Tm ma Majhmatik¸n, Panepist mio Patr¸n 1M�jhma: Statistik  Sumperasmatolog�a IDid�skwn: K. Petrìpoulo Full�dio II(AOED ektimhtè - Eparke� kai Pl rei σ.σ.)'Askhsh 1. An X˜

= (X1,X2, . . . ,Xn), n ≥ 2 e�nai èna tuqa�o de�gma apì thn katanom  U(θ, 2θ), nabreje� h el�qisth epark  σ.σ. kai na deiqje� ìti o ektimht  T (X˜) =

2

3X̄ e�nai amerìlhpto gia thn θ all�mh apodektì .'Askhsh 2. To tuqa�o de�gma (X1,X2) proèrqetai apì katanom  me p.p.

f1(x; θ) =

e−θ , x = 0θe−θ , x = 1

1− e−θ − θe−θ , x = 20 , diaforetik�.Na deiqte� ìti h T = X1 +X2 den e�nai epark  gia thn ekt�mhsh tou θ.'Askhsh 3. E�n X ∼ N(0, 2θ2), na deiqje� ìti T (X) = eX e�nai AOED ektimht  tou eθ

2 .(Upìdeixh: Qrhsimopoi ste th ropogenn tria th Kanonik  Katanom  mX(t) = E(etX) = eµt+1

2σ2t2 ,

t ∈ R.)'Askhsh 4. JewroÔme thn t.m. X ∼ P(θ), θ > 0. Na deiqje� ìti h σ. σ. T (X) = (−1)X e�nai AOED giathn g(θ) = e−2θ. E�nai autì o ektimht  apodektì ?'Askhsh 5. An X˜

= (X1,X2, . . . ,Xn), n ≥ 2 e�nai èna tuqa�o de�gma apì thn katanom  B(1, θ), na breje�o AOED th g(θ) = Pθ(X1 > X2).'Askhsh 6. An X˜

= (X1,X2, . . . ,Xn), n ≥ 2 e�nai èna tuqa�o de�gma apì thn katanom  Poisson P(θ+1),me �gnwsto θ > −1. Bre�te AOED ektimht  twn θ, θ + 1 kai θ2.'Askhsh 7. An X e�nai mia parat rhsh me katanom f(x; θ) =

1

2, x = 0, 1 θ = 0

2− x

3, x = 0, 1 θ = 1,na deiqje� ìti o ektimht  T (X) = 3− 6X e�nai o AOED ektimht  tou θ.'Askhsh 8. 'Estw oi parathr sei X1,X2, . . . ,Xn e�nai anex�rthte me k�je Xk ∼ N (µ + tk, σ

2), ìpoutk ∈ R e�nai gnwstè stajerè , en¸ µ ∈ R kai σ > 0 e�nai �gnwsta. Na brejoÔn AOED ektimhtè twn µkai σ2.

Tm ma Majhmatik¸n, Panepist mio Patr¸n 2'Askhsh 9. An X˜

= (X1,X2, . . . ,Xn), n ≥ 2 e�nai èna tuqa�o de�gma apì thn omoiìmorfh katanom U(−θ, 0), me �gnwsto θ > 0. Bre�te AOED ektimht  twn θ kai θk, k > 0.'Askhsh 10. 'Estw X mia parat rhsh apì thn U(−θ, θ), θ > 0. Na deiqje� ìti h X e�nai epark  all�ìqi pl rh . Na deiqje�, katìpin ìti h |X| e�nai epark  kai pl rh kai na breje� o AOED ektimht  tou θ.'Askhsh 11. D�netai t.d. X

˜= (X1,X2, . . . ,Xn), n ≥ 2 apì thn katanom f1(x; θ) =

1

θe−

1

θ(x−1) , x > 1 , θ > 0.1. Na breje� o AOED ektimht  tou θ.2. Na breje� o kalÔtero ektimht  tou θ sthn kl�sh twn ektimht¸n C = {Tc = c

∑ni=1(Xi− 1), c > 0}.3. E�nai o AOED tou θ apodektì me krit rio to MTS?'Askhsh 12. An X

˜= (X1,X2, . . . ,Xn), n ≥ 2 e�nai èna tuqa�o de�gma apì thn katanom  f1(x; θ) = θxθ−1,

0 < x < 1, θ > 0, na brejoÔn oi AOED ektimhtè twn θ kai 1/θ.'Askhsh 13. D�netai tuqa�o de�gma X˜

