ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τομέας Δομοστατικής

ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΔΑΦΟΜΕΤΑΦΕΡΟΜΕΝΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΚΑΙ ΔΟΝΗΣΕΩΝ ΣΕ

ΣΙΔΗΡΟΔΡΟΜΙΚΑ ΕΡΓΑ

Διπλωματική εργασία Αλέξανδρος Γαλατάς

ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Αν. Καθηγητής Β. ΚΟΥΜΟΥΣΗΣ

Μάρτιος ’03 – Νοέμβριος ’03

2

Αθήνα, Νοέμβριος 2003

Με την ολοκλήρωση της διπλωματικής μου εργασίας θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά

τον καθηγητή Βλάση Κουμούση για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε για την ανάθεση

της, καθώς επίσης και για την πολύτιμη και ουσιαστική καθοδήγησή του σε όλη την

διάρκεια της εκπόνησής της.

Επίσης, θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου σε όσους συνέβαλαν με

οποιοδήποτε τρόπο στην εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής.

Αλέξανδρος Γαλατάς

3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ....................................................................................................................................5

ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ.............................................................................7

Βασικές έννοιες κυματικής θεωρίας.................................................................................................... 7 Γένεση και διάδοση του ήχου........................................................................................................... 11 Μετάδοση κυμάτων σε στερεά σώματα........................................................................................... 13 Ομογενής ακουστική εξίσωση κύματος........................................................................................... 15

Διατήρηση της μάζας – Εξίσωση συνέχειας ............................................................................ 15 Διατήρησης της ορμής ............................................................................................................... 16 Θερμοδυναμική καταστατική εξίσωση..................................................................................... 17 Η γραμμικοποιημένη εξίσωση ακουστικού κύματος.............................................................. 18

Δυναμικό ακουστικής ταχύτητας ...................................................................................................... 19 Διάδοση επίπεδων ηχητικών κυμάτων ............................................................................................. 21 Ηχητική ένταση, ενεργειακή πυκνότητα και ηχητική ισχύς.......................................................... 22 Διάδοση ήχου από ταλαντώσεις στερεών σωμάτων ....................................................................... 24 Ηχητική ενέργεια από στοιχειώδεις πηγές...................................................................................... 27

Μονόπολο – ακτινοβολούσα σφαίρα........................................................................................ 27 Δίπολο – δύο πολύ κοντινά μονόπολα .................................................................................... 27 Τετράπολο – δύο πολύ κοντινά δίπολα.................................................................................... 28 Παλινδρομικό έμβολο – αξονικά δονούμενο διάφραγμα σε απειρομήκη άκαμπτη πλάκα............................................................................................................................................. 29

Μη ομογενής εξίσωση ακουστικού κύματος................................................................................... 29 Σύνθετη αντίσταση και κινητικότητα ............................................................................................... 33

Ακουστική αντίσταση ΖΑ............................................................................................................ 34 Ειδική ακουστική αντίσταση Ζs................................................................................................. 35 Μηχανική αντίσταση ZM ............................................................................................................ 35 Χαρακτηριστική αντίσταση ρc .................................................................................................. 35 Κανονική ειδική ακουστική αντίσταση Ζsn .............................................................................. 35

Αλληλεπίδραση και συντονισμός...................................................................................................... 36

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ .......................................................................... 38

Δυναμική απλού μονοβάθμιου ταλαντωτή ...................................................................................... 38 ζ>1 – υπερκρίσιμη απόσβεση ................................................................................................... 40 ζ<1 ................................................................................................................................................ 40 ζ=1 – κρίσιμη απόσβεση ........................................................................................................... 40

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις ........................................................................................................... 41 Ντετερμινιστικά σήματα.................................................................................................................... 42

Αρμονική διέγερση ..................................................................................................................... 42 Σύνθετη αντίσταση ταλάντωσης................................................................................................. 44 Περιοδική διέγερση .................................................................................................................... 45 Μη περιοδική διέγερση .............................................................................................................. 46

4

Τυχαία σήματα.................................................................................................................................... 48 Πολυβάθμια συστήματα .................................................................................................................... 55 Ανάλογο ιξώδους αποσβεστήρα ....................................................................................................... 58

ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΘΟΡΥΒΩΝ ΚΑΙ ΔΟΝΗΣΕΩΝ................... 59

Μετρήσεις ηχητικών σημάτων .......................................................................................................... 59 Οκτάβες και ζώνες συχνοτήτων ........................................................................................................ 61 Υποκειμενικές, μη γραμμικές κλίμακες στάθμης ήχου ................................................................. 63 Μετρήσεις κραδασμών και δονήσεων.............................................................................................. 65 Όργανα μέτρησης θορύβου και δονήσεων ..................................................................................... 67

Διατάξεις μέτρησης θορύβου..................................................................................................... 67 Διατάξεις μέτρησης δονήσεων ................................................................................................... 68

ΈΛΕΓΧΟΣ ΘΟΡΥΒΟΥ, ΚΡΑΔΑΣΜΩΝ ΚΑΙ ΔΟΝΗΣΕΩΝ ........................................... 69

Γενικά – Μέθοδοι περιορισμού θορύβου, κραδασμών και δονήσεων ........................................ 69 Μονωτές ταλαντώσεων ....................................................................................................................... 70 Υλικά απόσβεσης ................................................................................................................................ 74 Περιορισμοί και προδιαγραφές στάθμης επιτρεπόμενων θορύβων και δονήσεων.................... 74

DIN 4025..................................................................................................................................... 78 Reiher και Meister (1931).......................................................................................................... 79 Soliman (1963) ............................................................................................................................ 80 BS 6472 ........................................................................................................................................ 81

Εφαρμογές ελέγχου θορύβων και δονήσεων στον σιδηρόδρομο ................................................ 83

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΠΛΩΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΣΕ ΣΙΔΗΡΟΔΡΟΜΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ .................................................................... 89

Περιγραφή προσομοιώματος ........................................................................................................... 89 Παράμετροι προσομοίωσης – χαρακτηριστικά υλικών ................................................................ 89 Αποτελέσματα επιλύσεων προσομοιωμάτων .................................................................................. 93 Συμπεράσματα.................................................................................................................................. 106

ΑΝΑΦΟΡΕΣ ............................................................................................................................ 108

Βιβλιογραφία ..................................................................................................................................... 108 Ιστοσελίδες στο διαδίκτυο............................................................................................................... 110

5

Κ ε φ ά λ α ι ο 1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στην εργασία αυτή μελετάται ο εδαφομεταφερόμενος θόρυβος και οι δονήσεις που

προκαλούν οι διελεύσεις των τραίνων στην γύρω περιοχή. Στα πρώτα κεφάλαια γίνονται

περιληπτικές αναφορές στην θεωρία των κυμάτων, της ακουστικής και των ταλαντώσεων,

δίνοντας περισσότερη βαρύτητα σε θέματα που αφορούν τον εδαφομεταφερόμενο θόρυβο.

Στο κεφάλαιο 2 διατυπώνεται θεωρητικά η ομογενής ακουστική εξίσωση κύματος και δίνονται

λύσεις της για διάδοση ήχου σε μη περιορισμένα μέσα. Σε μέσα διάδοσης με περιορισμένα

όρια, τα κύματα ανακλώνται και διαχέονται, δημιουργώντας στάσιμα κύματα σε διάφορες,

συγκεκριμένες συχνότητες (ιδιοσυχνότητες) Η διάδοση του ήχου σε στερεά είναι πρόβλημα

κατά πολύ πιο δύσκολο από την διάδοση σε ρευστό (π.χ. ατμόσφαιρα) εξαιτίας των

διατμητικών τάσεων που μπορούν να αναπτυχθούν μέσα στο στερεό σώμα. Γίνεται αναφορά

στους συνηθέστερους τύπους κύματος που συναντούμε στα στερεά και στο πως διαφεύγουν

από το στερεό στον περιβάλλοντα χώρο. Εάν το κύμα που φτάνει στον δέκτη είναι εντός του

ακουστικού φάσματος (20Hz - 18000 Hz) τότε έχουμε φαινόμενο ανάπτυξης δομογενή

θορύβου.

Στο κεφάλαιο 3 γίνεται εκτεταμένη ανάλυση του μονοβάθμιου ταλαντωτή για ελεύθερη και

εξαναγκασμένη (αρμονική, περιοδική, μη περιοδική, τυχαία) ταλάντωση. Μεγάλη σημασία

στην μείωση του θορύβου και των δονήσεων έχει η απώλεια ενέργειας μέσω της απόσβεσης

και είναι αλήθεια πως δεν μπορούμε να προσομοιώσουμε με απόλυτη ακρίβεια το φαινόμενο

αυτό. Για την απόσβεση γίνεται αναφορά σε πολλά σημεία της εργασίας, είτε ως σύνθετη

αντίσταση στην διάδοση ήχου, είτε ως παράγοντας μείωσης πλάτους ταλάντωσης κ.α. Ως επί

το πλείστον, η ανάλυση γίνεται με το μοντέλο της ιξώδους απόσβεσης (δύναμη απόσβεσης

ανάλογη της ταχύτητας).

6

Το κεφάλαιο 4 ασχολείται με την μέτρηση του ήχου και των δονήσεων. Γίνεται επεξήγηση της

κλίμακας decibel και τα πλεονεκτήματα που αυτή προσφέρει κατά την ανάλυση σε ζώνες

συχνοτήτων μιας οκτάβας και 1/3 της οκτάβας. Εν συνεχεία παρουσιάζονται τα διάφορα

όργανα και μηχανήματα που έχουμε στην διάθεσή μας για μέτρηση του θορύβου

(μικρόφωνα) και των δονήσεων (επιταχυνσιόμετρα κ.α.)

Στο κεφάλαιο 5 παρουσιάζονται τρόποι και μέθοδοι ελέγχου του θορύβου και των δονήσεων,

τομέας της επιστήμης του μηχανικού ο οποίος αναπτύσσεται τελευταία ταχύτατα, λόγω των

βελτιώσεων που υπόσχεται στην ποιότητα ζωής των κατοίκων των αστικών περιοχών κυρίως.

Αναφέρονται επίσης διάφορες προδιαγραφές ανεκτών ορίων στάθμης θορύβου και δονήσεων,

αποτελέσματα επιστημονικών μελετών από ποικίλους ερευνητές. Στο τέλος του κεφαλαίου

αναφέρονται εφαρμογές του ελέγχου θορύβου και δονήσεων στον σιδηρόδρομο.

Στο κεφάλαιο 6 διερευνάται η αποτελεσματικότητα της εφαρμογής πλωτής πλάκας έδρασης

σιδηροδρομικής γραμμής για τον περιορισμό του εδαφομεταφερόμενου θορύβου.

Περιγράφονται τα προσομοιώματα πεπερασμένων στοιχείων που χρησιμοποιήθηκαν και η

όλη διαδικασία της ανάλυσης. Παρουσιάζονται τα αποτελέσματα από την σύγκριση του

προσομοιώματος χωρίς καμία αντικραδασμική προστασία με το μοντέλο της πλωτής πλάκας

και στην συνέχεια ακολουθούν τα πορίσματα και τα συμπεράσματα που προκύπτουν από

αυτήν την σύγκριση, βάσει ορισμένων προδιαγραφών που θα πρέπει να πληρεί το σύστημα της

πλωτής πλάκας.

7

Κ ε φ ά λ α ι ο 2

ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Βασικές έννοιες κυματικής θεωρίας

Η κυματική κίνηση μπορεί να περιγραφεί ως ένα φαινόμενο κατά το οποίο ένα διαταραγμένο

σωματίδιο μεταδίδει την διαταραχή του στα γειτονικά του σωματίδια. Μετά την σύγκρουση τα

σωματίδια ταλαντώνονται γύρω από την θέση ισορροπίας τους χωρίς να κινούνται προς μια

συγκεκριμένη κατεύθυνση, δηλαδή δεν υπάρχει καθαρή μεταφορά σωματιδίων στο μέσο, σε

αντίθεση με την διαταραχή, η οποία διαδίδεται με ταχύτητα εξαρτώμενη κυρίως από

παραμέτρους και χαρακτηριστικά του μέσου. Στα στερεά η ενέργεια μπορεί να αποθηκεύεται

και σε διάτμηση και σε εφελκυσμό-θλίψη παρέχοντας έτσι διάφορους τύπους κυμάτων, όπως

διαμήκη κύματα, καμπτικά κύματα, διατμητικά κύματα και στρεπτικά κύματα. Στα ρευστά,

από την άλλη, η ενέργεια μπορεί να αποθηκευτεί μόνο με πύκνωση - αραίωση.

Στην διάδοση των κυμάτων υπάρχουν δύο ταχύτητες που σχετίζονται με κάθε αρμονικό κύμα:

1) η ταχύτητα με την οποία μεταδίδεται το κύμα στο μέσο διάδοσης και 2) η ταχύτητα της

ταλαντευόμενης μάζας του κάθε σωματιδίου. Στην εικόνα 2.1 παρουσιάζονται οι δύο αυτές

ταχύτητες σε διαμήκη και εγκάρσια (διατμητικά) κύματα.

8

Εικόνα 2.1, μορφές κύματος

Οποιοδήποτε κύμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια συνάρτηση χρόνου και χώρου. Στα

αρμονικά κύματα οι χρονικές μεταβολές του κύματος εκφράζονται από την κυκλική

συχνότητα ω, η οποία εκφράζει την διαφορά φάσης στην μονάδα του χρόνου.

Τ= /2πω (2.1)

όπου Τ η περίοδος του κύματος.

9

Εικόνα 2.2, χρονική μεταβολή του πλάτους ταλάντωσης ενός συγκεκριμένου σωματιδίου

Οι χωρικές μεταβολές εκφράζονται από τον αριθμό κύματος k

ck /ω= (2.2)

όπου c είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

Εικόνα 2.3, μορφή κύματος σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή

10

Ακόμα μια χρήσιμη παράμετρος είναι το μήκος κύματος, λ, το οποίο στα αρμονικά κύματα

εκφράζει την χωρική περίοδο του κύματος, σε πόση δηλαδή απόσταση από ένα σημείο η

μορφή του κύματος επαναλαμβάνεται η ίδια, και συνδέεται με τον αριθμό κύματος βάσει της

σχέσης

λπ /2=k (2.3)

Εάν η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, c, ενός οποιαδήποτε κύματος είναι σταθερή για

συγκεκριμένο μέσο διάδοσης –μη διασκορπισμένο κύμα-, τότε η σχέση ω - k είναι γραμμική

και η μορφή του κύματος δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. Αντίθετα, όταν η ταχύτητα

διάδοσης δεν είναι σταθερή η μορφή του κύματος αλλάζει –διασκορπισμένο κύμα-, όπως π.χ.

ο συνδυασμός πολλών αρμονικών κυμάτων με διαφορετικές συχνότητες και διαφορετικές

ταχύτητες διάδοσης. Η σχέση ω - k είναι πολύ σημαντική και ιδιαιτέρως η κλίση της, η οποία

ονομάζεται ταχύτητα ομάδας

kcg ∂

∂=

ω

Η παράμετρος αυτή ποσοτικοποιεί την ενέργεια η οποία μεταφέρεται από ένα κύμα και έχει

μεγάλη φυσική σημασία. Κλασσικά παραδείγματα κυμάτων που δεν αλλάζουν μορφή με τον

χρόνο είναι τα επίπεδα ηχητικά κύματα και τα διαμήκη κύματα σε στερεά, ενώ στην άλλη

κατηγορία κλασσικότερο παράδειγμα είναι τα καμπτικά κύματα. Όταν η σχέση ω – k δύο

κυμάτων συμπίπτει τότε έχουν την ίδια συχνότητα, τον ίδιο αριθμό κύματος, το ίδιο μήκος

κύματος και την ίδια ταχύτητα (εικόνα 2.4). Αυτή η κατάσταση, ο συντονισμός, διευκολύνει

την αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο αυτών κυμάτων.

11

Εικόνα 2.4, σχέση ω - k διασκορπισμένων και μη διασκορπισμένων κυμάτων

Γένεση και διάδοση του ήχου

Ο ήχος είναι ένα κύμα πίεσης που διαδίδεται μέσα από ένα ελαστικό μέσο με μια

χαρακτηριστική ταχύτητα. Για να υπάρξει μετάδοση κύματος πρέπει το μέσο να έχει

αδράνεια. Δύο είναι οι βασικοί μηχανισμοί παραγωγής ήχων, οι κραδασμοί στερεών σωμάτων

–δομόφερτος ήχος- και οι μεταβολές της πίεσης που προκαλούνται από τυρβώδεις και ασταθείς

ροές ρευστών -αεροδυναμικός ήχος-.

Ο δομόφερτος ήχος καταλήγει στον δέκτη μέσω ενός ρευστού, συνήθως του αέρα. Το ρευστό

αυτό έχει μηδενική μέση χωρική ταχύτητα καθώς οι πηγές που προκαλούν τον ήχο είναι

εξωτερικές αυτού και η ανάλυση του προβλήματος μπορεί να γίνει σύμφωνα με την κλασσική

θεωρία της ακουστικής –ανάλυση της ομογενούς εξίσωσης κύματος. Αντίθετα, στον

αεροδυναμικό ήχο, οι πηγές ήχου εμπεριέχονται μέσα στο ρευστό καθώς συνεχώς

δημιουργούνται και μεταφέρονται μαζί με την ροή. Σε αυτές τις περιπτώσεις η κυματική

εξίσωση είναι μη-ομογενής.

Στα προβλήματα που αφορούν τον περιορισμό του θορύβου και των κραδασμών η ομογενής

εξίσωση κύματος αρκεί για να περιγράψει το κυματικό πεδίο και την επακόλουθη εκπομπή

θορύβου. Τα προβλήματα αυτά περιλαμβάνουν (i) μια πηγή, (ii) μια διαδρομή και (iii) έναν

δέκτη. Υπάρχει διαρκής αλληλεπίδραση μεταξύ των τριών και γενικά υπάρχουν πολλές πιθανές

12

διαδρομές της ακουστικής ενέργειας. Περιορισμός του θορύβου μπορεί να εφαρμοσθεί και

στα τρία στάδια, με κατάλληλες μεθόδους κάθε φορά.

Ένα καλό βιομηχανικό παράδειγμα που συμπεριλαμβάνει και τους δύο μηχανισμούς γένεσης

θορύβου είναι η μεγάλης ταχύτητας ροή αερίου σε αγωγό. Εντός του αγωγού υπάρχουν

μεταβολές πίεσης λόγω τύρβης, ασυνέχειες της ροής και στρόβιλοι που μεταφέρονται

κατάντη. Αποτέλεσμα αυτών των διακυμάνσεων πίεσης είναι η παραγωγή ενός εσωτερικού της

ροής θορύβου, ο οποίος είναι αεροδυναμικός από την φύση του. Ο θόρυβος αυτός διεγείρει

τον αγωγό εσωτερικά και αναπόφευκτα η παλλόμενη κατασκευή ακτινοβολεί θόρυβο στον

περιβάλλοντα χώρο.

Άλλο παράδειγμα μετάδοσης ήχου είναι οι δονήσεις που προκαλούνται από την λειτουργία

ενός ανελκυστήρα σε ένα κτίριο, εάν αυτός δεν έχει κατάλληλα απομονωθεί. Σε τέτοιες

περιπτώσεις, οι δονήσεις μεταδίδονται μέσω του σκελετού του κτιρίου. Από την άλλη μεριά,

καθαρά αεροδυναμικό ήχο παράγει η τυρβώδης ροή στην περιοχή μίξης κατά την έξοδο

πεπιεσμένου αέρα από ακροφύσιο. Το φαινόμενο αυτό δεν μπορεί να περιγραφεί από την

ομογενή εξίσωση κύματος.

Η αντιμετώπιση προβλημάτων ακουστικής μπορεί να γίνει με τρεις τρόπους:

• κυματική ακουστική, όπου περιγράφεται η διάδοση του κύματος με προσομοιώματα σε επίπεδο μορίων ή –κατά το μεγαλύτερο ποσοστό- σε επίπεδο σωματιδίων, μικρού όγκου ρευστού στον οποίο η πίεση, η θερμοκρασία και άλλες μεταβλητές θεωρούνται σταθερές.

• ακτινική ακουστική, όπου αναλύεται η διάδοση ακουστικού κύματος σε μεγάλες αποστάσεις όπως π.χ. στην ατμόσφαιρα.

• ενεργειακή ακουστική, όπου μελετάται η μεταφορά ενέργειας μέσω του ήχου και βασίζεται σε διάφορες στατιστικές παραμέτρους. Οι μέθοδοι αυτού του τύπου που ονομάζονται S.E.A. –Statistical Energy Analysis- παρέχουν ένα αξιόλογο εργαλείο για γρήγορη αποτίμηση τον επιπτώσεων του θορύβου στις κατασκευές.

Τα ηχητικά κύματα σε μη-συνεκτικά ρευστά είναι αποκλειστικά διαμήκη κύματα με

διαδοχικές περιοχές πύκνωσης και αραίωσης, όπου η ταχύτητα των σωματιδίων έχει την ίδια

κατεύθυνση με την ταχύτητα του κύματος. Τέσσερις μεταβλητές έχουν άμεση σχέση με την

μελέτη των ηχητικών κυμάτων: η πίεση P, η ταχύτητα U, η πυκνότητα ρ και η θερμοκρασία

T. Κάθε μια από αυτές έχει ένα μέσο, χρονικά αμετάβλητο και ένα χρονικά μεταβαλλόμενο

μέρος:

13

( ) ( ) ( )txpxPtxP ,, 0 += (2.4)

( ) ( ) ( )txuxUtxU ,, 0 += (2.5)

( ) ( ) ( )tx΄xtx ,, 0 ρρρ += (2.6)

( ) ( ) ( )txT΄xTtxT ,, 0 += (2.7)

Μετάδοση κυμάτων σε στερεά σώματα

Για την διάδοση των κυμάτων στα στερεά, μπορούν να γίνουν οι εξής παραδοχές:

• Το ρευστό είναι ιδανικό αέριο. • Το ρευστό είναι τελείως ελαστικό –ισχύει ο νόμος του Hooke. • Το ρευστό είναι ομογενές και ισότροπο. • Το ρευστό είναι μη-συνεκτικό –απόσβεση και μεταφορά θερμότητας αμελούνται. • Η διάδοση του κύματος δια του ρευστού μέσου είναι αδιαβατική και αντιστρέψιμη

διαδικασία. • Αγνοείται η επίδραση της βαρύτητας. • Οι διακυμάνσεις θεωρείται ότι είναι μικρές –το σύστημα συμπεριφέρεται γραμμικά.

Τα πρωτογενή είδη κυμάτων που αναπτύσσονται σε ένα ελαστικό σώμα είναι δύο, τα διαμήκη

και τα εγκάρσια (διατμητικά) κύματα. Η ταχύτητα μετάδοσης εξαρτάται αποκλειστικά από το

μέσο και ισούται με ρEVl = για τα διαμήκη και ρ

GVt = για τα εγκάρσια, όπου E το

μέτρο ελαστικότητας, G το μέτρο διάτμησης και ρ η πυκνότητα του ελαστικού μέσου.

Η ύπαρξη όμως συνόρων και ασυνεχειών στο μέσο προκαλεί συνοριακές συνθήκες

ασυμβίβαστες με την ένταση και παραμόρφωση που επιβάλλουν τα δύο πρωτογενή είδη

κυμάτων. Αυτό έχει συνέπεια την εμφάνιση δευτερευόντων κυμάτων για την ικανοποίηση

συνοριακών συνθηκών και καθιστά την μετάδοση των κυμάτων σε στερεά σώματα πολύ

σύνθετη. Υπάρχουν πολλά είδη κυμάτων με διαφορετικά χαρακτηριστικά το καθένα. Μερικά

από αυτά είναι:

14

Καθαρά διαμήκη κύματα: τέτοιου είδους κύματα έχουν σωματιδιακές ταχύτητες μόνο στην

κατεύθυνση της μετάδοσης του κύματος και γενικά συμβαίνουν σε μεγάλους στερεούς όγκους.

Τέτοια είναι και τα σεισμικά κύματα.

Ημιδιαμήκη κύματα: κύματα που διατηρούν τις σωματιδιακές του ταχύτητες, η κατεύθυνση των

οποίων δεν είναι όμως αυτή της μετάδοσης του κύματος.

Εγκάρσια επίπεδα κύματα: τέτοιοι τύποι κυμάτων υπάρχουν σε στερεά σώματα εξαιτίας της

παρουσίας διατμητικών τάσεων

Στρεπτικά κύματα: τα κύματα αυτά προκαλούνται όταν κατασκευές όπως τα δοκάρια

καταπονούνται με στρεπτικές ροπές. Η ταχύτητα του κύματος είναι πανομοιότυπη με αυτή

του εγκάρσιου κύματος.

Καθαρά καμπτικά κύματα: τέτοιου είδους κύματα παρουσιάζονται όταν το μήκος κύματος είναι

πολύ μεγάλο σε σχέση με τις διαστάσεις των διατομών.

Διορθωμένα καμπτικά κύματα: σε αυτόν τον τύπο κύματος λαμβάνονται υπόψη η στροφική

αδράνεια και η διατμητική παραμόρφωση.

Κύματα rayleigh: τέτοιου είδους κύματα εμφανίζονται σε υψηλές συχνότητες και σε μεγάλες,

παχιές κατασκευές. Είναι επιφανειακά κύματα, των οποίων το πλάτος μειώνεται κάτω από την

επιφάνεια. Οι ταχύτητά τους βρίσκεται στα ίδια επίπεδα με τα εγκάρσια κύματα.

Από τα παραπάνω, μόνο δύο τύποι παίζουν σημαντικό ρόλο στον θόρυβο και τις δονήσεις, τα

ημιδιαμήκη και τα καθαρά καμπτικά κύματα. Τα ημιδιαμήκη κύματα έχουν πολύ μεγάλες

ταχύτητες μετάδοσης, ενώ στα καμπτικά κύματα η ταχύτητα είναι αισθητά μικρότερη,

εξαρτάται όμως από την συχνότητα. Επιτυγχάνεται πολύ εύκολα ανταλλαγή ενέργειας με

παρακείμενα ρευστά, πράγμα που προκαλεί εκπομπή ήχου.

15

Ομογενής ακουστική εξίσωση κύματος

Για να αναπτύξουμε την ακουστική εξίσωση κύματος, χρειάζονται σχέσεις που συνδέουν τις

διάφορες ακουστικές μεταβλητές και τις αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στις δυνάμεις επαναφοράς

και τις παραμορφώσεις των ρευστών. Οι τρεις αυτές σχέσεις είναι η εξίσωση συνέχειας, η αρχή

διατήρηση της ορμής και η θερμοδυναμική καταστατική εξίσωση.

Διατήρηση της μάζας – Εξίσωση συνέχειας

Η εξίσωση διατήρησης της μάζας παρέχει μια σχέση μεταξύ της πυκνότητας ρ και της

σωματιδιακής ταχύτητας u, σχετίζει δηλαδή την κίνηση του ρευστού με την συμπίεσή του.

Για ροή κατά την x διεύθυνση μόνο είναι:

η μάζα του στοιχείου, ρ A dx η εισερχόμενη μάζα επί την ταχύτητα στον στοιχειώδη όγκο είναι (ρ u A )x η εξερχόμενη μάζα επί την ταχύτητα στον στοιχειώδη όγκο είναι (ρ u A )x+dx

( ) ( ) ( ) ( )0=

∂∂

+∂∂

⇒−=∂

∂+ x

ut

uAuAt

xρΑ xxxx

ρρρρ dd (2.8)

Η παραπάνω εξίσωση αναπαριστά την μονοδιάστατη εξίσωση διατήρησης της μάζας. Η

προέκταση της στις τρεις διαστάσεις ακολουθεί την ίδια διαδικασία οπότε προκύπτει η

παρακάτω έκφραση χρησιμοποιώντας τον τελεστή ∇

0=⋅∇+∂∂ u

tρρ (2.9)

Η εξίσωση (2.6) είναι μη γραμμική γιατί υπάρχουν όροι που περιλαμβάνουν γινόμενα δύο

μικρών διακυμαινόμενων μεταβλητών (ταχύτητα και πυκνότητα). Αντικαθιστώντας

( ) ( ) ( )tx΄txtx ,,, 0 ρρρ += στην εξίσωση (2.9) και αμελώντας τους δευτέρου και ανωτέρου

βαθμού όρους προκύπτει η γραμμικοποιημένη εξίσωση διατήρησης της μάζας

00 =⋅∇+∂∂ u

t΄ ρρ (2.10)

16

Διατήρησης της ορμής

Η εξίσωση της διατήρησης της ορμής παρέχει μια σχέση ανάμεσα στην πίεση, στην

πυκνότητα και στην σωματιδιακή ταχύτητα ενός ρευστού. Μπορεί να εξαχθεί είτε

παρατηρώντας την αρχή διατήρησης της ορμής σε έναν τυχαίο όγκο dV, είτε με απευθείας

εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα για στα σωματίδια τα οποία διέρχονται από τον

τυχαίο όγκο dV του ρευστού.

xP

xuρ

( ) xxPP x

x d∂∂

+

( ) xxuu x

x d∂

∂+

ρρ

zyxV ddddΌγκος =

zyA dddΔιατομή =

Εικόνα 2.5, δυνάμεις που επενεργούν σε ένα στοιχειώδη όγκο dV του μέσου

Για να διατηρείται η ορμή, πρέπει σε χρόνο dt ο ρυθμός μεταβολής της ορμής που

περιλαμβάνεται σε έναν καθορισμένο όγκο dV=dxdydz συν την διαφορά εισερχόμενης-

εξερχόμενης ορμής x ταχύτητα από τις επιφάνειες του όγκου να ισούται με την συνισταμένη

όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτόν.

( ) ( ) ( ) ( ) dxxxdxxxx PAPAAuAudAdxu ++ −=+− 22 ρρρ (2.11)

Αναπτύσσοντας σε σειρές Taylor τα ( ) dxxAu +2ρ και ( ) dxxPA + προκύπτει

0=∂∂

+∂∂

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

xP

xuu

xu

xu

tu

tu x

xx

xxx ρρρρρ , (2.12)

όπου ο όρος εντός των αγκύλων είναι το αριστερό μέλος της εξίσωση συνέχειας. Επομένως, η

εξίσωση απλοποιείται στην

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

xP

xuu

tu x

xx ρρ (2.13)

Στις τρεις διαστάσεις η αντίστοιχη εξίσωση είναι

17

( ) 0=∇+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇⋅+∂∂ Puu

tuρ (2.14)

Τώρα, όπως και με την εξίσωση συνέχειας, αγνοούμε όρους μεγαλύτερου ή ίσου του δεύτερου

βαθμού επειδή ελάχιστα επηρεάζουν την διάδοση του ήχου (για ένταση μικρότερη ~ 140

dB). Καταλήγουμε, λοιπόν, στην εξίσωση

00 =∇+∂∂ P

tuρ (2.15)

που αποτελεί την γραμμικοποιημένη εξίσωση διατήρηση της ορμής σε μη-συνεκτικά ρευστά.

Θερμοδυναμική καταστατική εξίσωση

Η θερμοδυναμική καταστατική εξίσωση σχετίζει την πίεση, την πυκνότητα και την απόλυτη

θερμοκρασία ενός ρευστού. Για ένα ιδανικό ρευστό είναι

kRTP ρ= (2.16)

όπου P είναι η απόλυτη πίεση, ρ είναι η πυκνότητα του αερίου, R είναι η σταθερά του αερίου

και Tk είναι η απόλυτη θερμοκρασία. Η παγκόσμια σταθερά των αερίων G ισούται με R M

όπου M είναι το μοριακό βάρος του εκάστοτε αερίου.

Η διάδοση του ήχου στον αέρα δεν παράγει γενικά σημαντικές αλλαγές στην θερμική ενέργεια

μεταξύ των σωματιδίων και η εντροπία του αερίου παραμένει σταθερή. Επιπλέον, η θερμική

αγωγιμότητα είναι πολύ μικρή. Η διάδοση των ηχητικών κυμάτων μπορεί λοιπόν να θεωρηθεί

σχεδόν αδιαβατική. Ο ισχυρισμός αυτός είναι έγκυρος για μικρού πλάτους ηχητικά κύματα

εντός του ακουστικού φάσματος συχνοτήτων. Η αδιαβατική καταστατική εξίσωση ενός

ιδανικού αερίου είναι

γ

ρρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00PP , (2.17)

όπου γ είναι ο λόγος των ειδικών θερμοχωρητικοτήτων.

Για μη ιδανικά αέρια, μια αδιαβατική καταστατική εξίσωση μπορεί να εξαχθεί από το

ανάπτυγμα σε σειρά Taylor μιας ισεντροπικής σχέσης που καθορίζεται πειραματικά ανάμεσα

18

στις μεταβολές της πίεσης και της πυκνότητας. Προϋποθέτοντας ότι οι μεταβολές αυτές είναι

μικρές μπορεί να καθιερωθεί μια γραμμική σχέση μεταξύ τους

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

,ρρ΄Btxp (2.18)

όπου το Β ονομάζεται αδιαβατικό ολικό μέτρο (ο αντίστροφος της συμπιεστότητας) και

ορίζεται ως

0

0ρρ

ρ∂∂

=PB (2.19)

Η μερική παράγωγος στην σχέση (2.19) υπολογίζεται για μια αδιαβατική διαδικασία. Ορίζει,

δηλαδή, την αδιαβατική πύκνωση και αραίωση του όγκου του αερίου γύρω από την μέση

πυκνότητα.

Η γραμμικοποιημένη εξίσωση ακουστικού κύματος

Οι εξισώσεις (2.10) – διατήρηση μάζας, (2.15) – διατήρηση ορμής και (2.18)-(2.19) μπορούν

να συνθέσουν μια νέα εξίσωση με μια μόνο εξαρτημένη μεταβλητή. Στην θεωρία της

ακουστικής η μεταβλητή αυτή είναι η μεταβολή της πίεσης.

Η χρονική παράγωγος της εξίσωσης διατήρησης μάζας είναι

( ) 00 02

2

02

2

=∂∂

∇+∂∂

⇔=∂⋅∇∂

+∂∂

tu

t΄

tu

t΄ ρρρρ (2.20)

Η απόκλιση της εξίσωσης διατήρησης ορμής είναι

020 =∇+

∂∂⋅∇ p

tuρ (2.21)

Αφαιρώντας κατά μέλη την εξίσωση (2.21) από την (2.20) προκύπτει

2

22

t΄p

∂∂

=∇ρ (2.22)

19

Τέλος, αντικαθιστώντας στην προηγούμενη σχέση την εξίσωση (2.18)

2

2

22

202 1

tp

ctp

Bp

∂∂

=∂∂

=∇ρ

(2.23)

Η εξίσωση (2.23) αποτελεί την γραμμικοποιημένη, ομογενή εξίσωση ακουστικού κύματος με

την μεταβολή της πίεσης, ( )txp , ως μεταβλητή. Η σταθερά c είναι η ταχύτητα μετάδοσης

του κύματος δηλαδή η ταχύτητα του ήχου

2/12/1

0 0⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρρρPBc (2.24)

Κάποιες χρήσιμες προσεγγίσεις μπορούν να γίνουν σε σχέση με την ταχύτητα του ήχου

υποθέτοντας ότι η διάδοση του ήχου γίνεται σε ιδανικό αέριο. Από την εξίσωση (2.17) είναι

ργ

ρργ

γ PtPP

P =∂∂

⇒=0

0 (2.25)

Συνεπώς, η ταχύτητα του ήχου ισούται με 2/1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ργPc (2.26)

Επίσης, βάσει της εξίσωσης (2.16) η παραπάνω εξίσωση μετασχηματίζεται στην

( ) 2/1kRTc γ= και για μικρές μεταβολές

2/1

0

00 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈≈

ργP

cc , (2.27), (2.28)

όπου Tk είναι η απόλυτη θερμοκρασία σε Kelvin και c0 είναι η ταχύτητα του ήχου σε

ατμοσφαιρικές συνθήκες. Η σταθερά του αερίου για τον αέρα είναι 0.287 kj kg –1 K –1. Οι

τελευταίες εξισώσεις επιδεικνύουν ότι η ταχύτητα του ήχου είναι σταθερή για συγκεκριμένη

πίεση και μέσο μεταφοράς.

Δυναμικό ακουστικής ταχύτητας

Από την συστροφή της εξίσωση διατήρησης της ορμής (2.15) προκύπτει ότι:

20

( ) ( ) 00 =∇×∇+∂×∇∂ pt

uρ και ( ) 00 =×∇⇒=∂×∇∂ ut

u =0 (2.29), (2.30)

αφού η πίεση, p, είναι βαθμωτή ποσότητα και η σταθερά που σχετίζεται με την χρονική

ολοκλήρωση είναι μηδέν, καθώς όταν δεν υπάρχει ακουστική διατάραξη οι ακουστικές

μεταβλητές μηδενίζονται. Από την τελευταία εξίσωση προκύπτει, λοιπόν, ότι η ακουστική

σωματιδιακή ταχύτητα είναι αστρόβιλη. Συνεπώς μπορεί να εκφρασθεί ως η κλίση μιας

βαθμωτής συνάρτησης, την οποία καλούμε δυναμικό ακουστικής ταχύτητας φ και ορίζεται

από την σχέση

φu ∇= (2.31)

Η φυσική ερμηνεία του παραπάνω σημαντικού αποτελέσματος είναι ότι μη-συνεκτικά ρευστά

δεν προκαλούν στροβίλους και τύρβη. Στην πραγματικότητα όμως τέτοια φαινόμενα

παρατηρούνται, ιδιαίτερα στην περιοχή των συνόρων, καθώς η συνεκτικότητα δεν μπορεί

εντελώς να αγνοηθεί, μολονότι συνήθως δεν επηρεάζεται η διάδοση του ήχου. Αρκεί να

υποθέτουμε ότι όταν η μέση τιμή της πίεσης του ρευστού είναι χρονικά αμετάβλητη, η ροή

είναι αστρόβιλη.

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της ορμής (2.15) προκύπτει

00 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

∇ ptφρ (2.32)

και επειδή όταν δεν υπάρχει ακουστική διατάραξη οι ακουστικές μεταβλητές μηδενίζονται,

ολοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση προκύπτει

tp

∂∂

−=φρ0 (2.33)

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση κύματος (2.20) προκύπτει:

2

2

22

3

3

22 11

tctct ∂∂

=∇⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∇φφφφ (2.34)

21

Δηλαδή και το δυναμικό ακουστικής ταχύτητας φ ικανοποιεί την εξίσωση κύματος. Η εξίσωση

αυτή χρησιμοποιείται συχνά στην δυναμική των ρευστών όπου συνήθως αναζητούνται λύσεις

της σωματιδιακής ταχύτητας, καθώς το δυναμικό αποτελεί βαθμωτό μέγεθος ενώ η

σωματιδιακή ταχύτητα έχει τρεις συνιστώσες. Στην ακουστική όμως χρησιμοποιείται

περισσότερο η πίεση, η οποία είναι και αυτή βαθμωτό μέγεθος. Οι δύο μεταβλητές

συνδέονται με την σχέση

∫ ∇−=∇= tpu d1

0ρφ (2.35)

Διάδοση επίπεδων ηχητικών κυμάτων

Ένα επίπεδο ηχητικό κύμα το οποίο διαδίδεται στην κατεύθυνση x διέπεται από την

μονοδιάστατη ομογενή κυματική εξίσωση

2

2

22

2 1tp

cxp

∂∂

=∂∂ , όπου ( )txpp ,= (2.36)

Η γενική λύση αυτής της εξίσωσης περιλαμβάνει κύματα που κινούνται και προς τα θετικά και

προς τα αρνητικά του άξονα x και έχει μορφή

( ) ( ) ( )kxωtkxωttx +− += ii ee, 21 AAp (2.37)

η μιγαδική σωματιδιακή ταχύτητα και το μιγαδικό της δυναμικό προκύπτουν αντικαθιστώντας

την παραπάνω λύση στις εξισώσεις (2.38) και (2.39)

( ) ( ) ( ) icc

tx kxωtkxωt⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= +− i

0

i

0

ee,ρρ

21 AAu (2.38)

( ) ( ) ( )kxωtkxωttx +− −−= i

0

i

0

ei

ei

,ωρωρ21 AAφ (2.39)

Οι τελευταίες εξισώσεις δείχνουν εμφανώς ότι σε ένα επίπεδο αρμονικό κύμα η διακύμανση

της πίεσης σε οποιοδήποτε σημείο ρευστού είναι σε φάση με την σωματιδιακή ταχύτητα στο

22

ίδιο σημείο. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η ειδική ακουστική αντίσταση –αναλύεται παρακάτω

στο παρόν κεφάλαιο- να έχει μόνο πραγματικό μέρος.

( )( ) c

txtx

0,, ρ±==

upza (2.40)

Γενικά η ειδική ακουστική αντίσταση είναι μιγαδική ποσότητα. Για τύπους κυμάτων πέρα από

τα επίπεδα ηχητικά κύματα, η διακύμανση της πίεσης και η σωματιδιακή ταχύτητα δεν είναι

πάντα σε φάση με αποτέλεσμα τα κύματα να αποκλίνουν. Η ποσότητα ρ0 c καλείται και

χαρακτηριστική αντίσταση του μέσου. Για τον αέρα σε 20 oC και 1 atm., ρ0 = ~1.21 kg m-3, c

= ~343 m s-1 και ρ0 c = 415 Pa s m-1.

Ηχητική ένταση, ενεργειακή πυκνότητα και ηχητική ισχύς.

Η ηχητική ένταση είναι ο λόγος της ροής ενέργειας μέσα από μια μοναδιαία επιφάνεια, η

οποία είναι κάθετη στην κατεύθυνση της διάδοσης. Όπως και στην δυναμική, όπου ισχύς =

δύναμη x ταχύτητα, έτσι και στην ακουστική ορίζεται η στιγμιαία ηχητική ένταση, Ι΄,

up΄I = (2.41)

Η χρονική μέση τιμή της στιγμιαίας ενεργειακής ροής από μια μοναδιαία επιφάνεια είναι η

μέση ηχητική ένταση:

( )*upRe21d1

0== ∫

Ttup

TI (2.42)

Για ένα επίπεδο κύμα που κινείται προς τα θετικά του άξονα x είναι

( ) ( )( ) ( )kxtptxp kxt −== − ωω cosˆeRe, (i1A

και (2.43)

( ) ( ) ( )kxtcρ

pcρ

txu kxt −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= − ωω cos

ˆeRe,

0

(i

0

1A

23

Η μέση ηχητική ένταση λαμβάνεται από την αντικατάσταση των παραπάνω δύο εξισώσεων

στην εξίσωση (2.42) και υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα.

cp

cpI

0

2rms

0

2

2ˆ

ρρ== (2.44)

Η ηχητική ενεργειακή πυκνότητα είναι η ηχητική ένταση ανά μοναδιαίο όγκο. Η ενέργεια που

μεταφέρεται από ένα ηχητικό κύμα αποτελείται από κινητική ενέργεια των κινούμενων

σωματιδίων και δυναμική ενέργεια του συμπιεσμένου ρευστού. Χρησιμοποιώντας την

προσέγγιση του επίπεδου κύματος, μπορούμε να βρούμε μια απλή σχέση για την ηχητική

ενεργειακή πυκνότητα. Η σχέση αυτή ισχύει με καλή προσέγγιση σε όλες γενικά τις

περιπτώσεις, καθώς, σε μεγάλες αποστάσεις από την πηγή παραγωγής θορύβου, σχεδόν όλα

τα ηχητικά κύματα τείνουν προς το μονοδιάστατο επίπεδο κύμα.

Η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου ενός ρευστού με αρχικό, αδιατάρακτο όγκο V0 είναι

02

22

00 22

1ρ

ρcpu

VT

== (2.45)

ενώ η δυναμική ενέργεια για μια μεταβολή του όγκου από V0 σε V1

∫−=1

0

dV

VVpU , (2.46)

όπου το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι μια θετική διαφορά ακουστικής πίεσης προκαλεί

μείωση στον ρευστό όγκο. Επίσης,

VVm

Vm dd 2−=⇒= ρρ (2.47)

και σε συνδυασμό με την εξίσωση (2.25) προκύπτει

PP

VVPP

VV dddd0

0

γγ−=⇒−= , για μικρές μεταβολές P και V (2.48)

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (2.47) και ολοκληρώνοντας, προκύπτει τελικά

24

02

2

0

2

0 22 ργ cp

Pp

VU

== (2.49)

Ακολούθως, η συνολική ηχητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου είναι το άθροισμα κινητικής και

δυναμικής ενέργειας ανά όγκο, όπως υπολογίσθηκαν στις σχέσεις (2.45) και (2.49)

20

2

00 cp

VU

VTD΄

ρ=+= (2.50)

Η μέση ηχητική ενεργειακή πυκνότητα λαμβάνεται ολοκληρώνοντας την παραπάνω εξίσωση

ως προς τον χρόνο

20

2rms

20

2

2ˆ

cp

cpD

ρρ== , επομένως

cID = (2.51)

Η διακύμανση της ακουστικής πίεσης και η ηχητική ένταση φθίνουν όσο αυξάνεται η

απόσταση από την πηγή ενώ εξαρτώνται και από το περιβάλλον, όταν υπάρχουν εμπόδια και

τοίχοι που προκαλούν αντηχήσεις. Η ηχητική ισχύς από την άλλη είναι ανεξάρτητη της

απόστασης και της τοποθεσίας, αν και φαινόμενα αντανακλάσεων ηχητικών κυμάτων

ορισμένες φορές πρέπει να προσμετρούνται. Η ηχητική ισχύς Π είναι το επιφανειακό

ολοκλήρωμα της έντασης σε επιφάνεια κάθετη στην ροή της ηχητικής ενέργειας.

∫=S

SIΠ d (2.52)

Διάδοση ήχου από ταλαντώσεις στερεών σωμάτων

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση κύματος (2.23) – (2.28) σε απειρομήκη πλάκα ή απειρομήκη

δοκό προκύπτει

tfcc LB 8.1= (2.53)

και

25

ftc

fc LB

B8.1

==λ (2.54)

όπου cΒ είναι η ταχύτητα του καμπτικού κύματος, λB το αντίστοιχο μήκος κύματος, t το

πάχος της πλάκας ή της δοκού, f η συχνότητα και cL η ταχύτητα του διαμήκους κύματος,

ρ/EcL = για την δοκό και ( )21/ vEcL −= ρ για την πλάκα, όπου ν ο λόγος Poisson.

Το πολύ σημαντικό αποτέλεσμα από τις παραπάνω σχέσεις είναι ότι η ταχύτητα διάδοσης του

καμπτικού κύματος εξαρτάται από την συχνότητα, όπως έχει ήδη αναφερθεί. Όσον αφορά την

εκπομπή ήχου, ο πιο σημαντικός παράγοντας είναι η σχέση του μήκους κύματος του

καμπτικού κύματος, λB, με το αντίστοιχο μήκος κύματος του προκύπτοντος επίπεδου

ακουστικού κύματος, λ, στην ίδια συχνότητα f.

28,1c

tfcL=Β

λλ (2.55)

Υπάρχει μεγάλη διαφορά στην μετάδοση του ήχου από την καμπτική ταλάντωση εάν ο λόγος

αυτός είναι μικρότερος ή μεγαλύτερος της μονάδας. Επειδή λΒ=λ όταν cB=c, η κρίσιμη

συχνότητα δίνεται από τον τύπο

tccf

Lc 8.1

2

= (2.56)

Το μέτωπο του επίπεδου ηχητικού κύματος το οποίο διαδίδεται στον ελεύθερο χώρο

σχηματίζει γωνία θ

θλλ sinΒ= (2.57)

και φαίνεται στο σχήμα της εικόνας 2.6. Θα πρέπει επίσης λΒ>λ για να μπορέσει να διαφύγει ο

ήχος το όριο της πλάκας ή της δοκού. Το πιο σημαντικό είναι ότι η κατεύθυνση και το πλάτος

του κύματος του περιβάλλοντος ρευστού εξαρτώνται από τον αριθμό κύματος kB του

καμπτικού κύματος στην πλάκα.

Μια αρμονικά δονούμενη απειρομήκης πλάκα προκαλεί αποκλειστικά επίπεδα ηχητικά

κύματα στον περιβάλλοντα χώρο και μόνο όταν kB<k, ενώ όταν kB>k διεγείρεται μια περιοχή

κοντά στην διεπιφάνεια, χωρίς μετάδοση ήχου στον ευρύτερο χώρο . Όταν kB=k τότε,

θεωρητικά, η διακύμανση της πίεσης του ρευστού τείνει στο άπειρο, κάτι το οποίο δεν

26

πρόκειται ποτέ να υπάρξει αφού όλες οι πραγματικές κατασκευές έχουν πεπερασμένες

διαστάσεις! Επίσης, οι συνοριακές συνθήκες των πραγματικών κατασκευών παράγουν στάσιμα

κύματα με συγκεκριμένες συχνότητες και μορφές ταλάντωσης, οι οποίες με την σειρά τους

παράγουν ηχητικά κύματα που αμβλύνουν το πλάτος του εκπεμπόμενου κύματος, το οποίο

παύει πλέον να είναι ένα επίπεδο ηχητικό κύμα. Όμως, αντίθετα με τις ταλαντώσεις

απειρομήκων πλακών, δοκών κ.λ.π., είναι δυνατόν να υπάρχει σημαντική εκπομπή ήχου και

στην περίπτωση όπου kB>k, εξαιτίας του συντονισμού της εξαναγκασμένης συχνότητας

ταλάντωσης με κάποια από της ιδιοσυχνότητες της κατασκευής.

Εικόνα 2.6, εκπομπή ηχητικού κύματος από καμπτικό κύμα σε απειρομήκη πλάκα

Μπορούμε, λοιπόν, να διαχωρίσουμε την εκπομπή του ήχου από καμπτικά κύματα εξαιτίας

κυμάτων που διαφεύγουν από την διεπιφάνεια κατασκευής-περιβάλλοντος ρευστού κατά την

διάδοση του κύματος και σε ηχητικές πηγές που προκαλούνται από τα στάσιμα κύματα των

ιδιοσυχνοτήτων με τις αντίστοιχες ιδιομορφές. Στις περισσότερες των περιπτώσεων η κύρια

κατηγορία είναι η δεύτερη. Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις υψηλών συχνοτήτων που δεν

διεγείρουν ιδιομορφές αλλά προκαλούν μεγάλη εκπομπή ήχου, επειδή η ικανότητα

παραγωγής ήχου από την καμπτική ταλάντωση αυξάνεται με την αύξηση της συχνότητας.

27

Ηχητική ενέργεια από στοιχειώδεις πηγές

Οι περισσότεροι ήχοι που θεωρούνται «θόρυβος» μπορούν να προσομοιωθούν ως απλές πηγές

ήχου ή συνδυασμός αυτών των εξιδανικευμένων ηχητικών πηγών. Οι πιο σημαντικές από αυτές

αναφέρονται παρακάτω όπου δίνεται και ο τύπος της ηχητικής ισχύος κάθε μιας.

Μονόπολο – ακτινοβολούσα σφαίρα

( )2

22

2ˆ

18 sM Qak

ckW+

=πρ (2.58)

Δίπολο – δύο πολύ κοντινά μονόπολα

Εξ ορισμού, δύο μονόπολα ίσης δύναμης συνιστούν ένα δίπολο όταν kd2<<1 και δονούνται

με διαφορά φάσης 180ο. Τα ηχητικά κύματα που εκπέμπει το δίπολο δεν είναι ομοιόμορφα

στο χώρο, έχουν κατευθυντικότητα. Είναι ελάχιστη – θεωρητικά μηδέν – στην μεσοκάθετο

του δίπολου και μέγιστη στις ευθείες με γωνία 45ο και 135ο από τον άξονα του.

224

ˆ12 sD QdckWπ

ρ= (2.59)

28

Τετράπολο – δύο πολύ κοντινά δίπολα

Εικόνα 2.7, διατάξεις και κατευθυντικότητα τετράπολων

246

ˆ15

4sQLat QdckW

πρ

= , πλευρικό τετράπολο (2.60)

246

ˆ5

4sQLong QdckW

πρ

= , διαμήκες τετράπολο (2.61)

Ταλαντευόμενη σφαίρα – αξονική παλινδρομική κίνηση σφαίρας

( )2

44

64

ˆ43

2 uakackWOS +

=πρ (2.62)

29

Παλινδρομικό έμβολο – αξονικά δονούμενο διάφραγμα σε απειρομήκη άκαμπτη πλάκα

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>>

<<=

1,ˆ2

1,ˆ4

22

22

kaQac

kaQck

WBP

πρπ

ρ

(2.63)

Στους παραπάνω τύπους είναι

συνθήκες κανονικέςσε αέρα τον για αερίου, αντίσταση τικήχαρακτηρισ

κύματος,αριθμός

μονοπόλων, μεταξύ απόστασηd εμβόλου, / σφαίρας υόμενης / ταλαντεσφαίρας ς παλλόμενηακτίνα

εμβόλου, / σφαίρας μένης ταλαντευομησης παλλινδρό ταχύτητας τιμήακραία σφαίρας, μένης ταλαντευοώςημιτονοειδ ταχύτητας τιμήακραία

strength, source

) (Ns/m mks raylsc

mcfk

mma

smusmu

smuπα Q

x

r

rs

3

1

32

406

,/2

/ˆ/ˆ

/,ˆ4ˆ

=

==

====

==

−

ρ

π

Μη ομογενής εξίσωση ακουστικού κύματος

Η συνήθης περίπτωση, όπως έχει ήδη αναφερθεί, είναι η αναζήτηση λύσεων του προβλήματος

διάδοσης του ήχου σε περιοχές οι οποίες δεν περιέχουν καμία πηγή ήχου. Ακόμα και αν η

πηγή έχει αεροδυναμική φύση, συχνά ενδιαφερόμαστε για περιοχές εξωτερικές του χώρου που

την περιλαμβάνει. Όλες οι παραπάνω εξισώσεις καλύπτονται από την κλασσική θεωρία της

ακουστικής και την ομογενή εξίσωση κύματος. Εάν όμως αναζητούμε συγκεκριμένες

πληροφορίες για την ίδια την περιοχή της πηγής του ήχου, πρέπει να καταφύγουμε στην μη-

ομογενή θεώρηση.

Η αναγνώριση της ηχητικής πηγής σε καταστάσεις τυρβώδους ροής είναι πολύ δυσχερής. Το

επιστημονικό πεδίο του αεροδυναμικού ήχου είναι σχετικά νέο και πολύπλοκο. Οι

περισσότερες εφαρμογές του είναι στην βιομηχανία των αεριωθούμενων αεροπλάνων.

Στις αρχές της δεκαετίας του ’50 ο Lighthill αναμόρφωσε την εξίσωση κίνησης των ρευστών

ώστε να συμπεριλάβει τις συναρτήσεις ηχητικών πηγών που καθοδηγούν το ηχητικό κυματικό

30

πεδίο. Ο διαδιδόμενος ήχος, λοιπόν, εκτιμάται για στρωτή, ομοιόμορφη ροή με μηδενική

μέση ταχύτητα καθώς όλες οι επιρροές, τύρβη κ.λ.π. εμπεριέχονται στην συνάρτηση ηχητικών

πηγών στο δεξιό μέλος της εξίσωσης. Η «ακουστική αναλογία» του Lighthill δηλώνει ότι οι

πηγές παραγωγής ήχου είναι τα σημεία που η ακριβής λύση της ροής σε σύγκριση με την

παραπάνω «ακουστική προσέγγιση» παρουσιάζουν διαφορές. Περαιτέρω έρευνες έδειξαν ότι η

αναλογία του Lighthill παρέχει ακριβή ανάλυση για ροές με χαμηλό αριθμό Mach. Μεγάλη

πρόοδος έγινε και το 1975 από τον Howe όταν περιέγραψε τις αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στην

ροή και τα ηχητικά πεδία σε επίπεδο στροβιλισμών και συσχέτισε τις ταχύτητες των

σωματιδίων με τον παραγόμενο ηχητικό πεδίο.

Σε σφαιρικές συντεταγμένες η λύση της ομογενούς εξισώσεως δίνεται υπό την μορφή

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

crtG

rtr΄ 1,ρ (2.64)

Ο όρος r/c ονομάζεται χρόνος επιβράδυνσης, ο χρόνος, δηλαδή, που χρειάζεται να φτάσει το

ηχητικό κύμα από την πηγή στον παρατηρητή. Η έννοια του χρόνου επιβράδυνσης είναι

σημαντική στον αεροδυναμικό ήχο.

Η μεταβολή της πίεσης δίνεται από τον τύπο

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

crtQ΄

rtrp

π41, , (2.65)

όπου ( ) ( )tGctQ΄ 24π= (2.66)

Η εξίσωση (2.65) ισχύει μόνο για περιοχές εκτός της πηγής παραγωγής ηχητικών κυμάτων,

είναι συνάρτηση του ρυθμού μεταβολής της ροής μάζας, Q΄ και του χρόνου επιβράδυνσης.

Μπορεί να επεκταθεί σε έναν χώρο που υπάρχει ορισμένη ροή μάζας ανά όγκο, ( )tyq , . Η

εξίσωση συνέχειας τότε γίνεται

( )tyqut

,=∇+∂∂ ρρ (2.67)

31

Σε συνδυασμό, κατά τον συνήθη τρόπο, με την εξίσωση διατήρησης της ορμής (2.15)

προκύπτει μια νέα εξίσωση κύματος, που πλέον είναι μη-ομογενής

( )tyq΄pt

pc

,1 22

2

2 =∇−∂∂ (2.68)

όπου η συνάρτηση q΄ είναι μη μηδενική μόνο στην περιοχή της πηγής.

Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι ηχητικές πηγές με διαφορετικές κατανομές αλλά

ίδια δύναμη παράγουν το ίδιο ηχητικό πεδίο. Πληροφορίες, λοιπόν, οι οποίες λαμβάνονται

από το πεδίο δεν παρέχουν καμία πληροφορία για την κατανομή ήχου στην πηγή.

Η γενική λύση της εξίσωσης (2.68) για την πίεση στο ηχητικό πεδίο είναι

( ) ∫ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

∂∂

=V

yyx

cyx

tyq

ttxp 3d

,

41,π

(2.69)

από την οποία φαίνεται ότι το ακουστικό πεδίο, στην περίπτωση αυτή, οφείλεται στον ρυθμό

μεταβολής της ροής μάζας ανά όγκο, δηλαδή σταθερή ροή δεν παράγει ήχο.

Για την μελέτη της μη ομογενούς κυματικής εξίσωσης χρησιμοποιούμε την ονομαζόμενη

συνάρτηση Green ελεύθερου χώρου. Η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί την μη ομογενή εξίσωση

όταν το ρευστό έχει μηδενική μέση ροή και δεν περιορίζεται από κανένα σύνορο. Ο λόγος

που η συνάρτηση αυτή έχει άμεση σχέση με τον αεροδυναμικό ήχο είναι ότι ο Lighthill απλά

μείωσε το πρόβλημα της διάδοσης του ήχου σε κινούμενο μέσο με το ισοδύναμο πρόβλημα

της κλασσικής ακουστικής σε στάσιμο ρευστό.

Μια σημαντική ιδιότητα της συνάρτησης Green είναι η συμμετρία της, παραμένει η ίδια όταν

πηγή και παραλήπτης εναλλάσσονται. Για μοναδιαία, σημειακή πηγή στην θέση y, η οποία

λαμβάνει χώρα την χρονική στιγμή τ, η συνάρτηση Green δίνεται από τον τύπο

( ) ( )crtr

txtyGt +−= τδπ41,, (2.70)

32

Ο Lighthill, όπως αναφέρθηκε, θεώρησε μια μη φραγμένη περιοχή του χώρου και

συγκέντρωσε όλα τα μη-γραμμικά στοιχεία των εξισώσεων της δυναμικής των ρευστών στο

δεξιό μέλος της μη-ομογενούς εξίσωσης κύματος. Η διάδοση του ήχου εξαιτίας ροών με

υψηλούς αριθμούς Reynolds μπορεί να υπολογισθεί χρησιμοποιώντας αυτήν την διαδικασία.

Η αναλογία του Lighthill επομένως βασίζεται στο γεγονός ότι ο ήχος είναι η διαφορά

ανάμεσα στους ακριβείς νόμους που διέπουν την κίνηση των ρευστών με την

γραμμικοποιημένη ακουστική προσέγγιση.

Η επίδραση των στερεών σωμάτων στη ροή είναι ένα σημαντικό κομμάτι γένεσης

αεροδυναμικού ήχου. Τυρβώδεις ροές που επηρεάζονται από στερεά σώματα παράγουν

αυξημένο ήχο σε σχέση με ελεύθερες ροές. Η μη ομογενής εξίσωση του Lighthill είναι

ακριβής και επομένως είναι δυνατή η χρήση της για εκτίμηση του φαινομένου της παρουσίας

στερεών σωμάτων στην ροή. Κάνοντας την παραδοχή ότι ο παρατηρητής είναι πλήρως

αποκομμένος από το στερεό σώμα και ότι τα τετράπολα που περιλαμβάνονται στο εσωτερικό

του στερεού σώματος μετασχηματίζονται σε συνοριακές πηγές πάνω στην επιφάνεια του, οι

εξισώσεις λύνονται ως προς την πυκνότητα και την διαφορά πίεσης και τελικά προστίθονται

στην λύση για ελεύθερη τύρβη ώστε να προσδιορισθεί η συνολική λύση.

Εάν κυρίαρχος όρος είναι αυτός της ελεύθερης τύρβης τότε οι τυρβώδεις στρόβιλοι

κλιμακώνονται σύμφωνα με την μέση ροή, U, και ένα συνοριακό στρώμα πάχους D

δημιουργείται. Το μήκος κύματος είναι

MD

UcD ==λ , (2.71)

όπου c η ταχύτητα του ήχου και M είναι ο αριθμός Mach.

κύματοςμήκος ακουστικό πηγήςδιάσταση τυπική

==λDM (2.72)

Για ροές χαμηλού αριθμού Mach, λ>>D, η περιοχή γύρω από την ηχητική πηγή είναι

συγκεντρωμένη. Αντίθετα, για ταχύτητες ροής κοντά ή μεγαλύτερες από της ταχύτητας του

ήχου, D~λ ή D>>λ κρίσιμοι για την ανάλυση είναι και οι χρόνοι επιβράδυνσης.

Η εκπεμπόμενη ηχητική ισχύς σχετίζεται με την όγδοη δύναμη της ταχύτητας ροής, όπως και

στα τετράπολα. Από την άλλη, η ισχύς που συνδέεται με την διακυμενόμενη κίνηση του

στερεού σώματος σχετίζεται με την τέταρτη δύναμη της ταχύτητας, όπως στα μονόπολα.

33

Συγκεντρώνοντας τα αποτελέσματα καταλήγουμε ότι η εκπεμπόμενη ηχητική ισχύς είναι

ανάλογη του αντιστρόφου του τετραγώνου της απόστασης, ανάλογη του τετραγώνου της

τυπικής διάστασης της πηγής και η εξάρτησή της από την ταχύτητα κυμαίνεται από U8 έως

U4.

Το 1964 ο Powell αξίωσε ότι η απαρχή του αεροδυναμικού ήχου μπορεί να βρίσκεται στην

διαδικασία σχηματισμού δινών και στροβίλων. Ο Howe επαναμορφοποίησε την θεωρία του

Lighthill για ροή χαμηλού αριθμού Mach. Ενώ η θεωρία του Lighthill επιτρέπει ακριβή

αποτελέσματα μόνο όταν ο τανυστής της τάσης μπορεί εύκολα να υπολογισθεί, η θεωρία

Powell-Howe παρέχει λύση σε συγκεκριμένα προβλήματα που σχετίζονται με ρευστο-

ακουστικές αλληλεπιδράσεις.

Ο Howe στην συνέχεια καθιέρωσε μια γενική σχέση εξισορρόπησης της ροπής

περιγράφοντας τον ρυθμό διάχυσης της ηχητικής ενέργειας με την γένεση στροβίλων σε

χαμηλές, υποηχητικές ροές.

Η θετική διάχυση -απορρόφηση ήχου- σχετίζεται με την επιρροή της μέσης ροής στην

διάθλαση και την μείωση του ήχου. Η αρνητική εξάπλωση -γένεση ήχου- λαμβάνει χώρα σε

συγκεκριμένες ταχύτητες ροής και διευθύνσεις διάδοσης. Η μέση ενέργεια μπορεί επίσης να

μετατραπεί σε ήχο εάν υπάρχει αεροδυναμικός ακουστικός συντονισμός.

Εάν η ακουστική σωματιδιακή ταχύτητα είναι παράλληλη στην διαδρομή του στροβίλου, δεν

θα υπάρχουν αντιδράσεις ανάμεσα στα πεδία ήχου και ροής. Σε περιοχές όπου η ακουστική

σωματιδιακή ταχύτητα είναι μικρή υπάρχει πολύ μικρή απορρόφηση ή παραγωγή ήχου. Η

καθαρή ηχητική ενέργεια θα προσεγγίζει το μηδέν, εκτός και αν είτε η τιμή είτε η διεύθυνση

των διανυσμάτων αλλάξουν κατά την διάρκεια μιας περιόδου.

Σύνθετη αντίσταση και κινητικότητα

Στα γραμμικά (μικρής έντασης ήχου) ακουστικά φαινόμενα υπάρχει, γενικά, μια διαφορά στις

χρονικές συναρτήσεις πίεσης και σωματιδιακής ταχύτητας σε κάθε σημείο του ρευστού την

οποία αποκαλούμε διαφορά φάσης. Σε αρκετές, δε, περιπτώσεις η διαφορά αυτή μπορεί να

εξαρτάται και από την συχνότητα του ήχου.

34

Για να αποφύγουμε την ξεχωριστή θεώρηση πίεσης και σωματιδιακής ταχύτητας προτιμούμε

να εργαζόμαστε μόνο με την μια και με τον μιγαδικό λόγο τους (σύνθετη αντίσταση).

Γενικά η σύνθετη αντίσταση ορίζεται ως

θθ

θ

θω

θωie

2ie

1ie

2ie

1ie

Ζ=

Β

=+

Β

+

=≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

A

t

tA

BAZ , (2.73)

όπου:

21 θ θθ

−=====

ΒΑ και φάσης διαφορά ταχύτηταχωρική ή ταχύτηταstate-steady

δύναμη ή πίεσηstate-steady αντίσταση σύνθετη

ΒΑZ

Συχνά ως μέτρα των Α και Β θεωρούνται οι rms τιμές των ποσοτήτων που αντιπροσωπεύουν,

αν και τότε πρέπει να πολλαπλασιάζονται με τον παράγοντα 2 . Πάντως, είτε

χρησιμοποιούνται τα μέτρα, είτε οι rms τιμές δεν υφίσταται διαφορά στον λόγο τους.

Σύνθετες αντιστάσεις υπάρχουν πολλών ειδών, ανάλογα με τις ποσότητες που

συμπεριλαμβάνονται στον λόγο.

Ακουστική αντίσταση ΖΑ

Η ακουστική αντίσταση σε μια δοσμένη επιφάνεια ορίζεται ως ο μιγαδικός λόγος της μέσης

τιμής της ηχητικής πίεσης στην επιφάνεια προς την χωρική ταχύτητα. H μονάδα μέτρησής

της είναι N s / m5, η οποία ονομάζεται και mks acoustical ohm.

[ ]5/ mNsUpZ A = (2.74)

35

Ειδική ακουστική αντίσταση Ζs

Η ειδική ακουστική αντίσταση είναι ο μιγαδικός λόγος της ηχητικής πίεσης σε ένα σημείο

ενός ακουστικού μέσου προς τον σωματιδιακή ταχύτητα στο σημείο αυτό. Οι μονάδα

μέτρησής της είναι N s / m3, η οποία ονομάζεται και mks rayl.

[ ]3/ mNsupZs = (2.75)

Μηχανική αντίσταση ZM

Η μηχανική αντίσταση είναι ο μιγαδικός λόγος της δύναμης σε συγκεκριμένη επιφάνεια ενός

ακουστικού μέσου προς την συντελούμενη γραμμική ταχύτητα στην ίδια επιφάνεια. H μονάδα

μέτρησής της είναι N s / m, η οποία ονομάζεται και mks mechanical ohm.

[ ]mNsUfZM /= (2.76)

Χαρακτηριστική αντίσταση ρc

Η χαρακτηριστική αντίσταση είναι ο λόγος της ηχητικής πίεσης προς την σωματιδιακή

ταχύτητα σε ένα συγκεκριμένο σημείο ενός ελεύθερου, επίπεδου ηχητικού κύματος. Ισούται

με το γινόμενο της πυκνότητας το ακουστικού μέσου με την ταχύτητα του ήχου στο μέσο

αυτό.

Κανονική ειδική ακουστική αντίσταση Ζsn

Στο σύνορο μεταξύ του αέρα και ενός πυκνότερου μέσου, όταν ένα εναλλακτικό κύμα

δημιουργείται, η γωνία που σχηματίζουν οι σωματιδιακές ταχύτητες στα δύο ακουστικά μέσα

γενικά εξαρτάται από την φύση των δύο υλικών και την γωνία πρόσπτωσης του αρχικού

κύματος. Εάν το δεύτερο σώμα είναι πορώδες και με μικρή πυκνότητα, η σωματιδιακή

ταχύτητα στην επιφάνεια έχει σχεδόν την ίδια διεύθυνση, ενώ αντιθέτως, σε επιφάνεια με

μεγάλο αριθμό μικρής διαμέτρου σωλήνων-οπών, η ταχύτητα θα είναι κάθετη στην επιφάνεια.

Γενικά λοιπόν, η διεύθυνση της σωματιδιακής ταχύτητας στην διεπιφάνεια έχει και μια

κανονική (κάθετη) συνιστώσα και μια εφαπτομενική.

Η κανονική ειδική ακουστική αντίσταση ορίζεται ως ο μιγαδικός λόγος της πίεσης προς την

κανονική συνιστώσα της σωματιδιακής ταχύτητας σε ένα επίπεδο

[ ]3/ mNsupZn

sn = (2.77)

36

Η κινητικότητα είναι ο αντίστροφος της σύνθετης αντίστασης. Κατ’ αντιστοιχία με την

εξίσωση (2.63) είναι λοιπόν,

φθ

θi

i

i

eee

Υ==≡1

2

ΑB

ABY , (2.78)

όπου θφ −=

= ZY /1

Αλληλεπίδραση και συντονισμός

Η ηχητική πίεση και οι μεταβολές της πυκνότητας ενός ηχητικού κύματος είναι γενικά πολύ

μικρές ποσότητες σε σύγκριση με τις τιμές στην κατάσταση ισορροπίας στις οποίες

επιπροστίθονται. Αυτό είναι απολύτως αληθές για τα περισσότερα ηχητικά κύματα και για τα

κύματα ομιλίας. Αυτό έχει αποτέλεσμα να είναι δυνατή η προσομοίωση της επίδρασης δύο

ηχητικών κυμάτων στον ίδιο χώρο με απλή πρόσθεση των επιδράσεων καθενός ξεχωριστά,

ισχύει δηλαδή η αρχή της επαλληλίας.

Ας θεωρήσουμε, λοιπόν, δύο επίπεδα κύματα ίσου πλάτους P μου ταξιδεύουν το ένα δεξιά και

το άλλο αριστερά. Το αποτέλεσμα και των δύο μαζί προκύπτει από το άθροισμα τους:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )ftkxPctxkPctxkPtxp π2coscos2coscos, =++−= (2.79)

Παρατηρούμε στην τελευταία εξίσωση ότι η απόσταση x και ο χρόνος t δεν εμφανίζονται

πλέον μαζί μέσα σε ένα συνημίτονο, όπως συμβαίνει στα απλά επίπεδα κύματα –εξίσωση

(2.37)-. Το κύμα αυτό καλείται στάσιμο γιατί η μορφή του είναι αναλλοίωτη με τον χρόνο –

ένα σημείο δεν θα έχει την ίδια πίεση μετά από κάποιο χρόνο με ένα διπλανό σημείο-. Ο

χρόνος απλώς αλλάζει το πλάτος του κύματος κάθε στιγμή σύμφωνα με τον τελευταίο όρο της

εξίσωσης (2.79).

