ταλάντωσής

του ή πρέπει να γνωρίζουμε και την κατεύθυνση προς την οποία

κινείται;

1.3 Ποια από τ ις επόμενες σχέσεις ανάμεσα στη συνολική δύναμη F που

ασκείται σε ένα σώμα και στη θέση χ του σώματος αναφέρεται σε μ ία

απλή αρμον ική ταλάντωση;

1.4

Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

α) Σε ποιες θέσεις η ταχύτη τα, η επ ιτάχυνσ η και η συνολική

δύν αμη είναι: 1) μηδέν; 2) μέγ ιστη;

β) Σε ποιες θέσεις η κινητ ική ενέργεια είναι ίση με τη δυναμ ική

ενέργεια της ταλάντωσης.

1.5

Συμπληρώστε τ ις τ ιμές που λε ίπουν στον επόμενο π ίνακα ο οποίος

αναφέρεται στην απλή αρμονική ταλάντωση ενός σώματος.

1.6

Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ. Τη

χρονική στ ιγμή t= 0 το σώμα βρίσκεται στη θέση μέγιστης

απομάκρυνσης (χ=Α). Ποια χρονική στ ιγμή

α) θα περάσει γ ια πρώτ η φορά από τη θέση ισορροπίας ;

β) θα φτάσει πρώτ η φορά στη θέση χ = - Α;

γ) θα περάσ ει γ ια δεύτερη φορά από τη θέση ισορροπίας;



1.7

Το διάγραμμα του σχήματος 1.40 παριστάνει την επ ιτάχυνση ενός

σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, σε συνάρτηση με το

χρόνο .

α)

β)

γ )

Ποιο σημείο του διαγράμματος α ντιστοιχεί σε απομάκρυνση -Α;

Στο σημείο 4 του διαγράμματος η ταχύτητα της ταλάντωσης

είναι θετική, αρνητική ή μηδέν;

Σε ποια απομάκρυνση αντ ιστοιχε ί το σημείο 4 του

διαγράμματος;

1.8

Στα κάτω άκρα δύο κατακόρυφων ελατηρίων Α και Β ισορροπούν

δύο σώματα με μάζες m

A

και m

B

αντ ίστο ιχα Στην

κατάσταση αυτή τα δύο ελατήρια έχουν την ίδια επ ιμήκυνση.

Απομακρύνουμε κα ι τα δύο σώματα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά

d και τα αφήνο υμε ελεύθερα, οπότε εκτελούν απλή αρμονική

ταλά ντω ση. Το σύστημ α έχε ι ενέργε ια

α) ίση με την ενέργε ια που έχε ι το σύστ ημα

β)

μεγαλύτερη από την ενέργε ια του συστήματος

γ) μικρότερη από την ενέργε ια του συστήματος

Κ ύ κ λ ω μ α η λ ε κ τ ρ ι κ ώ ν τ α λ α ν τ ώ σ ε ω ν

1.9 Η περίοδ ος με την οποία ταλα ντών εται ένα κύκλω μα LC είναι

3 Χ10

-6

s . Τη στ ιγμή μηδέν ο οπλισμός Α του πυκνωτή έχε ι μέγιστο

θετ ικό φορτ ίο. Μετά από πόσο χρόνο, γ ια πρώτη φορά,

α) ο οπλισμ ός Α θα αποκτήσει μέγιστο αρνητ ικό φορτ ίο;

β) ο οπλισμ ός Α θα αποκτήσει ξανά μέγιστο θετ ικό φορτ ίο;

γ) η τάση στον πυκνω τή θα γίνε ι μηδέν;

δ) η ενέργε ια στο μαγνητ ικό πεδίο του πηνίο υ θα γίνε ι μέγιστη;

1.10

Ένας φορτ ισμένος πυκνωτής συνδέεται με ιδανικό πηνίο σε κλειστό

κύκλωμα. Γ ιατ ί δεν εκφορτ ίζεται ακαριαία ο πυκνωτής;

1.11

Να συμπληρώσετε τον επόμενο π ίνακα, που αναφέρεται σε ένα

κύκλωμα αμε ίωτων ηλεκτρ ικών ταλαντώσεων .

