1

ΚΕΦ ΑΛΑΙ Ο 1 ο

1.1 - 1.2 – 1.3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ – ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ

1. Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α με το πεδίο ορισμού της στη στήλη Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 2( ) 3f x x x ( ,2]

( ) ln(2 )f x x [ 1, 1] π

( ) εφ( )4

f x x π: π4

x x k

ημ( )

2

xf x

x

2( ) 1f x x ( , 1] [1, )

( ) συνf x x ( ,2)

2

2. Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α με την ίση της στη στήλη Β στο κοινό διάστημα ορισμού.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1( ) συνf x x 1( ) 1g x x

2

2

1( )

1x

f xx

2( ) 3g x x

23( ) 6 9f x x x

3

π( ) ημ

2g x x

4( ) 3g x x

5( ) 3g x x

2

x

y

1

x

y

3

-1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

π/2 π 3π/2 2π

3. Να προσδιορίσετε τη γραφική παράσταση καθεμιάς από τις παρακάτω συναρτήσεις:

α. ( ) ημ 3f x x β. π( ) συν

4t x x

γ. 2φ( ) 3 3x x

δ. 3( ) 1h x x

π

4 π2

3π4

π 5π4

7π4

2π

1

-1

- π4

0

1. 2..

3. 4..

5.

3

4. Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α με το είδος μονοτονίας της στη στήλη Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β ( ) 1f x x

2( ) 1g x x Γνησίως αύξουσα ω( ) εφx x ( ) 3t x Γνησίως αύξουσα ( ) ημs x x

2φ( )x x Αλλάζει μονοτονία

1( )

2

x

h x

Σταθερή

5. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε συνάρτηση το σύνολο τιμών της.

1

3

3

3/2

2

4

2..

1 5

6

2

1.

3.

1.

2. ( , 3]

3. ( , 3)

4. 2, 6

5. [2, 6)

6. 4

4

6. Να αντιστοιχίσετε τη γραφική παράσταση κάθε συνάρτησης με το πεδίο ορισμού της.

1 3 5

1

-1

1

1. 2..

3.

1.

2. [0, )

3. (1, 5)

4. (1, )

5. [1, 3) (3, 5]

6. 1, 1

5

7. Να αντιστοιχίσετε τη συνάρτηση της στήλης Α με μία συνάρτηση από τη στήλη Β και μία από τη στήλη Γ, ώστε να είναι το άθροισμά τους.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β ΣΤΗΛΗ Γ 2ln( 1)x 2 4x ln( 1)x 2 1 1lnxee

2 1xe 2x

2 42

xx

ln( 1)x 1

1 11

xx

x 2

1

1x

11x

8. Να αντιστοιχίσετε το όριο της στήλης Α με την τιμή του, στη στήλη Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 2

limx

x xx

2

1

1lim

1x

x

x

-1

1

3 2lim

1x

x

x

½

3 4

9. Να αντιστοιχίσετε τον τύπο της συνάρτησης της στήλης Α με τον τύπο της πρώτης παραγώγου της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 23x 26 1x

3x 6x 22( 1)x 3 29x 4x 2(3 1)x 3 1x

23x x 18x 18 6x 26x 6 1x

6

10. Να αντιστοιχίσετε τη γραφική παράσταση της στήλης Α με τη γραφική παράσταση.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

α.

1.

β.

2.

γ.

3.

4.

( ) lnf x x

2( )f x x

( ) xf x e

7

11. Να αντιστοιχίσετε κάθε έκφραση από τη στήλη Α με το ίσο της στη στήλη Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β ( ( ))cf x 0

( ( ) ( ))f x g x ( )cf x

( )

( )

f x

g x

( ) ( )f x g x

( ( ))f g x ( )

( )

f x

g x

( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x

( ( ))f g x ( ( )) ( )f g x g x

2

( ) ( ) ( ) ( )

( )

f x g x f x g x

g x

12. Να αντιστοιχίσετε κάθε παράγωγο της στήλης Α με την παράγωγο της στη στήλη Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β (ημ3 )x 2εφx

23ημ 2 συν2x x 2εφ x 3συν3x

2ln xx

3ημ 2x 22εφ (1 εφ )x x

26ημ 2 συν2x x 2ln x 3συνx 23ημ 2x

2x

8

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΣΥΝΤΟΜΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

1. Να συμπληρώσετε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων:

α. 2( ) ln , .......................ff x x A

β. 2( ) , .......................gg x x A

γ. 2

1( ) , .......................

1 hh x Ax

δ. 2( ) 1, .......................tt x x A

2. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω όρια:

α. 1

lim( 2 3)x

x

……………………………………………………………………...

β. 2

20

1lim

1x

x

x

…………………………………………………………………………….

γ. 2

1

1lim

1x

x

x

……………………………………………………………………………

δ. 0

4 2limx

x

x

………………………………………………………………………..

3. Να συμπληρώσετε τις τιμές του α ώστε να είναι συνεχής κάθε μία από τις παρακάτω συναρτήσεις στο 0x :

α.

2 1, 1

1( )

1

xx

xf x

a x

β.

1, 1

1( )

1

xx

xg x

a x

9

4. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παραγώγων των παρακάτω συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία:

α. 2( ) 3 5, (0) .......................f x x f

β. 2( ) (7 1) , (1) .......................g x x g

γ. 2( ) ln , ( 2) .......................h x x h

δ. 3 2( ) , (2) .......................

1

xs x s

x

5. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία:

α. 2( ) 1, (0, (0)) ..................................f x x A f y

β. ( ) ln , (1, (1)) ..................................g x x A g y

γ. ( ) , (2, (2)) ..................................xh x e A g y

6. Για κάθε γραφική παράσταση συνάρτησης να χαράξετε τη γραφική παράσταση της παραγώγου της.

α.

β.

2( )f x x

2( ) ( 2)f x x

2

10

γ.

δ.

7. Για κάθε συνάρτηση από τη στήλη Α να συμπληρώσετε την παράγωγό της στη στήλη Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

22( 2)x 1

1x

23 ημx x

2 2ln (3 1)x 1

ln1

xx

3( )f x x

( ) lnf x x

11

8. Για κάθε συνάρτηση από τη στήλη Α να συμπληρώσετε την παράγωγό της στη στήλη Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

ημx

ημ lnx x

2

3

5x

x

e

2 3ημ lnx x

23ημ συνx x

9. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τύποι τεσσάρων συναρτήσεων. Να συμπληρώσετε τη στήλη Β με το αντίστοιχο πεδίο ορισμού τους, τη στήλη Γ με την πρώτη παράγωγό τους και τη στήλη Δ με τη δεύτερη παραγωγό τους.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β ΣΤΗΛΗ Γ ΣΤΗΛΗ Δ

2

1x

2

11x

2 lnx x

2ημ x

12

1

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ

1. Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α με την παράγωγο στη στήλη Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

α.

(1) 0f

β.

(1) 0f

γ.

(1) 0f

Cf

1

Cf

1

Cf

13

2. Να αντιστοιχίσετε συνάρτηση της στήλης Α με το ακρότατο της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

3( ) 1f x x

3( ) 2g x x

[ 2,2]Ag

2( ) 4h x x

2( ) 1, [ 1,1]t x x At

Μέγιστο το 10

Μέγιστο το 0

Ελάχιστο το -6

Ελάχιστο το -1

Ελάχιστο το -4

Μέγιστο το -4

Δεν έχει ακρότατο

14

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΣΥΝΤΟΜΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

1. Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x και παρουσιάζει ___________________ στο 0x τότε _________________ = 0.

2. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει ( ) 0f x για κάθε x A τότε η f είναι _____________ στο Α.

3. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α τότε ( )_______0f x για κάθε x A .

4. Οι πιθανές θέσεις ακρότατων μίας συνάρτησης f είναι τα σημεία _______________ της παραγώγου τα σημεία στα οποία η f είναι _____________ καθώς και τα __________ __________ διαστήματος.

15

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

1. Μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της παρουσιάζει ακρότατο μόνο στα σημεία που μηδενίζει η παράγωγός της.

Σ Λ

2. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει 0( ) 0f x τότε η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0x

Σ Λ

3. Για συνάρτηση f ισχύει ( ) 0f x για κάθε 0( , )x a x και ( ) 0f x για κάθε 0( ,β)x x

Η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0x .

Σ Λ

4. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο [α,β]. Αν ισχύει ( ) 0f x για κάθε [α,β]x τότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο α και …………………

Σ Λ

5. Η f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο (α,β) . Αν ( ) 0f x για κάθε (α,β)x τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατα στο ( ,β).a

Σ Λ

6. Η f είναι παραγωγίσιμη στο [ ,β].a Αν υπάρχουν 1 2, (α,β)x x τέτοιοι, ώστε 1( ) 0f x

και 2( ) 0f x τότε η f έχει μέγιστο και ελάχιστο στα 1 2,x x

Σ Λ

7. Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει :

τότε η f παρουσιάζει δύο ελάχιστα και ένα μέγιστο.

Σ Λ

16

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

1. Δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού είναι ίσες.

Σ Λ

2. Αν για τις συναρτήσεις ,f g ισχύει ( ) ( )f x g x για κάποια x A τότε f g

Σ Λ

3. Για τη συνάρτηση f υπάρχουν 1 2,x x στο πεδίο ορισμού της, τέτοια ώστε 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x τότε η f είναι γνησίως αύξουσα.

Σ Λ

4. Αν για τη συνάρτηση f υπάρχει 0x στο πεδίο ορισμού της, τέτοιο, ώστε 0( ) ( )f x f x για κάποια x , τότε η f παρουσιάζει στο 0x μέγιστο.

Σ Λ

5. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει 0( ) ( )f x f x , για κάθε 0 0( , ) ( ,β)x a x x τότε η f παρουσιάζει στο 0x τοπικό μέγιστο.

Σ Λ

6. Το 0

lim ( )x x

f x

έχει νόημα μόνο όταν το 0x ανήκει στο πεδίο ορισμού της f .

Σ Λ

7. Το 0

lim ( )x x

f x

υπάρχει πάντοτε όταν το 0x ανήκει στο πεδίο ορισμού της f .

Σ Λ

8. Αν 0

lim ( )x x

f x a

τότε υπάρχει 1 fx A τέτοιο, ώστε 1( )f x a .

Σ Λ

17

9. Μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 fx A όταν και μόνο όταν 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

.

Σ Λ

10. Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 fx A όταν και μόνο όταν 0 0

0

( ) ( )limh

f x h f x

h

υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.

Σ Λ

11. Αν οι συναρτήσεις ,f g είναι παραγωγίσιμες στο Α τότε και οι συναρτήσεις ,f g f g είναι παραγωγίσιμες.

Σ Λ

12. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και η g μη παραγωγίσιμη στο Α τότε η f g ενδέχεται να είναι παραγωγίσιμη στο Α.

Σ Λ

13. Για κάθε ζεύγος ,f g παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο Α ισχύει ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x .

Σ Λ

14. Αν 2009( )f x x τότε (1) 2009f .

Σ Λ

15. Αν ( ) ημ(συν )f x x τότε (0) 0f .

Σ Λ

18

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Στις Συναρτήσε ις

1. Ευθεία (ε) διέρχεται από το σημείο (0,3)A και τέμνει τον θετικό ημιάξονα Οx στο σημείο Β. Να προσδιορίσετε συνάρτηση που εκφράζει το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ. (Ο η αρχή των αξόνων).

2. Σύρμα μήκους 10 μέτρων χωρίζεται σε δύο τμήματα και σχηματίζει ένα κύκλο και ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Να βρείτε συνάρτηση που εκφράζει το συνολικό εμβαδόν των δύο σχημάτων.

3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

α) 2

9( )

2 1x

f xx x

στ)

2

2

log( 2 3)( )

16

x xf x

x

β) 2( ) 4f x x ζ) ( ) 1 1 lnxf x e x

γ) 2( ) ln( 5 6)f x x x η) 2 4( ) ln( 2) ln

4x

f x x xx

δ) ( ) log(3 1)f x x θ) ( ) 2 4f x x

ε) ( ) ln(3 )f x x

4. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

α) 3( )

3

xf x

x

β) 3

( )3

xf x

x

γ) 2( ) logh x x δ) ( ) 2logh x x

ε) ( ) ln( 2) ln( 3)t x x x στ) 2( ) ln

3x

t xx

5. Για ποιες τιμές του a το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων είναι το ;

α) 2

3 1( )

xf x

x a

β) 2

2 5( )

4 2x

f xx x a

19

6. Δίνονται οι συναρτήσεις ,f g με 1( ) ln

1x

f xx

και ( ) ln( 1) ln( 1)g x x x .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των ,f g

β) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή

γ) Να βρείτε υποσύνολο του στο οποίο ισχύει ( ) ( )f x g x

7. Έστω συνάρτηση f με ημ( )

1 x

xf x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι ( ) ( ) ημf x f x x

8. Να βρείτε – όπου αυτές ορίζονται – τις συναρτήσεις ,f

f gg

για :

α) 1( )

2f x

x

και 2

3( )

4

xg x

x

β) ( ) ln( 1)xf x e και ( ) 2g x x

γ) ( ) 2f x x και ( ) 5g x x

9. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:

α) ( )f x x x

β) , 1

( ) 1, 1

x xg x

xx

γ) ( ) lnh x x

δ) φ( )x

xx

ε) 2 , 1

( ), 1

x xs x

x x

20

10. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται «πάνω» από τον άξονα x x , όταν:

α) 3 2( ) 1f x x x x

β) 3 2

2

3 2( )

9x x x

f xx

γ) 2( ) 1 lnf x x

δ) ( ) 1 2ημf x x

11. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f είναι «πάνω» από τη γραφική παράσταση της ,g όταν:

α) 3( )f x x και ( ) 2g x x

β) ( )g x x και ( )g x x

γ) 2( ) 3xf x e και ( ) 2 xg x e

12. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις:

α) 3( ) 3 1f x x x

β) ( ) ln(3 )h x x

γ) π( ) 2συν 3 , (0, )

2t x x x x

δ) φ( ) 5x x

13. Αν η συνάρτηση f είναι άρτια και γνησίως αύξουσα στο (α, β) να δείξετε ότι είναι γνησίως φθίνουσα στο (-β, -α).

14. Αν η συνάρτηση f είναι περιττή και παρουσιάζει μέγιστο στο 0x , να δείξετε ότι παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x .

21

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Στα Όρια

15. Δίνεται η συνάρτηση f με : 2

3( )

9x

f xx

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε το 3

lim ( )x

f x

16. Δίνεται η συνάρτηση f με : 3( )

3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε το 3

lim ( )xf x

17. Αν 1

lim ( ) 3,xg x

να υπολογίσετε το

1lim ( )xf x

, όταν:

α) 2( ) 3

( )( ) 7

g xf x

g x

β) 2( ) ( )ln ( )f x xg x g x

18. Να βρείτε το 1

lim ( )xf x

, όταν: 2

1lim 2 ( ) 3 5 6 2x

f x x x

19. Να βρείτε τα παρακάτω όρια:

α) 3

21

5 4lim

2 3x

x xx x

β) 3

0

( 2) 8limx

xx

γ) 2

23

5 6lim

9x

x xx

δ) 3 2

23

2 5 4 3lim

9x

x x xx

ε) 3

41

3 7 4lim

1x

x xx

22

20. Να βρείτε τα παρακάτω όρια:

α) 4

2lim

4x

xx

β) 20

1 1limx

x xx x

γ) 23

6 3lim

9x

xx

δ) 2

5

5lim5 5x

x x

x

ε) 27

2 3lim

49x

xx

στ) 2

2 2lim

7 3x

x

x

21. Αν 1

( ) 2lim 1

1x

f x x x

x

, να βρείτε το

1lim ( )xf x

.

22. Αν 22

( ) 2lim 2

1x

f x x

x

, να βρείτε το 22

( ) 2lim

4x

f x

x

.

23. Δίνετε συνάρτηση f με:

2

2

1, 1

( ) 13 2 1, 1

xx

f x xx x x

, να εξετάσετε αν υπάρχει το 1

lim ( )xf x

.

24. Να βρεθεί a ώστε να υπάρχει το 2

lim ( )xf x

όταν 2

2

2 2, 2 2

( ) 43 , 2

xx

f x xax x x

25. Δίνεται συνάρτηση f , με 2 4 3, 1

( ), 1

x x xf x

a x

α) Για 1x είναι συνεχής η συνάρτηση;

β) Για ποια τιμή του α η f είναι συνεχής στο 0 1x

26. Δίνεται συνάρτηση f , με 2 2,

2( ) 2

, 2

x xx

f x xa x

Να βρείτε: α) το

2lim ( )xf x

β) την τιμή του α για την οποία η f είναι συνεχής

27. Να βρείτε τις τιμές των , βa ώστε: 2

1

βlim 2

1x

x ax

x

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

23

Στις Παραγώγους

28. Να βρείτε την παράγωγο στο 0x , για τις παρακάτω συναρτήσεις με χρήση του ορισμού.

