Γραμμικά Συστήματα
8
Συνδυαστικά Θέματα 1. (Συστήματα και Πιθανότητες) Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει: ൞ Ρ ሺ Α ሻ Ρ ሺ Β΄ ሻ ൌ ͳͳ ͳʹ Ρ ሺ Α΄ ሻ െ ߏሺ ߀ሻ ൌ ͷ ͳʹ a) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α΄) και Ρ(Β΄) b) Επιπλέον γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α και να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι ίση με 1/12. i. ) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β. ii. ) Να λύσετε το σύστημα: ቐ ሺ ሻ ȉ ሺ ͷ ሻ ൌ ͺെ൫ሺ െ ሻ ሺ െ ሻ൯ȉሺെͳሻ ሺΩሻ ʹ ൌ ʹͺ ͵ െ ሺሻ ͵ 2. (Πρόοδοι και Συστήματα) Δίνεται αριθμητική πρόοδος (α ν ) και τα σύστημα: ൜ ሺ ͳെ ሻ ൌ ͷെሺെͳሻ ሺʹሻ ଶ െ ሺ െͳ ሻ ൌ ଶ െሺͳሻ ଶ το οποίο έχει λύση τη: ሺ ǡ ሻ ൌ ሺ ߙହ ߙ ǡ ߙଵଶ ʹ ߙସ ሻ a) Να βρείτε τον πρώτο όρο α 1 και τη διαφορά ω της αριθμητικής προόδου (α ν ). b) Να βρείτε ποιος όρος της (α ν ) ισούται με το 500. c) Να λύσετε το σύστημα: ൝ ͳͷ ሺ ݔ͵െʹ ݕሻ െ ߙଵଷ ሺ ݔʹെ ݕെ ሻ ൌ ଵହ െ െ ߙ ʹ ൌ ͳ ͵ Ͷ όπου ଵହ το άθροισμα των πρώτων 15 όρων της (α ν ). 3. Δίνονται τα παρακάτω συστήματα: ሺ Σ ଵ ሻ൜ ݔʹ ݕߚൌͺ െ ሺ ߙെͳ ሻ ݕൌ͵ και ሺ Σ ଶ ሻ൜ ሺ α െ ͳ ሻ ݔെʹ ݕߚൌെ ߚα ݔെʹ ሺ ߚെʹ ሻ ݕൌʹ ߙΤο ሺ Σ ଵ ሻ έχει μοναδική λύση. a) Να αποδείξετε ότι και το ሺ Σ ଶ ሻ έχει μοναδική λύση. b) Έστω ሺ ݔ ǡ ሻ η μοναδική λύση του ሺ Σ ଶ ሻ Ǥ i. ) Να βρείτε τα ݔ ǡ συναρτήσει των α, β. ii. ) Αν επιπλέον ισχύει ότι: ݔ ଶ Ͷ ଶ ൌ ʹ െ ͳʹ െ ͳͲ να λύσετε το ሺ Σ ଵ ሻ 4. (Συστήματα και Πιθανότητες) Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω= {-3, -2, -1, 0, 1, 2} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Θεωρούμε το σύστημα: ሺ Σ ሻቊ λെ ሺ ʹλ ͳ ሻ ൌͳ ሺ λ െ ʹ ሻ ൫λ ଶ ʹ൯ൌ λ െ ʹ και τα ενδεχόμενα: • Α ൌ ሼλ אΩ Ȁ το ሺ Σ ሻ έχει μοναδική λύσηሽ • Β ൌ ሼ λ אΩ Ȁ το ሺ Σ ሻ είναι αδύνατο ሽ Ǥ Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ ሺ Α ሻ ǡ Ρ ሺ Β ሻ ǡ Ρ ሺ Α תΒ ሻ και ΡሺΑ΄ െ Βሻ
-
Upload
peinirtzis -
Category
Education
-
view
132 -
download
0
Transcript of Γραμμικά Συστήματα
Συνδυαστικά Θέµατα
1. (Συστήµατα και Πιθανότητες) Έστω Α και Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω για τα
οποία ισχύει:
ΡΑ ΡΒ΄ ΡΑ΄
a) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α΄) και Ρ(Β΄)
b) Επιπλέον γνωρίζουµε ότι η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί το Α και να µην
πραγµατοποιηθεί το Β είναι ίση µε 1/12.
i. ) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγµατοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β.
ii. ) Να λύσετε το σύστηµα:
Ω 2. (Πρόοδοι και Συστήµατα) ∆ίνεται αριθµητική πρόοδος (αν) και τα σύστηµα:
το οποίο έχει λύση τη: ! " a) Να βρείτε τον πρώτο όρο α1 και τη διαφορά ω της αριθµητικής προόδου (αν).
b) Να βρείτε ποιος όρος της (αν) ισούται µε το 500.
c) Να λύσετε το σύστηµα:
#$ % !&$ % '! ( ) όπου '! το άθροισµα των πρώτων 15 όρων της (αν).
3. ∆ίνονται τα παρακάτω συστήµατα: Σ!* $ +% % και Σ*α $ +% +
α$ + % Το Σ! έχει µοναδική λύση.
a) Να αποδείξετε ότι και το Σ έχει µοναδική λύση.
b) Έστω $, , η µοναδική λύση του Σ- i. ) Να βρείτε τα $, , συναρτήσει των α, β.
ii. ) Αν επιπλέον ισχύει ότι: $, ), , , .
να λύσετε το Σ! 4. (Συστήµατα και Πιθανότητες) ∆ίνεται ο δειγµατικός χώρος Ω= -3, -2, -1, 0, 1, 2 µε ισοπίθανα
απλά ενδεχόµενα. Θεωρούµε το σύστηµα: Σ / λ λ λ λ λ και τα ενδεχόµενα:
• Α 0λ 1 Ω*2*το*Σ*έχει*µοναδική*λύση3 • Β 0λ 1 Ω*2*το*Σ*είναι*αδύνατο3-
Να βρείτε τις πιθανότητες ΡΑΡΒΡΑ 4 Β*και*ΡΑ΄ Β
Άσκ. 1
Άσκ 2
Άσκ 3
Άσκ. 4