1.12 Διαθέτουμε δύο κυκλώματα ηλεκτρικών ταλαντώσεων, τα Α και Β. Οι

χωρητικότητες των πυκνωτών στα δύο κυκλώματα είναι ίσες. Στο σχήμα

1.41 παριστάνεται το φορτίο στους πυκνωτές των κυκλωμάτων Α και Β,

σε συνάρτησ η με το χρόνο. Να συγκρίνετε τις τ ιμές α) της αυτεπαγωγής

των πηνίων β) του μέγιστου ρεύματος, στα δύο κυκλώματα.



1.13 Διαθέτ ουμε δύο κυκλώ ματα ηλεκτρικών ταλα ντώσ εων. Τα

κυκλώματα Α και Β, με

Τα κυκλώματα

διεγε ίρονται σε ηλεκτρική ταλάντωση από πηγή τάσης V . Να

συγκρίνετε :

α)

β)

γ)

δ)

Το μέγιστο φορτ ίο στους πυκνωτές .

Τις ενέργε ιες στα δύο κυκλώματα.

Τις περιόδους της ηλεκτρικής ταλάντωσης που εκτελούν.

Το μέγιστο ρεύμα στα δύο κυκλώματα.

1.14

Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση με συχνότητα 100kHz.

Στο κύκλωμα έχουμε τη δυνατότητα να μεταβάλλουμε το συντελεστή

αυτεπαγωγής L του πηνίου μετακινώντας τον πυρήνα μαλακού σιδήρου που

υπάρχει σ' αυτό. Αν μειώσουμε το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου σε

L/4, η συχνότη τα της ηλεκτρικής ταλάντωσ ης του κυκλώματος θα γίνει:

α ) 25kHz β ) 50kHz γ ) 200kHz δ) 400kHz

Σημειώστε τη σωστή απάντηση.

1.15 Σε κύκλω μα ηλεκτρικώ ν ταλαντώ σεων φέρουμε στιγμιαία τους οπλι-

σμούς του π υκνωτ ή σε επαφή με τους πόλο υς μπαταρίας 1,5 V. Το κύ-

κλωμα διεγείρεται και εκτελεί ταλάντωση. Αν η διέγερση του κυκλώμα-

τος γινόταν με μπαταρία 3V.

1) η ολική ενέργε ια στο κύκλ ωμα θα ήτα ν

α) η ίδια β) διπλάσια γ) τετραπ λάσια

2) το μέγιστο ρεύμα στο κύκλ ωμα θα ήταν

α) το ίδιο β) διπλάσιο γ) τετραπλ άσιο

1.16

Συμπληρώστε τα κενά :

Όπως στ ις αμείωτες μηχανικές ταλαντώσεις η κ ινητ ική ενέργε ια του

συστή ματος μετατρέπετα ι περιοδικά σε και η ολική

ενέργεια του συστήματος διατηρείται , έτσι και στ ις αμείωτες

ηλεκτρικές ταλαντ ώσεις η πεδίου μετατρέπεται

περιοδικά σε πεδίου ενώ το άθροισ μά τους

Φ θ ί ν ο υ σ α , ε λ ε ύ θ ε ρ η κ α ι ε ξ α ν α γ κ α σ μ έ ν η τ α λ ά ν τ ω σ η . Σ υ ν τ ο ν ι σ μ ό ς .

1.17

Το έργο της δύναμης που προκαλεί την απόσβεση σε μ ια ταλάντωση

είναι

α) θετ ικό αν το ταλα ντούμ ενο σώμα κ ινε ίται προς τη θετ ική

κατεύθυνση,

β) πάν τα θετικό,

γ) πάντ α αρνητ ικό.

Επιλέξτε το σωστό.



1.18

Σε μία φθίνουσα ταλάντωση, η ενέργε ια της ταλάντωσης

α) παραμένει σταθερή.

β) με ιώνεται με σταθερό ρυθμό.

γ) με ιώνεται εκθετ ικά με το χρόνο.

δ) αυξάνεται .