α) 30( ) 2 , 1f x x x x

β) 0( ) 3, 0f x x x

29. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:

α) 3 2( ) 3 2 5f x x x x β) ( ) lnf x x x

γ) 2( ) lnxf x e x x δ) 2

( )ln 1x

f xx

ε) ημ( ) x

xf x

e στ) 2

ln( )

xf x

x

30. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες:

α) 2

2

3 5 1( )

4 7 1, 1

x x xf x

x x x

β) 24 2, 1

( )2 4, 1

x xg x

x x

31. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:

α) 8( ) (3 2)f x x β) 3( ) lng x x

γ) 3( ) lnh x x δ) 3 3( ) lnt x x

ε) 2 4 ημφ( ) x x xx e στ) 2( ) 1s x x

ζ) 3 2σ( )x x η) 2

1ω( )

2x

x

24

32. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:

α) 3( ) lnxf x x e x β) 2( ) ln( 4 5)f x x x

γ) ημ συν( ) x xf x e δ) 3 2 2 3( ) ημ ημf x x x x

ε) ( ) 2 lnxf x x στ) 2( ) συν (ln )xf x x xe

33. Έστω ,f g συναρτήσεις με 2( ) ( 3 2)g x f x x .

Αν (0) 3,f να βρείτε την τιμή της (1)g

34. Δίνεται η συνάρτηση g ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ( 1) 7g . Αν 2( ) 3( 2) (2 5)f x x g x να δείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη

στο και να βρείτε την τιμή της (2)f .

35. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ(x) τρίτου βαθμού τέτοιο, ώστε Ρ(0) 1 , Ρ(1) 5 , Ρ (0) 2 και Ρ (1) 2 .

36. Δίνεται η συνάρτηση f με ( ) ,axf x e a .

Να βρείτε τις τιμές του α ώστε να ισχύει: ( ) 2 ( ) 3 ( ),f x f x f x για κάθε x .

37. Δίνεται συνάρτηση f με 2( ) ,f x ax a .

α) Να βρείτε την (2)f

β) Να βρείτε το α, ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης, της γραφικής παράστασης της f , στο σημείο (2, (2))A f να είναι 4.

38. Δίνεται συνάρτηση f με ( ) ,a

f x ax

.

α) Να βρείτε την τιμή του a , ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α(3,2).

β) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α.

25

39. Δίνεται συνάρτηση f με 2( ) xf x e Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

40. Έστω συναρτήσεις ,f g με ( 1) ( 3) ( )f x x g x .

Αν (2) 4f και (2) 8f , να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο (1, (1))A g .

41. Δύο αυτοκίνητα Α, Β κινούνται κατά μήκος δύο κάθετων δρόμων ΑΓ, ΒΓ προς το Γ με ταχύτητες 50 km/h και 100 km/h αντίστοιχα. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης ΑΒ, ως προς το χρόνο τη στιγμή 0t κατά την οποία το πρώτο απέχει από τη διασταύρωση 800m και το δεύτερο 600m.

42. Η θέση ενός σώματος το οποίο κινείται πάνω στον άξονα x x δίνεται από τη σχέση: 3 2( ) 6 9 1, 0x t t t t t . Να προσδιορίσετε:

α) τη στιγμιαία ταχύτητα του σώματος

β) τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το σώμα ηρεμεί

γ) την επιτάχυνση του σώματος τις στιγμές που ηρεμεί

δ) τη χρονική στιγμή που η επιτάχυνση είναι μηδέν

43. Το εμβαδόν της επιφάνειας ενός κύβου αυξάνεται με ρυθμό 16cm2/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του όταν η ακμή του είναι 5 cm.

44. Σ’ ένα ισόπλευρο τρίγωνο η περίμετρος μειώνεται με ρυθμό 3cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μείωσης του εμβαδού όταν αυτό είναι ίσο με 23 cm .

45. Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με σταθερή βάση ΒΓ=16 cm μεταβάλλεται με ρυθμό 5 cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής των ίσων πλευρών και του εμβαδού του τη στιγμή που το Α απέχει από τη ΒΓ απόσταση ίση με 6 cm.

46. Μία κάμερα είναι τοποθετημένη στην κορυφή ενός στύλου ύψους 10m. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας θ από την οποία η κάμερα παρακολουθεί ένα όχημα όταν κινούμενο με 60 km/h:

α) απομακρύνεται από το στύλο και βρίσκεται 16m μακριά

β) σε 16m θα διέλθει από το στύλο

26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μονοτονία - Ακρότατα

47. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι παρακάτω συναρτήσεις :

α) 3( ) 3 2f x x x β) ( ) lng x x x

γ) 2 4( ) x xh x e δ)

2 1φ( 0

2x

xx

48. Δίνεται συνάρτηση f με 3 2( ) 5 7 2,f x ax x x a .

Να προσδιορίσετε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

49. α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f με ημ( )

xf x

x είναι γνησίως φθίνουσα στο π

0,2

β) Αν πα,β 0,

2

και α β να δείξετε ότι ημααβ ημβ

50. Να δείξετε ότι για κάθε π0,2

x

ισχύει ημ συν 1x x x

51. Για κάθε 0x , να δείξετε ότι: 2

ln( 1)2x

x x x

52. α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f με ln( ) ln

xf x

x

β) Αν βa e να δείξετε ότι β αα β

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 32 και 3

53. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι συναρτήσεις:

α) 3( )

2x

f xx

β) 2

1( )f x

x x

γ) 4 2( ) 2 2f x x x δ) ( ) xf x xe

ε) 3

2 2( ) 2 1, [0,6]

3x

f x x x xx

στ) ln( 1)( )

xf x

x

ζ) 2

( )2

x xf x e x η) 2( ) ln( 9)f x x

θ) 2( ) lnf x x x ι) 2

ln( )

xf x

x

κ) ( ) 2 xf x x e λ) 2( ) 2 3 1f x x x

μ) 2

2

2 5, 0( )

2 5, 0

x x xf x

x x x

27

54. Αν 2κ 1( ) ln ,f x x x να βρεθεί ο κ ώστε το ακρότατο της f να παίρνει την ελάχιστη τιμή του.

55. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση f με ln( ) , 1

1x

f x xx

και να δειχθεί ότι 2ln3

1e

56. Δίνεται συνάρτηση f με ( ) ln β , ,βf x a x x a . Να προσδιορίσετε τις πραγματικές α, β ώστε η f να παρουσιάζει στο 0 1x τοπικό ελάχιστο ίσο με 2.

57. Δίνεται η συνάρτηση f με ln( 1)( ) , 2

lnx

f x xx

.

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

β) Να δείξετε ότι: 2ln( 1)ln( 1) ln , 2x x x x

58. Δίνεται συνάρτηση f με ln( ) , 0

xf x x

x .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

β) Να δείξετε ότι π πee

γ) Για κάθε 0x να δείξετε ότι x ee x

δ) Να δείξετε ότι 1 ( 1) ,a aa a για a e

59. Δίνεται η συνάρτηση :f για την οποία ισχύει: 2

3( ) 2 ( )

1ax

f x f xx

για κάθε ,x με *a

α) Να βρεθεί ο τύπος της f

β) Να βρεθεί ο a ώστε η f να έχει μέγιστη τιμή το 3

(Γεωμετρικές – Φυσικές κ.ά. εφαρμογές)

60. Σε ένα ημικύκλιο να εγγραφεί ορθογώνιο το οποίο να έχει μέγιστο εμβαδόν.

61. Να δείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με σταθερό εμβαδόν 2κE , το ισοσκελές έχει τη μικρότερη υποτείνουσα.

62. Δίνεται συνάρτηση f με 2( ) 3f x x και το σημείο ( , ( ))M a f a . Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Μ τέμνει τους άξονες στα Α και Β, να βρεθούν οι τιμές του α ώστε το τρίγωνο (0(0,0))OAB να έχει ελάχιστο εμβαδόν.

28

Κ ΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο

2.1 – 2.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ – ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ

1. Να αντιστοιχίσετε τις μεταβλητές της στήλης Α με τις τιμές της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Α Ύψος μαθητών Χρώμα μαλλιών Ποιοτική Σκορ αγώνα Αποτέλεσμα εκλογών Ποσοτική συνεχής Φυτά φυτωρίου Αθλήματα Ποσοτική διακριτή Πλάτος σχημάτων

2. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με μεταβλητές που μπορεί να μας ενδιαφέρουν στη στήλη Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Προϊόντα βιομηχανίας Ύψος Τιμή Ηλικία Τηλεθεατές Φύλλο Τόπος διαμονής Μισθός Υπάλληλοι βιομηχανίας Χρόνια υπηρεσίας Χιλιόμετρα Ποιότητα Αυτοκίνητα Ώρες απασχόλησης Είδος προγράμματος Ημερήσια χρονικά διαστήματα Εθνικότητα Κυβισμός

29

3. Να αντιστοιχίσετε τις μεταβλητές της στήλης Α με τις γραφικές παραστάσεις που

μπορούν να τις περιγράψουν από τη στήλη Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Χρώμα μαλλιών Ραβδόγραμμα Χρόνος μελέτης Διάγραμμα συχνοτήτων Ηλικία μαθητών Κυκλικό διάγραμμα Πλήθος προϊόντων Σημειόγραμμα Πληθωρισμός Χρονόγραμμα Ταμειακή είσπραξη

30

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΣΥΝΤΟΜΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

1. Πληθυσμός ονομάζεται κάθε ______________________________ του οποίου εξετάζουμε

ένα ή περισσότερα _______________________________

2. Τα χαρακτηριστικά τα οποία εξετάζουμε σ’ έναν _________________________________

ονομάζονται __________________________________

3. Δείγμα ονομάζεται ένα ______________________________ του ___________________

4. Ένα ______________________ είναι αντιπροσωπευτικό όταν έχει επιλεγεί κατά τέτοιο

τρόπο ώστε κάθε ___________________________ του πληθυσμού να έχει την ίδια

________________________ να εκλεγεί.

5. Ο στατιστικοί πίνακες χωρίζονται σε δύο κατηγορίες : τους ________________________

και τους ________________________________

6. Συχνότητα ονομάζεται ο ________________________ αριθμός που δείχνει

______________ _______________________ εμφανίζεται η τιμή ix της εξεταζόμενης

μεταβλητής.

7. Ο υπολογισμός των συχνοτήτων γίνεται με τη _____________________ των παρατηρήσε-

ων.

8. Σχετική συχνότητα της τιμής ix ονομάζεται το __________________ της

_______________ προς το ____________________ του δείγματος και τη συμβολίζουμε με

________________

9. Οι ιδιότητες της σχετικής συχνότητας είναι _________________ και

___________________

10. Το σύνολο των ζευγών ( ,i ix V ) ονομάζεται _________________

____________________ ενώ το σύνολο των ζευγών ( ,i ix f ) ονομάζεται

_______________ __________________ ____________________________

31

11. Οι αθροιστικές συχνότητες της τιμής ix εκφράζουν το _____________________ των

παρατηρήσεων που είναι ____________________ ή __________________ της τιμής ix .

12. Οι σχετικές αθροιστικές συχνότητες της τιμής ix εκφράζουν το

_______________________ των παρατηρήσεων που είναι ______________________ ή

______________________ της τιμής ix .

13. Για τις ποιοτικές μεταβλητές χρησιμοποιούμε μόνο ____________________________ ή

_________________________ συχνότητες.

14. Οι ποσοτικές μεταβλητές απεικονίζονται γραφικά με _____________________ ή

_____________________ ή ______________________ ή _________________________

15. Η διαφορά της μικρότερης τιμής μιας μεταβλητής από τη __________________________

τιμή, ονομάζεται __________________________ του δείγματος.

16. Η διαφορά του _________________________ ορίου από το _______________________

όριο της κλάσης ονομάζεται ___________________________ της κλάσης.

17. Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται ________________________________ οπότε

αντιπροσωπεύονται από τις ____________________ ___________________ της κλάσης.

18. Το ______________________________ χρησιμοποιείται αποκλειστικά για την απεικόνιση

__________________________________ δεδομένων.

19. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το ___________________________ συχνοτήτων

και τον οριζόντιο άξονα ισούται με το ______________________________ του δείγματος.

20. Το ύψος κάθε ορθογωνίου στο ιστόγραμμα είναι ίσο με τη _________________________

της αντίστοιχης ________________________________ του δείγματος.

21. Καμπύλη συχνοτήτων είναι η μορφή της ομαλής καμπύλης που τείνει να πάρει το πολύγω-

νο συχνοτήτων όταν το πλάτος των κλάσεων _______________________ να γίνει πολύ

_____________________ και το πλήθος τους τείνει να γίνει ___________________

\\

32

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ – ΛΑΘΟΥΣ

1. Οι ποιοτικές μεταβλητές χωρίζονται σε διακριτές και συνεχείς.

Σ

Λ

2. Οι διακριτές μεταβλητές μπορούν να πάρουν μεμονωμένες τιμές και οι συνεχείς μεταβλητές λαμβάνουν οποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος.

Σ

Λ

3. Ένα δείγμα θεωρείται αντιπροσωπευτικό ανάλογα με τα συμπεράσματα που θέλει να εξάγει ο ερευνητής.

Σ

Λ

4. Συχνότητα (απόλυτη) είναι ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή της εξεταζόμενης μεταβλητής.

Σ

Λ

5. Η σχετική συχνότητα είναι ο αριθμός που λαμβάνει οποιαδήποτε τιμή στο σύνολο των πραγματικών.

Σ

Λ

6. Το άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων ενός δείγματος ισούται με το μέγεθος του δείγματος.

Σ

Λ

7. Οι αθροιστικές συχνότητες εκφράζουν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες μία συγκεκριμένης τιμής.

Σ

Λ

8. Δεν υπάρχει κλάση με μηδενική συχνότητα.

Σ

Λ

9. Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όμοιες ή αλλιώς ομοιόμορφα κατανεμημένες μέσα στην κλάση.

Σ

Λ

10. Στο ιστόγραμμα το εμβαδόν κάθε ορθογωνίου ισούται με τη συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης.

Σ

Λ

11. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος.

Σ

Λ

12. Ομοιόμορφη χαρακτηρίζεται μία κατανομή όταν, οι τιμές τις κατανέμο-νται ομοιόμορφα σε ένα διάστημα.

Σ

Λ

33

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Οι θερμοκρασίες της πόλης σε βαθμούς Κελσίου, για το μήνα Φεβρουάριο, φαίνονται παρακάτω:

3 5 7 4 10 12 13

12 11 4 7 3 9 15

14 15 12 3 2 12 14

6 6 5 8 9 8 8

α) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων και των επί τοις εκατό α-θροιστικών συχνοτήτων.

β) Να προσδιορίσετε το επί τοις εκατό ποσοστό των ημερών που η θερμοκρασία ήταν μι-κρότερη από 12 βαθμούς Κελσίου.

γ) Να προσδιορίσετε το επί τοις εκατό ποσοστό των ημερών που η θερμοκρασία ήταν με-γαλύτερη των 7 και μικρότερη των 15 βαθμών Κελσίου.

2. Δίνεται το πολύγωνο συχνοτήτων που παρουσιάζει την ημερήσια επισκεψιμότητα ενός σπηλαίου μέσα σε 50 ημέρες.

α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων.

β) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο αθροιστικών και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων.

0 60 100 120 150 230

16 14 12 10 8 6 4 2

5

11

xi

7

vi

34

3. Δίνεται το κυκλικό διάγραμμα που περιγράφει το ποσοστό των χρωμάτων αυτοκινήτων μίας έκθεσης.

α) Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα των συχνοτήτων.

β) Αν τα αυτοκίνητα της έκθεσης ήταν συνολικά 3.600 να βρείτε πόσα ήταν από κάθε χρώμα.

4. Οι επόμενοι αριθμοί δείχνουν τις γεννήσεις που δηλώθηκαν στο ληξιαρχείο μίας πόλης στη διάρκεια 30 ημερών :

4 3 7 6 7 5 5 3 9 8

1 3 4 7 6 6 4 2 1 3

3 2 4 8 8 5 4 2 3 1

α) Να γίνει πίνακας συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετι-κών αθροιστικών συχνοτήτων.

β) Να κατασκευαστεί το πολύγωνο των συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων.

5. Τα ημερήσια έξοδα διατροφής μίας οικογένειας για ένα μήνα σε € φαίνονται στον παρακά-τω πίνακα:

8 11 6 8 9 0 7 6 12 12

18 7 8 8 9 6 7 13 11 12

11 8 7 8 8 11 6 6 0 11

α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής όλων των μορφών συχνοτήτων.

β) Να βρεθεί πόσες μέρες η οικογένεια ξόδεψε : i) λιγότερο από 8€

ii) περισσότερα από 7€ και λιγότερα από 11€

1200 M

Π

Ρ Κ

Λ

700

720 860

Μ : μαύρο

Λ : λευκό

Ρ : ροζ

Κ : κίτρινο

Π : πράσινο

35

6. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

xi vi fi Ni Fi fi % Fi % 2 10 3 0,15 4 0,60 5 5 6 20

Σύνολο

7. Η βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά είναι :

90 00 20 30 60 60 40 30 50 60

50 66 78 70 80 80 10 70 100 100

20 40 42 18 24 31 100 82 96 12

α) Να ομαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις σε πέντε κλάσεις και να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων.

