1. Oρµή υλικού σηµείου - Mεταβολή της ορµής Oρίζεται ως ορµή υλικού σηµείου και συµβολίζεται µε

�

!

P , το γινόµενο της µάζας του m επί την ταχύτητά του v, δηλαδή ισχύει:

�

!

P = m! v (1)

Σύµφωνα µε τον ορισµό αυτό, η ορµή υλικού σηµείου είναι διανυσµατικό φυσικό µέγεθος, του οποίου το διάνυσµα είναι συγγραµµκό και οµόρροπο του διανύσµα τος της ταχύτητάς του υλικού σηµείου, δηλαδή εφάπτεται συνεχώς της τροχιάς του και έχει φορά την φορά της κίνησής του. Aς υποθέσουµε τώρα ότι, το υλικό σηµείο µετατοπίζεται µεταξύ των σηµείων A και A΄ της τροχιάς του (τ) στα οποία η ορµή του είναι

�

!

P και

�

!

P ' αντιστοίχως. Tότε η µεταβολή !!

P της ορµής του κατά την κίνησή του µεταξύ των σηµείων αυτών θα είναι:

�

!

!

P =!

P '-!

P =!

P '+(-!

P ) (2)

Σχήµα 1 H σχέση (2) είναι διανυσµατική και ως εκ τούτου ανταποκρίνεται στον κανόνα του παραλληλογράµµου (σχ. 1) Έτσι το µέτρο της µεταβολής !

!

P της ορµής του υλι κού σηµείου θα υπολογίζεται από την σχέση:

�

!P= P2+ P'

2+ 2PP'"#$% = m

2v

2+ m

2v'

2+ 2m

2vv'"#$%

�

!

�

!P= m v2+ v'

2+ 2vv'"#$% (3)

Eξάλλου, η διεύθυνση του διανύσµατος !!

P καθορίζεται από την γωνία θ, η οποία υπολογίζεται µε εφαρµογή του νόµου των ηµιτόνων στο σκιασµένο τρίγωνο, οπότε θα έχουµε:

P

!µ" =

#P

!µ($ - %)

�

!

(3) _

�

mv

!µ"=

m v2+ v'

2+ 2vv'#$%&

!µ(' - ()

�

!

�

!µ" =v!µ#

v2+ v'

2+ 2vv'$%&'

(4)

2. Γενικευµένη µορφή του δεύτερου νόµου του Nεύτωνα Xρησιµοποιώντας την έννοια της ορµής υλικού σηµείου, µπορούµε να επαναδιατυ πώσουµε τον δεύτερο νόµο της κίνησης του Nεύτωνα και να του δώσουµε την µορ φή µε την οποία παρουσίασε τον νόµο αυτό ο Nεύτωνας στο εξαίρετο έργο του Principia*. Πρός τούτο υποθέτουµε ότι η µάζα m του υλικού σηµείου παραµένει σταθερή, οπότε η µεταβολή

�

d

!

P της ορµής του µεταξύ των στιγµών t και t+dt θα οφείλεται µόνο στην αντίστοιχη µεταβολή

�

d! v της ταχύτητάς του. Έτσι θα έχουµε

την σχέση:

�

d

!

P = md! v

�

!

�

d

!

P

dt= m

d! v

dt

�

!

�

d

!

P

dt= m! a (1)

όπου

! a η επιτάχυνση του υλικού σηµείου κατά την χρονική στιγµή t που το εξετά

ζουµε. Όµως σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα το διάνυσµα m ! a αποτελεί την συνισταµένη

�

!

F !"

όλων των δυνάµεων που δέχεται το υλικό ση µείο από το περιβάλλον του κατά την χρονική στιγµή t, οπότε η σχέση (1) γράφε ται:

�

d! P /dt =

! F !"

(2) Tο διάνυσµα

�

d!

P /dt αναφέρεται στην χρονική στιγµή t καί ονοµάζεται ρυθµός µεταβολής της ορµής ή ταχύτητα µεταβολής της ορµής του υλικού σηµείου κατά την στιγµή αυτή. Έτσι η σχέση (2) εκφράζει την ακόλουθη πρόταση, που είναι γνωστή ως νόµος µεταβολής της ορµής: Kάθε χρονική στιγµή η ταχύτητα µεταβολής της ορµής υλικού σηµείου, είναι ίση µε την συνισταµένη όλων των δυνάµεων που δέχεται από το περιβάλλον του. ------------------------------- * Tο έργο αυτό εκδόθηκε σε τρείς τόµους το 1687 στο Λονδίνο υπό το τίτλο Philosop hiae Naturalis Principia Mathematica, που σε µετάφραση σηµαίνει “Mαθηµατικές αρχές της Φυσικής φιλοσοφίας’’

Πρέπει να τονίσουµε ότι, ο Nεύτωνας παρουσιάζοντας για πρώτη φορά τον δεύτε ρο νόµο της κίνησης µε την µορφή της σχέσεως (2), θεωρούσε αυτονόητο ότι, η µά ζα ενός υλικού σηµείου ως προς όλα τα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη της ταχύτητάς του. H άποψη αυτή, που δεν αµφισβη τήθηκε επί δύο περίπου αιώνες, δέχθηκε ισχυρό πλήγµα από τον A. Einstein, ο οποίος, µέσω της ειδικής θεωρίας της Σχετικότητας ισχυρίσθηκε ότι, η µάζα ενός υλικού σηµείου εξαρτάται από την ταχύτητά του. H εξάρτηση αυτή επιβεβαιώθηκε πειραµατικά στην περίπτωση σωµατιδίων, που µέσα σε κατάλληλες επιταχυντικές διατάξεις αποκτούν ταχύτητές, που πλησιάζουν σηµαντικά την ταχύτητα διαδόσε ως του φωτός στο κενό. Tο ερώτηµα λοιπόν που προκύπτει είναι, αν ο νόµος µετα βολής της ορµής που εκφράζει η διανυσµατική σχέση (2), ισχύει στην περίπτωση που η µάζα ενός υλικού σηµείου µεταβάλλεται µε την ταχύτητά του ως προς κά ποιο αδρανειακό σύστηµα. Aπάντηση στο ερώτηµα αυτό έδωσε ο Einstein, υποστη ρίζοντας ότι, η σχέση

�

d!

P /dt=!

F !"

ισχύει και στην περίπτωση που η µάζα του υλι κού σηµείου µεταβάλλεται µε την ταχύτητά του, αρκεί να αναθεωρηθεί η έννοια της ορµής του υλικού σηµείου και να αντικασταθεί µε την λεγόµενη σχετικιστι κή ορµή. Έτσι, στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας η ορµή ενός υλικού σηµεί ου ορίζεται µέσω της διανυσµατικής σχέσεως:

�

!

P =m0

! v

1 - (v/C)2 (3)

όπου

�

! v η ταχύτητα τού υλικού σηµείου, C η ταχύτητα διαδόσεως του φωτός στο

κενό της οποίας η τιµή είναι ίδια για όλα τα αδρανειακά συστήµατα καί m0 η µάζα ηρεµίας* του υλικού σηµείου, δηλαδή η µάζα του όταν αυτό ηρεµεί ως πρός το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς από το οποίο εξετάζεται. O γενικευµένος νόµος µεταβολής της ορµής, όπως τον απαιτεί η ειδική θεωρία της Σχετικότητας έχει την µορφή:

�

d

dt

m0

! v

1 - (v/C)2

!

"

# #

$

%

& &

=!

F '( (4)

Στήν περίπτωση πού το µέτρο της ταχύτητας του υλικού σηµείου είναι πολύ µικ ρότερο της ταχύτητας C, δηλαδή όταν ισχύει v<<C, τότε µπορούµε να ισχυριστού µε ότι

�

1-(v/C)2! 1, οπότε η σχέση (4) παίρνει την µορφή:

�

d

dtm

0

! v ( ) =

!

F !"

�

!

�

m0

d! v

dt=

!

F !"

�

!

�

m0

! a =

!

F !"

δηλαδή µεταπίπτει στον κλασσικό θεµελιώδη νόµο της Mηχανικής. -------------------------------- * H µάζα ηρεµίας m0 ενός υλικού σηµείου διατηρεί την ίδια τιµή σε όλα τα αδρανεια κα συστήµατα αναφοράς, δηλαδή αποτελεί µια αναλλοίωτη ποσότητα.

3. Kέντρο µάζας συστήµατος υλικών σηµείων Θεωρούµε ένα σύνολο υλικών σηµείων µε µάζες m1, m2,...mn, των οποίων τα δια νύσµατα θέσεως ως προς την αρχή O ενός αδρανειακού συστήµατος αναφοράς Oxyz είναι

�

! r 1,

�

! r 2,...

�

! r n αντιστοίχως. Oρίζουµε ως κέντρο µάζας των υλικών σηµεί

ων, ένα σηµείο C του οποίου το διάνυσµα θέσεως

�

! r C ικανοποιεί την σχέση:

�

M! r C

= m1

! r 1+ m

2

! r 2+ ... + m

n

! r n

Σχήµα 2

όπου M η συνολική µάζα των υλικών σηµείων, που είναι ίση µε το αθροισµα m1+m2+...+mn. Για το κέντρο µάζας ενός συστήµατος υλικών σηµείων ισχύουν µερικά πολύ ενδιαφέροντα θεωρήµατα, τα οποία µας διευκολύνουν στο να εξετά σουµε την κινητική συµπεριφορά του συστήµατος Θεώρηµα 1ο H ορµή ενός συνόλου υλικών σηµείων, ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, είναι ίση µε την ορµή του κέντρου µάζας του, στο οποίο θεωρούµε ότι έχει συγκεν τρωθεί όλη η µάζα των υλικών σηµείων. Aπόδειξη: Έστω m1, m2,...mn οι µάζες των υλικών σηµείων και

�

! r 1,

�

! r 2,...

�

! r n τα αντί

στοιχα διανύσµατα θέσεως αυτών κατά µια τυχαια χρονική στιγµή t, ως πρός την αρχή O του συστήµατος αναφοράς που χρησιµοποιούµε. Tότε το αντίστοιχο διάνυσ µα θέσεως

�

! r C του κέντρου µάζας C των υλικών σηµείων, θα ικανοποιεί την σχέση:

�

M! r C

= m1

! r 1+ m

2

! r 2+ ... + m

n

! r n (1)

όπου M η συνολική µάζα των υλικών σηµείων. Παραγωγίζοντας την σχέση (1) ως προς τον χρόνο, παίρνουµε:

�

Md! r C

dt= m

1

d! r 1

dt+ m

2

d! r 2

dt+ ... + m

n

d! r n

dt

�

!

�

M! v

C= m

1

! v

1+ m

2

! v

2+ ... + m

n

! v

n (2)

όπου

�

! v

C η ταχύτητα του κέντρου µάζας των υλικών σηµείων και

�

! v

1,

�

! v

2, ...

�

! v

n οι

ταχύτητές τους κατά την χρονική στιγµή t, ως προς το σύστηµα αναφοράς. Όµως το δεύτερο µέλος της (2) αποτελεί τη ορµή

�

! P

!" του συνόλου των υλικών σηµείων,

οπότε η (2) γράφεται:

�

! P !"

= M! v

C (3)

Η (3) αποτελεί την µαθηµατική διατύπωση του θεωρήµατος. Σπουδαία παρατήρηση: Eάν το σύστηµα αναφοράς, ως προς το οποίο εξετάζεται το σύνολο των υλικών σηµείων κινείται µε την ταχύτητα

�

! v

C του κέντρου µάζας, τότε η ορµή

�

! P

C όλων

των υλικών σηµείων ως προς το σύστηµα αυτό θα είναι:

�

!

P C

= m1

! v '

1+m

2

! v '

2+... + m

n

! v '

n

�

!

�

!

P C = m1(! v 1 -! v C) + m2(

! v 2 -

! v C) + ... + mn(

! v n -

! v C) (4)

όπου

�

! v '

1,

�

! v '

2,...

�

! v '

n οι σχετικές ταχύτητες των υλικών σηµείων ως προς το κέντρο

µάζας. Eκτελώντας τις πράξεις στο δεύτερο µέλος της (4) παίρνουµε:

�

!

P C = m1

! v 1 + m2

! v 2 + ... + mn

! v n - (m1 + m2 + ... + mn)

! v C

�

!

�

!

P C

= m1

! v

1+ m

2

! v

2+ ... + m

n

! v

n- M! v

C

�

!

(2) _

�

!

P C

=

!

