Ένθετο στη : Συνέχεια συνάρτησης ( Μαθηματικά Γενικής Γ...

2010

Stefanos

www.emathimata.com

26/11/2010

Ένθετο : Συνεχείς συναρτήσεις

http://www.theoriakaipraxi.gr

http://www.emathimata.com

2 Συνζχεια ςυνάρτθςθσ Παραςκευι, 26 Νοεμβρίου 2010

e

m

a

t

h

i

m

a

t

a

t

h

e

a

n

s

w

e

r

i

s

i

n

y

o

u

r

f

a

v

o

r

i

t

e

s

1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

5 10 15 20 25 30

1

1

2

30 20 10 10 20 30

500

1000

1500

2000

2500

Μία επανάλθψθ ςτθ : Συνζχεια ςυνάρτηςησ

Με τον όρο ςυνζχεια ςυνάρτθςθσ εννοοφμε τθν χάραξθ τθσ γραφικισ τθσ παράςταςθσ με μία ςυνεχι γραμμι χωρίσ διακοπζσ . Για παράδειγμα οι ςυναρτιςεισ :

2ςυν3f x x , ln 1g x x και

23 3h x x x είναι ςυνεχείσ

ςυναρτιςεισ όπωσ φαίνεται και από τισ γραφικζσ τουσ παραςτάςεισ που

δίνονται ςτο διπλανό ςχιμα . Πϊσ μποροφμε όμωσ να

διαπιςτϊςουμε αν μια ςυνάρτθςθ είναι

ςυνεχισ χωρίσ να κάνουμε τθ γραφικι

τθσ παράςταςθ ?

Καταρχάσ μζςω του κεωριματοσ ότι :

Οποιαδιποτε από τισ γνωςτζσ ςυναρτιςεισ όπωσ πολυωνυμικζσ ,

τριγωνομετρικζσ , λογαρικμικζσ , εκκετικζσ , άρρθτεσ και ρθτζσ ( με

παρονομαςτι και αρικμθτι πολυϊνυμα ) είναι ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ

ςτο πεδίο οριςμοφ τουσ .

Έτςι αν μασ ηθτθκεί να εξετάςουμε τθ

ςυνζχεια μιασ ςυνάρτθςθσ και αυτι

ανικει ςε μία από τισ κατθγορίεσ του

κεωριματοσ που μόλισ αναφζραμε , τότε

κα λζμε ότι θ ςυνάρτθςθ είναι ςυνεχισ

ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ επικαλοφμενοι

τον τφπο τθσ ςυνάρτθςθσ .

f(x)

g(x)

h(x)




παράδειγμα 1

Να εξετάςετε ωσ προσ τθ ςυνζχεια τισ ςυναρτιςεισ

,2 3 , εφxf x x x g x e h x x

λφςη

Η ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ωσ πολυωνυμικι , θ ςυνάρτθςθ g ωσ

εκκετικι και θ ςυνάρτθςθ h ωσ τριγωνομετρικι

Και αν θ ςυνάρτθςθ είναι πιο περίπλοκθ ?

Εκεί μασ ςϊνει το ακόλουκο κεϊρθμα :

Κάκε πράξθ μεταξφ ςυνεχϊν ςυναρτιςεων είναι ςυνεχισ ςυνάρτθςθ

Έτςι αν μασ ηθτιςουν τθ ςυνζχεια μιασ ςυνάρτθςθσ και διαπιςτϊςουμε

ότι αποτελεί το αποτζλεςμα μιασ πράξθσ ςυναρτιςεων οι οποίεσ είναι

ςυνεχείσ τότε εξθγοφμε ποιϊν ςυνεχϊν ςυναρτιςεων πράξθ αποτελεί θ

δοκείςα ςυνάρτθςθ και διατυπϊνουμε απλά τθ ςυνζχειά τθσ .


Να δείξετε ότι οι παρακάτω ςυναρτιςεισ είναι ςυνεχείσ

α) ln 3f x x x β ) 3 3 4

2ςυν

x xg x

x x

γ)

ln 2 xh x x x e x

λφςη

α) Η ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ωσ διαφορά των ςυνεχϊν

ςυναρτιςεων ln x ( ωσ λογαρικμικι ) και 3 x ( ωσ ριηικό )




β) Η ςυνάρτθςθ g είναι ςυνεχισ ωσ πθλίκο των ςυνεχϊν ςυναρτιςεων 3 3 4x x και 2ςυνx x από τισ οποίεσ θ 3 3 4x x είναι ςυνεχισ ωσ

πολυωνυμικι και θ 2ςυνx x ωσ διαφορά των ςυνεχϊν ςυναρτιςεων

2ςυνx ( ωσ τριγωνομετρικι ) και x ( ωσ πολυωνυμικι )

γ) Η ςυνάρτθςθ h είναι ςυνεχισ ωσ γινόμενο των ςυνεχϊν

ςυναρτιςεων ln 2x x ( ςυνεχισ ωσ διαφορά ςυνεχϊν ) και xe x (

ςυνεχισ επίςθσ ωσ διαφορά ςυνεχϊν ςυναρτιςεων )

Ωραία όλα αυτά , κα μου πείτε , αλλά το όριο ποφ κολλάει ?