β) Να κατασκευάστε το ιστόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων και το πολύγωνο των α-θροιστικών συχνοτήτων.

8. Στο παρακάτω ιστόγραμμα φαίνονται τα χρήματα που ξόδεψαν οι μαθητές ενός Γυμνασίου στη διήμερη εκδρομή.

α) Να προσδιορίσετε το πλήθος των μαθητών που συμμετείχαν στην εκδρομή.

0 10 20 30 40 50 60 70

vi

90

130

160 140 120 100 80 60 40 20

36

β) Να προσδιορίσετε πόσοι μαθητές ξόδεψαν: i) 20€ έως 50€

ii) 35€ έως 50€ γ) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων.

9. Οι ηλικίες 40 ανθρώπων δίνονται στον παρακάτω πίνακα:

ΗΛΙΚΙΕΣ ΣΕ ΕΤΗ ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΝΘΡΩΠΩΝ [35 – 40] 1 [40 – 45] 6 [45 – 50] 9 [50 – 55] 10 [55 – 60] 6 [60 – 65] 4 [65 – 70] 3 [70 – 75] 1

Οι ηλικίες των γυναικών έχουν το παρακάτω πολύγωνο συχνοτήτων:

Να βρεθούν: α) Ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων της ηλικίας των ανδρών και γυναικών

β) Οι κλάσεις που έχουν τη μέγιστη συχνότητα γ) Να γίνει ο πίνακας αθροιστικών συχνοτήτων για τους άνδρες και τις γυναίκες καθώς

και τα αντίστοιχα ιστογράμματα.

32,5

37,5 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5

8 7 6 5 4 3 2 1

37

10. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων μίας κατανομής για το ύψος βροχής κατά τη διάρκεια ενός έτους:

α) Να υπολογίσετε το πλήθος των ημερών με ύψος βροχής περισσότερο από 340mm και λιγότερο των 420 mm

β) Να υπολογίσετε το ποσοστό των ημερών με ύψος βροχής 355 mm έως 400 mm.

11. Σε ένα δείγμα μεγέθους ν=50 έχουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων σε ισοπλατείς κλάσεις και στην κλάση [2, 7) με κεντρική τιμή x3 υπάρχουν 20 παρατηρήσεις. Να προσδι-ορίσετε:

α) i) Το πλήθος των παρατηρήσεων της κλάσης που είναι μικρότερες του 5. ii) Το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που έχουν τιμή τουλάχιστον 3

και το πολύ 7.

β) Το x ώστε στο διάστημα [2, x), 7x

i) να ανήκουν 8 παρατηρήσεις iι) να ανήκει το 32% του δείγματος

320

330 340 350 360 370 380 390

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

47

400 410 mm

42

38

12. Οι χρόνοι που χρειάστηκαν κάποιοι μαθητές για να λύσουν μία άσκηση είναι από 10 έως 20 min. Τους παραπάνω χρόνους τους χωρίζουμε σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους έτσι, ώστε:

- Το πολύγωνο συχνοτήτων του δείγματος με μεταβλητή το χρόνο λύσης της άσκησης έχει εμβαδόν 40.

- Το ύψος του ορθογωνίου στο ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων που αντιστοιχεί στην κλάση με κεντρική τιμή το 19 είναι 0,1.

- Η γωνία του κυκλικού τομέα στο κυκλικό διάγραμμα που αντιστοιχεί στην κλάση με κεντρική τιμή 19 είναι 720

- Οι μαθητές που έκαναν από 16 min έως 18 min είναι διπλάσιος από τους μαθητές που έκαναν χρόνο από 10 min έως 12 min

- Είκοσι τέσσερις μαθητές έκαναν χρόνο κάτω από 16 min

α) Να κατασκευάσετε πίνακα για vi, Ni, fi, fi%, Fi%

β) Να κατασκευάσετε: i) το ιστόγραμμα συχνοτήτων

ii) το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων iii) το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων

13. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι μισθοί 200 εργαζομένων σε μία εταιρία, αλλά σβήστηκε

το ορθογώνιο της κλάσης [8, 12). Αν είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει μισθός άνω των 2.000€, τότε:

α) Να κατασκευάσετε το ορθογώνιο που λείπει β) Να βρείτε το πλήθος των εργαζομένων που έχουν μισθό πάνω από 600€

γ) Να βρείτε το πλήθος των εργαζομένων που έχουν μισθό τουλάχιστον 700€ και το πολύ 1.300€

0 4 8 12 16 20

Αριθμός Εργαζομένων

40 30 20 10

Μισθός (σε εκατοντάδες)

39

14. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το ιστόγραμμα συχνοτήτων της βαθμολογίας ενός τμήματος στο μάθημα των Μαθηματικών. Σε κάθε ορθογώνιο που έχει βάση ίση με μία μονάδα μή-κους φαίνεται το εμβαδόν του. α) Να προσδιορίσετε το πλήθος των μαθητών του τμήματος.

β) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων. γ) Πόσοι μαθητές βαθμολογήθηκαν τουλάχιστον με 10 και το πολύ με 14.

4 8 12 14 16 18 20

8

12

16

4

10

2

40

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ

1. Να αντιστοιχίσετε κάθε μέτρο της στήλης Α με το χαρακτηριστικό του στη στήλη Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Α Διάμεσος Εκατοστημόρια Εύρος Θέσης Μέση τιμή Εκδοτεταρτημοριακή απόκλιση Διακύμανση Διασποράς Σταθμικός μέσος Επικρατούσα τιμή Τυπική απόκλιση

2. Να αντιστοιχίσετε κάθε μέτρο της στήλης Α με την αντίστοιχη παράσταση της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Α Μέση τιμή 2s Συντελεστής μεταβολής

ν2

1

( )

ν

ii

t x

Σταθμικός μέσος

ν

1

1

ν ii

t

Διακύμανση

κ

1κ

1

i ii

ii

X w

w

Τυπική απόκλιση s

x

3. Να αντιστοιχίσετε κάθε διάστημα μιας κανονικής κατανομής με το ποσοστό παρατη-ρήσεων που βρίσκονται σ’ αυτό.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Α 50%

( , )x s x s 68% 99,7%

( 2 , 2 )x s x s 34% 100%

( 3 , 3 )x s x s 95%

41

4. Να αντιστοιχίσετε στα στοιχεία της στήλης Α την κατανομή συχνοτήτων της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Α

3 1x s

4 1x s

3 2x s

4 2x s

5. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με την κατανομή συχνοτήτων της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Α

2 4x s

2 2x s

2 1x s

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8

42

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΣΥΝΤΟΜΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

1. Μέτρα θέσης ονομάζονται εκείνα που καθορίζουν ______________ του ___________ των

παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα

2. Μέτρα διασποράς ή μέτρα _____________________ ονομάζονται εκείνα που εκφράζουν τη

_____________________ των παρατηρήσεων γύρω από το ______________________

3. Η διάμεσος είναι μέτρο _____________________ και η τυπική απόκλιση είναι μέτρο

_________________________

4. Το σταθμικό μέσο το χρησιμοποιούμε για ένα σύνολο δεδομένων όταν δίνεται διαφορετική

_____________________________ στις τιμές.

5. Η διάμεσος ενός δείγματος είναι η ________________ για την οποία το _____________ το

50% των παρατηρήσεων είναι _________________ από αυτήν και το ______________ το

50% των παρατηρήσεων είναι _______________________ από αυτήν.

6. Η μέση τιμή δεν _______________________ ως μέτρο __________________ γιατί

επηρεάζεται από τις _____________________ τιμές των παρατηρήσεων.

7. Το εύρος δεν θεωρείται _____________________ μέτρο _________________ γιατί

βασίζεται μόνο στις _______________________ παρατηρήσεις.

8. Το μειονέκτημα της διασποράς είναι πως δεν ______________________ με τις ίδιες

____________________________ που εκφράζονται οι παρατηρήσεις.

9. Το εύρος στην κανονική κατανομή ισούται με ___________________________________

10. Συντελεστής μεταβολής ή ____________________ ονομάζεται ο λόγος της

_________________ ____________________ προς την ______________________ τιμή

της _______________________ τιμής.

11. Ο συντελεστής μεταβολής είναι ένα __________________________ σχετικής διασποράς.

12. Ένα δείγμα θεωρείται ομοιογενές όταν ο συντελεστής ____________________ είναι

_____________________ από ____________________ τοις εκατό.

43

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ – ΛΑΘΟΥΣ

1. Όταν υπάρχουν ακραίες παρατηρήσεις είναι προτιμότερο να χρησιμοποι-ούμε τη μέση τιμή αντί της διαμέσου.

Σ

Λ

2. Η διάμεσος ενός δείγματος είναι πάντοτε τιμή του δείγματος.

Σ

Λ

3. Όταν υπάρχουν ακραίες παρατηρήσεις η μέση τιμή δεν ενδείκνυται ως μέτρο θέσης.

Σ

Λ

4. Η διάμεσος και η μέση τιμή δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδομένα.

Σ

Λ

5. Το εύρος δεν θεωρείται αξιόπιστο μέτρο γιατί χρησιμοποιεί μόνο την μι-κρότερη και τη μεγαλύτερη τιμή.

Σ

Λ

6. Η διάμεσος σε ένα δείγμα είναι μοναδική.

Σ

Λ

7. Η διάμεσος είναι η τιμή που χωρίζει ένα δείγμα σε δύο ίσα μέρη.

Σ

Λ

8. Τα μέτρα διασποράς εκφράζουν τις αποκλίσεις των τιμών μίας μεταβλη-τής γύρω από τα μέτρα κεντρικής τάσης.

Σ

Λ

9. Στην κανονική κατανομή μπορούμε να μελετήσουμε μόνο το 99,7% του δείγματος.

Σ

Λ

10. Η διακύμανση είναι το μόνο μέτρο που δεν εξαρτάται από μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις.

Σ

Λ

11. Η τυπική απόκλιση είναι περίπου το 1/6 του εύρους της κατανομής όταν η κατανομή είναι κανονική.

Σ

Λ

12. Το μέτρο σχετικής διασποράς εκφράζει την τυπική απόκλιση ως ποσοστό επί τοις εκατό του x .

Σ

Λ

13. Όταν η κατανομή είναι κανονική η μέση τιμή συμπίπτει με τη διάμεσο.

Σ

Λ

14. Αν πολλαπλασιάσουμε τις τιμές μίας μεταβλητής με μία σταθερά, τότε η διακύμανση πολλαπλασιάζεται με το τετράγωνο της σταθεράς αυτής.

Σ

Λ

15. Έστω x, y μεταβλητές για τις οποίες ισχύει : Ψ α βx τότε βy ax και Sy a Sx .

Σ

Λ

16. Οι δείκτες διασποράς περιγράφουν την κύρτωση της κατανομής ενώ οι δεί-κτες κεντρικής τάσης περιγράφουν το βαθμό συμμετρίας της κατανομής.

Σ

Λ

44

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. α) Να δείξετε ότι: ν

2 2 2

1

1ν ii

s t x

.

β) Για έξι παρατηρήσεις it έχουμε 5x και ν

2

1

600ii

t

, να υπολογίσετε τη διασπορά

του δείγματος.

γ) Αν είναι ν ν

2

1 1

10, 22i ii i

t t

και 2 4s , να βρείτε το μέγεθος του δείγματος.

2. Η μέση τιμή 22 παρατηρήσεων μιας μεταβλητής Χ είναι 62. Διαπιστώθηκε ότι οι μισές από τις παρατηρήσεις αυτές υπερεκτιμήθηκαν κατά έξι μονάδες η καθεμία και ότι 10 παρατηρή-σεις από τις υπόλοιπες υποεκτιμήθηκαν κατά 11 μονάδες η καθεμία. Να βρεθεί η σωστή μέση τιμή του δείγματος.

3. α) Να δείξετε ότι: ν

2 2 2

1

1ν ii

s x x

β) Αν 2 23 2, 16xy x x s και 24y να προσδιορίσετε το x

4. Ένα σύρμα μήκους l=40 cm κόβεται σε δέκα κομμάτια (l1, l2, … l10).

Αν 10

2

1

( 4) 90ii

l

να βρεθεί ο συντελεστής μεταβολής των l1, l2, … l10

5. Τα 12 τμήματα ενός Λυκείου έχουν τους παρακάτω μαθητές:

28 29 30 29 32 30

31 29 25 28 29 30

α) Να κατασκευάσετε πίνακα σχετικών συχνοτήτων καθώς και αθροιστικών σχετικών συ-χνοτήτων.

β) Να βρείτε το μέσο αριθμό μαθητών και τη διάμεσο του δείγματος.

γ) Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές.

45

6. Μία βιοτεχνία έχει 20 εργαζόμενους με μέσο μηνιαίο μισθό 1.200€.

α) Να βρείτε το νέο μέσο μισθό, όταν:

i) ένας εργαζόμενος με μισθό 1.200€ πάρει σύνταξη ii) προσληφθούν δύο ακόμα εργαζόμενοι με μισθό 850€

iii) κάθε εργαζόμενος πάρει αύξηση 10% β) Αν προσληφθεί ένας εργαζόμενος, ποιος πρέπει να είναι ο μισθός του, ώστε ο μέσος

μηνιαίος μισθός όλων να είναι 1.210€;

7. Σε μία επιχείρηση εργάζονται 15 άνδρες και 28 γυναίκες. Αν ο μέσος μισθός των ανδρών είναι 1.600€ και ο μέσος μηνιαίος μισθός των γυναικών είναι 1.250€, να βρείτε το μέσο μη-νιαίο μισθό των εργαζομένων στην επιχείρηση.

8. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι μισθοί μίας επιχείρησης σε δεκάδες ευρώ.

ΜΙΣΘΟΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ [25, 30) 6 [30, 35) 10 [35, 40) 16 [40, 50) 4 [50, 55) 8 [55, 60) 6

α) Να υπολογίσετε τη μισθοδοτική δαπάνη της επιχείρησης και τη μέση τιμή των μισθών. β) Αν η επιχείρηση αυξήσει κατά 10% τους μισθούς των υπαλλήλων της, ποια θα είναι η

νέα μέση τιμή των μισθών; γ) Είναι ομοιογενής η μισθοδοσία των υπαλλήλων ;

9. Σε μία στατιστική μελέτη για τη μεταβλητή Χ προέκυψε ο παρακάτω πίνακας:

X Vi [10, 15) 12 [15, 20) 20 [20, 25) 28 [25, 30) 16 [30, 35) 8

α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, την τυπική απόκλιση και τη διάμεσο.

β) Μπορεί η παραπάνω τιμή να θεωρηθεί κανονική;

46

10. Σε δύο επιχειρήσεις Ε1 και Ε2 οι υπάλληλοι είναι ταξινομημένοι σε δύο κατηγορίες: Εργάτες και Διοικητικοί. Δίνονται δύο πίνακες που δίνουν την κατανομή των υπαλλήλων συναρτήσει της επαγγελματικής τους κατηγορίας και του μηνιαίου τους μισθού σε εκατο-ντάδες ευρώ

Επιχείρηση Ε1 Επιχείρηση Ε2

4-8 8-12 12-16 4-8 8-12 12-16 Εργάτες 170 100 0 Εργάτες 280 140 0 Διοικητικοί 0 10 20 Διοικητικοί 0 40 40

α) Να υπολογίσετε το μέσο όρο των μισθών των εργατών 1x και 2x στις δύο επιχειρήσεις Ε1 και Ε2.

β) Να υπολογίσετε το μέσο όρο των μισθών των διοικητικών υπαλλήλων 1c και 2c στις δύο επιχειρήσεις Ε1 και Ε2.

γ) Ποια από τις δυο επιχειρήσεις έχει καλύτερες αμοιβές για τους εργαζόμενους;

11. Τα χρόνια εργασίας ενός δείγματος εργαζομένων σ’ ένα εργοστάσιο σχηματίζουν το παρακάτω πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων.

α) Να υπολογίσετε τη διάμεσο, τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση.

β) Να υπολογίσετε το συντελεστή μεταβολής μετά από 5 χρόνια. γ) Να εξετάσετε πότε το δείγμα είναι ποιο ομοιογενές.