0 (5) Δηλαδή η ορµή ενός συνόλου υλικών σηµείων, στο σύστηµα αναφοράς του κέντ ρου µάζας του, είναι µηδενική. Aκόµη πρέπει να παρατηρήσουµε ότι, αν στο σύστη µα των υλικών σηµείων δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµεις ή ασκούνται εξωτερι κές δυνάµεις που η συνισταµένη τους είναι µηδενική (µηχανικά µονωµένο σύστη µα), τότε η ορµή του κέντρου µάζας του συστήµατος είναι σταθερή, που σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας του ή κινείται ευθύγραµµα και οµαλά ή µένει ακίνητο, ως προς το σύστηµα αναφοράς που χρησιµοποιούµε. Θεώρηµα 2ο Tο κέντρο μάζας ενός συνόλου υλικών σημείων κινείται, ως πρός ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, σαν υλικό σημείο με μάζα ίση προς την συνολική μάζα τους, στο οποίο επενεργούν όλες οι εξωτερικές δυνάμεις που δέχονται τα υλικά σημεία. Aπόδειξη: Eάν m1, m2,...mn είναι οι µάζες των υλικών σηµείων και

�

! v

1,

�

! v

2, ...

�

! v

n oι

αντίστοιχες ταχύτητές τους κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, τότε σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα θα ισχύει η σχέση:

�

M! v

C= m

1

! v

1+ m

2

! v

2+ ... + m

n

! v

n

�

!

�

Md! v

C

dt= m

1

d! v

1

dt+ m

2

d! v

2

dt+ ... + m

n

d! v

n

dt

�

!

�

M! a

C= m

1

! a

1+ m

2

! a

2+ ... + m

n

! a

n (1)

όπου

! a

C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας των υλικών σηµείων και

! a

1,

! a

2,...

! a

n οι

επί µέρους επιταχύνσεις τους υλικών ως προς το σύστηµα αναφοράς που χρησι µοποιούµε. Όµως για το τυχαίο υλικό σηµείο µάζας mi ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα δίνει:

�

m1

! a

1=

!

f 1+

!

f '1

όπου

!

f i η συνισταµένη εξωτερική δύναµη πού δέχεται το υλικό αυτό σηµείο και

!

f 'i η συνισταµένη των εσωτερικών δυνάµεων που αυτό δέχεται από τα υπόλοιπα

υλικά σηµεία. Έτσι η σχέση (1) παίρνει την µορφή:

�

M! a C = (

!

f 1 +!

f '1 ) + (!

f 2 +!

f '2 ) + ... + (!

f n +!

f 'n )

�

!

�

M! a C = (

!

f 1 +!

f 2 + ... +!

f n) + (!

f '1 +!

f '2 ... +!

f 'n )

�

!

�

M! a C = !(

!

f i ) + !(!

f 'i ) Όµως, σύµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης-αντίδρασης η συνιστα µένη

�

!(!

f 'i ) όλων των εσωτερικών δυνάµεων είναι µηδενική, οπότε η προηγούµε νη σχέση γράφεται:

�

M! a C = !(

!

f i ) !

�

M! a

C=

!

F !"

(2) H σχέση (2) αποτελεί την µαθηµατική διατύπωση του θεωρήµατος. Παρατήρηση: Eάν τα υλικά σηµεία του συστήµατος βρίσκονται υπό την επίδραση µόνο του πεδί ου βαρύτητας της Γης, τότε σύµφωνα µε την σχέση (2) η επιτάχυνση

! a

C του κέν

τρου µάζας τους θα είναι:

�

! a

C=! F !"

/M =! w

!"/M

!

�

! a C =

! g (3)

όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας, δηλαδή το κέντρο µάζας του συστήµατος

εκτελεί ελεύθερη πτώση. Έτσι, αν ένα υλικό σώµα κινείται µέσα στο πεδίο βαρύ τητας της Γης, ώστε το κέντρο µάζας του να διαγράφει µια ορισµένη καµπύλη και κάποια στιγµή αυτό διασπαστεί λόγω εσωτερικής έκρηξης, σε πολλά θραύσµατα, τότε αυτά θα κινούνται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε το κέντρο µάζας τους να εξακο λουθεί να διαγράφει την ίδια καµπύλη.

Θεώρηµα 3ο H κινητική ενέργεια ενός συνόλου υλικών σηµείων, ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, είναι ίση µε την κινητική ενέργεια του κέντρου µάζας των υλικών σηµείων πλέον την κινητική τους ενέργεια, ως προς το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους. Aπόδειξη: Eάν

�

! v

1,

�

! v

2, ...

�

! v

n είναι οι ταχύτητες των υλικών σηµείων, ως πρός το

θεωρούµενο σύστηµα αναφοράς και

! v

C η ταχύτητα του κέντρου µάζας των υλικών

σηµείων, τότε οι αντίστοιχες ταχύτητες τους

! v '

1,

! v '

2, ... ! v '

n στο σύστηµα αναφοράς

του κέντρου µάζας τους θα είναι:

�

! v '

1=! v

1-! v

C

! v '

2=! v

2-! v

C

.................! v '

n=! v

n-! v

C

!

"

# #

$

#

#

!

�

! v

1=! v '

1+! v

C

! v

2=! v '

2+! v

C

.................! v

n=! v '

n+! v

C

!

"

# #

$

#

#

(1)

H κινητική ενέργεια όλων των υλικών σηµείων, στο αδρανειακό σύστηµα αναφο ράς που διαλέξαµε, δίνεται από την σχέση:

�

K = (mivi

2 /2)! = [mi(! v i "! v i )/2] =! [mi(

! v 'i+! v C)" (

! v 'i+! v C)/2]!

!

�

K= [mi(v'i2+vC

2+2! v 'i !! v C)" /2]= (miv'i

2 /2)+" (mivC

2/2)+ [2mi(! v 'i !! v C/2)]"" !

�

K = KC + (vC

2 /2) (mi) +!! v C " (mi

! v 'i )! =

�

KC + MvC

2 /2 +! v C ! (mi

! v 'i )" (2)

όπου KC η κινητική ενέργεια του συνόλου των υλικών σηµείων στο σύστηµα ανα φοράς του κέντρου µάζας τους και M η συνολική µάζα τους. Όµως το διανυσµα τικό άθροισµα

�

!(mi

! v 'i ) αποτελεί την ορµή του συνόλου των υλικών σηµείων στο

σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους και εποµένως είναι ίσο µε µηδέν, οπότε η (2) γράφεται τελικά.

�

K = KC

+ MvC

2/2 (3)

H σχέση (3) αποτελεί την µαθηµατική διατύπωση του θεωρήµατος. Παρατήρηση: Eνδιαφέρον παρουσιάζει να κατανοήσουµε ότι, ο όρος

�

KC = (miv'i2 /2)! που παρου

σιάζεται στο δεύτερο µέλος της (3) εκφράζει την κινητική ενέργεια που υπολογίζει για το σύνολο των υλικών σηµείων ένας παρατηρητής που ακινητεί σε σχέση µε το κέντρο µάζας τους, Η κινητική αυτή ενέργεια ονοµάζεται εσωτερική κινητι κή ενέργεια των υλικών σηµείων

4. Oρµή υλικού σώµατος Ένα υλικό σώµα είναι ένα σύνολο από υλικά σηµεία, τα οποία αλληλοεπιδρούν µε δυνάµεις µοριακής φύσεως, που ονοµάζονται δυνάµεις συνοχής. Oρίζεται ως κέντρο µάζας ενός υλικού σωµατος το κέντρο µάζας C των υλικών σηµείων από τα οποία αυτό αποτελείται. Mε βάση τον ορισµό αυτό και τα όσα αναφέρθηκαν για το κέντρο µάζας ενός συστήµατος υλικών σηµείων, η ορµή ενός σώµατος είναι κάθε στιγµή ίση µε την ορµή

!

P C του κέντρου µάζας του C, αν σ’ αυτό θεωρήσουµε

συγκεντρωµένη όλη τη µάζα του σώµατος. Έτσι, εάν

! v

C είναι η ταχύτητα του κέν

τρου µάζας του σώµατος κατά µια οποιαδήποτε χρονική στιγµή, τότε η αντίστοιχη ορµή του θα είναι:

�

!

P !"µ =

!

P C= m! v

C όπου m η µάζα του σώµατος. Eίναι προφανές ότι, η ορµή του σώµατος είναι διανυσ µατικό µέγεθος, του οποίου το διάνυσµα εφάπτεται της τροχιάς που διαγράφει το κέντρο µάζας του σώµατος και έχει φορά την φορά της κίνησής του. Tέλος η µετα βολή της ορµής του σώµατος µεταξύ δύο θέσεών του θα είναι ίση µε την αντίστοι

Σχήµα 3

χη µεταβολή της ορµής του κέντρου µάζας του, στο οποίο θεωρούµε συγκεν τρωµένη ολόκληρη τη µάζα του σώµατος. Eξάλλου για την κίνηση του κέντρου µάζας ενός σώµατος ισχύει µε βάση το 2ο θεώρηµα η ακόλουθη πρόταση: Tο κέντρο µάζας ενός σώµατος κινείται ως υλικό σηµείο, µε µάζα ίση προς τη µάζα του σώµατος, στο οποίο ενεργούν όλες οι επί του σώµατος εξασκούµενες δυνάµεις. 5. Ώθηση δύναµης Aς δεχθούµε ότι µια εν γένει µεταβλητή δύναµη ενεργεί πάνω σε υλικό σώµα. Eξετάζοντας το σώµα µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, όπου dt ένα στοι χειώδες (πολύ µικρό) χρονικό διάστηµα µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η δύναµη αποτελεί κατά τον χρόνο dt ορισµένη διανυσµατική ποσότητα

�

!

F . Oρίζεται ως στοι χειώδης ώθηση της δύναµης για τον χρόνο dt και συµβολίζεται µε d

!

! , το γινόµε νο

�

!

F dt, δηλαδή ισχύει:

�

d! ! =

!

F dt (1) Aπό τον παραπάνω ορισµό προκύπτει ότι, η στοιχειώδης ώθηση d

!

! έχει την διεύ

θυνση και την φορά της

�

!

F , το δε µέτρο της είναι

�

|d! ! | = |

! F |dt. Έστω τώρα ότι

θέλουµε να υπολογίσουµε την ώθηση

�

!

! της δύναµης, για ένα χρονικό διάστηµα, που περιέχεται µεταξύ των χρονικών στιγµών tα και tβ. Προς τούτο διαµερίζουµε το διάστηµα αυτό σε στοιχειώδη χρονικά διαστήµατα dt1, dt2,...dtn στα οποία αντι

στοιχούν οι τιµές

�

!

F 1,

�

!

F 2,...

�

!

F n της δύναµης. Tότε για τις αντίστοιχες στοιχειώδεις

ωθήσεις d

!

! 1, d!

! 2,...

d

!

! n της δύναµης, θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

d! !

1=!

F 1dt

1

d! !

2=!

F 2dt

1

..................

d! !

n=!

F ndt

n

"

#

$ $

%

$

$

�

!

(+ )

�

(d! ! i )" = (

!

F idti )" (2)

Όµως το διανυσµατικό άθροισµα

�

!(d! " i ) αποτελεί εξ’ ορισµού την ώθηση

�

!

! της δύναµης για το χρονικό διάστηµα tβ-tα , δηλαδή ισχύει:

�

! ! = (d

! ! i )" = (

!

F idti )" (3) Στην περίπτωση που η δύναµη είναι σταθερή στην διάρκεια του χρόνου tβ-tα τότε, σύµφωνα µε την γενική σχέση (3), η αντίστοιχη ώθησή της είναι:

�

! ! =

!

F (dti )" =!

F (t# - t$ ) (4)

όπου

�

!

F η σταθερή τιµή της δύναµης. Eξάλλου, εάν η δύναµη που εξετάζουµε έχει σταθερό φορέα, αλλά η φορά της και το µέτρο της µεταβάλλονται χρονικά, τότε η διανυσµατική σχέση (3) µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών, που έχει την µορφή:

�

! = F1dt1+ F2dt2 + ... +Fndtn = "(Fidti ) (5)

όπου

�

F1,

�

F2, ...

�

Fn οι αλγεβρικές τιµές της δύναµης, κατά τα στοιχειώδη χρονικά

διαστήµατα dt1, dt2,...dtn αντιστοίχως, στα οποία διαµερίζεται ο χρόνος tβ-tα.Έστω ότι, είναι γνωστή η συνάρτηση:

�

F = f(t) , t! " t " t#

που εκφράζει την αλγεβρική τιµή της δυνάµης µε τον χρόνο t και ότι, η γραφική της παράσταση είναι η καµπύλη γραµµή του σχήµατος (4). Παρατηρούµε ότι το άθ ροισµα

�

!(Fidti ) εκφράζει το εµβαδόν του µικτόγραµµου σχήµατος (tαABΓtβ,) δηλα δή ισχύει:

�

!(Fidti) = "µ#(t$ABt# )

�

!

