ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΟΤ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΣΟ:

2

2

0

sin xI dx

x

Με δεδομένο ότι:

0

sin 1

2

xdx

x

(1)

θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα:

2

2

0

sin xI dx

x

(2)

Για τον υπολογισμό λοιπόν του ολοκληρώματος στη σχέση (2),

θεωρούμε το γενικότερο ολοκλήρωμα (με παράμετρο λ):

2

2

0

sin ( )( )

xI dx

x , 0

(3)

Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα (3), κάνοντας

χρήση της μεθόδου της «παραμετρικής διαφόρισης».

Παραγωγίζουμε λοιπόν και τα δύο μέλη της σχέσης (3) ως προς την

παράμετρο λ και έχουμε:

2

2

0

( ) sin ( )dI d xdx

d d x ή

2

2

0

( ) 1[sin ( )]

dI dx dx

d d x ή

2

0

( ) 2 sin( )cos( )dI x x xdx

d x ή

0

( ) 2sin( )cos( )dI x xdx

d x ή

0

( ) sin(2 )dI xdx

d x

(4)

Θέτοντας: 2y x , οπότε:

2

yx ,

1

2dx dy

και αντικαθιστώντας στην (4), παίρνουμε:

0

( ) sin 1

2

2

dI ydy

yd ή

0

( ) sindI ydy

d y

(5)

Όμως έχουμε ως δεδομένο (σχέση (1))ότι:

0

sin 1

2

ydy

y

(6)

Έτσι λοιπόν από τις σχέσεις (5) και (6) έχουμε:

( ) 1

2

dI

d ή

1( )

2I C

(7)

Προκειμένου να υπολογίσουμε τη σταθερά C , κάνουμε χρήση

του γεγονότος ότι για 0 , το αντίστοιχο ολοκλήρωμα γίνεται:

(0) 0I και τότε η (7) δίνει:

0C (8)

Από τις (7) και (8) έχουμε:

1( )

2I

0

(9)

Θέτοντας λοιπόν στην (7), 1 παίρνουμε:

1(1)

2I ή

2

2

0

sin 1

2

xdx I

x

(10)

Η συνάρτηση: sin

sin ( )x

c xx

Η συνάρτηση sin ( )c x (cardinal sine), ονομάζεται και

«συνάρτηση δειγματολειψίας», εμφανίζεται συχνά στην θεωρία των

μετασχηματισμών Fourier και στην επεξεργασία σημάτων

(“sampling function”) και ορίζεται:

sin

sin ( )x

c xx

, για 0x

sin ( ) 1c x , για 0x

Η συνάρτηση sin ( )c x (Wolfram Mathworld)

To ολοκλήρωμα από 0 μέχρι x της συνάρτησης sin ( )c x , είναι η

συνάρτηση Sine Integral(x):

0

sin( ) ( )

xt

SineIntegral x Si x dtt

Η συνάρτηση Sine Integral(x)

Ας δούμε και τη γραφική παράσταση της

2

2

sin x

x

Η συνάρτηση

2

2

sin x

x (Graph 4.3)

ΑΤΓΟΤΣΟ 2013

ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ ΓΙΑΝΝΗ