= (X1,X2, . . . ,Xn), n ≥ 2 apì katanom  me puknìthtaf1(x; θ) =

x2

9θ3, 0 < x 6 3θ , θ > 0.1. Na deiqje� ìti h σ. σ. T (X

˜) = X(n) = max{X1,X2, . . . ,Xn} e�nai epark  .2. Na breje� o AOED ektimht  tou θ.'Askhsh 14. 'Estw X1,X2, . . . ,Xn e�nai èna tuqa�o de�gma apì thn Poisson katanom  me �gnwsth par�-metro θ > 0.1. Na upologisje� h stajer� c, ètsi ¸ste ∀a ∈ R, h statistik  sun�rthsh

T (X˜) = ac

n∑

i=1

(Xi − X̄)2 + (1− a)X̄na e�nai amerìlhpto ektimht  tou θ.2. Na apodeiqje� ìti, E(S2|X̄) = X̄ ,ìpou X̄ =1

n

n∑

i=1

Xi e�nai o deigmatikì mèso kai S2 =1

n− 1

n∑

i=1

(Xi − X̄)2 e�nai h deigmatik  diaspor�.'Askhsh 15. 'Estw de�gma X˜

= (X1,X2, . . . ,Xn−1,Xn), apoteloÔmeno apì n ≥ 2 anex�rthte parath-r sei , ìpou oi X1,X2, . . . ,Xn−1), proèrqontai apì katanom  me p.p.θ3

2x2 e−θx , x > 0 , θ > 0kai h Xn proèrqetai apì katanom  me puknìthta θ e−θx, x > 0, θ > 0.1. Na breje� o AOED ektimht  tou θ.2. Jewr¸nta ìti 0 < I(θ) < ∞ na de�xete ìti o AOED den e�nai apodotikì .

Tm ma Majhmatik¸n, Panepist mio Patr¸n 1M�jhma: Statistik  Sumperasmatolog�a IDid�skwn: K. Petrìpoulo Full�dio III(Ektimhtè Mègisth Pijanof�neia - Ektimhtè me thnMèjodo twn Rop¸n)'Askhsh 1. An X˜

= (X1, X2, . . . , Xn), n ≥ 2 e�nai èna tuqa�o de�gma apì thn omoiìmorfhkatanom  U [−θ, 0], me �gnwsto θ > 0.1. Na breje� o EMP tou θ.2. E�nai autì sunep  ektimht  gia to θ?'Askhsh 2. An X˜

= (X1, X2, . . . , Xn), n ≥ 2 e�nai èna tuqa�o de�gma apì thn Inverse

Gaussian IG(µ, λ), me �gnwsta µ > 0 kai λ > 0.1. Na brejoÔn oi E.M.P. twn λ kai µ.2. Na brejoÔn oi E.M.R. twn λ kai µ.Parat rhsh: X ∼ IG(µ, λ), fX(x) = (

λ

2πx3

)

1/2

exp

{

−λ(x− µ)2

2µ2x

},EX = µ, V arX =

µ3

λ.'Askhsh 3. An X

˜= (X1, X2, . . . , Xn), n ≥ 2 e�nai èna tuqa�o de�gma apì thn omoiìmorfhkatanom  U [−3θ, 3θ], me �gnwsto θ > 0.1. Na breje� o EMP tou θ2.2. Na breje� o EMR gia to θ.'Askhsh 4. 'EstwX1, X2, . . . , Xn e�nai èna tuqa�o de�gma apì thn katanom  me p.p. f1(x; θ) =

3x2

θ3, 0 6 x 6 θ, me �gnwsto θ > 0.1. Na breje� o Ektimht  Mègisth Pijanof�neia tou θ2.2. Na deiqje� ìti o Ektimht  Mejìdou Rop¸n tou θ e�nai sunep  ektimht  .

Tm ma Majhmatik¸n, Panepist mio Patr¸n 2'Askhsh 5. An X˜

= (X1, X2, . . . , Xn), n ≥ 2 e�nai èna tuqa�o de�gma apì thn omoiìmorfhkatanom  U [−θ/2, 4θ], me �gnwsto θ > 0.1. Na breje� o EMP tou θ.2. Na breje� o EMR gia to θ2.'Askhsh 6. D�netai de�gma X˜

= (X1, X2) me anex�rthte parathr sei kai katanomè X1 ∼

U [0, θ] kai X2 ∼ U [0, 2θ], θ > 0 kai �gnwsto. Na breje� o EMP tou θ, θ̂, kai na apodeiqje� ìtie�nai mh apodektì , me krit rio to MTS, jewr¸nta thn kl�sh twn ektimht¸n C = {Tc|Tc =

cθ̂ : c > 0}.'Askhsh 7. D�netai tuqa�o de�gma X˜

= (X1, X2, . . . , Xn), ìpou k�je Xi, i = 1, 2, . . . , n èqeikatanom  me p.p. f1(x; θ) = θxθ−1, 0 < x < 1 me �gnwsto θ > 0.1. Na breje� o E.M.P. tou θ2, e�nai autì sunep  ektimht  gia to θ2?2. Poia e�nai h asumptwtik  katanom  tou EMP tou θ?3. Na breje� o E.M.R. tou θ.'Askhsh 8. 'Estw de�gma X˜

