Επιστημονικός Προγραμματισμός · τρέχουσα συνεδρία,...

Φώτιος ΚασόληςΔΡ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

fot ios .kasol is@gmai l .com

Επιστημονικός Προγραμματισμόςμε χρήση του GNU Octave / Matlab®

Γ Ι Α Ε ΠΙ ΣΤ ΗΜ Ο Ν Ε Σ , Ε Κ ΠΑΙ ΔΕ Υ Τ Ι ΚΟ Υ Σ & Σ ΠΟ ΥΔ Α Σ Τ Ε Σ

ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2016

Copyright © Φώτιος Κασόλης, 2016.Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved.

Απαγορεύεται η αντιγραφή, η αποθήκευση και η διανομή ολόκληρου ή τμήματος του έργουαυτού για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, η αποθήκευση και η διανομή για μη

κερδοσκοπικό σκοπό εκπαιδευτικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγήπροέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση του

έργου για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται στο συγγραφέα.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το ανά χείρας έργο, εκπονήθηκε στο πλαίσιο των σεμιναρίων με τίτλο Επι-στημονικός Προγραμματισμός με χρήση του GNU Octave / Matlab ®,τα οποία οργάνωσε ο εκπαιδευτικός όμιλος ΠΛΑΤΩΝ σε συνεργασία με τοσυγγραφέα. Κύριος στόχος του εγχειριδίου είναι η εξυπηρέτηση των ανα-γκών του σεμιναρίου και ως εκ τούτου, παρέχει μία συλλογή εργαστηριακώνασκήσεων διεπιστημονικής θεματολογίας, ώστε να επιτύχει την ανάπτυξηλειτουργικής αλγοριθμικής σκέψης, για την αντιμετώπιση επιστημονικώνπροβλημάτων. Το έργο αυτό, όπως και το αντίστοιχο σεμινάριο, απευθύνεταισε ερευνητές, εκπαιδευτικούς και σπουδαστές θετικών, πολυτεχνικών, οικο-νομικών και ιατρικών ειδικοτήτων, καθώς και στους λοιπούς επαγγελματίεςπου επιθυμούν να εκσυγχρονίσουν τις γνωσιακές τους υποδομές με χρήσηυπολογιστικών μοντέλων, προσομοιώσεων και στατιστικών μεθόδων.

1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ Α . Εισαγωγή στο GNU Octave / Matlab®1 Πρελούδιο 52 Απλοί αριθμητικοί υπολογισμοί 63 Εκχώρηση τιμών σε μεταβλητές 84 Συστοιχίες δεδομένων 105 Παραγωγή γραφικών 17

ΕΝΟΤΗΤΑ Β . Στοιχεία Προγραμματισμού1 Πρελούδιο 272 Λογικοί τελεστές 313 Δομές ελέγχου ροής 344 Ομαδοποίησης δεδομένων 37

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ . Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση1 Αριθμοί κινητής υποδιαστολής 372 Πολυώνυμα 433 Συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων 444 Ελάχιστα τετράγωνα 465 Αριθμητική ολοκλήρωση 47

ΕΝΟΤΗΤΑ Δ . Εργαστηριακές Ασκήσεις Ειδίκευσης 1 Ανάλυση ηλεκτροκαρδιογραφήματος 492 Διάσπαση ραδιενεργών πυρήνων 503 Εκτόξευση πυραύλου 514 Εξάπλωση πυρκαγιάς σε δάσος 525 Επεξεργασία εικόνας με φίλτρα 536 Πληθυσμιακή δυναμική 547 Υπολογισμός του PageRankTM της GoogleTM 55

ΦΩΤ Ι Ο Σ Κ Α ΣΟ ΛΗ Σ 3

ΕΝΟΤΗΤΑ Α

Εισαγωγή στο GNU Octave / Matlab®

1 ΠρελούδιοΤο Octave είναι ένα ολοκληρωμένο περιβάλλον παραγωγής, επεξεργασίαςκαι οπτικοποίησης αριθμητικών πληροφοριών, το οποίο παρέχει πρόσβασηστις λειτουργίες του μέσω μίας γραμμής εντολών. Η ετοιμότητά του να δε-χτεί οδηγίες από το χρήστη δηλώνεται με εμφάνιση της προτροπής >> και ουπολογισμός των εισηγμένων οδηγιών πραγματοποιείται με χτύπο του πλή-

κτρου ENTER . Για παράδειγμα, μπορούμε να λάβουμε βοήθεια στη γραμμή

εντολών, πληκτρολογώντας την έκφραση help('fun'), όπου fun είναι τοόνομα της συνάρτησης, για την οποία αναζητάμε πληροφορίες. Επιπλέον, ταλήμματα που σχετίζονται με μία λέξη κλειδί key, τυπώνονται στην οθόνη μεχρήση της έκφρασης lookfor('key'), για παράδειγμα

>> lookfor('quit') ENTER

dbquit Quit debugging mode immediately without further

code execution and return to the Octave prompt.

quit Exit the current Octave session.

Το Octave παρέχει δύο συντομεύσεις αυτόματης συμπλήρωσης. Αφού πλη-κτρολογήσουμε τα αρχικά γράμματα του ονόματος μίας συνάρτησης, χτυ-

πάμε δύο φορές το πλήκτρο TAB , ώστε να συμπληρωθούν τα υπολειπόμε-

να γράμματα ή να εμφανιστούν οι πιθανές συναρτήσεις.

>> lu ΤΑΒ TAB

lu luinc luupdate

Επιπλέον, με επαναλαμβανόμενο χτύπο του πλήκτρου ↑ μπορούμε να προ-

σπελάσουμε το ιστορικό εισηγμένων εντολών. Τέλος, για να διακόψουμε την


τρέχουσα συνεδρία, δηλαδή για την έξοδο μας από το Octave, πληκτρολο-γούμε μία από τις συναρτήσεις quit ή exit, ακολουθούμενη από χτύπο του

πλήκτρου ENTER .

2 Απλοί αριθμητικοί υπολογισμοίΤο Octave – όπως και κάθε άλλη γλώσσα προγραμματισμού – είναι, στονπυρήνα του, ένα πρόγραμμα εκτέλεσης στοιχειωδών αριθμητικών υπολογι-σμών. Η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός, η διαίρεση και ύψωσησε δύναμη πραγματοποιούνται με χρήση των τελεστών +, -, *, /, ^. Για πα-ράδειγμα,

>> ( 3 + 2^(-1) ) / 0.5

ans = 7

όπου τα διάκενα μεταξύ των χαρακτήρων μίας έκφρασης μπορούν να παρα-ληφθούν. Ως εκ τούτου, το προηγούμενο παράδειγμα εισάγεται ισοδύναμαως ακολούθως.

>> ( 3 + 2^(-1) )/0.5

ans = 7

Το Octave τυπώνει την απάντηση στην οθόνη και εκχωρεί την υπολογισθεί-σα τιμή στη μεταβλητή ans. Για να αλλάξουμε τη μορφοποίηση εκτύπωσηςτων αριθμών στην οθόνη, χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση format με βασικάορίσματα short (προεπιλογή) και long.

>> pi

ans = 3.1416

>> format('long')

>> pi

ans = 3.14159265358979

όπου η συνάρτηση pi παριστάνει τον αριθμό 4·arctan1≈3.14.

6

Το Octave γνωρίζει μεγάλο πλήθος μαθηματικών συναρτήσεων. Μίασυνάρτηση καλείται με το όνομά της, ακολουθούμενο από πιθανά ορίσματαεγκλεισμένα εντός παρενθέσεων και χωρισμένα με κόμματα.

>> sin(2.7)^2 + cos(2.7)^2

ans = 1

>> log(exp(2))

ans = 2

Το όρισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων sin και cos μετράται σε ακτί-νια, ενώ υπάρχουν και οι συναρτήσεις sind και cosd, των οποίων το όρισμαμετράται σε μοίρες. Επιπλέον, σημειώνουμε ότι η συνάρτηση log παριστάνειτο φυσικό λογάριθμο ln≡loge, όπου e≈2.7183, και η συνάρτηση exp υπολο-γίζει τις δυνάμεις του e.

Ένας μιγαδικός αριθμός z=x+yi, όπου x, y ∈ ℝ και i2=-1, εισάγεται στοOctave ως διατεταγμένο ζεύγος (x,y) με χρήση της συνάρτησης complex.Εναλλακτικά και πλησιέστερα στη συνήθη μαθηματική σημειογραφία πλη-κτρολογούμε x+y*1i.

>> complex(1, 2.3)

ans = 1.0000 + 2.3000i

>> 1 + 2.3*1i

ans = 1.0000 + 2.3000i

Για να υπολογίσουμε το πραγματικό μέρος x του z, το φανταστικό μέρος yτου z, το μέτρο |z| και το μιγαδικό συζυγή x-yi του z, χρησιμοποιούμε τις συ-ναρτήσεις real, imag, abs και conj. Για παράδειγμα,

>> abs(4 + 3*1i)

ans = 5

>> sqrt(real(4 + 3*1i)^2 + imag(4 + 3*1i)^2)

ans = 5

>> conj(complex(1, 2))

ans = 1 - 2i


όπου sqrt(x) είναι η τετραγωνική ρίζα του x.

3 Εκχώρηση τιμών σε μεταβλητέςΩς μεταβλητή ορίζουμε μία περιοχή της μνήμης του η/υ, στην οποία αντι-στοιχίζουμε ένα αναγνωριστικό όνομα. Το σύνολο των πληροφοριών πουαποθηκεύουμε σε μία μεταβλητή ονομάζεται τιμή της μεταβλητής. Για νααποθηκεύσουμε την τιμή val στην περιοχή με αναγνωριστικό όνομα valχρησιμοποιούμε τον τελεστή εκχώρησης = σε εκφράσεις της μορφήςvar=val.

>> var = 3

var = 3

>> x = 1

x = 1

>> var, x

var = 3

x = 1

Ο πρώτος χαρακτήρας του αναγνωριστικού ονόματος μίας μεταβλητήςυποχρεούται να είναι γράμμα του λατινικού αλφάβητου, ενώ οι υπολειπόμε-νοι χαρακτήρες επιτρέπεται να είναι λατινικά γράμματα, αριθμοί και κάτωπαύλες _. Για παράδειγμα,

>> x0 = sin(2*pi)

x0 = -2.4493e-16

>> y_0 = factorial(4)

y_0 = 24

>> 1x

parse error:

syntax error

>>> 1x

^

8

όπου η συνάρτηση factorial επιστρέφει το παραγοντικό 4, δηλαδή τοναριθμό 4!=1·2·3·4=24. Γράμματα διαφορετικής κεφαλαιοποίησης αντιστοι-χούν σε διαφορετικά αναγνωριστικά ονόματα, δηλαδή το πεζό όνομα a λαμ-βάνεται από το Octave ως διαφορετικό του αντίστοιχου κεφαλαίου A,

>> A = 100; a = 99; A – a % ; is used to suppress output

ans = 1

όπου ο χαρακτήρας ; καταργεί την εμφάνιση του αποτελέσματος του υπολο-γισμού μίας έκφρασης και ο χαρακτήρας % σηματοδοτεί την έναρξη σχολίου.Το μέγιστο πλήθος χαρακτήρων που επιτρέπεται να έχει το αναγνωριστικόόνομα μίας μεταβλητής είναι namelengthmax, για παράδειγμα

>> namelengthmax

ans = 63

>> this_is_a_long_var_name = ( pi*(A - a) + pi*(a - A) ) / pi

this_is_a_long_var_name = 0

Το Octave απαγορεύει τη χρήση των λέξεων που η επιστρέφει η συνάρτησηiskeyword ως αναγνωριστικά ονόματα μεταβλητών. Αντιθέτως, τα ονόματατων ενσωματωμένων συναρτήσεων του Octave μπορούν να χρησιμοποιη-θούν ως ονόματα μεταβλητών, αλλά μία τέτοια πρακτική μπορεί να οδηγή-σει σε σφάλματα και σίγουρα δεν προτείνεται η υιοθέτησή της.