1.19 Ένας ταλαντωτής τη στ ιγμή t1 έχε ι ενέργε ια Ε και πλάτος ταλάντωσης

Α. Η ενέργεια που έχε ι χάσει ο ταλαντωτής μέχρι τη στ ιγμή t

2

, που το

πλάτος της ταλάν τωσ ης έχε ι με ιωθεί στο μισό, ε ίναι

α) ΕΙ2; β) Ε/4; γ) 3Ε/4;


1.20 Στο σχήμα 1.42 φαίνεται το διάγραμμ α της ολικής ενέργειας Ε δύο

κυκλωμάτων ηλεκτρικών ταλαντώσεων Α και Β, σε συνάρτηση με το

χρόνο. Οι πυκνωτές στα δύο κυκλώματα έχουν την ίδια χωρητικότητα

και τα πηνία τον ίδιο συντελεστή αυτεπαγωγής. Ποιο από τα δύο παρίου-

σιάζει μεγαλύτερη ωμική αντίσταση;

1.21 Έ να σώμα εκτελεί εξαναγ κασμέ νη ταλά ντωσ η. Ποιες από τ ις επόμε-

νες προτάσεις ε ίναι σωστές;

α)

β)

Το πλάτος της ταλάντωσης με ιώνεται με το χρόνο.

Η συχνότητα ταλάντωσης ε ίναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του

συστήματος.

γ )

Το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται από τη συχνότητα του

διεγέρτη.

δ)

Η ενέργε ια που χάνεται λόγω των αποσβέσεων αναπληρώνε-

ται από το διεγέρτη.

1.22

Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση κατά το συντονισμό

α)

β)

γ )

δ)

Η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή ε ίναι μέγιστη.

Η ενέργε ια της ταλάντωσης ε ίναι μέγιστη.

Το πλάτος της ταλάντωσης ε ίναι μέγιστο.

Το ταλαντούμενο σύστημα δε χάνει ενέργε ια .

Επιλέξτε τα σωστά.

1.23

Το σώμα του σχήματος 1.43 κάνει εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Διαπιστώθηκε ότ ι όταν η συχνότητα του διεγέρτη παίρνε ι τ ις τ ιμές

το πλάτος της ταλάντωσης ε ίναι το ίδιο. Γ ια την

ιδ ιοσυχνότητα f

0

του συστήματος ισχύει

α)

β)

γ )


1.24

Να αποδείξετε ότ ι αν το πλάτος μ ιας φθίνουσας ταλάντωσης με ιώνε-

ται σύμφωνα με τη σχέση

οι τ ιμές

του



πλάτους και Ε

ι

Ε

2

Ε3.... της ενέργε ιας της ταλά ντω σης κατά τ ις

χρονικές στ ιγμές Τ, 2 Τ, 3Τ . . . . , ικα νοποιούν τ ις σχέσεις :

α)

β)

Σ ύ ν θ ε σ η τ α λ α ν τ ώ σ ε ω ν

1.25

Ένα σώμα κάνει ταυτόχρονα δυο αρμονικές ταλαντώσεις της ίδιας

συχνότητας που γίνονται πάνω στην ίδια ευθεία , γύρω από το ίδιο ση-

μείο. Τα πλάτη των ταλαν τώσ εων ε ίναι , αντ ίστοιχα, 5cm και 3cm . Αν

οι δύο ταλαντώσεις έχουν την ίδια φάση τότε το πλάτος της ταλάντω-

σης που εκτελεί το σώμα ε ίναι Α= ενώ αν οι ταλα ντώσ εις

έχουν διαφορά φάσης 180° το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος

είναι Α -

1.26 Έ να σώμ α κάνει ταυτ όχρο να δύο αρμονικές ταλαν τώσ εις του ίδιου

πλάτους Α και της ίδιας διεύθυνσ ης. Οι συχ νότητ ες F1 και f

2

των δύο

ταλαντώσεων διαφέρουν λίγο μεταξύ τους. Ποιες από τ ις επόμενες

προτάσεις ε ίναι ορθ ές;

α)

β)

γ )

δ)

ε)

Το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

Το πλάτος της ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο.

Η μέγιστη τ ιμή του πλάτους ε ίναι 2 Α .

Ο χρόνος ανάμ εσα σε δύο διαδοχικές μεγιστοπο ιήσεις του

πλάτους ε ίναι σταθερός.

Ο χρόνος που μεσολ αβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικ ούς μηδενι-

σμούς του πλάτους εξαρτάται από τη διαφορά f1 - f

2

και με-

γαλώνει όταν η διαφορά αυτή ελαττώνεται .