(5)

�

! = "µ#(t$ABt# ) (6)

H αλγεβρική τιµή

�

! καθορίζει πλήρως την ώθηση της

�

!

F για τον χρόνο tβ-tα, διότι το πρόσηµό της παρέχει την φορά της ώθησης σε σχέση µε την θετική φορά που

Σχήµα 4

έχουµε επιλέξει πάνω στον σταθερό φορέα της

�

!

F , ενώ η απόλυτη τιµή της καθορί ζει το µέτρο της ώθησης. Tέλος πρέπει να παρατηρήσουµε ότι, το άθροισµα

�

!(Fidti ) εκφράζει ουσιαστικά το ορισµένο ολοκλήρωµα της συνάρτησης F=f(t) µε όρια ολοκλήρωσης tα και tβ, δηλαδή ισχύει:

�

! = "(Fidti) = (Fdt)t!

t"

#

6. Θεώρηµα ώθησης-ορµής Θεωρούµε ένα υλικό σηµείο που κινείται µε την επίδραση πολλών δυνάµεων, που η συνισταµένη τους

�

!

F !"

είναι εν γένει δύναµη χρονικά µεταβαλλόµενη. Aς υπολο γίσουµε την µεταβολή της ορµής του υλικού σηµείου σ’ ένα χρονικό διάστηµα, που περιέχεται µεταξύ των χρονικών στιγµών tα και tβ. Προς τούτο διαµερίζουµε το χρονικό αυτό διάστηµα σε στοιχειώδη χρονικά διαστήµατα dt1, dt2,...dtn και

ονοµάζουµε d

!

P 1, d!

P 2,...

d

!

P n τις αντίστοιχες στοιχειώδεις µεταβολές της ορµής του

υλικού σηµείου. Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα υπό την γενικευµένη του µορφή θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

d!

P 1

=!

F 1dt

1

d!

P 2

=!

F 2dt

1

..................

d!

P n

=!

F ndt

n

!

"

# #

$

#

#

!(+)

�

(d!

P i)! = (!

F idti )! (1)

όπου

�

!

F 1,

�

!

F 2,...

�

!

F n οι τιµές της συνισταµένης δύναµης, που αντιστοιχούν στα στοι

χειώδη χρονικά διαστήµατα. Eίναι προφανές ότι, η συνολική µεταβολή της ορµής

του υλικού σηµείου στην διάρκεια του χρόνου tβ-tα θα είναι ίση µε το διανυσµατι

κό άθροισµα

�

!(! F idti) δηλαδή θα ισχύει η σχέση:

�

! P !"# -

! P $%& ='(d

! P i)

�

!

(1)

�

! P !"# -

! P $%& ='(Fidti ) (2)

όπου

�

!

P !"# η ορµή του υλικού σηµείου κατά την χρονική στιγµή tα (αρχική ορµή)

και

�

!

P !"#

η ορµή του κατά την χρονική στιγµή tβ (τελική ορµή). Όµως το άθροισµα

�

!(! F idti) αποτελεί την ώθηση

!

!

"# της συνισταµένης δύναµης επί του υλικού ση

µείου για το χρονικό διάστηµα tβ-tβ , οπότε η σχέση (2) παίρνει την µορφή:

�

!

P !"# -

!

P $%& =

! ' !

F (# !

�

!

P !"# =

!

P $%& +

! ' !

F (# (3)

H διανυσµατική σχέση (3) αποτελεί την µαθηµατική έκφραση µιας πολύ σπουδαίας πρότασης, η οποία είναι γνωστή ως θεώρηµα ωθησης-ορµής και έχει την ακόλου θη διατύπωση: H τελική ορµή που αποκτά ένα υλικό σηµείο, όταν πάνω σ’ αυτό επιδράσουν επί ορισµένο χρόνο διάφορες δυνάµεις, είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα της αρχι κής του ορµής και της ώθησης της συνισταµένης των δυνάµεων αυτών, για τον θεω ρούµενο χρόνο. Παρατηρήσεις: i) Tο θεώρηµα ώθησης-ορµής ισχύει και για υλικό σώµα, αρκεί να αναφέρεται στην κίνηση που εκτελεί το κέντρο µάζας του σώµατος, στο οποίο θεωρούµε συγκεντρωµένη όλη τη µάζα του και ότι ενεργούν πάνω σ’ αυτό, όλες οι επί του σώµατος εξασκούµενες δυνάµεις. ii) Tο θεώρηµα ώθησης-ορµής ισχύει ανεξάρτητα από το είδος της κίνησης που εκτελεί το κέντρο µάζας του σώµατος και ανεξάρτητα από το αν οι δυνάµεις που ενεργούν επί του σώµατος είναι σταθερές ή όχι. iii) Eάν η συνισταµένη όλων των επί του σώµατος εξασκούµενων διατηρείται σταθερή σ’ όλη την διάρκεια του χρόνου tβ-tα , τότε η γενική σχέση (3) γράφεται:

�

!

P !"# =!

P $%& +!

F '# (t( - t$ ) (4)

όπου

�

!

F !"

η σταθερή τιµή της συνισταµένης δύναµης.

7. Eφαρµογές του θεωρήµατος ώθησης-ορµής i) Yπολογισµός της µέσης δύναµης κρούσεως σώµατος, µε ανένδοτη επιφάνεια Θεωρούµε µια ελαστική µπάλλα A, η οποία προσκρούει κάθετα σε κατακόρυφο τοίχο µε ταχύτητα

�

! v

! και ανακλάται επίσης κάθετα προς τον τοίχο, µε ταχύτητα

�

! v

! (σχ. 5). Eάν !

!

P είναι η µεταβολή της ορµής της σφαίρας στον χρόνο που διαρ κεί η επαφή της µε τον τοίχο, θα ισχύει η σχέση:

�

!!

P =

!

P "#$ -

!

P %&' = m! v % - m

! v (

�

!

�

!

!

P = m[! v

"+ (-! v

#)] (1)

Eπειδή τα διανύσµατα

�

! v

! και -

�

! v

! είναι οµόρροπα, από την σχέση (1) προκύπτει

ότι η µεταβολή !!

P της ορµής της σφαίρας είναι οµόρροπη της

�

! v

!, το δε µέτρο της

είναι: ΔP = m(vα + vπ) (2) Eάν

�

!

F είναι η δύναµη επαφής που δέχεται η µπάλλα από τον τοίχο και ! w το βά

ρος της σφαίρας, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα ωθησης-ορµής κατά τον χρόνο κρούσεως Δtα της µπάλλας θα ισχύει:

�

!

!

P =! " !

F +! " !

w #

! " !

F (3)

Σχήµα 5 διότι η ώθηση

�

! ! !

w του βάρους της µπάλλας για τον πολύ µικρό χρόνο Δtα (Δtα→ 0)

θεωρείται αµελητέα έναντι της αντίστοιχης ώθησης

�

! ! !

F της δυνάµης κρούσεως.

Όµως το µέτρο της δύναµης κρούσεως από την στιγµή που η µπάλλα έρχεται σε επαφή µε τον τοίχο, µέχρι την στιγµή που αποχωρίζεται από αυτόν, µεταβάλλεται µε τον χρόνο, η δε µεταβολή αυτή εκφράζεται γραφικά περίπου µε την καµπύλη γραµµή (α) του σχήµατος (6). Tο εµβαδόν E(α) που καθορίζεται από την καµπύλη αυτή και τον άξονα των χρόνων εκφράζει το µέτρο της ώθησης της δύναµης

�

!

F για το χρόνο Δtα, δηλαδή ισχύει:

E(α) = |

�

! ! !

F |

�

!

(3)

E(α)=ΔP

�

!

(2)

E(α)=m(vα + vπ) (4) Aς θεώρησουµε τώρα και µια άλλη µπάλλα Β, περισσότερο σκληρή από την A, δη λαδή λιγώτερο ελαστική από αυτήν, η οποία προσπίπτει στον τοίχο και ανακλάται κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο µε την A. Tότε η µεταβολή της ορµής της µπάλλας Β θα είναι πάλι !

!

P , αλλά τώρα ο χρόνος επαφής Δtβ της µπάλλας αυτής µε τον τοί χο θα είναι µικρότερος. Aυτό σηµαίνει ότι, η γραφική παράσταση του µέτρου της δύναµης επαφής σε συνάρτηση µε τον χρόνο θα είναι η καµπύλη (β), το δε εµβα δόν E(β) που καθορίζει η καµπύλη αυτή και ο άξονας των χρόνων θα είναι ίσο µε ΔP, δηλαδή θα ισχύει: E(β)=ΔP=m(vα + vπ) (5) Aπό (4) και (5) προκύπτει E(α) = E(β), που σηµαίνει ότι, η µέγιστη τιµή F(α) µax της δύναµης επαφής για την µπάλλα A είναι µικρότερη της αντίστοιχης µέγιστης τι µής F(β) µax για την µπάλλα Β. Mε τον ίδιο τρόπο εξηγείται γιατί, όταν ένα αυτοκί νητο συγκρούεται µετωπικά µε ανένδοτο τοίχωµα παραµορφώνεται έντονα, ενώ, όταν πέσει µε την ίδια ταχύτητα πάνω σ’ ένα σωρό άµµου η παραµόρφωσή του είναι ασήµαντη. Στην πρώτη περίπτωση η ορµή του αυτοκινήτου µηδενίζεται σε

Σχήµα 6 πολύ µικρότερο χρόνο απ’ ότι στην δεύτερη περίπτωση µε αποτέλεσµα η µέγιστη τιµή της δύναµης κρούσεως στην πρώτη περίπτωση να υπερβαίνει κατά πολύ την αντίστοιχη δύναµη κρούσεως στην δεύτερη περίπτωση. Παρατήρηση: Aς υποθέσουµε ότι, στην διάρκεια Δtα της επαφής της µπάλλας A µε τον τοίχο, η δύναµη κρούσεως είναι σταθερή, µε µέτρο Fα. Tότε το µέτρο της ώθησης της

δύναµης αυτής θα είναι FαΔtα και θα ισχύει: FαΔtα = m(vα + vπ) (6) H σταθερή δύναµη

�

! F !της οποίας το µέτρο ικανοποιεί την σχέση (6), ονοµάζεται

µέση δύναµη κρούσεως της µπάλλας A, για το χρόνο Δtα της επαφής της µε τον τοίχο. Eξάλλου, εάν

�

! F ! είναι η µέση δύναµη κρούσεως της µπάλλας Β για το χρό

νο Δtβ, θα ισχύει: Fβ’Δtβ = m(vα + vπ) (7) Συνδυάζοντας τις (6) και (7) παίρνουµε την σχέση: FαΔtα = Fβ’Δtβ !

�

F! /F" = #t" /#t! < 1

ii) Θεωρητική απόδειξη της αρχής διατήρησης της ορµής κατά την κρούση δύο σωµάτων Θεωρούµε δύο σώµατα A και B τα οποία έρχονται σε βίαιη επαφή (σύγκρουση), η οποία διαρκεί πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt!0). Mπορούµε για κάθε σώµα να ισχυ ριστούµε ότι, κατά τον χρόνο Δt κυριαρχεί η δύναµη κρούσεως που δέχεται, σε σχέση µε άλλες πεπερασµένες δυνάµεις που είναι πιθανον να ενεργούν στο σώµα, και αυτό σηµαίνει ότι οι ωθήσεις των δυνάµεων αυτών κατά τον χρόνο Δt, µπορούν να θεωρηθούν αµελητέες σε σχέση µε την αντίστοιχη ώθηση της δύναµης

Λίγο πριν την κρούση Αµέσως µετά την κρούση

Σχηµα 7

κρούσεως. Eάν λοιπόν εφαρµόσουµε για τα σώµατα A και B το θεώρηµα ώθησης-ορµής θα έχουµε:

�

!

P 'A

=

!

P A

+! ! !

F A!

P 'B

=

!

P B

+! ! !

F B

"

# $

% $

�

!

(+ )

�

!

P 'A+

!

P 'B=

!

P A

+

!

P B

+! ! !

F A+! ! !

F B (1)

όπου

!

P A,

!

P B οι ορµές των σωµάτων A και B αντιστοίχως, λίγο πριν την κρούση

τους,

!

P 'A,

!

P 'B οι ορµές των σωµάτων αυτών αµέσως µετά την κρούση τους και

�

! ! !

F A,

�

! ! !

F B

οι ωθήσεις των δυνάµεων κρούσεως

�

!

F A και

�

!

F B για τον χρόνο Δt. Όµως

σύµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης-αντίδρασης κάθε στιγµή ισχύει

�

!

F A=-

!

F B, οπότε και οι ωθήσεις των δύο δυνάµεων θα είναι αντίθετες, δη

λαδή θα ισχύει:

�

! ! !

F A+! ! !

F B=

!

0 (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

�

!

P 'A+

!

P 'B=

!

P A

+

!

P B !

�

!

P λίγο πριν =

�

!

P αµέσως µετά δηλαδή η ορµή του συστήµατος των δύο σωµάτων δεν µεταβάλλεται λόγω της κρούσεώς τους. (σχ. 7) 8. Aρχή διατήρησης της ορµής σε µηχανικά µονωµένο σύστηµα σωµάτων Oνοµάζεται σύστηµα σωµάτων ένα σύνολο από σαφώς καθορισµένα σώµατα, του οποίου ενδιφερόµαστε να µελετήσουµε την φυσική συµπεριφορά. Σε κάθε σύστηµα σωµάτων διακρίνουµε τις εσωτερικές και τις εξωτερικές του δυνάµεις. Eσωτε ρικές δυνάµεις ενός συστήµατος σωµάτων ονοµάζονται οι δυνάµεις που ασκούνται πάνω στα σώµατα του συστήµατος εξ’ αιτίας των µεταξύ τους επιδράσεων. Σύµ φωνα µε το αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης-αντίδρασης, οι εσωτερικές δυνά µεις ανά δύο είναι αντίθετες και εποµένως για το σύστηµα αλληλοεξουδετερώνον ται, δηλαδή ισχύει η ακόλουθη πρόταση: H συνισταµένη των εσωτερικών δυνάµεων ενός συστήµατος σωµάτων, είναι κάθε στιγµή ίση µε µηδέν. Eξάλλου λέγοντας εξωτερικές δυνάµεις ενός συστήµατος σωµάτων εννοούµε τις δυνάµεις που ασκούνται πάνω στα σώµατα του συστήµατος, από άλλα σώµατα που δεν ανήκουν στο συστήµα, δηλαδή από τα σώµατα που αποτελούν το περιβάλλον του συστήµατος. Eάν ένα σύστηµα σωµάτων δεν δέχεται εξωτερικές δυνάµεις ή δέχεται εξωτερικές δυνάµεις, που η συνισταµένη τους κάθε στιγµή είναι ίση µε µηδέν, τότε το σύστηµα αυτό ονοµάζεται µηχανικά µονωµένο. Oρίζεται ως ορµή ενός συστήµατος σωµάτων το διανυσµατικό άθροισµα των ορµών των σωµάτων που το αποτελούν, δηλαδή ισχύει:¨

�

!

P !"!#

=!

P 1

+!

P 2

+ ... +!

P n

= m1

! v

1+ m

2

! v

2+ ... + m

n

! v

n (1)

όπου m1, m2,...mn οι µάζες των σωµάτων του συστήµατος και

�

! v

1,

�

! v

2,...

�

! v

n οι ταχύτη

τες τω κέντρων µάζας τους, κατά την στιγµή που το εξετάζουµε. Για κάθε σύστη µα σωµάτων ισχύει το θεώρηµα ώθησης-ορµής, που έχει την ακόλουθη διατύπωση: H τελική ορµή που αποκτά ένα σύστηµα σωµάτων, όταν πάνω σ’ αυτό επιδράσουν επί ορισµένο χρόνο κάποιες εξωτερικές δυνάµεις, είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα της αρχικής του ορµής και της ώθησης της συνισταµένης των εξωτερικών δυνάµεων για τον θεωρούµενο χρόνο. Aπόδειξη: Aς υποθέσουµε ότι, το σύστηµα αποτελείται από τα σώµατα Σ1, Σ2,...Σn

των οποίων οι αρχικές ορµές είναι

!

P 1,

!

P 2,...

!

P n αντιστοίχως, ενώ οι τελικές τους

ορµές µετά την επίδραση κάποιων εξωτερικών δυνάµεων είναι

!

P '1,

!

P '2,...

!

P 'n

αντισοίχως. Eφαρµόζοντας για κάθε σώµα του συστήµατος το θεώρηµα ώθησης-ορ µής, κατά τον χρόνο επίδρασης των εξωτερικών δυνάµεων, παίρνουµε τις σχέσεις:

�

!

P '1=

!

P 1+! !

1+! ! '

1!

P '2=

!

P 2+! !

2+! ! '

2

..........................!

P 'n=

!

P n+! !

n+! ! '

n

"

#

$ $

%

$

$

�

!

(+ )

�

(!

P 'i )! = (!

P i)! + (! " i )! + (

! " 'i )! (1)

όπου

�

! !

1,

�

! !

2,...

�

! !

n οι ωθήσεις των εξωτερικών δυνάµεων που δέχονται τα σώµατα

του συστήµατος και

�

! ! '

1,

�

! ! '

2,…

�

! ! '

n οι αντίστοιχες ωθήσεις των εσωτερικών δυνά

µεων. Όµως το διανυσµατικό άθροισµα

�

!(! " i ) αποτελεί την ώθηση

�

! !

"# της συνι

σταµένης των εξωτερικών δυνάµεων του συστήµατος για τον χρόνο επίδρασής τους, ενώ το διανυσµατικό άθροισµα

�

!(! " 'i ) είναι ίσο µε µηδέν, λόγω του αξιώµα

τος της ισότητας µεταξύ δράσης-αντίδρασης. Έτσι η διανυσµατική σχέση (1) τελι κά γράφεται:

�

!

P !"#$%$!

=

!

P &'($%$!

+

! ) *# (2)

Eάν το σύστηµα που εξετάζουµε είναι µηχανικά µονωµένο, τότε ισχύει

�

!

F !"

=

!

0

δηλαδή

�

! !

"#=

!

0 , οπότε η σχέση (2) στην περίπτωση αυτή παίρνει την µορφή:

�

!

P !"#$%$!

=

!

P &'($%$! (3)

H σχέση (3) αποτελεί την µαθηµατική διατύπωση ενός πολύ σπουδαίου νόµου της Φυσικής, ο οποίος είναι γνωστός ως αρχή διατήρησης της ορµής και έχει την ακόλουθη διατύπωση: H ορµή ενός µηχανικά µονωµένου συστήµατος σωµάτων δεν µεταβάλλεται, όταν στο σύστηµα εξελλίσσονται φυσικά φαινόµενα.

9. Eφαρµογές της αρχής διατήρησης της ορµής i) Eκτόξευση σώµατος µε απελευθερώση συµπιεσµένου ελατηρίου Θεωρούµε δύο σώµατα Σ1, Σ2 µε αντίστοιχες µάζες m1, m2, τα οποία βρίσκονται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Aνάµεσα στα σώµατα παρεµβάλλεται οριζόντιο ιδανικό ελατήριο, που είναι συµπιεσµένο κατά x0 από την φυσική του κατάσταση και οι άκρες του είναι σε απλή επαφή µε τα σώµατα, τα οποία κρατούνται ακίνητα µε τη βοήθεια οριζοντίου νήµατος, όπως φαίνεται στο σχήµα (8). Kάποια στιγµή κόβουµε το νήµα, οπότε τα σώµατα Σ1 και Σ2 υπό την επίδραση των δυνάµεων

�

!

F 1

και

�

!

F 2 που δέχονται από το συµπιεσµένο ελατήριο αρχίζουν να κινούνται αντίρ

ροπα κατά µήκος του γεωµετρικού άξονα του ελατηρίου. H κίνηση των σωµάτων είναι αρχικά επιταχυνόµενη µέχρις ότου το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό του µήκος και στην συνέχεια γίνεται ευθύγραµµη οµαλή, αφού παύει η επαφή τους µε το ελατήριο, οπότε µηδενίζονται οι δυνάµεις

�

!

F 1 και

�

!

F 2. Tο σύστηµα των σωµάτων

Σ1, Σ2 και του ελατηρίου είναι µηχανικά µονωµένο σ’ όλη την διάρκεια που τα σώµατα είναι σ’ επαφή µε το ελατήριο, αφού τα βάρη των σωµάτων εξουδετερώ νονται από τις αντίστοιχες κάθετες αντιδράσεις του λείου οριζοντίου επιπέδου, ενώ το βάρος του ελατηρίου είναι περίπου µηδέν, αφού αυτό θεωρήθηκε ιδανικό.

Σχήµα 8

Έτσι για το σύστηµα αυτό ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής κατά την διάρκεια που τα σώµατα επιταχύνονται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

!

0 +!

0 = m1

! v

1+ m

2

! v

2 (1)

όπου

�

! v

1,

�

! v

2 οι ταχύτητες των σωµάτων Σ1 και Σ2 αντιστοίχως, την στιγµή που το

ελατήριο αποκτά το φυσικό του µήκος, δηλαδή την στιγµή που τα δύο σώµατα αποχωρίζονται από αυτό. Θεωρώντας ως θετική φορά πάνω στην διεύθυνση κίνη σης των δύο σωµάτων την προς τα δεξιά, η σχέση (1) δίνει: 0 = m2v2 - m1v1

�

! m2v2 = m1v1/m2 (2) Eξάλλου, λόγω έλλειψης τριβής ανάµεσα στα σώµατα και στο οριζόντιο επίπεδο η

µηχανική ενέργεια του συστήµατος δεν µεταβάλλεται καθώς τα σώµατα επιταχύ νονται εκ της ηρεµίας, οπότε ισχύει η σχέση:

�

E!"# = E$%&

�

!

�

kx0

2

2=

m1v

1

2

2+

m2v

2

2

2 (3)

όπου k η σταθερά του ελατηρίου. Aπό τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

�

kx0

2

2=

m1v

1

2

2+

m2

2

m1v

1

m2

!

" #

$

% &

2

=m

1v

1

2

21+

m1

m2

!

" #

$

% &

�

!

�

U0= K

11+

m1

m2

!

" #

$

% &

�

!

�

K1=

U0m

2

m1+ m

2

(4)

όπου K1 η τελική κινητική ενέργεια του σώµατος Σ1 και U0 η αρχική δυναµική ενέργεια ελαστικής παραρµόρφωσης του ελατηρίου. Mε τον ίδιο τρόπο εργαζόµε νοι βρίσκουµε ότι, η τελική κινητική ενέργεια K2 του σώµατος Σ2 δίνεται από την σχέση:

�

K2=

U0m

1

m1+ m

2

(5)

Διαιρώντας τις σχέσεις (3) και (4) κατά µέλη παίρνουµε:

�

K1

K2

=m

2

m1

(6)

δηλαδή οι τελικές κινητικές ενέργειες που αποκτούν τα σώµατα Σ1 και Σ2 είναι αν τιστρόφως ανάλογες των µαζών τους. ii) Διάσπαση ραδιενεργών πυρήνων (*) Στην Πυρηνική Φυσική είναι γνωστό το φαινόµενο της ραδιενέργειας τύπου άλφα, όπου ένας ραδιενεργός πυρήνας (µητρικός πυρήνας) διασπάται αυτόµατα, δηλαδή χωρίς εξωτερική επίδραση, σ’ ένα νέο πυρήνα (θυγατρικός πυρήνας) και σ’ ένα σωµατίδιο α, δηλαδή σ’ ένα πυρήνα He. Kατά την διάσπαση αυτήν ελευθερώ νεται ενέργεια W0, η οποία εµφανίζεται ως κινητική ενέργεια Kθ του θυγατρικού πυρήνα και ως κινητική ενέργεια Kα του σωµατιδίου α, δηλαδή ισχύει:

�

W0

= K!+ K

"= m

!v!

2/2 + m

"v"

2/2

(1)

-------------------------------------------- (*) Ο θυγατρικός πυρήνας και το σωµάτιο άλφα θα θεωρηθούν κατα τους υπολογισ µούς ως µη σχετιστικά σωµατίδια, δηλαδή δεν θα τεθούν υπό τον έλεγχο της ειδικής Σχετικότητας.

όπου mθ, mα οι µάζες του θυγατρικού πυρήνα και του σωµατιδίου α αντιστοίχως,

�

! v ! η ταχύτητα ανάκρουσης του θυγατρικού πυρήνα και

�

! v

! η ταχύτητα εκποµπής

του σωµατιδίου α. Eξάλλου, κατά την διάσπαση του µητρικού πυρήνα ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής, δηλαδή η σχέση:

�

!

0 = m!

! v !+ m

"

! v

"

�

!

�

0 = m!v

!- m

"v

"

�

!

�

v!= m

"v

"/m

! (2)

Σχήµα 9

Συνδυάζοντας τις (1) και (2) παίρνουµε την σχέση:

�

W0

=m!

2

m"v"

m!

#

$ %

&

' (

2

+m"v"

2

2=

m"v"2

21+

m"

m!

#

$ %

&

' ( =

m!v! 2

2 1 +

m!

m"

�

!

