αλληλεπίδραση εδάφους-ανωδομής

70 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2007 Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2007 Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 71

ΠερίληψηΣτην παρούσα εργασία μελετήθηκαν αναλυτικές και προσεγγιστικές λύσεις ομοιογενών καθώς και ανομοιογενών εύκαμπτων πλακών επί εδάφους. Οι λύσεις αφορούν στο πεδίο των μετατοπίσεων για λε-πτές, ελαστικές, κυκλικές πλάκες υπό εγκάρσιο σημειακό φορτίο στο κέντρο τους. Στη συνέχεια, οι μετατοπίσεις αυτές ολοκληρώθηκαν πάνω στην επιφάνεια της πλάκας, για να προκύψουν δείκτες εμπέδη-σης (impedance functions) ή δείκτες δυσκαμψίας (stiffness indices) που βρίσκουν εφαρμογή σε προβλήματα αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής (soil-structure interaction).

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Μια εφαρμογή των πλακών είναι σε θεμελιώσεις του τύπου της γενικής κοιτόστρωσης [1]. Ως γνωστόν, αυτές πα-ρουσιάζουν γενικώς πολύ καλή μηχανική συμπεριφορά, αλλά υψηλότερο κόστος σε σχέση με συστήματα πεδιλοδοκών. Ένας τρόπος μείωσης του κόστους και βέλτιστης χρήσης του υλικού θα ήταν η κατασκευή ανομοιογενών πλακών με συνε-χή ελάττωση του πάχους τους μακριά από τα σημεία φόρτισης [2]. Ταυτόχρονα, οι πλάκες αυτές θα πρέπει να παρουσιάζουν εξίσου καλή συμπεριφορά με τις ομοιογενείς, ειδικά σε περι-πτώσεις σημειακών φορτίσεων (όπως, π.χ., όταν ένας στύλος εδράζεται σε εκτεταμένη πλάκα θεμελίωσης). Το μεταβλητό πάχος της πλάκας μπορεί να διέπεται από διάφορες μαθημα-τικές συναρτήσεις, όπως εκθετική, πολυωνυμική, κ.λ.π. Οι αναλυτικές λύσεις για πλάκες που παρουσιάζουν γεωμετρική ανομοιογένεια είναι εξαιρετικά επίπονες από μαθηματικής πλευράς, με αποτέλεσμα να έχουν εξετασθεί σχετικά λίγες περιπτώσεις [3]. Από πρόσφατες μελέτες, αναφέρουμε την περίπτωση χρήσης της μαθηματικής τεχνικής της σύμμορφης απεικόνισης σε συνδυασμό με το μετασχηματισμό Radon [4], για την ανάλυση πλακών με ανομοιογένεια που διέπεται από τη μορφή της απεικόνισης και αντιστοιχεί σε κυκλικές πλά-κες με πάχος που μεταβάλλεται εκθετικά ή και αντιστρόφως, ανάλογα με την ακτίνα [5]. Οι πλάκες στηρίζονται στον ελα-στικό ημίχωρο, η δε απλά εδραζόμενη πλάκα αποτελεί ειδική περίπτωση. Η παραπάνω τεχνική ανήκει σε μια ευρύτερη μεθοδολογία που ξεκινά με αφετηρία τη σύμμορφη απεικό-νιση [6] και ακολούθως χρησιμοποιείται για την εξεύρεση

θεμελειωδών λύσεων για πολλές κατηγορίες προβλημάτων της μηχανικής των ανομοιογενών υλικών [7].

Οσον αφορά προσεγγιστικές λύσεις, κατά κανόνα χρησι-μοποιείται η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ) [8] και συγκεκριμένα εκπονούνται τρισδιάστατα μοντέλα για τις συνήθεις στατικές αναλύσεις με τη βοήθεια προγραμμά-των ανάλυσης σε Η/Υ, όπως είναι π.χ., το πρόγραμμα Nastran [9]. Μια πλέον εξειδικευμένη αριθμητική μέθοδος για ορι-σμένες κατηγορίες προβλημάτων είναι η μέθοδος των συνο-ριακών στοιχείων (ΜΣΣ), που χρησιμοποιεί τις θεμελιώδεις λύσεις πλακών υπό σημειακή φόρτιση [10] ως πυρήνες στα ολοκληρώματα πεδίου γύρω από την περίμετρο του φορέα, με αποτέλεσμα την επίτευξη μεγάλης ακρίβειας στη ζητούμενη λύση [11]. Η ΜΣΣ έχει βρεί εφαρμογές σε σύνθετα προβλή-ματα πλακών [12], όπως είναι η πλάκα με μεταβλητό πάχος υπό συνθήκες δυναμικής φόρτισης [13], η πλάκα με ελαστική έδραση [14] ή επί του ημίχωρου [15], η αλληλεπίδραση πλά-κας με το περιβάλλον εδάφος [16], κ.λ.π..

Η μηχανική συμπεριφορά κατασκευών που εδράζονται σε ενδόσιμα εδάφη και υπόκεινται σε δυναμικές φορτίσεις, εξαρ-τάται σε μεγάλο βαθμό από τα χαρακτηριστικά του εδάφους και της θεμελίωσης [17]. Η πλήρης ανάλυση του προβλήμα-τος επιβάλει να ληφθούν υπόψη και οι δυνάμεις αλληλεπί-δρασης που αναπτύσσονται μεταξύ κατασκευής και εδάφους [18], το οποίο κατά κανόνα συνοδεύεται από υψηλό υπο-λογιστικό κόστος. Απλοποιημένες λύσεις του προβλήματος αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής που έχουν προταθεί στο παρελθόν και χρησιμοποιούνται επιτυχώς, μετατρέπουν το σύστημα άκαμπτης θεμελίωσης-ενδοσίμου εδάφους σε μια σειρά ελατηριακών σταθερών, σημειακών αποσβεστήρων και μαζών [19], που μπορούν να ενσωματωθούν σε πρόγραμμα της ΜΠΣ για την ανάλυση της κατασκευής. Επίσης, η θεώρη-ση της θεμελίωσης ως άκαμπτο σώμα οφείλει να αρθεί, όταν αναμένεται πως η πλάκα θα παραμορφωθεί σημαντικά [20]. Οι πλάκες γενικής κοιτόστρωσης που εξετάζονται εδώ θεω-ρούνται ως εύκαμπτες, τόσο αυτές με σταθερό πάχος, όσο και οι ανομοιογενείς που το πάχος τους περιορίζεται σημαντικά μακριά από το σημείο φόρτισης. Συγκεκριμένα, η θεμελίωση συμμετέχει στο συνολικό πρόβλημα ως ελαστικό σώμα υπό εξωτερική φόρτιση, με αποτέλεσμα να αναπτύσσονται εσω-

Δείκτες Δυσκαμψίας για Προβλήματα Αλληλεπίδρασης Εδάφους–Κατασκευής

Γ. Δ. ΜΑΝΩΛΗΣ Η. Α. ΠΑΡΑΣΚΕΥΟΠΟΥΛΟΣ Κ. Π. ΠΛΑΤΣΟΥΚΑΣΚαθηγητής Α.Π.Θ. Διπλ. Πολ. Μηχ., Διδάκτωρ Α.Π.Θ. Διπλ. Πολ. Μηχ., Μ.Δ.Ε.

Υποβλήθηκε: 19.1.2005 Έγινε δεκτή: 15.6.2007


τερικές δυνάμεις και παραμορφώσεις [21]. Τέλος, μόνο με τη θεώρηση της πεπερασμένης δυσκαμψίας της πλάκας θεμελί-ωσης είναι δυνατόν να αξιολογηθεί ρεαλιστικά η πρόταση της χρήσης ελατηριακών σταθερών για ανομοιογενείς πλάκες μεταβλητού πάχους σε θεμελιώσεις γενικής κοιτόστρωσης και να γίνουν οι σχετικές συγκρίσεις με τις συνήθεις πλάκες σταθερού πάχους.

2. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ

α λόγος αντίδρασης εδάφους προς εξωτερικό φορτί-ο, ψx,ψy συνολικές στροφές παραμορφωμένης θέσης, γxz,γyz στροφές λόγω διατμητικών παραμορφώσεων,w,x,w,y στροφές λόγω βυθίσεων,D, K(r) δυσκαμψία πλάκας,Ε0 μέτρο ελαστικότητας εδάφους,Εs μέτρο συμπιεστότητας εδάφους,s απόσταση θέσης-φορτίου στο επίπεδο της πλάκας,β σταθερά αντίδρασης εδάφους.

3. ΟΜΟΙΟΓΕΝΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΙΣ ΠΛΑΚΕΣ

Οι πλάκες που εξετάζονται στην παρούσα εργασία είναι λεπτές, ελαστικές, κυκλικές πλάκες με μικρές βυθίσεις και εγκάρσια σημειακή φόρτιση στο κέντρο τους. Ως ομοιογε-νής πλάκα ορίζεται η πλάκα σταθερού πάχους h, ενώ ως ‘εκθετικά’ και ‘τετραγωνικά’ ανομοιογενείς ορίζονται οι πλάκες μεταβλητού πάχους (σχήμα 1), που διέπονται από τις παρακάτω εξισώσεις:

§ ‘εκθετικά’ ανομοιογενής: � 3 21 )( rehrh �� (1)

§ ‘τετραγωνικά’ ανομοιογενής: �3 22

4

1)(

rhrh

�� (2)

h (r)2

1h (r)

r

P

r

r

h

P

P

r

r

r

Σχήμα 1: Περιπτώσεις πλακών. Figure 1: Various types of plates.

Το υπέδαφος της θεμελίωσης (πλάκας) έχει τα εξής χα-ρακτηριστικά:§ έδαφος τύπου Winkler (σχήμα 2), § ελαστικός ημίχωρος (σχήμα 3).

Διακρίνονται πέντε κατηγορίες εδαφών [1] για να μελετη-θεί η επιρροή του εδάφους στο πρόβλημα αλληλεπίδρασης.

Z, w

r

k

Σχήμα 2: Πλάκα επί εδάφους τύπου Winkler.Figure 2: Plate on Winkler foundation.

Σχήμα 3: Πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου (b=4a) με ελατήρια δυ-σκαμψίας k στα σύνορα.

Figure 3: Plate on elastic half-space (b=4a) with spring constants k at the boundaries.

Το μέτρο συμπιεστότητας του εδάφους Es [kN/m2] συν-δέεται με το μέτρο ελαστικότητας Ε0 [kN/m2] μέσω της σχέσης

200

00

21

)1(

��

��

EEs (3)

και με το μέτρο δυστμησίας G0 [kN/m2] ως εξής:

)1(2 000 �� GE (4)Συνοψίζοντας, οι περιπτώσεις που εξετάζονται στην πα-

ρούσα εργασία είναι οι εξής:§ ομοιογενής πλάκα επί εδάφους τύπου Winkler,


§ ομοιογενής πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου,§ ‘εκθετικά’ ανομοιογενής πλάκα επί ελαστικού ημιχώ-

ρου,§ ‘τετραγωνικά’ ανομοιογενής πλάκα επί ελαστικού ημι-

χώρου.Όλες οι παραπάνω επιλύονται αναλυτικά ακολουθώντας

τη μεθοδολογία της εργασίας [5], όσο και προσεγγιστικά με τη ΜΠΣ και το πρόγραμμα Η/Υ Nastran [9].

4. ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΑΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ

Εξετάζονται ελαστικές, κυκλικές πλάκες μικρού πάχους h σε σχέση με την ακτίνα (h/r < 0.1), υπό εγκάρσια σημει-ακή φόρτιση στο κέντρο τους. Θεωρούνται άπειρα εκτεινό-μενες, με την έννοια ότι το εντατικό πεδίο φθίνει σε μεγάλη απόσταση από το σημείο εφαρμογής του φορτίου. Ισχύει η θεωρία των ‘μικρών’ βυθίσεων, καθώς και η παραδοχή του Kirchhoff [2].

x

x

w

zP

u=-z��

w,x, u

x

Σχήμα 4: Μεγέθη κάμψης πλακών.Figure 4: Deformation field in the plate.

Η κλίση της μέσης επιφάνειας ως προς κάθε διεύθυνση θεωρείται ίση με τη γωνία που σχηματίζουν η εφαπτομένη της παραμορφωμένης επιφάνειας με το μέσο επίπεδο x-y, ενώ αγνοούνται οι υψηλότεροι όροι (σχήμα 4). Η συνολική στροφή ισούται μόνο με το τμήμα της στροφής λόγω βυθίσε-ων, διότι το τμήμα που οφείλεται στις διατμητικές παραμορ-φώσεις θεωρείται μηδενικό. Η μαθηματική διατύπωση των παραπάνω έχει ως εξής:

0��

�z

wzz�

0��

��

�y

w

zyz

�� , 0��

��

�x

w

z

uxz� (5)

x

ww xzxx �

�� ,

,y

ww yzyy �

�� ,

�� tan

(5)

Οι καμπυλότητες της πλάκας σε κάμψη ορίζονται ως:

2

2

2/32

22

)(])/(1[

/1

x

w

dx

dw

xxw

xw

rx ��

��

��

�� ,

2

21

y

w

ry ��

��

(6)

η δε δυσκαμψία της πλάκας D [kNm] δίδεται ως:

)1(12 2

3

��

�hE

D (7)

Η διαφορική εξίσωση κάμψης της πλάκας για συνθήκες συμμετρίας εκ περιστροφής και ο τελεστής του Laplace δί-νονται παρακάτω:

dr

d

rdr

d��

12

22 (8)

D

rp

dr

dw

rdr

wd

rdr

wd

rdr

wdw

)(11232

2

23

3

4

44 �� (9)

)()())(( 22 rprwrK �� (10)Η τρίτη εξίσωση αντιπροσωπεύει την κάμψη ανομοι-

ογενούς πλάκας με μεταβλητή δυσκαμψία. Ο όρος K(r) αντιπροσωπεύει τη μη-σταθερή δυσκαμψία, ο δε όρος β την αντίδραση του εδάφους. Προκειμένου να λυθεί αναλυτικά η εξίσωση αυτή, χρησιμοποιούνται η τεχνική της σύμμορφης απεικόνισης με το μετασχηματισμό Radon. Τα βασικά απο-τελέσματα της επίλυσης των εξισώσεων που αφορούν ομοι-ογενείς και ανομοιογενείς πλάκες συνοψίζονται ως εξής: § Ελεύθερα εδραζόμενη ομοιογενής πλάκα:

Για σταθερή δυσκαμψία πλάκας K(r) = D και με μηδενική αντίδραση του εδάφους (β = 0), οι βυθίσεις δίνονται [12] ως:

)1(ln16

)( 2 ��

� rrD

Prw

� (11)

όπου P είναι το μέγεθος του σημειακού φορτίου που εφαρ-μόζεται στο κέντρο του συστήματος συντεταγμένων.§ Ομοιογενής πλάκα επί εδάφους τύπου Winkler:

Όταν η αντίδραση του εδάφους θεωρείται γραμμικώς ανάλογη της βύθισης της πλάκας, τότε οι βυθίσεις δίνονται [22] από την εξίσωση:

)(kei)2

()(2

rD

lPrw �

��

��

(12)

όπου kei είναι συνάρτηση Kelvin και kD�4� είναι η πα-ράμετρος μήκους.§ Ομοιογενής πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου:

Για την περίπτωση αυτή, χρησιμοποιείται η λύση κατά Boussinesq [2], που δίνει τη συνάρτηση επιρροής του εδά-φους ως Κ0(α)=(1-ν0)

2/(π .Ε0.α), όπου Ε0 και ν0 είναι το μέτρο

ελαστικότητας και ο λόγος Poisson, αντίστοιχα, ενώ α είναι η προβολή της απόστασης του δέκτη στην ελεύθερη επιφά-νεια. Ορίζοντας μία νέα παράμετρο μήκους ως 0

30 kD�� και

με σταθερά εδάφους


)]1(2[ 2000 �� Ek , η λύση των βυθίσεων προκύπτει ως:

� ��

��

��

�0 3

0020

12)(

��

�drJ

D

Prw

�� (13)

όπου J0 είναι συνάρτηση Bessel μηδενικής τάξης και

0�� .§ Ανομοιογενής πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου:

Για αυτήν την περίπτωση, η αναλυτική λύση [5] που προκύπτει είναι:

� � dnVVJ

yVn

yns��

��

1,21

12

~~

)(4

1),(

�� (14)

με

��

��

��

��

��

��

��

�� ss

s

dd

s

HV lnln

)())((~1

��

��

� ds

HV �

��

��

�))](sin()([1~ 1

211

2

ή

))((sin))(si())((cos))(ci(~

11112 ssssV ��

όπου dtt

tdt

t

t��

��zz

sin-si(z),

cos-ci(z) είναι οι συ-

ναρτήσεις ημιτόνου και συνημιτόνου αντίστοιχα, ενώ

qp �1� �� sp .Οι ίδιες παραδοχές υιοθετούνται και για την αριθμητική

ανάλυση με τρισδιάστατα μοντέλα της ΜΠΣ, όπου το επιφα-νειακό στοιχείο της πλάκας είναι λεπτό [8] και δεν λαμβάνει υπ΄όψη τις διατμητικές παραμορφώσεις. Συνεπώς, η θεμελί-ωση προσομοιώνεται με ομόκεντρα στοιχεία πλάκας, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.

Σχήμα 5: Προσομοίωση πλάκας με επιφανειακά στοιχεία Figure 5: Plate modeling with surface finite elements.

Οι ανομοιογενείς πλάκες προσομοιώνονται με τα ίδια επιφανειακά στοιχεία, όπως και πριν, αλλά διαφορετικού πάχους για κάθε σειρά με σταθερή ακτίνα (σχήμα 6). Η σταθερή τιμή του πάχους ενός στοιχείου πλάκας της ΜΠΣ

αναπαράγει το μέσο όρο του πάχους, από την εσωτερική προς την εξωτερική ακτίνα, της αρχικής πλάκας.

Σχήμα 6: Προσομοίωση ανομοιογενούς πλάκας με ΜΠΣ. Figure 6: Finite element modelling of the non-homogeneous plate.

Οι πλάκες είναι από οπλισμένο σκυρόδεμα με μέτρο ελαστικότητας E=2,8·107 kPa και λόγο του Poisson ν = 0,25. Οι διαστάσεις είναι r = 2,5m και h = 0,20m, οπότε και ικα-νοποιείται η συνθήκη για λεπτές πλάκες (h/r < 0,1). Ο όγκος της ομοιογενούς πλάκας είναι V0=π·2,52·0,20 = 3,93m3, ο δε όγκος της ‘εκθετικά’ ανομοιογενούς πλάκας υπολογίζεται με βάση το παρακάτω ολοκλήρωμα:

32

0

5,2

0

3 22

0

5,2

01 40,1)2,0()( mdrderdrdrhrV r ��

Ομοίως, ο όγκος της ‘τετραγωνικά’ ανομοιογενούς πλά-κας υπολογίζεται παρακάτω (κρατώντας ένα σταθερό πάχος 0,36m σε απόσταση 0,21m από το κέντρο της πλάκας, όπου θεωρητικά η δυσκαμψία της πλάκας απειρίζεται) ως:

32

0

5,2

21,0 3 2

22 99,1)

4

2,0(36,021,0 mdrd

r

rV �

�

��

�

Η φόρτιση σ’ όλες τις περιπτώσεις είναι το κάθετο ση-μειακό φορτίο με τιμή P = 1000kN που εφαρμόζεται στο κέντρο των πλακών.

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, το υπέδαφος προ-σομοιώνεται με δύο τρόπους, πρώτα ως μοντέλο τύπου Winkler και μετά ως ελαστικός ημιχώρος. Η πρώτη θεώρηση ιστορικά ανάγεται στον Hertz [22], με βασική παραδοχή πως το υπέδαφος είναι ένα ισότροπο, ομοιογενές και γραμμικά ελαστικό υλικό, ενώ η αντίδραση του εδάφους είναι ανάλο-γη των μετατοπίσεων της πλάκας (σχήμα 7). Η σχέση που συνδέει την αντίδραση του εδάφους p~ με τη βύθιση w δίνεται παρακάτω ως:

Σχήμα 7: Χρήση ελατηρίων για την προσομοίωση του εδάφους τύπου Winkler.

Figure 7: Spring elements for modeling a Winkler foundation.


),(),(~ yxwkyxp �� (15)

Η προσομοίωση του προβλήματος με τη ΜΠΣ έγινε με βάση τον παραπάνω κάναβο (σχήμα 7), όπου διακρίνονται τα ελατήρια που τοποθετήθηκαν σ’ όλους τους κόμβους της πλάκας, όπως απαιτεί το μοντέλο τύπου Winkler. Οι τιμές των σταθερών των ελατηρίων (πίνακας 1) προκύπτουν αριθμητικά από τη θεώρησή τους ως ίσες με τις σταθερές εδάφους για ελαστικό ημίχωρο ως:

)1(2 20

00 ��

Ek (16)

Στη δεύτερη θεώρηση, το έδαφος έχει τις ιδιότητες ενός ημιάπειρου ελαστικού σώματος, χωρίς δυνάμεις τριβής στη διεπιφάνεια θεμελίωσης-εδάφους, ενώ διατηρείται πλήρης επαφή (welded contact) ακόμη και στην περίπτωση αρνητι-κής πίεσης. Η συνάρτηση επιρροής του εδάφους που χρησι-μοποιείται είναι αυτή του Boussinesq [2]:

sEsK

��

�0

20

0

)1()(

�� (17)

Οι τιμές των Ε0 και ν0 πρέπει να προσδιορίζονται πειρα-ματικά ή με μετρήσεις πεδίου.

Ο πίνακας 1 ταξινομεί τις πέντε κατηγορίες εδαφών που χρησιμοποιούνται στην παρούσα εργασία, μαζί με τις σχετικές αριθμητικές τιμές των ιδιοτήτων τους από πίνακες του Bowles [1]. Παρόλο που οι αριθμητικές τιμές των k και k0 είναι ίσες, επισημαίνεται ότι πρόκειται για διαφορετικά μεγέθη, όπως φαίνεται και από τις μονάδες τους.Πίνακας 1: Τύποι εδαφών και αριθμητικές τιμές των ιδιοτήτων

τους.Table 1: Ground categories and numerical values for their

properties. Τύπος

εδάφους Ε0

[kN/m2] ν0 k ≡ k0

[kN/m3] & [kN/m2]Α 200000 0,35 114000Β 100000 0,35 56980Γ 50000 0,35 28490Δ 30000 0,35 17090Ε 20000 0,35 11400

Στη συνέχεια, δίδονται τα τρισδιάστατα στερεά στοιχεία που χρησιμοποιήθηκαν για την προσομοίωση του ελαστικού ημιχώρου (σχήμα 8). Ο θεωρητικά ημιάπειρος χώρος τερ-ματίζεται σε απόσταση b=4a=20m από το κέντρο (a=5m η διάμετρος της θεμελίωσης) και σε βάθος επίσης 20m. Οι συνθήκες στήριξης σ’ αυτές τις αποστάσεις δεν επηρεάζουν πρακτικά την απόκριση του συστήματος, αλλά παραταύτα απαιτείται η τοποθέτηση ελατηρίων στα όρια του κανάβου [9]. Πιο συγκεκριμένα, οι ελατηριακές σταθερές προκύ-πτουν ως οι αντιδράσεις του τετμημένου ημίχωρου σε μονα-διαίους καταναγκασμούς σε κάθε κόμβο και είναι απολύτως ισοδύναμες με το τμήμα αυτό του ημιχώρου που αγνοείται

[23]. Τα ελατήρια έχουν έξι συζευγμένους βαθμούς ελευθε-ρίας ανά κόμβο, τοποθετούνται στα πλευρικά σύνορα και στη βάση του κανάβου, και υπολογίζονται από τους τύπους που δίδονται στον Givoli (1992). Παραμετρικές σπουδές κατέδειξαν πως αύξηση της διακριτοποίησης του κεντρικού κυλινδρικού χώρου (σχήμα 8) δεν αλλάζει τα αποτελέσματα που υπολογίζονται για την περίπτωση της πλάκας θεμελίω-σης σταθερού πάχους.

Σχήμα 8: Στερεά στοιχεία για την προσομοίωση του ελαστικού ημι-χώρου με τη ΜΠΣ (διακρίνονται οι στηρίξεις στα όρια).

Figure 8: Solid elements for FEM modeling of the elastic half-space (the support conditions are shown at the edges).

5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Οι βυθίσεις που υπολογίστηκαν με τη ΜΠΣ παρουσιάζο-νται στα παρακάτω διαγράμματα (σχήμα 9), που καλύπτουν μία μεσημβρινή τομή της κυκλικής πλάκας και λόγω της εκ περιστροφής συμμετρίας, αντιπροσωπεύουν το πλήρες πεδίο των μετατοπίσεων. Ταυτόχρονα, παρατίθενται οι αναλυτικές λύσεις [5], ώστε να είναι δυνατή η σύγκρισή τους.

�� Winkler - ��

-0.003

-0.002

-0.001

0.000

0.001

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m

]

��


�� Winkler - �� B

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0.000

0.001

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m

]

��


-0.006

-0.005

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0.000

0.001

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m

]

��


-0.008

-0.007

-0.006

-0.005

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0.0000.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m

]

��


-0.010

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0.0000.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m

]

��

�� - ��

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0.0000.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m]

��

�� - ��

-0.006

-0.005

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0.0000.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m]

��

�� - ��

-0.010

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0.0000.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m]

��

�� - ��

-0.012

-0.010

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0.0000.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m]

��


�� - ��

-0.015

-0.012

-0.009

-0.006

-0.003

0.0000.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m]

��

�� "��" �� - ��

-0.005

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m]

��

�� "��" �� - ��

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m]

��

�� "��" �� - ��

-0.015

-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m]

��

�� "��" �� - ��

-0.020

-0.015

-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m]

��

�� "��" �� - ��

-0.025

-0.020

-0.015

-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m]

��

�� "��" ��.�� - ��

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0.000

0.001

0.002

0.003

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m

]

��

�� "��" ��.�� - ��

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m]

��


�� "��" ��.�� - ��

-0.010

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m]

��

�� "��" ��.�� - ��

-0.015

-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m]

��

�� "��" ��.�� - ��

-0.020

-0.015

-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m]

��

Σχήμα 9: Διαγράμματα βυθίσεων-θέσης για διάφορες περιπτώσεις πλακών επί εδάφους.

Figure 9: Displacements versus radial distance for various cases of plates resting on ground.

Με βάση τα παραπάνω, παρατηρείται ικανοποιητική σύγκλιση στις ομοιογενείς πλάκες, ανεξαρτήτως της κατη-γορίας του υπεδάφους. Στις ανομοιογενείς πλάκες, οι ανα-λυτικές λύσεις δίδουν βυθίσεις που παρουσιάζουν έντονες διακυμάνσεις κατά μήκος της ακτίνας, ενώ η ΜΠΣ προβλέ-πει βυθίσεις που έχουν περίπου την ίδια μορφή με αυτή των ομοιογενών. Η παραπάνω διαφορά οφείλεται στο ότι η μεν αναλυτική λύση λαμβάνει υπ’ όψη την ακριβή μαθηματική μεταβολή του πάχους της πλάκας, ενώ η ΜΠΣ την προσεγγί-ζει με διγραμμικά πολυώνυμα. Επιπλέον, η αναλυτική λύση

αφορά στο άπειρα εκτεινόμενο υπόστρωμα, ενώ στη ΜΠΣ θεωρήθηκε ως πεπερασμένο (διατηρώντας βέβαια το λόγο r/h > 10 για ακτίνα r=2,5m) και κρατώντας τις συνολικές εξωτερικές διαστάσεις του ελαστικού ημίχωρου σε 8aΧ4a (όπου a=2r). Λόγω όμως της προσθήκης ελατηρίων στους εξωτερικούς κόμβους [23], χρήση κανάβου μεγαλύτερου μεγέθους είναι περιττή όσον αφορά στην προσομοίωση του υπολοίπου τμήματος του ημιχώρου που αγνοείται.

6. ΔΕΙΚΤΕΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΠΛΑΚΩΝ ΕΠΙ ΕΔΑΦΟΥΣ

Οι δείκτες δυσκαμψίας του συστήματος θεμελίωσης-εδάφους είναι δύο ειδών, ανάλογα με τη μηχανική συμπερι-φορά της υπερκείμενης πλάκας θεμελίωσης. Πιο συγκεκρι-μένα, έχουμε: § δείκτες δυσκαμψίας για άκαμπτη πλάκα, § δείκτες δυσκαμψίας για εύκαμπτη πλάκα.

Η πρώτη παραδοχή είναι και η παλαιότερη προσέγγιση του προβλήματος της βύθισης πλάκας επί ελαστικού ημιχώ-ρου. Το εξωτερικό φορτίο P εφαρμόζεται σημειακά (σχήμα 10) και προκαλεί σταθερή βύθιση wrig σ’ όλη την επιφάνεια της πλάκας.

rigw

h

P

Σχήμα 10: Βυθίσεις άκαμπτης πλάκας υπό σημειακό φορτίο.Figure 10: Deflections of rigid plate under a point load.

Το φορτίο εξισορροπείται μέσω της συνολικής αντίδρα-σης του εδάφους P~ στην κατακόρυφη διεύθυνση, και από το γενικευμένο νόμο του Hooke έχουμε πως:

rigrig wKPP �� ~ (18)

Ως Krig ορίζεται ο δείκτης δυσκαμψίας [kN/m] που ανά-γει το έδαφος κάτω από την πλάκα σε στοιχείο ελατηρίου, υποκαθιστώντας με τον απλό αυτό τρόπο το σύστημα θεμε-λίωσης - εδάφους (σχήμα 11).


P

wrig

rigKP~

Σχήμα 11: Μοντέλο αντικατάστασης εδάφους με στοιχείο ελατηρί-ου για άκαμπτη πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου.

Figure 11: Modeling of the ground with a spring element for the rigid plate on elastic half-space.

Ο δείκτης δυσκαμψίας για την περίπτωση αυτή υπολογί-ζεται βάσει τυπολογίου [21] για κυκλικές άκαμπτες πλάκες, εξαρτάται από την ακτίνα r και τα ελαστικά χαρακτηριστικά του εδάφους (πίνακας 2), και δίδεται ως:

0

0

1

4

��

�rG

Krig (19)

Επειδή η βύθιση wrig είναι σταθερή παντού (σχήμα 11), ορίζεται ένας νέος δείκτης εδάφους kεδ [kN/m3], ανηγμένος στην επιφάνεια της πλάκας, ως:

�� /rigKk�� (20)

Ο πίνακας 2 περιέχει αριθμητικές τιμές για τους δύο δείκτες Krig και kεδ ως συναρτήσεις της κατηγορίας εδάφους. Οι δείκτες αυτοί θα επαναδιατυπωθούν για την περίπτωση εύκαμπτης πλάκας επί ελαστικού ημιχώρου.

Πίνακας 2: Δείκτες δυσκαμψίας για άκαμπτη πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου.

Table 2: Impedance functions for rigid plate on elastic half-space.

Τύπος εδάφους

Krig,z [kN/m]

kεδ [kN/m3]

Α 710100 36160Β 355000 18080Γ 177500 9040Δ 106500 5424Ε 71000 3616

Ακολουθεί ο υπολογισμός των δεικτών δυσκαμψίας για τη θεμελίωση να λειτουργεί ως εύκαμπτη πλάκα. Τα γεωμε-τρικά χαρακτηριστικά και η φόρτιση παραμένουν όπως και πριν. Η εύκαμπτη πλάκα υπό σημειακή φόρτιση παραμορ-φώνεται και εμφανίζει βυθίσεις wfl (σχήμα 12).

flw

P

h

Σχήμα 12: Βυθίσεις εύκαμπτης πλάκας υπό σημειακό φορτίο.Figure 12: Deflections of the flexible plate under a point load.

Η συνολική αντίδραση του εδάφους υπολογίζεται από το παρακάτω επιφανειακό ολοκλήρωμα:

� ��

�� 2

0 0)()(

~ r

flfl drdrwkdAwkP (21)

Στην ισορροπία δυνάμεων στην κάθετη διεύθυνση πρέ-πει να ληφθεί υπ’ όψη και η τέμνουσα της πλάκας q που αναπτύσσεται λόγω της πεπερασμένης δυσκαμψίας ως:

qPP �� ~ (22)

Για τις εύκαμπτες πλάκες, συνεπώς, ισχύει ότι PP �~. Οι

τιμές που λαμβάνει ο συντελεστής kεδ προέρχονται από τις τιμές για άκαμπτη πλάκα (πίνακας 2), ώστε το έδαφος να αποτελεί κοινό σημείο αναφοράς.

Ορίζεται επιπλέον ένα νέο μέγεθος, η ενεργός επιφάνεια Αεν [m

2], ως το τμήμα της επιφάνειας της πλάκας που δεν παρουσιάζει ανύψωση (σχήμα 13).

-7-

�� 11: ��

�� .

Figure 11: Modeling of the ground with a spring element for the

rigid plate on elastic half-space.

� ��

�� [21] ��

��, �� r ��

�� (�� 2), �� :

(19)

�� wrig �� (�� 11),

�� k�� [kN/m3], ��

�� , ��:

(20)

� �� 2 ��

�� Krig �� k��

��. ��

�� .

�� 2: ��

��.

Table 2: Impedance functions for rigid plate on elastic half-space.

��

Krig,z[kN/m]

k��[kN/m3]

� 710100 36160 � 355000 18080 � 177500 9040 � 106500 5424 � 71000 3616

��

��

��. ��

�� . � ��

��

wfl (�� 12).

�� 12: �� .

Figure 12: Deflections of the flexible plate under a point load.

� ��

�� :

(21)

��

�� q ��

�� :

(22)

�� , ��, �� PP �~ . ��

�� k��

�� (�� 2), ��

�� .

�� , � ��

�� [m2], ��

�� (�� 13).

�� - O��

-0.015

-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

r [m]

w [m

]

�� 13: �� .

Figure 13: Definition of the active surface of a plate on ground.

�� , ��

��

��

��

��. �� , ��

�� , ��

��

��. �� , ��

��

�� , ��

�� .

A��

Σχήμα 13: Ορισμός ενεργούς επιφάνειας της πλάκας επί εδάφους.Figure 13: Definition of the active surface of a plate on ground.

Επειδή το έδαφος δεν αναπτύσσει εφελκυστικές τάσεις, τα ανυψωμένα τμήματα της επιφάνειας πρέπει να απαλει-φθούν και με κατάλληλη θαμιστική μέθοδο να επαναϋπο-λογιστούν οι βυθίσεις ως πρόβλημα μονόπλευρης επαφής. Στα πλαίσια αυτής της εργασίας, δεν χρησιμοποιήθηκε θα-μιστική μέθοδος, παρά μόνο ως πρώτο βήμα αφαιρέθηκαν από τον υπολογισμό οι ανυψωμένες περιοχές. Υπό συνήθεις συνθήκες, το πρώτο βήμα της προσέγγισης είναι αυτό με το μεγαλύτερο βάρος στην επίτευξη της σύγκλισης, οπότε και το αποτέλεσμα εκτιμάται ως επαρκές.


Η ολοκλήρωση της (21) για τον υπολογισμό της 18a γί-νεται πάνω στην Αεν, ενώ οι υπόλοιπες βυθίσεις δεν λαμβά-νονται υπ’ όψη στον υπολογισμό των δεικτών δυσκαμψίας.

Το δεξί μέλος της (21) πολλαπλασιάζεται και διαιρείται με την ενεργό επιφάνεια, οπότε προκύπτει:

fl

flwk

dAwkP ~~ ��

��

��

�� (23)

όπου flw~ η σταθερά που αντιπροσωπεύει μια ισοδύναμη, μέση βύθιση της εύκαμπτης πλάκας επί ελαστικού ημιχώ-ρου. Η συνολική αντίδραση του εδάφους μπορεί να δοθεί βάσει του νόμου του Hooke ως:

flwKP ~~ �� (24)

με δείκτη δυσκαμψίας του εδάφους Κεδ [kN/m]

�� Ak �� (25)Επίσης, εισάγεται ο αδιάστατος λόγος της συνολικής

αντίδρασης του εδάφους προς το εξωτερικό φορτίο ως:

PP~

�� (26)

Με αντικατάσταση της (26) στην (24), προκύπτει η σχέση:

flwk

P ~��

��

�� (27)

Σε αντιστοιχία με την (18), ο συντελεστής της flw~ είναι ο δείκτης δυσκαμψίας Kfl [kN/m] για εύκαμπτη πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου, δηλαδή:

��

�k

K fl (28)

Η σχέση των συντελεστών Κfl και Κrig εξετάζεται παρα-κάτω. Διαιρώντας κατά μέλη τις (18) και (27), προκύπτει ο εξής λόγος δεικτών:

fl

rig

rig

ffl

w

w

K

K~� (29)

Επίσης, αντικαθιστώντας την (20) στην (28), προκύπτει ο ίδιος λόγος των δεικτών στη μορφή:

�� 1��

A

A

K

K

rig

fl (30)

Οι δύο παραπάνω σχέσεις προσδίδουν την εξής φυσική ερμηνεία στους δείκτες δυσκαμψίας. Πρώτον, οι δείκτες είναι αντιστρόφως ανάλογοι των βυθίσεών τους, ως απόρ-ροια του κοινού εξωτερικού φορτίου. Δεύτερον, ο δείκτης Kfl διαφοροποιείται ως προς τον Krig με τους αδιάστατους λόγους Αεν/Α και 1/α, επειδή λαμβάνεται υπ’ όψη η ενδε-χόμενη ανύψωση και η τέμνουσα της πλάκας. Τέλος, και ο δείκτης Κfl προσομοιώνει την ελαστική αντίσταση του συστήματος θεμελίωσης – έδαφος στην κατακόρυφη διεύ-θυνση (σχήμα 14).

q~

P

wfl

flKP~

Σχήμα 14: Μοντέλο αντικατάστασης εδάφους–θεμελίου με στοιχείο ελατηρίου για εύκαμπτη πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου.

Figure 14: Modeling of the ground–foundation system with a spring element for the rigid plate on elastic half-space.

Όπως φάνηκε και στα παραπάνω σχήματα, οι δείκτες αφορούν στην κατακόρυφη διεύθυνση και προκύπτουν από τις βυθίσεις της πλάκας λόγω κάμψης. Αυτό σημαίνει ότι το ελατηριακό ανάλογο του συστήματος θεμελίωσης - εδάφους αφορά ελατήρια εν παραλλήλω (σχήμα 15), επειδή η πλάκα και το έδαφος έχουν κοινή βύθιση ( wwwfl ��

~ ).

qP~

P

��KK��

Σχήμα 15: Ελατηριακό ανάλογο συστήματος πλάκας– εδάφους.Figure 15: Equivalent spring model for the plate on ground.

Ο δείκτης Κεδ δίνεται από την (25), ενώ ο δείκτης Κπλ συνδέεται με τη δυσκαμψία της πλάκας D μέσω της σχέσης Κπλ=ε . D. Η παράμετρος ε είναι μια αδιάστατη, φθίνουσα συνάρτηση της δυσκαμψίας της πλάκας, με ιδιότητα στο όριο την 0)(lim �� DD � . Προφανώς, στην περίπτωση της άκαμπτης πλάκας, ισχύει ότι 0�� D , οπότε και η πλάκα συμπεριφέρεται ως στερεό σώμα.

