Σελίδα 1 από 3

Επώνυμο Όνομα

Κυριακή 23/02/2014

Τμήμα Ημερομηνία

ΘΕΜΑ Α

Α1. Δίνεται ο κύκλος ( C ) : x2 + y2 = ρ2 και Α(x1 , y1 ) ένα σημείο του.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου ( C ) στο Α είναι:

x1x + y1y = ρ2 .

Μονάδες 10

Α2. Να γράψετε την εξίσωση ευθείας (ε) που διέρχεται από σημείο Α( x0 ,y0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.

Μονάδες 5

Α3. Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις μία είναι η σωστή απάντηση.

Να γράψετε στην κόλλα σας το γράμμα που αντισ τοιχεί στη σωστή απάντηση.

i . Ο κύκλος x2 + (y - κ)2 = κ2

Α. εφάπτεται στον άξονα x΄x

Β. διέρχεται απ’ το σημείο Α(κ , 0)

Γ. εφάπτεται στον άξονα y΄y ii . Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ με Α(0,0) ,Β(3,1) , και Γ(5,3) είναι ίσο με : Α. 1 Β. 8 Γ. 4 Δ. 5 Ε. 2

iii . Η ευθεία ε: y = x + 5 και ο κύκλος c: x2 + y2 = 2

Α. τέμνονται Β. εφάπτονται Γ. δεν έχουν κοινά σημεία

iv. Η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x2 + y2 = ρ2 στο σημείο του

Μ(ρσυνθ , ρημθ) είναι:

Α. x + y = ρ Β. συνθ x + ημθ y = ρ2 Γ. συνθ x + ημθ y = ρ

v. Οι κύκλοι C1 : (x - 2)2 + y2 = 4 και C2 : x2 - 2x + y2 = 0

Α. τέμνονται σε δύο σημεία Β. δεν έχουν κοινά σημεία

Γ. εφάπτονται εξωτερικά Δ. εφάπτονται εσωτερικά

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Β .1. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(2λ -1,3λ+2), Β(1,2) και Γ(2,3)

με 2R .

Διαγώνισμα

Βαθμός (κλίμακα του 100)

Υπογραφή καθηγητή

Μαθηματικά Κατ. Εξεταζόμενο μάθημα

Β΄ Λυκείου Τάξη

Ζαχαριάδης Γιώργος Μάγκος Μιχάλης Μπούρας Θάνος

Πλουμάκης Κώστας Καθηγητές

Σελίδα 2 από 3

i . Να δείξετε ότι η κορυφή Α κινείται σε δύο ημιευθείες για κάθε 2R .

Μονάδες 7

ii . Αν λ = 1, τότε να προσδιορίσετε τον κύκλο που έχει κέντρο το σημείο Α

και εφάπτεται στην ευθεία ΒΓ.

Μονάδες 8

Β.2. i . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x2 + y2 − 2x − 4y − 20 = 0 παριστάνει

κύκλο (C) του οποίου να βρείτε το κέντρο κα ι την ακτίνα.

Μονάδες 5

i i . Να δείξετε ότι η ευθεία (ε) : 3x + 4y + 8 = 0 τέμνει τον κύκλο (C) σε δύο

σημεία Α και Β και να βρείτε το μήκος της χορδής ΑΒ.

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται τα σημεία A(- 2,1) , B (3,5) και Γ (2, 4) . Γ1. Να δειχθεί ότι τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου.

Μονάδες 3 Γ2. Ένα μεταβλητό σημείο Μ(x, y) έχει την ιδιότητα (ΜΒΓ) = 3 (ΑΒΓ). Να δειχθεί ότι το Μ κινείται σε δύο παράλληλες ευθείες με εξισώσεις ε1 : y = x -1 και ε2 : y = x + 5.

Μονάδες 6 Γ3. Να βρεθεί η εξ ίσωση της μεσοπαράλληλης των ε1 , ε2 .

Μονάδες 5 Γ4. Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου που οι δύο του πλευρές

βρίσκονται στις ευθείες ε1 , ε2 .

Μονάδες 5

Γ5. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Α και εφάπτεται

στην ευθεία ΒΓ.

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Δ

Έστω η εξίσωση 2 2 2( ) : 4 2 2 5 16 11 0c x y x y με .

Δ1 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (c ) παριστάνει ίσους κύκλους για κάθε

που δεν διέρχονται από σταθερά σημεία.

Μονάδες 5

Δ2 . Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων (c ) βρίσκονται σε σταθερή

ευθεία για κάθε .

Μονάδες 5

Σελίδα 3 από 3

Δ3 . Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι (c ) εφάπτονται σε δυο σταθερές ευθείες για

κάθε .

Μονάδες 5

Δ4 . Να αποδείξετε ότ ι από την αρχή των αξόνων διέρχονται δυο μόνο κύκλοι

της μορφής (c) .

Μονάδες 4

Δ5. Έστω (C1 ) ο κύκλος για λ= -1. Να δείξετε ότι το σημείο Μ(5, -1) είναι

εξωτερικό του C1 και να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση που

απέχει το Μ από τον κύκλο (C1 )

Μονάδες 6

Να έχετε επιτυχία

Επιμέλεια: