gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

107

5.1.3 Η ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ A Εξωτερική δύναµη της µορφής 0 sinF F tεξ εξω=

Εφόσον 0γ = η διαφορική εξίσωση της κίνησης θα είναι

2

0( ) ( ) sinx t x t f tεξω ω′′ + = (5.7)

Η λύση της οµογενούς εξίσωσης είναι η λύση της ελεύθερης ταλάντωσης (βλέε §1.2) 0 0

0 1 2 1 2 0 1 2 0( ) ( ) cos ( ) sint tx t C e C e C C t i C C tω ω ω ω−= + = + + −

∆οκιµάζουµε µερική λύση της µορφής , 3( ) sinx t C tµ εξω= . Αντικαθιστώντας στην εξ.

(5.7) ροκύτει ότι

3 2 20

fC

εξω ω=

−

και η γενική λύση γράφεται

0 1 2 0 1 2 0

2 20

( ) ( ) ( ) ( ) cos ( )sin

sin

x t x t x t C C t i C C t

ft

µ

εξεξ

ω ω

ωω ω

= + = + + −

+−

(5.8)

Θεωρούµε ως αρχικές συνθήκες τις 0(0)x x= και 0(0) (0)x υ υ′ = = .

Αντικαθιστώντας στην εξ. (5.8) έχουµε

( )

0 1 2

0 0 1 2 2 20

sin

x C C

fi C C tεξ

εξ

υ ω ωω ω

= +

= − +−

Λύνοντας το αραάνω σύστηµα ροσδιορίζουµε τις σταθερές οότε η εξ. (5.8) γίνεται

00 0 0

0

02 200

η Γ.Λ. της ελεύθερης ταλάντωσης

( ) cos sin

sin sin

x t x t t

ft tεξ

εξεξ

υω ω

ω

ωω ω

ωω ω

= +

+ − −

64444744448

(5.7)

B Εξωτερική δύναµη της µορφής 0 cosF F tεξ εξω=

Θα λύσουµε την διαφορική εξίσωση

2

0( ) ( ) cosx t x t f tεξω ω′′ + = (5.8)

∆οκιµάζουµε µερική λύση της µορφής , 3( ) cosx t C tµ εξω= . Αντικαθιστώντας στην εξ.

(5.8) ροκύτει ότι

3 2 20

fC

εξω ω=

−

και η γενική λύση γράφεται

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

108

0 1 2 0 1 2 0

2 20

( ) ( ) ( ) ( ) cos ( )sin

cos

x t x t x t C C t i C C t

ft

µ

εξεξ

ω ω

ωω ω

= + = + + −

+−

(5.9)

Για αρχικές συνθήκες τις 0(0)x x= και 0(0) (0)x υ υ′ = = , ροσδιορίζουµε τις

σταθερές και έχουµε

εξεξ

υ= ω + ω

ω

+ ω − ω ω − ω

6444447444448

00 0 0

0

02 20

η Γ.Λ. της ελεύθερης ταλάντωσης

x(t) x cos t sin t

f cos t cos t

(5.10)

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Η εµφάνιση δυο συχνοτήτων εξω και 0ω στην γενική λύση σηµαίνει την

δηµιουργία διακροτηµάτων (βλέε §4.5.1). Τα διακροτήµατα εδώ, εφόσον δεν έχουµε αόσβεση, θα συνεχίζονται ε’ άειρον.

Θεωρούµε τις αρχικές συνθήκες 0(0) 0x x= = και 0(0) 0x υ′ = = . Τότε η γενική λύση

γράφεται

02 200

( ) sin sinf

x t t tεξεξ

εξ

ωω ω

ωω ω

= − −

όταν 0 sinF F tεξ εξω=

και

02 20

( ) cos cosf

x t t tεξεξ

ω ωω ω

= − − όταν 0 cosF F tεξ εξω=

Στα σχήµατα ου ακολουθούν φαίνεται η γραφική αράσταση της αοµάκρυνσης

συναρτήσει του χρόνου µε αρχικές συνθήκες 0(0) 0x x= = και 0(0) 0x υ′ = = ,για

διάφορες τιµές του λόγου 0εξω ω , όταν η εξωτερική δύναµη είναι ηµιτονοειδής.

2 4 6 8 10 12t

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

xHtL ωεξêω0=0.25

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

109

2 4 6 8 10 12t

-20

-10

10

20

xHtL ωεξêω0=0.75

2 4 6 8 10 12t

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

xHtL ωεξêω0=1.75

Παρατηρήστε την κλίµακα στον κατακόρυφο άξονα. Όταν ροσεγγίζουµε την ιδιοσυχνότητα τότε το λάτος αυξάνεται. Στη συνέχεια εξετάζεται η ερίτωση

0 1εξω ω = .

2. Εξετάζουµε την ερίτωση του συντονισµού: 0εξω ω= . Και στις δυο εριτώσεις

(ηµιτονοειδής ή συνηµιτονοειδής εξωτερική δύναµη) η γενική λύση δίνει την

αροσδιόριστη µορφή 0

0 και ρέει να εφαρµοστεί ο κανόνας του L’ Hospital.

Έτσι, στην ερίτωση όου 0 sinF F tεξ εξω= , έχουµε

0

0 0

000

0 0 0 2 20 0

sin sin

( ) lim ( ) lim cos sin

f t t

x t x t x t tεξ

εξ εξ

εξεξ

ω ω ω ω ω ωεξ

ωω ω

ωυω ω

ω ω ω=→ →

− = = + + −

0

0

000 0 0

0

sincos

cos sin lim2

tf t t

x t tεξ

εξ

ω ωεξ

ωω

ωυω ω

ω ω→

− = + + −

( )00 0 0 0 0 02

0 0

cos sin sin cos2

fx t t t t t

υω ω ω ω ω

ω ω

= + + −

ή

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

110

0

00 0 02

0 0 0

( ) cos sin2 2

f fx t x t t t

εξω ωυ

ω ωω ω ω=

= − + +

Η αρουσία του όρου 0cost tω µας δείχνει ότι για t →∞ η αοµάκρυνση

αειρίζεται. Η τελευταία εξίσωση για αρχικές συνθήκες 0(0) 0x x= = και

0(0) 0x υ′ = = , γράφεται

( )0 0 0 02

0

( ) cos sin2

fx t t t t

εξω ω ω ω ωω= = − +

ή

( )0

2 20 02

0

( ) 1 cos2

fx t t t

εξω ω ω ω ϕω= = − + −

όου 0tan tϕ ω= .

Στο σχήµα ου ακολουθεί φαίνεται η αοµάκρυνση συναρτήσει του χρόνου για

0 4εξω ω= = , 100f = (αυθαίρετες µονάδες) και αρχικές συνθήκες 0(0) 0x x= = και

0(0) 0x υ′ = = . Το λάτος της ταλάντωσης αυξάνεται σύµφωνα µε την εξίσωση

2 202

0

( ) 12

fA t tω

ω= +

5 10 15 20t

-200

-100

100

200

xHtL

3. Στην ερίτωση ου η εξωτερική δύναµη είναι της µορφής 0 sinF F tεξ εξω= , να

δειχθεί ότι (α) η ταχύτητα εριγράφεται αό την εξίσωση

[ ]0 0 0 0 0

02 20

η ταχύτητα στην ελευθερη ταλάντωση

( ) sin cos

cos cos

t x t t

ft tεξ

εξεξ

υ ω ω υ ω

ωω ω

ω ω

= − +

+ − −

64444744448

(β) όταν 0εξω ω= η ταχύτητα εριγράφεται αό την εξίσωση

0 0 0 0( ) cos sin2

ft t t t tυ υ ω ω ω = + −

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

111

4. Θα ροσδιοριστούν ενεργειακά µεγέθη συναρτήσει του χρόνου. Θεωρούµε την

ερίτωση ου η εξωτερική δύναµη είναι της µορφής 0 sinF F tεξ εξω= και οι αρχικές

συνθήκες 0(0) 0x x= = και 0(0) 0x υ′ = =

Το έργο της εξωτερικής δύναµης είναι

000

sin ( )t t

FW F dx F t t dtεξ εξ εξω υ= =∫ ∫

Όµως η ταχύτητα δίνεται αό την εξίσωση

02 20

( ) cos cosf

t t tεξεξ

εξ

ωυ ω ω

ω ω = − −

Αντικαθιστώντας στο ολοκλήρωµα και χρησιµοοιώντας τα στοιχειώδη ολοκληρώµατα

0

cos 2 1sin 2

2

t tt dt εξ

εξεξ

ωω

ω

− +=∫

και

0 00

0 0 0 0 0

cos( ) cos( )1 1sin 2 cos

2( ) 2( ) 2( ) 2( )

t t tt t dt εξ εξ

εξεξ εξ εξ εξ

ω ω ω ωω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω

− +−= + + −

− + − +∫

ροκύτει

( )

2 2 20 0 0 0 02

22 20

3 cos(2 )( ) 4 cos cos 4 sin sin

4F

t t t t tW m f εξ εξ εξ εξ εξ εξ εξ

εξ

εξ

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

ω ω

+ − − − −=

−

Η κινητική, η δυναµική και η ολική ενέργεια του ταλαντωτή συναρτήσει του χρόνου θα είναι

( ) ( )

( )( )

2 2 2 20

0 02 22 2 2 2 00 0

2222 2

0 0 022 2 00

1 1 cos cos sin sin

2 2

1 cos cos sin sin

2

E K U

f fm t t m t t

fm t t t t

ολ

εξ εξεξ εξ

εξ εξ

εξεξ εξ εξ

εξ

ω ωωω ω ω ω

ωω ω ω ω

ωω ω ω ω ω ω

ωω ω

= +

= − + − =

− −

= − + − −

Παρότι δεν φαίνεται µε την ρώτη µατιά, ισχύει όως αναµένεται

FW Eεξ ολ=