Στάσιμα κύματα υπάρχουν σε κάθε κλειστό χώρο. Σε ένα ορθογώνιο δωμάτιο, π.χ., τρεις

τάξεις στάσιμων κυμάτων μπορούν να υπάρχουν. Μια τάξη συμπεριλαμβάνει όλα τα κύματα

που είναι κάθετα σε ένα ζευγάρι αντικριστών τοίχων, ταξιδεύοντας παράλληλα στα άλλα δύο

37

ζευγάρια, οι μορφές ταλάντωσης (nx,0,0), (0,ny,0), (0,0,nz). Μια δεύτερη τάξη περιλαμβάνει

κύματα που ταξιδεύουν παράλληλα μόνο σε ένα ζευγάρι τοίχων, οι μορφές ταλάντωσης

(nx,ny,0), (0,ny,nz), (nx,0,nz). Η τρίτη τάξη εμπλέκει όλους τους τοίχους και έχει μορφές

ταλάντωσης (nx,ny,nz). Κάθε στάσιμο κύμα σε έναν ακουστικό χώρο καλείται κανονική

μορφή ταλάντωσης, ή ιδιομορφή. Οι συχνότητες στις οποίες μπορούν τέτοια κύματα να

υπάρξουν εξαρτώνται από τις αποστάσεις των ανακλώμενων επιφανειών. Λόγου χάρη, η

χαμηλότερη ιδιοσυχνότητα για ένα στάσιμο κύμα μιας διάστασης ανάμεσα σε δύο τοίχους

δίνεται από τον τύπο

dcf

2= , (2.80)

όπου f είναι η χαμηλότερη ιδιοσυχνότητα, c η ταχύτητα του ήχου και d η απόσταση μεταξύ

των τοίχων. Στάσιμα κύματα μπορούν επίσης να υπάρξουν σε κάθε ακέραιο πολλαπλάσιο

αυτής της συχνότητας.

38

Κ ε φ ά λ α ι ο 3

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

Δυναμική απλού μονοβάθμιου ταλαντωτή

Όταν περιγράφουμε τα ταλαντευόμενα χαρακτηριστικά μιας κατασκευής από την

μακροσκοπική άποψη, τα στοιχεία που αποτελούν το προσομοίωμα περιλαμβάνουν μάζα,

ελατήρια, αποσβεστήρες και διεγερτικές δυνάμεις. Το ελατήριο θεωρείται ότι δεν έχει μάζα

και ακολουθεί ελαστική παραμόρφωση. Ο αποσβεστήρας δεν έχει ακαμψία και η δύναμη

απόσβεσης παράγεται όταν υπάρχει σχετική μετακίνηση στα άκρα του.

Η απόσβεση είναι μη συντηρητική δύναμη γιατί απελευθερώνει ενέργεια. Υπάρχουν διάφορα

προσομοιώματα, αλλά το πιο συχνά χρησιμοποιούμενο είναι η ιξώδης απόσβεση –απόσβεση

ανάλογη της ταχύτητας-. Ο συντελεστής ιξώδους απόσβεσης, cv, έχει μονάδες δύναμης ανά

ταχύτητα. Άλλα μοντέλα απόσβεσης είναι η απόσβεση Coulomb, η υστερική απόσβεση και η

απόσβεση ανάλογη με το τετράγωνο της ταχύτητας.

Γενικά, το προσομοίωμα μιας κατασκευής είναι πολύπλοκο και περιλαμβάνει πολλαπλούς

ταλαντωτές τύπου μάζα-ελατήριο-αποσβεστήρας. Η έννοια των πολλαπλών αυτών διακριτών

ταλαντωτών μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στην ανάλυση των ταλαντώσεων συνεχών

συστημάτων. Από μαθηματικής άποψης, το πρόβλημα πρώτα αντιμετωπίζεται καταγράφοντας

τις εξισώσεις κίνησης και γενικεύεται σε ένα πρόβλημα ιδιοτιμών. Η ολική αντίδραση είναι το

άθροισμα των αντιδράσεων στο πεδίο συχνοτήτων που ενδιαφερόμαστε.

Μπορεί εύκολα να αναγνωρισθεί ότι η κίνηση μιας άκαμπτης μάζας στο άκρο ενός ελατηρίου

με αμελητέα μάζα είναι περιοδική. Το απλούστερο ταλαντευόμενο σύστημα, λοιπόν,

περιγράφεται από μια συντεταγμένη x. Η εξίσωση κίνησής του προκύπτει από τον δεύτερο

νόμο του Νεύτωνα

0=+⇒−−= xkxmkxkmgxm sstaticss δ (3.1)

39

Η οποία έχει λύση

( ) ( ) ( )tBtAtx nn ωω cossin += ή ( ) tt nntx ωω -ii ee BA += (3.2)

Οι μιγαδικοί συντελεστές Α και Β προκύπτουν από τις αρχικές συνθήκες ως

2

00

n

vx

ωi−

=A και 2

00

n

vx

ωi+

=B (3.3)

Όλα τα πραγματικά συστήματα υφίστανται απόσβεση. Η ενέργεια χάνεται και το πλάτος της

ταλάντωσης φθίνει με τον χρόνο όταν η διέγερση παύει να ασκείται. Η ακριβής περιγραφή της

δύναμης απόσβεσης σε σχέση με την απώλεια ενέργειας είναι δύσκολη. Μπορεί να είναι

συνάρτηση της μετατόπισης, της ταχύτητας ή άλλων παραγόντων. Γενικά, η απόσβεση

χρησιμοποιείται λαμβάνοντας υπόψη μια αυθαίρετη σταθερά α(t), η οποία φθίνει με τον

χρόνο και μια σταθερά γ, η οποία σχετίζεται με το ποσό της απόσβεσης στην εξίσωση κίνησης

ενός μονοβάθμιου ταλαντωτή. Για την ελεύθερη ταλάντωση είναι

( ) ( ) ( )ψγωα += txttx nsin (3.4)

Το μοντέλο της ιξώδους απόσβεσης είναι, όπως αναφέρθηκε, το πιο κοινόχρηστο στην

μοντελοποίηση των πραγματικών κατασκευών. Η δύναμη της ιξώδους απόσβεσης είναι

xcF vv −= , (3.5)

όπου cv είναι ο συντελεστής ιξώδους απόσβεσης. Για ελεύθερες ταλαντώσεις με απόσβεση, η

εξίσωση κίνησης γίνεται

0=++ xkxcxm sv (3.6)

επίσης ορίζουμε τον συντελεστή απόσβεσης ζ ως

nv mc ζω2/ = (3.7)

Τρεις περιπτώσεις με ενδιαφέρον προκύπτουν

40

ζ>1 – υπερκρίσιμη απόσβεση

Η κίνηση του σώματος στην περίπτωση αυτή είναι μη περιοδική, ανεξάρτητα των αρχικών

συνθηκών. Μειώνεται καθώς αυξάνεται ο χρόνος μέχρι να σταματήσει εντελώς.

ζ<1

Η κίνηση είναι περιοδική με εξίσωση

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= − ψωζζω txtx n

tT

n 21sine (3.8)

Η κυκλική συχνότητα της αποσβενόμενης ταλάντωσης είναι

nnd γωωζω =−= 21 (3.9)

Εικόνα 3.1, ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση ζ<1

ζ=1 – κρίσιμη απόσβεση

Η περίπτωση αυτή περιγράφει την μετάβαση μεταξύ της ταλάντωσης και της απεριοδικής

κίνησης.

41

Εικόνα 3.2, σύγκριση χρόνου μείωσης μετατόπισης κρίσιμης και υπερκρίσιμης απόσβεσης

Η κρίσιμη απόσβεση είναι το όριο της απεριοδικής κίνησης, ενώ το σύστημα επιστρέφει σε

ηρεμία στον συντομότερο δυνατό χρόνο χωρίς ταλάντωση. Αυτό φαίνεται και στην εικόνα 3.2.

Η ιδιότητα αυτή είναι πολύ χρήσιμη και έχει πολλές πρακτικές εφαρμογές, όπως λόγου χάρη

στα κινούμενα μέρη πολλών ηλεκτρικών οργάνων.

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις

Ένα γραμμικό σύστημα ταλαντώνεται από την συνεχή επίδραση μιας εισερχόμενης δύναμης.

Γενικά, μπορούν να υπάρχουν πολλές εισερχόμενες δυνάμεις / διεγέρσεις (αίτια) και πολλές

εξερχόμενες αντιδράσεις (αποτελέσματα). Οι χρονοϊστορίες εισερχόμενων και εξερχόμενων

σημάτων κατηγοριοποιούνται ως ντετερμινιστικές ή τυχαίες. Ντετερμινιστικά σήματα

μπορούν να εκφρασθούν με κλειστούς μαθηματικούς τύπους, ενώ τα τυχαία σήματα πρέπει να

περιγραφούν με βάση κατανομές πιθανοτήτων και στατιστικούς μέσους όρους.

Τυπικά παραδείγματα ντετερμινιστικών σημάτων είναι αυτά των ηλεκτρικών μηχανών,

αυτοκινήτων, τραίνων, περιστρεφόμενων μηχανημάτων και αντλιών. Στα παραδείγματα αυτά

κυριαρχούν λίγες, συγκεκριμένες συχνότητες.

42

Τυπικά παραδείγματα τυχαίων σημάτων περιλαμβάνουν ακουστικές πιέσεις που παράγονται

από τυρβώδη ροή και αντιδράσεις αυτοκινήτων που κινούνται σε ανώμαλο έδαφος. Στις

τελευταίες περιπτώσεις οι συχνότητες του σήματος εξαρτώνται από στατιστικές παραμέτρους.

Ντετερμινιστικά σήματα

Αρμονική διέγερση

Θεωρούμε έναν μονοβάθμιο ταλαντωτή ο οποίος διεγείρεται με μια αρμονική (ημιτονοειδή)

δύναμη, F(t)=F sin(ωt). Η διαφορική εξίσωση της κίνησης εξάγεται από τον δεύτερο νόμο του

Νεύτωνα:

( )tFxkxcxm sv ωsin=++ (3.10)

Η εξίσωση αυτή είναι μια δευτέρου βαθμού γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς

συντελεστές, της οποίας η λύση είναι και αυτή ημιτονοειδούς μορφής με κάποια διαφορά

φάσης φ.

( )φω −= tXtx sin)( (3.11)

Αντικαθιστώντας τα F(t), x(t) με:

( )tetF ωω iFImsin = (3.12)

( ) ( )tetX ωφω iΧImsin =− (3.13)

όπου F, X είναι το μιγαδικό πλάτος των F(t), x(t) αντίστοιχα και η εξίσωση (3.10) γίνεται

tts

tt eekevem ωωωωω iiiv

i ic FXΧΧ =++− 2 (3.14)

Από την παραπάνω εξίσωση εξάγονται πολλά σημαντικά συμπεράσματα

• Η μετατόπιση υστερεί της διεγείρουσας δύναμης κατά μια γωνία φ, ανάμεσα στις 0 και 180ο.

• Η δύναμη του ελατηρίου είναι αντίρροπη της μετατόπισης. • Η δύναμη απόσβεσης υστερεί της μετατόπισης κατά 90ο και είναι αντίρροπη με την

ταχύτητα.

43

• Η αδρανειακή δύναμη είναι σε φάση με την μετατόπιση και αντίρροπη της επιτάχυνσης.

Η επίλυση ως προς Χ της παραπάνω εξίσωσης δίνει

( )ωω vic+−= 2mks

FX (3.15)

Από τις σχέσεις (3.12), (3.13) πολλαπλασιάζοντας με τον συζυγή προκύπτει

( ) ( )222 ωω vc+−=

mk

Fx

s

και ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 2arctan

ωω

φmk

c

s

v (3.16)

Η μέγιστη τιμή του x είναι

20

12 ζζ −=

XX r (3.17)

και η αντίστοιχη διαφορά φάσης είναι

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

ζζ

φ221

arctan (3.18)

Γενικά η γωνία αυτή δεν είναι 90ο, δηλαδή η μέγιστη μετατόπιση δεν παρατηρείται όταν

ω=ωn. Στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές ισχύει ζ <0.05 και

ζζ

ζ 221

20

20 ΧX

X r ≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= (3.19)

Ο μεγεθυντικός παράγοντας ή δυναμικός συντελεστής κατά τον συντονισμό Q ορίζεται ως

QXX r ==

ζ21

0 (3.20)

Η φυσική σημασία του Q είναι η δριμύτητα της απόκρισης του συστήματος κατά τον

συντονισμό και αποτελεί τρόπο μέτρησης-προσέγγισης της απόσβεσης. Τα σημεία όπου ο

δυναμικός συντελεστής μειώνεται στο ζ2

1 της μέγιστης τιμής του καλούνται σημεία

44

υποδιπλασιασμού ισχύος του γραμμικού ταλαντωτή. Εύκολα υπολογίζεται ότι οι συχνότητες

αυτές, ω1, ω2 (εικόνα 3.3) ισούνται με

( ) nωζω ±= 12,1 (3.21)

και συνεπώς

1221

ωωω

ζ −==Q (3.22)

Σύνθετη αντίσταση ταλάντωσης

Ο μιγαδικός λόγος της μετατόπισης (αποτέλεσμα) προς την δύναμη (αίτιο) X/F εξαρτάται

από την συχνότητα και καλείται δεκτικότητα. Αποτελεί μια από τις διάφορες σχέσεις αίτιου-

αποτελέσματος όπως αυτές του παρακάτω πίνακα

Μετατόπιση/Δύναμη Δεκτικότητα Δύναμη/Μετατόπιση Δυναμική ακαμψία Ταχύτητα/Δύναμη Κινητικότητα Δύναμη/Ταχύτητα Σύνθετη αντίσταση Επιτάχυνση/Δύναμη Αδρανιακότητα Δύναμη/Επιτάχυνση Φαινόμενη μάζα

Πίνακας 3.1

Η σύνθετη αντίσταση ενός μονοβάθμιου ταλαντωτή που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση

υπό αρμονική δύναμη δίνεται από τον τύπο

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+== ω

k-mωi svcmZ

VF (3.23)

Ανάλογα με ποιος από τους τρεις όρους cv, mω, ks / ω υπερισχύει στο σύστημα δεσπόζει η

απόσβεση, η μάζα ή η ακαμψία αντίστοιχα (εικόνα 3.3). Είναι χρήσιμο να αναγνωρίζουμε

ποια παράμετρος υπερισχύει κάθε φορά.

Εάν γνωρίζουμε την απόκριση ενός μονοβάθμιου συστήματος ως συνάρτηση της συχνότητας

μπορούμε άμεσα να υπολογίζουμε το αποτέλεσμα, εάν είναι γνωστό το αίτιο. Σε πιο

πολύπλοκα συστήματα η έννοια της σύνθετης αντίστασης είναι πολύ χρήσιμη για την ανάλυση

της ποσότητας και της ροής ενέργειας ταλάντωσης. Χρησιμοποιείται σε μεγάλο βαθμό στην

45

δυναμική ανάλυση των κατασκευών και μπορεί να εφαρμοσθεί είτε σε μοντέλα ταλάντωσης

συγκεντρωμένων μαζών είτε σε μοντέλα διάδοσης κύματος.

Εικόνα 3.3, ανάλυση ταλάντωσης υπό αρμονική διέγερση σε σχέση με την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή

Περιοδική διέγερση

Μια συνάρτηση είναι περιοδική όταν F(t+T)=F(t) για κάθε χρονική στιγμή t, με T=2π/ω η

περίοδος. Κάθε περιοδική συνάρτηση μπορεί να αναλυθεί σε σειρά Fourier

( ) ( ) ( )( )∑∞

=

++=1

0 sincos2 n

nn tnbtnaa

tF ωω , (3.23)

όπου

( )∫=T

ttFT

a00 d2 (3.24)

( ) ( )∫=T

n tnωttFT

a0

dcos2 (3.25)

( ) ( )∫=T

n tnωttFT

b0

dsin2 (3.26)

Η εξίσωση κίνησης γράφεται

( ) ( )( )∑∞

=

++=++1

0 sincos2 n

nnsv tnbtnaa

xkxcxm ωω , (3.27)

46

της οποίας η λύσει προκύπτει από την επαλληλία άπειρων στο πλήθος αρμονικών φορτίσεων

( ) ( )

( )nn

nn

s

n

nn

nn

s

n

s

tnnn

kb

tnnn

ka

ka

tx

φω

ωωζ

ωω

φω

ωωζ

ωω

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

+

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

+=

∑

∑

∞

=

∞

=

sin2(1

cos2(1

2

122

2

122

2

0

(3.28)

όπου η διαφορά φάσης, φn, δίνεται από τον τύπο

221

2arctan

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

=

n

nn

n

n

ωω

ωωζ

φ (3.29)

Μη περιοδική διέγερση

Όταν η δύναμη δεν είναι περιοδική δεν μπορεί να παρασταθεί με σειρές Fourier. Μια

οποιαδήποτε μη περιοδική δύναμη μπορεί να προσεγγισθεί από μια σειρά βραχύχρονων

παλμών. Όταν το χρονικό διάστημα ανάμεσα στους παλμούς γίνει οριακά μηδέν,

δημιουργείται ο μοναδιαίος παλμός που έχει άπειρο ύψος και μηδενικό πλάτος και καλείται

συνάρτηση δέλτα του Dirac. Ορίζεται ως

( ) 00 ≠= tt γιαδ και ( ) 1=∫+∞

∞−tt dδ (3.30)

Ας θεωρήσουμε έναν μονοβάθμιο ταλαντωτή υπό την επίδραση ενός μοναδιαίου παλμού. Η

εξίσωση κίνησης είναι

( )txkxcxm sv δ=++ (3.31)

Επειδή το σύστημα είναι σε ηρεμία πριν την επίδραση του παλμού, οι αρχικές συνθήκες για

t=0 – είναι

( ) ( ) 000 == −− xx , ( ) 00 =+x , (3.32)

47

ενώ η αρχική συνθήκη για την ταχύτητα για t=0 + προκύπτει ολοκληρώνοντας την εξίσωση της

κίνησης μια φορά ανάμεσα στα όρια t=0 – και t=0 +. Έτσι προκύπτει

( ) mx /10 =+ (3.33)

Εάν ο μοναδιαίος παλμός ελάμβανε χώρα σε χρόνο t=τ ,τότε η αντίδραση καθυστερεί κατά

χρόνο τ. Επίσης, εάν ο παλμός έχει τιμή F αντί για μονάδα, τότε η αρχική συνθήκη της

ταχύτητας είναι

( ) mFx /0 =+ και συνεπώς ( ) ( )τ−= tFhtx (3.34)

Στην περίπτωση μιας οποιαδήποτε μη περιοδικής δύναμης η οποία προσεγγίζεται από μια

σειρά βραχύχρονων παλμών, όπως στην εικόνα 3.4, το πλάτος κάθε παλμού ισούται με το

εμβαδόν F(t)Δτ. Η αντίδραση σε κάθε παλμό δίνεται ως το γινόμενο

h(t-τ)F(τ)Δτ (3.35)

και η συνολική αντίδραση, καθώς το Δτ οριακά τείνει στο μηδέν

( ) ( ) ( )∫ −=t

thFtx0

dτττ (3.36)

Εικόνα 3.4, προσέγγιση συνεχούς συνάρτησης εξαναγκασμού από μικρές χρονικές περιόδους Δτ

48

Τυχαία σήματα

Αρκετά συχνά σε προβλήματα θορύβου και δονήσεων το εισερχόμενο σήμα δεν μπορεί να

περιγραφεί ούτε με βραχύχρονους παλμούς, είναι τυχαίο από την φύση του και πρέπει να

περιγραφεί με πιθανοτικές και στατιστικές μεθόδους. Τέσσερις τρόποι χρησιμοποιούνται για

να περιγράψουν το πρόβλημα

• μέση τιμή και τυπική απόκλιση, παρέχουν πληροφορίες για το πλάτος του σήματος

• κατανομή πιθανότητας, παρέχει πληροφορίες για τις στατιστικές ιδιότητες ενός σήματος στον τομέα του πλάτους

• συναρτήσεις συσχέτισης, παρέχουν πληροφορίες για τις στατιστικές ιδιότητες ενός

σήματος στον τομέα του χρόνου.

• συναρτήσεις φασματικής πυκνότητας, παρέχουν πληροφορίες για τις στατιστικές ιδιότητες ενός σήματος στον τομέα των συχνοτήτων.

Μια τυχαία διαδικασία είναι εργοδική (ή αυστηρά στάσιμη), εάν όλες οι πιθανοτικές

κατανομές που σχετίζονται με αυτήν είναι ανεξάρτητες του χρόνου. Θεωρούνται ασθενώς

στάσιμες διαδικασίες όσες έχουν χρονικά ανεξάρτητες χρονικές κατανομές πρώτης και

δευτέρας τάξης. Τα περισσότερα τυχαία φαινόμενα τα οποία προκαλούν το ενδιαφέρον των

μηχανικών μπορούν να προσεγγισθούν ως στάσιμα, εάν το σήμα είναι πολύ μακρύ σε σχέση

με την περίοδο της μικρότερης συχνότητας που μας ενδιαφέρει.

Η μέση τιμή ορίζεται ως

( )[ ] ( ) ( )∫∫+∞

∞==

-0dd xxxpttx

TtxE

T1 , (3.37)

όπου p(x) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

Η τυπική απόκλιση ορίζεται ως

49

[ ] [ ]( )222 xEx −Ε=σ , (3.38)

όπου [ ] ( ) ( )∫∫+∞

∞==

-0

2 dd xxpxttxT

xET 22 1 (3.39)

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός τυχαίου σήματος x(t) παρέχει πληροφορίες όσον αφορά τον

βαθμό εξάρτησης της τιμής του x σε μια χρονική στιγμή t με μια άλλη σε χρόνο t+τ.

Ορίζεται ως

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ttxtxT

txtxERT

Txx d∫ +=+=∞→ 0

1lim τττ (3.40)

Η συνάρτηση διασταυρωμένης συσχέτισης μεταξύ δύο διαφορετικών τυχαίων σημάτων ορίζεται ως

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ttytxT

tytxERT

Txy d∫ +=+=∞→ 0

1lim τττ (3.41)

Η συνάρτηση αυτή αναδεικνύει την ομοιότητα μεταξύ δύο σημάτων τα οποία έχουν χρονικά

μετατοπισθεί. Έχει πολλές εφαρμογές στην μελέτη του θορύβου και των δονήσεων,

συμπεριλαμβανομένου και τον εντοπισμό καθυστερήσεων ανάμεσα σε σήματα, καθυστερήσεις

μετάδοσης στην ακουστική δωματίων και άλλες εφαρμογές.

Η συνάρτηση φασματικής πυκνότητας είναι ο μετασχηματισμός Fourier του συντελεστή

συσχέτισης, ο οποίος είναι μια κανονικοποιημένη συνάρτηση συσχέτισης.

( ) ( ) tRS txxxx de

-

i∫+∞

∞

−= ωτπ

ω21 (3.42)

και αντίστροφα

( ) ( )∫+∞

∞−= ωωτ ω dei t

xxxx SR (3.43)

50

Sxx(ω) είναι η συνάρτηση αυτοφασματικής πυκνότητας του τυχαίου σήματος x(t) και είναι

συνάρτηση της συχνότητας ω.

Η συνάρτηση διασταυρωμένης φασματικής πυκνότητας, Sxy(ω), είναι ο μετασχηματισμός Fourier

της συνάρτησης διασταυρωμένης συσχέτισης και αποτελεί μιγαδική ποσότητα

( ) ( )∫+∞

∞−

−= ττπ

ω ω de i txyxy RS

21 (3.44)

Στις εικόνες 3.5a, 3.5b, 3.5c διακρίνονται όλες οι παραπάνω συναρτήσεις για a) ημιτονοειδές

κύμα, b) σήμα με περιορισμένο εύρος συχνοτήτων, c) σήμα με μεγάλο εύρος συχνοτήτων και

d) ημιτονοειδές κύμα με υπερθετιμένο ένα τυχαίο σήμα.

51

Εικόνα 3.5a, χρονοϊστορία διαφόρων σημάτων

52

Εικόνα 3.5b,συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης διαφόρων σημάτων

53

Εικόνα 3.5c, συναρτήσεις αυτοφασματικής πυκνότητας διαφόρων σημάτων

54

Στο ημιτονοειδές σήμα η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης δεν φθίνει όταν αυξάνεται η χρονική

υστέρηση, αντίθετα με τα τυχαία σήματα b) και c), αν και στο σήμα περιορισμένου εύρους

συχνοτήτων φθίνει πολύ ομαλότερα.

Για το σήμα d) η συχνότητα του ημιτονοειδούς κύματος, την οποία καλύπτουν οι τυχαίες

διακυμάνσεις, αποκαλύπτεται από την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ή από την συνάρτηση

αυτοφασματικής πυκνότητας.

Πέραν όσων αναφέρθηκαν, πρέπει να τονισθεί ότι στην πράξη, ο υπολογισμός του φάσματος

από τις μετρήσεις δεν ακολουθεί την παραπάνω τυπική μαθηματική διαδικασία, αλλά γίνεται

χρησιμοποιώντας την τεχνική Fast Fourier Transformation (FFT). Ψηφιακές εκτιμήσεις του

φάσματος εξάγονται απευθείας από τις χρονοσειρές με κατάλληλους αλγόριθμους και πράξεις

που εκτελούν σε ελάχιστο χρόνο ηλεκτρονικοί υπολογιστές.