Οι σχέσεις που διέπουν τους δείκτες συνοψίζονται ως εξής:

-12-

��, ��

�� :

PP~�� (26)

�� (26) �� (24), �� :

flwk

P ~��

��

�� (27)

�� (18), � �� flw~ ��

�� Kfl [kN/m] ��

�� , ��:

��

�kK fl

(28)

� �� fl �� rig ��

��. �� (18) �� (27),

�� :

fl

rig

rig

ffl

ww

KK

~� (29)

��, �� (20) �� (28), ��

�� :

�� 1��

AA

KK

rig

fl (30)

��

�� . ��, ��

�� , ��

�� . ��, �

�� Kfl �� Krig ��

�� /� �� 1/�, ��

�� .

��, �� fl ��

��

�� (�� 14).

q~

P

wfl

flKP~

�� 14: ��

�� .

Figure 14: Modeling of the ground�foundation system with a

spring element for the rigid plate on elastic half-space.

�� , ��

��

�� . ��

�� -

�� (�� 15), ��

� �� ( wwwfl �� ~ ).

qP~

P

��KK��

�� 15: �� .

Figure 15: Equivalent spring model for the plate on ground.

� �� (25), �� D ��

D�� . � �� ,

�� , ��

�� 0)(lim �� DD � . ��, ��

�� , ��

0�� D , ��

�� .

�� :

ww fl �~

wq ��

wP �� ~ ��

�� flK (31)

PqP ~��

�� (=c), ��

�� (=x) �� . ��

�� (�� , k�� ), ��

�� , ��

(31)

Κρατώντας το Κπλ σταθερό (=c), μπορεί να ελεγχθεί η επιρροή του Κεδ (=x) στο α. Επειδή το α είναι συνάρτηση τριών μεταβλητών (Κπλ , kεδ και Αεν), για να γίνουν μονό-


τονες οι παραπάνω συναρτήσεις, σταθεροποιείται η Αεν.

Ισχύει τότε στην περίπτωση αυτή ότι xc

xK

P

P

��

��

��

��~

. Παραγωγίζοντας το λόγο των δύο φορτίων, προκύπτει

0)()(

1)

~(

22�

��

��

��

xc

c

xc

x

xcP

P , αφού c > 0. Αυτό

σημαίνει πως ο λόγος είναι μια αύξουσα συνάρτηση, οπότε συμπεραίνουμε ότι, όταν αυξάνεται η δυσκαμψία του εδά-φους, αυξάνεται και η αντίδρασή του, που εκφράζεται με παράλληλη αύξηση του α.

Θεωρούμε τώρα δύο παραμέτρους (Κεδ και Αεν) σταθερές

(=c) για να ελεγχθεί η επιρροή του Κπλ (=x) στο α. Ισχύει η

σχέση cx

xK

P

q

��

��

��

�� , και εξετάζοντας την πρώτη

παράγωγο, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι πρόκειται

για μια φθίνουσα συνάρτηση, αφού 0)(

)(2�

��

��cx

xc

P

q

(x'=ε'<0). Το συμπέρασμα εδώ είναι πως όταν μειώνεται η δυσκαμψία της πλάκας, αυξάνεται η αντίδρασή της και μειώνεται η αντίδραση του εδάφους, που εκφράζεται με μείωση του α.

Ακολουθούν πίνακες που περιέχουν όλα τα απαραίτητα στοιχεία για υπολογισμό των Kfl,i, όπου ο δείκτης i υποδη-λώνει τις εξής περιπτώσεις: i = ∞ για ομοιογενή πλάκα επί εδάφους τύπου Winkler, 0 για ομοιογενή πλάκα επί ελαστι-κού ημιχώρου, 1 για ‘εκθετικά’ ανομοιογενή πλάκα και 2 για ‘τετραγωνικά’ ανομοιογενή πλάκα. Ο υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος ∫wdrεν γίνεται με τμηματική γραμμική προσέγγιση και με γνωστά τα ζεύγη τιμών ακτί-νας-βύθισης σε πυκνό κάναβο θέσεων [21]. Οι βυθίσεις που χρησιμοποιήθηκαν για τους παρακάτω πίνακες προέρχονται από τις αναλυτικές λύσεις.

Πίνακας 3: Δείκτες δυσκαμψίας για ομοιογενή πλάκα επί εδάφους τύπου Winkler.

Table 3: Impedance functions for the homogeneous plate resting on Winkler foundation.

Τύποςεδάφους ∫wfl,00drεν,00

Aεν,00 [m2] Α00

Kfl,00 [kN/m]

Α 0,003198 19,63 0,727 977300Β 0,004513 19,63 0,513 692500Γ 0,006442 19,63 0,366 485100Δ 0,008243 19,63 0,281 379100Ε 0,010147 19,63 0,231 308000

Πίνακας 4: Δείκτες δυσκαμψίας για ομοιογενή πλάκα επί του ελαστι-κού ημιχώρου.

Table 4: Impedance functions for the homogeneous plate resting on elastic half-space.


Aεν,0 [m2] α0

Kfl,0 [kN/m]

Α 0,003446 19,63 0,783 906900Β 0,006798 19,63 0,772 459700Γ 0,012752 19,63 0,724 245100Δ 0,020441 19,63 0,697 152900Ε 0,028334 19,63 0,644 110300

Πίνακας 5: Δείκτες δυσκαμψίας για ‘εκθετικά’ ανομοιογενή πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου.

Table 5: Impedance functions for the ‘exponentially’ non-homogeneous plate on elastic half-space.


Aεν,1 [m2] α1

Kfl,1 [kN/m]

Α 0,000618 4,35 0,140 1121000Β 0,001286 5,13 0,146 634700Γ 0,002522 5,90 0,143 372200Δ 0,003902 5,19 0,133 211500Ε 0,005562 5,58 0,126 159600

Πίνακας 6: Δείκτες δυσκαμψίας εδάφους για ‘τετραγωνικά’ ανομοι-ογενή πλάκα επί ελαστικού ημιχώρου.

Table 6: Impedance functions for the ‘quadratically’ non-homogeneous plate on elastic half-space.


Aεν,2 [m2] α2

Kfl,2 [kN/m]

Α 0,002241 10,34 0,509 734700Β 0,004261 12,17 0,484 454500Γ 0,006298 8,92 0,358 225500Δ 0,009352 10,33 0,319 175800Ε 0,011580 11,76 0,263 161700

Από τα παραπάνω αποτελέσματα εξάγονται τα εξής συμπεράσματα: (ι) Το υπέδαφος τύπου Winkler είναι πιο δύσκαμπτο σε σχέση με τον ελαστικό ημίχωρο, καθώς στο δεύτερο λαμβάνεται υπ’ όψη και η εγκάρσια διόγκωσή του. (ιι) Στις ομοιογενείς πλάκες, όπου δεν επεισέρχεται το φαι-νόμενο της ανύψωσης, επαληθεύεται το συμπέρασμα που βασίστηκε στο ελατηριακό ανάλογο, ότι δηλαδή αύξηση της δυσκαμψίας του εδάφους δημιουργεί παράλληλη αύξηση στην αντίδρασή του, καθώς και στην τιμή του συντελεστή α. (ιιι) Επίσης, μια ιεραρχική σύγκριση των πλακών, ξε-κινώντας από την πιο δύσκαμπτη προς την πιο εύκαμπτη (ομοιογενής – ‘εκθετικά’ ανομοιογενής – ‘τετραγωνικά’ ανομοιογενής), επαληθεύει το συμπέρασμα που βασίστηκε στο ελατηριακό ανάλογο, ότι δηλαδή μείωση της δυσκαμ-ψίας της πλάκας αυξάνει την αντίδρασή της και ταυτόχρονα μειώνει την αντίδραση του εδάφους, που εκφράζεται με μεί-ωση της τιμής του συντελεστή α.


7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΠΕΚΤΑΣΗ

Τα συμπεράσματα που εξάγονται αφορούν στις βυθίσεις που προσδιορίστηκαν με τις αναλυτικές λύσεις και με τη ΜΠΣ, καθώς και στους δείκτες δυσκαμψίας. Έχουμε συνε-πώς ότι:§ Η κατανομή των βυθίσεων παρουσιάζει εντονότερες

διακυμάνσεις στα εύκαμπτα εδάφη, υπακούοντας στο γνωστό φαινόμενο της μηχανικής, σύμφωνα με το οποίο οι διαφορικές μετακινήσεις αυξάνονται στα εύκαμπτα εδάφη.