Α π λ ή α ρ μ ο ν ι κ ή τ α λ ά ν τ ω σ η

1.27

Κάθε ελατήριο στο σχήμα 1.44 έχε ι το ένα άκρο του στερεωμένο σε

ακίνητο σημείο και το άλλο του άκρο προσδεμένο στο σώμα Σ. Οι

σταθερές των δύο ελατηρίων ε ίναι

Κ 1 = 1 2 0 Ν / m

κ ι

Κ 1 = 1 2 0 ) N / m

και A'

2

=80N/m. To

σώμα Σ, έχε ι μάζα m= 2kg και μπορεί να κ ινε ίται χωρίς τριβές . Να

αποδείξετε ότ ι η κ ίνηση που θα εκτελέσει το σώμα Σ, αν εκτραπεί από

τη θέση ισορροπίας του κατά τη διεύθυνση του άξονα των ελατηρίων

είναι απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδο της


1.28

Σώμα μάζας m= 2 kg κάνει απλή αρμονική ταλάντωση. Το πλάτος της

ταλάντωσης ε ίνα ι Α= 0,5 m. Όταν το σώμα απέχε ι από τη θέση

ισορροπίας του η ταχύ τητά του ε ίναι

α )

Υπολογίστε τη σταθερά D της ταλάντωσης.

β)

Υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν η

απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας ε ίναι χ

2

= 0,4 m.

1.29

Στην ελεύθερη άκρη κατακόρυφου ελατηρίου κρέμεται σώμα

άγνωστης μάζας. Η επιμήκυνση του ελατηρίου, όταν το σώμα

ισορροπεί ε ίναι Ν α υπολο γίσετε την περίοδο της

κατακόρυφης ταλάντωσης που θα κάνει το σώμα, αν το

απομακρύνουμε κατακόρυφα από τη θέση ισορροπίας του και το

αφήσουμε ελεύθερο. Δίνεται

Η λ ε κ τ ρ ι κ έ ς τ α λ α ν τ ώ σ ε ι ς

1 .30 Κύκλω μα ηλεκτρ ικών ταλαν τώσεω ν αποτελείτα ι από πυκνωτή

χωρητικότητας C=5 μF και πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής

Η. Να υπολογίσετε τη συχνότητα με την οποία

ταλαντώνεται το κύκλωμα, αν διεγερθεί .

[Απ : 1126 Hz]

1 .31 Κύκλ ωμα ηλεκτρ ικών ταλαντώ σεων με πυκνωτή χωρητ ικότητας

C = 2 0 x l 0

- 6

F κ αι π η νί ο α υ τ ε π α γ ω γ ή ς L = 5 x l 0

- 2

Η διεγείρεται σε

ταλάντωση. Γ ια τη διέγερση του κυκλώματος, τη χρονική στ ιγμή

μηδέν ο πυκνωτής έρχεται στ ιγμιαία σε επαφή με του πόλους πηγής

τάσης V=50 V. Να γράψ ετε τ ις σχέσεις του φορτ ίου στον πυ κνωτ ή και

της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα, σε συνάρτηση με το χρόνο.



Φ θ ί ν ο υ σ ε ς κ α ι ε ξ α ν α γ κ α σ μ έ ν ε ς τ α λ α ν τ ώ σ ε ι ς . Σ υ ν τ ο ν ι σ μ ό ς .

1.32

Σώμ α εκτελεί φθίνο υσα ταλάντ ωση το πλάτο ς της οποίας με ιώνεται

σύμφ ωνα με τη σχέση Τη στ ιγμή t = 0 η ταλάντωση ε ίχε

πλάτος Α

ο

= 3 2c m ενώ τη στ ιγμή

το πλάτος γίνεται

Α

1

= 1 6 c m . Ποια χρονική στ ιγμή το πλάτος της ταλάντωσης θα ε ίναι

Α = 1 cm .

[ Απ : 50s· ]

Α = 1 cm .

[ Απ : 50s· ]

Σ ύ ν θ ε σ η τ α λ α ν τ ώ σ ε ω ν

1.33

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις , με

εξ ισώσεις (S .I.), που

γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο σημείο. Ποιο ε ίναι

το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος ;

[ Α π : 0 ]

1.34 Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις με

εξ ισώσεις ,

που γίνονται στην

ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο σημείο. Τα πλάτη των δύο

ταλαντώσεων ε ίναι μετρημένα σε cm. Να γράψετε την εξ ίσωση της

απομάκρυνσης της ταλάντωσης, που εκτελεί το σώμα.