Σε ένα γραμμικό σύστημα υπάρχει η παρακάτω σχέση ανάμεσα στους μετασχηματισμούς

Fourier του εισερχομένου σήματος X(ω) και του εξερχόμενου Y(ω)

( ) ( ) ( )ωωω XHY = , (3.45)

όπου Η(ω) μπορεί να είναι δεκτικότητα, κινητικότητα, σύνθετη αντίσταση κ.λ.π. Το

εξερχόμενο σήμα y(t) προκύπτει κάνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier

( ) ( ) ( ) ωπ

ω ωω dede i

-

i tt ttxHty ∫ ∫+∞

∞

+∞

∞−

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21 (3.46)

Η συνάρτηση αυτή είναι ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης παλμού,

πολλαπλασιασμένη με τον παράγοντα 1/2π

( ) ( )∫+∞

∞−= ωω

πω dei tHth

21 (3.47)

Από την παραπάνω σημαντική σχέση προκύπτουν επίσης

( ) ( ) ( )ωωω xxyy SHS 2= και ( ) ( ) ( )ωωω xxxy SHS = (3.48)

55

Η τελευταίες εξισώσεις περιγράφουν την αντίδραση ενός γραμμικού συστήματος σε τυχαία

δόνηση και επεκτείνονται για Ν διαφορετικά εισερχόμενα σήματα

( ) ( ) ( ) ( )∑∑= =

=N

p

N

qxxqpyy qp

SHHS1 1

* ωωωω , (3.49)

όπου ( )ω*pH είναι ο συζυγής του ( )ωpH .

Η εξίσωση αυτή αποτελεί το κύριο αποτέλεσμα της θεωρίας των τυχαίων δονήσεων. Εάν,

επιπλέον, τα σήματα είναι ασυσχέτιστα μεταξύ τους, τότε οι μη-διαγώνιοι όροι μηδενίζονται

και η εξίσωση απλοποιείται στην

( ) ( ) ( )∑=

=N

pxxpyy pp

SHS1

2ωωω (3.50)

Πολυβάθμια συστήματα

Ο αριθμός των εξισώσεων κίνησης ενός πολυβάθμιου συστήματος είναι ίσος με το βαθμό

ελευθερίας κινήσεων. Για την γενική διατύπωση των εξισώσεων κίνησης μπορούμε να

χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο ισορροπίας των δυνάμεων –δυνάμεις αδρανείας, δύναμη

απόσβεσης, ελαστική δύναμη και εξωτερική (δυναμική) φόρτιση-, για κάθε συνιστώσα των

μετακινήσεων.

Στο μονοβάθμιο σύστημα η ελαστική δύναμη εξαρτάται από μια μετατόπιση. Στο

πολυβάθμιο σύστημα θα εξαρτάται από τον γραμμικό συνδυασμό όλων των μετατοπίσεων -v1,

v2, … , vn-.

niniiks vkvkvkf +++= ...2211 (3.51)

όπου kij οι επιμέρους συντελεστές ακαμψίας, που εκφράζουν την δύναμη που ασκείται κατά

την διεύθυνση i για μοναδιαία μετατόπιση κατά την διεύθυνση j, ενόσω οι άλλες μετατοπίσεις

είναι μηδέν.

56

Η σχέση (3.46) ισχύει για κάθε βαθμό ελευθερίας, και μπορεί εν συνεχεία να γραφεί με

μητρωική μορφή ως

Kvfks = (3.52)

Το μητρώο K ονομάζεται μητρώο ακαμψίας του συστήματος.

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να εκφράσουμε και τις δυνάμεις απόσβεσης

vCfc =

Το μητρώο C ονομάζεται μητρώο αποσβέσεως του συστήματος. Η φυσική έννοια των

επιμέρους συντελεστών cij είναι ανάλογη εκείνης του μητρώου ακαμψίας, δηλαδή το στοιχείο

cij εκφράζει την δύναμη απόσβεσης κατά την διεύθυνση i για μοναδιαία ταχύτητα στην

διεύθυνση j, ενώ όλες οι άλλες ταχύτητες είναι μηδέν.

Ανάλογα εκφράζονται και οι δυνάμεις αδρανείας

vMfm = (3.53)

Συνεπώς η εξίσωση ισορροπίας των δυνάμεων υπό μητρωική μορφή γράφεται

( )tpKvvCvM =++ (3.54)

κατά πλήρη αντιστοιχία με την εξίσωση του μονοβάθμιου ταλαντωτή. Είναι φανερό ότι για

την διατύπωση της εξισώσεως κινήσεως απαιτείται ο προσδιορισμός των μητρώων μάζας,

απόσβεσης και ακαμψίας. Επίσης, στην γενική περίπτωση όπου πάνω στα στοιχεία της

κατασκευής επενεργούν κατανεμημένα φορτία ή υπάρχουν μη κομβικές φορτίσεις πρέπει να

γίνει αναγωγή των φορτίσεων αυτών σε ισοδύναμες κομβικές δράσεις. Η μόρφωση όλων αυτών

των μητρώων καλύπτεται από την θεωρία των πεπερασμένων στοιχείων, είτε πρόκειται για

φορείς αποτελούμενους από ραβδωτά μέλη, είτε δισδιάστατα στοιχεία π.χ. επίπεδης έντασης

– παραμόρφωσης, στοιχεία πλάκας, στοιχεία κελύφους κ.λ.π., είτε στοιχεία τρισδιάστατης

εντατικής κατάστασης. Για το μητρώο αποσβέσεως γίνεται αναγωγή σε ισοδύναμη ιξώδη

απόσβεση όπου υπάρχει διαφορετικού τύπου απόσβεση.

57

Εάν η φόρτιση είναι αρμονική, P(t)=Peiωt+θ, -δηλαδή όλες οι δυνάμεις που επενεργούν στο

σώμα έχουν ημιτονοειδή μεταβολή με το χρόνο, ίδια συχνότητα και ίδια φάση- η εξίσωση

(3.54) γράφεται

( ) ( ) PYMCKYMCYM =+++++ 22 ωωω iii , (3.55)

κάνοντας την αντικατάσταση θω += tieYv (3.56)

Η σχέση (3.55) αποτελεί ένα γραμμικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων με μιγαδικούς

συντελεστές.

Η απόκριση του συστήματος θα έχει και αυτή ημιτονοειδή μορφή, με την ίδια συχνότητα που

έχει και η φόρτιση, ενδέχεται όμως να υπάρχει διαφορά φάσης εξαιτίας της απόσβεσης του

συστήματος, η οποία διαφορά φάσης μάλιστα μεταβάλλεται από κόμβο σε κόμβο.

Τα αποτελέσματα που εξάγονται από την ανάλυση μιας κατασκευής καταπονούμενης από

αρμονικές φορτίσεις είναι οι μετατοπίσεις, οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των κόμβων του

συστήματος, καθώς και εσωτερικές δράσεις και τάσεις των στοιχείων που το αποτελούν. Είναι

μιγαδικές ποσότητες που προκύπτουν από την επίλυση της εξίσωσης (3.55).

Με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, η επίλυση τέτοιων προβλημάτων γίνεται με δύο

τρόπους, είτε με απευθείας μόρφωση και επίλυση της εξίσωσης (3.55), είτε με την χρήση των

ιδιομορφών της κατασκευής. Αλλάζοντας τις μεταβλητές από τις μετατοπίσεις των κόμβων

στις ιδιομορφικές συντεταγμένες ξ(ω) θέτοντας

( ) tωω ieφξx = (3.57)

όπου φ τα διανύσματα των ιδιομορφών, μετασχηματίζουμε το πρόβλημα σε ανάλυση της

συμπεριφοράς του συστήματος ως προς τις ιδιομορφές, σε αντίθεση με πριν που ήταν ως προς

τις συντεταγμένες των κόμβων. Αυτό επιτρέπει την απεμπλοκή των εξισώσεων του συστήματος

εξισώσεων (3.55) εκμεταλλευόμενοι την ορθογωνικότητα των ιδιομορφών, με αποτέλεσμα να

εξοικονομούμε υπολογιστικό χρόνο. Η εξίσωση (3.57) ισχύει αν συμπεριληφθούν όλες οι

ιδιομορφές, πράγμα το οποίο δεν είναι αναγκαίο, αφού μεγάλη συμμετοχή έχουν μόνο οι

πρώτες ιδιομορφές -ιδιομορφές χαμηλών ιδιοσυχνοτήτων-. Η προσέγγιση αυτή προκύπτει

58

πολύ ικανοποιητική όσον αφορά την ακρίβεια των αποτελεσμάτων. Ανάλογα λοιπόν με το

εύρος συχνοτήτων μέσα στο οποίο επιθυμούμε αποτελέσματα, αποφασίζουμε πόσες

ιδιομορφές χρειάζεται να υπολογίσουμε, με εμπειρικό κανόνα η τελευταία ιδιοσυχνότητα να

είναι η διπλάσια του άνω ορίου του εύρους των συχνοτήτων.

Η χρήση των ιδιομορφών για την επίλυση του συστήματος (3.55) είναι πολύ αποδοτική,

ακόμα και για πολύ μεγάλο αριθμό συχνοτήτων. Από την άλλη μεριά, το μεγαλύτερο μερίδιο

της υπολογιστικής ισχύς αναλώνεται στον υπολογισμό των ιδιομορφών. Για μεγάλα

συστήματα, με μεγάλο αριθμό ιδιομορφών, αυτή η διαδικασία μπορεί να είναι το ίδιο

χρονοβόρα με την απευθείας επίλυση, ιδίως όταν πρόκειται για υψηλές συχνότητες. Σαν

γενικός πάντως κανόνας, η απευθείας επίλυση είναι σε κάθε περίπτωση ακριβέστερη.

Ανάλογο ιξώδους αποσβεστήρα

Ας θεωρήσουμε μια ράβδο που ταλαντώνεται με μια αρμονική διέγερση συχνότητας ω, tFF ωi

0e= . Γνωρίζουμε, όπως προέκυψε και στο κεφάλαιο 2 -σχέση (2.34)- ότι η λύση της

εξίσωσης κύματος σε μια διάσταση για απειρομήκες μέσο είναι

( )ctxkPv −= ie , (3.58)

όπου c η ταχύτητα του κύματος.

Εάν κάνουμε μια τομή σε ένα σημείο, τότε η εσωτερική δύναμη που αναπτύσσει η ράβδος

εξαιτίας του κύματος δίνεται από την σχέση

tvcAA

xvEAF x ∂

∂=

∂∂

== ρσ (3.59)

Μπορούμε, λοιπόν, να τοποθετήσουμε σε οποιαδήποτε θέση ιξώδη αποσβεστήρα με τιμή

cAC ρ= χωρίς να προκληθεί οποιαδήποτε μεταβολή στο αρχικό κύμα. Το κύμα, δηλαδή,

«απορροφάται» πλήρως από τον αποσβεστήρα! Η ιδιότητα αυτή είναι πολύ χρήσιμη στα

προσομοιώματα πεπερασμένων στοιχείων.

59

Κ ε φ ά λ α ι ο 4

ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΘΟΡΥΒΩΝ ΚΑΙ ΔΟΝΗΣΕΩΝ

Μετρήσεις ηχητικών σημάτων

Οι διακυμάνσεις της πίεσης είναι μακράν η ευκολότερη μετρήσιμη παράμετρος. Η ανθρώπινη

αντίληψη του ήχου κυμαίνεται από το κατώτερο όριο των 20 μικροπασκάλ (μPa) έως το

ανώτερο όριο των περίπου 200 Pa. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ένα πολύ μεγάλο πεδίο –

περίπου στα 107. Εξαιτίας αυτού, είναι πολύ πιο βολικό να εργαζόμαστε με σχετικές μονάδες

μέτρησης παρά με απόλυτες, και στην συνέχεια να τις συμπιέσουμε.

Δύο μεταβλητές διαφέρουν κατά ένα bel εάν μια είναι δέκα (101) φορές μεγαλύτερη από την

άλλη και δύο bell εάν η μια είναι εκατό (102) φορές μεγαλύτερη. Το bel εξακολουθεί όμως να

είναι μια μεγάλη μονάδα μέτρησης και είναι πιο βολικό να το χωρίσουμε σε δέκα μέρη,

δηλαδή σε decibel. Δύο μεταβλητές διαφέρουν κατά ένα decibel εάν ο λόγος τους είναι 101/10

(≈1.26) ή κατά τρία decibel εάν έχουν λόγο 103/10 (≈2.00). Τρία decibel, λοιπόν,

αναπαριστούν τον διπλασιασμό της σχετικής ποσότητας.

Τα decibel δεν μπορούν να προστεθούν γραμμικά. Με την προϋπόθεσή ότι τα διάφορα

σήματα είναι ασυσχέτιστα, η διαδικασία συνδυασμού ήχων διαφόρων decibel είναι η εξής:

• μετατροπή τις τιμής των decibel στις αντίστοιχες γραμμικές τιμές • πρόσθεση / αφαίρεση των γραμμικών ποσοτήτων • επαναμετατροπή του αποτελέσματος σε decibel

Η διαφορά φάσης μεταξύ διαφορετικών σημάτων αγνοείται για σήματα με διαφορετικές

συχνότητες συνεπώς η πρόσθεση των γραμμικών ποσοτήτων γίνεται απευθείας, π.χ. p2=p12+

p22. Εάν, όμως, επιθυμούμε να προσθέσουμε δύο σήματα ίδιας συχνότητας, η διαφορά φάσης,

θ, πρέπει να ληφθεί υπόψη. Στην περίπτωση αυτή, p2=p12+ p2

2+2 p1 p2cosθ

60

( )222

2122

2

...1n

refref

T ppppp

p+++= και ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

2

10log10ref

TpT p

pL οπότε,

( )10/10/10/10 10...1010log10 21 pnpp LLL

pTL +++= (4.1)

Η πρόσθεση και η αφαίρεση των decibel απλοποιούνται με την χρήση των παρακάτω

διαγραμμάτων. Από την πρόσθεση δύο ήχων ίδιας έντασης σε decibel προκύπτει ήχος

έντασης +3 dB. Εάν δύο ήχοι διαφέρουν κατά 10 dB τότε το άθροισμά τους δίνει

αποτέλεσμα μόλις 0.5 dB περισσότερο του μεγαλυτέρου. Συνεπώς κατά την πρόσθεση δύο

ήχων ο μικρότερης έντασης μπορεί να αγνοείται όταν διαφέρει περισσότερο από 10 dB. Οι

ίδιες παρατηρήσεις μπορούν να γίνουν και για την αφαίρεση των decibel αντίστοιχα.

Εικόνα 4.1, διάγραμμα πρόσθεσης dB

Εικόνα 4.2, διάγραμμα αφαίρεσης dB

61

Οκτάβες και ζώνες συχνοτήτων

Το φάσμα των συχνοτήτων οι οποίες γίνονται αντιληπτές από το ανθρώπινο αυτί κυμαίνεται

από 20 Hz έως 18 kHz. Το μέσο ανθρώπινο αυτί είναι εντελώς αναίσθητο σε συχνότητες άνω

των 18 kHz (υπερηχητική περιοχή). Από την άλλη, δονήσεις με ενδιαφέρουν για τους

μηχανικούς μπορούν να λάβουν χώρα και σε συχνότητες πολύ κοντά στα 0 Hz. Τα σήματα

του θορύβου και των δονήσεων πάντα αναλύονται στις συχνότητες από τις οποίες

αποτελούνται, είτε είναι ένας απλός αρμονικός παλμός, είτε είναι ένα σύνθετο ηχητικό κύμα

αποτελούμενο από παλμούς πολλών συχνοτήτων, είτε πρόκειται για τυχαίο σήμα.

Οι οκτάβες αποτελούν τις φαρδύτερες ζώνες συχνοτήτων που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση

συχνοτήτων. Η λέξη οκτάβα δηλώνει υποδιπλασιασμό ή διπλασιασμό μιας συχνότητας. 1000

Hz είναι η διεθνώς αποδεκτή συχνότητα αναφοράς και αποτελεί την κεντρική συχνότητα μιας

οκτάβας. Κεντρικές συχνότητες άλλων οκτάβων προκύπτουν διαιρώντας ή πολλαπλασιάζοντας

προηγούμενες κεντρικές συχνότητες με τον παράγοντα 103/10 (≈2). Τα όρια κάθε οκτάβας

προκύπτουν πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας την κεντρική συχνότητα με τον παράγοντα

103/20 (≈√2). Συνεπώς το ανώτερο όριο μιας οκτάβας είναι πάντα το διπλάσιο του κατωτέρου.

Η έννοια των ζωνών συχνοτήτων μπορεί να γενικευθεί. Αυτό είναι αρκετά χρήσιμο επειδή

ορισμένες φορές είναι πιο βολικό να χρησιμοποιούμε μικρότερου εύρους ζώνες συχνοτήτων

συχνοτήτων. Εάν ονομάσουμε f0 την κεντρική συχνότητα, fu το άνω όριο και fl το κάτω όριο,

τότε

ln

u ff 2= , (4.2)

όπου n οποιοσδήποτε αριθμός. Για ζώνες συχνοτήτων εύρους μιας οκτάβας είναι n=1, ενώ για

ζώνες συχνοτήτων ενός τρίτου της οκτάβας είναι n=1/3. Η κεντρική συχνότητα προκύπτει ως

ο γεωμετρικός μέσος των δύο ορίων

( ) 2/1210 fff = (4.3)

Ο πίνακας 4.1 περιλαμβάνει τις τιμές των συχνοτήτων για ζώνες συχνοτήτων εύρους μιας

οκτάβας και ενός τρίτου τις οκτάβας.

62

Όρια ζώνης συχνοτήτων (Hz) κεντρική συχνότητα ζώνης μιας οκτάβας (Hz)

κεντρική συχνότητα ζώνης 1/3

οκτάβας (Hz) κάτω άνω 25 22 28

31,5 31,5 28 35 40 35 44 50 44 57

63 63 57 71 80 71 88 100 88 113

125 125 113 141 160 141 176 200 176 225

250 250 225 283 315 283 353 400 353 440

500 500 440 565 630 565 707 800 707 880

1000 1000 880 1130 1250 1130 1414 1600 1414 1760

2000 2000 1760 2250 2500 2250 2825 3150 2825 3530

4000 4000 3530 4400 5000 4400 5650 6300 5650 7070

8000 8000 7070 8800 10000 8800 11300 12500 11300 14140

16000 16000 14140 17600 20000 17600 22500

Πίνακας 4.1

63

Οι κλίμακες του decibel χρησιμοποιούνται για να ποσοτικοποιήσουν και τον θόρυβο και τις

δονήσεις και εφόσον είναι σχετικές μονάδες μέτρησης, πρέπει να υιοθετήσουμε μονάδες

αναφοράς παγκοσμίως δεκτές.

Τα σφαιρικά κύματα προσεγγίζουν τα επίπεδα κύματα όταν απομακρυνθούν πολύ από την

πηγή. Στην περίπτωση αυτή, η ηχητική ένταση, I, ενός ηχητικού πεδίου είναι ανάλογη της

μέσης τιμής του τετραγώνου της διαφοράς της πίεσης, p2 (2.44). Συνεπώς,

dBppdB

ppL

refrefp 102

2

10 log20log10 == , όπου pref = 2 x 10-5 N m-2 = 20 μPa. (4.4)

Ενώ dBIILo

I 10log10= , με μονάδα αναφοράς Io = 10-12 W m-2 = 1 pW m-2 (4.5)

Συνδυάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις, με δεδομένο ότι I=p2/ρ0c προκύπτει

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

××

+= −

−

12

25

10 10102log10

cLL

opI ρ

(4.5)

Στην παραπάνω εξίσωση το τελευταίο μέρος εξαρτάται από την πίεση και την θερμοκρασία.

Με συνθήκες 20ο C και 1 atm ισούται με ≈0.16 dB. Μπορούμε λοιπόν να κάνουμε την

προσέγγιση LI ≈ Lp. Η κλίμακα του decibel μειώνει το πεδίο τιμών τις ακουστικής πίεσης από

107:1 σε 0:140 dB.

Υποκειμενικές, μη γραμμικές κλίμακες στάθμης ήχου

Παρόλα αυτά, οι γραμμικές λογαριθμικές κλίμακες δεν είναι κατάλληλες για να εκτιμήσουν

την υποκειμενική αντίδραση των ανθρώπων στον ήχο. Αυτό συμβαίνει βασικά επειδή το

ανθρώπινο αυτί δεν έχει γραμμική αντίδραση σε όλες τις συχνότητες, άλλες τις φιλτράρει και

άλλες τις δυναμώνει. Οι μηχανικές και οι ψυχολογικές διαδικασίες του μηχανισμού ακοής

παράγουν μια πνευματική αντίδραση που είναι μη-γραμμική. Ένας διπλασιασμός της έντασης

ενός ήχου δεν γίνεται αντιληπτός από το ανθρώπινο μυαλό ως διπλασιασμός. Πολλοί

παράγοντες πρέπει να συμπεριληφθούν για να ορισθεί μια τέτοιας φύσεως κλίμακα, όπως ο

64

βαθμός ενόχλησης, το φάσμα των συχνοτήτων, ο βαθμός αλληλεπίδρασης με την ομιλία και

άλλα. Τέτοιες υποκειμενικές κλίμακες βασίζονται σε στατιστικές αναλύσεις των αντιδράσεων

ενός μεγάλου δείγματος πληθυσμού.

Η μονάδα της στάθμης δύναμης ήχου είναι το phon (P) και η κλίμακα της δύναμης του ήχου

είναι το sone (S). Η σχέση μεταξύ των δύο είναι

( ) 10/402 −= PS (4.6)

Μια τιμή n phons υποδεικνύει ότι η στάθμη ενός ήχου είναι ίδια με αυτήν ενός παλμού 1000

Hz με Lp = n dB. Η κλίμακα των sons είναι έτσι επιλεγμένη ώστε ο λόγος της δύναμης του

ήχου δύο ήχων να είναι ίσος με τον λόγο της κλίμακας της δύναμης του ήχου (τιμές σε sone).

Μεταβολές της ισχύος του ήχου με την συχνότητα και με την ηχητική πίεση μπορούν να

συνυπολογιστούν χρησιμοποιώντας δίκτυα φιλτραρίσματος και σταθμισμένης κατανομής.

Υπάρχουν διάφορα δίκτυα, εκ των οποίων το πιο συνηθισμένο είναι το Α (dB(A)). Το δίκτυο

αυτό προσεγγίζει την αντίδραση του ανθρώπινου αυτιού στα 40 phon, ενώ το B και το C

δίκτυο προσεγγίζουν την αντίδραση του ανθρώπινου αυτιού σε μεγαλύτερη ένταση (70 και 90

αντίστοιχα). Το δίκτυο D δυναμώνει τις υψηλές συχνότητες και παρέχει καλύτερο τρόπο

αξιολόγησης των υποκειμενικών ανθρώπινων αντιδράσεων σε θόρυβο υψηλών συχνοτήτων.

Στην πράξη, το dB(A) καλύπτει ένα μεγάλο φάσμα καταστάσεων και χρησιμοποιείται σε όλες

σχεδόν τις περιπτώσεις.

Εικόνα 4.3, δίκτυα φιλτραρίσματος και σταθμημένης κατανομής θορύβου

65

κεντρική συχνότητα ζώνης 1/3

οκτάβας (Hz) dB(A) dB(B) dB(C) db(D)

31,5 -39,4 -17,1 -3,0 -16,0 40 -34,6 -14,2 -2,0 -14,0 50 -30,2 -11,6 -1,3 -12,8 63 -26,2 -9,3 -0,8 -10,9 80 -22,5 -7,4 -0,5 -9,0 100 -19,1 -5,6 -0,3 -7,2 125 -16,1 -4,2 -0,2 -5,5 160 -13,4 -3,0 -0,1 -4,0 200 -10,9 -2,0 0 -2,6 250 -8,9 -1,3 0 -1,6 315 -6,6 -0,8 0 -0,8 400 -4,8 -0,5 0 -0,4 500 -3,2 -0,3 0 -0,3 630 -1,9 -0,1 0 -0,5 800 -0,8 0 0 -0,6 1000 0 0 0 0 1250 0,6 0 0 2,0 1600 1,0 0 -0,1 4,9 2000 1,2 -0,1 -0,2 7,9 2500 1,3 -0,2 -0,3 10,6 3150 1,2 -0,4 -0,5 11,5 4000 1,0 -0,7 -0,8 11,1 5000 0,5 -1,2 -1,3 9,6 6300 -0,1 -1,9 -0,2 7,6 8000 -1,1 -2,9 -0,3 5,5 10000 -2,5 -4,3 -4,4 3,4 12500 -4,3 -6,1 -6,2 1,4 16000 -6,6 -8,4 -8,5 -0,5 20000 -9,3 -11,1 -11,2 -2,5

Πίνακας 4.2

Μετρήσεις κραδασμών και δονήσεων

Όσον αφορά τους κραδασμούς και τις δονήσεις, υπάρχουν τρεις τρόποι μέτρησης, η

μετατόπιση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση του δονούμενου σώματος. Εξαιτίας της φύσης της

σχέσης μεταξύ των τριών παραπάνω μεγεθών, η επιλογή της μετρούμενης παραμέτρου έχει

66

αποφασιστική σημασία στην ανάλυση, κυρίως όταν υπάρχουν πολλές συχνότητες με μεγάλη

διαφορά τιμών μεταξύ τους.