6

80 70 60 50 40 30 20 10 0

12 18 24 30 Χρόνια εργασίας

Νi

47

12. Ένα κέντρο τηλεφωνικών πληροφοριών πραγματοποιεί μία έρευνα σε ένα δείγμα 100 πελατών πάνω στο χρόνο αναμονής που υφίσταται ο πελάτης πριν αρχίσει τη συνομιλία με τον υπάλληλο. Τα αποτελέσματα της μελέτης σημειώνονται στον παρακάτω πίνακα:

Χρόνος αναμονής σε sec Αριθμός πελατών [0, 5) 10

[5, 10) 16 [10, 15) 24 [15, 20) 24 [20, 25) 12 [25, 30) 10 [35, 40 4 Σύνολο 100

α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. β) Να υπολογίσετε το μέσο όρο και την τυπική απόκλιση της στατιστικής σειράς και να

σχολιάσετε το αποτέλεσμα. γ) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων και να βρεθεί ο αριθμός

των πελατών όταν ο χρόνος αναμονής είναι κατώτερος ή ίσος με x s ή με x s . δ) Ποιο είναι το ποσοστό των πελατών, που ο χρόνος αναμονής βρίσκεται στο διάστη-

μα ,x s x s .

13. Οι θερμοκρασίες κατά το μήνα Απρίλιο ήταν τέτοιες ώστε το μέτρο της σχετικής διασποράς να είναι 10% η μέση θερμοκρασία 200C και ακολουθούν κανονική κατανομή.

α) Να προσδιορίσετε το ποσοστό των ημερών του μήνα που η θερμοκρασία έπεσε κάτω από 180C

β) Λόγω των κλιματικών αλλαγών αναμένεται τον επόμενο χρόνο κατά το μήνα Απρίλιο αύξηση της θερμοκρασίας κατά 20C. Να προσδιορίσετε το μέτρο της σχετικής διασπο-ράς της θερμοκρασίας.

14. Για τη βαθμολογία των φοιτητών στο μάθημα «Θεωρία Στατιστικής και Πιθανοτήτων» δίνεται ο παρακάτω πίνακας:

Βαθμολογία Fi [0, 2) [2, 4) 0.25 [4, 6) [6, 8)

[8, 10)

και ισχύει: 3 4 5

12 32 3

5 κf f f

48

α) Να προσδιορίσετε το κ. β) Να προσδιορίσετε τη διάμεσο του δείγματος. γ) Αν 40 φοιτητές είχαν βαθμολογία από 2 έως 6 και το α1=360 να βρείτε πόσοι είναι οι

φοιτητές και : i) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων της βαθμολογίας ii) Να προσδιορίσετε το συντελεστή μεταβλητότητας του δείγματος

15. Σ’ ένα εργαστήριο ανεβάσαμε για ένα δεδομένο τύπων μηχανών το χρόνο παρέμβασης στη διαδικασία συντήρησης. Τα αποτελέσματα δίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Χρόνος (min) Αριθμός μηχανών [0, 20) 5 [20, 40) 20 [40, 60) 45 [60, 80) 100

[80, 100) 20 [100, 120) 10

α) Να υπολογίσετε το μέσο χρόνο συντήρησης της διασποράς του και τη διάμεσό του. β) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων και να προσδιορίσετε

τον αριθμό των μηχανών που συντηρούνται μεταξύ 2x s και 2x s γ) Η εργασία συντήρησης κρίνεται ικανοποιητική όταν το 95% των παρεμβάσεων έχουν

μία διάρκεια που ανήκει στο διάστημα 2 , 2x s x s . Είναι η εργασία συντήρησης κα-λής ποιότητας;

16. Δίνονται οι παρακάτω κατανομές συχνοτήτων στις οποίες παριστάνονται οι αποδοχές εργαζομένων σε δύο εταιρίες που ασχολούνται με το ίδιο αντικείμενο:

Αν επρόκειτο να επιλέξετε σε ποια εταιρία θα εργαστείτε, ποια θα επιλέγατε και γιατί;

1800€ x 2400€

49

17. Ένας ερευνητής μελετά ένα μικροοργανισμό και μετρά με προσέγγιση 0,1mm τη διάμετρο ενός μεγάλου αριθμού ατόμων αυτού του είδους. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρα-κάτω πίνακα:

Διάμετρος (mm) Σχετική συχνότητα fi% 20 – 20,5 10 20,5 – 21 7 21 – 21,5 10 21,5 – 22 13 22 – 22,5 16 22,5 – 23 17 23 – 23,5 14 23,5 – 24 13

α) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα των συχνοτήτων. β) Να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση. γ) Επιθυμούμε να ομαδοποιήσουμε τις παρατηρήσεις σε λιγότερες κλάσεις. Διαλέγουμε

τις κλάσεις [20 , 21) [21, 22) [22, 23) και [23, 24)

i) Να κατασκευάσετε νέο πίνακα και νέο ιστόγραμμα συχνοτήτων ii) Να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση. Να συγκρίνετε αυτές τις τιμές με τις

προηγούμενες και να βρεθούν σε ποσοστό οι σχετικές μεταβολές του. Να σχολιά-σετε τα αποτελέσματα.

iii) Αν ομαδοποιήσουμε τη στατιστική σειρά σε μία μόνο κλάση [20-24] ποια θα ήταν η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση;

18. Δίνονται οι στατιστικές σειρές βαθμολογίας : α : 14, 6 , 12, 4, 8, 9, 7, 18

β : 8, 9, 3, 5, 12, 13, 10, 17

α) Να βρεθεί το εύρος μεταβολής β) Να εξετασθεί ποια σειρά έχει μικρότερη διασπορά

Για τις στατιστικές σειρές :

Ύψος : 1,7 1,5 1,68 1,7 1,75 1,8 Βάρος : 65 60 65 63 68 68 γ) Να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση δ) Ποια από τις δύο μεταβλητές έχει τη μικρότερη διασπορά;

50

19. Η μέση διάρκεια των τηλεφωνημάτων του προσωπικού μιας επιχείρησης είναι 20 sec με

τυπική απόκλιση 4. Με την προϋπόθεση ότι η κατανομή είναι κανονική, να βρεθεί το πο-σοστό των υπαλλήλων που τηλεφωνούν:

α) λιγότερο από 16 sec β) το πολύ 20 sec

γ) πάνω από 28 sec δ) μεταξύ 12 και 24 sec

20. Η κατανομή συχνοτήτων των δίσκων που παράγει μία μηχανή ως προς τη διάμετρό τους είναι περίπου κανονική. Έστω ότι η τυπική απόκλιση των δίσκων είναι 2 cm και ότι το 50% των δίσκων έχουν διάμετρο, το πολύ, 22 cm.

α) Αν επιλέξουμε ένα τέτοιο δίσκο, σε ποιο διάστημα είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα βρίσκε-ται η διάμετρός του;

β) Ποια πρέπει να είναι η διάμετρος του δίσκου, ώστε να ελέγξουμε τη λειτουργία της μηχανής για πιθανή βλάβη.

21. Η μέση τιμή και ο συντελεστής μεταβολής των 10 τιμών ενός δείγματος είναι 80x και

ν 25%c αντίστοιχα. Αν για τις εννέα τιμές ισχύει 9

2

1

( ) 3975ii

x x

να βρείτε:

α) τη δέκατη τιμή

β) πόσες τουλάχιστον μονάδες πρέπει να αυξηθούν οι τιμές του δείγματος, ώστε να γίνει ομοιογενές;

51

Κ ΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο

3.1 – 3.2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ – ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ

1. Να αντιστοιχίσετε κάθε πέρασμα της στήλης Α με το είδος της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Α Θερμοκρασία βρασμού ενός υγρού Διάρκεια τηλεφωνικών κλήσεων Καταγραφή χρωμάτων οχημάτων Υπολογισμός περιόδου εκκρεμούς σε συγκεκριμένο τόπο Υπολογισμός επιτάχυνσης βαρύτητας

Τύχης

Αιτιοκρατικό

2. Να αντιστοιχίσετε το πείραμα της στήλης Α με το δειγματικό χώρο του στη στήλη Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

Ρίψη ζαριού με άρτια ένδειξη

Οικογένειες με δύο παιδιά που έχουν ένα αγόρι Α και

ένα κορίτσι Κ

Ρίψη νομίσματος με ένδειξη γράμματα

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

{2, 4, 6}

{ΑΚ, ΚΑ}

{ΑΑ, ΚΚ, ΑΚ, ΚΑ}

{ΚΓ, ΓΚ}

{ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}

52

3. Να αντιστοιχίσετε τις εκφράσεις της στήλης Α με την έκφραση των ενδεχομένων της στήλης Β για ενδεχόμενα Κ, Λ έως δείγμα χώρου ….

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

Πραγματοποιείται τουλάχι-

στον ένα από τα Κ, Λ

Πραγματοποιείται μόνο το Κ

Πραγματοποιούνται συγ-χρόνως τα Κ, Λ

Δεν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Κ, Λ

Δεν πραγματοποιείται το Κ

Δεν πραγματοποιείται κανέ-να από τα Κ, Λ

Πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Κ, Λ

Πραγματοποιείται το Κ όταν πραγματοποιείται το Λ

ΛK ΛK

K

ΛK

( Λ)K

ΛK

( Λ) (Κ Λ )K

Λ Κ

53

4. Να αντιστοιχίσετε το γραμμοσκιασμένο τμήμα της στήλης Α με την πράξη ενδεχομέ-

νων της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

A B

A B

A B

A B

A B

A B

( ) ( )A B A B

A B

A B

A B

A B

54

5. Να αντιστοιχίσετε την έκφραση της στήλης Β με το γραμμοσκιασμένο τμήμα της στήλης Α.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

A B

A B

A B

A B

Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α, Β

Πραγματοποιείται το Α και όχι το Β

Πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα Α και Β

Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β

Δεν πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β

Κανένα από τα Α και Β δεν πραγματοποιείται

A B

A B

55

6. Να αντιστοιχίσετε τις εκφράσεις της στήλης Α με τις αντίστοιχες της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

( ) ( )P A B P A B

( )P A B

( )P A

( ) ( )P A B A B

( )

A B

P A B

Ω

( )

A B

P A B

( ) ( ) ( )P A P B P A B

( ) ( )P A P A B

( ) ( )P A P B

( ) 1P A

1 ( )P A

1

( ) ( ) 2 ( )P A P B P A B

O

56

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ- ΣΥΝΤΟΜΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

1. Κάθε πείραμα κατά το οποίο η γνώση των ______________ κάτω από τις οποίες εκτελείται,

καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται ____________________________

2. Πειράματα τα οποία ___________________ επαναλαμβάνονται κάτω από τις ίδιες

_________________ και δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το

_________________ ονομάζονται ____________________ ____________________

3. Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης ονομάζεται

_________________ ____________________

4. Το σύνολο που έχει ως στοιχεία ____________________ ή ____________________

αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης ονομάζεται.

5. Ένα ενδεχόμενο λέγεται ____________________ όταν έχει ένα μόνο στοιχείο και

____________________ όταν έχει περισσότερα στοιχεία.

6. Ο δειγματικός χώρος είναι το ενδεχόμενο που πραγματοποιείται ____________________

και ονομάζεται ____________________ ενδεχόμενο.

7. Αν τα μεμονωμένα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω είναι __________________ τότε

η πιθανότητα ενός ενδεχόμενου Α του Ω είναι ίση με ____________________

8. Η πιθανότητα ενός είναι αριθμός που ανήκει στο διάστημα ____________________ και το

άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των ____________________ ενδεχόμενων ενός δειγματι-

κού χώρου ισούται με ____________________

9. Δύο ενδεχόμενα Α, Β ονομάζονται ξένα ή _________________ ή ___________________

____________________ όταν ____________________ = ____________________

10. Για δύο οποιαδήποτε ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α, Β ισχύει ( )P A B =

_________________

11. Για δύο αντίθετα ενδεχόμενα Α, Α’ ισχύει _________________ = ___________________

12. Αν η πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του ενδεχομέ-

νου Β τότε _____________________ ____________________

13. Αν Α, Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου και ΓA B τότε

(Γ)_______________ ( )P P A

14. Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος και Α, Β, Γ τρία ενδεχόμενα του, ανά δύο ασυμβίβαστα

τότε ( Γ) ____________________________P A B

57

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

1. Σ’ ένα πείραμα τύχης γνωρίζουμε πάντοτε το αποτέλεσμα σε κάθε εκτέλεσή του.

Σ

Λ

2. Σ’ ένα πείραμα τύχης γνωρίζουμε το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων.

Σ

Λ

3. Αν για ένα ενδεχόμενο Α ισχύει : ( ) 1P A τότε το Α είναι το βέβαιο ενδεχόμενο.

Σ

Λ

4. Αν σ’ ένα πείραμα τύχης για το ενδεχόμενο Α ισχύει ( ) 0P A τότε το Α είναι το αδύνατο ενδεχόμενο.

Σ

Λ

5. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύει : ( ) ( ) 1P A P B τό-τε ΩA B

Σ

Λ

6. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύει: ( ) ( ) 1P A P B τότε τα Α, Β είναι αντίθετα.

Σ

Λ

7. Δύο ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ονομάζονται ασυμβίβαστα όταν A B

Σ

Λ

8. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύει ( ) ( )P A P B τότε A B

Σ

Λ

9. Αν 1 2 ρ,α ,...A a a ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου 1 2 νΩ ω ,ω ,...ω με

ισοπίθανα μεμονωμένα ενδεχόμενα, τότε ρ( )

νP A

Σ

Λ

10. Αν 1 2 ρ,α ,...A a a ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου 1 2 νΩ ω ,ω ,...ω με

μη ισοπίθανα μεμονωμένα ενδεχόμενα, τότε ρ( )

νP A

Σ

Λ

11. Έστω Α, Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με 3( ) ( )

2P A P B , τότε

A B

Σ

Λ

12. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β δειγματικού χώρου Ω ισχύει ( ) 2 ( )P A P B τότε το πλήθος των στοιχείων του Α είναι διπλάσιο του πλήθους των στοιχείων του Β.

Σ

Λ

13. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β δειγματικού χώρου Ω ισχύει A B τότε ( ) ( )P A P B

Σ

Λ

14. Έστω Α, Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω. Η πιθανότητα να πραγματοποιεί-ται ακριβώς ένα από τα Α, Β είναι ( ) ( ) 2 ( )P A P B P A B

Σ

Λ

15. Έστω Α, Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω. Η πιθανότητα να πραγματοποιεί-ται μόνο το Α είναι ( )P A

Σ

Λ

58

16. Έστω Α, Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω. Η πιθανότητα να πραγματοποιεί-ται μόνο το Α είναι ( ) ( )P A P A B

Σ

Λ

17. Έστω Α, Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω. Η πιθανότητα να μην πραγματο-ποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β είναι [( ) ]P A B

Σ

Λ

18. Έστω Α, Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω. Η πιθανότητα να μην πραγματο-ποιείται κανένα από τα Α και Β είναι [( ) ]P A B

Σ

Λ

19. Έστω α, Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω. Ισχύει ( ) ( ) ( )P A B P A P A B

Σ

Λ

20. Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει ( ) 0,f x για κάθε [0,1].x Αν Α, Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω, τότε ( ( )) ( ( ))f P A f P A B

Σ

Λ

21. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο [0,1] . Αν Α, Β ενδεχόμενα δειγματι-κού χώρου Ω τότε ισχύει ( ( )) ( ( ))f P A B f P B

Σ

Λ

59

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Σ’ ένα κιβώτιο υπάρχουν 3 κόκκινες, 2 πράσινες και 6 γαλάζιες μπάλες. Επιλέγουμε τυχαία μπάλες μέχρι να εξάγουμε τρεις ή δύο του ίδιου χρώματος.

α) Να προσδιορίσετε το δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Να προσδιορίσετε τα ενδεχόμενα: Α: “επιλέχθηκαν ακριβώς δύο κόκκινες” Β: “επιλέχθηκε το πολύ μία γαλάζια μπάλα” γ) Να προσδιορίσετε το ενδεχόμενο να πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β. 2. Ένα εργοστάσιο παράγει μεταλλικούς δακτύλους. Γίνεται ποιοτικός έλεγχος και διακρίνο-

νται οι δακτύλιοι σε καλούς (Κ) ή ελαττωματικούς (Ε). Η διαδικασία του ελέγχου σταματά όταν βρεθούν τρεις καλοί ή δύο ελαττωματικοί.