§ Οι βυθίσεις των ομοιογενών πλακών παρουσιάζουν ικανοποιητική σύγκλιση, ανεξαρτήτως μεθόδου υπολο-γισμού και θεώρησης υπεδάφους.

§ Οι βυθίσεις των ανομοιογενών πλακών παρουσιάζουν κάποιες διαφορές ανάλογα με τη μέθοδο υπολογισμού. Αυτές οφείλονται στις προσεγγίσεις της ΜΠΣ όσον αφορά στη μεταβολή του πάχους της πλάκας με πολυω-νυμικές συναρτήσεις. Σημειώνουμε πως η προσομοίωση του ελαστικού ημιχώρου με πεπερασμένο κάναβο για τη ΜΠΣ, με τις κατάλληλες ελατηριακές σταθερές στα σύ-νορα, δεν επηρεάζει την ακρίβεια του υπολογισμού των βυθίσεων των πλακών .

§ Η αύξηση της δυσκαμψίας του εδάφους δημιουργεί μια παράλληλη αύξηση στην αντίδρασή του.

§ Όταν μειώνεται η δυσκαμψία της πλάκας, αυξάνεται η αντίδρασή της και ταυτόχρονα μειώνεται η αντίδραση του εδάφους.Όσον αφορά μελλοντική επέκταση της παρούσης

εργασίας, σημειώνουμε πρώτα πως όλοι οι υπολογισμοί αφορούν στον κατακόρυφο δείκτη δυσκαμψίας και μόνο. Χρησιμοποιώντας τις ανάλογες εργικά ανταποκρινόμενες μετατοπίσεις [15], είναι δυνατός ο υπολογισμός των δει-κτών δυσκαμψίας και για τους υπόλοιπους πέντε Β.Ε. (δύο μετακινήσεις συν τρεις στροφές) που ανταποκρίνονται στο πλήρες τρισδιάστατο μοντέλο θεμελίωσης–εδάφους. Επί-σης, οι δείκτες δυσκαμψίας που υπολογίστηκαν οφείλονται σε στατική φόρτιση και δεν λαμβάνεται υπ’ όψη η εξάρτησή τους από τη συχνότητα της διέγερσης. Η πλήρης μορφή των στοιχείων του μητρώου των δυναμικών δεικτών δυσκαμψί-ας είναι telos, όπου το πραγματικό μέρος εξαρτάται από τη δυσκαμψία του συστήματος θεμελίωσης–έδαφος, ενώ το φανταστικό μέρος από την απόσβεση [17]. Με επαναδια-τύπωση του προβλήματος στο πεδίο των συχνοτήτων, οι δείκτες δυσκαμψίας που υπολογίστηκαν εδώ μπορούν να με-τατραπούν σε δυναμικούς δείκτες. Επίσης, σε προβλήματα δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους–κατασκευής, έχουμε κάποιο ποσοστό της μάζας του εδάφους, που περιβάλλει τη θεμελίωση, να ταλαντώνεται. Η ολοκληρωμένη προσέγγιση του προβλήματος, συνεπώς, επιβάλλει τον υπολογισμό ενός μητρώου μάζας για το έδαφος [20]. Τέλος, στις περιπτώσεις όπου η δυσκαμψία της πλάκας θεωρείται πεπερασμένη σε σχέση με αυτήν του εδάφους, παρουσιάζεται το φαινόμε-

νο της ανύψωσης. Επειδή στο έδαφος δεν αναπτύσσονται εφελκυστικές τάσεις, το πρόβλημα του υπολογισμού των βυθίσεων μετατρέπεται σε πρόβλημα μονόπλευρης επαφής, το οποίο διέπεται από μη-γραμμικές θεωρίες [18].

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. J.E. Bowles, Foundation Analysis and Design, 5th Edition, McGraw-Hill, New York, 2001.

2. S.P. Timoshenko, S. Woinowsky–Krieger, Theory of Plates and Shells, McGraw–Hill, New York, 1959.

3. R. Szilard, Theory and Analysis of Plates: Classical and Numerical Methods, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1974.

4. A.I. Zayed., Handbook of Function and Generalized Function Transformations, CRC Press, Boca Raton, 1996.

5. G.D. Manolis, T.V. Rangelov, R.P. Shaw, “The Non-Homogeneous Biharmonic Plate Equation: Fundamental Solutions”, International Journal of Solids and Structures, 40, 5753-5767, 2003.

6. J.B. Brown, R.V. Churchill, Complex Variables and Applications, 7th Edition, McGraw-Hill, New York, 2003.

7. R.P. Shaw, G.D. Manolis, “A Generalized Helmholtz Equation Fundamental Solution using Conformal Mapping and Dependent Variable Transformation, Engineering Analysis with Boundary Elements, 24, 177-188, 2000.

8. R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E. Plesha, Concepts and Applications of Finite Element Analysis, J. Wiley, New York, 1989.

9. MSC/NASTRAN for Windows, Version 4.6, MacNeal-Schwendler Corp., Los Angeles, 2000.

10. M.D. Greenberg, Application of Green’s Functions in Science and Engineering, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1970.

11. G. Bezine, “Boundary Integral Formulation for Plate Flexure with Arbitrary Boundary Conditions”, Mechanics Research Communications, 5, 197-206, 1978.

12. M. Stern, “A General Boundary Integral Formulation for the Numerical Solution of Plate Bending Problems”, International Journal of Solids & Structures, 15, 769 - 782, 1979.

13. J.T. Katsikadelis, E.J. Sapountzakis, “ A BEM Solution to Dynamic Analysis of Plates with Variable Thickness”, Computational Mechanics, 7, 369-379, 1991.

14. J.T. Katsikadelis, A.E. Armenakas, “Plates on Elastic Foundation by the BIE Method”, ASCE Journal of Engineering Mechanics, 110, 1086-1105, 1984.

15. M.O. Faruque, M. Zaman, “A Mixed Variational Approach for the Analysis of Circular Plate-Elastic Half-space Interaction, Computational Methods in Applied Mechanics & Engineering, 92, 75-86, 1991.

16. J.B. de Paiva , R. Butterfield, “Boundary Element Analysis of Plate-Soil Interaction”, Computers & Structures, 64, 319-328, 1997.

17. J.J. Johnson, Soil-Structure-Interaction: The Status of Current Analysis Methods and Research, Report No. NUREG/CR-1780, Lawrence Livermore Laboratories Publication, Pasadena, 1981.

18. J. Dominguez, “Twenty-five years of Boundary Elements for Dynamic Soil-Structure-Interaction”, Chap. 1 in W.S. Hall and G. Oliveto (eds.), Boundary Element Methods for Soil-Structure-Interaction, Kluwer Publishers, Dordrecth, 2003.

19. E. Kausel, R.V. Whitman, J.P. Moray, F. Elsabee, “The Spring Method for Embedded Foundations”, Nuclear Engineering & Design., 48, 377–392, 1978.

20. J.P. Wolf, Foundation Vibration Analysis using Simple Physical Models, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1994.

21. Κ.Π. Πλατσούκας, “Δείκτες Δυσκαμψίας για Προβλήματα Αλληλεπίδρασης Εδάφους-Κατασκευής”, Διπλωματική Εργασία, Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Ειδίκευσης Α.Σ.Τ.Ε., Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη, 2003.