Μεγάλες παραμορφώσεις συνήθως προκαλούνται από χαμηλές συχνότητες και αντίστοιχα,

μεγάλες επιταχύνσεις προκαλούνται από σώματα παλλόμενα σε υψηλές συχνότητες. Επειδή το

δυναμικό πεδίο –η διαφορά μικρότερης και μεγαλύτερης μετρήσιμης τιμής ενός οργάνου- των

σύγχρονων ηλεκτρονικών οργάνων μέτρησης είναι περιορισμένο, πρέπει σύμφωνα με τα όσα

αναφέρθηκαν παραπάνω να γίνει η σωστή επιλογή της παραμέτρου μέτρησης των δονήσεων.

Επομένως, όταν χρειάζεται ένα μεγάλο εύρος συχνοτήτων ενδείκνυται η μέτρηση της

ταχύτητας. Για χαμηλές συχνότητες, κάτω των 100 Hz, πιο κατάλληλη είναι η μέτρηση της

μετατόπισης, ενώ για υψηλές συχνότητες, άνω των 2000 Hz, πιο κατάλληλη είναι η μέτρηση

της επιτάχυνσης.

Όπως ο ήχος, έτσι και οι δονήσεις μπορούν να εκφραστούν σε decibel, όπως έχει ήδη

αναφερθεί.

Για την μετατόπιση είναι 0

10log20ddLd = , όπου d0=10-11 m (4.7)

Για την ταχύτητα είναι 0

10log20uuLv = , όπου u0=10-9 m s-1 (4.8)

Για την επιτάχυνση είναι 0

10log20aaLa = , όπου a0=10-6 m s-2 (4.9)

Αντίθετα με τις κλίμακες μέτρησης του θορύβου, όπου υπάρχουν διεθνώς αποδεκτές τιμές

αναφοράς, στις δονήσεις τα decibel εκφράζονται και σε σχέση με άλλες εναλλακτικές τιμές

αναφοράς και για την μετατόπιση και για την ταχύτητα και για την επιτάχυνση. Αυτό

επιδεικνύει ότι τα decibel είναι μόνο σχετικές τιμές και προφανώς όταν γίνονται συγκρίσεις και

συνδυασμοί μεταξύ διαφορετικών επιπέδων δονήσεων σε decibel, όλες οι τιμές να είναι σε

σχέση με την ίδια τιμή αναφοράς.

67

Όργανα μέτρησης θορύβου και δονήσεων

Η μέτρηση και η ανάλυση του θορύβου και των δονήσεων απαιτεί την χρήση διατάξεων

μετατροπής του μηχανικού σήματος (μεταβολή πίεσης ή δόνηση) σε ηλεκτρική μορφή. Ένα

τυπικό όργανο μέτρησης θορύβου και δονήσεων περιλαμβάνει έναν μετατροπέα, έναν

προενισχυτή και μέσα ανάλυσης, παρουσίασης, μέτρησης και καταγραφής του παραγόμενου

ηλεκτρικού σήματος.

Διατάξεις μέτρησης θορύβου

Τα μικρόφωνα είναι τα όργανα μετρήσεις του θορύβου. Κατηγοριοποιούνται σε τρεις τύπους,

τα πυκνωτικά μικρόφωνα, τα δυναμικά μικρόφωνα και τα κεραμικά μικρόφωνα, με τα πρώτα

να είναι τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα. Έχουν την δυνατότητα να μετρήσουν πιέσεις από

0.01 Hz έως και 140 kHz.

Ο αισθητήρας των πυκνωτικών μικροφώνων είναι ένας πυκνωτής με ένα διάφραγμα το οποίο

εκτρέπεται σε κάθε μεταβολή της πίεσης δια μέσου του. Γενικός κανόνας είναι ότι όσο πιο

μικρή είναι η διάμετρος του διαφράγματος τόσο καλύτερος είναι ο διαχωρισμός των

συχνοτήτων. Από την άλλη όμως, τα μικρότερα μικρόφωνα έχουν μικρότερη ευαισθησία. Τα

πυκνωτικά μικρόφωνα είναι πολύ σταθερά με μεγάλη γκάμα συχνοτήτων, μπορούν να

χρησιμοποιηθούν σε υψηλές θερμοκρασίες και δεν επηρεάζονται από κραδασμούς. Είναι

όμως πολύ ακριβά και ευαίσθητα στην υγρασία.

Τα δυναμικά μικρόφωνα δημιουργούν το ηλεκτρικό σήμα με την βοήθεια ενός κινούμενου

πηνίου μέσα σε μαγνητικό πεδίο και το οποίο συνδέεται με ένα διάφραγμα όπως τα πυκνωτικά

μικρόφωνα. Τα μικρόφωνα αυτής της κατηγορίας έχουν εκπληκτική ευαισθησία, δεν

επηρεάζονται από κραδασμούς, αντέχουν στην υγρασία και είναι γενικά φθηνότερα από τα

πυκνωτικά μικρόφωνα. Από την άλλη δεν πρέπει να χρησιμοποιούνται σε περιβάλλον με

μαγνητικά πεδία και έχουν χαμηλότερη απόκριση στις διάφορες συχνότητες.

Τα κεραμικά μικρόφωνα έχουν ως αισθητήρα έναν πιεζοηλεκτρικό κρύσταλλο, για αυτό και

συχνά καλούνται και πιεζοηλεκτρικά μικρόφωνα. Έχουν πολύ καλή απόδοση και είναι ιδανικά

για εφαρμογή σε σημεία που απαιτούνται πολύ μικρά μικρόφωνα. Μειονέκτημά τους είναι ότι

είναι εξίσου ευαίσθητα και στις δονήσεις.

68

Διατάξεις μέτρησης δονήσεων

Για την μέτρηση των δονήσεων υπάρχουν διάφορες συσκευές, διατάξεις αυτεπαγωγικού

ρεύματος, αισθητήρες κίνησης κινούμενων στοιχείων και επιταχυνσιόμετρα. Τα

επιταχυνσιόμετρα είναι τα πιο κοινά όργανα μέτρησης, καθώς συγκεντρώνουν τα καλύτερα

χαρακτηριστικά σε όλους τους τομείς και έχουν την δυνατότητα να μετατρέπουν το

μετρούμενο σήμα σε επιτάχυνση, ταχύτητα και μετατόπιση.

Οι διατάξεις αυτεπαγωγικού ρεύματος επιτρέπουν μετρήσεις συχνοτήτων μέχρι 400 Hz, έχουν

συνεπώς πολύ μικρό δυναμικό φάσμα. Το πλεονέκτημά τους όμως είναι ότι δεν έχουν επαφή

με το ταλαντευόμενο σώμα και μπορούν να μετρήσουν δονήσεις μέχρι και 0 Hz.

Οι αισθητήρες κίνησης κινούμενων στοιχείων λειτουργούν σε συχνότητες μεγαλύτερες από την

ιδιοσυχνότητα τους, περιορίζοντας έτσι το κατώτερο όριο συχνοτήτων στα 10 Hz. Είναι

γενικά μεγάλες συσκευές με αποτέλεσμα η μάζα τους να μεταβάλει σε ορισμένες περιπτώσεις

την απόκριση της κατασκευής.

Τα επιταχυνσιόμετρα είναι οι πιο ευρέως διαδεδομένοι μετατροπείς δονήσεων. Μετρούν την

επιτάχυνση και έχουν ένα πολύ μεγάλο δυναμικό φάσμα. Υπάρχουν σε όλα τα σχήματα και

μεγέθη, είναι πολύ συμπαγείς κατασκευές και έχουν πολύ μεγάλο πεδίο συχνοτήτων. Ο πιο

κοινός τύπος επιταχυνσιόμετρου είναι το πιεζοηλεκτρικό επιταχυνσιόμετρο του οποίου η

λειτουργία είναι παρόμοια με του κεραμικού μικροφώνου. Η μάζα του επιταχυνσιόμετρου

μπορεί να αλλοιώσει σημαντικά την πραγματική ταλάντωση μιας κατασκευής και αποτελεί

πρόβλημα σε κατασκευές ελαφρού βάρους με υψηλές συχνότητες ταλάντωσης. Παράγοντες

που επηρεάζουν την ακρίβεια των μετρήσεων είναι η υγρασία, η θερμοκρασία, οι

ηλεκτρομαγνητικές παρεμβολές και ο «θόρυβος» των καλωδίων. Επίσης, πολύ σημαντικός

παράγοντας για αξιόπιστες μετρήσεις είναι η ορθή τοποθέτηση του επιταχυνσιόμετρου στην

ταλαντευόμενη κατασκευή.

Εικόνα 4.4, όργανα μέτρησης μετατόπισης, ταχύτητας και επιτάχυνσης κατασκευών

69

Κ ε φ ά λ α ι ο 5

ΈΛΕΓΧΟΣ ΘΟΡΥΒΟΥ, ΚΡΑΔΑΣΜΩΝ ΚΑΙ ΔΟΝΗΣΕΩΝ

Γενικά – Μέθοδοι περιορισμού θορύβου, κραδασμών και δονήσεων

Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, οι δύο βασικοί μηχανισμοί που ευθύνονται για την γένεση του

ήχου είναι ο δομόφερτος ήχος που σχετίζεται με τα δονούμενα μέλη μιας κατασκευής και ο

αεροδυναμικός ήχος. Ο έλεγχος των δονήσεων δεν είναι, λοιπόν, μόνο σημαντικός στην

ελαχιστοποίηση των δονήσεων αλλά και στον περιορισμό του θορύβου. Είναι όμως πολύ

σημαντικό να αναγνωρίσουμε ότι δεν υπάρχει πάντα μια ένα προς ένα σχέση μεταξύ της

μείωσης των δονήσεων και την μείωση του θορύβου.

Σαν ένας γενικός εμπειρικός κανόνας, οι χαμηλές συχνότητες προκαλούν κόπωση και αστοχία,

ενώ οι υψηλές παράγουν ήχο και θόρυβο. Διαδικασίες ελέγχου δονήσεων περιλαμβάνουν είτε

απομόνωση των δυνάμεων που προκαλούν δονήσεις, ή την εφαρμογή της απόσβεσης στην

κατασκευή. Η απομόνωση των δονήσεων είναι η μείωση της μετάδοσης των δονήσεων από

την μια κατασκευή στην άλλη μέσω ελαστικού μέσου και αποτελεί ένα πολύ σημαντικό –και

άμεσα εφαρμόσιμο- τμήμα του ελέγχου και του περιορισμού των δονήσεων. Η διαδικασία

αυτή μπορεί να χωρισθεί σε τρεις περιοχές, χαμηλής συχνότητας, ενός βαθμού ελευθερίας

μόνωση, χαμηλής συχνότητας, πολλών βαθμών ελευθερίας μόνωση και μόνωση συχνοτήτων

που βρίσκονται εντός του ακουστικού φάσματος.

Δονήσεις από ιδιοταλαντώσεις μπορούν να περιορισθούν με απόσβεση, είτε με την εφαρμογή

δυναμικών αποσβεστήρων, είτε με την μορφή πολλαπλών επιπέδων υλικών απόσβεσης πάνω

στην επιφάνεια της κατασκευής. Οι αποσβεστήρες αυτοί διαχέουν την ενέργεια της

ταλάντωσης στις περιοχές του συντονισμού, μετατρέποντάς την σε θερμότητα.

70

Μονωτές ταλαντώσεων

Η απόδοση ενός συστήματος απορρόφησης μπορεί να ποσοτικοποιηθεί με μια απλή θεωρία

βασισμένη στον λόγο δύναμης / ταχύτητας (σύνθετη αντίσταση) της κινούμενης μάζας, των

συστημάτων απόσβεσης, των ελατηρίων και των θεμελίων. Σύμφωνα με το διάγραμμα της

εικόνας 5.1, η ταχύτητα της μάζας στο σημείο επαφής, vm, είναι το άθροισμα της ταχύτητας

της ίδιας της μάζας εξαιτίας της αδράνειάς της συν την επιπλέον ταχύτητα εξαιτίας της

αντίδρασης του θεμελίου. Συνεπώς

mmm FYvv += (5.1)

όπου Υm είναι η κινητικότητα (αντίστροφος της σύνθετης αντίστασης) της μάζας και Fm είναι η

αντίδραση της μάζας εξαιτίας του θεμελίου. Στο σημείο επαφής, λοιπόν, ισχύει

fmfffm FYvFYvv −=== (5.2)

και η δύναμη στα θεμέλια –χωρίς κανέναν αποσβεστήρα ανάμεσα στην μάζα και το θεμέλιο-

είναι

fmf YY

vF+

= (5.3)

Εάν τώρα θεωρήσουμε ότι ανάμεσα στην μάζα και το θεμέλιο παρεμβάλλεται ένας

αποσβεστήρας - απορροφητής, σε πρώτη προσέγγιση ενδείκνυται να αγνοήσουμε την μάζα

του ώστε όλες οι δυνάμεις να μεταδίδονται αμείωτες διαμέσου του αποσβεστήρα, πρέπει

δηλαδή να ισορροπούν. Επίσης, οι ταχύτητες στα σημεία επαφής του αποσβεστήρα πρέπει να

είναι ίσες.

71

Εικόνα 5.1, διάγραμμα ελευθέρου σώματος

Εάν η δύναμη, Fi, του αποσβεστήρα ορίζεται ως Fi = Fim και η σχετική ταχύτητα ως vi = vim

– vif, τότε vi = vim - vif και

fffmfiii FYFYvFYFYv −−=== i (5.4)

Συνεπώς η δύναμη στο θεμέλιο είναι

fmif YYY

vF++

= (5.5)

Η μεταβιβασιμότητα, TR, λαμβάνεται διαιρώντας την εξίσωση (5.3) με την εξίσωση (5.5)

fmi

fm

YYYYY

TR++

+= (5.6)

Η παραπάνω εξίσωση επιδεικνύει ότι, για αποδοτική μόνωση από κραδασμούς και δονήσεις, η

κινητικότητα του μονωτή πρέπει να είναι μεγαλύτερη από αυτήν του συστήματος μάζα-

θεμέλιο, δηλαδή απαιτείται μαλακός ή εύκαμπτος αποσβεστήρας.

72

Για ένα μονοβάθμιο σύστημα, αυξάνοντας την ακαμψία ή την απόσβεση της μάζας της

κατασκευής και του θεμελίου, μειώνουμε την κινητικότητά τους και επακόλουθα αυξάνουμε

την ικανότητα απόσβεσης του αποσβεστήρα.

Οι κοινοί μονωτές ταλαντώσεων περιλαμβάνουν παρεμβλήματα από τσόχα, παρεμβλήματα

από φελλό, παρεμβλήματα από υαλονήματα, παρεμβλήματα από λάστιχο ή πτυχώσεις,

μεταλλικά ελατήρια, ελαστομερή, αερόσακους και μεγάλες μάζες.

Εικόνα 5.2, διάφοροι τύποι και μορφές απόσβεσης

Παρεμβλήματα από τσόχα γενικά χρησιμοποιούνται για συχνότητες ταλάντωσης άνω των 40 Hz

και παρέχουν καλή μόνωση στις χαμηλές συχνότητες του ακουστικού πεδίου. Είναι

αποτελεσματικά μόνο σε σύνθλιψη. Τα παρεμβλήματα από φελλό από την άλλη

χρησιμοποιούνται και στην σύνθλιψη και στην διάτμηση. Το μειονέκτημά τους όμως είναι ότι

η ακαμψία τους μειώνεται όταν αυξάνονται τα φορτία. Τα παρεμβλήματα από υαλονήματα έχουν

παρόμοια χαρακτηριστικά με τα παρεμβλήματα από τσόχα, με κύριο πλεονέκτημα ότι είναι

ακλόνητα και πολύ ανθεκτικά σε λάδια, διαλύματα κ.λ.π. Τα ελαστομερή είναι συχνά

χρησιμοποιούμενα υλικά σε εφαρμογές μόνωσης των δονήσεων. Παραλαμβάνουν και

διάτμηση εκτός από σύνθλιψη και διάφοροι τύποι -βουτύλιο, σιλικόνη, νεοπρένιο, φυσικό

καουτσούκ- χρησιμοποιούνται σε μια πληθώρα εφαρμογών. Η δυναμική ακαμψία είναι

περίπου 75% της στατικής ακαμψίας. Παρεμβλήματα από λάστιχο χρησιμοποιούνται σε

συχνότητες ανάμεσα σε 5 και 50 Hz.

73

Τα μεταλλικά ελατήρια χρησιμοποιούνται ευρέως και είναι ιδανικά για χαμηλές συχνότητες

αφού μπορούν να αντέξουν μεγάλες στατικές παραμορφώσεις. Το κύριο μειονέκτημα τους

είναι ότι μεταδίδουν αμείωτες τις υψηλές συχνότητες και έχουν μηδενική απόσβεση. Στην

πράξη το πρόβλημα επιλύεται εισάγοντας ένα ελαστικό εφέδρανο ανάμεσα στα άκρα των

ελατηρίων. Οι αερόσακοι είναι πολύ χρήσιμοι για κραδασμούς σε πολύ χαμηλές συχνότητες

(0.07 Hz έως 5.00 Hz) καθώς απαιτούνται τεράστιες στατικές παραμορφώσεις. Οι μεγάλες

μάζες προσθέτουν μάζα στην κατασκευή μειώνοντας την ιδιοσυχνότητά της, το κέντρο βάρους

της και ανεπιθύμητες μικροκινήσεις. Είναι συνήθως 1.5 με 2 φορές μεγαλύτερες σε μάζα από

την κατασκευή.

Ο δυναμικός αποσβεστήρας είναι μια άλλη μορφή περιορισμού δονήσεων. Η αρχή του βασίζεται

στην ενσωμάτωση στην κατασκευή μιας μάζας μέσω ενός ελατηρίου, η οποία ταλαντώνεται

εκτός φάσης με την κύρια μάζα και η αδρανειακή της δύναμη, η οποία μεταδίδεται στην

κατασκευή μέσω του ελατηρίου, αντιτίθεται στην κίνηση που προκαλούν οι δονήσεις.

Οι δυναμικοί αποσβεστήρες χρησιμοποιούνται κυρίως σε μηχανήματα με σταθερή ταχύτητα

ή περιστροφή επειδή έχουν εφαρμογή σε πολύ στενή ζώνη συχνοτήτων ή ακόμα και σε μια

μόνο συχνότητα ταλάντωσης. Είναι σημαντικό να έχει εξασφαλισθεί ότι η συχνότητα

λειτουργίας είναι αρκετά μακριά από την ιδιοσυχνότητα του αποσβεστήρα, ειδάλλως το

σύστημα συντονίζεται.

Εικόνα 5.3, σχηματική παράσταση απόδοσης δυναμικού αποσβεστήρα

74

Υλικά απόσβεσης

Στο εμπόριο υπάρχει μεγάλο εύρος προϊόντων απόσβεσης από βισκοελαστικά πολυμερή. Οι

δύο πιο κοινοί τρόποι εφαρμογής τους είναι είτε με μη περιορισμένες στρώσεις των εκάστοτε

υλικών είτε με περιορισμένα στρώματα (εικόνα5.4). Με τον πρώτο τρόπο, το υλικό

εφαρμόζεται στις επιφάνειες τις κατασκευής με επικόλληση ή ψεκασμό και πρέπει να είναι

μεγαλύτερο από το 20% τις κατασκευαστικής μάζας για να θεωρείται αποδοτικό, καθώς η

απόσβεση αυξάνεται ανάλογα με το τετράγωνο του πάχους του υλικού. Ο δεύτερος τρόπος

χρησιμοποιεί την ιδιότητα που έχουν τα βισκοελαστικά πολυμερή να διαχέουν την ενέργεια

όταν είναι περιορισμένα ανάμεσα σε μια δονούμενη κατασκευή και ένα πολύ άκαμπτο

στρώμα, όπως ένα στενό μεταλλικό έλασμα. Όπως το στρώμα δονείται, οι διατμητικές

δυνάμεις, που προκαλούνται λόγω της διαφοράς στην ένταση της πάνω και της κάτω

επιφανείας, συμβάλλουν στην ανάλωση ενέργειας, επιπλέον της ενέργειας που χάνεται από

σύνθλιψη. Συνεπώς τα περιορισμένα στρώματα απόσβεσης είναι γενικά πιο αποδοτικά από τα

μη περιορισμένα.

Εικόνα 5.4, τρόποι εφαρμογής βισκοελαστικών πολυμερών

Περιορισμοί και προδιαγραφές στάθμης επιτρεπόμενων θορύβων και δονήσεων

Ο ήχος μπορεί να είναι επιθυμητός, μη επιθυμητός, ή απλά μη αντιλαμβανόμενος. Και οι

τρεις κατηγορίες μπορεί να είναι βλαβερές ή μη βλαβερές για τον άνθρωπο. Η δυσμενέστερη

επίδραση του θορύβου είναι η βλάβη της ακοής, αλλά μπορεί επίσης να επηρεασθεί και η

75

σωματική και ψυχική μας υγεία, δημιουργώντας άγχος από την ενόχληση και την διατάραξη

της ξεκούρασης και του ύπνου. Άλλες σοβαρές επιδράσεις περιλαμβάνουν τον περισπασμό

από την εργασία, την υποβάθμιση της ικανότητας κατανόησης της ομιλίας και την επιρροή

στην αναπαραγωγή και απόλαυση της μουσικής. Ο θόρυβος μπορεί επίσης να αποτελέσει

σοβαρή απειλή σε μηχανικά και ηλεκτρικά συστήματα προκαλώντας υπερβολική ένταση,

δονήσεις και κόπωση στην κατασκευή. Έχει αρνητική επιρροή στην αξία των οικοπέδων και

στην ποιότητα των βιομηχανικών προϊόντων.

Υπάρχει ικανοποιητική δραστηριοποίηση για την ανάπτυξη και υλοποίηση μέτρων

περιορισμού του θορύβου και των δονήσεων με όσο το δυνατών αποτελεσματικότερα μέσα.

Παρόλα αυτά υπάρχουν πολλοί περιορισμοί, κυρίως οικονομικοί, αλλά και άλλοι παράγοντες

όπως η ασφάλεια, το βάρος, ο όγκος, η υγιεινή, η ευκολία συντήρησης, η υπερθέρμανση, η

απόδοση του συστήματος-μηχανήματος και η αισθητική αποδοχή.

Το οτιδήποτε είναι ικανό να μεταδώσει ήχο ή να προκαλέσει ταλαντώσεις, μέσα από μια

πληθώρα παράλληλων διαδρομών (εικόνα 5.5). Στην φυσική, η λέξη «ήχος» περιγράφει την

μεταφορά κύματος μέσω ενός μέσου, συνήθως της ατμόσφαιρας. Πρέπει όμως να θεωρούμε

τον ήχο και ως την αντίληψη που έχει ο άνθρωπος για αυτά τα κύματα. Ο ήχος μεταπίπτει σε

θόρυβο μόνο όταν υπάρχει κάποιος να τον υποστεί. Οι υψηλότερες στάθμες θορύβου σε μια

κοινωνία ανθρώπων πολύ σπάνια ξεπερνούν τα 120 db(A)max και ακόμα και σε αυτά τα υψηλά

επίπεδα δεν έχει μόνιμη επίδραση στο περιβάλλον ούτε και άμεσες βλαβερές παρενέργειες για

το ανθρώπινο σώμα, επειδή η ενέργεια του κύματος είναι πολύ χαμηλή. Σε χαμηλότερες, πιο

συχνά εμφανιζόμενες στάθμες θορύβου, λόγου χάρη θόρυβος από την κίνηση των δρόμων και

των τραίνων, υπάρχει άμεση απόκριση του ακουστικού νεύρου. Το γεγονός αυτό θα μπορούσε

να οδηγήσει σε αυξημένες νευρικές και ορμονικές αντιδράσεις, οι οποίες δυσχεραίνουν την

ταχύρυθμη προσαρμογή του ανθρώπου στην αλλαγή του εξωτερικού περιβάλλοντος.