�

W0

= K!m! + m"

m"

#

$ %

&

' ( (3)

H σχέση (3) µας επιτρέπει να υπολογίσουµε την ενέργεια διάσπασης του µητρικού πυρήνα M, αν γνωρίζουµε τις µάζες mα και mθ και µετρήσουµε πειραµατικά την κινητική ενέργεια του σωµατιδίου α. 10. Προωθητική δύναµη σε σύστηµα που εκτοξεύει µάζα H κίνηση ενός αεριωθούµενου αεροπλάνου ή ενός πυραύλου επιτυγχάνεται µε την εκτόξευση καυσαερίων, κατά την διεύθυνση του άξονα συµµετρίας του µε µεγάλη ταχύτητα. Tα καυσαέρια δηµιουργούνται σε ειδικό θάλαµο, όπου αναµειγνύεται το ειδικό καύσιµο υλικό µε οξυγόνο. Στην περίπτωση των αεριωθουµένων, το απαραί τητο για την καύση οξυγόνο λαµβάνεται από τον ατµοσφαιρικό αέρα και για τον λόγο αυτό τα αεριωθούµενα είναι κατάλληλα για πτήσεις σε µικρά ύψη, όπου υπάρχει άφθονο O2. Για πτήσεις σε πολύ µεγάλα ύψη, όπου το O2 λείπει παντελώς, χρησιµοποιούνται οι πύραυλοι, όπου το απαραίτητο O2 υπάρχει µέσα στους ίδιους τους πυραύλους. Για να γίνει κατανοητός ο µηχανισµός δηµιουργίας προωθητικής δύναµης σ’ ένα πύραυλο ή σ’ ένα αεριωθούµενο θα µελετήσουµε ένα ανάλογο µη χανικό σύστηµα, το οποίο αποτελείται από µια ευκίνητη άµαξα που µπορεί να κινείται χωρίς τριβή σε οριζόντιο έδαφος, πάνω στην οποία υπάρχει ένας άνθρω πος και ένας σωρός από όµοιες µικρές σφαίρες. (σχ. 10). Eίναι εύκολο να παρατη ρήσουµε πειραµατικά ότι, όταν ο άνθρωπος εκτοξεύει συνεχώς σφαίρες κατά την

οριζόντια διεύθυνση, τότε η άµαξα ο άνθρωπος και όσες σφαίρες έχουν αποµείνει στον σωρό επιταχύνονται µε ενιαίο τρόπο και µάλιστα αντίρροπα προς την σχετική ταχύτητα των σφαιρών, ως προς την άµαξα. H εξήγηση του φαινοµένου έχει ως εξής. O άνθρωπος εκτοξεύοντας τις σφαίρες κατά την οριζόντια διεύθυνση, εξασκεί

Σχήµα 10 πάνω σ’ αυτές µε τα χέρια του οριζόντια δύναµη. Σύµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης-αντίδρασης και οι σφαίρες εξασκούν στον άνθρωπο αντί θετη δύναµη, η οποία µέσω της τριβής που υπάρχει ανάµεσα στον άνθρωπο και στην άµαξα, µεταφέρεται στην άµαξα και αποτελεί την προωθητική της δύναµη. Aς υποθέσουµε τώρα ότι κάποια τυχαία στιγµή t, που η άµαξα έχει ταχύτητα

�

! v

ως προς το ακίνητο έδαφος, ο άνθρωπος εκτοξεύει οριζόντια µια σφαίρα µε σχε τική ταχύτητα

�

! v !" ως προς την άµαξα, η οποία όµως είναι αντίρροπη της

�

! v . Eάν

�

! v ' είναι η ταχύτητα της σφαίρας ως προς το έδαφος, αµέσως µετά την εκτόξευση της, τότε η µεταβολή

!!

P "# της ορµής της σφαίρας στο σύστηµα αναφοράς του εδά φους θα είναι:

�

!!

P "# = m"#

! v '- m"#

! v = m"# (

! v '-! v ) (1)

όπου mσφ η µάζα της σφαίρας. Όµως η διανυσµατική διαφορά

�

! v '-! v αποτελεί την

σχετική ταχύτητα

�

! v !" , οπότε η σχέση (1) γράφεται:

�

!!

P "# = m"#

! v "$ (2)

Aπό την (2) προκύπτει ότι, η µεταβολή της ορµής κάθε εκτοξευόµενης σφαίρας είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας που έχει η άµαξα την στιγµή της εκτόξευσης και εξαρτάται µόνο από την σχετική ταχύτητα της σφαίρας ως προς την άµαξα. Έτσι, εάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, ο άνθρωπος εκτοξεύει dn σφαίρες µε σχετική ταχύτητα

�

! v !" ως προς την άµαξα, τότε η µεταβολή d

!

P της ορµής των

σφαιρών αυτών θα είναι:

�

d

!

P !" = dnm!"

! v !# = dm

! v !# (3)

όπου dm η µάζα που εκτοξεύθηκε από την άµαξα στον χρόνο dt. Όµως το σύστηµα άµαξα-σφαίρες άνθρωπος είναι µηχανικά µονωµένο κατά την οριζόντια διεύθυνση κίνησης της άµαξας και των σφαιρών, οπότε στην διάρκεια του χρόνου dt ισχύει για το σύστηµα αυτό η αρχή διατήρησης της ορµής κατά την οριζόντια διεύθυνση,

που σηµαίνει ότι στην διάρκεια του χρόνου dt η µεταβολή

�

d! P

! της ορµης της

άµαξας είναι ίση µε

�

-d! P !" , δηλαδή ισχύει:

�

d! P ! = -d

! P "#

�

!

(3)

�

d! P ! = -dm

! v "# !

�

d! P ! /dt= -(dm/dt)

! v "# (4)

Όµως σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα το πηλίκο

�

d! P

!/dt

αποτελεί την συνισταµένη δύναµη

�

!

F ! που δέχεται η άµαξα την χρονική στιγµή t

κατά την διεύθυνση κίνησής της, δηλαδή αποτελεί την αντίστοιχη προωθητική δύναµη που δέχεται η άµαξα από τις εκτοξευόµενες σφαίρες. Έτσι η σχέση (4) γράφεται:

�

! F ! = -(dm/dt)

! v "# (5)

Aπό την (5) προκύπτει ότι, η προωθητική δύναµη είναι αντίρροπη της

�

! v !" το δε

µέτρο της είναι ανάλογο του ρυθµού dm/dt µε τον οποίο εκτοξεύεται µάζα από την άµαξα, κατά τη χρονική στιγµή t που την εξετάζουµε. 11. Δηµιουργία προωθητικής δύναµης στον πύραυλο H προώθηση ενός πυραύλου, επιτυγχάνεται µε την συνεχή εκτόξευση καυσαερίων κατά την διεύθυνση του άξονα συµµετρίας του, µε µεγάλη σχετική ταχύτητα ως προς τον πύραυλο. Tα αέρια παράγονται από την καύση του ηµίρευστου καυσίµου µε υγρό οξυγόνο στο θάλαµο καύσεως και ωθούνται ισχυρά από τα τοιχώµατα του θαλάµου προς ειδικό άνοιγµα, από το οποίο εξέρχονται µε σχετικά µεγάλη ορµή.

Σχήµα 11 Δηλαδή τα παραγόµενα καυσαέρια δέχονται από τα τοιχώµατα του θαλάµου καύ σεως σηµαντικη δύναµη

�

!

F !, η οποία τα εκτοξεύει κατά την διεύθυνση του άξονα

συµµετρίας του πυραύλου. Όµως κατά τo αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης-

αντίδρασης, τα εξερχόµενα αέρια εξασκούν στα τοιχώµατα του θαλάµου καύσεως δύναµη

�

!

F ! αντίθετη της

�

!

F !, η οποία αποτελεί την προωθητική δύναµη του πυραύ

λου. Aς δούµε όµως από ποιές φυσικές παραµέτρους εξαρτάται η προωθητική αυτή δύναµη. Θα δεχθούµε, για απλούστευση των υπολογισµών, ότι ο πυραυλός δεν δέχεται βαρυτικές επιδράσεις ούτε ατµοσφαιρική τριβή και τούτο διότι η προωθη τική δύναµη είναι ανεξάρτητη από τέτοιες επιδράσεις, εξαρτώµενη από εσωτερικές µόνο διεργασίες που συµβαίνουν στον πύραυλο. Aν dm είναι η µάζα των καυσα ερίων που εκτοξεύονται µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, τότε η αντίστοι χη µεταβολή d

!

P της ορµής της µάζας αυτής, θεωρούµενη στο σύστηµα αναφοράς της ”ακίνητης” Γης, είναι:

�

d!

P = dm! v

!-dm

! v = dm(

! v

!-! v ) (1)

που

�

! v η ταχύτητα της µάζας dm ως προς την Γη κατά την χρονική στιγµή t, η

οποία είναι ίδια µε την αντίστοιχη ταχύτητα του πύραυλου και

�

! v

! η ταχύτητα της

µάζας αυτής την στιγµή t+dt. Eξάλλου, στην διάρκεια του χρόνου dt η µάζα dm δέχεται δύναµη

�

!

F ! από τα τοιχώµατα του θαλάµου καύσεως και σύµφωνα µε τον

δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα υπό την γενικευµένη του µορφή, θα ισχύει η σχέση:

�

d!

P /dt = F!

�

!

(1)

�

dm(! v

!-! v ) = F

!dt (2)

Όµως στον χρόνο dt η ταχύτητα του πυραύλου ως προς την Γη θα µεταβληθεί έστω κατά d

! v , οπότε η ταχύτητα

�

! v

! θα είναι:

�

! v ! =! v "# + (

! v + d

! v ) !

�

! v ! -! v =! v "# + d

! v (3)

όπου

�

! v !" η σχετική ταχύτητα των καυσαερίων ως προς τον πύραυλο κατά την χρο

νική στιγµή t+dt (ή κατά τη χρονική στιγµή t, αφού dt→ 0). Aπό τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

�

dm(! v !" + d

! v ) = F

!dt !

�

dm! v !" + dmd

! v = F

!dt (4)

Όµως το διάνσµα

�

dmd! v ως γινόµενο των στοιχειωδών µεγεθών dm και dv, µπο

ρεί να αµεληθεί σε σχέση µε το διάνυσµα

�

dm! v !" , οπότε η σχέση (4) γράφεται:

�

dm! v !" = F#dt !

�

!

F ! =dm

dt

! v "# (5)

Eξάλλου, συµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας δράσης-αντίδρασης, η δύναµη

�

!

F !

είναι αντίθετη της δύναµης

�

!

F ! που δέχεται ο πύραυλος από τα εξερχόµενα

καυσαέρια κατά τον χρόνο dt και έτσι η (5) παίρνει την µορφή

�

-

!

F ! =dm

dt

! v "# !

�

!

F ! = -dm

dt

! v "# (6)

H σχέση (6) εκφράζει ότι, κάθε στιγµή η προωθητική δύναµη που δέχεται ο πύραυ λος από τα εξερχόµενα καυσαέρια είναι αντίρροπη της σχετικής ταχύτητας

�

! v !" , το

δε µέτρο της είναι ανάλογο του ρυθµού εκτόξευσης dm/dt καυσαερίων. Παρατήρηση 1η: Eίναι φανερό ότι, ο πύραυλος αποτελεί ένα σύστηµα µεταβλητής µάζας, αφού συ νεχώς εκπέµπει καυσαέρια και εποµένως για την κίνησή του δεν ισχύει ο θεµελι ώδης νόµος της Mηχανικής µε την κλασσική µορφή

�

!

F !"

=M! a , που αρχικά διατύπω

σε ο Nευτωνας, όπου M η µάζα του πυραύλου, ! a η επιτάχυνση του και

�

!

F !"

η συνι σταµένη εξωτερική δύναµη που επιδρά πάνω σ’ αυτόν κατά την χρονική στιγµή που τον εξετάζουµε. Mπορούµε όµως, χρησιµοποιώντας για τον πύραυλο τον δεύ τερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του, να καταλήξου µε σε µια βολική σχέση που ερµηνεύει µε απλό φυσικό τρόπο την κίνησή του. Έτσι, αν dm είναι η µάζα καυσαερίων που εκτοξεύει ο πύραυλος µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, αυτή εξασκεί στην υπόλοιπη µάζα M του πύραυλου προωθητική δύναµη

�

!

F !, για την οποία ισχύει η σχέση (6). Eξάλλου η µεταβολή d

!

P της ορµής της υπόλοιπης µάζας M του πυραύλου στο χρόνο dt είναι:

�

d!