>> tan(pi/4)

ans = 1.00000

>> tan = 7.2

tan = 7.2000

>> tan(pi/4)

error: subscript indices must be either positive integers

less than

2^31 or logicals

>> which('tan')

'tan' is a variable

>> clear('all')


>> which('tan')

'tan' is a built-in function from the file

libinterp/corefcn/mappers.cc

Στο παραπάνω παράδειγμα, η ενσωματωμένη συνάρτηση tan υπολογίζει τηνεφαπτόμενη για τιμή ορίσματος π/4 και επιστρέφει τη σωστή τιμή 1. Αν οχρήστης εκχωρήσει την τιμή 7.2 σε μεταβλητή ονόματος tan, τότε το όνομαtan παύει να αναγνωρίζεται ως συνάρτηση και πλέον αντιστοιχεί σε όνομαμεταβλητής, όπως διαπιστώνουμε με χρήση της συνάρτησης which. Για ναεπαναφέρουμε το περιβάλλον στην προηγούμενη κατάσταση, αποδεσμεύου-με την περιοχή της μνήμης, στην οποία έχει δοθεί το όνομα tan με την έκ-φραση clear('tan'). Αν επιθυμούμε την πλήρη εκκαθάριση της μνήμης απότις μεταβλητές χρήστη, καλούμε τη συνάρτηση clear με όριμα 'all'. Η κα-τάσταση της μνήμης, όσο αφορά τις ορισμένες μεταβλητές, μπορεί να ελεγ-χθεί με τις συναρτήσεις who, whos και exist.

>> exist('tan', 'var')

ans = 0

όπου το 0 αντιστοιχεί στην τιμή ψευδής.

4 Συστοιχίες δεδομένωνΈνας πίνακας A με m γραμμές και n στήλες είναι ένα σύνολο m·n πραγματι-κών ή μιγαδικών αριθμών aij που τοποθετούνται στη δομή

a11 a12 a13 ... a1n

a21 a22 a23 ... a2n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1 am2 am3 ... amn

και γράφουμε A=(aij). Αν m=n, δηλαδή στην περίπτωση που το πλήθος τωνγραμμών του πίνακα ισούται με το πλήθος των στηλών του, ο πίνακας A

10

ονομάζεται τετραγωνικός. Ένας πίνακας, για τον οποίο m=1 ονομάζεταιδιάνυσμα γραμμή, ενώ αν n=1, τότε ο πίνακας ονομάζεται διάνυσμα στήλη.Συμβατικά, θεωρούμε ότι κάθε διάνυσμα x είναι διάνυσμα στήλη και ως εκτούτου το ανεστραμμένο διάνυσμα x⊤ είναι διάνυσμα γραμμή.

Για να εισάγουμε έναν πίνακα στο Octave, πληκτρολογούμε τα στοιχείααυτού εντός αγκυλών [], χωρίζοντας τα στοιχεία που βρίσκονται στην ίδιαγραμμή με κόμματα , (ή διάκενα), ενώ το τέλος κάθε γραμμής επιτυγχάνε-ται με το χαρακτήρα ;, για παράδειγμα

>> A = [1, 3, 5; 2, 4, 6]

A =

1 3 5

2 4 6

Στο παράδειγμα αυτό, ο πίνακας A έχει m=2 γραμμές και n=3 στήλες. Η συ-νάρτηση size επιστρέφει τον αριθμό των γραμμών και τον αριθμό των στη-λών ενός πίνακα,

>> [m, n] = size(A)

m = 2

n = 3

Επιπλέον, το πλήθος m·n=6 των στοιχείων του πίνακα Α υπολογίζεται με τησυνάρτηση numel.

>> numel(A)

ans = 6

Το στοιχείο aij του πίνακα A μπορεί να ληφθεί με χρήση του ονόματος τηςμεταβλητής του πίνακα A, ακολουθούμενο από τους ακεραίους i, j εντόςπαρενθέσεων, δηλαδή A(i,j). Για παράδειγμα

>> A(1,2)

ans = 3


Η i γραμμή του πίνακα A μπορεί να ληφθεί με την έκφραση A(i,:), ενώ η jστήλη αυτού με την έκφραση A(:,j). Επιπλέον, τμήματα του πίνακα A μπο-ρούν να εξαχθούν με εκφράσεις της μορφής A(idx_r,idx_c), όπου τα διανύ-σματα idx_r, idx_c είναι διανύσματα με στοιχεία τους δείκτες των γραμμώνκαι των στηλών που επιθυμούμε να λάβουμε, όπως φαίνεται στο ακόλουθοπαράδειγμα.

>> idx = [1, 2];

>> A(idx, idx)

ans =

1 3

2 4

>> A(:,2)

ans =

3

4

>> A(end,:)

ans =

2 4 6

όπου η λέξη end, ανάλογα με τη θέση της, αναφέρεται στον αριθμό τωνγραμμών ή στον αριθμό των στηλών του πίνακα A, δηλαδή στους αριθμούςsize(A,1) και size(A,2), αντίστοιχα.

Ένας νέος πίνακας μπορεί να σχηματιστεί με συνένωση δύο συστοιχιώνA και Β. Αν οι συστοιχίες A και B έχουν ίδιο αριθμό γραμμών, τότε είναι δυνα-τή η οριζόντια συνένωση αυτών, η οποία πραγματοποιείται με χρήση της συ-νάρτησης horzcat ή πιο απλά πληκτρολογώντας [A,B]. Στην περίπτωση πουοι Α, Β έχουν ίδιο αριθμό στηλών, τότε μπορούμε να πραγματοποιήσουμε κα-τακόρυφη συνένωση με τη συνάρτηση vertcat ή με την έκφραση [A;B].

>> A = [1, 3; 2, 4];

>> B = [A, A; A, A]

B =

1 3 1 3

12

2 4 2 4

1 3 1 3

2 4 2 4

Το αποτέλεσμα του προηγούμενου παραδείγματος μπορεί να υπολογιστεί μεχρήση του γινομένου Kronecker Α⊗Β μεταξύ δύο πινάκων A=(aij) καιB=(bij) διαστάσεων m×n και p×q αντίστοιχα, το οποίο ορίζεται ως ακολού-θως

a11B a12B a13B ... a1nBa21B a22B a23B ... a2nB

⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1B am2B am3B ... amnB

όπου ο πίνακας Α⊗Β είναι διάστασης mp×nq. Έχουμε

>> kron(ones(2), A)

ans =

1 3 1 3

2 4 2 4

1 3 1 3

2 4 2 4

όπου η συνάρτηση ones(2) σχηματίζει έναν 2×2 πίνακα, του οποίου ταστοιχεία είναι μονάδες. Επιπρόσθετα, το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να επιτευ-χθεί με την έκφραση repmat(A,2,2), η οποία επιστρέφει τον πίνακα πουπροκύπτει με επανάληψη του πίνακα A δύο φορές κατά την οριζόντια καιδύο φορές κατά την κατακόρυφη διάσταση.

Οι συστοιχίες είναι η κύρια δομή της γλώσσας του Octave, το οποίο καιπαρέχει μεγάλο πλήθος συναρτήσεων που αφορούν την παραγωγή και τηδιαχείρισή τους. Για παράδειγμα, η κατασκευή μηδενικών πινάκων επιτυγ-χάνεται με τη συνάρτηση zeros και η κατασκευή μοναδιαίων πινάκων με τησυνάρτηση eye. Επιπλέον, δοθέντος πίνακα Α μπορούμε να αλλάξουμε το


σχήμα του με τη συνάρτηση reshape, να παράγουμε ένα διάνυσμα στήλη το-ποθετώντας διαδοχικά τις στήλες αυτού με την έκφραση A(:) και να ανα-διατάξουμε τα στοιχεία του με περιστροφή και με συμμετρική αναστροφή ωςπρος τις γραμμές ή ως προς τις στήλες με τις συναρτήσεις rot90, flipud καιfliplr.

>> A = [1, 3; 2, 4]

A =

1 3

2 4

>> fliplr(rot90(A(:)))

ans =

4 3 2 1

Οι συνήθεις μαθηματικές πράξεις μεταξύ πινάκων πραγματοποιούνταιμε τους τελεστές +, -, * και ^, ενώ υπάρχουν και οι τελεστές .*, ./ και .^ πουυλοποιούν το γινόμενο, το πηλίκο και την ύψωση σε δύναμη κατάHadamard, δηλαδή τις στοιχειακές πράξεις

A⊙B = (aij·bij), AB = (aij / bij), όπου bij≠0,A∧s = A⊙A⊙A⊙ ... ⊙A, όπου sℕ

όπου οι πίνακες Α και B είναι ίδιων διαστάσεων.

>> x = 0:0.1:0.4

x =

0.00000 0.10000 0.20000 0.30000 0.40000

>> y = 0:4

y =

0 1 2 3 4

>> ( x.*y ).^2

ans =

0.00000 0.01000 0.16000 0.81000 2.56000

14

Σημειώνουμε ότι οι εκφράσεις της μορφής a:h:b παράγουν τα διανύσματαγραμμές (a a+h a+2h ... b-h b), τα οποία ονομάζονται και εύρη. Εναλλα-κτικά, για να παράγουμε ένα εύρος, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη συ-νάρτηση linspace, η οποία εξασφαλίζει ότι τα άκρα a, b περιέχονται στο εύ-ρος.

>> linspace(4, 5, 6)

ans =

4.0000 4.2000 4.4000 4.6000 4.8000 5.0000

όπου οι αριθμοί 4, 5 καθορίζουν την αρχή και το πέρας του εύρους, ενώ οαριθμός 6 ορίζει το πλήθος των στοιχείων του παραγόμενου διανύσματος,δηλαδή έχουμε numel(linspace(a,b,n))=n.

Ακολουθεί μία εφαρμογή των παραπάνω, στην οποία υπολογίζουμε τοάθροισμα των στοιχείων ενός διανύσματος με χρήση του εσωτερικού γινο-μένου ( ∙ , ∙ ) : ℝn×ℝn→ℝ, το οποίο μπορεί να γραφεί

(x,y) = x⊤y = x1y1 + x2y2 +...+ xnyn

και ως εκ τούτου, το άθροισμα των στοιχείων ενός διανύσματος x μπορείνα γραφεί x⊤u = u⊤x, όπου u=(1 1 ... 1 1)⊤ και είναι διάστασης n. Για πα-ράδειγμα

>> x = transpose(0:0.5:3);

>> m = size(x, 1);

>> u = ones(m, 1);

>> transpose(x) * u

ans = 10.500

>> transpose(u) * x

ans = 10.500

>> sum(x)

ans = 10.500


όπου η συνάρτηση transpose κατασκευάζει την ανάστροφη συστοιχία και ησυνάρτηση sum υπολογίζει το άθροισμα των στοιχείων ενός διανύσματος.