α) Να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Να προσδιορίσετε τα ενδεχόμενα: Α: “επιλέγουμε ακριβώς ένα ελαττωματικό δακτύλιο” Β: “επιλέγουμε το πολύ έναν καλό δακτύλιο” Γ: “επιλέγουμε τουλάχιστον δύο καλούς δακτύλιος” 3. Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές και καταγράφουμε των ένδειξη: α) Να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Να προσδιορίσετε τα ενδεχόμενα: Α: “η πρώτη ρίψη έχει ένδειξη μικρότερη από την ένδειξη της δεύτερης ρίψης” Β: “και οι δύο ρίψεις έχουν άρτια ένδειξη” Γ: “το άθροισμα των ενδείξεων των δύο ρίψεων είναι ίσο με 9” γ) Να προσδιορίσετε τα ενδεχόμενα: , Γ, Α Γ, Α Β ΓA B A 4. Καταγράφουμε τα παιδιά μιας τρίτεκνης οικογένειας ως προς το φύλο: α) Να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: “το δεύτερο παιδί είναι αγόρι” Β: “το τρίτο παιδί είναι κορίτσι”

i) Να προσδιορίσετε τα ενδεχόμενα Α Β, Α Β

ii) Να προσδιορίσετε τα ενδεχόμενα Α Β και Α Β iii) Να επαληθεύσετε την ισότητα : Ν(Α) Ν(Β) Ν(Α Β) Ν(Α Β)

5. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Να δείξετε ότι:

α) (Α ) Α

β) (Α Β) Α Β

γ) (Α Β) Α Β

60

6. Αν Α, Β, Γ είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Να δείξετε ότι:

α) Α Γ Β Γ

β) Α Γ Β Γ

7. Έστω Α, Β, Γ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Να δείξετε ότι:

α) Α Β Α Β

β) Α Β Β Α

γ) (Α Β) Α Α

δ) Α (Β Γ) (Α Β) Γ

8. Ρίχνουμε ένα νόμισμα δύο φορές. Αν τη μία φορά ήρθε η ένδειξη Κ (κεφαλή) να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχόμενων:

Α: “να έρθει και τις δύο φορές Κ” Β: “να έρθει Κ και τη δεύτερη φορά εφόσον Κ είχε έρθει και την πρώτη”

9. Ρίχνουμε ένα ζάρι τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να δείξει τον αριθμό 6;

10. Σ’ ένα διαγωνισμό παίρνουν μέρος τέσσερις μαθητές. Οι πιθανότητες του 1ου, του 2ου, του 3ου και του 4ου για να βραβευθούν είναι ανάλογες των αριθμών 3, 5, 7, 9. Να βρεθούν οι πι-θανότητες αυτές.

11. Η Α’ Λυκείου έχει 50 αγόρια και κορίτσια. Το 20% των αγοριών και τα 25

των κοριτσιών

επέλεξαν το μάθημα της πληροφορικής. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο. Αν η πιθανότητα να είναι αγόρι και να μην επέλεξε το μάθημα της πληροφορικής είναι 0,4 να προσδιορίσετε:

α) Πόσα είναι τα αγόρια και πόσα είναι τα κορίτσια;

β) Την πιθανότητα να είναι κορίτσι και να μην επέλεξε το μάθημα της πληροφορικής.

12. Σε μία «μάντρα» μεταχειρισμένων αυτοκινήτων το 40% δεν έχει καθρέπτες, το 20% δεν έχει εφεδρικό τροχό και το 15% δεν έχει ούτε καθρέπτες ούτε εφεδρικό τροχό. Επιλέγουμε τυχαία ένα αυτοκίνητο. Να βρεθεί η πιθανότητα να έχει καθρέπτες και εφεδρικό τροχό.

13. Μία τράπεζα χορηγεί διαφόρων τύπων δάνεια στους πελάτες της. Αν επιλεγεί τυχαία κάποιος πελάτης, η πιθανότητα να έχει πάριε μόνο στεγαστικό δάνειο είναι 0,7 ενώ η πιθα-νότητα να μην έχει πάρει κανένα από τα προηγούμενα δάνεια είναι 0,1.

α) Να βρείτε την πιθανότητα ένας πελάτης να έχει πάρει και τα δύο δάνεια. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα «έχει πάρει στεγαστικό» και «έχει πάρει καταναλω-τικό» είναι ασυμβίβαστα.

β) Αν επιπλέον η πιθανότητα να έχει πάρει μόνο στεγαστικό είναι 0,6 να βρείτε τις πιθα-νότητες των ενδεχόμενων:

i) “έχει πάρει καταναλωτικό” ii) “έχει πάρει μόνο καταναλωτικό”

61

14. Σ’ ένα Λύκειο οι μαθητές της Α τάξης είναι 54. Αν εκλέξουμε τυχαία μαθητή του Λυκείου η πιθανότητα να είναι μαθητής της Α τάξης είναι 36% και η πιθανότητα να είναι της Β. τά-ξης είναι 34%. Να βρείτε:

α) το πλήθος των μαθητών του Λυκείου

β) το πλήθος των μαθητών της Β’ τάξης

γ) την πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ’ τάξης

15. Θεωρούμε το δειγματικό χώρο : 1 2 νΩ ω ,ω ,...ω Οι πιθανότητες 1 2 νΡ(ω ), Ρ(ω ),....., Ρ(ω )

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1

1Ρ(ω )

16 και διαφορά 1

ω8

.

Να προσδιορίσετε την πιθανότητα νΡ(ω ) .

16. Η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ίση με το τετράγωνο της πιθανότητας να μη συμβεί. Να βρεθεί η πιθανότητα Ρ(Α ) .

17. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία γνωρίζουμε ότι :

- η πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α, Β είναι 14

- η πιθανότητα να πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α, Β είναι 23

Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α και Β. 18. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει:

- η πιθανότητα να πραγματοποιείται το Α και να μην πραγματοποιείται το Β είναι 16

- η πιθανότητα να μην πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β είναι 34

- η πιθανότητα να πραγματοποιείται το Α ή το Β είναι 23

Να προσδιορίσετε την πιθανότητα : α) να πραγματοποιείται το Α β) να πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β γ) να πραγματοποιούνται και τα δύο ή κανένα από τα δύο δ) να πραγματοποιείται το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β

19. Δίνεται ο δειγματικός χώρος : Ω {0,1,2,3,...2ν}, ν .

Αν η πιθανότητα του Κ Ω είναι κ

1Ρ(Κ) , κ 1,2,3,...2ν

2 και 20

1(Ο)

2P ,

να προσδιορίσετε το 2

ν

100lim

10x

x

x

62

20. Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω {0,1,2,3,...2ν}, ν

Θεωρούμε τις πιθανότητες : κ

1Ρ(κ) , κ 1,2,3,...,2ν

2

α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ(ο)

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ( )P A του ενδεχόμενου {2,4,6,...,2ν}A

21. Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει: 1 1

( ) , ( )4 5

P A P B και 3( )

10P A B

α) Να δείξετε ότι τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα

β) Να προσδιορίσετε την πιθανότητα να πραγματοποιείται μόνο το Α.

22. Δύο φίλοι κανόνισαν να συναντηθούν μεταξύ 2 και 3 το μεσημέρι. Συμφώνησαν ότι ο καθένας θα περιμένει τον άλλον όχι περισσότερο από 15 λεπτά και μετά θα φύγει. Ποια είναι η πιθανότητα να συναντηθούν οι δύο φίλοι;

23. Για τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω, ισχύει: ( ) 0,75P A και ( ) 0,65P B . Να δείξετε ότι:

α) Τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

β) ( ) 0,75P A B και ( ) 0,4P A B

24. Αν Α, Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, να δείξετε ότι:

α) ( ) ( )P A P B

β) ( ) ( )P B P A

γ) ( ) 1P A B

δ) ( ) ( ) ( ) 1P A B P A P B

25. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες : 1

( )2

P A και 2( )

3P B . Να δείξετε ότι: 1 1

( )6 2

P A B

63

26. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει: ( ) 0,4P A και ( ) 0,3P B να δείξετε ότι:

α) 0,6 ( ) ( ) 1,7P A B P A B

β) τα ενδεχόμενα ,A B μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα.

27. Σε μία κάλπη υπάρχουν άσπρες και μαύρες αριθμημένες μπάλες. Η πιθανότητα να επιλεγεί

μαύρη μπάλα είναι 23

και η πιθανότητα να επιλεγεί μπάλα με άρτιο αριθμό είναι 34

.

Να δείξετε ότι η πιθανότητα να επιλεγεί συγχρόνως μαύρη μπάλα με άρτιο αριθμό είναι με-

γαλύτερη ή ίση του 512

.

28. Αν για τα ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α, Β ισχύει:

( ) ( )P A P B x και ( ) (1 )P A B y y τότε:

α) Να δείξετε ότι 2 0y y x

β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του ( ) ( )P A P B

29. Να δείξετε ότι η πιθανότητα ταυτόχρονης πραγματοποίησης δύο ενδεχόμενων του ίδιου δειγματικού χώρου είναι το πολύ ίση με το ημι-άθροισμα των πιθανοτήτων των δύο ενδε-χομένων. Τι συμπεραίνετε για την ταυτόχρονη πραγματοποίηση τριών ενδεχομένων του ίδιου δειγματικού χώρου;

30. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει :

( ) ( ) ( )P A B P A P B και ( ) 0P A B να δείξετε ότι:

α. ( ) ( ) ( )P A B P A P B

β. ( ) ( ) 1 ( )P A P B P A B

31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με 2 ( ) 3 ( )P A P B και 2 ( ) 3 ( )P A P B . Να δείξετε ότι:

1 5( )

2 6P A B

1

ΘΔΜΑΤΑ ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΩΝ

ΓΔΝΙΚΑ ΘΔΜΑΤΑ

1. Έλα πξντφλ πσιείηαη ζε 10 δηαθνξεηηθά θαηαζηήκαηα ζηηο παξαθάησ

ηηκέο, ζε ΔΤΡΩ :

8,10,13,13,15,16,18,14,14,9.

α. Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή, ηε δηάκεζν θαη ηελ επηθξαηνχζα

ηηκή.

β. Να ππνινγίζεηε ην εχξνο, ηελ ηππηθή απφθιηζε θαη ην ζπληειε-

ζηή κεηαβνιήο.

γ. Αλ νη ηηκέο ηνπ πξντφληνο ζε φια ηα θαηαζηήκαηα ππνζηνχλ έθ-

πησζε 10%, λα

εμεηάζεηε αλ ζα κεηαβιεζεί ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο.

2. Έζησ Α,Β δχν ελδερφκελα ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω κε

).(2)()( BAPBPAP

Γίλεηαη αθφκα ε ζπλάξηεζε: 3 3

( ) ( ) ,f x x P A B x P A B x

α. Να δείμεηε φηη: )()( BAPBAP .

β. Να δείμεηε φηη ε ζπλάξηεζε xf παξνπζηάδεη κέγηζην ζην ζε-

κείν .2

)()( BPAPx

γ. Δάλ ηα ελδερφκελα Α,Β είλαη αζπκβίβαζηα, λα δείμεηε φηη:

.)()( BPfAPf

3. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε .xxxf

α. Να απνδείμεηε φηη: .0 xfxf .

β. Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηφκελεο ηεο γξαθηθήο ηεο f ζην

ζεκείν Α(0,1).

γ. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ λ γηα ηελ νπνία ηζρχεη ε ζρέζε:

.22

22

ff

4. ηνλ παξαθάησ πίλαθα δίλεηαη ε θαηαλνκή ησλ αζξνηζηηθψλ ζρεηηθψλ

ζπρλνηήησλ ηνπ βάξνπο 80 καζεηψλ ηεο Γ΄ ηάμεο ελφο Λπθείνπ. Σα

δεδνκέλα έρνπλ νκαδνπνηεζεί ζε 4 θιάζεηο.

Βάξνο ζε

θηιά.

Αζξνηζηηθή ζρεηηθή

ζπρλφηεηα.

45-55 0,2

55-65 0,5

65-75

75-85

Α. Αλ γλσξίδεηε φηη ε ζρεηηθή ζπρλφηεηα ηεο ηξίηεο θιάζεο είλαη

δηπιάζηα ηεο

ζρεηηθήο ζπρλφηεηαο ηεο πξψηεο θιάζεο, λα βξείηε ηηο ηηκέο

ηεο αζξνηζηηθήο

ζρεηηθήο ζπρλφηεηαο πνπ αληηζηνηρνχλ ζηελ ηξίηε θαη ηέηαξηε

θιάζε.

Β. Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή ησλ παξαπάλσ δεδνκέλσλ.

Γ. Δπηιέγνπκε ηπραία απφ ην δείγκα ησλ 80 καζεηψλ έλαλ καζεηή.

α. Να βξείηε ηελ πηζαλφηεηα λα έρεη βάξνο κηθξφηεξν απφ 65

θηιά.

2

β. Να βξείηε ηελ πηζαλφηεηα ν καζεηήο λα έρεη βάξνο κεγαιχ-

ηεξν ή ίζν ησλ

55 θηιψλ θαη κηθξφηεξν ησλ 75 θηιψλ.

5. ε έξεπλα πνπ έγηλε ζηνπο καζεηέο κηαο πφιεο, γηα ην ρξφλν πνπ

θάλνπλ λα πάλε απφ ην ζπίηη ζην ζρνιείν, δηαπηζηψζεθε φηη ην 50%

πεξίπνπ ησλ καζεηψλ ρξεηάδεηαη πεξηζζφηεξν απφ 12 ιεπηά, ελψ ην

16% πεξίπνπ ρξεηάδεηαη ιηγφηεξν απφ 10 ιεπηά.

Τπνζέηνπκε φηη ε θαηαλνκή ηνπ ρξφλνπ ηεο δηαδξνκήο είλαη θαηά

πξνζέγγηζε θαλνληθή.

Α. Να βξείηε ην κέζν ρξφλν δηαδξνκήο ησλ καζεηψλ θαη ηελ ηππηθή

απφθιηζε ηνπ

ρξφλνπ δηαδξνκήο ηνπο.

Β. Να εμεηάζεηε αλ ην δείγκα είλαη νκνηνγελέο.

Γ. Αλ νη καζεηέο ηεο πφιεο είλαη 4.000, πφζνη καζεηέο ζα θάλνπλ

ρξφλν δηαδξνκήο

απφ 14 έσο 16 ιεπηά;

Γ. Μηα κέξα, ιφγσ έξγσλ ζηνλ θεληξηθφ δξφκν ηεο πφιεο, θάζε κα-

ζεηήο θαζπζηέ-

ξεζε 5 ιεπηά. Να βξείηε πφζν κεηαβάιιεηαη ν ζπληειεζηήο κε-

ηαβνιήο (CV).

6. Απφ 120 καζεηέο ελφο ιπθείνπ, 24 καζεηέο ζπκκεηέρνπλ ζην δηαγσ-

ληζκφ ηεο Διιεληθήο Μαζεκαηηθήο Δηαηξείαο, 20 καζεηέο ζπκκεηέρνπλ

ζην δηαγσληζκφ ηεο Έλσζεο Διιήλσλ Φπζηθψλ θαη 12 καζεηέο ζπκκεηέ-

ρνπλ θαη ζηνπο δχν δηαγσληζκνχο.

Δπηιέγνπκε ηπραία έλα καζεηή. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ν καζεηήο:

Α. Να ζπκκεηέρεη ζε έλα ηνπιάρηζηνλ απφ ηνπο δηαγσληζκνχο;

B. Να ζπκκεηέρεη κφλν ζ’ έλα απφ ηνπο δηαγσληζκνχο;

Γ. Nα κε ζπκκεηέρεη ζε θαλέλα απφ ηνπο δχν δηαγσληζκνχο;

7. ηα ζρνιεία ελφο Γήκνπ ππεξεηνχλ ζπλνιηθά 100 εθπαηδεπηηθνί. Ο

ζπλνιηθφο ρξφλνο ππεξεζίαο ησλ εθπαηδεπηηθψλ δίλεηαη απφ ηνλ πα-

ξαθάησ πίλαθα:

Υξφληα ππε-

ξεζίαο

ρεηηθή ζπρλφ-

ηεηα (%)

0-5 10

5-10 15

10-15 12

15-20 15

20-25 18

25-30 18

30-35 12

Α. Πφζνη εθπαηδεπηηθνί έρνπλ ηνπιάρηζηνλ 15 ρξφληα ππεξεζίαο;

B. Με ηελ πξνυπφζεζε φηη θάζε εθπαηδεπηηθφο ζα ζπληαμηνδνηεζεί

φηαλ

ζπκπιεξψζεη 35 ρξφληα:

α. Πφζνη εθπαηδεπηηθνί ζα ζπληαμηνδνηεζνχλ κέζα ζηα επφκελα

12,5 ρξφληα;

Να δηθαηνινγήζεηε ηελ απάληεζε ζαο.

β. Πφζνη ζπλνιηθά εθπαηδεπηηθνί πξέπεη λα πξνζιεθζνχλ κέζα

ζηα επφκελα

πέληε ρξφληα, ψζηε ν αξηζκφο ησλ εθπαηδεπηηθψλ

πνπ ππεξεηνχλ ζηα ζρν-

ιεία ηνπ Γήκνπ λα παξακείλεη ν ίδηνο; Nα δηθαηνινγήζεηε

ηελ απάληεζε

3

ζαο.

8. Θεσξνχκε δείγκα 5 ιακπηήξσλ ηχπνπ Α θαη 5 ιακπηήξσλ ηχπνπ Β. Η

δσή ηνπο ζε εθαηνληάδεο ψξεο θαίλεηαη ηνλ παξαθάησ πίλαθα:

Σχπνπ Α Σχπνπ Β

120 140

130 160

142 134

200 190

188 166

α. Να πξνζδηνξίζεηε ην κέζν ρξφλν δσήο ησλ δχν ηχπσλ ιακπηήξσλ.

β. Αλ ην θφζηνο αγνξάο ησλ ιακπηήξσλ ηχπνπ Α είλαη 18 € θαη ησλ ιακπηήξσλ ηχ

πνπ Β είλαη 22€, λα πξνζδηνξίζεηε πνηνλ ηχπν ζπκθέξεη λα αγνξάζνπκε

γ. Να πξνζδηνξίζεηε πνην απφ ηα δχν δείγκαηα είλαη πνην νκνην-

γελέο.