= (X1, X2, . . . , Xn−1, Xn) apoteloÔmeno apì n > 2 anex�rthte parathr sei , ìpou oi X1, X2, . . . , Xn−1) proèrqontai apì katanom  me p.p.θ3

2x2 e−θx , x > 0 , θ > 0 ,kai h Xn proèrqetai apì katanom  me p.p. θ e−θx, x > 0, θ > 0.1. Na breje� o EMP twn θ kai θ2.2. Na breje� o EMR tou θ. Exet�ste an autì e�nai sunep  ektimht  gia to θ.'Askhsh 9. JewroÔme anex�rthte t.m. X1, X2, X3, ìpou k�je Xi ∼ P(θ/i), i = 1, 2, 3. Nabreje� E.M.P. gia thn parametrik  sun�rthsh g(θ) = P (X1 > 1).'Askhsh 10. D�netai de�gma X

˜= (X1, X2), ìpou oi X1, X2 e�nai anex�rthte t.m. mekatanomè , ant�stoiqa N (0, 1/θ) kai N (0, 1/(2θ)), θ > 0. Na breje� o E.M.P. tou 1

θkai naupologiste� to MTS tou.

Tm ma Majhmatik¸n, Panepist mio Patr¸n 1M�jhma: Statistik  Sumperasmatolog�a IDid�skwn: K. Petrìpoulo Full�dio IV(Ektimhtè Bayes kai minimax)'Askhsh 1. 'EstwX1, X2, . . . , Xn e�nai anex�rthte t.m. apì thn kanonik  katanom N (θ/ti, 1),me �gnwsto θ ∈ R kai gnwst� ti ∈ R, i = 1, 2, . . . , n. An h ek twn protèrwn katano-m  π(θ) ∼ N (0, 1), na brejoÔn ektimhtè Bayes twn g1(θ) = θ kai g2(θ) = θ2 w pro thsun�rthsh zhm�a L(t; θ) = (t− g(θ))2.'Askhsh 2. D�netai tuqa�o de�gma X˜

= (X1, X2, . . . , Xn), ìpou k�je Xi, i = 1, 2, . . . , n èqeikatanom  me p.p. f1(x; θ) = θxθ−1, 0 < x < 1 me �gnwsto θ > 0. Na breje� ektimht  Bayesgia to θ, an π(θ) ∼ G(a, b) kai L(t; θ) = (t− g(θ))2.'Askhsh 3. 'EstwX1, X2, . . . , Xn e�nai èna tuqa�o de�gma apì thn katanom  me p.p. f1(x; θ) =2x

θ2, 0 < x < θ, me �gnwsto θ > 0. Na breje� ektimht  Bayes gia to θ, an π(θ) ∼ U(0, 1) kai

L(t; θ) = θ2(t− g(θ))2.'Askhsh 4. JewroÔme thn t.m. X ∼ B(k, θ) me �gnwsto θ > 0 kai ek twn protèrwnkatanom  π(θ) ∼ Beta(a, b), a, b > 0.1. Na brejoÔn ektimhtè Bayes twn g1(θ) = θ kai g2(θ) = θ(1− θ) w pro th sun�rthshzhm�a L(t; θ) =(t− g(θ))2

θ(1− θ)2. Na breje� ektimht  minimax gia thn g1(θ).'Askhsh 5. D�netai de�gma X˜

= (X1, X2, X3), apoteloÔmeno apì trei anex�rthte para-thr sei X1, X2 kai X3 pou proèrqontai apì G�mma katanomè G(a1, 1/θ), G(a2, 1/θ) kaiG(a3, 1/θ) ant�stoiqa me θ > 0, ìpou a1, a2, a3 > 0 gnwstè stajerè .1. An h ek twn protèrwn katanom  tou θ e�nai h G(4, 1), na breje� kai na anagnwriste� hek twn ustèrwn katanom  tou θ.2. Se aut n thn per�ptwsh na breje� o ektimht  Bayes tou 1/θ2, ìtan h sun�rthsh zhm�a e�nai h L(t, θ) = θ4(t− 1/θ2)2.