P = M(! v + d

! v ) - M

! v = Md

! v (7)

όπου

�

! v η ταχύτητα του πύραυλου ως προς την ακίνητη Γη, την χρονική στιγµή t

και d! v η µεταβολή της ταχύτητάς του στον χρόνο dt. Eφαρµόζοντας για την µάζα

Μ τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα έχουµε:

�

d!

P = (!

F !" +!

F # )dt

�

!

(5),(6)

�

Md! v =

!

F !" -dm

dt

! v #$

%

& '

(

) * dt !

�

Md! v

dt=

!

F !" -dm

dt

! v #$ !

�

M! a =

!

F !" -dm

dt

! v #$ (8)

όπου

! a η επιτάχυνση του πυραύλου κατά την χρονική στιγµή t και

�

!

F !" η αντίστοι

χη συνισταµένη των εξωτερικών δυνάµεων (π.χ. του βάρους του πυραύλου, της αντίστασης του αέρα κ.λ.π.), την οποία θεωρούµε ότι ενεργεί στο κέντρο µάζας του. Eξάλλου η µεταβολή dM της µάζας του πυραύλου µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt είναι ίση µε –dm, οπότε η σχέση (8) παίρνει την µορφή:

�

M! a =

!

F !" +dM

dt

! v #$ (9)

H σχέση (9) µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι, κάθε στιγµή στην διαµόρφωση της επιτάχυνσης του πυραύλου συµβάλλει η προωθητική δύναµη που εξασκούν πάνω σ’ αυτόν τα εξερχόµενα αέρια, καθώς και οι εξωτερικές δυνάµεις που ενεργούν

στον πύραυλο. Δηλαδή η σχέση (8) είναι από φυσική άποψη πολύ βολική για την µελέτη της κίνησης του πυραύλου, διότι συνδέει µε απλό τρόπο τα αίτια της κίνη σής του (προωθητική δύναµη, εξωτερικές δυνάµεις) µε τo αποτέλεσµα της κίνησης (επιτάχυνση). Παρατήρηση 2η: H σχέση (9) εφαρµόζεται και στην περίπτωση σώµατος που αντί να εκτοξεύει περισυλλέγει µάζα, η οποία προστίθεται µε σχετική ταχύτητα

�

! v !" ως προς αυτό,

αλλά τότε ο ρυθµός µεταβολής dM/dt της µάζας του θα είναι θετικός. Η σχέση (9) µπορεί να πάρει και µια άλλη µορφή, αν παρατηρήσουµε ότι η σχετική ταχύτητα της ανταλασσόµενης µάζας είναι ίση µε την διανυσµατική διαφορά

�

! v

!-! v , όπου

�

! v

! η ταχύτητα της µάζας αυτής και

�

! v η ταχύτητα του σώµατος που την εκτοξεύει

ή την περισυλλέγει, θεωρούµενες στο σύστηµα αναφοράς από το οποίο εξεταζεται το σώµα. Έτσι η σχέση (9) γράφεται:

�

Md! v

dt=!

F !" +dM

dt(! v # -

! v )

�

!

�

Md! v

dt+

dM

dt

! v =

!

F !" +dM

dt

! v #

�

!

�

d(M! v )

dt=!

F !" +dM

dt

! v # (10)

Στην περίπτωση που η ταχύτητα

�

! v

! της προστιθέµενης ή αφαιρούµενης µάζας εί

ναι µηδενική, τότε η σχέση (10) παίρνει την γενικευµένη µορφή του δεύτερου νό µου του Νεύτωνα, δηλαδή γράφεται:

�

d(M! v )

dt=!

F !" (11)

Από τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι η σχέση (11) εφαρµόζεται για ένα σώµα που ανταλλάσσει µάζα µε το περιβάλλον του, αλλά για ένα αδρανειακό σύστηµα αναφο ράς στο οποίο η προστιθέµενη ή αφαιρούµενη µάζα είναι σε ηρεµία ως προς αυτό. Αντίθετα η σχέση (9) ισχύει για όλα τα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς. 12. H έννοια της κρούσεως Στην Mηχανική ονοµάζεται κρούση η βίαιη επαφή δύο σωµάτων, η οποία διαρκεί πολύ µικρό χρόνο, στην διάρκεια του οποίου αναπτύσσονται µεταξύ των σωµάτων ισχυρές δυνάµεις επαφής (δυνάµεις κρούσεως). Oι δυνάµεις αυτές είναι απωστικές και προκαλούν απότοµες µεταβολές των ταχυτήτων των δύο σωµάτων, όχι όµως και των θέσεών τους, λόγω της βραχύτατης διάρκειας δράσης τους. Στην Aτοµική και Πυρηνική Φυσική η έννοια της κρούσεως είναι πιο γενική και αναφέρεται στην περίπτωση που ανάµεσα σε δύο σωµατίδια εµφανίζονται επί σχετικά πολύ µικρό χρονικό διάστηµα ισχυρές απωστικές δυνάµεις, όχι κατ’ ανάγκη λόγω επα φής των σωµατιδίων, αλλά λόγω ηλεκτρικής αλληλεπίδρασης εξ αποστάσεως (π.χ. όταν το σωµατίδια φέρουν οµώνυµα ηλεκτρικά φορτία) και στην περίπτωση αυτή

προκαλείται σε πολύ µικρό χρονικό διάστηµα απότοµη µεταβολή των ταχυτήτων των δύο σωµατιδίων, λόγω ακριβώς της ισχυρής ηλεκτρικής αλληλεπίδρασης τους, οπότε και στην περίπτωση αυτή οµιλούµε περί κρούσεως (σχ. 12). Kατά την κρούση δύο σωµάτων (ή σωµατιδίων) οι δυνάµεις κρούσεως κυριαρχούν ως προς τις άλλες δυνάµεις που ενεργούν πάνω στα συγκρουόµενα σώµατα (ή σωµατίδια), οπότε µπορούµε να θεωρήσουµε ασήµαντες τις ωθήσεις τους σε σχέση µε τις ωθή σεις των δυνάµεων κρούσεως. Έτσι, όπως δείξαµε στο εδάφιο (7) κατά την κρούση

Σχήµα 12

δύο σωµάτων (ή σωµατιδίων) ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής, δηλαδή η ορµή του συστήµατος των συγκρουόµενων σωµάτων, λίγο πριν την κρούση τους, είναι ίση µε την ορµή του συστήµατος, αµέσως µετά την κρούση, δηλαδή ισχύει η σχέ ση:

�

!

P 1+

!

P 2=

!

P '1+

!

P '2 (1)

όπου

!

P 1,

!

P 2 οι ορµές των σωµάτων λίγο πριν την κρούση τους και

!

P '1,

!

P '2 οι ορ

µές τους αµέσως µετά την κρούση. Eάν κατά την κρούση δύο σωµάτων δεν συµβαίνει απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήµατος, τότε η κρούση χαρακτηρίζεται ως ελαστική. Aυτό συµβαίνει όταν, τα δύο σώµατα είναι από τέτοια υλικά, ώστε οι παραµορφώσεις τους κατά την κρούση να είναι τελείως ελαστικές, δηλαδή µετά την κρούση τα δύο σώµατα απο χωρίζονται και ανακτούν το αρχικό τους σχήµα. Aκριβέστερα σε µια ελαστική κρούση συµβαίνουν τα εξής: α. Σε πρώτο στάδιο τα σώµατα παραµορφώνονται ελαστικώς συµπιεζόµενα µέχρις ότου αποκτήσουν κοινή ταχύτητα µε αποτέλεσµα να µειώνεται η κινητική ενέρ γεια του συστήµατος µετατρεπόµενη σε δυναµική ενέργεια ελαστικής παραµόρ φωσης των δύο σωµάτων. β. Σε δεύτερο στάδιο τα σώµατα αποσυµπιέζονται και τελικά αποχωρίζονται ανακ τώντας το αρχικό τους σχήµα. Κατά το στάδιο αυτό µειώνεται η δυναµική ενέρ γεια ελαστικής παραµόρφωσης του συστήµατος µεχρις ότου µηδενιστεί, µετατρεπό µενη σε κινητική ενέργεια, µε αποτέλεσµα αυτή να αποκαθίσταται στην αρχική τιµή που είχε κατά την έναρξη της κρούσεως. Άρα σε µια ελαστική κρούση µπορού µε να γράψουµε την σχέση:

K1 + K2 = K’1 + K’2 (2) όπου K1 , K2 οι κινητικές ενέργειες των σωµάτων λίγο πριν την κρούση τους και K'1 , K'2 οι κινητικές τους ενέργειες αµέσως µετά την κρούση. Eάν όµως κατά την κρούση δύο σωµάτων συµβαίνει απώλεια κινητικής ενέργειας και µετατροπή αυτής σε αύξηση της εσωτερικής τους ενέργειας, τότε η κρούση ονοµάζεται ανελα στική. Στην περίπτωση αυτή ισχύει η σχέση:

K1 + K2 > K’1 + K’2 (3) Ανελαστική κρούση συµβαίνει όταν το υλικό των δύο σωµάτων είναι τέτοιο, ώστε οι παραµορφώσεις κατά την κρούση τους να µην είναι ελαστικές, δηλαδή τα δύο σώµατα µετά την κρούση τους ή αποχωρίζονται χωρίς όµως να ανακτούν το αρχι κό τους σχήµα (µερικώς ανελαστική κρούση) ή παραµένουν ενωµένα δηλαδή δηµιουργούν ένα συσσωµάτωµα (τελείως ανελαστική ή πλαστική κρούση). Παρατήρηση: Στον µακρόκοσµο η ελαστική κρούση αποτελεί ένα εξιδανικευµένο φαινόµενο που µπορούµε στην πράξη να το προσεγγίσουµε επιλέγοντας τα υλικά των συγκρουό µενων σωµάτων ώστε να παρουσιάζουν µικρή παραµένουσα παραµόρφωση, Τέτοια λογουχάρη υλικά είναι το ελεφαντόδοντο, το καουτσούκ, το ατσάλι κ.λ.π. Σε µικ ροσκοπική κλίµακα είναι δυνατόν να έχουµε ελαστική κρούση αν η αλληλεπίδρα ση δύο σωµατιδίων δεν συνεπάγεται την δηµιουργία νέων σωµατιδίων, αλλά απλώς δηµιουργεί σκέδαση αυτών. Στην περίπτωση που η αλληλεπίδραση τους δηµιουργεί και νέα σωµατιδία που δεν αποτελουν συστατικά των αρχικών, ή οδη γεί τα αρχικά σωµατίδια σε κατάσταση διεγέρσεως, ή τα διασπά ή δηµιουργεί εντε λώς νέα σωµατίδια, τότε η κρούση χαρακτηρίζεται ως ανελαστική εφ΄ όσον η συνο λική µάζα ηρεµίας των σωµατιδίων που προκύπτουν µετά την κρούση υπερβαίνει την µάζα ηρεµίας των αρχικών σωµατιδίων. Τότε η τελική κινητική ενέργεια του συστήµατος που πρόκυπτει είναι µικρότερη της αρχικής κινητικής ενέργειας κατά την ποσότητα που αντιστοιχεί στην αύξηση της µάζας ηρεµίας, όπως προβλέπεται από την ειδική Σχετικότητα, Kατά την κρούση δύο σωµάτων µε πεπερασµένες διαστάσεις δηµιουργείται στην περιοχή της επαφής τους µια µικρή κοινή επιφάνεια που κατά προσέγγιση µπορεί να θεωρηθεί επίπεδη, η δε επέκτασή της καθορίζει το λεγόµενο κοινό εφαπτόµενο επίπεδο (ε) των συγκρουόµενων σωµάτων. Η κάθετη ευθεία (n) στην επιφάνεια συνεπαφής ονοµάζεται γραµµή κρούσεως των δύο σωµατων και ανάλογα µε την θέση των κέντρων µάζας τους C1, C2 ως προς την γραµµή κρούσεως, αλλά και ανά λογα µε τις διευθύνσεις των ταχυτήτων τους

�

! v

1,

�

! v

2 κατά την στιγµή που τα δύο

σώµατα έρχονται σε επαφή, έχουµε τους παρακάτω ορισµούς. α. Αν και τα δύο κέντρα µάζας C1, C2 βρίσκοναι επί της γραµµής κρούσεως (σχ. 13), τότε η κρούση των σωµάτων ονοµάζεται κεντρική, ενώ αν και τα δύο κέντρα µάζας ή µόνο το ένα βρίσκονται εκτός της γραµµής κρούσεως (σχ. 14), τότε η κρούση ονοµάζεται έκκεντρη.

Σχήµα 13 Σχήµα 14 β. Αν οι ταχύτητες

�

! v

1,

�

! v

2 των κέντρων µάζας C1, C2 αντιστοίχως λίγο πριν την

κρούση, έχουν φορέα την γραµµή κρούσεως (σχ. 16) ή οι φορείς τους είναι παράλ ληλοι προς την γραµµή αυτή (σχ. 15), τότε η κρούση ονοµάζεται µετωπική, ενώ όταν αυτό δεν συµβαίνει η κρούση ονοµάζεται πλάγια ή λοξή (σχ. 13 και 14).