9. Ο πιεζπζκφο κηαο θνηλσλίαο κηθξνβίσλ δίλεηαη απφ ην ηχπν

,)( 527 tt eetP ζε δεθάδεο κηθξφβηα θαη 0t ζε ψξεο .

α. Να απνδείμεηε φηη ν παξαπάλσ πιεζπζκφο ζπλερψο ειαηηψλεηαη.

β. ε πφζεο ψξεο ηνπιάρηζηνλ ν παξαπάλσ πιεζπζκφο ζα έρεη αθα-

ληζηεί;

γ. Να βξείηε ηε ρξνληθή ζηηγκή 0t πνπ ν ξπζκφο κείσζεο ηνπ πιε-

ζπζκνχ είλαη

κέγηζηνο.

10. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε 3 2 3 1, , ,f x ax bx x x a b

α. Να βξείηε ηα ba, ψζηε ε ζπλάξηεζε λα έρεη αθξφηαηα ζηα ζεκεία

κε ηεηκεκέλεο

2,-2 .

β. Να βξείηε ην είδνο ησλ αθξφηαησλ θαη ηηο ηηκέο ηνπο γηα ηηο

ηηκέο ησλ ba, πνπ

βξήθαηε ζην εξψηεκα (α)

11. Γίλεηαη ζπλάξηεζε f κε 22 , ,f x x ax b a b θαη ε επζεία .13: xy

Να ππνινγίζεηε ηα ba, ψζηε ε επζεία λα είλαη εθαπηνκέλε ηεο

γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν Α 2,2 f .

12. Έζησ ε ζπλάξηεζε f κε 4 , , , .f x x x x Αλ ε εθαπηνκέλε ηεο

γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν )2,1(A είλαη παξάιιειε

ζηνλ άμνλα xx ηφηε:

α. Να βξείηε ηα α, β.

β. Να βξείηε ην ειάρηζην ηεο ζπλάξηεζεο.

γ. Να απνδείμεηε φηη ε εμίζσζε 0xf είλαη αδχλαηε.

13. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε .1ln xxxf

α. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε σο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα α-

θξφηαηα.

β. Να απνδείμεηε φηη: 1ln xx γηα θάζε .1x

14. Γίλεηαη ν δεηγκαηηθφο Ω θαη Α,Β ελδερφκελα ηνπ Ω κε πηζαλφηεηεο

)(),( BPAP αληίζηνηρα.

Αλ γηα ηε ζπλάξηεζε :f κε

4

1,8

1

1,1

)()(22

x

xx

BPxAPx

xf

ππάξρεη ην ,lim1xf

x λα πξνζδηνξίζεηε ηηο πηζαλφηεηεο ).(),( BPAP

15. Γίλνληαη δχν ελδερφκελα Α, Β ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω κε Α, Β

.

Αλ ηζρχεη ,)(

1

)()(

)(lim

20 BPxBAPxBP

xAP

x

λα δείμεηε φηη: ).()()( BAPBPAP

16. Γίλεηαη ν δεηγκαηηθφο ρψξνο Ω= 1 1 0 1 1 *, ( ),......... , , ,........., , , .

κε ηζνπίζαλα κεκνλσκέλα ελδερφκελα.

Η ζπλάξηεζε :f είλαη ζπλερήο θαη ηζρχεη ,671 2 xxxfx γηα

θάζε x

Αλ Α είλαη έλα ελδερφκελν ηνπ Ω κε vkkkkkA ,,1,.......0),......1(, ,

κε πηζαλφηεηα 5

1)( AP θαη kf 1 , λα βξεζεί ν αξηζκφο v .

17. Γίλεηαη ν δεηγκαηηθφο ρψξνο ,....,3,2,1 κε ηζνπίζαλα κεκνλσκέλα

ελδερφκελα θαη ε ζπλάξηεζε g κε .1ln

x

xxg

Αλ είλαη ην κέγηζην

ηεο ζπλάξηεζεο θαη 10,..,2,1 έλα ελδερφκελν ηνπ κε πηζαλφηεηα

8

P , λα ππνινγίζεηε ηνλ αξηζκφ .

18. Γίλεηαη ζπλάξηεζε f κε 1

x

xf x

e

.

α. Να δηθαηνινγήζεηε φηη έρεη λφεκα θαη ζηε ζπλέρεηα λα ππνιν-

γίζεηε ην φξην

21lim

1

x

x

e f x

x.

β. Να δείμεηε φηη

' 2xe f x x .

γ. Να κειεηήζεηε ηελ f σο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξφηαηα.

δ. Να πξνζδηνξίζεηε ην ξπζκφ κεηαβνιήο ηεο εθαπηνκέλεο ηεο γξα-

θηθήο παξάζηα

ζεο ηεο f ζε θάζε ζεκείν ηεο γξαθηθήο παξάζηαζήο ηεο.

19. ε νκαδνπνηεκέλε θαηαλνκή κε ηζνπιαηείο θιάζεηο, νη θεληξηθέο ηη-

κέο αθνινπζνχλ αξηζκεηηθή πξφνδν κε δηαθνξά 21 θαη άζξνηζκα 88

ελψ νη αληίζηνηρεο ζπρλφηεηεο ζρεκαηίδνπλ αξηζκεηηθή πξφνδν κε

δηαθνξά 42 θαη άζξνηζκα 144. Αλ ε θεληξηθή ηηκή ηεο πξψηεο

θιάζεο είλαη ε αληίζηνηρε ζπρλφηεηα, ηφηε:

α. Να γίλεη ν πίλαθαο θαηαλνκήο ζπρλνηήησλ.

β. Να πξνζδηνξηζζεί ε δηάκεζνο.

γ. Να βξεζεί ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο.

5

20. Γίλεηαη θαλνληθή θαηαλνκή κε δηάκεζν θαη ηππηθή απφθιηζε s .

Αλ ε ζπλάξηεζε :f κε

1,2

1,2

xsx

xxxf

είλαη παξαγσγίζηκε ζην 10 x , λα ππνινγίζεηε ην ζπληειεζηή κεηαβν-

ιήο ηεο θαηαλνκήο.

21. Γίλεηαη ζπλάξηεζε f κε xxexf 22.

α. Να δείμεηε φηη:8

1)(

exf .

β. Να πξνζδηνξίζεηε ην 4,2f

22. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε :f κε

2

2

2

2

1s

xx

es

xf

.

Η f είλαη ζπλάξηεζε θαλνληθήο θαηαλνκήο κε ηππηθή απφθιηζε s θαη

κέζε ηηκή x . Αλ ε ζπλάξηεζε f έρεη κέγηζηε ηηκή 2

2 θαη κέζε

ηηκή ίζε κε ην ηξηπιάζην ηεο δηακέζνπ, λα πξνζδηνξίζεηε :

α. ηε κέζε ηηκή , ηελ ηππηθή απφθιηζε θαη ηε δηάκεζν ηεο θαηα-

λνκήο.

β. ην δηάζηεκα ζην νπνίν αλήθεη ην %68 ησλ παξαηεξήζεσλ.

23. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε xxxxf ln422 θαη ν δεηγκαηηθφο ρψξνο

10,9,...,1,0,1,...9,10 κε ηζνπίζαλα κεκνλσκέλα ελδερφκελα.

Αλ , λα πξνζδηνξίζεηε ηελ πηζαλφηεηα, ε εθαπηνκέλε ζην ζεκείν

1,1 f λα δηέξρεηαη απφ ηελ αξρή ησλ αμφλσλ.

24. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε :f κε xx exeexxf 55

2

5)( 2

θαη ν δεηγκαηηθφο ρψξνο ,1,...,0,....,1, , *κ , κε ηζνπίζαλα

κεκνλσκέλα ελδερφκελα. Αλ ε ζπλάξηεζε f παξνπζηάδεη αθξφηαην ζηε

ζέζε 3

10

x , λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα 0P .

25. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε x

exf

x

.

α. Να δείμεηε φηη: exf , γηα θάζε fx .

β. Να ζπγθξίλεηε ηνπο αξηζκνχο e3 , 3e

γ. Να δείμεηε φηη : 11 11 xx exex , γηα θάζε 1x

26. ε νκαδνπνηεκέλε θαηαλνκή ηεζζάξσλ θιάζεσλ νη ηηκέο ησλ άθξσλ α-

θνινπζνχλ αξηζκεηηθή πξφνδν. Αλ ην κηθξφηεξν άθξν έρεη ηηκή 10 ,

ην κεγαιχηεξν άθξν έρεη ηηκή 90 θαη νη ζπρλφηεηεο δίλνληαη απφ ηε

ζπλάξηεζε 202 xxf φπνπ x ε θεληξηθή ηηκή θάζε θιάζεο, λα βξε-

ζεί ε δηάκεζνο ηεο θαηαλνκήο.

27. Γίλεηαη ν δεηγκαηηθφο ρψξνο ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο θαη έλα ελ-

δερφκελν ηνπ . Αλ είλαη γλσζηφ φηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο

ησλ ζπλαξηήζεσλ gf , κε

2

5

x

xPxf θαη 2 xPxg έρνπλ κνλαδη-

θφ θνηλφ ζεκείν, λα ππνινγίζεηε ηελ πηζαλφηεηα P .

6

28. Γίλεηαη ν δεηγκαηηθφο ρψξνο 20,19,....0,...,19,20 θαη ε ζπλάξηεζε

:f κε xxxf 23

3

1 , .Να πξνζδηνξίζεηε ηελ πηζαλφηεηα ηνπ

ελδερνκέλνπ

Α= ην κέγηζην ηεο ζπλάξηεζεο λα είλαη κεγαιχηεξν απφ .

29. Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , :f g . Αλ ε ζπλάξηεζε g είλαη παξαγσ-

γίζηκε ζην 10 x θαη ε ζπλάξηεζε

2

3,)22(

2

3,)

2

1(

)(

xxg

xxg

xf

είλαη παξαγσγίζηκε ζην 2

31 x , λα δείμεηε φηη ε εθαπηνκέλε ηεο

γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο g ζην 10 x είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα

ησλ ηεηκεκέλσλ.

30. Έζησ

32

1,

16

1,8

1,4

1,2

1,1 δεηγκαηηθφο ρψξνο ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο κε

ηζνπίζαλα κεκνλσκέλα ελδερφκελα θαη ε ζπλάξηεζε :f , γηα ηελ

νπνία ηζρχεη

cyfxfyxf γηα θάζε ,x y θαη c .

α. Να βξεζεί ε πηζαλφηεηα cP

β. Γηα ηελ κεγαιχηεξε ηηκή ηνπ cλα δείμεηε φηη ε f είλαη ζηαζε-

ξή θαη λα ηελ πξνζδηνξίζηε.

31. Γίλεηαη ν δεηγκαηηθφο ρψξνο xxx ,...,,,1 21 .

Αλ ηα ελδερφκελα xxx ,...,, 21 είλαη δηαδνρηθνί φξνη γεσκεηξηθήο πξνφ-

δνπ κε 7

1x x e θαη ε πηζαλφηεηά ηνπο δίλεηαη απφ ηε ζρέζε

xxP ln , ,...,2,1 ηφηε:

α. Να βξεζεί ε πηζαλφηεηα 1P

β. Αλ α είλαη ε ειάρηζηε ηηκή ηνπ θπζηθνχ αξηζκνχ , λα πξνζδη-

νξίζεηε ηνλ

πξαγκαηηθφ αξηζκφ ψζηε, ε επζεία 2 xy λα εθάπηεηαη ζηε

γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f κε 3xxf .

32. Γίλεηαη ζπλάξηεζε f κε

139,242

97,42

3

75,1

51,32

3

)(

xx

xx

xx

xx

xf

ε νπνία πεξηγξάθεη ην πνιχγσλν ζπρλνηήησλ θαηαλνκήο ηζνπιαηψλ

θιάζεσλ.

α. Να γίλεη ν πίλαθαο ζπρλνηήησλ ηεο θαηαλνκήο.

β. Να πξνζδηνξίζεηε ηε κέζε ηηκή θαη ηε δηάκεζν ηεο θαηαλνκήο.

33. Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο , :f g κε κg x f x , θαη ν

δεηγκαηηθφο ρψξνο . Αλ , κε πηζαλφηεηεο PP , αληίζηνηρα

7

θαη ηζρχεη:

11

lim1

x

PPxf

x,

3

2

13lim

2

x

Pxg

x

λα δείμεηε φηη: 3

50 .

34. Α. Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο gf , γλεζίσο αχμνπζεο ζην Δ κε ζχλνιν

ηηκψλ Δ. Να

δείμεηε φηη νη ζπλαξηήζεηο 0, xf θαη xgf είλαη γλεζίσο

αχμνπζεο.

Β. Γίλεηαη ν δεηγκαηηθφο ρψξνο θαη έλα ελδερφκελν κε

. Αλ ε

ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αχμνπζα ζην θαη ηζρχεη:

0 xxff γηα θάζε x ,

λα δείμεηε φηη 2

1 .

35. Ο ξπζκφο κεηαβνιήο ησλ εζφδσλ κηαο βηνκεραλίαο παξαγσγήο νρεκάησλ

ζε ρηιηάδεο επξψ ζπλαξηήζεη ηνπ αξηζκνχ x ησλ νρεκάησλ πνπ πνπιά-

εη εκεξεζίσο δίλεηαη απφ ηε ζπλάξηεζε 8242 xxxf . Η πψιεζε

ηξηψλ νρεκάησλ απνθέξεη έζνδα 339 ρηιηάδεο επξψ.

α. Να βξεζεί ε ζπλάξηεζε εζφδσλ ηεο βηνκεραλίαο.

β. Αλ ε ζπλάξηεζε θφζηνπο είλαη xxx

x 102133

23

ζε ρηιηάδεο επ-

ξψ, λα βξείηε

γηα πνηνλ αξηζκφ πσιήζεσλ έρεη ε βηνκεραλία κέγηζην θέξδνο.

γ. Πνηα ηα θέξδε ηεο βηνκεραλίαο εκεξεζίσο;

36. ε έλα δηαγσληζκφ ηνπ δεκνζίνπ ζπκκεηέρνπλ 10.000 ππνςήθηνη γηα

1.500 ζέζεηο. Οη ππνςήθηνη ηεο Αζήλαο είλαη δηπιάζηνη απφ ηνπο

ππνςεθίνπο ηεο Θεζζαινλίθεο θαη ηεο Πάηξαο ζπλνιηθά. Ο αξηζκφο

ησλ ππνςεθίσλ ηεο Θεζζαινλίθεο θαη ηεο Πάηξαο είλαη ν ίδηνο. Σα

πνζνζηά επηηπρίαο είλαη 55% γηα ηελ Αζήλα, 60% γηα ηε Θεζζαινλί-

θε, 30% γηα ηελ Πάηξα θαη 10% γηα ηελ ππφινηπε Διιάδα. Παίξλνπκε

ηπραία έλαλ επηηπρφληα ηνπ δηαγσληζκνχ, πνηα ε πηζαλφηεηα λα εί-

λαη απφ ηε Θεζζαινλίθε.

37. Γίλεηαη ν δεηγκαηηθφο ρψξνο θαη , δχν ελδερφκελα ηνπ κε

, θαη ε ζπλάξηεζε f κε xxxxf 23 .

Αλ ε f παξνπζηάδεη αθξφηαην ζην ζεκείν 1,1 , λα πξνζδηνξίζεηε ηηο

πηζαλφηεηεο θαη

38. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε : 4,4f κε

41,62

1,8

14,23

2

2

xxx

x

xxx

xf

θαη ν δεηγκαηηθφο ρψξνο ,1,...,0,....,1, , *κ κε ηζνπίζαλα

κεκνλσκέλα ελδερφκελα. Αλ ην ελδερφκελν πεξηέρεη ηα αθέξαηα

ζηνηρεία ηνπ ζπλφινπ ηηκψλ ηεο f θαη ηζρχεη 8

1 , λα ππνινγί-

ζεηε ηνλ αξηζκφ .

8

39. Έζησ φηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην δηάζηεκα Γ θαη

10021 ,....,, xxx κε ..... 10021 xxx

Αλ 1.... 10021 xfxfxf λα δείμεηε φηη 01,01 xf .

40. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε .1ln22 xxxxf

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνχ θαη ηε παξάγσγν ηεο ζπλάξηεζεο .

β. Να δείμεηε φηη ε ζπλάξηεζε δελ έρεη αθξφηαηα.

γ. Να βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηνπ ξπζκνχ κεηαβνιήο ηεο ζπλάξ-

ηεζεο .

41. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε .ln xxxf Να απνδείμεηε φηη:

.022 xfxfxxfx

42. Να βξείηε ηηο ηηκέο ησλ , , ψζηε ε εθαπηνκέλε ηεο θακπχιεο

ηεο ζπλάξηεζεο

11

1ln

3

xe

xxf , ζην ζεκείν ηεο Ο(0,0) λα ζρε-

καηίδεη κε ηνλ άμνλα xx γσλία 1200.

