Επιστημονικός Υπολογισμός Ι

Τρίτο ΕργαστήριοΑραιά Μητρεία

22 Δεκεμβρίου 2010

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Γενικ

ά

• Μικρός αριθμός μη μηδενικών στοιχείων εν σχέσει με τον συνολικό αριθμό.

• Κατά μέσο όρο σταθερός αριθμός ανά γραμμή.

• Ενδέχεται να υπάρχουν περιοχές ενδιαφέροντος ανάλογα με την χωρική κατανομή των μηδενικών και το πεδίο προέλευσης του μητρείου.

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Πρ

οέ

λευ

ση

(ενδει

κτι

κά

)

Γενικά αραιά μητρεία:• Διακριτοποίηση διαφορικών

εξισώσεων(Οι ολοκληρωματικές δίνουν πυκνά).• Μάθηση μηχανής (νευρωνικά δίκτυα).

Δυαδικά αραιά μητρεία:• Αραιά γραφήματα (φασματική

θεωρία).• Χωρικές/λογικές βάσεις δεδομένων.• Ασπρόμαυρες εικόνες

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Ζη

το

ύμενα

(ενδει

κτι

κά

)

• Εξοικονόμηση χώρου.• Ταχύτητα πράξεων.• Εντοπισμός αλγεβρικών ιδιοτήτων.• Εκμετάλλευση υποκείμενης δομής /

εξαρτήσεως / συσχετίσεως μεταξύ των στοιχείων.

• Εντοπισμός περιοχών ενδιαφέροντος.

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Συ

μπί

εση

– Α

πλός

Τρ

όπ

ος

Ι

Απαιτούνται τρία διανύσματα:- Γραμμή μη μηδενικού στοιχείου.

- Στήλη μη μηδενικού στοιχείου.

- Τιμή μη μηδενικού στοιχείου.

- Δεν προσφέρει κάποια ερμηνεία για το υποκείμενο μητρείο.

- Χρησιμοποιείται εσωτερικά από το MATLAB (τουλάχιστον στις παλαιότερες εκδόσεις).

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Συ

μπί

εση

– Α

πλός

Τρ

όπ

ος

ΙΙ

Τι παράγεται όταν εφαρμοστεί ο αλγόριθμος στο μητρείο

T = [ 1 0 0 0 -1 0 ... 0 0 0 0 -1 1 ... 0 1 0 0 0 0 ... 0 0 -1 -1 0 0 ... 0 0 0 0 0 -1 ... 0 1 0 0 0 0 ]

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Συ

μπί

εση

– C

SR

Απαιτούνται τρία διανύσματα:

- Συμπιεσμένη γραμμή μη μηδενικού στοιχείου

- Σημειώνεται έμμεσα η γραμμή κάθε μη μηδενικού στοιχείου αριθμοδεικτοδο-τώντας το διάνυσμα των στηλών.

- Στήλη μη μηδενικού στοιχείου.

- Τιμή μη μηδενικού στοιχείου.

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Συ

μπί

εση

- C

SC

• Ίδια λογική με την SCR αλλά αριθμοδεικτοδοτείται το διάνυσμα των γραμμών.

• Ισοδύναμη με την CSR στο ανάστροφο μητρείο.

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

CSR

κα

ι C

SC

I

• Η επιλογή εξαρτάται από την χωρική κατανομή των στοιχείων.

• Απαιτείται προσοχή για κενές (μηδενικές) γραμμές / στήλες.

• Καλύτερη συμπίεση εν σχέσει με την απλή. Απαιτούνται όμως δύο επίπεδα αριθμοδεικτοδότησης (κώδικας, χρόνος).

• Προσφέρουν περιορισμένη ερμηνεία.