[ Α π : x = 0 , 1 4

η μ 5 0 t

(S

.I.)]

1.35 Έν α σώμ α εκτελεί ταυτό χρονα δύο αρμονικές ταλαντώσ εις με

εξ ισώσεις

που γίνονται

στην ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο σημείο. Τα πλάτη των δύο

ταλαντώσεων ε ίναι μετρημένα σε cm. Να γράψετε τ ις σχέσεις της

ταχύτητας και της επ ιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το

χρόνο και να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσής του.

1.36 Το διαπα σών παράγει αρμονικό ήχο που εξαναγκ άζει το τύμπ ανο του

αφτιού να κάνει ταλάντωση. Ένας παρατηρητής ακούει τον ήχο από

δύο διαπασών, που λε ιτουργούν ταυτόχρονα και παράγουν ήχους με

συχνότητες

Ο παρατηρητής

αντ ιλαμβάνεται έναν ήχο που άλλοτε «σβήνει» (το πλάτος της

ταλάντωσης μηδενίζεται) και άλλοτε αποκτά μέγιστη ένταση (το

πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο) . Ποιος ε ίναι ο χρόνος

ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς της έντασης του ήχου;

[ Απ: 2 s]



Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Α

1.37 Σώ μα εκτελεί απλή αρμονική ταλάν τωσ η με περίοδο

Τη

χρονική στ ιγμή μηδέν το σώμα βρίσκεται στη θέση x=2cm και έχε ι

ταχύτητα

Να γράψετε τ ις σχέσεις που δίνουν την

απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επ ιτάχυνση του σώματος σε

συνάρτηση με το χρόνο.

1.38 Στην κάτω άκρη κατακόρ υφου ελατηρίου , σταθε ράς Κ= 1 1OON/m ή

άλλη άκρη του οποίου ε ίναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο,

ισσοροπε ί σώμα μάζας

m 1

kg . Το σώμα απομακρύνετα ι κατακόρυφα

προς τα κάτω κατά d= 5 cm από τη θέση ισορροπίας του και τη στ ιγμή

μηδέν αφήνεται ελεύθερο.

Να υπολογ ίσετε :

α)

β)

γ )

δ)

ε)

τη συχνότητα της ταλάντωσης που θα εκτελέσει ,

την αρχική φάση στην ταλάντωσή του.

τη μέγιστη ταχύτητα που αποκτά κατά την κ ίνησή του

τη μέγιστη επιτάχυνση που έχει.

τη μέγιστη δύναμη που δέχεται από το ελατήριο κατά τη

διάρκεια της ταλάντωσής του.

Δίνεται

[Απ: α) 5/π Hz β) π/2 ή 3π/2 γ) 0,5 m/s δ) 5 m/s

2

ε) 15 Ν ]

1.39 Σώμ α εκτελεί απλή αρμονική ταλάντω ση πλάτο υς Α=20 cm με περίοδο

Τ 10 s. Τη χρονική στιγμή μηδέν το σώμα περνά από τη θέση

ισορροπίας. Να υπολογιστεί επί πόσο χρόνο (μέχρι να επιστρέψει στη

θέση ισορροπίας) η απομάκρυνση του θα είναι μεγαλύτερη από x= 10cm.

[Απ: 10/3 s]

1.40 Ο εμπρό σθιος προφυ λακτήρ ας ενός αυτο κινήτο υ συμπεριφέρ εται σαν

ιδανικό ελατήριο σταθεράς

α)

Η μάζα του οχήματος, μαζί με τους επ ιβάτες του ε ίναι

Μ=1000 kg. Το αυτοκίνητο συγκρούεται μετωπικά με ακίνητο

εμπόδιο, ενώ κ ινε ίται με ταχύτητα υ=18 km/h. Υπολογίστε τη

μέγ ιστη συσπε ίρωση του ελατηρ ίου -προφυλακτήρα- καθώς

και τη χρονική διάρκεια της συσπείρωσης.