Η αριθμητική επίλυση προβλημάτων συνεχών χωροχρονικών μεταβλη-τών απαιτεί τη διακριτοποίηση του χώρου και του χρόνου. Αρκετά συχνά, ημετάβαση από το συνεχές πρόβλημα στο διακριτό οδηγεί στο σχηματισμόγραμμικών συστημάτων και προβλημάτων ιδιοτιμών, τα οποία στο Octaveεπιλύονται με χρήση των συναρτήσεων mldivide (ή \) και eig (και eigs)αντίστοιχα.

>> A = randn(4, 4); b = randn(4, 1); x = A \ b

x =

-0.17390

0.73962

-0.39461

1.07179

όπου η συνάρτηση randn επιστρέφει πίνακες, τα στοιχεία των οποίων είναικανονικά κατανεμημένοι ψευδοτυχαίοι αριθμοί.

Ολοκληρώνουμε την τρέχουσα παράγραφο με τον ακόλουθο πίνακα,στον οποίο παρουσιάζουμε συναρ help τήσεις του Octave που σχετίζονταιμε τον κλάδο της γραμμικής άλγεβρας. Σημειώνουμε ότι το παράδειγμα πουσυνοδεύει κάθε συνάρτηση του πίνακα δεν ορίζει μονοσήμαντα τον τρόποχρήσης αυτής. Ο αναγνώστης οφείλει να ανατρέξει στη βοήθεια που παρέχειη συνάρτηση help για κάθε μία από τις συναρτήσεις του πίνακα.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

cross Εξωτερικό γινόμενο >> x = [1, 2, 0];

>> y = [3, 4, 0];

>> cross(x, y)

ans =

0 0 -2

det Ορίζουσα >> A = [1, 3; 2, 4];

>> det(A)

ans = -2

16

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

diag Διαγώνιος πίνακας >> A = [1, 3; 2, 4];

>> transpose(diag(A))

ans =

1 4

dot Εσωτερικό γινόμενο >> x = [1, 2];

>> y = [3, 4];

>> dot(x, y)

ans = 11

inv Αντίστροφος >> A = [1, 3; 2, 4];

πίνακας >> inv(A)

ans =

-2.00000 1.50000

1.00000 -0.50000

tril Κάτω τριγωνικός >> A =[1, 3, 5; 2, 4, 6];

πίνακας >> tril(A)

ans =

1 0 0

2 4 0

triu Άνω τριγωνικός >> A =[1, 3, 5; 2, 4, 6];

πίνακας >> triu(A)

ans =

1 3 5

0 4 6

5 Παραγωγή γραφικώνΗ κύρια συνάρτηση παραγωγής γραφικών είναι η συνάρτηση plot. Για ναπαράγουμε τη γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f : X→ℝ, όπου Χ⊂ℝ,ορίζουμε μία διακριτή εκδοχή Χh του πεδίου ορισμού Χ της f με χρήση τηςσυνάρτησης linspace, υπολογίζουμε τις τιμές της f στα στοιχεία του Χh καικαλούμε τη συνάρτηση plot. Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της συ-νάρτησης f : [0,2π]→ℝ με τύπο f(x)=x2sin(x) μπορεί να παραχθεί ως ακο-λούθως.


>> x = linspace(0, 2*pi, 100);

>> f = x.^2 .* sin(x);

>> plot(x, f, 'k', 'LineWidth', 3);

όπου ο ορισμός του τύπου της συνάρτησης f γίνεται με χρήση στοιχειακώνπράξεων. Στο παραχθέν γραφικό αντικείμενο μπορούμε να προσθέσουμεετικέτες στους άξονες με τις συναρτήσεις xlabel, ylabel, να ενεργοποιή-σουμε την εμφάνιση πλέγματος με τη συνάρτηση grid και να αλλάξουμε τοεύρος τιμών των αξόνων με χρήση της συνάρτησης axis.

>> x = linspace(0, 2*pi, 100);

>> f = x.^2 .* sin(x);

>> plot(x, f, 'k', 'LineWidth', 3);

>> xlabel('x'); ylabel('f(x)');

>> grid('minor');

>> axis([0, 2*pi, min(f), max(f)]);

18

όπου το όρισμα της συνάρτησης axis είναι το διάνυσμα με στοιχεία τα άκρατου οριζόντιου και κατακόρυφου άξονα διαδοχικά, το όρισμα 'k' ορίζει τομαύρο ως χρώμα γραμμής και το πάχος της γραμμής καθορίζεται από τοόρισμα 'LineWidth'. Για να αποθηκεύσουμε τη γραφική παράσταση ως έγ-χρωμη εικόνα διανυσματικών γραφικών eps, πληκτρολογούμε στη γραμμήεντολών

>> print('-depsc', 'filename.eps');

ή εναλλακτικά χρησιμοποιούμε την επιλογή Save As της λίστας File τουπαράθυρου που περιέχει το γραφικό αντικείμενο. Ακολουθεί ένα παράδειγ-μα, στο οποίο κάνουμε χρήση αρκετών επιλογών τροποποίησης γραφη-μάτων, ώστε να επιτύχουμε αποτέλεσμα προδιαγραφών δημοσίευσης.

set(0, 'defaultaxesfontsize', 26);

set(0, 'defaulttextfontsize', 26);

set(0, 'defaultaxesfontname', 'Times-Roman')

set(0, 'defaulttextfontname', 'Times-Roman')

x = linspace(0, 30, 300);

f = besselj(0, x);

n = f + rand(1, numel(x)) - 0.5;

u = f + 0.5;

l = f - 0.5;

plot(x, f, 'k', 'LineWidth', 3);

hold('on');

plot(x, n, '.k', 'MarkerSize', 5);

plot(x, u, 'LineWidth', 2, ...

'LineStyle', '--', ...

'Color', [0.4, 0.4, 0.4]);

plot(x, l, 'LineWidth', 2, ...

'LineStyle', ':', ...

'Color', [0.4, 0.4, 0.4]);

hold('off');

set(gca(), 'Color', [0.95, 0.95, 0.95]);

xlabel('x');


ylabel('J0(x)');

title('Inaccurate Bessel function');

lgnd = legend('Bessel function', ...

'Measured data', ...

'Upper bound', 'Lower bound');

set(lgnd, 'Color', 'w', 'FontSize', 18);

axis('tight');

Οι παραπάνω οδηγίες τοποθετήθηκαν στο αρχείο besselplot.m και έπειτα,πληκτρολογήσαμε στη γραμμή εντολών του Octave το όνομα του αρχείου,δηλαδη

>> besselplot

>> print('-deps', 'besselplot.eps')

Αρχεία με επέκταση .m ονομάζονται αρχεία συλλογής εντολών και η κλήσητου ονόματος τους στη γραμμή εντολών του Octave προκαλεί τη σειριακήεκτέλεση των περιεχόμενων οδηγιών. Ωστόσο, για να μπορούμε να πλη-κτρολογήσουμε το όνομα του αρχείου στη γραμμή εντολών του Octaveπρέπει να αλλάξουμε τον τρέχοντα κατάλογο του Octave με την εντολή cd.Για παράδειγμα,

>> pwd

ans = /home/fotis/Desktop/seminar

>> ls

code pics refs themes

20

>> cd code

>> pwd

ans = /home/fotis/Desktop/seminar/code

όπου η εντολή pwd εκτυπώνει στην οθόνη τη διαδρομή του τρέχοντα κα-τάλογου και η εντολή ls εμφανίζει τα αρχεία του καταλόγου αυτού.

Κατά την κίνηση Brown θεωρούμε μία τυχαία μεταβλητή W(t), όπουt∈[0,Τ], για την οποία W(0)=0 με πιθανότητα ένα, W(t)-W(s)=(t-s)1/2N(0,1),όπου 0≤s<t και Ν(0,1) τυχαία μεταβλητή κανονικής κατανομής μηδενικήςμέσης τιμής και μοναδιαίας διακύμανσης και οι μεταβολές W(t)-W(s) καιW(v)-W(u), όπου 0≤s<t<u<v≤Τ, είναι ανεξάρτητες. Έπειτα από διακριτο-ποίηση Τ=Nδt του χρονικού διαστήματος [0,Τ], λαμβάνουμε τον ακόλουθοκώδικα προσομοίωσης, όπου υπολογίζουμε τις τιμές U(W(t))=et+0.5W(t).

randn('state', 100);

T = 1; N = 500; dt = T/N; t = dt:dt:T;

M = 50;

dW = sqrt(dt) * randn(M, N);

W = cumsum(dW, 2);

U = exp(repmat(t, [M, 1]) + 0.5*W);

Umean = mean(U);

plot([0, t], [1, Umean], 'k', 'LineWidth', 3); hold('on');

plot([0, t],[ones(M, 1), U(1:M, :)], 'k'); hold('off');

xlabel('t'); ylabel('U(t)');

legend('Mean of 50 paths', 'Individual paths', ...

'location', 'northwest');


Η συνάρτηση plot μπορεί να χρησιμοποιηθεί για το σχεδιασμό καμπύλωνπου δίνονται σε παραμετρική μορφή, για παράδειγμα, η καμπύλη με εξι-σώσεις x(t)=cos(20t)·(1-sin(t)) και y(t)=sin(20t), όπου 0≤t≤2π μπορεί να σχε-διαστεί ως ακολούθως.

>> t = linspace(0, 2*pi, 1000);

>> x = cos(20*t) .* (1-sin(t));

>> y = sin(20*t);

>> plot(x, y, 'k', 'LineWidth', 3);

>> xlabel('x(t)'); ylabel('y(t)');

>> grid('minor');

Για παραμετρικές καμπύλες του τρισδιάστατου χώρου χρησιμοποιούμε τησυνάρτηση plot3, όπως φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα, στο οποίο σχε-διάζουμε την καμπύλη που για κάθε 0≤t≤2π περιγράφεται από τις εξι-σώσεις x(t)=t, y(t)=t·cos(6t), z(t)=t·sin(6t).

t = linspace(0, 2*pi, 300);

x = t;

y = t .* cos(6*t);

z = t .* sin(6*t);

plot3(x, y, z, 'k', 'LineWidth', 3);

axis('tight'); grid('on');

xlabel('x(t)'); ylabel('y(t)'); zlabel('z(t)');

22

Για τη γραφική αναπαράσταση επιφανειών χρησιμοποιούμε τις συναρτήσειςsurf και mesh, όπως στο παράδειγμα που ακολουθεί, όπου η συνάρτησηmeshgrid κατασκευή των ζευγών (x,y), στα οποία υπολογίζουμε τις τιμές τηςσυνάρτησης που επιθυμούμε να σχεδιάσουμε.

x = -2:0.1:2; y = -2:0.1:2;

[X, Y] = meshgrid(x, y);

Z = X .* exp(- X.^2 - Y.^2);

surf(X, Y, Z);

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

axis('tight');

colormap('gray');

colorbar();

όπου η συνάρτηση colorbar προσθέτει τη χρωματική κλίμακας τιμών.