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

CSR

κα

ι C

SC

II

Τι παράγεται όταν εφαρμόζονται οι csr και csc στο μητρείο

T = [1 0 0 0 -1 0 ... 0 0 0 0 -1 1 ... 0 1 0 0 0 0 ... 0 0 -1 -1 0 0 ... 0 0 0 0 0 -1 ... 0 1 0 0 0 0 ]

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Συ

μπί

εση–

Δυ

αδι

κά

Μ

ητρ

εία

• Μέθοδος λεξικού.- Κάθε στήλη / γραμμή θεωρείται ως λέξη

και αποθηκεύεται η θέση της λέξης στο λεξικό.

• Παραγοντοποίηση.– Γινόμενο (πυκνών;) παραγόντων.

• Χρήση κλασσικών μεθόδων.– Δεν χρειάζεται το διάνυσμα των

τιμών.

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Δη

μιο

υργία

I

S = sparse(A)– Εξάγει τα μη μηδενικά στοιχεία του

A και τα αποθηκεύει στο S.– Συνεργάζεται κανονικά με τις

εντολές του MATLAB.

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Δη

μιο

υργία

ΙΙ

• S = sparse(A)- Στο S μπορούν να προστεθούν

στοιχεία.

- Από το S μπορούν να αφαιρεθούν στοιχεία.

- Όσο το S τείνει να γίνει πυκνό, τόσο ασύμφορη καθίσταται η συμπιεσμένη μορφή.

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Ειδ

ικά

Α

ρα

ιά

Μη

τρ

εία

Ι

• speye- Αραιό ταυτοτικό μητρείο.

• sprand- Αραιά τυχαία μητρεία (ομοιόμορφη

κατανομή).

• sprandn- Αραιά τυχαία μητρεία (κανονική

κατανομή).

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Ειδ

ικά

Α

ρα

ιά

Μη

τρ

εία

ΙΙ

• sprandsym- Αραιό συμμετρικό μητρείο

(ομοιόμορφη κατανομή).

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Απ

εικόνι

ση

Μ

ητρ

είου

• spy(A)– Ο καθιερωμένος τρόπος στο

MATLAB για την γραφική απεικόνιση αραιών μητρείων.

– Εύκολη εποπτεία της δομής ενός μητρείου (όχι απαραιτήτως αραιού).

– Easter egg: spy (χωρίς ορίσματα)

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Ειδ

ικές

Συ

ναρτ

ήσ

εις

Ι

• spones- Αντικαθιστά τα μη μηδενικά

στοιχεία ενός αραιού μητρείου με μονάδες.

• spfun- Εφαρμόζει μια δεδομένη

συνάρτηση στα μη μηδενικά στοιχεία ενός αραιού μητρείου.

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Ειδ

ικές

Συ

ναρτ

ήσ

εις

ΙΙ

• spdiags- Εξαγωγή διαγώνιων στοιχείων

• nnz- Πλήθος μη μηδενικών στοιχείων.

• full

- Μετατρέπει ένα αραιό μητρείο σε πυκνό.

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Αντί

μελ

ομ

ακ

άρ

ονου Ι

• Υπάρχει μια βέλτιστη μέθοδος αναπαράστασης / συμπίεσης (Σ/Λ).

• Η συμπίεση συνεπάγεται ερμηνεία (Σ/Λ).

• Η θέση των μη μηδενικών στοιχείων είναι σημαντική για την συμπίεση (Σ/Λ).

• Η φύση των τιμών των μη μηδενικών στοιχείων είναι σημαντική για την συμπίεση (Σ/Λ).

• Η nnz επιστρέφει τον αριθμό των μηδενικών στοιχείων ενός αραιού μητρείου (Σ/Λ).

• Το μητρείο της επόμενης διαφάνειας

• Click to edit Master text stylesSecond levelThird levelFourth levelFifth level

Αντί

μελ

ομ

ακ

άρ

ονο

υ ΙΙ

Α = [ 0 -1 0 1 ; 0 0 0 1 ; .... 0 0 -1 0 ; 1 0 0 -1 ]όταν συμπιεστεί κατά CSC δίδει ταi = [1 1 2 3 4]j = []v = [-1 1 1 -1 1 -1](Σ/Λ)