Το όριο ζρχεται να ςυνδράμει ςτον οριςμό τθσ ςυνζχειασ μιασ

ςυνάρτθςθσ ςε ζνα ςθμείο 0x του πεδίου οριςμοφ τθσ από τθ μια και

από τθν άλλθ ςτθν διερεφνθςθ τθσ ςυνζχειασ μιασ ςυνάρτθςθσ ςε

κάποιο ςθμείο του πεδίου οριςμοφ τθσ .

Για να δοφμε τα πράγματα πιο αναλυτικά !

Οριςμόσ

Λζμε ότι θ ςυνάρτθςθ f x είναι ςυνεχισ ςε κάποιο 0 fx A αν και μόνο

αν lim0

0x x

f x f x

Ο οριςμόσ μασ λζει λοιπόν ότι μια ςυνάρτθςθ είναι ςυνεχισ ςε κάποιο

ςθμείο του πεδίου οριςμοφ τθσ αν ςτο ςθμείο αυτό ιςχφει : όριο = τιμι

Για να εξετάςουμε λοιπόν τθν ςυνζχεια μιασ ςυνάρτθςθσ ςε κάποιο

ςθμείο 0x του πεδίου οριςμοφ τθσ – προςοχι , θ εξζταςθ μιασ

ςυνάρτθςθσ ζχει νόθμα μόνο ςε ςθμείο του πεδίου οριςμοφ τθσ διότι

ςε ςθμεία εκτόσ πεδίου οριςμοφ απλά δεν υπάρχει ςυνάρτθςθ για να

διαπιςτϊςουμε αν είναι ςυνεχισ – πρζπει ςε αυτό το ςθμείο να

υπολογίςουμε το όριο και τθν τιμι και να δοφμε αν είναι ίςα μεταξφ

τουσ . Αν είναι όριο και τιμι είναι ο ίδιοσ αρικμόσ τότε κα τθ λζμε

ςυνεχι ςε αυτό το ςθμείο , ειδάλλωσ κα τθ λζμε αςυνεχι ςτο ςθμείο

αυτό .




Συναρτιςεισ που ζτςι και αλλιϊσ είναι ςυνεχείσ ςτο πεδίο οριςμοφ τουσ

δεν ζχει νόθμα να τισ εξετάςουμε ωσ προσ τθν ςυνζχεια ςε κάποιο

ςθμείο μια και αποκλείεται να βγάλουμε μια τζτοια ςυνάρτθςθ

αςυνεχι ςε κάποιο ςθμείο αφοφ είναι ςυνεχισ ςε όλα τα ςθμεία του

πεδίου οριςμοφ τθσ

Και εφόςον για τζτοιεσ ςυναρτιςεισ δεν ζχει νόθμα θ εξζταςθ τθσ

ςυνζχειασ τότε για ποιεσ ςυναρτιςεισ ζχει νόθμα και για ποιεσ

ςυναρτιςεισ τελικά κα βοθκιςει το όριο και ο οριςμόσ ?

Θεωρείςτε για παράδειγμα τθν

ςυνάρτθςθ 2

3

, 1

, 1

x xf x

x x

.

Αυτι θ ςυνάρτθςθ αποτελείται από

δφο κλάδουσ όπωσ λζγονται . Τον

κλάδο 2x ο οποίοσ περιγράφει τθν f

για όλα τα x τα μικρότερα του 2 και

τον κλάδο 3x ο οποίοσ περιγράφει τθν

f για όλα τα x τα μεγαλφτερα ι ίςα

του 2. Η γραφικι τθσ παράςταςθ

δίνεται ςτο διπλανό ςχιμα .

Παρατθρείςτε ότι ςτο ςθμείο 1 θ γραφικι παράςταςθ κάνει μια ¨γκζλα

¨ αλλά δεν κόβεται !

Η ςυνάρτθςθ αυτι είναι ςυνεχισ πριν το 1 μετά το 1 και ςτο 1 ακριβϊσ .

Πωσ κα μποροφςαμε να διαπιςτϊςουμε κάτι τζτοιο χωρίσ να κάνουμε

τθν γραφικι τθσ παράςταςθ ?

Απλά , εξετάηουμε τθ ςυνζχεια τθσ ςυνάρτθςθσ ςε κάκε περιοχι γφρω

από το 1 και μετά και ςτο ςθμείο 1 .