Tm ma Majhmatik¸n, Panepist mio Patr¸n 2'Askhsh 6. 'EstwX1, X2, . . . , Xn e�nai èna tuqa�o de�gma apì thn katanom  me p.p. f1(x; θ) =θ e−θ(x−1), x > 1, me �gnwsto θ > 0.1. An h ek twn protèrwn katanom  tou θ e�nai h π(θ) = e−θ, na breje� kai na anagnwriste�h ek twn ustèrwn katanom  tou θ.2. Na upologiste� o ektimht  Bayes tou θ2, ìtan h sun�rthsh zhm�a e�nai h L(t, θ) =

(t− θ2)2

θ2.'Askhsh 7. D�netai de�gma X

˜= (X1, X2, . . . , Xn), ìpou k�je Xi ∼ P(iθ), θ > 0.1. An h ek twn protèrwn katanom  tou θ e�nai h G(a, β), na breje� kai na anagnwriste� hek twn ustèrwn katanom  tou θ.2. Se aut n thn per�ptwsh na breje� o ektimht  Bayes twn θ, θ2, ìtan h sun�rthsh zhm�a e�nai h L(t, θ) = (t− g(θ))2/θ.'Askhsh 8. 'Estw X1, X2 anex�rthte t.m. ìpou X1 ∼ N (0, θ) kai X2 ∼ N (0, 2θ)1. Bre�te AOED ektimht  tou θ.2. De�xte ìti o ektimht  1

3(X1 +X2)

2 den e�nai ektimht  minimax tou θ.

Tm ma Majhmatik¸n, Panepist mio Patr¸n 1M�jhma: Statistik  Sumperasmatolog�a IDid�skwn: K. Petrìpoulo Full�dio V(Diast mata EmpistosÔnh )'Askhsh 1. D�netai tuqa�o de�gma X˜

= (X1, X2), ìpou X1 kai X2 e�nai anex�rthte stati-stikè sunart sei me katanomè N (0, θ2) kai N (0, θ2/4) ant�stoiqa.1. Na deiqje� ìti h statistik  sun�rthsh T =X2

1+ 4X2

2

θ2e�nai posìthta odhgì .2. Na kataskeuastoÔn D.E. �swn our¸n, me suntelest  empistosÔnh 1− a, gia ta θ2 kai

θ.'Askhsh 2. 'Estw X˜

= (X1, X2, . . . , Xn) e�nai èna tuqa�o de�gma apì thn U(−θ, 0), θ > 0kai �gnwsto. Na kataskeuaste� D.E. �swn our¸n, me suntelest  empistosÔnh 1− a, gia toθ.'Askhsh 3. D�netai tuqa�o de�gma X

˜= (X1, X2, . . . , Xn) apì thn katanom  me puknìthtapijanìthta

f(x; θ) = θe−θx , x > 0, θ > 0.1. Na deiqje� ìti h statistik  sun�rthsh T = 2θ

n∑

i=1

Xi e�nai posìthta odhgì .2. Na kataskeuaste� D.E. �swn our¸n, me suntelest  empistosÔnh 100(1− a)%, gia thng(θ) = Pθ(X1 > t), ìpou t > 0 e�nai gnwst  stajer�.3. Na kataskeuaste� A.F. empistosÔnh me me suntelest  empistosÔnh 100(1 − a)% giato 1

θ.'Askhsh 4. D�netai tuqa�o de�gma X

˜= (X1, X2, . . . , Xn) ∼ E(θ2), me �gnwsto θ > 0. Naupologisje� h stajer� c > 0, ètsi ¸ste to di�sthma (0, c√X1), na e�nai di�sthma empistosÔnh gia to θ me suntelest  empistosÔnh β, 0 < β < 1.

Tm ma Majhmatik¸n, Panepist mio Patr¸n 2'Askhsh 5. D�netai tuqa�o de�gma X˜

= (X1, X2, . . . , Xn) ∼ P(θ), me �gnwsto θ > 0.1. Na kataskeuasje� Asumptwtikì D.E. gia to θ, me σ.e. 1− a.2. Na kataskeuasjoÔn Asumptwtik� A.F. kai K.F. gia to θ me σ.e. 1− a.'Askhsh 6. D�netai tuqa�o de�gma X˜

= (X1, X2, . . . , Xn), apì katanom  me puknìthta pija-nìthta f1(x; θ) = θ xθ−1, 0 < x < 1 me �gnwsto θ > 0.1. Na deiqje� ìti h σ.σ. T = −2θ

n∑

i=1

lnXi e�nai posìthta odhgì .2. Na kataskeuasje� D.E. �swn our¸n gia to θ me σ.e. 1− a.