Ακολουθούν παραδείγματα των συναρτήσεων quiver και contourf. Ησυνάρτηση quiver σχεδιάζει το διανυσματικό πεδίο u(x,y), v(x,y) και η συ-νάρτηση contourf τις ισοϋψείς επιφάνειες μίας συνάρτησης. Αν θέλουμεμόνο τις ισοϋψείς γραμμές, τότε αντί της contourf κάνουμε χρήση τηςcontour.

t = linspace(0, 2*pi, 300);

[x, y] = meshgrid (-3:0.25:3, -3:0.25:3);

u = y;

v1 = - x - 0.1 * (x.^2 - 1) .* y;

v2 = - x - 0.7 * (x.^2 - 1) .* y;

subplot(1, 2, 1)

quiver(x, y, u, v1, 1.5, 'Color', 'k');

xlabel('x'); ylabel('y');

axis('tight', 'square');

subplot(1, 2, 2)

quiver(x, y, u, v2, 1.5, 'Color', 'k');



x = -2:0.1:2; y = -2:0.1:2;

[X, Y] = meshgrid(x, y);

Z = X .* exp(- X.^2 - Y.^2);



contourf(X, Y, Z, 20);

colormap('gray'); colorbar();

24

ΕΝΟΤΗΤΑ B

Στοιχεία Προγραμματισμού

1 Αρχεία .m και συναρτήσεις

Στην παράγραφο Α.5 παρατηρήσαμε ότι ένα σύνολο οδηγιών μπορεί να το-ποθετηθεί σε ένα αρχείο απλού κειμένου (κείμενο χωρίς δυνατότητα μορφο-ποίησης) με επέκταση .m και να εκτελεστεί με πληκτρολόγηση του ονόματόςτου στην προτροπή του Octave. Τα αρχεία αυτά τα ονομάσαμε αρχεία συλ-λογής εντολών και η χρησιμότητά τους έγκειται στη δυνατότητα άμεσηςεπανάληψης του υπολογιστικού πειράματος που καθορίζει το περιεχόμενότους. Εκτός από συνήθεις εντολές, ένα αρχείο .m, δύναται να ορίζει μία συ-νάρτηση, η οποία εξυπηρετεί την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήμα-τος. Η γενική δομή ενός αρχείου συνάρτησης του Octave είναι

function [<έξοδος>] = <όνομα_συνάρτησης>(<είσοδος>)

<οδηγίες>

endfunction

όπου η λέξη endfunction σημαίνει το πέρας του ορισμού της συνάρτησηςκαι πρέπει να αποφεύγεται, αν επιθυμούμε κώδικα που είναι συμβατός με τοMatlab. Το όνομα του αρχείου, στο οποίο αποθηκεύουμε τον ορισμό μίας συ-νάρτησης και το όνομα της συνάρτησης, δεν οφείλουν, αλλά καλό είναι ναταυτίζονται. Ένα πολύ απλό παράδειγμα ορισμού συνάρτησης είναι το παρα-κάτω, στο οποίο η συνάρτηση δέχεται στην είσοδο έναν αριθμό και επι-στρέφει στην έξοδο το διπλάσιο του τετραγώνου του αριθμού αυτού, δηλα-δή x↦2·x2=y.

function [ y ] = dsquare( x )

y = 2 .* x.^2;

endfunction


Αποθηκεύοντας τις παραπάνω οδηγίες σε ένα αρχείο ονόματος dsquare.m,μπορούμε να καλέσουμε τη συνάρτηση dsquare στη γραμμή εντολών τουOctave, όπως κάθε άλλη συνάρτηση, αρκεί το αρχείο να βρίσκεται στοντρέχοντα κατάλογο, για παράδειγμα

>> a = dsquare(2)

a = 8

Παρατηρούμε ότι αντί των συνήθων αριθμητικών πράξεων, ορίσαμε τη συ-νάρτηση dsquare με χρήση στοιχειακών πράξεων, ώστε αν ο χρήστης δώσειστην είσοδο έναν πίνακα, να λάβει στην έξοδο έναν πίνακα ίδιας διάστασηςμε αυτήν του πίνακα εισόδου, κάθε στοιχείο του οποίου υψώθηκε στο τε-τράγωνο και έπειτα διπλασιάστηκε.

>> A = [1, 2; 3, 4]

A =

1 2

3 4

>> B = dsquare(A)

B =

2 8

18 32

Μία συνάρτηση για τους έχοντες μαθηματικό υπόβαθρο είναι η ακόλουθη.Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν μία συνάρτηση f είναι αναλυτική, τότε για τηνπαράγωγο αυτής έχουμε f´(x)=h-1·Im[f(x+ih)]+Ο(h2), ώστε αγνοώνταςόρους δεύτερης τάξης, παίρνουμε την ακόλουθη προσέγγιση.

function [ dfdx ] = complexder( f, x0, h = 1e-8 )

dfdx = imag(f(x0 + h*1i)) ./ h;

endfunction

Η συνάρτηση complexder δέχεται δύο ή τρία ορίσματα στην είσοδο και επι-στρέφει την τιμή της παραγώγου της δοθείσας συνάρτησης f στα x0. Παρα-

28

τηρούμε ότι, στο Octave, όταν ορίζουμε μία συνάρτηση και σε κάποια απότις μεταβλητές εισόδου δώσουμε τιμή, όπως στο παράδειγμα όπου h=1e-8,τότε η τιμή αυτή είναι η προεπιλεγμένη και δεν είναι αναγκαίο να εισαχθείαπό το χρήστη κατά την κλίση της συνάρτησης. Ωστόσο, ο τρόπος αυτόςαφορά αποκλειστικά στο Octave και δε λειτουργεί στο Matlab, στο οποίο θαπραγματοποιείται με την προσθήκη του κώδικα

if (nargin == 2)

h = 1e-8;

end

Επιπλέον, η συνάρτηση f πρέπει να οριστεί και να δοθεί στην είσοδο, κατάτην κλίση της συνάρτησης complexder. Για λόγους ευκολίας, αντί να δη-μιουργήσουμε νέο αρχείο συνάρτησης που ορίζει την f, χρησιμοποιούμεανώνυμη συνάρτηση, της οποίας ο ορισμός πραγματοποιείται άμεσα στηγραμμή εντολών με εκφράσεις f=@(<είσοδος>)(<οδηγίες>). Έχουμε

>> f = @(x) sin(x);

>> x = linspace(0, 2*pi, 100);

>> dfdx = complexder(f, x);

>> plot(x, f(x), 'k', 'LineWidth', 3); hold('on');

>> plot(x, dfdx, 'ok'); hold('off');

>> axis([0, 2*pi, -1, 2])

>> xlabel('x'); title('Complex step derivative');

>> legend('sin(x)', 'd(sin(x))/dx');


Σε αυτό το σημείο σημειώνουμε ότι η παράγωγος της συνάρτησης με τύποf(x)=sin(x) έχει τύπο f´(x)=cos(x) και από το σχήμα συμπεραίνουμε ότι ηπροσέγγιση της παραγώγου με τη μέθοδο του μιγαδικού βήματος είναι ικα-νοποιητική στην οπτική στάθμη.

Οι μεταβλητές που χρησιμοποιούμε εντός των αρχείων που ορίζουν συ-ναρτήσεις είναι τοπικές, δηλαδή δημιουργούνται για να εξυπηρετήσουν τηνεκτέλεση μίας συνάρτησης και καταστρέφονται μετά το πέρας της εκτέλε-σης, ώστε το Octave δε θυμάται τις τιμές τους μετά της εμφάνισης της προ-τροπής.

Πολύ συχνά, ο κώδικας που έχουμε γράψει επιστρέφει εσφαλμένα ή καικαθόλου αποτελέσματα εξαιτίας συντακτικών ή άλλων λαθών. Η τεχνικήτης αποσφαλμάτωσης, δηλαδή της εύρεσης των σφαλμάτων αυτών, πραγμα-τοποιείται με εισαγωγή της οδηγίας keyboard στον κώδικα μας. Η συνάρτη-ση keyboard διακόπτει τη ροή εκτέλεσης μίας συνάρτησης και δίνει τονέλεγχο στο πληκτρολόγιο, ώστε να ελεγχθούν ενδιάμεσες τιμές των τοπι-κών μεταβλητών και να βρεθούν τα σφάλματα. Για τη διακοπή της λειτουρ-γίας αποσφαλμάτωσης, ο χρήστης πληκτρολογεί την εντολή dbcont, η οποίαεπιτρέπει στη συνάρτηση να ολοκληρωθεί, ή την εντολή return (ή dbquit),η οποία διακόπτει άμεσα την εκτέλεση της συνάρτησης.

Επιπλέον, το Octave παρέχει χρήσιμα εργαλεία που αφορούν στη με-λέτη της χρονικής απόδοσης του κώδικα μας, όπως είναι η μέτρηση τουχρόνου εκτέλεσης με τις συναρτήσεις tic και toc,

>> tic(); randn(10000,10000); toc()

Elapsed time is 1.93153 seconds.

>> tic(); randn(10000,10000); toc()


>> tic(); randn(10000,10000); toc()


και η ανάλυση του πορτρέτου απόδοσης μίας συνάρτησης με την εντολήprofile, της οποίας η χρήση φαίνεται ακολούθως.

30

>> profile('on'); sqrt(randn(1000,1000)); profile('off');

>> profshow(profile('info'))# Function Attr Time (s) Time (%) Calls

------------------------------------------------------------------

1 randn 0.049 71.61 1

2 sqrt 0.019 28.29 1

3 profile 0.000 0.08 1

6 false 0.000 0.01 1

4 nargin 0.000 0.00 1

5 binary != 0.000 0.00 1

7 __profiler_enable__ 0.000 0.00 1

Σημειώνουμε ότι η συνάρτηση profile που παράγει το πορτραίτο απόδοσηςείναι πρόσφατη προσθήκη στο οπλοστάσιο του Octave και είναι αρκετά δια-φορετική από αυτήν του Matlab, η οποία έχει εξελιχθεί αρκετά και συντάσ-σεται ως ακολούθως.

>> profile('on');

>> <οδηγίες>

>> profile('viewer');

Στο Octave, παρά τον ασθενή βαθμό ωρίμανσης, η profile παρέχει μία αρ-κούντως ικανοποιητική εικόνα των στενώσεων και των κωλυμάτων τουκώδικα μας και προσφέρει ένα δείκτη που συνεισφέρει στη βελτίωση τηςαπόδοσής του.

2 Λογικοί τελεστέςΈνας λογικός τελεστής συγκρίνει δύο προτάσεις και αποτέλεσμα της σύ-γκρισης αυτής είναι μία εκ των τιμών αληθής (1), ψευδής (0). Αν μία μετα-βλητή ονόματος x έχει την τιμή 1 και γράψουμε x=x+1, τότε επαναορίζουμετο περιεχόμενό της και μετά την εκχώρηση, η τιμή του x είναι 2. Επιπλέον,παρατηρούμε ότι η x=x+1 δεν έχει υπολογιστικό νόημα ως εξίσωση διότι, ανήταν εξίσωση, θα είχαμε 0=1, δηλαδή θα ήταν μονίμως αδύνατη, αφού τοαποτέλεσμα είναι προφανώς αναληθές. Ο τελεστής ελέγχου της λογικήςαλήθειας είναι ο τελεστής ==, για παράδειγμα, η δήλωση 2==2 είναι αληθής


και, στο Octave, επιστρέφει την τιμή 1. Για να αποφευχθεί σύγχυση των πα-ραπάνω, στη θεωρία αλγορίθμων ο τελεστής εκχώρησης πολλές φορέςγράφεται ←, για παράδειγμα x←2, χωρίς ωστόσο να χρησιμοποιείται ευρέωςστις γλώσσες προγραμματισμού. Ένα παράδειγμα γλώσσας που επιτρέπειτην εκχώρηση x<-2 είναι η γλώσσα στατιστικού προγραμματισμού R. Η κα-τάσταση περιπλέκεται περισσότερο, αν σκεφτούμε ότι για πίνακες, η λογικήισότητα μπορεί να οριστεί τοπικά (ή στοιχειακά) και καθολικά, για πα-ράδειγμα έχουμε

>> A = 7:10; B = 7:10; B(end) = 11; A, B

A =

7 8 9 10

B =

7 8 9 11

>> A == B

ans =

1 1 1 0

>> isequal(A, B)

ans = 0

όπου παρατηρούμε ότι η συνάρτηση isequal ελέγχει την καθολική αλήθειακαι επιστρέφει την τιμή ψευδής, αφού το τελευταίο στοιχείο του διανύσμα-τος Β είναι διαφορετικό από το αντίστοιχο του A. Μπορείτε να ελέγξετε ότι ηκαθολική λογική σύγκριση πινάκων διαφορετικών μεγεθών είναι πάντα ψευ-δής. Αντίθετα, ο τελεστής == ελέγχει στοιχειακά την ισότητα και δεν έχεινόημα για πίνακες διαφορετικής διάστασης.