43. Έζησ ε ζπλάξηεζε f είλαη παξαγσγίζεκε ζην , θαη είλαη

.121 eff

Να βξείηε ηελ εμίζσζε εθαπηνκέλεο ηεο θακπχιεο ηεο ζπλάξηεζεο g

κε xfxg ln ζην ζεκείν Α ., ege

44. Γίλεηαη ε παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε f ζην

Αλ ε δηρνηφκνο ηεο γσλίαο xOy εθάπηεηαη ζηελ θακπχιε ηεο f ζην

ζεκείν (0,0),

λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο θακπχιεο ηεο ζπλάξηεζεο

12ln 2 xexg xf ζην ζεκείν Ο(0,0).

45. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε .2 xx exexf

α. Να βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο.

β. Να δείμεηε φηη: .,21 11 xexe xx

46. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε .1 xexg x

α. Να βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο.

β. Γηα ηε ζπλάξηεζε xe

xxf

x λα απνδείμεηε φηη

xe

xgxf θαη

φηη δελ ππάξρεη

νξηδφληηα εθαπηνκέλε ζηε θακπχιε ηεο .f

47. Η βαζκνινγία κηαο νκάδαο θνηηεηψλ ζε έλα δηαγψληζκα είλαη: 4, 5,

6, 7, 8

ην 80% έρεη βαζκφ ηνπιάρηζηνλ 5.

νη θνηηεηέο πνπ έρνπλ βαζκφ 4 είλαη δηπιάζηνη απηψλ πνπ έρνπλ

8.

είθνζη έλαο θνηηεηέο έρνπλ βαζκφ θάησ απφ 6.

είθνζη ηέζζεξηο θνηηεηέο έρνπλ βαζκφ πάλσ απφ 6.

ην 55% έρεη βαζκφ 6 ή 7

α. Να θάλεηε ην πίλαθα θαηαλνκήο ζπρλνηήησλ

β. Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή θαη ηε δηάκεζνο ηεο θαηαλνκήο.

γ. Δίλαη ε θαηαλνκή νκνηνγελήο ;

9

48. Οη ρξφλνη ηνπο νπνίνπο έθαλαλ κηα νκάδα καζεηψλ γηα λα ιχζνπλ έλα

πξφβιεκα είλαη απφ 10 έσο 20 sec ρσξηζκέλνη ζε 5 θιάζεηο ίζνπ

πιάηνπο.

ην πνιχγσλν ζπρλνηήησλ ηνπ δείγκαηνο ησλ καζεηψλ κε κεηαβιεηή

ην ρξφλν ιχζεο

ηνπ πξνβιήκαηνο έρεη εκβαδφ 40.

ην χςνο ηνπ νξζνγσλίνπ ζην δηάγξακκα ζρεηηθψλ ζπρλνηήησλ πνπ

αληηζηνηρεί ζηελ θιάζε κε θεληξηθή ηηκή ην 19 είλαη 0,1.

ε γσλία ηνπ θπθιηθνχ ηνκέα ζην θπθιηθφ δηάγξακκα πνπ αληηζηνη-

ρεί ζηελ θιάζε 14 – 16 είλαη 720.

νη καζεηέο πνπ έθαλαλ ρξφλν απφ 16 έσο 18 sec είλαη δηπιάζηνη

απφ ηνπο καζεηέο πνπ έθαλαλ ρξφλν απφ 10 έσο 12 sec.

είθνζη ηέζζεξηο καζεηέο έθαλαλ ρξφλν θάησ απφ 16 sec.

α. Να θαηαζθεπάζεηε ην πίλαθα ζπρλνηήησλ.

β. Να ππνινγίζεηε ηε κέζε ηηκή θαη ηε δηάκεζν ηεο θαηαλνκήο.

49. Έζησ φηη ζε έλα δείγκα κεγέζνπο 50 παξαηεξήζεσλ έρνπκε νκαδνπνίε-

ζε ησλ παξαηεξήζεσλ θαη φηη ζηε θιάζε [2, 7) κε θεληξηθή ηηκή 3x

ππάξρνπλ 20 παξαηεξήζεηο.

Να βξείηε:

α. i. ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ ηεο θιάζεο πνπ είλαη κηθξφηε-

ξεο ηνπ 5.

ii. ην πνζνζηφ ησλ παξαηεξήζεσλ ηνπ δείγκαηνο πνπ έρνπλ ηηκή

ηνπιάρηζηνλ 3

θαη κηθξφηεξε ηνπ 7

β. ην ψζηε ζην δηάζηεκα 2 7, , .

i. λα αλήθνπλ 8 παξαηεξήζεηο .

ii. λα αλήθεη ην 32% ηνπ δείγκαηνο.

50. Οη ειηθίεο ησλ καζεηψλ κηαο ηάμεο έρνπλ κέζε ηηκή 16 ρξφληα θαη

ηππηθή απφθιηζε 6 κήλεο.

Πξηλ απφ πφζα ρξφληα ην πνιχ ην δείγκα ήηαλ νκνηνγελέο;

51. Έζησ ε ζπλάξηεζε f κε ,162 sttxtf φπνπ sx, ε κέζε ηηκή θαη ε ηπ-

πηθή απφθιηζε αληίζηνηρα ησλ ηηκψλ κηαο θαηαλνκήο κε .1ix Αλ ην

αθξφηαην ηεο ζπλάξηεζεο είλαη ην ζεκείν κε ηεηαγκέλε -8 θαη ην

ζεκείν (1,-4) αλήθεη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο , λα

εμεηάζεηε αλ ε θαηαλνκή είλαη νκνηνγελήο.

52. Οη ρξφλνη πνπ ρξεηάζηεθαλ λα ηξέμνπλ 400 καζεηέο ζε κηα πφιε κηα

απφζηαζε αθνινπζνχλ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Γέθα καζεηέο έθαλαλ

ρξφλν ην πνιχ 22 sec θαη 64 καζεηέο ηνπιάρηζηνλ 34 sec. Να βξείηε

πφζνη καζεηέο έθαλαλ ρξφλν απφ 26 έσο 38 sec.

53. Να βξεζνχλ νη ηηκέο ηνπ 2,1,0 , ψζηε ε δηάκεζνο ησλ αξηζκψλ :

3,1,12, 2

λα είλαη κηθξφηεξε απφ ηε κέζε ηηκή απηψλ.

54. Έζησ ε ζπλάξηεζε f κε 23 xxf θαη ηα ζεκεία

.,......,,.........,,, 101010222111 xfxAxfxAxfxA

Αλ νη ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ 1021 ,......,, AAA έρνπλ κέζε ηηκή 3 θαη ηπ-

πηθή απφθιηζε 2 λα βξεζεί ε κέζε ηηκή ησλ ηεηαγκέλσλ ηνπο θαζψο

θαη ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο ηνπο.

10

55. Έζησ vxxx ,...,, 21 νη παξαηεξήζεηο ελφο δείγκαηνο πνπ έρνπλ κέζε ηηκή

θαη δηαθχκαλζε 4.

Να βξείηε πφζεο ηνπιάρηζηνλ κνλάδεο πξέπεη λα απμήζνπκε θαζεκία

απφ ηηο παξαηεξήζεηο ψζηε ην δείγκα λα είλαη νκνηνγελέο.

56. ε έλα εξγνζηάζην ζε έλα δείγκα εξγαδνκέλσλ ζην ηκήκα Α έρνπλ κέ-

ζν (κεληαίν) κηζζφ 950 Δ θαη ηππηθή απφθιηζε 100 Δ ελψ ζην ηκήκα

Β έρνπλ κέζν (κεληαίν) κηζζφ 1080 Δ θαη ηππηθή απφθιηζε 120 Δ.

Έζησ φηη νη εξγαδφκελνη πάξνπλ αχμεζε ζην ηκήκα Α 50 Δ θαη ζην

ηκήκα Β 5% (κεληαίσο).

ηνπο λένπο κηζζνχο λα εμεηάζεηε πνην απφ ηα δχν δείγκαηα κηζζψλ:

α. έρεη κεγαιχηεξε νκνηνγέλεηα.

β. είλαη νκνηνγελέο.

57. Η θαηαλνκή ζπρλνηήησλ ησλ ζσιήλσλ πνπ παξάγεη κηα κεραλή σο πξνο

ην κήθνο ηνπο είλαη πεξίπνπ θαλνληθή. Έζησ φηη ε δηάκεζνο ησλ κε-

θψλ ησλ ζσιήλσλ είλαη 3m θαη ην 2,5% ησλ ζσιήλσλ έρνπλ κήθνο πάλσ

απφ 3,04m

α. Να βξείηε:

i. ηε κέζε ηηκή, ηελ ηππηθή απφθιηζε, ην εχξνο θαη ηνλ ζπ-

ληειεζηή κεηαβνιήο.

ii. ην πνζνζηφ ησλ ζσιήλσλ πνπ έρνπλ κήθνο απφ 2,96m έσο

3,02m.

β. Μηα ζσιήλα ζεσξείηαη ειαηησκαηηθή φηαλ έρεη κήθνο κεγαιχηεξν

απφ 3,06m ή

κηθξφηεξν απφ 2,94m. Αλ ε κεραλή παξάγεη 4000 ζσιήλεο θαη νη

18 είλαη ειαη-

ησκαηηθέο λα εμεηάζεηε αλ ε ιεηηνπξγία ηεο κεραλήο έρεη

βιάβε.

58. Η θαηαλνκή ζπρλνηήησλ ησλ δίζθσλ πνπ παξάγεη κηα κεραλή σο πξνο

ηε δηάκεηξν ηνπο είλαη πεξίπνπ θαλνληθή. Έζησ φηη ε ηππηθή απφ-

θιηζε ησλ δίζθσλ είλαη 2cm θαη φηη ην 50% ησλ δίζθσλ έρεη δηάκε-

ηξν 22cm.

α. Αλ αγνξάζνπκε έλα ηέηνην δίζθν ζε πνην δηάζηεκα είλαη ζρεδφλ

βέβαην φηη ζα

βξίζθεηαη ε δηάκεηξνο ηνπ.

β. Αλ δηαιέμνπκε έλα ηέηνην δίζθν ζηελ ηχρε πνηα πξέπεη λα εί-

λαη ε δηάκεηξνο ηνπ

ψζηε λα ειέγμνπκε ηε ιεηηνπξγία ηεο κεραλήο γηα πηζαλή βιά-

βε.

59. Οη παξαηεξήζεηο κηαο κεηαβιεηήο Υ κεγέζνπο 800 αθνινπζνχλ ηελ θα-

λνληθή θαηαλνκή.

Δίθνζη παξαηεξήζεηο είλαη κηθξφηεξεο ηνπ 18 θαη 128 κεγαιχηεξεο

ηνπ 36.

α. Να βξείηε θαηά πξνζέγγηζε ην εχξνο ηνπ δείγκαηνο .

β. Να εμεηάζεηε αλ ην δείγκα ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη νκνηνγελέο.

60. ε κηα επαξρηαθή πφιε κε 20000 θαηνίθνπο θπθινθνξνχλ δχν ηνπηθέο

εθεκεξίδεο ε Α θαη ε Β. Μηα κέξα 2000 αγφξαζαλ ηελ εθεκεξίδα Α,

1500 αγφξαζαλ ηελ εθεκεξίδα Β θαη 250 αγφξαζαλ θαη ηηο δχν εθεκε-

ξίδεο.

Δπηιέγνπκε ηπραία έλα άηνκν. Να βξείηε ηελ πηζαλφηεηα λα έρεη α-

γνξάζεη:

α. κηα ηνπιάρηζηνλ εθεκεξίδα.

β. κηα ην πνιχ εθεκεξίδα.

11

γ. κφλν κηα εθεκεξίδα.

δ. κφλν ηελ εθεκεξίδα Β.

61. Έζησ Α,Β δχν ελδερφκελα ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω, πνπ απνηειείηαη

απφ ηζνπίζαλα απιά ελδερφκελα κε ).(),( BNAN

Αλ νη πηζαλφηεηεο )(),(),( BAPBPAP είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο

0562334 xxx ,

λα βξείηε ηελ πηζαλφηεηα λα κελ πξαγκαηνπνηείηαη θαλέλα απφ ηα Α

θαη Β.

62. Α. Έζησ ε ζπλάξηεζε f κε 1,0,122 xxxxf .

Να βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο.

Β. Αλ Α, Β δχν ζπκπιεξσκαηηθά ελδερφκελα ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ

Ω,

λα απνδείμεηε φηη: .2

122 BPAP

63. Α. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε 2 ,f x x x x

Να απνδείμεηε φηη ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα.

Β. Έζησ Α,Β δχν ελδερφκελα ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω.

η) Αλ BA λα απνδείμεηε φηη: )()(2)()(2 APBPBPAP

ηη) Αλ 4

)(

AP λα απνδείμεηε φηη: 2)(2 BAPf

ηηη) Να απνδείμεηε φηη : .0)( BAPf

64. ε έλα Λχθεην νη καζεηέο ηεο Α΄ ηάμεο είλαη 54. Αλ εθιέμνπκε ηπ-

ραία έλα καζεηή ηνπ ιπθείνπ ε πηζαλφηεηα λα είλαη καζεηήο ηεο Α΄

ηάμεο είλαη 36% θαη ε πηζαλφηεηα λα είλαη ηεο Β΄ ηάμεο 34%.

Να βξείηε :

α. ην πιήζνο ησλ καζεηψλ ηνπ Λπθείνπ.

β. ην πιήζνο ησλ καζεηψλ ηεο Β΄ ηάμεο.

γ. ηελ πηζαλφηεηα λα είλαη καζεηήο ηεο Γ΄ ηάμεο.

65. Έζησ Α, Β δχν ελδερφκελα ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω, γηα ηα νπνία

ηζρχεη: ).()()()( 2 BPA΄PA΄PAP

Να απνδείμεηε φηη ην Α είλαη βέβαην ελδερφκελν θαη ην Β αδχλαην.

66. Έζησ ν δεηγκαηηθφο ρψξνο Ω= .5,4,3,2,1,0 Αλ Α= 5,3,2,1,0 B κε 5

13)(

k

AP

θαη 5

32)(

kBP

λα βξείηε ηελ πηζαλφηεηα λα πξαγκαηνπνηεζεί ηνπιά-

ρηζηνλ έλα απφ ηα Α θαη Β.

67. Έζησ Α,Β δχν ελδερφκελα ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω γηα ηα νπνία ε

πηζαλφηεηα:

λα πξαγκαηνπνηείηαη ην Α είλαη .5

1

λα κελ πξαγκαηνπνηείηαη ην Β είλαη .5

3

λα πξαγκαηνπνηνχληαη ζπγρξφλσο θαη ηα δχν είλαη .6

1

Να βξείηε ηελ πηζαλφηεηα λα πξαγκαηνπνηείηαη:

α. έλα ηνπιάρηζηνλ απφ ηα Α θαη Β.

β. ην πνιχ έλα απφ ηα Α θαη Β.

12

γ. θαλέλα απφ ηα Α θαη Β,

δ. κφλν έλα απφ ηα Α θαη Β.

ε. ην Α ή λα κελ πξαγκαηνπνηείηαη ην Β.

68. Α. Έζησ ε ζπλάξηεζε f κε

.1,0,1

1122

xxx

xf

Να βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο.

Β. Αλ Α είλαη έλα ελδερφκελν ηνπ δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω ην νπνίν

δελ είλαη αδχλαην

αιιά θαη νχηε θαη βέβαην λα δείμεηε φηη: .8)(

1

)(

122

A΄PAP

69. Α. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε ,xf x e x x

Να εμεηάζεηε ηε ζπλάξηεζε σο πξνο ηε κνλνηνλία.

Β. Έζησ Α,Β δχν ελδερφκελα ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω.

α. Αλ BA λα απνδείμεηε φηη: .)()( )()( BPAP eAPeBP

β. Αλ 2

1)( AP λα απνδείμεηε φηη: eBAPf 2)(21 θαη

.1)( eBAPf

70. Έζησ 4321 ,,, δεηγκαηηθφο ρψξνο ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο κε

)(2)( 32 PP θαη ηα ελδερφκελα Α= 321 ,, , Β= 432 , κε 2

1)( AP

θαη .4

3)( BP

Να βξείηε ηηο πηζαλφηεηεο ησλ απιψλ ελδερνκέλσλ ηνπ Ω.

71. Έζησ k ,.....,, 21 ν δεηγκαηηθφο ρψξνο ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο θαη

Α= 21, κε .2

1)( AP

Γίλνληαη νη πηζαλφηεηεο .4,3,23

)(2

aP

α. Να βξείηε ην α

β. Αλ ε πηζαλφηεηα ηνπ ελδερνκέλνπ Β= 32 , είλαη 8

5 λα βξείηε

ηηο πηζαλφηεηεο

ησλ απιψλ ελδερνκέλσλ ., 21

72. Έζησ ε επζεία ε: 142 xy εθάπηεηαη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπ-

λάξηεζεο f κε 109)( 23 xxaxxf ζην 10 x .

