Μονοτονία Συνάρτησης - Γ΄ Λυκείου ΕΠΑΛ

1

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1.

Ορισμός

Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα (α,β), αν για οποιουσδήποτε αριθμούς 1 2x , x

στο (α,β) με 1 2x x ισχύει: 1 2f (x ) f(x )

Σύμφωνα με τον ορισμό σχολιάστε το είδος της μονοτονίας της f(x) στην παρακάτω γραφική παράσταση.

Ορισμός 2

Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα (α,β), αν για οποιουσδήποτε αριθμούς 1 2x , x

στο (α,β) με 1 2x x ισχύει: 1 2f (x ) f(x )

Σύμφωνα με τον ορισμό σχολιάστε το είδος της μονοτονίας της f(x) στην παρακάτω γραφική παράσταση.

Εργασία 1

Σχολιάστε την μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων:

α)

β) y

2

3

4

1

-2

-2

1-1 2 3 x

Μονοτονία Συνάρτησης - Γ΄ Λυκείου ΕΠΑΛ

2

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 .

Η κόκκινη καμπύλη παριστάνει την γραφική παράσταση της f και η μπλε την γραφική παράσταση της f .

Mπορείτε να καταλάβετε την σχέση που συνδέει το πρόσημο της f ΄σε ένα διάστημα Δ, με τη μονοτονία της

συνάρτησης f στο Δ;. Η σχέση αυτή φαίνεται στο επόμενο θεώρημα.

Θεώρημα:

Έστω μία συνάρτηση f , παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β) Αν f ΄(x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του (α,β)

, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (α,β). Αν f ΄(x)<0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του (α,β) ,

τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (α,β).Αν f ΄(x)=0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του (α,β) , τότε

η f είναι σταθερή στο διάστημα (α,β).

Εργασία 2

Διατυπώστε το αντίστροφο του θεωρήματος και εξετάστε αν ισχύει. Δικαιολογήστε την απάντηση σας

παρατηρώντας την συνάρτηση geo4 f(x)=3x .

Μονοτονία Συνάρτησης - Γ΄ Λυκείου ΕΠΑΛ

3

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3.

Μελέτη μονοτονίας με την f ΄

i) Βρίσκουμε την f ΄

ii) Βρίσκουμε τις ρίζες της f ΄

iii) Καταστρώνουμε πίνακα (μονοτ.), όπου τοποθετούμε τις ρίζες της f ΄ και βρίσκουμε το πρόσημό της

iv) Από το πρόσημο της f ΄ στα επί μέρους διαστήματα , συμπεραίνουμε την μονοτονία της f

Εργασία 3

α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f(x)= 2x-1

x

f

f

Επαληθεύστε το αποτέλεσμα

β) Να βρείτε τα διαστήματα

μονοτονίας της συνάρτησης f(x)= -5x+8

Επαληθεύστε το αποτέλεσμα.

γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f(x)= 2x 2x

Επαληθεύστε το αποτέλεσμα α.

x

f

f

x

f ΄

f

Μονοτονία Συνάρτησης - Γ΄ Λυκείου ΕΠΑΛ

4

δ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f(x)=

2-x 2x - 6

Επαληθεύστε το αποτέλεσμα .

ε) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f(x)= χ3 -2χ2 +3

Επαληθεύστε το αποτέλεσμα .

x

f

f

x

f

f

Μονοτονία Συνάρτησης - Γ΄ Λυκείου ΕΠΑΛ

5

στ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης

f(x)= 3-x 3x+1 , x A=[-2,2)

Επαληθεύστε το αποτέλεσμα ανοίγοντας το αρχείο geo2

επιλέγοντας από τους δρομείς τις κατάλληλες ενδείξεις τιμές .

ζ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης

f(x)= 3 2x 3x 3x-10

Επαληθεύστε το αποτέλεσμα ανοίγοντας το αρχείο geo2

επιλέγοντας από τους δρομείς τις κατάλληλες ενδείξεις τιμές .

η) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης

f(x)= 3 2-x 3x 5x-11

Επαληθεύστε το αποτέλεσμα ανοίγοντας το αρχείο geo2

επιλέγοντας από τους δρομείς τις κατάλληλες ενδείξεις τιμές .

θ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f(x)=

xlnx

ι) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f(x)=

2x

x+1

ια) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f(x)=

lnx

x

x

f

f

x

f

f

x

f

f

x

f

f

x

f

f

Μονοτονία Συνάρτησης - Γ΄ Λυκείου ΕΠΑΛ

6

ΕΡΓΑΣΙΑ

Δίνεται η συνάρτηση 3 2f(x)=x 3x 3αx-5 .Να βρεθεί η

τιμή του πραγματικού α , έτσι ώστε η συνάρτηση να είναι

γνησίως αύξουσα.

x

f

f