β)

Ένας επ ιβάτης έχε ι μάζα m=60 kg. Υπολογίστε τη μέγιστη

οριζόντ ια δύναμη που πρέπει να δεχτε ί από τη ζώνη

πρόσδεσης, ώστε να μην εκτ ιναχτε ί από το κάθισμα κατά τη

διάρκεια της σύγκρουσης.

Σημείωση: Θα θεωρήσετε ότ ι κατά τη διάρκεια της σύγκρουσης οι

τριβές και οι αντιστάσεις είναι αμελητέες και ότι ο κινητήρας του

οχήματος δε λε ιτουργεί .



1.41

Ακ ίνητο σώμα μάζας Μ= 100 g βρίσκεται πάνω σε λε ίο οριζόντ ιο

επίπεδο και ε ίναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντ ιου ελατηρίου

στα θερά ς ΑΤ=300 N /m , ή άλλ η άκρη του οποίο υ είναι στε ρεω μένη

ακλόνητα . Βλήμα μάζας m= 20 g, που κ ινε ίται στη διεύθυνση του

άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ=30 m/s , συγκρούεται με το σώμα

Μ και σφηνώνεται σε αυτό. Να υπολογίσετε :

α)

την κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώματα αμέσως

μετά τη σύγκρουση.

β) το διάστημα που θα διανύσει το συσσωμάτωμα, μέχρι να

σταματήσει στ ιγμιαία για πρώτη φορά.

γ )

σε πόσο χρόνο από τη στ ιγμή της σύγκρουσης το

συσσωμάτωμα θα σταματήσει στ ιγμιαία για πρώτη φορά.

Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα.

1.42

Κύκλωμα LC εκτελε ί ηλεκτρ ική ταλάντωση με συχνότητα

Hz . Το μέγιστο φορ τ ίο στον πυκνω τή ε ίναι

α) Να υπολο γίσετε το πλάτ ος της έντασης του ρεύμα τος στο

κύκλωμα και το φορτ ίο του πυκνωτή τη στ ιγμή που το ρεύμα

στο κύκλωμα ε ίναι

β)

Θεωρήστε ότ ι η χωρητ ικότητα του πυκνωτή ε ίναι 1 μF . Ν α

παραστήσετε σε κοινούς άξονες την ενέργε ια του ηλεκτρικού

πεδίου του πυκνωτή, την ενέργε ια του μαγνητ ικού πεδίου του

πηνίου και την ολική ενέργε ια σε συνάρτηση με το φορτ ίο του

πυκνωτή .

1.43 Πυκν ωτής χωρ ητ ικότη τας

φορτ ίζεται σε τάση V=100 V.

Τη χρονική στ ιγμή t = 0 οι οπλισμοί του συνδέονται στα άκρα πηνίου

με συντελεστή αυτεπαγωγής L= 0,9 Η και το κύκλωμα εκτελεί

ηλεκτρική ταλάντωση.

α)

β)

γ )

Ποιο ε ίναι το μέγιστο φορτ ίο που απέκτησε ο πυκνωτής κατά

τη φόρτ ισή του;

Ποιο ε ίναι το φορτ ίο του πυκνωτή τ ις στ ιγμές που η ενέργε ια

ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή ε ίναι ίση με την ενέργε ια

του μαγνητ ικού πεδίου στο πηνίο;

Ποια χρονική στιγμή η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου γίνεται,

για πρώτη φορ ά, ίση με την ενέργεια του μαγνητικού πεδ ίου;



1.44

Κύκλωμα ηλεκτρ ικών ταλαντώσεων περ ιλαμβάνε ι πην ίο με

συντελεστή αυτεπαγωγής

L 16

mH κα ι πυκνωτή χωρητ ικότητας

Κάποια στ ιγμή το φορτ ίο στον πυκνωτή ε ίναι q= 20 μC

και η ένταση του ρεύματος στο κύκλ ωμα mA . Ποιο ε ίναι το

μέγιστο φορτ ίο που αποκτά ο πυκνωτής κατά την ηλεκτρική

ταλάντωση;

[Απ: 40 μC ]

1.45 Σώ μα μάζας m= 2kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις

της ίδιας διεύθυνσης γύρω από το ίδιο σημείο. Οι εξ ισώσεις των

ταλα ντώσ εων ε ίναι Τα

πλάτη των δύο ταλαντώσεων ε ίναι μετρημένα σε cm.