Εκτός από θεωρητικό ενδιαφέρον, η συζήτηση αποκτά πρακτικό νόημα,αν εισάγουμε και τους υπόλοιπους στοιχειακούς λογικούς τελεστές >, <, >=,<=, ~= (ή και != στο Octave), &, και |. Για παράδειγμα, μπορούμε να εξάγουμετο τμήμα ενός πίνακα που ικανοποιεί μία ανισοτική συνθήκη ή τις θέσειςτων στοιχείων αυτών.

>> A = [1, 2; 3, 4]

A =

32

1 2

3 4

>> A > 2

ans =

0 0

1 1

>> A(A>2)

ans =

3

4

>> A .* (A > 2)

ans =

0 0

3 4

>> find(A>2)

ans =

2

4

όπου η συνάρτηση find επιστρέφει τις θέσεις στις οποίες η συνθήκη A>2 εί-ναι αληθής, δεδομένης της εσωτερικής αναπαράστασης Α(:) του πίνακα Α.Αναφέρουμε ότι ο τελεστής & (και ή λογική σύζευξη) επιστρέφει την τιμήαληθής, αν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς, ενώ ο τελεστής | (ή ή λογικήδιάζευξη) επιστρέφει την τιμή αληθής, αν μία τουλάχιστον από τις προτάσειςείναι αληθής, δηλαδή

>> (1 & 1), (1 & 0), (0 & 1), (0 & 0)

ans = 1

ans = 0

ans = 0

ans = 0

>> (1 | 1), (1 | 0), (0 | 1), (0 | 0)

ans = 1

ans = 1

ans = 1

ans = 0

Οι καθολικοί τελεστές σύζευξης και διάζευξης είναι &&, ||.


3 Δομές ελέγχου ροήςΣτον προγραμματισμό, είναι ιδιαίτερα σημαντικό να μπορούμε να αλλάζου-με τη ροή ενός προγράμματος. Για το σκοπό αυτό, το Octave προσφέρει δο-μές απόφασης if/else/elseif, switch/case και οι επαναληπτικοί βρόγχοιfor και while. Στο ακόλουθο παράδειγμα, το οποίο αφορά στη χρήση τηςif, θεωρούμε έναν τυχαίο αριθμό στο διάστημα (0,1) και θέλουμε να αποφα-σίσουμε τη διαδρομή που θα ακολουθήσει ένα σωματίδιο ανάλογα με το εύ-ρος, στο οποίο ανήκει ο τυχαίος αριθμός. Έχουμε

>> r = rand();

>> if (r < 0.25)

>> x = -1; y = 0;

>> elseif (r < 0.5)

>> x = +1; y = 0;

>> elseif (r < 0.75)

>> x = 0; y = -1;

>> else

>> x = 0; y = +1;

>> endif

>> x, y

x = -1

y = 0

Παρατηρούμε ότι η σύνταξη της if/elseif είναι

if (<λογική_έκφραση>)

<οδηγίες>

elseif (<λογική_έκφραση>)

<οδηγίες>

...

else (<λογική_έκφραση>)

<οδηγίες>

endif

δηλαδή περιλαμβάνει τον έλεγχο μίας συνθήκης ή λογικής έκφρασης, γιαπαράδειγμα, (r < 0.25). Αν η τιμή της λογικής έκφρασης είναι αληθής, δη-

34

λαδή true ή 1, τότε έπεται ο υπολογισμός της οδηγίας που ακολουθεί. Επι-πλέον, σημειώνουμε ότι δε χρειάζεται να ορίσουμε διαστήματα με εκφράσεις(r < 0.5) & (r >= 0.25), αφού για να βρεθούμε στη γραμμή elseif (r <0.5) έχουμε προσπεράσει τη γραμμή if (r < 0.25) ως αναληθή και ως εκτούτου, είναι r >= 0.25. Τέλος, ορίσαμε το πέρας της δομής απόφασης μεχρήση της λέξης endif. Ο τρόπος αυτός γίνεται αποδεκτός μόνο από τοOctave και προτείνεται από την κοινότητά του, αντί της λέξης end, η οποίαείναι συντακτικά ορθή και στα δύο προγράμματα.

Ο επαναληπτικός βρόγχος for εξυπηρετεί αλγόριθμους, οι οποίοι εκτε-λούν επαναλαμβανόμενα ένα σύνολο οδηγιών και συντάσσεται ως ακολού-θως.

for count=<αρχική_τιμή>:<βήμα>:<τελική_τιμή>

<οδηγίες>

end

Για παράδειγμα, μπορούμε να υπολογίσουμε τους αριθμούς Fibonacci, οιοποίοι δίνονται από την εξίσωση fn=fn-1+fn-2 και αρχικές συνθήκες f0=0 καιf1=1.

>> f = zeros(1, 10);

>> f(2) = 1;

>> for cnt = 3:10

>> f(cnt) = f(cnt-1) + f(cnt-2);

>> end

>> f

f =

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34

όπου δημιουργούμε ένα διάνυσμα μηδενικών, τα οποία διαδοχικά αντικαθι-στούμε με τους αριθμούς Fibonacci. Η τεχνική της δέσμευσης της απαιτού-μενης μνήμης πριν από την εκτέλεση των υπολογισμών, αυξάνει την απόδο-ση του προγράμματος μας, ελαττώνοντας το χρόνο εκτέλεσής του. Τέλοςσημειώνουμε ότι εξαιτίας του υψηλού χαρακτήρα της γλώσσας του Octave,


οι επαναληπτικοί βρόγχοι εκτελούνται ιδιαίτερα αργά και ως εκ τούτου, εί-ναι προτιμότερο να αποφεύγονται και να αντικαθιστώνται με διανυσματι-κούς υπολογισμούς, όταν αυτό είναι εφικτό. Αν ένας βρόγχος είναι ανα-πόφευκτος και πρέπει να προσπελάσει τα στοιχεία ενός πίνακα, τότε λόγωτου τρόπου που το Octave αποθηκεύει τους πίνακες στη μνήμη του η/υ, ηπροσπέλαση αυτή είναι ταχύτερη, αν γίνει κατά τις στήλες του πίνακα. Κλεί-νουμε την παράγραφο αυτή με το παράδειγμα που ακολουθεί.

N = 10000; r = rand (N-1, 1);

x = zeros (N, 1); y = zeros (N, 1);

for i = 1:N-1

if r(i) > 0.75

x(i+1) = x(i) - 1;

y(i+1) = y(i);

elseif r(i) > 0.5

x(i+1) = x(i) + 1;

y(i+1) = y(i);

elseif r(i) > 0.25

x(i+1) = x(i);

y(i+1) = y(i) - 1;

else

x(i+1) = x(i);

y(i+1) = y(i) + 1;

endif

end

plot (x, y, 'k');


title('Random walk');

36

4 Ομαδοποίησης δεδομένωνΤο Octave υποστηρίζει δύο μηχανισμούς, οι οποίοι επιτρέπουν τη συλλογήδεδομένων διαφορετικών τύπων στην ίδια μεταβλητή, τις δομές και τα κε-λιά. Οι δομές προσφέρουν έναν εύχρηστο τρόπο ονομαστικής ομαδοποίη-σης των δεδομένων μας. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε ναπροσομοιώσουμε τη βολή ενός υλικού σημείου και ως εκ τούτου, απαιτείταιη αποθήκευση της μάζας m του υλικού σημείου, του διανύσματος θέσης rκαι του διανύσματος της ταχύτητας v. Μπορούμε να συλλέξουμε τα παρα-πάνω δεδομένα σε μία δομή ως ακολούθως.

>> ball.mass = 10;

>> ball.position = [0, 0, 50];

>> ball.velocity = [0, 0, 30];

>> ball.size = 'big'

ball =

scalar structure containing the fields:

mass = 10

position =

0 0 50

velocity =

0 0 30

size = big

Κάθε συνιστώσα της δομής ονομάζεται πεδίο και το περιεχόμενο κάθε πεδί-ου μπορεί να εξεταστεί ή να αλλαχθεί,

>> ball.mass = 100;

>> ball.size = 'huge'

Σε αυτό το σημείο, πρέπει να αναφέρουμε ότι το πεδίο size είναι τύπου συμ-βολοσειράς, δηλαδή μίας ακολουθίας χαρακτήρων, και αποθηκεύεται ως μηαριθμητικό διάνυσμα,

>> typeinfo(ball.size)


ans = sq_string

Εξετάζοντας μία προς μία τις συνιστώσες του διανύσματος του πεδίου sizeτης δομής ball παίρνουμε

>> ball.size(1)

ans = h

>> ball.size(2)

ans = u

>> ball.size(3)

ans = g

>> ball.size(4)

ans = e

Οι συμβολοσειρές που περιέχουν αριθμητικούς χαρακτήρες δεν έχουν απο-θηκευτεί στη μνήμη του η/υ ως αριθμοί και ως εκ τούτου, δεν είναι δυνατή ηάμεση εκτέλεση των συνήθων πράξεων.

>> s1 = '1'; s2 = '2'; s1 + s2

ans = 99

Ωστόσο, με χρήση της συνάρτησης str2num μπορούμε να μετατρέψουμε μίαμεταβλητή τύπου συμβολοσειράς σε αριθμητική, δηλαδή

>> str2num(s1) + str2num(s2)

ans = 3

Τα κελιά είναι πίνακες γενικής (και όχι μαθηματικής) χρήσης και κατα-σκευάζονται με το συνήθη τρόπο κατασκευής πινάκων, αλλά με χρήση άγκι-στρων {} αντί αγκύλων []. Κάθε στοιχείο ενός κελιού μπορεί να περιέχει δε-δομένα διαφορετικού τύπου και διάστασης.

>> A = {rand(1,4), 'Monday', 10.28, 'January'}

A =

{

38

[1,1] =

0.518049 0.358001 0.077326 0.706761

[1,2] = Monday

[1,3] = 10.280

[1,4] = January

}

Η πρόσβαση στα δεδομένα ενός κελιού πραγματοποιείται και αυτή με το συ-νήθη τρόπο πρόσβασης των στοιχείων ενός πίνακα, αλλά με χρήση άγκι-στρων.

