Νίκος Μ. Ματζάκος nikmatz@mail.ntua.gr 1

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΑΠΛΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Για να αναλύσω µια ρητή συνάρτηση σε απλά κλάσµατα αρχικά εξετάζω τον βαθµό του αριθµητή και του παρονοµαστή και έτσι αν:

• ο βαθµός του αριθµητή είναι > του βαθµού παρονοµαστή τότε κάνουµε

την διαίρεση ( ) ( )( )( ) ( )f x v xp xg x h x

= + και στην συνέχεια αναλύω το ( )( )v xh x

σε

απλά κλάσµατα (βήµα 2). • ο βαθµός του αριθµητή είναι < του βαθµού παρονοµαστή, τότε αναλύω

σε απλά κλάσµατα (βήµα 2).

Βήµα 1 ∆ιαίρεση Πολυωνύµων Θα θυµηθούµε την διαίρεση πολυωνύµων µέσω ενός παραδείγµατος

Έστω η ρητή συνάρτηση 3

2

3 25 6

x xx x− +− +

. Ο βαθµός του αριθµητή είναι

µεγαλύτερος του βαθµού του παρονοµαστή άρα διαιρώ.

23

3 2

2

2

5 63 255 6

0 5 9 25 25 30

16 28

x xx xxx x x

x xx x

x

− +− ++− +

−− +

− − +

−

άρα 3

2 2

3 2 16 2855 6 5 6

x x xxx x x x− + −

= + +− + − +

Νίκος Μ. Ματζάκος nikmatz@mail.ntua.gr 2

Βήµα 2 Ανάλυση σε απλά κλάσµατα: Παραγοντοποιούµε τον παρονοµαστή ( )g x και εάν α) Το ( )g x έχει µια πραγµατική ρίζα τότε στην ρίζα αυτή αντιστοιχεί ένας

όρος της µορφής :1 2

Aa x a+

β) Το ( )g x έχει µια πραγµατική ρίζα µε πολλαπλότητα ν τότε στην ρίζα αυτή αντιστοιχεί ένας όρος της µορφής:

( ) ( )1 2

21 2 1 2 1 2

... AA Aa x a a x a a x a

νν+ + +

+ + +

γ) Το ( )g x έχει ένα ζεύγος µιγαδικών ριζών τότε στην ρίζα αυτή αντιστοιχεί

ένας όρος της µορφής: 21 2 3

Ax Ba x a x a

++ +

δ) Το ( )g x έχει ένα ζεύγος µιγαδικών ριζών µε πολλαπλότητα ν τότε στην ρίζα αυτή αντιστοιχεί ένας όρος της µορφής:

( ) ( )

1 1 2 222 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

... A x BA x B A x Ba x a x a a x a x a a x a x a

ν νν

++ ++ + +

+ + + + + +

Παράδειγµα : (2 ρίζες πραγµατικές)

Να αναλυθεί σε αλά κλάσµατα η 2

5 32 3x

x x−

− −

Λύση:

Αναλύω το κλάσµα ως εξής 2

5 3 2, 32 3 1 3x A B A B

x x x x−

= + ⇒ = =− − + −

Παράδειγµα : (1 ρίζα πραγµατική πολλαπλότητας 2)

Να αναλυθεί σε αλά κλάσµατα η 2

6 74 4x

x x+

+ +

Λύση:

Αναλύω το κλάσµα ως εξής 2 2

6 7 6, 74 4 2 ( 2)x A B A B

x x x x+

= + ⇒ = = −+ + + +

Νίκος Μ. Ματζάκος nikmatz@mail.ntua.gr 3

Παράδειγµα: (2 ρίζες συζυγής µιγαδικές και 1 ρίζα πραγµατική πολλαπλότητας 2)

Να αναλυθεί σε αλά κλάσµατα η 2 2

2 4( 1)( 1)

xx x− ++ −

Λύση:

Αναλύω το κλάσµα ως εξής ( )22 2 2

2 4( 1)( 1) 1 1 1

x Ax B C Dx x x x x− + +

= + ++ − + − −

Παράδειγµα: (2 συζυγής µιγαδικές και 2 πραγµατικές)

Να αναλυθεί σε αλά κλάσµατα η 2

4 1xx −

Λύση:

Αναλύω το κλάσµα ως εξής 2

4 21 1 1 1x Ax B C Dx x x x

+= + +

− + + −

Παράδειγµα (2 συζυγής µιγαδικές πολλαπλότητας 2)

Να αναλυθεί σε αλά κλάσµατα η 3 2

2 2

2 5( 2)x xx− ++

Λύση: Αναλύω το κλάσµα ως εξής

( )3 2

22 2 2 2

2 5( 2) 2 2

x x Ax B Cx Dx x x

− + + += +

+ + +2, 1, 1, 2A B C D⇒ = = − = =

Παράδειγµα (3 πραγµατικές ρίζες)

Να αναλυθεί σε αλά κλάσµατα η 2 1

( 1)( 2)( 3)x

x x x+

− − −

Λύση:

Αναλύω το κλάσµα ως εξής 2 1

( 1)( 2)( 3) 1 2 3x A B C

x x x x x x+

= + +− − − − − −

Νίκος Μ. Ματζάκος nikmatz@mail.ntua.gr 4

Παράδειγµα (Ο βαθµός του αριθµητή µεγαλύτερος του βαθµού του παρονοµαστή) Λύση:

23

3 2

2

2

5 63 255 6

0 5 9 25 25 30

16 28

x xx xxx x x

x xx x

x

− +− ++− +

−− +

− − +

−

άρα 3

2 2

3 2 16 2855 6 5 6

x x xxx x x x− + −

= + +− + − +

αναλύω το 16 28( 2)( 3)

xx x

−− −

σε απλά κλάσµατα:

16 28 ... 4, 20( 2)( 3) 2 3

x a b a bx x x x

−= + ⇒ ⇒ = − =

− − − −