α)

β)

γ )

Ποια ε ίναι η σταθερά D της αρμον ικής ταλάντωσης που

εκτελεί το σώμα;

Ποια ε ίναι η ενέργε ια της ταλάντωσης;

Ποιο ε ίναι το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν η

απομάκρυνσή του ε ίναι χ =4 cm;

Δίνεται

1.46 Τα σώ ματ α Σι και Σ

2

του σχήματος ε ίναι τοποθετημένα σε λε ίο

οριζόντ ιο επ ίπεδο και εφάπτονται μεταξύ τους. Το Σι ε ίναι δεμένο

στην άκρη οριζόντ ιου ελατηρίου σταθεράς k = 100N/m. Τ ο

ελατήριο έχε ι το φυσικό μήκος του και τα σώματα ισορροπούν.

Μετακινούμε τα σώματα ώστε το ελατήριο να συσπειρωθεί κατά

Α = 4 0 c m και στη συνέχε ια τα αφήνουμε ελεύθερ α. Να βρείτε :

α)

β)

τη θέση στην οποία θα αποχωρισθεί το Σ

2

από το Σ1.

το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που εκτελεί το Σ1

αφού αποχωρισθεί από το Σ

2

.

τη θέση στην οποία θα αποχωρισθεί το Σ

2

από το Σ1.

το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που εκτελεί το Σ1

αφού αποχωρισθεί από το Σ

2

.

γ )

την απόστ αση τω ν σω μάτω ν ότα ν η ταχύτητα του Σ1

μηδενίζεται γ ια πρώτη φορά.

Δίνονται οι μάζες των σωμάτων m1 = 1 kg και m

2

=3 kg αντ ίστοιχα.

[Απ: (α) στη θέση ισορροπ ίας (β) 2 0 c m , ( γ ) 11 ,4 c m ]

1.47

Κατακόρυφο ελατήρ ιο με σταθερά Κ = 100Ν /m έχε ι το κάτω άκρο

του στερεωμένο στο δάπεδο. Στο επάνω άκρο του ελατηρίου έχε ι

προσδεθεί σώμα Σι , μάζας m

]

= 1kg , που ισορρο πεί . Δεύτερο σώμ α

Σ

2

, μάζας m

2

βρίσκεται πάνω από το πρώ το σε άγνω στο ύψο ς h.

Μετακινούμε το σώμα Σ1 προς τα κάτω κατά l = 2m και το

αφήνουμε ελεύθερο, ενώ την ίδια στ ιγμή αφήνουμε ελεύθερο και το

δεύτερο σώμα.

α)

Από πο ιο ύψος h πρέπει να αφεθεί το Σ

2

ώστε να συναντήσει

το Σ1 στη θέση ισορροπ ίας του;

β)

Ποια ε ίναι η ταχύτητα κάθε σώματος τη στ ιγμή που

συγκρούονται;

γ )

Αν η χρονική διάρκεια της σύγκρουσης των δύο σωμάτων

είναι αμελητέα και το κάθε σώμα αποκτά μετά την κρούση



ταχύτητα αντίθετη από αυτή που είχε πριν συγκρουστεί , να

υπολογίσετε το χρόνο ανάμεσα σε δύο δ ιαδοχικές κρούσεις.

Δίνονται :

1 .48 Σώ μα Σι , μάζας m, = 0,3kg αναρτά ται στο κάτω άκρο κατακόρυφο υ

ελατηρίου το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο

σημείο . Όταν το σώμα ισορροπεί η επιμήκυνση του ελατήριου είναι

0,25m . Δεύτε ρο σώμ α Σ

2

, μάζας m

2

- 0 , 4 5k g , βάλλεται κατα-

κόρυφα από το έδαφος και στην πορεία του συναντάει το Σ, και συ-

γκρούεται με αυτό. Το συσσωμάτωμα που προέκυψε από την κρούση

φτάνει μέχρι τη θέση στην οποία το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.