Σχήµα 15 Σχήµα 16 γ. Αν οι κρουστικές δυνάµεις που εµφανίζονται στα δύο σώµατα έχουν φορέα την ευθεία κρούσεως, τότε η κρούση ονοµάζεται λεία, ενώ στην αντίθετη περίπτωση χαρακτηρίζεται ως τραχεία κρούση. Παρατήρηση: Όταν συµβαίνει κρούση ανάµεσα σε δύο σώµατα που οι διαστάσεις τους δεν επιτρέ πεται να θεωρηθούν αµελητέες, τότε πρέπει να είµαστε προσεκτικοί όσον αφορά τις αρχικές συνθήκες κίνησής τους, δηλαδή αν κατά την στιγµή t=0 που έρχονται σε επαφή έχουν µονό µεταφορική ή µονο περιστροφική ή σύνθετη κίνηση. Οι αρχικές συνθήκες θα επηρεάσουν την κινητική κατάσταση των σωµάτων κατα την διάρκεια της κρούσεως, σε συνδυασµό µε την δράση των κρουστικών δυνάµεων που µπορεί να έχουν ή και να µην έχουν ροπές περί τα κέντρα µάζας τους. Σε τέ τοιες περιπτώσεις πρέπει να επικαλεσθούµε νόµους και προτάσεις από την θεωρία του στερεού σώµατος.

13. Μετωπική-κεντρική ελαστική κρούση Θεωρούµε δύο τελείως ελαστικές σφαίρες Σ1 και Σ2 µε µάζες m1 και m2 αντιστοί χως, οι οποίες κάποια στιγµή συγκρούονται. Η γραµµή κρούσεως των σφαιρών είναι η διάκεντρος τους που σηµαίνει ότι η κρούση τους είναι κεντρική. Ας δεχ θούµε ότι την στιγµή t=0 που οι σφαίρες έρχονται σε επαφή δεν περιστρέφονται και ότι οι ταχύτητες

�

! v

1,

�

! v

2 των κέντρων µάζας τους έχουν φορέα την διάκεντρο

τους, οπότε η κρούση τους είναι µετωπική και ελαστική (σχ. 17). Επειδή οι φορείς των κρουστικών δυνάµεων

�

! F

1,

�

! F

2 µε τις οποίες αλληλοεπιδρούν οι σφαίρες

διέρχονται από τα κέντρα µάζας τους, οι ροπές τους περί τα κέντρα αυτά είναι µηδενικές που σηµαίνει ότι οι σφαίρες αµέσως µετά την κρούση θα εξακολου θήσουν να µη περιστρέφονται, οι δε ταχύτητες

�

! v '

1,

�

! v '

2 των κέντρων µάζας τους

θα είναι συνευθειακές των

�

! v

1,

�

! v

2.

Σχήµα 17 Σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής θα ισχύει:

�

m1

! v

1+ m

2

! v

2= m

1

! v '

1+m

2

! v '

2 (1)

Επειδή τα διανύσµατα

�

! v

1,

�

! v

2,

�

! v '

1,

�

! v '

2, έχουν τον ίδιο φορέα η διανυσµατική σχέ

ση (1) µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών της µορφής:

m1v1 + m2v2 = m1v’1 + m2v’2

�

! m1(v1 – v’1) = m2(v’2 - v2) (2) όπου v1, v2, v’1, v’2 οι αλγεβρικές τιµές των αντιστοίχων ταχυτήτων. Eξάλλου, επει δή η κρούση των δύο σφαιρών είναι ελαστική η συνολική τους κινητική ενέργεια λίγο πριν και αµέσως µετά την κρούση είναι ίδια, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

m1v

1

2

2+

m2v

2

2

2=

m1v'

1

2

2+

m2v'

2

2

2

�

!

�

m1(v1

2- v'1

2)= m2(v'2

2-v2

2)

�

!

�

m1(v1 - v'1 )(v1 + v'1 )= m2(v'2 -v2)(v'2 +v2) (2) Όµως µπορούµε να υποθέσουµε V1≠v1 και V2≠v2 , διότι στην αντίθετη περίπτωση δεν θα υπήρχε κρούση, οπότε επιτρέπεται η διαίρεση των (1) και (2) κατά µέλη και

τότε θα έχουµε:

�

m1(v1 - v'1 )(v1 + v'1 )

m1(v1 - v'1 )=

m2(v'2 -v2)(v'2 +v2)

m2(v'2 -v2)

�

!

�

v1+ v'

1= v'

2+v

2 (3)

Aπό την λύση του συστήµατος των εξισώσεων (2) και (3) υπολογίζονται οι αλγεβρι κές τιµές των

�

! v '

1 και

�

! v '

2 , δηλαδή καθορίζονται οι ταχύτητες των δύο σφαιρών

αµέσως µετά την κρούση. Aς εξετάσουµε όµως κάποιες ενδιαφέρουσες ειδικές περι πτώσεις της µετωπικής ελαστικής κρούσεως. i) Oι δύο σφαίρες έχουν την ίδια µάζα (m1=m2) Tότε η (1) γράφεται: v1 – v’1 = v’2 - v2 (4) Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: 2v1 = 2v’2

�

! v’2 = v1 οπότε και v’1 = v2 που σηµαίνει ότι, στην περίπτωση αυτή οι δύο σφαίρες ανταλλά σουν τις ταχύτητές τους. ii) H µία σφαίρα (π.χ. η Σ2) είναι ακίνητη λίγο πριν την κρούση. Στην περίπτωση αυτή οι γενικές σχέσεις (2) και (3) γράφονται:

�

m1(v1 - v'1 ) = m2v'1

v1 + v'1 = v'2

!

"

#

�

!

�

m1(v1 - v'1 ) = m2(v1 + v'1 )

v1 + v'1 = v'2

!

"

#

�

!

�

m1v1 - m2v1 = v'1 (m1 + m2)

v1 + v'1 = v'2

!

"

#

�

!

�

v'1 =(m1 - m2)v1

m1 + m2

v'2 =2m1v1

m1 + m2

!

"

# #

$

#

#

(5)

Eάν και στην περίπτωση αυτή οι δύο σφαίρες έχουν την ίδια µάζα (m1=m2), τότε οι σχέσεις (5) δίνουν v’1=0 και v’2=v1, δηλαδή µεταφέρεται όλη η κινητική ενέργεια της κινούµενης σφαίρας στην ακίνητη σφαίρα. Την ιδιότητα αυτή εκµεταλευόµασ τε για την επιβράδυνση των ταχέων νετρονίων που παράγονται κατά την σχάση του Oυρανίου U

235

92 στους πυρηνικούς αντιδραστήρες. H επιβράδυνση των νετρο νίων αυτών επιβάλλεται για τους εξής λόγους: i) Για να µην διαφύγουν, µέσω των τοιχωµάτων του αντιδραστήρα, προς τα έξω και υποβάλλουν σε ακτινοβολία τους εργαζόµενους στον αντιδραστήρα, η οποία είναι επικίνδυνη για την υγεία τους.

ii) Tα ταχέα νετρόνια δεν µπορούν να δηµιουργήσουν νέες σχάσεις του Oυρανίου, ενώ αντίθετα τα βραδέα νετρόνια (θερµικά νετρόνια) µπορούν ν’ απορροφηθούν από τους πυρήνες του Oυρανίου και να δηµιουργήσουν νέες σχάσεις. Για να επιβραδύνουµε λοιπόν τα ταχέα νετρόνια, το Oυράνιο του πυρηνικού αντιδ ραστήρα περιβάλλεται µε νερό, του οποίου το µόριο περιέχει πρωτόνια. Όσα ταχέα νετρόνια συγκρουσθούν µετωπικά µε άτοµα H2 (πρωτόνια), που έχουν περίπου την ίδια µάζα µε τα νετρόνια, σχεδόν ακινητοποιούνται, µετατρεπόµενα σε θερµικά νετρόνια, τα οποία είναι ωφέλιµα για την συνέχιση της πυρηνικής σχάσεως. iii) H µία σφαίρα (π.χ. η Σ2) είναι ακίνητη λίγο πριν την κρούση και έχει πολύ µεγαλύτερη µάζα σε σχέση µε την κινούµενη σφαίρα (v2=0 και m2>>m1 ) Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να δεχθούµε ότι, m1+m2≈m2 και m1-m2≈-m2, οπότε οι σχέσεις (5) δίνουν:

�

V1! -m

2v

1/m

2= -v

1 και

�

V2! 2m

1v

1/m

2! 0

δηλαδή η σφαίρα Σ2 αµέσως µετά την κρούση εξακολουθεί να είναι ακίνητη, ενώ η Σ1 αποκτά αντίθετη ταχύτητα. iv) H µία σφαίρα (π.χ. η Σ2) είναι ακίνητη λίγο πριν την κρούση και έχει πολύ µικρό τερη µάζα σε σχέση µε την κινούµενη σφαίρα (v2=0 και m2<<m1). Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να δεχθούµε ότι m1+m2≈m1 και m1-m2≈ m1, οπότε οι σχέσεις (5) δίνουν:

�

v'1! -m

2v

1/m

2= -v

1 και

�

v'2! 2m

1v

1/m

1= 2v

1

δηλαδή η σφαίρα Σ1 δεν αλλάζει ταχύτητα αµέσως µετά την κρούση, ενώ η Σ2 αποκτά ταχύτητα διπλάσια της ταχύτητας που είχε η Σ1, λίγο πριν την κρούση. 14. Συντελεστής κρούσεως κατά την κεντρική-µετωπική κρούση Aς δεχθούµε ότι δύο σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και µετωπικά χωρίς να περιστρέφονται, οπότε οι ταχύτητές των κέντρων µάζας τους λίγο πριν και αµέ σως µετά την κρούση θα έχουν φορέα την διάκεντρο των σφαιρών. Aκόµη είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι, οι σχετικές ταχύτητες της µιας σφαίρας ως προς την άλλη, λίγο πριν και αµέσως µετά την κρούση, αποτελούν αντίρροπα διανύσµατα, δηλαδή έχει µαθηµατικό νόηµα ο λόγος τους και είναι ένας αρνητικός αριθµός, χωρίς φυσικές διαστάσεις. Oρίζουµε ως συντελεστή κρούσεως για την κεντρική και µετωπική κρούση των δύο σφαιρών και τον συµβολίζουµε µε e, το µε αρνητικό πρόσηµο πηλίκο της σχετικής ταχύτητας της µιας σφαίρας ως προς την άλλη, αµέ σως µετά την κρούση τους, προς την αντίστοιχη σχετική ταχύτητα λίγο πριν την κρούση τους. Έτσι, εάν

�

! v

1,

�

! v

2 είναι οι ταχύτητες των µετωπικά συγκρουόµενων

σφαιρών Σ1 και Σ2 αντιστοίχως, λίγο πριν την κρούση τους και

�

! v '

1,

�

! v '

2 οι αντί

στοιχες ταχύτητές τους αµέσως µετά την κρούση, θα έχουµε για τον συντελεστή κρούσεως την σχέση:

�

e = -

! v '

1-! v '

2! v

1-! v

2

(1)

Eπειδή τα διανύσµατα

�

! v '

1-! v '

2 και

�

! v

1-! v

2 είναι αντίρροπα µεταξύ τους, ο συντελε

στής κρούσεως είναι θετικός αριθµός και µάλιστα αποδεικνύονται τα εξής:

Σχήµα 18 i) Eάν η κεντρική και µετωπική κρούση των δύο σφαιρών είναι ελαστική, τότε e=1, δηλαδή σ΄ αυτή την περίπτωση η σχετική ταχύτητα της µιας σφαίρας ως προς την άλλη αλλάζει µε την κρούση φορά, αλλά διατηρεί το µέτρο της. ii) Eάν η κεντρική και µετωπική κρούση των δύο σφαιρών είναι µερικώς ανελα στική, τότε 0<e<1, δηλαδή σ’ αυτήν την περίπτωση η σχετική ταχύτητα της µιας ως προς την άλλη σφαίρα αλλάζει φορά µε την κρούση και επί πλέον µειώνεται το µέτρο της. iii) Eάν η κεντρική και µετωπική κρούση των δύο σφαιρών είναι τελείως ανε λαστική (πλαστική), τότε e=0, δηλαδή µηδενίζεται η σχετική ταχύτητα της µιας ως προς την άλλη σφαίρα, µετά την κρούση τους. Aυτό είναι προφανές, αφού οι δύο σφαίρες κινούνται µετά την κρούση τους ως ένα συσσωµάτωµα. Παρατήρηση 1η: Eπειδή τα διανύσµατα

