ΤΑ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΠΡΩΤΟΥ ΕΙΔΟΥΣ
3
gkalios.blogspot.com Γιώργος Γκάλιος 171 8.2.1 ΤΑ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΠΡΩΤΟΥ ΕΙ∆ΟΥΣ Στην ροηγούμενη ενότητα υολογίστηκε η ερίοδος του εκκρεμούς εμφανίστηκε το ολοκλήρωμα 2 2 2 2 0 ( ) 1 sin = − ∫ du Kk k u π (8.10) όου 0 sin 2 k θ = ( 0 θ = η μέγιστη γωνία ταλάντωσης). Ακούγοντας κανείς για ρώτη φορά την έκφραση ελλειτικό ολοκλήρωμα το μυαλό του άει στο γεωμετρικό σχήμα της έλλειψης. Πράγματι, όταν υολογίζουμε το μήκος τόξου μιας έλλειψης ή υερβολής καταλήγουμε * σε ένα ολοκλήρωμα ου κατατάσσεται στα ελλειτικά ολοκληρώματα 2 ου είδους: 2 2 0 1 (, ) 1 − = − ∫ x mt Exm dt t Σε ορισμένα ροβλήματα Μηχανικής εμφανίζεται και το ελλειτικό ολοκλήρωμα 3 ου είδους ου έχει την μορφή ( ) ( )( ) 2 2 2 0 (,, ) 1 1 1 Π = + − − ∫ x dt xnm nt t mt Εδώ όμως το ενδιαφέρον μας εικεντρώνεται στα ελλειτικά ολοκληρώματα 1 ου είδους ου ορίζονται ως ( )( ) 2 2 0 (, ) 1 1 = − − ∫ x dt Fxm t mt , 0 1 m ≤ ≤ (8.11) Το m ολλές φορές εμφανίζεται στην βιβλιογραφία και ως 2 k m = ή ως 2 sin m a = ( ) sin k a = . Το m ονομάζεται αράμετρος, το k ελλειτικό μέτρο και το a γωνία μέτρου. Αν θέσουμε 0 m = , στην εξ. (8.11) τότε ( ) 1 2 0 ( ,0) sin 1 − = = − ∫ x dt Fx x t ενώ για 1 m = 1 2 0 ( ,1) tanh 1 − = = − ∫ x dt Fx x t * Το στοιχειώδες μήκος οποιουδήποτε τόξου υπολογίζεται από την σχέση ( ) ( ) 2 1 2 2 1 ′ = + ⇒ = + ∫ x x ds dx dy s y dx Η εξίσωση της έλλειψης είναι 2 2 2 2 1 x y a b + = ή 2 2 b y a x a =± − . Παραγωγίζοντας και αντικαθιστώντας στο μήκος τόξου, καταλήγουμε με αλλαγή μεταβλητής στην 2 1 2 2 1 . 1 − = − ∫ x x mt s dt t σταθ
description
ΤΑ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΠΡΩΤΟΥ ΕΙΔΟΥΣ
Transcript of ΤΑ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΠΡΩΤΟΥ ΕΙΔΟΥΣ
gkalios.blogspot.com
Γιώργος Γκάλιος
171
8.2.1 ΤΑ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΠΡΩΤΟΥ ΕΙ∆ΟΥΣ Στην ροηγούµενη ενότητα υολογίστηκε η ερίοδος του εκκρεµούς εµφανίστηκε το ολοκλήρωµα
2
2
2 20
( )1 sin
=−∫ du
K kk u
π
(8.10)
όου 0sin2
kθ
= ( 0θ = η µέγιστη γωνία ταλάντωσης).
Ακούγοντας κανείς για ρώτη φορά την έκφραση ελλειτικό ολοκλήρωµα το µυαλό του άει στο γεωµετρικό σχήµα της έλλειψης. Πράγµατι, όταν υολογίζουµε το
µήκος τόξου µιας έλλειψης ή υερβολής καταλήγουµε* σε ένα ολοκλήρωµα ου
κατατάσσεται στα ελλειτικά ολοκληρώµατα 2ου είδους:
2
20
1( , )
1
−=
−∫x
mtE x m dt
t
Σε ορισµένα ροβλήµατα Μηχανικής εµφανίζεται και το ελλειτικό ολοκλήρωµα 3ου είδους ου έχει την µορφή
( ) ( )( )2 2 20
( , , )1 1 1
Π =+ − −∫
xdt
x n mnt t mt
Εδώ όµως το ενδιαφέρον µας εικεντρώνεται στα ελλειτικά ολοκληρώµατα 1ου
είδους ου ορίζονται ως
( )( )2 20
( , )1 1
=− −∫
xdt
F x mt mt
, 0 1m≤ ≤ (8.11)
Το m ολλές φορές εµφανίζεται στην βιβλιογραφία και ως 2k m= ή ως 2sinm a=
( )sink a= . Το m ονοµάζεται αράµετρος, το k ελλειτικό µέτρο και το a γωνία
µέτρου. Αν θέσουµε 0m = , στην εξ. (8.11) τότε
( )1
20
( ,0) sin1
−= =−∫
xdt
F x xt
ενώ για 1m =
12
0
( ,1) tanh1
−= =−∫
xdt
F x xt
* Το στοιχειώδες µήκος οποιουδήποτε τόξου υπολογίζεται από την σχέση
( ) ( )2
1
2 21 ′= + ⇒ = +∫
x
x
ds dx dy s y dx
Η εξίσωση της έλλειψης είναι 2 2
2 21
x y
a b+ = ή
2 2by a x
a= ± − . Παραγωγίζοντας και
αντικαθιστώντας στο µήκος τόξου, καταλήγουµε µε αλλαγή µεταβλητής στην
2
1
2
2
1.