α) Ποια ε ίναι η ταχύτη τα του συσ σω ματ ώμ ατος αμέσω ς μετά την

κρούση;

β)

Ποια ε ίναι η μέγ ιστη ταχύτητα που αποκτά το συσσωμάτωμα

κατα την κάθοδο του;

γ)

Μετά από πόσο χρόνο, από τη στιγμή που το συσσωμάτωμα

φτάνει στην ανώτερη θέση, η ταχύτητα του γ ίνεται , γ ια πρώτη

φορά, μέγ ιστη;

Δίνεται :

1 .49 Στο κύκλ ωμα του σχήμ ατος 1 .47 δ ίνονται :

Αρχικά ο μεταγωγός βρίσκεται

στη θέση Α και το πηνίο δ ιαρρέεται από σταθε ρό ρεύμα. Τη χρονική

στιγμή t = 0 ο μεταγωγός μεταφέρεται ακαριαία στη θέση Β.

α) Ποιος οπλισμός θα αποκτήσει πρώτος θετ ικό φορτίο;

β)

Γράψ τε τ ις εξ ισώσ εις που δ ίνουν την ένταση του ρεύματος

και το φορτίο του πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο.

[Απ: α) 0 οπλισμ ός που συνδέε ται με τον αρνη τικό πόλο της πη-

γής·

1.50

Στ ο κ ύκ λ ω μ α τ ο υ σχ ή μ ατ ο ς 1 . 4 8 δ ί νο ντ α ι Ε= 6 V, R= 2Ω ,

Αρχ ικά ο δ ιακόπτης Δ ε ί να ι κλε ιστός , το

κ ύκ λ ω μ α δ ι αρ ρ έ ε τ α ι απ ό στ αθ ε ρ ό ρ ε ύμ α κ α ι ο π υκ ν ω τ ή ς ε ί να ι

αφ ό ρ τ ι στ ο ς . Ό τ αν ανο ί ξ ο υμ ε τ ο δ ι ακ ό π τ η ο π υκ νω τ ή ς φ ο ρ τ ί ζ ε τ α ι .

α)

β)

Εξηγήστε γ ιατ ί φορτίζεται ο πυκνωτής;

Ποια πρέπει να ε ίναι η χωρητικότητα του πυκνωτή ώστε η

τάση στους οπλισμούς του να μην υπερβεί τα 10V;

[ Α π : 1 8 μF]



Ε Υ Ρ Ε Σ Η Τ Η Σ Τ Α Χ Υ Τ Η Τ Α Σ Κ Α Ι Τ Η Σ Ε Π Ι Τ Α Χ Υ Ν Σ Η Σ

Σ Τ Η Ν Α Π Λ Η Α Ρ Μ Ο Ν Ι Κ Η Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Η Μ Ε Τ Ο

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο

Αρμονική ταλάντωση ε ίναι η ευθύγραμμη κ ίνηση στην οποία η

α π ο μ ά κ ρ υ ν σ η χ, τ ο υ σ ώ μ α τ ο ς α π ό τ η θ έ σ η ι σ ο ρ ρ ο π ί α ς δ ί ν ε τ α ι α π ό τ η

συνάρτηση

Η ταχύτητα ενός σώματος, που κ ινε ίται ευθύγραμμα, κάποια χρονική

στ ιγμή , ε ίνα ι :

Το όριο αυτό, αν υπάρχει , ονομάζεται παράγωγος του χ ως προς t και το

σύμβολο του ε ίναι

Η ταχύτητα υ ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση

είναι

(1.36)

Η παράγωγος μιας σύνθετης συνάρτησης f(g(t)) είναι

Οι παράγωγοι των συναρτήσεων ημ u και συν u είναι

άρα

και η (1.36) γίνεται

(1.37)

Το γ ινόμενο Αω ε ίναι σταθερό, έχε ι δ ιαστάσεις ταχύτητας και εκ

φράζει τη

μέγιστη ταχύτητα που αποκτάει το σώμα. Θέτοντας

η (1.37)

γ ί ν ε τ α ι :

Η επιτάχυνση ενός σώματος, που κ ινε ίται ευθύγραμμα, κάποια στ ιγμή

είναι:

Το όριο αυτό ε ίναι η παράγωγος της ταχύτητας ως προς το χρόνο

(συμβολίζεται

(1.38)

Το γινόμενο Αω

2

είναι σταθερό, έχει διαστάσεις επιτάχυνσης και εκφράζει τη

μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά το σώμα κατά την κίνησή του. Αντικαθιστώντας

η σχέση (1.38) παίρνει την πιο συνηθισμένη της μ ορφή

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Documents

Transcript of ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