Φροντιστήριο Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (2013-2014)

ΘΕΜΑ A Α1. ∆ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z1 και z2 . Να αποδείξετε ότι : z1⋅z2=z1⋅z2 (7,5 µονάδες) Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ισχύει: α) z2 = z⋅ z β) z2 = z2 γ) z= - z δ) z= z ε) i⋅ z = z (5 µονάδες) A3. Αν z1 = 3+4i και z2 = 1- 3 i , να γράψετε στο τετράδιο σας τους αριθµούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει µια ισότητα.

Στήλη Α Στήλη Β 1. z1⋅z2 α) 4 2. z1

2 β) 2 3. z2

2 γ) 25

4. - 1z δ) -5

5. i⋅z2 ε) -2 στ) 5 ζ) 10

(7,5 µονάδες)

A4. Αν για τον µιγαδικό z ισχύει z=1 , να αποδείξετε ότι z

1 z =

(5 µονάδες)

Φροντιστήριο Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com

ΘΕΜΑ Β ∆ίνονται οι µιγαδικοί z οι οποίοι δεν είναι φανταστικοί και για τους

οποίους ισχύει: Re(z)2)z

1Re(z =+ (1)

Β1. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του z κινούνται στον κύκλο µε εξίσωση χ2+ψ2=1 , από τον οποίο έχουν εξαιρεθεί δύο σηµεία.

(8 µονάδες) Β2. Αν z1, z2 µιγαδικοί που επαληθεύουν την (1) , να αποδείξετε ότι:

i) Ο 21

21

zz1

zzu

+

+= µε 1+z1z2≠0 είναι πραγµατικός

(6 µονάδες) ii) Ισχύει | z1-z2| ≤ 2 (5 µονάδες)

Β3. Να λύσετε την εξίσωση zz 2 = (6 µονάδες) ΘΕΜΑ Γ ∆ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z και η συνάρτηση zizf(z) +=

Γ1. Αν z≠0 , να αποδείξετε ότι 2z

f(z)≤ (6 µονάδες)

Γ2. Αν Α,Β οι εικόνες των µιγαδικών f(i) και f(1+i) , να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ο , Α , Β είναι συνευθειακά, όπου Ο η αρχή των αξόνων. (4 µονάδες)

Γ3. Αν f(z)≠0 , να βρείτε τον αριθµό

2014

f(z)

f(z)

(5 µονάδες)

Γ4. Αν ισχύει 4f(z)f(z) =+ , να βρείτε i) το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z (5 µονάδες) ii) την ελάχιστη τιµή του |z| (5 µονάδες)

Φροντιστήριο Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com

ΘΕΜΑ ∆

∆ίνεται η εξίσωση 1z

2

4

z+

−= (1) , z≠0

∆1. Aν z1, z2 οι λύσεις της εξίσωσης (1) να αποδείξετε ότι

0z

z

z

z2014

1

2

2012

2

1 =

+

(6 µονάδες)

∆2. Αν για τον µιγαδικό αριθµό w ισχύει |w-z1|

2+|w-z2|2=16 (2) ,

όπου z1, z2 οι λύσεις της εξίσωσης (1), τότε να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του w (4 µονάδες) και να αιτιολογήσετε ότι |w-2|=2 (2 µονάδες) ∆3. Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί w1, w2 που ικανοποιούν τη (2) και για τους οποίους ισχύει |w1 - w2|=4. Να αποδείξετε ότι |w1 + w2|=4. (7 µονάδες) ∆4. Αν οι µιγαδικοί w1, w2 , w3 ικανοποιούν τη (2) , να αποδείξετε

ότι 2w

1

2w

1

2w

1

4

6www

321

321

−+

−+

−=

−++ (6 µονάδες)

Καλή Επιτυχία

Θανάσης Κοπάδης Μαθηµατικός

Μέλος Ε.Μ.Ε. , Ο.Ε.Φ.Ε.