76

Εικόνα 5.5, σχέση ηχητικής ισχύος - μηχανικής ισχύος ποικίλων μηχανημάτων, εργαλείων και συσκευών

Στην Ευρώπη, ο θόρυβος των οχημάτων έχει ελαττωθεί τα τελευταία χρόνια με διαδοχικές

μειώσεις του αποδεκτού ορίου θορύβου για καινούργια οχήματα. Παρόλα αυτά, αν και έχει

μειωθεί το ποσοστό του πληθυσμού που εκτίθεται σε υψηλές στάθμες θορύβου, το ποσοστό

του πληθυσμού που εκτίθεται σε χαμηλές στάθμες αυξάνεται, καθώς αυξάνονται τα οδικά

δίκτυα και τα οχήματα (εικόνα 5.6). Υπάρχει, λοιπόν, μια λεπτή ισορροπία ανάμεσα στα

οφέλη που έχει η ανάπτυξη του οδικού δικτύου -και γενικότερα στις κάθε είδους μεταφορές-

και στην μόλυνση της ατμόσφαιρας και στην ηχορύπανση.

77

Εικόνα 5.6, κατανομή κατοικιών εκτεθειμένων σε θόρυβο

Από την άλλη μεριά, η υψηλή ευαισθησία του ανθρώπινου σώματος στην παλινδρομική κίνηση

έχει την ίδια βαρύτητα με την ενόχληση που προκαλεί ο θόρυβος. Οι αντιδράσεις του

ανθρώπου στις δονήσεις καθορίζουν την αποδεκτή στάθμη δονήσεων για κάθε περιβάλλον και

περίσταση. Έτσι, οι δονήσεις ενός κτιρίου θα γίνουν αντιληπτές και ενοχλητικές σε πολύ

μικρότερο επίπεδο από αυτό που θα προκαλούσε αστοχία, ή οι ανωμαλίες του εδάφους και οι

εναλλασσόμενες επιταχύνσεις - επιβραδύνσεις ενός οχήματος θα προκαλέσουν ενοχλήσεις και

θα επηρεάσουν τις δραστηριότητες των επιβατών, χωρίς να υποστεί το ίδιο το όχημα βλάβες.

Επίσης, η δόνηση ορισμένων εργαλείων και μηχανημάτων μπορεί να προκαλέσει τραύματα

και αρρώστιες στον χειριστή, χωρίς την καταστροφή του εργαλείου ή του μηχανήματος.

Συνεπώς, ο μηχανικός οφείλει να μην δίνει μόνο σημασία στην πρόληψη της αστοχίας αλλά να

επικεντρώνει την προσοχή του και σε θέματα που αφορούν την ποιότητα της ζωής, ένα εκ των

οποίων είναι οι ενοχλήσεις από τον θόρυβο και την δόνηση.

Μπορούμε να χωρίσουμε τις δονήσεις που καταπονούν το ανθρώπινο σώμα σε τρεις μεγάλες

κατηγορίες:

78

• Δόνηση ολόκληρου του σώματος, η οποία συμβαίνει όταν το σώμα στηρίζεται σε μια δονούμενη επιφάνεια.

• Ζάλη-ναυτία, η οποία συμβαίνει όταν πραγματικές ή φανταστικές μετακινήσεις του σώματος ή του περιβάλλοντος οδηγούν σε αμφιβολίες στον ανθρώπινο εγκέφαλο όσον αφορά την κίνηση, τον προσανατολισμό και την προσαρμογή στο περιβάλλον. Κινήσεις που προκαλούν ναυτία έχουν πολύ χαμηλές συχνότητες, κάτω από 1 Hz.

• Δονήσεις που προκαλούνται από διάφορες εργασίες στην βιομηχανία, στην γεωργία, στις εξορύξεις και στα μεταλλεία, στις οικοδομές όπου δονούμενα εργαλεία και μηχανήματα κρατούνται ή αγκαλιάζονται με τα χέρια.

Για πολύ χαμηλές τιμές, το ποσοστό των ανθρώπων που θα αντιληφθούν και τα ποσοστό

αυτών που δεν θα αντιληφθούν την δόνηση μπορεί να εκτιμηθεί. Σε υψηλότερες τιμές, όπου η

δόνηση γίνεται καθολικά αντιληπτή, πρέπει να κατασκευασθεί μια κλίμακα ενόχλησης, η

οποία να βασίζεται στις υποκειμενικές αντιδράσεις των ατόμων για κάθε επίπεδο δόνησης. Τα

όρια ενόχλησης μεταβάλλονται και σύμφωνα με τον περιβάλλοντα χώρο –άλλο είναι το όριο

μέσα σε ένα κτίριο, άλλο σε ένα αυτοκίνητο, άλλο σε ένα φορτηγό- και, όπως είναι φυσικό,

εξαρτώνται από πολλούς παράγοντες. Παρακάτω παρουσιάζονται διάφορες τέτοιες κλίμακες

από διαφόρους ερευνητές.

DIN 4025

Η κλίμακα αυτή βασίζεται σε έρευνα του Dieckmann (1958) και καθορίζει το επίπεδο των

δονήσεων με μια παράμετρο K.

Για κατακόρυφες δονήσεις

Φάσμα συχνοτήτων (Hz) Βάση για κριτήριο K Μέχρι 5 Hz Επιτάχυνση K=25 d f 2

Από 5 έως 40 Hz Ταχύτητα K=125 d f Πάνω από 40 Hz Μετατόπιση K=5000 d

Πίνακας 5.1

Για οριζόντιες δονήσεις

Φάσμα συχνοτήτων (Hz) Βάση για κριτήριο K Μέχρι 2 Hz Επιτάχυνση K=50 d f 2

Από 2 έως 25 Hz Ταχύτητα K=100 d f Πάνω από 25 Hz Μετατόπιση K=2500 d

Πίνακας 5.2

Στους παραπάνω πίνακες f είναι η συχνότητα δόνησης και d είναι η μετατόπιση σε ίντσες.

79

Χρησιμοποιώντας την τιμή του K από τους παραπάνω πίνακες οι δονήσεις ταξινομούνται

όπως παρακάτω

Κ Κατάταξη Επίδραση Μέχρι 0.1 Μη αντιληπτή Καμία 0.1 – 0.3 Μόλις αντιληπτή Εύκολα αποδεκτή 0.3 – 1 Εύκολα αισθητή Αποδεκτή αλλά σχετικά

ενοχλητική εάν διαρκεί πάνω από μια ώρα

1 – 3 Έντονα αξιοσημείωτη Ανεκτή αλλά πολύ ενοχλητική εάν διαρκεί πάνω από μια ώρα

3 – 10 Μη ευχάριστη Ανεκτή μόνο για μια ώρα 10 – 30 Πολύ δυσάρεστη Μη ανεκτή για πάνω από

δέκα λεπτά 30 – 100 Εξαιρετικά δυσάρεστη Μη ανεκτή για πάνω από ένα

λεπτό Πάνω από 100 Ανυπόφορη Ανυπόφορη

Πίνακας 5.3

Reiher και Meister (1931)

Εικόνα 5.7, εμπειρική κλίμακα Reiher και meister για ταξινόμηση των δονήσεων

Ι: Μη αντιληπτή ΙΙ: Μόλις αντιληπτή ΙΙΙ: Καθαρά αντιληπτή IV: Ενοχλητική V: Δυσάρεστη VI: Οδυνηρή

80

Soliman (1963)

Βασισμένος σε εκτενείς μελέτες, ο Solismann ανέπτυξε διαγράμματα για το κατώτερο

επίπεδο αντίληψης δόνησης και το ανώτερο επίπεδο ανεκτής δόνησης. Τα διαγράμματά αυτά

(εικόνα 5.8) σχετίζουν την μετατόπιση, την ταχύτητα, την επιτάχυνση και τον ρυθμό

μεταβολής της επιτάχυνσης με την συχνότητα μιας δόνησης.

Εικόνα 5.8, εμπειρική κλίμακα Soliman για διαχωρισμό δονήσεων σε ενοχλητικές και μη ενοχλητικές

81

BS 6472

Ο βρετανικός κανονισμός BS 6472 δίνει το κατώτερο επίπεδο κατακόρυφης δόνησης, η οποία

μπορεί να γίνει αντιληπτή από τον άνθρωπο. Στο διάγραμμα που ακολουθεί φαίνεται η

καμπύλη αυτή με διάφορους συντελεστές βάρους. Στον συνημμένο πίνακα αναλύονται αυτοί οι

συντελεστές βάρους και καθορίζονται οι ανεκτές μετατοπίσεις για διαφόρων ειδών κτίρια.

Εικόνα 5.9

Τύπος κτιρίου

Συντελεστής βάρους για συνεχή ή διακοπτόμενη

δόνηση και επαναλαμβανόμενους

κραδασμούς

Συντελεστής βάρους για αυθόρμητο παλμό με αρκετές εμφανίσεις

καθημερινά

Κρίσιμες περιοχές εργασίας (π.χ. χειρουργεία νοσοκομείου)

1 1

Κατοικήσιμες περιοχές 2 – 4 την ημέρα

1.4 το βράδυ 60 – 90 την ημέρα

20 το βράδυ Συγκρότημα γραφείων 4 128

Εργαστήρια – Βιοτεχνίες - Συνεργεία 8 128

Πίνακας 5.4

82

55 60 65 70 75 80 85

ΑΠΟΔΕΚΤΟ

ΑΠΟΔΕΚΤΟ ΥΠΟ ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ

ΓΕΝΙΚΑ ΜΗ ΑΠΟΔΕΚΤΟ

ΕΝΤΕΛΩΣ ΜΗ ΑΠΟΔΕΚΤΟ

Κτίρια γραφείου

Βιομηχανικές εγκαταστάσεις, Αγροτικές εγκαταστάσεις

Παιδικές χαρές, πάρκα

Γήπεδα γκολφ, ιππικά κέντρα, κοιμητήρια

ΣΤΑΘΜΗ ΘΟΡΥΒΟΥ ΚΟΙΝΩΝΙΑΣ - ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΧΩΡΟΥ

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΧΡΗΣΗΣ ΓΗΣ

Αίθουσες δημοσίων συναντήσεων, αίθουσες συναυλιών, αμφιθέατρα

Αθλητικοί χώροι

Χαμηλής πυκνότητας πληθυσμού κατοικίες -

Μονοκατοικίες

Κατοικίες υψηλής πυκνότητας πληθυσμού - Πολυκατοικίες

Ξενοδοχεία, Motel

Σχολεία, Βιβλιοθήκες, Εκκλησίες, Νοσοκομεία, Κλινικές

83

Προτεινόμενα όρια επιτρεπτών ταχυτήτων και επίπεδων θορύβου από τον Ομοσπονδιακό

Σιδηρόδρομο Ελβετίας (Swiss Federal Railways)

Όρια για σχεδιασμό καινούργιων σιδηροδρομικών γραμμών

Δονήσεις

(mm/s) ημέρα/νύχτα

Θόρυβος Leq (dB(A))

ημέρα/νύχταΠεριοχές κατοικίας, κοινόχρηστες περιοχές (σχολεία, νοσοκομεία) 0.3/0.2 35/25

Αστικές και αγροτικές περιοχές 0.4/0.3 40/30 Πίνακας 5.5

Όρια για επέκταση υφισταμένων γραμμών

Δονήσεις

(mm/s) ημέρα/νύχτα

Θόρυβος Leq (dB(A))

ημέρα/νύχταΠεριοχές κατοικίας, κοινόχρηστες περιοχές (σχολεία,

νοσοκομεία) 0.4/0.3 40/30

Αστικές και αγροτικές περιοχές 0.5/0.4 45/35 Πίνακας 5.6

Εφαρμογές ελέγχου θορύβων και δονήσεων στον σιδηρόδρομο

Μολονότι όλα τα προβλήματα θορύβων από τα τραίνα –με εξαίρεση αεροδυναμικών ήχων σε

τραίνα που κινούνται με πολύ μεγάλες ταχύτητες- έχουν προέλθει από δονούμενες κατασκευές,

είναι χρήσιμο να τους διακρίνουμε ανάμεσα σε αερογενή και σε δομόφερτο –

εδαφομεταφερόμενο θόρυβο.

84

Εικόνα 5.10, στάθμη θορύβου μέσα σε βαγόνι τραίνου για διάφορους τύπους εδάφους. Ταχύτητα 200 km/h

Αν και οι πρωταρχικοί μηχανισμοί που καθορίζουν την διαδικασία παραγωγής θορύβου και

κραδασμών από τον σιδηρόδρομο δεν είναι εντελώς κατανοητοί, ο ήχος και ο έλεγχος του

θορύβου μπορεί να προβλεφθούν αρκετά καλά. Τα εργαλεία για έλεγχο των δονήσεων από τα

τραίνα είναι λιγότερο ανεπτυγμένα. Εντούτοις, το πρόβλημα αντιμετωπίζεται από πολλές

οπτικές γωνίες, ώστε να επιτευχθεί πρόοδος και σε αυτόν τον τομέα.

Τα χαμηλής συχνότητας κύματα που μεταδίδονται μέσω της επιφάνειας του εδάφους από τα

τραίνα γίνονται συχνά αντιληπτά από παρακείμενα της σιδηροδρομικής γραμμής κτίρια. Αυτό

μπορεί να προκαλέσει ενόχληση και διατάραξη της ησυχίας και του ύπνου των κατοίκων. Η

επιφανειακή μετάδοση των δονήσεων πρέπει να λαμβάνεται σοβαρά υπόψη στον σχεδιασμό

νέων σιδηροδρομικών δικτύων. Υψηλά επίπεδα δονήσεων με συχνότητες που κυμαίνονται από

4 έως 50 Hz σχετίζονται με την λειτουργία τόσο τραίνων που μεταφέρουν εμπορεύματα, όσο

και με τις ελαφρύτερες αμαξοστοιχίες με επιβάτες. Σε πολλές περιπτώσεις δονήσεις του

εδάφους προκαλούνται και σε μεγαλύτερες συχνότητες, μέχρι 200 Hz. Μετρήσεις κοντά σε

σιδηροτροχιές επιδεικνύουν ότι, κατά την συντριπτική πλειοψηφία, η γένεση των δονήσεων

γίνεται στην περιοχή της επαφής του τροχού με την ράγα.

Η συχνότητα της τραβέρσας της σιδηροτροχιάς ορίζεται ως

ss lUf /= , όπου ls είναι το μήκος από τραβέρσα σε τραβέρσα

85

και η συχνότητα του περάσματος των τροχών ως

aUf A /= , όπου α είναι η απόσταση μεταξύ των δύο αξόνων ενός βαγονιού.

Εικόνα 5.11 Χρονοϊστορία επιτάχυνσης εδάφους κατά την διέλευση τραίνου. Επάνω καμπύλη: απόσταση από το κέντρο της ράγας 3 m.

Κάτω καμπύλη: απόσταση από το κέντρο της ράγας 32 m

Και οι δύο συχνότητες εμφανίζουν τοπικά μέγιστα σε διαγράμματα ανάλυσης επιταχύνσεων,

ταχυτήτων και μετατοπίσεων ως προς την συχνότητα. Παρόλα αυτά ορισμένες κορυφές

τέτοιων διαγραμμάτων, π.χ. διάγραμμα εικόνας 5.12 και εικόνας 5.13, δεν μπορούν εύκολα να

εξηγηθούν. Κραδασμοί μπορούν να προκληθούν από χάσματα και ανωμαλίες της

σιδηροτροχιάς, ή όταν ο τροχός είναι σε μερικά σημεία επίπεδος. Αυτού του τύπου οι

δονήσεις έχουν συχνότητα κοντά στα 50 με 60 Hz. Επίσης, οποιαδήποτε αλλαγή των

μηχανικών ιδιοτήτων της ράγας, της υπόβασης, ακόμα και του περιβάλλοντος εδάφους μπορεί

86

να προκαλέσει διαταραχή και κραδασμούς. Όσο πιο γρήγορα ταξιδεύει το τραίνο τόσο πιο

απότομοι είναι αυτοί οι κραδασμοί, ενώ όσο πιο άκαμπτη είναι η σιδηροτροχιά τόσο πιο

ομαλή η μετάβαση από την μια κατάσταση στην άλλη.

Πέρα από τα επιφανειακά κύματα, γνωρίζουμε ότι όταν η διέγερση είναι έντονη, μεγάλο

ποσοστό της ενέργειας ταλάντωσης που μεταβιβάζεται στο έδαφος διοχετεύεται σε διαμήκη

και εγκάρσια κύματα που διαδίδονται σε όλο τον όγκο του εδάφους, τα οποία πολύ συχνά, σε

στρωματογενή εδάφη, ανακλώνται πάλι στην επιφάνεια, ενισχύοντας και αυτά τις επιφανειακές

δονήσεις.

Εικόνα 5.12 στάθμη ταχυτήτων δονήσεων σε τοίχους σήραγγας λόγω διέλευσης συρμού ET 320 με ταχύτητες 1) 30 km/h, 2) 60 km/h, 3) 120 km/h. fA: συχνότητα τροχών, fs: συχνότητα τραβέρσας. Εικόνα 5.13 φάσμα στάθμης ταχυτήτων δονήσεων εδάφους λόγω διέλευσης τραίνου με ταχύτητα 200

km/h. 1,2,3,… αρμονικές συχνότητας τροχών. S1, S2, … αρμονικές συχνότητας τραβέρσας.

Στο παρελθόν, μέτρα ελέγχου αερογενή θορύβου από τις σιδηροδρομικές γραμμές ήταν η

παρατεταμένη χρήση ηχοφραγμάτων και ηχοπετασμάτων. Γενικά, οι μέθοδοι αυτοί

επικεντρώνονται στην μείωση υψίσυχνων θορύβων. Ο εδαφομεταφερόμενος θόρυβος

παραμένει όμως ένα μείζων πρόβλημα καθώς είναι χαμηλής συχνότητας ήχος που

προκαλείται από δονήσεις και δεν μπορεί να περιορισθεί από ηχοπετάσματα και μονώσεις. Οι

τοίχοι και τα παράθυρα των κτιρίων δεν ελαττώνουν το ίδιο αποτελεσματικά τις χαμηλές

συχνότητες όσο τις υψηλές.

Από την άλλη μεριά, πρόβλεψη του φάσματος τέτοιων θορύβων είναι αρκετά δύσκολη εξαιτίας

της πολυπλοκότητας της κατασκευής. Η διάδοση των κραδασμών στο έδαφος καθορίζεται,

πέρα από τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες του εδάφους, και από την δομή των εδαφικών

στρώσεων και των ανομοιομορφιών. Συνεπώς οι προβλέψεις από τους υπολογισμούς

87

προϋποθέτουν είτε ένα μεγάλο περιθώριο ασφαλείας είτε μεγάλο πλήθος εμπειρικών

δεδομένων.

Οι μείωση των δονήσεων μπορεί να επέλθει περιορίζοντας την πηγή παραγωγής τους, δηλαδή

καθιστώντας την διεπιφάνεια ράγας – τροχού όσο πιο ομαλή και ομογενής γίνεται. Επίσης, θα

πρέπει η ράγα να έχει αυξημένη ακαμψία. Για να περιορίσουμε την μετάδοση των δονήσεων

πρέπει να παρεμβάλουμε ένα πολύ ελαστικό υλικό στην πορεία μετάδοσής τους (πίνακας 5.7).

Τέτοια υλικά θα πρέπει να είναι τόσο μαλακά όσο επιτρέπουν οι κανονισμοί ασφαλείας και η

μάζα που παρεμβάλλεται ανάμεσα στα υλικά αυτά και την σιδηροδρομική γραμμή να είναι

όσο μεγαλύτερη γίνεται. Άλλοι -λιγότερο αποδοτικοί- τρόποι περιλαμβάνουν αύξηση του

πάχους των περιμετρικών τοίχων όταν πρόκειται για σήραγγες, εκσκαφή τάφρων κ.λ.π.

Ενέργεια Προσπάθεια Μείωση Ελαστικό στρώμα σε συμπαγείς

σιδηροδρομικές γραμμές Μικρή 5 – 10 dB

Πλωτή πλάκα ή αυλάκι Μεγάλη 20 – 30 dB Στρώμα από χαλίκι σε σήραγγες Μέση 20 dB

Ελαστικοί αποσβεστήρες σε σιδηρές γέφυρες Μέση 10 dB Αποσβεστήρες στα θεμέλια κτιρίων Μεγάλη 20 – 25 dB

Πίνακας 5.7

Από ανάλυση ποικίλων μετρήσεων έχει προκύψει ένας εμπειρικός κανόνας μείωσης 3 dB για

κάθε διπλασιασμό της απόστασης από την σιδηροτροχιά και πιο αναλυτικά, το διάγραμμα της

εικόνας 5.14 παρουσιάζει την μείωση αυτή σε σχέση με την συχνότητα, το οποίο έχει

προκύψει από διάφορους τύπους σιδηροδρομικών δικτύων, εδάφους, αμαξοστοιχιών κ.λ.π.

88

Εικόνα 5.14, Η εξασθένηση των δονήσεων συνάρτηση της απόστασης από την ράγα. Μέσες τιμές πειραματικών μετρήσεων ενός τρίτου της οκτάβας σε διάφορες περιοχές και με διάφορα τραίνα. −−−−−−− 10 Hz, − − − − 20 Hz,

−− ⋅ −− 31.5 Hz, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 50 Hz.

89

Κ ε φ ά λ α ι ο 6

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΠΛΩΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ ΣΕ ΣΙΔΗΡΟΔΡΟΜΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ

Περιγραφή προσομοιώματος

Προκειμένου να μειωθεί ο εδαφομεταφερόμενος θόρυβος από την διέλευση των τραίνων,

διερευνάται με την μελέτη αυτή η αποτελεσματικότητα της εφαρμογής του συστήματος της

πλωτής πλάκας. Ο υπολογισμός της συμπεριφοράς της πλωτής πλάκας, όταν αυτή

ταλαντώνεται από την διέλευση των τραίνων, και ο προσδιορισμός των δονήσεων που

μεταφέρονται στο έδαφος έγινε συγκρίνοντας δύο προσομοιώματα από πεπερασμένα στοιχεία.

Το πρώτο προσομοίωμα περιλαμβάνει την πλάκα έδρασης, τις ράγες και το έδαφος χωρίς

καμία αντικραδασμική στήριξη και το δεύτερο περιλαμβάνει την πλωτή πλάκα πάνω στην

οποία βρίσκονται οι ράγες, τις ράγες, το ελαστομερές που παρεμβάλλεται ανάμεσα στην

πλωτή πλάκα και στην πλάκα θεμελίωσης, την πλάκα θεμελίωσης και το έδαφος. Ο

εδαφομεταφερόμενος θόρυβος υπολογίζεται σε διάφορες αποστάσεις από το κέντρο της

σιδηροδρομικής γραμμής. Οι υπολογισμοί έγιναν με το πρόγραμμα NASTRAN σε μια

δισδιάστατη εγκάρσια τομή της σιδηροδρομικής γραμμής.

Παράμετροι προσομοίωσης – χαρακτηριστικά υλικών

Το φορτίο της αμαξοστοιχίας που παραλαμβάνει η 2διάστατη διάταξη εκτιμάται σε 1200 kgr,

εκ των οποίων τα 6500 kN αποτελούν το μη ταλαντευόμενο τμήμα (unsprung mass) που

ακολουθεί και αυτό την ταλάντωση που επιβάλουν τα υπόλοιπα 5500 kN. Το φορτίο, δηλαδή,

έχει τιμή tP ωie2750= , σε κάθε σιδηροτροχιά.

Το έδαφος που περικλείει την πλάκα έδρασης της σιδηροτροχιάς έχει ορθογωνικές διαστάσεις

40m x 15m. Στα παρακάτω σχήματα παρουσιάζεται η γεωμετρία των δύο προσομοιωμάτων.

90

Και τα δύο αποτελούνται από 10603 κόμβους, 10406 στοιχεία επίπεδης παραμόρφωσης και

606 αποσβεστήρες.