�

! v '

1,

�

! v '

2,

�

! v

1,

�

! v

2 είναι συνευθειακά, η διανυσµατική σχέση

(1) µετατρέπεται σε αλγεβρική σχέση (σχέση αλγεβρικών τιµών) εάν ορίσουµε αυθαίρετα πάνω στον κοινό φορέα των διανυσµάτων αυτών µια θετική φορά. Έτσι, για την περίπτωση που αναφέρεται στο σχήµα (18), η σχέση (1) παίρνει την µορφή:

�

e = -v'1- (+v'2 )

v1- (-v2)=

v'2- v'1

v1+ v2

Παρατήρηση 2η: H σχέση που εκφράζει τον συντελεστή κρούεως κατά την κεντρική και µετωπική κρούση δύο σφαιρών, καθώς και η σχέση που εκφράζει την αρχή διατήρησης της ορµής, περιέχουν τις αλγεβρικές τιµές των ταχυτήτων

�

! v '

1,

�

! v '

2,

�

! v

1,

�

! v

2 στην πρώτη

δύναµη, δηλαδή αποτελούν ένα γραµµικό σύστηµα, του οποίου η λύση είναι σχε τικά απλή. 15. Aνακάλυψη του νετρονίου O Bρετανός φυσικός J. Chandwick αναλύοντας όλα τα πειραµατικά δεδοµένα, που αφορούσαν µετωπικές ελαστικές κρούσεις σωµατιδίων µε άτοµα της ύλης, κατέληξε το 1932 στο συµπέρασµα ότι, µέσα στους πυρήνες των ατόµων των στοι χείων εκτός από πρωτόνια, υπάρχουν και ουδέτερα σωµατίδια, µε µάζα περίπου ίδια µε τη µάζα των πρωτονίων, τα οποία ονόµασε νετρόνια. H βασική ιδέα των πειραµάτων που εξετέλεσε ο Chandwick είναι η εξής: Bοµβάρδισε το στοιχείο Βη

Σχήµα 19 ρύλλιο (Be) µε σωµατίδια α που εκπέµπονται από το ραδιενεργο στοιχείο Πολώνιο (Pο) και τότε παρατήρησε ότι το Bηρύλλιο εκπέµπει σωµατίδια, άγνωστης µέχρι τότε φύσεως, αλλά µεγάλης διεισδυτικής ικανότητας, τα οποία µε τη σειρά τους βοµβαρδίζοντας ακίνητους πυρήνες H2, δηλαδή πρωτόνια, τα έθεταν σε κίνηση. Aς δεχθούµε ότι ένα τέτοιο άγνωστο σωµατίδιο, µάζας mx προσπίπτει µετωπικά πάνω σε ακίνητο πρωτόνιο, µάζας mp και συγκρούεται µε αυτό ελαστικά. Tότε το µέτρο της ταχύτητας

�

! v

p που αποκτά το πρωτόνιο, σύµφωνα µε την σχέση (5) του προη

γούµενου εδάφιου, θα είναι:

�

vp =2mxvx

mx + mp

(1

Eάν τα άγνωστα σωµατίδια βοµβαρδίσουν ακίνητους πυρήνες αζώτου (N2) µάζας mN=14mp τότε η ταχύτητα που θα αποκτήσει ένα τέτοιος πυρήνας, όταν συγκρουσ τεί µετωπικά και ελαστικά µε ένα σωµατίδιο, θα έχει µέτρο vN που δίνεται από την σχέση:

�

vN =2mxvx

mx + mN

=2mxvx

mx +14mp

(2)

Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

�

vp

vN

=mx +14mp

mx + mp

(3)

O Chandwick κατόρθωσε να µετρήσει πειραµατικά τις ταχύτητες vp και vN και βρή κε ότι vp/vN =7.5, οπότε η σχέση (3) παίρνει την µορφή:

�

7,5=mx +14mp

mx + mp

! 7,5 mx + 7,5mp ≈ mx + 14mp !

6,5mp ≈ 6,5mp ! mx ≈ mp (4) Xρησιµοποιώντας ο Chandwick και άλλους στόχους, διαφορετικούς από πρωτόνια και πυρήνες αζώτου, επανέλαβε πολλές φορές το ίδιο πείραµα και κάθε φορά κα τέληγε για την µάζα mx στη σχέση (4), γεγονός που επιβεβαίωσε πλήρως την υπάρ ξη του νετρονίου στο εσωτερικό των πυρήνων των στοιχείων. Για την ανακάλυψή του νετρονίου ο Chandwick τιµήθηκε το 1935 µε το βραβείο Nobel. 16. Πλάγια κρούση δύο σωµατιδίων Θεωρούµε σωµατίδιο Σ1 µάζας m1, το οποίο προσκρούει σε σωµατίδιο Σ2 µάζας m2, που θεωρείται ακίνητο ως πρός το σύστηµα αναφοράς του εργαστηρίου. Eάν

�

! v

1

είναι η ταχύτητα του σωµατιδίου Σ1, τότε η ταχύτητα

! v

C του κέντρου µάζας C

των δύο σωµατιδίων θα υπολογίζεται από την σχέση:

�

! v

C=

m1

! v

1+ m

2

!

0

m1+ m

2

=m

1

! v

1

m1+ m

2

(1)

Aς εξετάσουµε τώρα τα δύο σωµατίδια, στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους, δηλαδή στο σύστηµα εκείνο, όπου το κέντρο µάζας C είναι ακίνητο. Aπό τον ορισµό που έχει δοθεί για το κέντρο µάζας, η ολική ορµή των δύο σωµατιδίων στο σύστηµα του κέντρου µάζας τους είναι ίση µε µηδέν, που σηµαίνει ότι στο σύστηµα αυτό οι ορµές των δύο σωµατιδίων κάθε στιγµή είναι αντίθετες (σχ. 20). Έτσι εάν

!

V 1,

!

V 2 είναι οι ταχύτητες των σωµατιδίων Σ1 καί Σ2, ως προς το κέντρο

µάζας τους πριν την κρούση και

!

V '1,

!

V '2 οι αντίστοιχες ταχύτητές τους µετά την

κρούση, θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

m1

!

V 1

= -m2

!

V 2

�

!

�

m1V

1= m

2V

2 (2)

�

m1

!

V '1= -m

2

!

V '2

�

!

�

m1V'

1= m

2V'

2 (3)

Eξάλλου επειδή η κρούση των δύο σωµατιδίων είναι ελαστική ισχύει στο σύστηµα του κέντρου µάζας τους η διατήρηση της ολικής τους κινητικής ενέργειας, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

m1V

1

2

2+

m2V

2

2

2=

m1V'

1

2

2+

m2V'

2

2

2 (4)

Σχήµα 20 Σχήµα 21 Oι σχέσεις (2), (3) και (4) είναι συµβιβαστές µεταξύ τους εφ' όσον ισχύει: V1 = V'1 καί V2 = V'2 (5) δηλαδή τα µέτρα των ταχυτήτων των δύο σωµατιδίων δεν µεταβάλλονται κατά την ελαστική τους κρούση, όταν αυτή αναφέρεται στο σύστηµα του κέντρου µάζας τους. Aν επανέλθουµε στο σύστηµα αναφοράς του εργαστηρίου, τότε για τις ταχύ τητες

! v '

1,

! v '

2 των δύο σωµατιδίων µετά την κρούση τους θα ισχύουν οι διανυσµα

τικές σχέσεις:

�

! v '

1=!

V '1-! v

C και

�

! v '

2=!

V '2-! v

C

οι οποίες απεικονίζονται στο σχήµα (21). Όµως γιά τις ταχύτητες

�

!

V 1 και

�

!

V 2 ισχύ

ουν οι διανυσµατικές σχέσεις:

�

!

V 1

=! v

1-! v

C!

V 2

=! v

2-! v

C

!

"

#

�

!

(1)

�

!

V 1

=! v

1-

m1

! v

1

m1+ m

2

!

V 2

=!

0 -m

1

! v

1

m1+ m

2

!

"

# #

$

#

#

�

!

�

!

V 1

=m

2

! v

1

m1+ m

2

!

V 2

= -m

1

! v

1

m1+ m

2

!

"

# #

$

#

#

�

!

(5)

�

V'1=

m2v

1

m1+ m

2

V'2=

m1v

1

m1+ m

2

!

"

# #

$

#

#

(6)

Eξάλλου, εάν είναι γνωστή η µια από τις γωνίες φ1, φ2, λογουχάρη η φ1, τότε χρη σιµοποιώντας το νόµο του συνηµιτόνου µπορούµε να υπολογίσουµε το µέτρο της ταχύτητας

! v '

1 σε συνάρτηση µε τα µεγέθη m1, m2, v1 και φ1, οπότε στην συνέχεια

µπορούµε να υπολογίσουµε το µέτρο της ταχύτητας

! v '

2 (διατήρηση της κινητικής

ενέργειας) καθώς και την γωνία φ2 (νόµος του συνηµιτόνου). Στην ειδική περίπτω ση που οι µάζες των δύο σωµατιδίων είναι ίσες, τότε από τις σχέσεις (2) καί (6) έχουµε V'1 =V'2 =vC από την οποία, µε βάση το σχήµα (21), προκύπτει: 2φ1 + 2φ2 = π ! φ1 + φ2 = π/2 Δηλαδή στην περίπτωση αυτή τα δύο σωµατίδια µετά την κρούση τους κινούνται επί καθέτων διευθύνσεων. Παρατήρηση: H εξέταση µιας κρούσεως δύο σωµατιδίων στο σύστηµα του κέντρου µάζας τους πλεονεκτεί σε ορισµένες περιπτώσεις, διότι απλοποιούνται σηµαντικά οι υπολογι σµοί που απαιτούνται για τον καθορισµό των τελικών ταχυτήτων των δύο σωµατι δίων. Για του λόγου το αληθές ας δεχθούµε ότι τα δύο σωµατίδια που εξετάσαµε

Σχήµα 22 Σχήµα 23 προηγούµενα συγκρούονται µετωπικά και ελαστικά, οπότε τα διανύσµατα

�

! v

1,

�

! v

2,

�

! v '

1,

�

! v '

2,

�

! V

1,

�

! V

2,

�

! V '

1,

�

! V '

2 θα είναι συνευθειακά. Ας δεχθούµε ακόµη ότι στο σύστη

µα αναφοράς του εδάφους οι ταχύτητες πριν και µετά την κρουση κατευθύνονται όπως στο σχήµα (22) οπότε στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους πρέπει να κατευθύνονται ώστε πριν και µετά την κρούση τα σωµατίδια να έχουν αντί θετες ορµές (σχ. 23) Οι αλγεβρικές τιµές των ταχύτητων που εµπλέκονται στα δύο συστήµατα αναφοράς θα ικανοποιούν τις σχέσεις:

�

V1= v

1- v

C

V'1= v'

1-v

C

!

"

#

(7)

και

�

V2= v

2- v

C

V'2= v'

2-v

C

!

"

#

(8)

όπου

�

! v

C η ταχύτητα του κέντρου µάζας των δύο σωµατιδίων στο σύστηµα αναφο

ράς του εδάφους, η οποία παραµένει αναλλοίωτη, δηλαδή δεν επηρεάζεται από την

κρούση αφού τα σωµατίδια αποτελούν µηχανικά µονωµενο σύστηµα. Όµως προη γούµενα αποδείχθηκε ότι επειδή η κρούση είναι ελαστική για τα µέτρα των

�

! V

1,

�

! V

2 ,

�

! V '

1,

�

! V '

2 ισχύουν οι σχέσεις:

�

|! V

1| = |! V '

1|

�

!

(7)

�

| v1- v

C| = |v'

1-v

C|

�

!

�

v1 - vC = ± (v'1 -vC) και

�

|! V

2| = |! V '

2|

�

!

(8)

�

| v2- v

C| = |v'

2-v

C|

�

!

�

v2 - vC = ± (v'2 -vC) Επειδή v1≠v’1 και v2≠v’2 από τις δύο προηγούµενες σχέσεις θα έχουµε:

�

v1- v

C= -v'

1+v

C

v2- v

C= -v'

2+v

C

!

"

#

�

!

�

v'1= -v

1+2v

C

v'2= -v

2+2v

C

!

"

#

(9)

µε

�

vC = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2) (10) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (9) και (10) καταλήγουµε τελικά στις σχέσεις:

�

v'1 =(m1 - m2)v1

m1 + m2

+2m2v2

m1 + m2

v'2 =(m2 - m1)v2

m1 + m2

+2m1v1

m1 + m2

!

"

#

#

$

#

#

P.M. fysikos