Τομές Γραφήματος

Τομές Γραφήματος

Συνάρτηση βάρους ακμών

Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

26

17

12

14

79

20

4

10

Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και


26

17

12

14

79

20

4

10

Βάρος τομής :






Ελάχιστη τομή : Θέλουμε μια τομή με ελάχιστο βάρος. Μπορεί να βρεθεί σε πολυωνυμικό χρόνο. (Προσεχώς!)




Μέγιστη τομή : Θέλουμε μια τομή με μέγιστο βάρος.• NP-πλήρες σε γενικά γραφήματα.• Λύνεται σε πολυωνυμικό χρόνο σε επίπεδα γραφήματα.

Μέγιστη Τομή Επίπεδου Γραφήματος

Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου :

• [Hadlock 1975]: χρόνος εκτέλεσης =

• [Shih, Wu and Kuo 1990]: χρόνος εκτέλεσης =

Κεντρική ιδέα : Μετατροπή σε πρόβλημα υπολογισμού μέγιστου ταιριάσματος

Ταιριάσματα

Γράφημα

Ταίριασμα (matching)

Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Μέγιστο ταίριασμα : Έχει μέγιστο αριθμό ακμών.

Τέλειο ταίριασμα : Όλοι οι κόμβοι είναι ταιριασμένοι.

Ταιριάσματα Ελάχιστου Κόστους

Γράφημα

Κόστος ακμών

Κόστος ταιριάσματος

1

2

34 2

1

5

3

1

2

34 2

1

5

3

Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα ελάχιστου κόστους

κόστος = 12 κόστος = 9


26

17

12

14

79

20

4

10





Ακμές της τομής :


17

79

20

10

Παρατήρηση

Αν αφαιρέσουμε τις ακμές το γράφημα που απομένει είναι διμερές.


Παρατήρηση

Αν αφαιρέσουμε τις ακμές το γράφημα που απομένει είναι διμερές.

Αρκεί, επομένως, να βρούμε ένα σύνολο ακμών ελάχιστου βάρους, τέτοιο ώστε το

γράφημα να είναι διμερές.

26

17

12

14

79

20

4

10

Κάθε ακμή του ανήκει σε κύκλο περιττού μήκους.


Πρόταση

Ένα επίπεδο γράφημα είναι διμερές εάν και μόνο εάν στο δυϊκό του γράφημα

κάθε κόμβος έχει άρτιο βαθμό.


Πρόταση



Απόδειξη

Αν το G είναι διμερές τότε δεν έχει κύκλους περιττού

μήκους, επομένως κάθε όψη f έχει άρτιο αριθμό

ακμών.

Άρα σε κάθε κόμβο του προσπίπτει άρτιος

αριθμός ακμών.


Πρόταση



Απόδειξη

Αντίστροφα, έστω ότι κάθε κόμβος του έχει

άρτιο βαθμό. Θα δείξουμε ότι κάθε κύκλος του G

έχει άρτιο μήκος.

Έστω κύκλος Κ του G. Έστω οι όψεις

που βρίσκονται στο εσωτερικό του Κ. Έστω οι

ακμές στο εσωτερικό του Κ (όχι πάνω στον Κ).

Έστω ο βαθμός του κόμβου στο (που

αντιστοιχεί στην όψη του G).


Πρόταση



Απόδειξη

Ισχύει

Το άθροισμα είναι άρτιος, άρα και το μήκος

του κύκλου K είναι άρτιο.


Πρόταση

Η διαγραφή μια ακμής που δεν είναι γέφυρα σε ένα επίπεδο γράφημα αντιστοιχεί

στη συρρίκνωση της αντίστοιχης ακμής στο δυϊκό γράφημα .


Πρόταση

Η διαγραφή μια ακμής που δεν είναι γέφυρα σε ένα επίπεδο γράφημα αντιστοιχεί

στη συρρίκνωση της αντίστοιχης ακμής στο δυϊκό γράφημα .

Άρα θέλουμε να βρούμε στο ένα σύνολο ακμών ελάχιστου βάρους που αν

συρρικνωθούν τότε όλοι οι κόμβοι του έχουν άρτιο βαθμό.

κάλυμμα κορυφών περιττού βαθμού.

Ιδιοτήτα

Έστω ένα γράφημα και έστω ένα κάλυμμα κορυφών περιττού βαθμού του .

Το αποτελείται από μονοπάτια τα οποία είναι μη τεμνόμενα ως προς τις

ακμές τους και όλοι οι αφετηριακοί και τερματικοί κόμβοι που συνδέουν είναι διαφορετικοί

μεταξύ τους.


Ιδιοτήτα





3

3

2

3

2

5

2

4

2

6

2


Ιδιοτήτα





Πρέπει να βρούμε ζεύγη κόμβων όπου κάθε και

έχει περιττό βαθμό και υπάρχουν μονοπάτια που είναι μη τεμνόμενα ως

προς τις ακμές και το συνδέει τον με τον . Επιπλέον τα είναι

μονοπάτια ελάχιστου βάρους που έχουν την παραπάνω ιδιότητα.


Ιδιοτήτα





Πρέπει να βρούμε ζεύγη κόμβων όπου κάθε και

έχει περιττό βαθμό και υπάρχουν μονοπάτια που είναι μη τεμνόμενα ως

προς τις ακμές και το συνδέει τον με τον . Επιπλέον τα είναι

μονοπάτια ελάχιστου βάρους που έχουν την παραπάνω ιδιότητα.

Ένα τέτοιο σύνολο από ζεύγη κόμβων ονομάζεται

ελάχιστο ζευγάρωμα περιττών κόμβων.


Ιδιοτήτα

Έστω ένα ελάχιστο ζευγάρωμα περιττών κόμβων.

Έστω ένα ελαφρύτατο μονοπάτι από τον στον . Τότε τα μονοπάτια

δεν έχουν κοινές ακμές. Απόδειξη

Ας υποθέσουμε ότι τα μονοπάτια και έχουν μια κοινή ακμή .

Τότε υπάρχουν μονοπάτια και που συνδέουν τα ζεύγη και

ή τα ζεύγη και , τα οποία έχουν συνολικό βάρος μικρότερο από

το βάρος των και . Αυτό όμως είναι άτοπο από την επιλογή του ελάχιστου

ζευγαρώματος περιττών κόμβων.


Η εύρεση ενός ελάχιστου ζευγαρώματος περιττών κόμβων ενός γραφήματος

μπορεί να γίνει μέσω υπολογισμού ενός τέλειου ταιριάσματος ελάχιστου κόστους:

• Πρώτα υπολογίζουμε τις ελαφρύτατες διαδρομές μεταξύ κάθε ζεύγους περιττών

κόμβων. Έστω το βάρος της ελαφρύτατης διαδρομής από τον στον .

• Δημιουργούμε το πλήρες γράφημα με κόμβους που αντιστοιχούν στους

περιττούς κόμβους του . Σε κάθε ακμή του αναθέτουμε κόστος

.

• Υπολογίζουμε ένα τέλειο ταίριασμα ελάχιστου κόστους στο .

Τομές Γραφήματος

Documents

Transcript of Τομές Γραφήματος