>> A{1}(2)

ans = 0.35800

>> A{2}

ans = Monday


ΕΝΟΤΗΤΑ Γ

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση

1 Αριθμοί κινητής υποδιαστολήςΤο Octave πραγματοποιεί αριθμητικές πράξεις με χρήση αριθμών κινητήςυποδιαστολής διπλής ακρίβειας βάση του προτύπου IEEE 754. Για την απο-θήκευση ενός αριθμού απαιτούνται 64bits, για παράδειγμα,

>> format('bit')

>> 3.23

ans = 0100000000001001110101110000101000

111101011100001010001111010111

>> format('short')

Κάθε πραγματικός αριθμός x αποθηκεύεται ως fl(x)=(1+f)2e, όπου το δεκα-δικό μέρος f ∈ [0,1) χρησιμοποιεί 52bits, ο εκθέτης e ∈ [-1022,1023) απασχο-λεί 11bits και και το πρόσημο 1bit. Το πεπερασμένο πλήθος των στοιχείωντου δεκαδικού μέρους οδηγεί σε περιορισμό της ακρίβειας, ενώ αυτό του εκ-θέτη σε περιορισμό του εύρους των αριθμών που μπορούν να παρασταθούνστο πρότυπο. Οι μη μηδενικοί αριθμοί βρίσκονται μεταξύ των realmin καιrealmax,

>> realmin, realmax

ans = 2.2251e-308

ans = 1.7977e+308

ενώ η συνάρτηση eps επιστρέφει το έψιλον της μηχανής εM=2-52, δηλαδή τηναπόσταση του αριθμού 1.0 από τον επόμενο αναπαραστήσιμο αριθμό κινη-τής υποδιαστολής.

>> eps()

ans = 2.2204e-16

>> eps(1)


ans = 2.2204e-16

Παρατηρούμε ότι το σχετικό σφάλμα στην αναπαράσταση των αριθμών κι-νητής υποδιαστολής είναι φραγμένο, δηλαδή |x-fl(x)|/|x|≤0.5εM. Επιπλέον,αν το αποτέλεσμα ενός υπολογισμού είναι μεγαλύτερο από realmax (ή μι-κρότερο από -realmax), τότε έχουμε υπερχείλιση και το αποτέλεσμα είναι∞, δηλαδή Inf (ή -Inf).

>> 2 * realmax, -2 * realmax

ans = Inf

ans = -Inf

Ένα υπολογισμός, του οποίου το αποτέλεσμα δεν ορίζεται, επιστρέφει NaN(not a number). Τέτοιοι υπολογισμοί είναι

>> 0/0, Inf/Inf, 0*Inf

warning: division by zero

ans = NaN

ans = NaN

ans = NaN

Οι αριθμητικές πράξεις πραγματοποιούνται με αριθμούς που έχουν υποστείστρογγυλοποίηση. Συνήθως, το σωρευμένο σχετικό σφάλμα στο τελικόαποτέλεσμα δεν είναι σημαντικά μεγαλύτερο από το έψιλον της μηχανής καιστην πλειοψηφία των περιπτώσεων τα σφάλματα στρογγυλοποίησης δε δη-μιουργούν προβλήματα. Ωστόσο, αν το μαθηματικό μοντέλο εξαρτάται ευαί-σθητα από τα δεδομένα ή αν χρησιμοποιηθεί κάποιος αριθμητικά ασταθήςαλγόριθμος, τότε υπάρχει πιθανότητα τα σφάλματα στρογγυλοποίησης ναγίνουν εμφανή στο τελικό αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, η εξίσωσηαx2+βx+γ=0, όπου α0 και β≫(ac)1/2, έχει δύο ρίζες x1,2=-β(β2-4αγ)1/2/(2α).Παρατηρούμε ότι ο αριθμητής του x1 είναι αριθμός πολύ μικρότερος της μο-νάδας και ως εκ τούτου, έχουμε ελάττωση του πλήθους των σωστών ψηφί-ων, για παράδειγμα,

42

>> format('long');

>> a = 1e-4; b = 1/a; c = -a;

>> x1 = (-b + sqrt(b^2 - 4*a*c)) / (2*a)

x1 = 9.09494701772928e-09

>> rer = 100 * abs(x1 - 1e-8) / 1e-8

rer = 9.05052982270718

Ο τύπος για το x1 ισοδύναμα γράφεται -2γ/(β+(β2-4αγ)1/2), ώστε να αποφευ-χθεί η αφαιρετική ακύρωση σημαντικών ψηφίων.

>> x1 = -2*c/(b + sqrt(b^2 - 4*a*c))

x1 = 1.00000000000000e-08

>> rer = 100 * abs(x1 - 1e-8) / 1e-8

rer = 0

2 ΠολυώνυμαΣτο Octave, ο ορισμός ενός πολυωνύμου p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 πραγ-ματοποιείται με εισαγωγή των συντελεστών ai σε ένα διάνυσμα, συμπερι-λαμβανομένων των μηδενικών συντελεστών. Για παράδειγμα, το διάνυσμα

>> p = [1, 0, -1]

p =

1 0 -1

παριστάνει το πολυώνυμο p(x)=x2-1. Για να βρούμε την τιμή του p στα x0

πληκτρολογούμε

>> polyval(p, 0:0.25:1)

ans =

-1.00000 -0.93750 -0.75000 -0.43750 0.00000

ενώ οι αριθμοί x που επαληθεύουν την εξίσωση p(x)=0, δηλαδή τα μηδενικάτου p υπολογίζονται με τη συνάρτηση roots


>> transpose(roots(p))

ans =

-1 1

Για την παραγώγιση και την ολοκλήρωση ενός πολυωνύμου χρησιμοποιούμετις συναρτήσεις polyder και polyint, οι οποίες επιστρέφουν τους συντελε-στές των αντίστοιχων πολυωνύμων, δηλαδή

>> polyder(p)

ans =

2 0

>> polyint(p)

ans =

0.33333 0.00000 -1.00000 0.00000

3 Συστήματα αλγεβρικών εξισώσεωνΓενικά, το πρόβλημα της αναλυτικής εύρεσης των ριζών μίας μη γραμμικήςεξίσωσης f(x)=0 είναι ιδιαίτερα δύσκολο ή μη επιλύσιμο. Ωστόσο, η αριθμη-τική εύρεση μίας ρίζας μπορεί να επιτευχθεί με λίγες γραμμές κώδικα. Αν ηεξίσωση περιέχει μία ανεξάρτητη μεταβλητή, τότε μπορούμε να κατα-σκευάσουμε τον ακόλουθο αλγόριθμο, βάση του θεωρήματος του Bolzano.

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO

Έστω ένα διάστημα Δ=[α,β] και μία ορισμένη στο Δ συνάρτηση f. Αν η f εί-ναι συνεχής στο Δ και αλλάζει πρόσημο σε αυτό, δηλαδή αν f(α)f(β)<0, τότεη εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (α,β).

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΔΙΧΟΤΟΜΙΣΗΣ & ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ

1. Θέτουμε γ=(α+β)/2 και ορίζουμε τα διαστήματα [α,γ] και [γ,β].2. Βρίσκουμε το πρόσημο των γινομένων f(α)f(γ) και f(γ)f(β).3α. Αν f(α)f(γ)<0, τότε επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 και 2 για το [α,γ]. 3β. Αν f(γ)f(β)<0, τότε επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 και 2 για το [γ,δ].4. Διακόπτουμε τη διχοτόμηση, όταν το μήκος του διαστήματος που πε- ριέχει τη ρίζα είναι μικρότερο από προεπιλεγμένο όριο ανοχής.

44

Ένας αλγόριθμος που υλοποιεί τον παραπάνω αλγόριθμο παρέχεται από τησυνάρτηση fzero, της οποίας η χρήση φαίνεται ακολούθως.

>> f = @(x) x.^2 - 1;

>> fzero(f, [0,2])

ans = 1

>> fzero(f, [-2,0])

ans = -1

όπου παρατηρούμε ότι τα στοιχεία του δοθέντος αρχικού διαστήματος, στοοποίο αναζητάμε μία ρίζα της εξίσωσης x2-1=0, οφείλουν να ικανοποιούν τησυνθήκη του θεωρήματος Bolzano. Για την εύρεση ενός τέτοιου διαστήμα-τος, μπορούμε να χαράξουμε τη γραφική παράσταση της f.

f = @(x) x.^2 - 1;

x = linspace(-2, 2, 100);

plot(x, f(x), 'k', 'LineWidth', 3);

hold('on');

plot([-1, 1], [0, 0], '.k', 'MarkerSize', 12);

hold('off');

grid('minor'); axis('tight');

xlabel('x'); ylabel('f(x)');

Επιπλέον, το Octave προσφέρει τη συνάρτηση fsolve για την επίλυση συ-στημάτων μη γραμμικών, αλγεβρικών εξισώσεων. Για παράδειγμα,


sin(xy)+e-xy-0.95908=0, z(x2+y2)1/2-6.7082=0, tan(x/y)+cos(z)+3.17503=0

γράφεται ως αρχείο συνάρτηση του Octave,

function [ J ] = systemEq(x)

J = zeros (3, 1);

J(1) = sin(x(1)*x(2)) + exp(-x(1)*x(3)) - 0.95908;

J(2) = x(3)*sqrt(x(1)^2 + x(2)^2) - 6.7082;

J(3) = tan(x(2)/x(1)) + cos (x(3)) + 3.17503;

endfunction

και έπειτα καλούμε την fsolve ως ακολούθως.

>> [x, fval, info] = fsolve(@systemeq, [0.1, 1.8, 2.2], ...

>> optimset('TolX', eps, 'TolFun', eps))

x =

0.12519 2.21695 3.02106

fval =

0.0000e+00

-1.7764e-15

-1.9540e-14

info = 2

4 Ελάχιστα τετράγωναΈστω το σύστημα Ax=b, το οποίο είναι υπερπροσδιορισμένο, δηλαδή οαριθμός των εξισώσεων είναι μεγαλύτερος από το πλήθος των αγνώστων.Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός των γραμμών του πίνακα Α είναι μεγαλύτεροςαπό τις στήλες αυτού. Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα δεν έχει λύση καιτο υπόλοιπο είναι ε(x)=Ax-b για κάθε x. Η μέθοδος των ελάχιστων τετρα-γώνων στοχεύει στην εύρεση του x* που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τε-τραγώνων των συνιστωσών του διανύσματος ε(x), δηλαδή

min [ε1(x)]2+[ε2(x)]2+...+[εn-1(x)]2+[εn(x)]2

46

Αποδεικνύεται ότι, υπό προϋποθέσεις, η λύση x* ικανοποιεί το σύστημαA⊤Ax*=A⊤b. Ο παραπάνω φορμαλισμός της γραμμικής άλγεβρας είναι ιδιαί-τερα χρήσιμος, ωστόσο δεν είναι ο συνήθης τρόπος γραφής από τους στατι-στικολόγους, οι οποίοι ονομάζουν την παραπάνω στρατηγική παλινδρόμη-ση. Στο Octave, η συνάρτηση polyfit λύνει το πρόβλημα των ελάχιστων τε-τραγώνων, του οποίου η λύση είναι βέλτιστη υπό την έννοια που προανα-φέρθηκε. Για παράδειγμα, θεωρούμε ένα νέφος σημείων του επιπέδου καιθέλουμε να βρούμε την ευθεία της γραμμικής παλινδρόμησης.