1
−=
−∫x
x
mts dt
tσταθ
gkalios.blogspot.com
Γιώργος Γκάλιος
172
Οι αραάνω οριακές τιµές είναι µια ένδειξη ότι τα ελλειτικά ολοκληρώµατα είναι η γενίκευση των αντίστροφων κυκλικών συναρτήσεων. Συνήθως τα ελλειτικά ολοκληρώµατα εµφανίζονται στην µορφή ου ροκύτει
όταν κάνουµε το µετασχηµατισµό sint u= ( )sinx ϕ= . Έτσι, αν εφαρµοστεί αυτός ο
µετασχηµατισµός στην εξ. (8.11), έχουµε ισοδύναµα
( )20
( , )1 sin
duF m
m u
ϕ
ϕ =−∫ , 0 1m≤ ≤ (8.12)
όου το ϕ ονοµάζεται λάτος.
Η οσότητα ου ροκύτει αό την εξ. (8.12) για 2
πϕ = ,
2
20
( ) ,2 1 sin
duK m F m
m u
ππ ≡ = −∫ (8.13)
ονοµάζεται λήρες ελλειτικό ολοκλήρωµα ρώτου είδους και ταυτίζεται µε το
ολοκλήρωµα (8.10) ου εµφανίζεται στην ερίοδο του εκκρεµούς αν θέσουµε 2k m= . Το ολοκλήρωµα (8.12) συνήθως ονοµάζεται ελλιές ελλειτικό ολοκλήρωµα 1ου είδους.
Πολλές φορές χρησιµοοιείται η συµληρωµατική αράµετρος*
( )2 2 21 1 1 sin sin 90 cosom m a a a= − = − = − =
για την οοία ισχύει ο συµβολισµός
2
1 1 20 1
( ) (1 ) ,2 1 sin
duK K m K m F m
m u
ππ ′ = = − = = −∫
Τα ελλειτικά ολοκληρώµατα 1ου είδους έχουν τις αρακάτω ιδιότητες ου σχετίζονται µε τις τιµές ου αίρνει η αράµετρος m ή το λάτος ϕ :
1. Αρνητικό λάτος: ( , ) ( , )F m F mϕ ϕ− = −
2. Οοιαδήοτε τιµή του λάτους: ( , ) 2 ( ) ( , )F s m sK m F mπ ϕ ϕ± = ± όου ( )K m το
λήρες ελλειτικό ολοκλήρωµα 1ου είδους.
3. Παράµετρος µεγαλύτερη της µονάδος: ( )1
12( , 1) ,F m m F mϕ θ− −> = όου
1
2sin sinmθ ϕ=
4. Αρνητική Παράµετρος:
( )1 1
1 12 2( , ) (1 ) (1 ) (1 ) , (1 )2
F m m K m m m F m mπ
ϕ ϕ−− − − = + + − + − +
5. Ειδικές εριτώσεις:
0m = → ( ,0)F ϕ ϕ=
* Γενικά χρειάζεται µεγάλη προσοχή στα διάφορα σύµβολα µε τα οποία εκφράζονται τα
ελλειπτικά ολοκληρώµατα.
gkalios.blogspot.com
Γιώργος Γκάλιος
173
2 01 ή sin 1 άρα 90m m a a= = = = → ( ,90 ) ln(sec tan ) ln tan4 2
oFπ ϕ
ϕ ϕ ϕ = + = +
6. Σχέση ( )K m µε την υεργεωµετρική συνάρτηση: 1 1
, ;1;2 2 2
FK mπ =
8.2.2 ΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LANDEN
Μορούµε να ροσδιορίσουµε τις τιµές του ελλειτικού ολοκληρώµατος 1ου είδους χρησιµοοιώντας τον ανερχόµενο ή τον κατερχόµενο µετασχηµατισµό Landen*, ου θα εξετάσουµε στη συνέχεια. Οι µετασχηµατισµοί Landen δίνουν είσης και ροσεγγιστικές εκφράσεις του ελλειτικού ολοκληρώµατος ου µετατρέονται σε ροσεγγιστικές εκφράσεις της εριόδου του εκκρεµούς. Ι. Ανερχόµενος µετασχηµατισµός Landen.
Αλλάζοντας τον συµβολισµό, θέτοντας 2m k= και u ϕ= στο ελλειτικό
ολοκλήρωµα (8.12)
( )20
( , )1 sin
=−∫ du
F mm u
ϕ
ϕ
τότε γράφεται ισοδύναµα στη µορφή
( )2 20
( , )1 sin
=−∫ d
F kk
ϕ ϕϕ
ϕ (8.14)
Το ρώτο βήµα του µετασχηµατισµού έγκειται στην αλλαγή µεταβλητής
ολοκλήρωση αό ϕ σε 1ϕ , όου 1
1
sin 2tan
cos 2k
ϕϕ
ϕ=
+ ή ( )1sin 2 sinkϕ ϕ ϕ− = . Μετά
αό κάοιες ράξεις (!) η εξ. (8.14) γράφεται
11
2 2 2 20 0 1
2
11 sin 1 sin=
+− −∫ ∫ dd
kk k
ϕ ϕ ϕϕ
ϕ ϕ ή
1 1
2( , ) ( , )
1F k F k
kϕ ϕ=
+ όου 1
2
1
kk
k=
+
Συνεχίζοντας την ίδια διαδικασία έχουµε
* Ο John Landen (1719 – 1790) ήταν Άγγλος Μαθηµατικός ο οποίος µεταξύ άλλων
ασχολήθηκε µε τα ελλειπτικά ολοκληρώµατα και τις ελλειπτικές συναρτήσεις.