Εξετάςτε ωσ προσ τθν ςυνζχεια τθν ςυνάρτθςθ 2

3

, 1

, 1

x xf x

x x




λφςη

Για κάκε x < 1 θ ςυνάρτθςθ ζχει τφπο 2f x x που είναι ςυνεχισ ωσ

πολυωνυμικι

Για κάκε x > 1 θ ςυνάρτθςθ ζχει τφπο 3f x x που είναι ςυνεχισ ωσ (

πάλι ) πολυωνυμικι

Για το x = 1 ζχουμε :

όταν x τείνει ςτο 1 και είναι x < 1 τότε lim lim 2

1 11

x xf x x

όταν x τείνει ςτο 1 και είναι x > 1 τότε lim lim 3

1 11

x xf x x

όταν x = 1 είναι 31 1 1f , άρα lim1

1x

f x f

οπότε f ςυνεχισ

και ςτο x =1 άρα τελικά f ςυνεχισ ςε όλο το R

ΗW : Εξετάςτε ωσ προσ τθ ςυνζχεια τθ ςυνάρτθςθ

2 1 , 1

1

1 , 1

xx

f x x

x x

Υπάρχουν ςυναρτιςεισ οι οποίεσ δεν αλλάηουν τφπο γφρω από κάποιο

ςθμείο αλλά μασ δείχνουν τθν τιμι τουσ ςτο ςθμείο αυτό . Όπωσ για

παράδειγμα θ ςυνάρτθςθ ,

3

2

1 , 1

1

3 1

2

xx

xf x

x

Αυτι θ ςυνάρτθςθ

μασ λζει ότι ζχει τφπο 3

2

1

1

x

x

γφρω από το 1 και ςτο 1 ζχει τιμι 3/2 .

Είναι άραγε ςυνεχισ αυτι θ ςυνάρτθςθ ?




Για 1x θ ςυνάρτθςθ ζχει τφπο 3

2

1

1

x

x

οπότε είναι ςυνεχισ ωσ πθλίκο

ςυνεχϊν ςυναρτιςεων . Το κζμα είναι αν είναι θ ςυνάρτθςθ ςυνεχισ

ςτο 1 . Και γι αυτό το λόγο κα υπολογίςουμε το όριό τθσ ςτο 1 και κα το

ςυγκρίνουμε με τθν τιμι τθσ ςτο 1 δθλαδι με το 2/3 .

Είναι

lim lim lim

23 2

21 1 1

1 11 1 3

1 1 1 1 2x x x

x x xx x x

x x x x

οπότε επειδι

και 3

12

f διαπιςτϊνουμε ότι θ ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο 1

HW : Εξετάςτε ωσ προσ τθ ςυνζχεια τθ ςυνάρτθςθ

,

2 5 6 , 2

2

1 2

x xx

f x x

x

Τζλοσ πρζπει να ποφμε ότι μερικζσ φορζσ κάποιεσ ςυναρτιςεισ είναι

παραμετροποιθμζνεσ και ηθτείται θ τιμι τθσ παραμζτρου τουσ ϊςτε

αυτζσ οι ςυναρτιςεισ να είναι ςυνεχείσ .

Για παράδειγμα θ ςυνάρτθςθ ,

3

2

2 1 , 1

1

2 1

x xx

f x x

a a x

όπου

ενδζχεται να ηθτθκεί θ τιμι τθσ παραμζτρου ϊςτε θ ςυνάρτθςθ να είναι

ςυνεχισ .

Εδϊ απαιτοφμε τθν ςυνζχεια τθσ ςυνάρτθςθσ , δεν τθν εξετάηουμε .

Οπότε κα απαιτιςουμε να είναι όριο και τιμι το ίδιο πράγμα δθλαδι

κα ποφμε : πρζπει lim1

1x

f x f

, κα υπολογίςουμε το όριο , κα το

εξιςϊςουμε με τθν τιμι και κα υπολογίςουμε τθν τιμι τθσ παραμζτρου

α .





Βρείτε τον πραγματικό α ϊςτε θ ςυνάρτθςθ ,

3

2

2 1 , 1

1

2 1

x xx

f x x

a a x

να είναι ςυνεχισ

λφςη

Η ςυνάρτθςθ για κάκε 1x ζχει τφπο 3 2 1

1

x x

x

οπότε είναι ςυνεχισ

ωσ πθλίκο ςυνεχϊν ςυναρτιςεων . Για να είναι θ f ςυνεχισ ςε όλο το

πεδίο οριςμοφ τθσ ( δθλαδι εδϊ το R ) πρζπει να είναι ςυνεχισ και ςτο

x = 1 άρα πρζπει : lim1

1x

f x f

με

lim lim lim lim

232

1 1 1 1

1 12 11 1

1 1x x x x

x x xx xf x x x

x x

και 21 2f a a δθλαδι πρζπει

22 22 1 0 2 1 1 0 1 0 1a a a a a a a

Άρα για α = 1 θ ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ

HW : Βρείτε το α ϊςτε να είναι ςυνεχισ θ ςυνάρτθςθ

,

4

2

16 , 2

2

8 2

xx

f x x

a x

Ένθετο στη : Συνέχεια συνάρτησης ( Μαθηματικά Γενικής Γ...

Documents

Transcript of Ένθετο στη : Συνέχεια συνάρτησης ( Μαθηματικά Γενικής Γ...