>> x = linspace(-1, 1, 100);

>> y = 2*x-3 + randn(1, 100);

>> plot(x, y, '.k', 'MarkerSize', 10)

>> p = polyfit(x, y, 1)

>> pval = polyval(p, x);

>> plot(x, y, '.k', 'MarkerSize', 10)

>> hold('on');

>> plot(x, pval, 'k', 'LineWidth', 3); hold('off');

>> xlabel('x')

>> title('Linear regression analysis'); grid('minor');

5 Αριθμητική ολοκλήρωσηΣτο Octave, το ορισμένο ολοκλήρωμα μίας συνάρτησης f υπολογίζεται με τησυνάρτηση quad (quadl, quadv, trapz). Υποθέτουμε ότι θέλουμε να υπολογί-


σουμε το μήκος s της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύποf(x)=x2sin(5x) στο διάστημα [0,1]. Έχουμε

s=∫0

1

√1+[ f '(x)]2dx ή s=∫

0

1

√1+x2(5x cos (5x)+2sin (5 x))

2dx

Για να υπολογίσουμε το s πληκτρολογούμε

>> f = @(x) sqrt(1+x^2*(5*x*cos(5*x) + 2*sin(5*x))^2);

>> s = quad(f, 0, 1)

s = 1.77347950211896

Αν επιθυμούμε περισσότερες πληροφορίες, καλούμε τη συνάρτηση quad μεεπιπλέον ορίσματα εξόδου όπως φαίνεται παρακάτω.

>> [s, status, fnev, err] = quad(f, 0, 1)

s = 1.77347950211896

status = 0

fnev = 147

err = 1.49316059128635e-10

όπου η πρώτη τιμή είναι η τιμή του ολοκληρώματος, η δεύτερη τιμή είναι οδείκτης επιτυχούς υπολογισμού (0 για επιτυχία), ο τρίτος αριθμός δηλώνειτο πλήθος των κλίσεων της f, και o τελευταίος παρέχει μία εκτίμηση τουσφάλματος.

48

ΕΝΟΤΗΤΑ Δ

Εργαστηριακές Ασκήσεις Ειδίκευσης

1 Ανάλυση ηλεκτροκαρδιογραφήματοςΜία από τις βασικές προκλήσεις για την αυτόματη ανάλυση ενός ηλεκτρο-καρδιογραφήματος είναι ο εντοπισμός των R κορυφών του συμπλέγματοςQRS. Στην πράξη, η κορυφή R δεν είναι πάντα υψηλότερη, ωστόσο μπορού-με να υποθέσουμε ότι είναι η πιοαιχμηρή, δηλαδή κοντά στα σημείαεμφάνισης των R κορυφών, η μετα-βολή της κλίσης της καμπύλης εί-ναι μεγαλύτερη σε σχέση με τη με-ταβολή αυτής σε οποιαδήποτεάλλη κορυφή. Επιπλέον, δεχόμα-στε την ύπαρξη θορύβου, ώστε μίακορυφή γίνεται αποδεκτή ως R κορυφή, αν η τιμή της υπερβαίνει το κατώφλιθορύβου 0.65mV.

ΕΡΓΑΣΙΕΣ

α) Να αναπτύξετε έναν αλγόριθμο για τον εντοπισμό των R κορυφών.β) Να βρείτε τις χρονικές στιγμές εμφάνισης των R κορυφών και τις αντί-στοιχες τιμές του ηλεκτροκαρδιογραφήματος.γ) Να υπολογίσετε τη μέση συχνότητα της καρδιακής λειτουργίας σε χτύ-πους ανά λεπτό (bpm).δ) Δεχόμενοι ότι στην ιδεατή φυσιολογική καρδιακή λειτουργία τα χρονι-κά διαστήματα (Δt)n=tn+1-tn μεταξύ διαδοχικών R κορυφών παρουσιάζουνμεταβολές της τάξης του 5% το πολύ, ποια από τα ηλεκτροκαρδιογραφήματααφορούν ασθενείς με πιθανή παθολογική καρδιακή λειτουργία;


Σύμπλεγμα QRS

Q

R

S

2 Διάσπαση ραδιενεργών πυρήνωνΈστω μία ποσότητα ενός ραδιενεργού υλικού. Ο αριθμός των ραδιενεργώνπυρήνων που περιέχονται στη δοθείσα ποσότητα ύλης, ελαττώνεται με τοχρόνο, καθώς οι πυρήνες διασπώνται. Αν σε κάποια χρονική στιγμή t υπάρ-χουν N(t) αδιάσπαστοι πυρήνες, τότε ο αριθμός dN(t)=N(t+dt)-N(t) των δια-σπάσεων που πραγματοποιούνται σε χρόνο dt είναι ανάλογος του χρόνου dtκαι του αριθμού N(t) των πυρήνων, δηλαδή dN(t)=-λN(t) ή N-1(t)dN(t)=-λdt,όπου ο συντελεστής λ>0 ονομάζεται σταθερά διάσπασης και εξαρτάται μόνοαπό το είδος των διασπώμενων πυρήνων. Αν ο αριθμός των πυρήνων είναιN0=N(0) στην αρχή του χρόνου, τότε η λύση της παραπάνω εξίσωσης είναιlnN(t)=-λt+lnΝ0 ή N(t)=N0e-λt. Για παράδειγμα, το ισότοπο 131Ι (ιώδιο-131) εί-ναι ραδιενεργό με σταθερά διάσπασης λ=10-6s-1 και χρόνο ημιζωήςT1/2=ln2/λ≈8.02 ημέρες. Για να μετρήσουμε πειραματικά τη σταθερά διάσπα-σης, καταγράφουμε τον αριθμό των αδιάσπαστων πυρήνων τις χρονικέςστιγμές tn, δηλαδή συλλέγουμε τα δεδομένα (tn,N(tn)), για 30 ημέρες. Έπειτα,με χρήση της εξίσωσης lnN(t)=-λt+lnΝ0 κατασκευάζουμε το γραμμικό σύ-στημα Ax=b, όπου o πίνακας A είναι διάστασης 30×2, το διάνυσμα x είναιδιάστασης 2×1 και το διάνυσμα b διάστασης 30×1, του οποίου η λύση επι-τυγχάνεται με τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων, δηλαδή με επίλυσητου συστήματος Α⊤Αx=A⊤b.

ΕΡΓΑΣΙΕΣ

α) Αν είναι γνωστά τα λ=10-6s-1, N0=100, να κατασκευάσετε τα πειραματι-κά δεδομένα (tn,N(tn)), προσθέτοντας τυχαίο, ακέραιο θόρυβο στο διάστημα[-5,+5] για χρόνο διεξαγωγής μετρήσεων 30 ημερών.β) Να κατασκευάσετε και να λύσετε το σύστημα Α⊤Αx=A⊤b.γ) Να σχεδιάσετε τα πειραματικά δεδομένα και την καμπύλη των ελάχι-στων τετραγώνων στο ίδιο σύστημα αξόνων.δ) Να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε το απόλυτο, σχετικό σφάλμα μεταξύτων πειραματικών δεδομένων που κατασκευάσατε και αυτών που προκύ-πτουν από τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων.

50

3 Εκτόξευση πυραύλουΈστω ότι επιθυμούμε να εκτοξεύσουμε έναν πύραυλο και θέλουμε να βρού-με τη βέλτιστη στρατηγική καύσης, ώστε ο πύραυλος να φτάσει το μέγιστοδυνατό ύψος. Δοθείσας στρατηγικής καύσης, πρέπει να μπορούμε να υπολο-γίσουμε το ύψος. Αν m είναι η μάζα του πυραύλου, v η ταχύτητά του, μ η συ-νάρτηση κατανάλωσης καυσίμων σε Kg/s και η δυναμική του πυραύλου πε-ριγράφεται από την εξίσωση m´v+mv´=c1μ-c2v|v|-mg, όπου δεξιά του συμ-βόλου της ισότητας είναι η δύναμη της μηχανής, η αντίσταση του αέρα και ηβαρύτητα. Ο όρος c1μ μοντελοποιεί τη δύναμη της μηχανής και θεωρούμεότι c1=1000m/s, ενώ ο δεύτερος όρος δίνει την αντίσταση του αέρα σαν δύ-ναμη ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας και δεχόμαστε c2=1/3Kg/m. Ηεπιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=9.82m/s2. Ο πύραυλος του παραδείγμα-τος μπορεί να καταναλώσει 10Kg καυσίμων ανά δευτερόλεπτο το πολύ, δη-λαδή 0≤μ≤10 και η μάζα του ελαττώνεται όπως ορίζει η εξίσωση m´=-μ.Χωρίς καύσιμα, ο πύραυλος ζυγίζει 100Kg και αρχικά, τα καύσιμα του ζυγί-ζουν 900Kg, δηλαδή, στην αρχή του χρόνου η συνολική μάζα του συστήμα-τος είναι m(0)=1000Kg. Ενδιαφερόμαστε για το ύψος h από το επίπεδο τηςθάλασσας, και ως εκ τούτου, θεωρούμε ότι βρισκόμαστε σε μία περιοχή μεh(0)=14m και επιπλέον, η αρχική ταχύτητα του πυραύλου είναι v(0)=0m/s.Υπενθυμίζουμε ότι έχουμε h´=v.

ΕΡΓΑΣΙΕΣ

α) Να γράψετε το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων στην κανονικήμορφή u=[h v m]⊤.β) Να λύσετε το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων με την ενσωματω-μένη συνάρτηση lsode (Octave) ή ode45 (Matlab), αν μ=10Kg/s, όταν t≤90sκαι μ=0Kg/s, όταν t>90s.γ) Μπορείτε να βρείτε μία καλύτερη συνάρτηση κατανάλωσης καυσίμωνμ; Υπενθυμίζουμε ότι υπάρχουν μόνο 900Kg καυσίμων. Να περιγράψετε τηστρατηγική σας και να υπολογίσετε το μέγιστο ύψος, στο οποίο φτάνει ο πύ-ραυλος με τη στρατηγική που ορίσατε.


4 Εξάπλωση πυρκαγιάς σε δάσοςΤα κυψελωτά αυτόματα (κ.α.) είναι μαθηματικές μηχανές που αποτελούνταιαπό κελιά/κυψέλες/στοιχεία, των οποίων η κατάσταση καθορίζεται από έναπεπερασμένο σύνολο τοπικών κανόνων. Οι κανόνες ονομάζονται τοπικοί,επειδή χρησιμοποιούν τη γειτονιά του κάθε κελιού σαν είσοδο. Δύο συχνάχρησιμοποιούμενες γειτονιές κ.α. δύο διαστάσεων είναι η περιοχή vonNeumann NN={(0,-1),(-1,0),(0,0),(+1,0),(0,+1)} και η περιοχή Moore, η οποίαπεριέχει και τα στοιχεία (-1,1), (-1,+1), (+1,-1), (+1,+1), όπως στο σχήμα.

(-1,+1) (0,+1) (+1,+1)(-1,0) (0,0) (+1,0)(-1,-1) (0,-1) (+1,-1)

Για να μοντελοποιήσουμε το φαινόμενο της πυρκαγιάς ενός δάσους, ορίζου-με τρεις καταστάσεις για κάθε κελί. Αν ένα κελί είναι άδειο, τότε η κατάστα-ση του είναι 0, αν ένα κελί φλέγεται, τότε η κατάσταση του είναι 1 και αν ένακελί περιέχει δέντρο, τότε η κατάσταση του είναι 2. Επιπλέον, υποθέτουμετοροειδή συμμετρία, δηλαδή οι καταστάσεις των κελιών στην αριστερήπλευρά του δάσους επηρεάζουν και επηρεάζονται από τις καταστάσεις τωνκελιών στη δεξιά πλευρά του δάσους και το ίδιο αληθεύει για τις επάνω καικάτω πλευρές του δάσους. Τέλος, ορίζουμε τους ακόλουθους κανόνες κα-νόνες.1. Αν ένα ή περισσότερα γειτονικά κελιά ενός κελιού με δέντρο φλέγο-νται, τότε η νέα κατάσταση του κελιού με το δέντρο είναι να φλέγεται.2. Ένα φλεγόμενο κελί μετατρέπεται σε άδειο κελί.3. Υπάρχει πιθανότητα 1% ένα άδειο κελί να μετατραπεί σε κελί με δέντρο.4. Υπάρχει πιθανότητα 0.0005% ένα κελί με δέντρο να αρχίσει να φλέγεταιλόγω κάποιου αιτίου (κεραυνός, ανθρώπινη ανευθυνότητα, κ.ο.κ.).