α. Να βξείηε ηνπο πξαγκαηηθνχο αξηζκνχο ,a

β. Γηα 1a θαη 2

η.) Να βξείηε ηα ζεκεία ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξ-

ηεζεο ζηα νπνία νη

εθαπηνκέλεο είλαη παξάιιειεο ζηελ επζεία ε: .9xy

ηη.) Να βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηνπ ξπζκνχ κεηαβνιήο ηεο

ζπλάξηεζεο.

ηηη.) Να βξείηε ηα φξηα : xx

xf

x 21

)(lim , .

112

)(lim

1 x

xf

x

73. Σν 40% ησλ θαηνίθσλ κηαο πφιεο πεγαίλεη δηαθνπέο κε θαξάβη θαη ην

30% ησλ θαηνίθσλ πεγαίλεη κε θαξάβη αιιά δελ πεγαίλεη κε αεξνπιά-

λν.

13

α. Δπηιέγνληαο ηπραία έλαλ θάηνηθν ηεο πφιεο, λα πξνζδηνξίζεηε

ηελ πηζαλφηεηα λα

λα κελ πεγαίλεη δηαθνπέο κε θαξάβη ή λα πεγαίλεη δηαθνπέο

κε αεξνπιάλν.

β. Έζησ ην ελδερφκελν

Α: « ν θάηνηθνο πεγαίλεη δηαθνπέο κε αεξνπιάλν»

Να απνδείμεηε φηη

0,1 Ρ Α 0,6

γ. Να εμεηάζεηε σο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξφηαηα ηε ζπλάξ-

ηεζε f κε

2 Αx P xf x e

.

74. Έζησ νη ζπλαξηήζεηο x

x

xxxf

ln21)( θαη .ln21)( 2 xxxg

α. Να βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο .g

β. Να δείμεηε φηη 2)( xg γηα θάζε .0x

γ. Να απνδείμεηε φηη: .)(

)(2x

xgxf

δ. Να απνδείμεηε φηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αχμνπζα ζην

,0 .

75. Η βαζκνινγία ησλ καζεηψλ ηεο Γ΄ Λπθείνπ ζηηο απνιπηήξηεο εμεηά-

ζεηο ζηελ Ιζηνξία θπκαίλεηαη απφ 0 έσο 20. Γλσξίδνπκε φηη εθαηφλ

ηξηάληα καζεηέο έρνπλ βαζκφ θάησ απφ 12, ζαξάληα καζεηέο έρνπλ

βαζκφ απφ 16 έσο 20, ην 70% ησλ καζεηψλ έρεη βαζκφ απφ 4 έσο 16,

ην 35% έρεη βαζκφ θάησ απφ 8 θαη ην α1 ηνπ θπθιηθνχ δηαγξάκκαηνο

είλαη 36ν .

α. Να νκαδνπνηήζεηε ηε βαζκνινγία ζε 5 θιάζεηο ίζνπ πιάηνπο.

β. Να βξείηε ην πιήζνο ησλ καζεηψλ θαη λα θαηαζθεπάζεηε ηα πν-

ιχγσλα

ζπρλνηήησλ.

γ. Να βξείηε ηε δηάκεζν ηεο θαηαλνκήο.

δ. Αλ εθιέμνπκε ηπραία έλα καζεηή λα βξείηε ηε πηζαλφηεηα λα

έρεη βαζκφ απφ 9

έσο 17.

76. H δηάκεζνο θαη ν κέζνο φξνο ησλ ειηθηψλ επηά αλζξψπσλ είλαη 11

ρξφληα

Οη ειηθίεο ησλ πέληε απφ απηνχο είλαη νη 5, 8, 20, 17, 14.

α. Να βξείηε ηηο ειηθίεο ησλ άιισλ δχν.

β. Να βξείηε κεηά απφ πφζα ρξφληα ηνπιάρηζηνλ ην δείγκα ησλ ε-

ιηθηψλ ζα είλαη

νκνηνγελέο.

γ. Αλ επηιέμνπκε ηπραία έλαλ άλζξσπν, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ε

ειηθία ηνπ λα

κελ είλαη κηθξφηεξε απφ 8 θαη λα κελ μεπεξλάεη ηα 17.

77. Α. Να απνδείμεηε ην ηχπν : .222 xxs

Β. ε κηα πφιε θαηά ηηο απνιπηήξηεο εμεηάζεηο ηεο Γ΄ ηάμεο Λπ-

θείνπ, ζην κάζεκα ηεο

Ιζηνξίαο ε βαζκνινγία ησλ καζεηψλ ήηαλ πεξίπνπ θαλνληθή. Ο

κέζνο φξνο ησλ

ηεηξαγψλσλ ησλ βαζκψλ ήηαλ 148 θαη ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο .6

1

α. Να βξείηε ηνλ κέζν φξν ησλ βαζκψλ, ηελ ηππηθή απφθιηζε

14

θαη ηε δηάκεζν.

β. Αλ 10 καζεηέο είραλ βαζκνινγία πάλσ απφ 16 λα βξείηε πφ-

ζνη καζεηέο

ζπκκεηείραλ ζηηο εμεηάζεηο.

78. Έζησ Υ κηα πνζνηηθή κεηαβιεηή σο πξνο ηελ νπνία εμεηάδνπκε έλα

δείγκα κεγέζνπο λ θαη Vxx ,....,1 νη παξαηεξήζεηο κε κέζε ηηκή x θαη

ηππηθή απφθιηζε .s Έζησ ε εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο

ζπλάξηεζεο 1732)( 23 xxsxxxf ζην ζεκείν ηεο Α 3,2 είλαη παξάι-

ιειε ζηνλ άμνλα xx .

α. Να βξείηε ηελ κέζε ηηκή θαη ηελ ηππηθή απφθιηζε.

β. Έζησ 4x θαη .3s

i. Aλ πνιιαπιαζηάζνπκε ηηο παξαηεξήζεηο κε -2 θαη κεηά πξν-

ζζέζνπκε 1, λα

εμεηάζεηε αλ ην θαηλνχξγην δείγκα είλαη νκνηνγελέο.

ii. Αλ ε θαηαλνκή είλαη πεξίπνπ θαλνληθή θαη 20 παξαηεξήζεηο

έρνπλ ηηκή

ηνπιάρηζηνλ 10 λα βξείηε ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ.

79. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε .2353

8 23 xxxxf

A. Να κειεηήζεηε ηε ζπλάξηεζε σο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξφ-

ηαηα.

Β. Έζησ BA, δχν ελδερφκελα ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω κε )(),( BPAP ,

νη ζέζεηο

φπνπ ε ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη ηνπηθά αθξφηαηα θαη ).()( BPAP

α. Να δείμεηε φηη ηα , είλαη αζπκβίβαζηα.

β. Αλ ε πηζαλφηεηα λα πξαγκαηνπνηεζεί κφλν ην είλαη 12

5 λα

βξείηε ηελ

πηζαλφηεηα λα κελ πξαγκαηνπνηνχληαη ζπγρξφλσο ηα θαη

.

80. Α. Έζησ ε ζπλάξηεζε .1,0,1

1)(

xx

xxxf

Να βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο.

Β. Έζησ BA, δχν ελδερφκελα ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω κε

xB΄P 1)( θαη

,B Ω. Αλ x

xB΄AP

1

1)( λα απνδείμεηε φηη : .122)( BAP

81. Γίλνληαη νη αξηζκνί : .2,1

ln,ln,3,0 2 xx

xx

α. Να βξείηε ηνπο αξηζκνχο ψζηε απηνί λα έρνπλ κέγηζηε κέζε ηηκή

θαη κεηά ηε

δηάκεζν θαη ηελ ηππηθή απφθιηζε απηψλ.

β. Έζησ 1x θαη Ω ν δεηγκαηηθφο ρψξνο ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο

πνπ έρεη σο

ζηνηρεία ηνποπαξαπάλσ αξηζκνχο.

Αλ 3,2,1

)(2

aa

aP ε ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο , λα βξείηε ηελ πη-

ζαλφηεηα )0(P .

15

82. Έζησ BA, δχν ελδερφκελα αζπκβίβαζηα ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω.

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε 2

1)()(

2

)(

3)( 2

3

xBPAPxBAPx

xf

α. Να βξείηε ηηο ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ ηεο θακπχιεο ηεο ζπλάξ-

ηεζεο πνπ νη

εθαπηνκέλεοείλαη παξάιιειεο ζηνλ άμνλα xx .

β. Αλ 1)()( BPAP θαη ε ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη ηνπηθά αθξφηαηα

ζηα 2

11 x θαη

3

12 x λα βξείηε ηηο πηζαλφηεηεο ).(),( BPAP

γ. Αλ ν ξπζκφο κεηαβνιήο ηεο f σο πξνο x ζην )(APxo είλαη 4

1θαη

ηα BA, είλαη

ζπκπιεξσκαηηθά λα βξείηε ηηο πηζαλφηεηεο ).(),( BPAP

83. Έζησ ν δεηγκαηηθφο ρψξνο 4,3,2,1 ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο .

Γίλεηαη ε πηζαλφηεηα θάζε ζηνηρείνπ ηνπ δεηγκαηηθνχ ρψξνπ

acaaP ,)( .

α. Να βξείηε ηε ηηκή ηνπ c.

β. Έζησ ,10

1c ε ζπλάξηεζε 123)( xxf θαη ηα ελδερφκελα :

,41

)(lim

2

21

aa

x

xfaA

x

: aB ε εθαπηνκέλε ζηε θακπχιε ηεο ζπλάξηεζεο ζην 1 είλαη πα-

ξάιιειε

ζηελ επζεία ε: 012)1( 2 yx .

Δθιέγνπκε έλα απιφ ελδερφκελν ηνπ δεηγκαηηθνχ ρψξνπ

i. λα βξείηε ηηο πηζαλφηεηεο )(),( BPAP .

ii. λα βξείηε ηηο πηζαλφηεηεο ).(),( BAPBAP

84. Έζησ Ω= 3,2,1,0 ν δεηγκαηηθφο ρψξνο ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο κε

)3()2(2)1( PPP θαη 1,0A έλα ελδερφκελν ηνπ Ω κε .2

1)( AP

α. Να βξείηε ηηο πηζαλφηεηεο ησλ ζηνηρεησδψλ ελδερνκέλσλ ηνπ Ω.

β. Οη παξαηεξήζεηο κηαο κεηαβιεηήο Υ είλαη νη αθφινπζεο: 1,

1, 4, 4, 3ι, ι2, 5.

Γίλνληαη ηα ελδερφκελα DB, ηνπ δεηγκαηηθνχ ρψξνπ, φπνπ :

.3:,8

17:

DxB

i. λα γξάςεηε κε αλαγξαθή ησλ ζηνηρείσλ ηα ελδερφκελα

.,DB

ii. λα βξείηε ηηο πηζαλφηεηεο : ).(),(),(),( DBPDBPDPBP

iii. είλαη ηα ελδερφκελα DB, αζπκβίβαζηα;

85. Έζησ Ω= 3,2,1 ν δεηγκαηηθφο ρψξνο ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο κε πηζαλφ-

ηεηεο

321 )3(,)2(,)1( pPpPpP

α. Αλ ε θακπχιε ηεο ζπλάξηεζεο 32

2

1

3 233)( pxpxpxxf έρεη εθα-

πηνκέλε ζην

ζεκείν )1,0(M παξάιιειε ζηελ επζεία 04 yx λα βξείηε ηηο πη-

16

ζαλφηεηεο

.,, 321 ppp

β. Γηα 2

1,3

1,6

1321 ppp

i. λα δείμεηε φηη ε ζπλάξηεζε δελ έρεη αθξφηαηα.

ii. λα βξείηε ηελ πηζαλφηεηα ηνπ ελδερνκέλνπ:

73

3)(lim/ 2

21aa

xx

xfaA

x

86. Έζησ Vxxx ,....., 21 , νη παξαηεξήζεηο ελφο δείγκαηνο πνπ δελ είλαη φιεο

ίζεο θαη ε ζπλάξηεζε

f κε 33

1 .............)( xxxxxf V

α. Να εμεηάζεηε ηε ζπλάξηεζε σο πξνο ηε κνλνηνλία.

β. Να δείμεηε φηη 23)( vsxf

γ. Αλ 2,5 sv λα βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηεο θακπχιεο ηεο f πνπ

είλαη

παξάιιειε ζηνλ άμνλα .xx

87. Έζησ ν δεηγκαηηθφο ρψξνο Ω= ,.....,, 21 ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο θαη

ε ζπλάξηεζε

f κε

3

9

1)(

xxf .

Γίλεηαη φηη ε κέζε ηηκή ησλ αξηζκψλ : )(),.......,(),( 21 PPP είλαη .9

1

α. Να βξείηε ην πιήζνο ησλ απιψλ ελδερνκέλσλ.

β. Να απνδείμεηε φηη γηα ηε δηάκεζν δ ησλ αξηζκψλ απηψλ ηζρχεη

δ 2,0

γ. Αλ 12

1)(......)()( 21

PfPfPf , λα βξείηε ην ζπληειεζηή

κεηαβνιήο.

88. Έζησ Α έλα ελδερφκελν ηνπ δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω θαη

)(),(),(),( PPAPAP

νη παξαηεξήζεηο ελφο δείγκαηνο,

α. Να βξείηε ηελ κέζε ηηκή θαη ηε δηάκεζν ησλ παξαηεξήζεσλ.

β. Να απνδείμεηε φηη : .8

11)(2

8

1 22 APs

γ. Αλ 8

24)(

AP λα απνδείμεηε φηη ην δείγκα δελ είλαη νκνηνγε-

λέο.

89. Έζησ Α, Β δχν ελδερφκελα ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ θαη ε ζπλάξηεζε

f κε .0),(ln)(4)( 22 xBAPxxBAPxf

α. Να βξείηε ηε δεχηεξε παξάγσγν ηεο ζπλάξηεζεο.

β. Αλ ε εθαπηνκέλε ζηε θακπχιε ηεο f ζην ζεκείν 1ox είλαη πα-

ξάιιειε ζηνλ

άμνλα xx λα βξείηε ηελ πηζαλφηεηα ( ).P B

90. Έζησ Α, Β δχν ελδερφκελα ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω , (Α,Β ) θαη

ε ζπλάξηεζε

f κε .1

)()()(

x

BPxAPxf

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνχ ηεο ζπλάξηεζεο.

17

β. Να βξείηε ηελ παξάγσγν ηεο ζπλάξηεζεο.

γ. Να δείμεηε φηη ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο αχμνπζα ζην δηάζηε-

κα ,1 .

δ. Αλ ν ξπζκφο ηεο ζπλάξηεζεο σο πξνο x , γηα 2x είλαη 1, λα

δείμεηε φηη:

)()( BPAP θαη AAPf ,1)( .

91. Έζησ Α,Β δχν ελδερφκελα ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω.

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 1)(2

)(3

)()(23

xBAPx

BPx

APxf

Αλ ε εθαπηνκέλε ζηε θακπχιε ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν 1 είλαη πα-

ξάιιειε ζηνλ

άμνλα ηεηκεκέλσλ

α. Να απνδείμεηε φηη ηα ελδερφκελα Α θαη Β είλαη αζπκβίβαζηα.

β. Να απνδείμεηε φηη: )()(2)(

lim21

BPAPxx

xf

x

.

92. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 0,ln)( xxxxf θαη ηα ελδερφκελα Α , Β ελφο

δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω.

α. Να εμεηάζεηε ηε ζπλάξηεζε σο πξνο ηε κνλνηνλία.

β. Αλ Α θαη ΑΒ λα απνδείμεηε φηη ).()()(

)(ln BPAP

BP

AP

γ. Αλ ε εθαπηνκέλε ζηε θακπχιε ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν

)(APxo είλαη

παξάιιειε ζηε δηρνηφκν ηεο γσλίαο ησλ ζεηηθψλ εκηαμφλσλ:

i. λα βξείηε ηε πηζαλφηεηα ).(AP

ii. λα απνδείμεηε φηη : ,2

4ln)(

eBAPf γηα .BA

93. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε xxxf 3

23

1)( .

α. Να κειεηήζεηε ηε ζπλάξηεζε σο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξφ-

ηαηα.

β. Αλ ηα ζεκεία )(,,.......,)(,,)(, 101010222111 xfxAxfxAxfxA έρνπλ κέζε ηηκή

2x

θαη ηππηθή απφθιηζε 3s λα βξείηε ηε κέζε ηηκή ησλ ζπληειε-

ζηψλ ησλ

εθαπηνκέλσλ ζηελ θακπχιε ηεο ζπλάξηεζεο ζηα ζεκεία

.,......,, 1021 AAA

γ. Αλ Α,Β δχν ελδερφκελα ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω κε 2

1)( AP ,

λα απνδείμεηε φηη .013)(8 BAPf