Εικόνα 6.1, Λεπτομέρεια πρώτου προσομοιώματος (χωρίς αντικραδασμική προστασία)

Εικόνα 6.2, Λεπτομέρεια δεύτερου προσομοιώματος (με πλωτή πλάκα)

Εικόνα 6.3, Γενική άποψη και των δύο προσομοιωμάτων

91

Η δυναμική καταπόνηση που προκαλούν οι διελεύσεις των συρμών μελετάται με την

απόκριση των δύο προσομοιωμάτων σε αρμονικές φορτίσεις για ένα φάσμα συχνοτήτων 1/3

της οκτάβας από 10 Hz έως 200 Hz (πίνακας 6.1).

Κεντρική συχνότητα ζώνης (Hz)

κάτω όριο (Hz)

άνω όριο (Hz)

10 9 11 12 11 13 16 14 18 20 18 22 25 22 28 31 28 35 40 36 45 50 45 56 63 56 71 80 71 90 100 89 112 125 111 140 160 143 180 200 178 224

Πίνακας 6.1

Τα φυσικά χαρακτηριστικά των υλικών που χρησιμοποιήθηκαν στα δύο προσομοιώματα είναι

Υλικό Μέτρο Ελαστικότητας

Λόγος Poisson Πυκνότητα

Σιδηροτροχιά 199950 106 0.32 7862.3 Ελαστομερές

CDM 49 5 106 0.375 25

Ελαστομερές CDM 43

7.5 103 0.35 25

Σκυρόδεμα 210 106 0.20 2500 Έδαφος 2 106 0.30 2000

Πίνακας 6.2

Η αυθαίρετη εδαφική τομή 40m x 15m πρέπει να έχει συνοριακές συνθήκες στήριξης ικανές

να αντικαθιστούν το υπόλοιπο έδαφος, το οποίο είναι ένας ελαστικός ημίχωρος. Δύο

βοηθητικά προσομοιώματα έγιναν για αυτό τον σκοπό, ένα με αποσβεστήρες καθόλο το

92

μήκος του συνόρου και ένα με πλήρη πάκτωσή του. Σε αυτά επιβλήθηκε ένας μοναδιαίος

παλμός 10 Hz σε κάθε μια από τις δύο ράγες. Έγινε βήμα προς βήμα χρονική ολοκλήρωση

της συμπεριφοράς των προσομοιωμάτων. Ο παλμός δημιούργησε ταλάντωση στο σύστημα

της σιδηροδρομικής γραμμής, η οποία προκάλεσε με την σειρά της κύματα στον ελαστικό

ημίχωρο του εδάφους. Στο πακτωμένο μοντέλο τα κύματα αυτά ανακλάστηκαν πάνω στο

σύνορο και επέστρεψαν στην σιδηροδρομική γραμμή, ενώ στο προσομοίωμα με τους

αποσβεστήρες, επιλέγοντας κατάλληλη τιμή 12500 kNsec/m για τα διαμήκη κύματα και

7850 kNsec/m για τα εγκάρσια, δεν υπήρξε ανάκλαση των κυμάτων. Με τον τρόπο αυτό

προσομοιώνεται επιτυχώς η συνθήκη ακτινοβολίας. Μελετώντας την απόκριση του

συστήματος σε διαδοχικές χρονικές στιγμές επαληθεύονται οι θεωρητικές τιμές των ταχυτήτων

μετάδοσης διαμήκων και εγκάρσιων κυμάτων, 31.6 m/sec και 19.6 m/sec αντίστοιχα, ενώ

ορθά αποτελέσματα δίνει και η σχέση (3.54) για το ανάλογο του ιξώδους αποσβεστήρα στις

συνοριακές συνθήκες.

Στην εικόνα 6.4 φαίνονται οι κατακόρυφες μετατοπίσεις συναρτήσει του χρόνου για ένα

σημείο 3 m κάτω από την σιδηροδρομική γραμμή. Παρατηρούμε ότι πριν την ανάκλαση του

κύματος οι μετατοπίσεις είναι παραπλήσιες, συνεπώς δεν υπάρχει ουσιαστική διαφορά

οποιοιδήποτε και αν είναι οι περιορισμοί των μετατοπίσεων στο σύνορο, εφόσον αυτό είναι σε

μια αρκετά μακρινή απόσταση από την σιδηροδρομική γραμμή. Οι περιορισμοί που έχουν

σημαντικό ρόλο στην περίπτωση αυτή είναι των ταχυτήτων, οι οποίοι με την κατάλληλη

επιλογή ελαστικής στήριξης της μορφής vCF = (αποσβεστήρας) περιορίζουν, στο μέγιστο

δυνατό, την ανάκλαση του κύματος, όπως αναλυτικότερα παρουσιάζονται στα στιγμιότυπα του

κύματος στις επόμενες σελίδες. Αν και σε εξειδικευμένα προγράμματα πεπερασμένων

στοιχείων υπάρχουν στοιχεία ειδικά σχεδιασμένα για την απορρόφηση των κυμάτων (Infinite

Element - ABACUS), εκ του αποτελέσματος φαίνεται ότι και οι απλοί ιξώδεις αποσβεστήρες

είναι, σε πρώτη προσέγγιση, ικανοποιητικοί.

-0,0000002

-0,00000015

-0,0000001

-0,00000005

0

0,00000005

0,0000001

0 0,5 1 1,5 2 2,5

χρόνος (sec)

κατακόρυ

φη μετατόπιση

(m)

Με πάκτωση

Με αποσβεστήρες

Εικόνα 6.4, Σύγκριση προσομοιωμάτων με μοναδική διαφορά τις

συνοριακές συνθήκες στήριξης

93

Στιγμιότυπα

διάδοσης κύματος

ανά

75

mse

c με

πακτώσεις

στα

σύνορα του προσομοιώματος

Στιγμιότυπα

διάδοσης κύματος

ανά

75

mse

c με

αποσβεστήρες

στα

σύνορα του προσομοιώματος

94

Στιγμιότυπα

διάδοσης κύματος

ανά

75

mse

c με

πακτώσεις

στα

σύνορα του προσομοιώματος

Στιγμιότυπα

διάδοσης κύματος

ανά

75

mse

c με

αποσβεστήρες

στα

σύνορα του προσομοιώματος

95

Στιγμιότυπα

διάδοσης κύματος

ανά

75

mse

c με

πακτώσεις

στα

σύνορα του προσομοιώματος

Στιγμιότυπα

διάδοσης κύματος

ανά

75

mse

c με

αποσβεστήρες

στα

σύνορα του προσομοιώματος

96

Στιγμιότυπα

διάδοσης κύματος

ανά

75

mse

c με

πακτώσεις

στα

σύνορα του προσομοιώματος

Στιγμιότυπα

διάδοσης κύματος

ανά

75

mse

c με

αποσβεστήρες

στα

σύνορα του προσομοιώματος

97

Στιγμιότυπα

διάδοσης κύματος

ανά

75

mse

c με

πακτώσεις

στα

σύνορα του προσομοιώματος

Στιγμιότυπα

διάδοσης κύματος

ανά

75

mse

c με

αποσβεστήρες

στα

σύνορα του προσομοιώματος

98

Στιγμιότυπα

διάδοσης κύματος

ανά

75

mse

c με

πακτώσεις

στα

σύνορα του προσομοιώματος

Στιγμιότυπα

διάδοσης κύματος

ανά

75

mse

c με

αποσβεστήρες

στα

σύνορα του προσομοιώματος

99

Αποτελέσματα επιλύσεων προσομοιωμάτων

Δύο ήταν οι μέθοδοι επίλυσης των προσομοιωμάτων, α) απευθείας, βήμα προς βήμα χρονική

ολοκλήρωση, για κάθε μια από τις 14 συχνότητες του πίνακα 6.1 και για κάθε ένα από τα δύο

προσομοιώματα (πλωτή πλάκα – ολόσωμη πλάκα από σκυρόδεμα) και β) ανάλυση στο πεδίο

των συνοτήτων των αρμονικών φορτίσεων βάσει της σχέσης (3.55) για κάθε ένα από τα δύο

προσομοιώματα. Η σύγκλιση των αποτελεσμάτων των δύο μεθόδων αυξάνει την ορθότητα και

την ακρίβεια των επιλύσεων. Για την επιβεβαίωση της σύγκλισης, χρησιμοποιήθηκαν αρχικά

δύο βοηθητικά προσομοιώματα, ένα πολύ απλό με 6 γραμμικά στοιχεία και ένα πιο σύνθετο,

με 264 επιφανειακά στοιχεία και αποσβεστήρες στο σύνορο (εικόνα 6.5). Τα αποτελέσματα,

τα οποία φαίνονται στις εικόνες 6.6 έως 6.10, δείχνουν ότι διανύεται μια αξιοσημείωτη χρονική

περίοδος για την παύση της επιρροής των –μηδενικών- αρχικών συνθηκών στην δυναμική

απόκριση των συστημάτων, για το πρώτο προσομοίωμα ~15 δευτερόλεπτα και για το δεύτερο

~130 δευτερόλεπτα. Στην μόνιμη όμως κατάσταση, συγκρίνοντας τους δύο τρόπους επίλυσης

για κάθε ένα από τα δύο βοηθητικά προσομοιώματα, το πλάτος ταλάντωσης διαφέρει κατά

ποσοστό μικρότερο του 1% – 1.5% στους διάφορους κόμβους και των δύο προσομοιωμάτων.

Το γεγονός αυτό μας επιτρέπει την χρήση της πολύ λιγότερο χρονοβόρας επίλυσης με την

μέθοδο της ανάλυσης στο πεδίο των συχνοτήτων.

Εικόνα 6.5, βοηθητικά προσομοιώματα επιβεβαίωσης σύγκλισης αποτελεσμάτων των δύο μεθόδων επίλυσης, α) με 6 γραμμικά στοιχεία, β) με 264 επιφανειακά

στοιχεία και αποσβεστήρες στο σύνορο

100

Εικόνα 6.6, χρονοϊστορία μετατοπίσεων κόμβου 3 για συχνότητα 50 Hz, προσομοίωμα α)

Εικόνα 6.7, χρονοϊστορία μετατοπίσεων κόμβου 3 για συχνότητα 100 Hz, προσομοίωμα α)

101

Εικόνα 6.8, ανάλυση συχνοτήτων του προσομοιώματος α) για συχνότητες από 10 έως 200 Hz, μέγιστη μετατόπιση κόμβου 3

Εικόνα 6.9, χρονοϊστορία μετατοπίσεων διαφόρων κόμβων προσομοιώματος β) με συχνότητα 25 Hz

102

Εικόνα 6.10, ανάλυση συχνοτήτων του προσομοιώματος β), μέγιστες μετατοπίσεις διαφόρων κόμβων

Στην συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της ταχύτητας δόνησης της επιφάνειας του

εδάφους για τις συχνότητες των 10, 25, 63 και 160 Hz. Σε κάθε περίπτωση παρατηρούμε ότι

η πράσινη καμπύλη (προσομοίωμα με πλωτή πλάκα) βρίσκεται σε χαμηλότερα επίπεδα

δόνησης από την κυανή καμπύλη (προσομοίωμα ολόσωμης πλάκας σκυροδέματος). Στον

πίνακα 6.3 παρουσιάζονται οι ταχύτητες δονήσεων για κάθε συχνότητα του πίνακα 6.1

Συχνότητα (Hz) 10 12 16 20 25 31,5 40 50 63 80 100 125 160 200

Ταχύτητα (m/s) 1,30E-03 8,46E-04 4,26E-04 2,48E-04 1,43E-04 7,98E-05 4,31E-05 2,72E-05 2,48E-05 2,13E-06 1,15E-06 1,41E-06 2,31E-06 2,26E-07

Ταχύτητα (m/s) 1,28E-02 1,15E-02 9,43E-03 8,01E-03 6,75E-03 5,61E-03 4,52E-03 3,96E-03 3,62E-03 3,75E-03 5,59E-03 1,48E-02 4,08E-03 2,43E-04

Ταχύτητα (dB ref 10-9 m/s) 61,13 59,27 56,29 53,95 51,54 49,02 46,34 44,35 43,94 33,29 30,60 31,49 33,64 23,54

Ταχύτητα (dB ref 10-9 m/s) 71,07 70,60 69,74 69,04 68,30 67,49 66,55 65,97 65,59 65,74 67,47 71,71 66,11 53,86

Διαφορά dB -9,94 -11,32 -13,45 -15,09 -16,75 -18,47 -20,20 -21,63 -21,65 -32,45 -36,87 -40,22 -32,47 -30,32Πίνακας 6.3

25 Hz

103

Εικόνα 6.11, ταχύτητες στην επιφάνεια του εδάφους για συχνότητα δόνησης 10 Hz. Κυανή καμπύλη: ολόσωμη πλάκα σκυροδέματος, Πράσινη καμπύλη: πλωτή πλάκα

Εικόνα 6.12, ταχύτητες στην επιφάνεια του εδάφους για συχνότητα δόνησης 25 Hz. Κυανή καμπύλη: ολόσωμη πλάκα σκυροδέματος, Πράσινη καμπύλη: πλωτή πλάκα

104

Εικόνα 6.13, ταχύτητες στην επιφάνεια του εδάφους για συχνότητα δόνησης 63 Hz. Κυανή καμπύλη: ολόσωμη πλάκα σκυροδέματος, Πράσινη καμπύλη: πλωτή πλάκα

Εικόνα 6.14, ταχύτητες στην επιφάνεια του εδάφους για συχνότητα δόνησης 160 Hz. Κυανή καμπύλη: ολόσωμη πλάκα σκυροδέματος, Πράσινη καμπύλη: πλωτή πλάκα

105

Εικόνα 6.15, συνάρτηση μεταφοράς πλωτής πλάκας (διαφορά σε dB ταχύτητας δονήσεων των δύο προσομοιωμάτων: πλωτή πλάκα – ολόσωμη πλάκα)

106

Συμπεράσματα

Από τις παραπάνω αναλύσεις προκύπτει ότι η μείωση των δονήσεων και κατά συνέπεια η

μείωση του εδαφομεταφερόμενου θορύβου με την «απομόνωση» της πλωτής πλάκας

χρησιμοποιώντας ελαστομερή υλικά (CD-43) όχι ιδιαίτερα μεγάλου πάχους, είναι πολύ

έντονη. Η εφαρμογή του συστήματος αυτού μπορεί να δώσει λύσεις στις περιπτώσεις που

απαιτείται μια τέτοια μείωση του εδαφομεταφερόμενου θορύβου από την κίνηση του

σιδηροδρομικού δικτύου, όπως όταν διέρχονται τραίνα κοντά σε κτίρια, ιδίως κατοικίες. Οι

τιμές του παραπάνω διαγράμματος καλύπτουν τις απαιτήσεις των προδιαγραφών, οι οποίες

είναι μείωση δονήσεων κατά 20 dB στα 63 Hz και πάνω από 25 dB στο φάσμα των 100 – 200

Hz.

Η μείωση αυτή, όπως προκύπτει και από την εικόνα 6.15, δεν είναι ομοιόμορφη σε όλο το

φάσμα των συχνοτήτων και για αυτό θα πρέπει να εκτιμούνται θεωρητικά και πειραματικά το

φάσμα των δονήσεων που προκαλεί ο κάθε συνδυασμός τύπου αμαξοστοιχίας, σιδηροτροχιάς

κ.λ.π. ώστε κάθε συχνότητα να έχει έναν συντελεστή βάρους κατά την επίλυση με την μέθοδο

της ανάλυσης στο πεδίο συχνοτήτων.

Συγκρίνοντας τα διαγράμματα των εικόνων 6.10 έως 6.14 προκύπτει επίσης ότι σε υψηλότερες

συχνότητες έχουμε μεγαλύτερη απόσβεση όσο απομακρυνόμαστε από το κέντρο της

σιδηροδρομικής γραμμής, ενώ παράλληλα μειώνεται και το πλάτος της ταλάντωσης. Το

γεγονός αυτό δυσχεραίνει την διάδοση του εδαφομεταφερόμενου θορύβου καθώς οι υψίσυχνες

ταλαντώσεις παράγουν πολύ πιο εύκολα ήχο στον περιβάλλον χώρο από τις ταλαντώσεις

χαμηλότερης συχνότητας.

Μεταβάλλοντας τις παραμέτρους του εδάφους που χρησιμοποιούνται στα προσομοιώματα

δεν παρατηρούμε αξιόλογες μεταβολές στο πλάτος των δονήσεων, έκτος από την απόσβεση, η

οποία επιδρά δραστικά στην μείωση του πλάτους σε σχέση με την απόσταση από την πηγή

των δονήσεων. Η απόσβεση του ελαστομερούς, από την άλλη, επιδρά αρνητικά στην μείωση

των ταλαντώσεων σε πολύ μικρό όμως βαθμό. Δοκιμές μεταβολής της παραμέτρου έγιναν και

στην ποσότητα της μάζας της αμαξοστοιχίας που δεν συμμετέχει στην ταλάντωση (unsprung

mass). Το αποτέλεσμα ήταν η αύξηση των ταλαντώσεων όταν όλη η μάζα ταλαντώνεται

(μηδενική unsprung mass) τόσο στο προσομοίωμα χωρίς καμιά αντικραδασμική προστασία,

όσο και στο προσομοίωμα με την ενθυλάκωση της πλάκα στο ελαστομερές, χωρίς όμως

107

ουσιαστική μεταβολή της μείωσης της στάθμης του εδαφομεταφερόμενου θορύβου με και

χωρίς το ελαστομερές (εικόνα 6.16).

0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Συχνότητα (Hz)

Μετατόπ

ιση

(m)

Με unsprung mass

Χωρίς unsprung mass

Εικόνα 6.16

Επόμενη φάση της ανάλυσης μπορεί να είναι η ενσωμάτωση της θεμελίωσης κτιρίου πλησίον

της σιδηροδρομικής γραμμής στο προσομοίωμα ώστε να συμπεριληφθεί στην μελέτη η

αλληλεπίδραση του εδάφους με το θεμέλιο (Structure-Soil Interaction – SSI ). Όπως

συμβαίνει και με την περίπτωση του σεισμού, η ταλάντωση της βάσης του κτιρίου μπορεί να

είναι διαφορετική από την ταλάντωση της ελεύθερης επιφάνειας του εδάφους. Αυτή η μη

γραμμική συμπεριφορά του εδάφους στην περιοχή της θεμελίωσης μπορεί να προκαλέσει μια

γενικευμένη μη-γραμμμικότητα σε όλο το σύστημα, ακόμα και αν η κατασκευή συμπεριφερθεί

ελαστικά, όπως στην περίπτωση των μικρού πλάτους ταλαντώσεων του εδαφομεταφερόμενου

θορύβου.

108

ΑΝΑΦΟΡΕΣ

Βιβλιογραφία

1. M.P.Norton, Fundamentals of noise and vibration analysis for engineers

2. Frank Fahy and John Walker, Fundamentals of NOISE and VIBRATION

3. Barber Antony, Handbook of Noise and Vibration control

4. Beranek L. Leo, Noise and vibration control engineering: principles and applications

5. David A. Harris , Noise control manual

6. Γ. Γκαζέτας, Σημειώσεις εδαφοδυναμικής, Έκδοση 2002

7. Ι.Θ. Κατσικαδέλης, Μαθήματα δυναμικής ανάλυσης γραμμικών φορέων

8. Αντώνιος Ν. Kουνάδης, Δυναμική των συνεχών ελαστικών συστημάτων

9. SIXTH INTERNATIONAL WORKSHOP ON RAILWAY NOISE,1998. A

SUMMARY OF CONCLUSIONS., P.-E. Gautier, Journal of Sound and

VibrationVIBRATION INSULATION RESEARCH RESULTS IN

SWITZERLAND., A. Zach, Journal of Sound and Vibration

10. EFFECTS OF EXPOSURE TO RAILWAY NOISE - A COMPARISION

BETWEEN AREAS WITH AND WITHOUT VIBRATION., E. Ohrstrom, Journal

of Sound and Vibration

11. TOOLS FOR MEASURING, PREDICTING AND REDUCING THE

ENVIROMENTAL IMPACT FROM RAILWAY NOISE AND VIBRATION., U.J.

Kurze, Journal of Sound and Vibration

12. PERFORMANCE OF URBAN RAIL TRANSIT SYSTEM: VIBRATION AND

NOISE STUDY, D.K.H. Chua, C.G. Koh, K.W. Lo, Journal of Performance of

Constructed Facilities

13. STRUCTURE-BORN NOISE AND VIBRATION OF CONCRETE BOX

STRUCTURE AND RAIL VIADUCT, K.W. Ngai, C.F. Ng, Journal of Sound and

Vibration

14. HOW TO CONSTRUCT A MECHANICAL MODEL OF A MASS-SPRING

SYSTEM, Wensheng Hua, Brian Lantz, Sam Richman, http://lsuligo.phys.lsu.edu,

109

15. EXPERIMENTAL VALIDATION OF THE TWINS PREDICTION PROGRAM

FOR ROLLING NOISE, PART 1: DESCRIPTION OF THE MODELAND

METHOD, D. J. Thompson, B. Hemsworth, N. Vincent, Journal of Sound and

Vibration

16. EXPERIMENTAL VALIDATION OF THE TWINS PREDICTION PROGRAM

FOR ROLLING NOISE, PART 2: RESULTS, D. J. Thompson, P. Fodiman, H.

Mahe, Journal of Sound and Vibration

17. SURFACE GROUND VIBRATION DUE TO A MOVING TRAIN IN A

TUNNEL: TWO-DIMENSIONAL MODEL, A. V. Metrik & A. C. W. M.

Vrouwenvelder, Journal of Sound and Vibration

18. GROUND VIBRATION GENERATED BY A HARMONIC LOAD ACTING

ON A RAILWAY TRACK, X. Sheng* & C. J. C. Jones, M. Petyt, Journal of Sound

and Vibration

19. SIMULATIONS OF GROUND VIBRATION FROM A MOVING HARMONIC

LOAD ON A RAILWAY TRACK, C. J. C. Jones, X. Sheng* & M. Petyt, Journal of

Sound and Vibration

20. MODELLING OF RAIL VEHICLES AND TRACK FOR CALCULATION OF

GROUND-VIBRATION TRANSMISSION INTO BUILDINGS, H. E. M. Hunt,

Journal of Sound and Vibration

21. STRUCTURE-BORNE SOUND AND VIBRATION FROM RAIL TRAFFIC, M.

Heckl, G. Hauck & R. Wettschureck, Journal of Sound and Vibration

22. SIMULATIONS AND ANALYSES OF TRAIN-INDUCED GROUND

VIBRATIONS, Lars Hall, Soil Dynamics and Earthquake Engineering

23. GROUND-BORNE NOISE FROM NEW RAILWAY TUNNELS, C.J.C. Jones,

Proceedings of InterNoise '96

24. MODELING OF GROUND-BORNE VIBRATION FROM RAILWAYS, M. Petyt,

C.J.C. Jones, Fourth European Conf. on Structural Dynamics

25. BUILDING RESPONSE DUE TO SUBWAY TRAFFIC, K.H. Chua, K.W. Lo & T.

Balendra, Journal of Geotechnical Engineering

26. NOISE AND VIBRATION IN BUILDINGS FROM UNDERGROUND

RAILWAY LINES, S. Kraemer, PhD thesis

27. LOW-FREQUENCY VIBRATIONS OF RAILWAYS (IN GERMAN), U.J. Kurze,

Proceedings of DAGA

110

28. SOIL-STRUCTURE INTERACTION ISSUES FOR THREE DIMENSIONAL

COMPUTATIONAL SIMULATIONS OF NONLINEAR SEISMIC RESPONSE,

Ismail M. Ismail, Graduate Research Assistant, Dr. Chris Mullen, Assistant Professor,

Department of Civil Engineering /203 Carrier Hall University

29. SEISMIC SOIL-STRUCTURE INTERACTION, Michele Louie, Adv. Soil

Mechanics, Term Project, Fall 2001

30. VIADUCT DESIGN FOR MINIMIZATION OF DIRECT AND STRUCTURE-

RADIATED TRAIN NOISE, A.R. Crockett & J. R. Pyke, Journal of Sound and

Vibration

31. NOISE EMISSION OF LIGHT-RAIL VEHICLES –STATE OF THE ART-, Hans

van Leeuwen, DGMR Consulting Engineers BV, The Hague, The Netherlands

Ιστοσελίδες στο διαδίκτυο

1. http://www.inceusa.org/pubs.glossary.asp

2. http://www.noiseboard.com

3. http://www.isvr.soton.ac.uk/DG/Auto.htm

4. http://www.kettering.edu/~drussell/Demos.html

5. http://www.freesea.de