ΕΡΓΑΣΙΑ

Να γράψετε κώδικα που να προσομοιώνει το παραπάνω σύστημα και ναεκτελέσετε πειράματα για διάφορες τιμές πιθανοτήτων στους κανόνες 3, 4.

52

5 Επεξεργασία εικόνας με φίλτραΜία ασπρόμαυρη εικόνα μπορεί να παρασταθεί με έναν πίνακα, τα στοιχείατου οποίου λαμβάνουν τιμές μεταξύ 0 και 1 και παριστάνουν τις αποχρώσειςτου γκρι. Ένας συνήθης τρόπος εφαρμογής ενός γραμμικού, χωρικού φίλ-τρου είναι η συνέλιξη της εικόνας με μία μάσκα, η οποία ορίζει το φίλτρο καιονομάζεται πυρήνας της συνέλιξης. Η μάσκα αυτή περιλαμβάνει τους συ-ντελεστές που δρουν στα τρέχοντα στοιχεία της εικόνας, καθώς η μάσκα με-ταφέρεται μία θέση δεξιά μετά από κάθε εφαρμογή της. Για παράδειγμα,Μάσκα: 1| 1 1Εικόνα: 0| 0 0.5 1 0.5 0.5 |0Έξοδος: 0.5=1·0+1·0+1·0.5Μάσκα: 1 1 1Εικόνα: 0| 0 0.5 1 0.5 0.5 |0Έξοδος: 0.5 1.5=1·0+1·0.5+1·1όπου συμπληρώσαμε την εικόνα με ένα μηδενικό αριστερά και ένα δεξιά,ώστε στην έξοδο να λάβουμε εικόνα ίδιων διαστάσεων με τη δοθείσα. Πα-ρόμοια είναι η κατάσταση σε δύο διαστάσεις, ενώ η μάσκα μετατοπίζεται καιστην κατακόρυφη διεύθυνση, ώστε να καλυφθεί κάθε στοιχείο της εικόνας.Οι συναρτήσεις του Octave για τη συνέλιξη δύο διαστάσεων είναι οιfilter2, conv2, με μόνη διαφορά μία περιστροφή κατά 180 μοίρες. Μπορού-με να εισάγουμε μία εικόνα png στο Octave με τη συνάρτηση imread και νακατασκευάσουμε μία μάσκα η οποία αντικαθιστά κάθε στοιχείο της εικόναςμε το μέσο όρο των γειτνιαζόντων στοιχείων, m=ones(5)/25. Το φίλτρο αυτόέχει ως αποτέλεσμα το θόλωμα της εικόνας. Επιπλέον, παρατηρούμε ότιsum(m(:))=1. Τέλος εφαρμόζουμε το φίλτρο fim=uint8(filter2(m, im)).

ΕΡΓΑΣΙΕΣ

α) Να γράψετε μία συνάρτηση συμπλήρωσης εικόνας με μηδενικά ή με κα-τοπτρική συμμετρία.β) Να εισάγετε μία εικόνα, την οποία να θολώσετε με το φίλτρο m και ναμελετήσετε την επίδραση της συμπλήρωσης στο σύνορο της εικόνας.


6 Πληθυσμιακή δυναμικήΥποθέτουμε ότι θέλουμε να μοντελοποιήσουμε τον πληθυσμό ενός ζωικούείδους. Κάθε χρόνο, ο πληθυσμός αυξάνεται κατά έναν παράγοντα R, τονρυθμό ανάπτυξης. Αυτό σημαίνει ότι αν ο αριθμός των μελών του πληθυ-σμού είναι Nn το χρόνο n, τότε θα είναι RΝn το χρόνο n+1, δηλαδήNn+1=RNn. Για να γίνει το μοντέλο μας πιο ρεαλιστικό, θεωρούμε ότι ο ρυθ-μός ανάπτυξης είναι συνάρτηση του πληθυσμού, δηλαδή R(Nn). Επιπλέον,υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας μέγιστος αριθμός μελών που μπορεί να φιλοξε-νηθεί από το περιβάλλον. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται φέρουσα ικανότηταή χωρητικότητα του περιβάλλοντος και συμβολίζεται Nmax. Τέλος, αν ο πλη-θυσμός τείνει στο Nmax, αναμένουμε ο ρυθμός ανάπτυξης να τείνει στο μη-δέν. Μία συνάρτηση που ικανοποιεί τα παραπάνω κριτήρια έχει τύποR(Nn)=r(1-Nn/Nmax), όπου r είναι μία σταθερά. Με αντικατάσταση του R(Nn)στην Nn+1=RNn παίρνουμε Nn+1=r(1-Nn/Nmax)Nn, η οποία, αν διαιρέσουμε μεNmax και θέσουμε xn=Nn/Nmax γράφεται xn+1=rxn(1-xn) με xn στο διάστημα[0,1]. Περιορίζοντας τις τιμές της παραμέτρου r στο διάστημα [0,4], η συ-νάρτηση με τύπο f(x)=rx(1-x) απεικονίζει το διάστημα [0,1] στον εαυτό του.Η συνάρτηση f ονομάζεται λογιστική απεικόνιση και δοθείσας αρχικής κα-τάστασης x0, η αναδρομική σχέση xn+1=f(xn) παράγει τροχιές x1, x2, ..., το εί-δος των οποίων εξαρτάται από την τιμή του r. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουντιμές του r, για τις οποίες το σύστημα είναι χαοτικό, δηλαδή οι τροχιές δενεμφανίζουν καμία κανονικότητα και μικρές μεταβολές στον αρχικό πληθυ-σμό επιφέρουν δραματικά διαφορετική εξέλιξη σε αυτόν.

ΕΡΓΑΣΙΑ

Να γράψετε μία συνάρτηση logmap(x0,r,k), όπου x0 είναι ο αρχικός πλη-θυσμός, r η σταθερά r και k ο αριθμός των επαναλήψεων, η οποία επιστρέφειτις τροχιές της λογιστικής απεικόνισης. Να σχεδιάσετε το αποτέλεσμα σανχρονοσειρά του xn συναρτήσει του n για x0=0.1, k=100 και για κάθε μία απότις τιμές 2.8, 3.3, 3.5 και 3.9 της παραμέτρου r. Να χαρακτηρίσετε τις τροχιέςσαν τακτικές ή χαοτικές.

54

7 Υπολογισμός του PageRankTM της GoogleTM

Έστω W το σύνολο των n ιστοσελίδων, στις οποίες μπορούμε να φτάσουμεακολουθώντας μία αλυσίδα συνδέσμων, ξεκινώντας από μία αρχική σελίδα.Μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν τετραγωνικό πίνακα μεγέθους n×n, ταστοιχεία του οποίου είναι gij=1, αν υπάρχει σύνδεσμος από τη σελίδα i στησελίδα j, και gij=0 διαφορετικά. Ο πίνακας αυτός ονομάζεται πίνακας συνδε-σιμότητας, συμβολίζεται G και το άθροισμα όλων των στοιχείων του είναι οαριθμός των συνδέσμων του συνόλου W. Αν p=0.85 είναι η πιθανότητα έναςτυχαίος δρόμος να ακολουθήσει ένα σύνδεσμο, τότε 1-p είναι η πιθανότηταεπιλογής τυχαίας σελίδας και δ=(1-p)/n είναι η πιθανότητα επιλογής συγκε-κριμένης τυχαίας σελίδας. Έστω ο πίνακας A με στοιχεία aij=pgij / Σigij+δ,όταν Σigij0, και aij=1/n, όταν Σigij=0. Ο πίνακας A είναι ο πίνακας της πιθα-νότητας μετάβασης της αλυσίδας Markov. Επιπλέον, είναι γνωστό από τοθεώρημα Perron-Frobenius ότι η εξίσωση Ax=1x έχει μοναδική λύση μεαπροσδιοριστία πολλαπλασιαστικής σταθεράς, όπως κάθε πρόβλημα ιδιοτι-μών που έχει λύση. Παρατηρούμε ότι το πρόβλημα ιδιοτιμών αναζητά ταιδιοδιανύσματα x του πίνακα πιθανότητας μετάβασης A και ως εκ τούτου, οισυνιστώσες του x είναι θετικοί αριθμοί, μικρότεροι της μονάδας. Αν επι-λέξουμε την πολλαπλασιαστική σταθερά, ώστε Σixi=1, τότε το x είναι το κα-ταστατικό διάνυσμα της αλυσίδας Markov ή το PageRank της Google.

ΕΡΓΑΣΙΕΣ

α) Να γράψετε τον πίνακα Α στη μορφή A=pGD+ez⊤, όπου e είναι τοδιάνυσμα μήκους n, του οποίου τα στοιχεία είναι 1.β) Να κατασκευάσετε τον πίνακα G με χρήση της συνάρτησης sparse, ανi=[ 2 6 3 4 4 5 6 1 1 ] και j=[ 1 1 2 2 3 3 3 4 6 ]. Να σχεδιάσετετον πίνακα G με τη συνάρτηση spy. Τι παρατηρείτε όσο αφορά το πλήθοςτων μη μηδενικών στοιχείων του G, τα οποία βρίσκονται και με χρήση τηςσυνάρτησης nnz.γ) Να γράψετε κώδικα για τον υπολογισμό του PageRank του δικτύου τουερωτήματος β. Να σχεδιάσετε το αποτέλεσμα με τη συνάρτηση bar.


Βιογραφικό σημείωμα

Ο Φώτιος Κασόλης γεννήθηκε στη Θεσσαλονίκη, όπου και σπούδασε στοτμήμα Φυσικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Συνέχισετις μεταπτυχιακές του σπουδές στον τομέα Μαθηματικής Φυσικής του Πα-νεπιστημίου του Lund/LTH της Σουηδίας και μελέτησε φασματικές με-θόδους χαρακτηρισμού χαοτικών τροχιών Hamiltonian συστημάτων. Επι-πλέον, ολοκλήρωσε τη διδακτορική του διατριβή στον τομέα των Εφαρμο-σμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου του Umeå της Σουηδίας, όπουασχολήθηκε με προβλήματα αντίστροφου σχεδιασμού. Πιο συγκεκριμένα, οιμελέτες του αφορούν στις μαθηματικές πτυχές και στις αλγοριθμικές θεωρή-σεις συνοριακών προβλημάτων Helmholtz, συνδυασμένων με τη μέθοδο τωνπεπερασμένων στοιχείων, τη μέθοδο πλασματικών χωρίων και μεθόδουςβελτιστοποίησης. Μετά την επιστροφή του στην Ελλάδα, εργάζεται ως εκ-παιδευτικός και εκπαιδευτικός συγγραφέας στον ιδιωτικό τομέα, ενώ ταυ-τόχρονα διατηρεί ενεργό ένα μικρό τμήμα των ερευνητικών του ανησυχιών.https://tfion.wordpress.com και www.fb.com/fotioskasolisedu


https://tfion.wordpress.com/

http://www.fb.com/fotioskasolisedu

Επιστημονικός Προγραμματισμός · τρέχουσα συνεδρία,...

Documents

Transcript of Επιστημονικός Προγραμματισμός · τρέχουσα συνεδρία,...