22. H. Hertz, Gesammelte Werke, Vol. 1, Ernst und Sohn, Berlin, 1895.


23. D. Givoli, Numerical Methods for Problems in Infinite Domains, Elsevier, Amsterdam, 1992.

Γεώργιος Μανώλης, Δρ. Πολ. Μηχ., καθηγητής, Τομέας Κατασκευών, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο, 54124 Θεσσαλονίκη, τηλ: 2310-995663, φαξ: 2310-995769, e-mail: [email protected]Ηλίας Παρασκευόπουλος, Διπλ. Πολ. Μηχ., διδάκτωρ, Τομέας Κατασκευών, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο, 54124 Θεσσαλονίκη, τηλ: 2310-995707 Κωνσταντίνος Πλατσούκας,Διπλ. Πολ. Μηχ., Μετ. Δίπλ. Ειδ., Τομέας Κατασκευών, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο, 54124 Θεσσαλονίκη, τηλ: 2310-995707

mailto:[email protected]


AbstractThe present work focuses on fundamental solutions for flexible inhomogeneous plates resting on an elastic foundation. More specifically, the solutions are for the displacement field generated in thin, circular, elastic plates with variable thickness under a vertical point load at the center. Subsequently, these solutions are integrated over the surface of the plate so as to yield impedance functions (or stiffness coefficients) that can be used within the context of dynamic soil-structure interaction (SSI) analyses involving discrete parameter representations of the structure-foundation-soil system. Similar results, shown for the rigid plate case and for the flexible homogeneous plate case, serve as points of reference.

1. INTRODUCTION

The inhomogeneous circular plates examined herein have variable thickness, which is gradually reduced away from their center. The reduced thickness may follow a power law or an exponential law, although other variations are possible as well. It is believed that variable thickness plates are an improvement over plates with constant thickness, especially when point loads are involved, as would be the case for columns reaching ground level and resting on spread footings. The fundamental solutions for such plates come from recent work reported in the literature, whereby techniques such as conformal mapping in conjunction with the Radon transformation have been used. Both free-standing as well as elastically supported inhomogeneous plate solutions are recovered. In addition, classical solutions for plates on a Winkler foundation (i.e. the floating plate case first solved by Hertz) and plates on the elastic half-space (Boussinesq’s solution) are considered as the means for gaging the effect of inhomogeneity on the displacement field.

Once these solutions have been appropriately processed so as to yield the impedance functions that are the main thrust of this paper, the next step would be to conduct soil-structure interaction studies for vertical vibrations. The impedance

functions derived here represent the soil-foundation system and a finite element model is needed for the superstructure. The baseline solution for comparison purposes is that of the fixed-base structure. Parameters that influence the structural response and are represented in the impedance functions derived here are rigid versus flexible foundation, type of supporting soil, and degree of plate inhomogeneity when the foundation is flexible. Finally, these impedance functions can be augmented to include the remaining five possible degrees of freedom (two horizontal plus three rotational) for a fully 3D model and can be further supplemented by appropriate mass and damping coefficients.

2. ANALYTICAL SOLUTIONS

The computation of fundamental solutions (or Green’s functions) for non-homogeneous plates resting on an elastic half-space and under a point load are the key step in developing impedance functions for the soil-foundation system. To that end, we recovered analytical results from our earlier work and used them to compute the displacement field that develops under the plate. Specifically, we employed a methodology based on conformal mapping in conjunction with the Radon transform. The specific type of plate inhomogeneity is dependent on the type of conformal mapping prescribed. For instance, an exponential mapping yields a plate modulus that also varies exponentially with distance from the point load, a quadratic mapping yields a similar quadratic function for the plate thickness, etc. We note here that conformal mapping methods for obtaining fundamental solutions have been introduced as an alternative to integral transforms (Fourier, Laplace, etc.), which despite their generality require an inverse transformation in the form of a contour integral over the complex plane. The second step in the solution procedure involves use of the Radon transform for computing the solution of the conformally ‘mapped’ biharmonic equation. With the Radon transform, a

Extended Summary

Stiffness Coefficients for Problems in Soil-Structure Interaction

G.D. MANOLIS E. PARASKEVOPOULOS K. PLATSOUKASProfessor, A.U.T.H. Civil Engineer, Ph.D. Civil Engineer, M.Sci.

Submitted: Jan. 19. 2005 Accepted: June 15, 2007


function of two variables is reconstructed from its integrals over all straight lines in the 2D plane or from contour integrals over smooth curves in 3D. This allows for compact expressions to be obtained that include the sub-grade effect. All results for the circular plate were checked by running parallel computations with the finite element method (FEM). Finally, appropriate integration of the displacement field over the plate-soil contact area, along with the use of basic principles of mechanics, yields stiffness coefficients for vertical vibrations.

3. IMPEDANCE FUNCTIONS

Once the stiffness coefficients Kfl,i, for non-homogeneous plates on flexible soil are derived, they are tabulated for use in SSI problems. Specifically, we distinguish the following cases: (a) Index i = ∞ is the homogeneous (i.e. constant thickness) plate on a Winkler foundation, i = 0 is the homogeneous plate on the elastic half-space, i = 1 is the exponentially inhomogeneous plate on sub-grade and i = 2 is the quadratic inhomogeneous plate on sub-grade. Computation of the key integral involving plate displacement over the contact area with the soil, ∫wdrεν, is performed with piece-wise linear interpolation over the circular area using a rather fine mesh. The analytical results previously derived were used in this process.

From an examination of the vertical impedance functions that were thus obtained, the following observations arise: (a) The Winkler foundation case yields ‘stiffer’ coefficients when compared with the elastic half-space model, since the latter case includes mechanical action in the transverse direction; (b) The homogeneous plate case, where no uplifting occurs, serves to verify the elementary mechanical dictum for the spring, namely increasing soil stiffness yields higher soil reactions that translate into larger values for the impedance functions (in terms of dimensionless coefficient α); (c) Finally, a hierarchical classification of the plates, starting from stiff and moving to flexible (constant thickness-exponentially inhomogeneous-quadratically inhomogeneous), verifies a conclusion drawn based on the spring analogue, namely, reduction in the plate stiffness increases the value of the plate reaction and decreases the soil reaction (manifested by smaller values for coefficient α).

4. CONCLUSIONS

The basic conclusions reached have to do with (a) the plate displacement field, evaluated analytically as well as by the FEM; and (b) the stiffness factors for vertical movement. Specifically, we have:

The displacement distribution in the foundation plate becomes less smooth in soft soils, as expected in view of the fact that differential movement is more pronounced in flexible materials, with all other factors (e.g. load, geometry) remaining fixed.

The displacements that develop in homogeneous plates show excellent convergence, irrespective of the method of computation (analytical versus numerical) and regardless of the type of sub-grade.

The displacements that develop in the inhomogeneous plates show some divergence that depends on the method of computation. This has to do with the fact that the FEM employs polynomial functions to model the kinematic field variation in an element, while careful analysis reveals that this is not so. More specifically, it depends on the particular type of plate examined, and we have Bessel functions or sine and cosine integrals as the mathematical expressions that control kinematics. An additional source of divergence is the truncation of a semi-infinite mesh representing the half-space by the FEM, but that can be minimized by use of appropriate springs at the boundaries.

Any increase in soil stiffness causes an increase in the reaction to the load, which filters into the impedance function.

As the foundation plate becomes less flexible, the magnitude of the reaction it develops increases with a parallel drop in the soil reaction.

In terms of future developments, it should be mentioned that one key step in the present development of plate-soil impedance functions has to do with integration of the displacement field over the contact surface. For inhomogeneous plates under a point load, the analytical solution predicts uplift at a certain distance from the load, which in reality would cause loss of contact. Thus, the problem becomes geometrically non-linear and the results presented herein do not include this phenomenon. This could be the subject of future work, so that the present degree of approximation can be established.

George D. Manolis,Dr. Civil Engng., professor, Division of Structures, Civil Engineering Department, Aristotle University, Thessaloniki, GR-54124, Greece; Tel: +30-2310-995663; Fax: +30-2310-995769; E-mail: [email protected] Paraskevopoulos, Dipl. Civil Engng., Ph.D., Division of Structures, Civil Engineering Department, Aristotle University, Thessaloniki, GR-54124, Greece; Tel: +30-2310-995707 Konstantine Platsoukas, Dipl. Civil Engng., M.Sci., Division of Structures, Civil Engineering Department, Aristotle University, Thessaloniki, GR-54124, Greece; Tel: +30-2310-995707

mailto:[email protected]

αλληλεπίδραση εδάφους-ανωδομής

Documents

Transcript of αλληλεπίδραση εδάφους-ανωδομής