ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΠΛΩΝ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

1. Σχεδιάζουμε το σώμα στη θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) και όλες τις δυνάμεις που ασκούνται σ’ αυτό. Στη θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) ισχύει .

2. Απομακρύνουμε το σώμα κατά x (τυχαία θέση, Τ.Θ.) από τη θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) και σχεδιάζουμε και πάλι όλες τις δυνάμεις που ασκούνται σ’ αυτό. Σαν θετική φορά θεωρούμε τη φορά της απομάκρυνσης.

3. Στην τυχαία θέση (Τ.Θ.) υπολογίζουμε τη ΣF. Για τον υπολογισμό χρησιμοποιούμε και τη σχέση που ισχύει στη θέση ισορροπίας (Θ.Ι.).

4. Αποδεικνύουμε ότι στην τυχαία θέση (Τ.Θ.) η συνισταμένη των δυνάμεων, ΣF, είναι ανάλογη της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) και έχει αντίθετη φορά από αυτή, δηλαδή ότι ισχύει μια σχέση της μορφής .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

1. Η περίοδος, Τ, στην απλή αρμονική ταλάντωση υπολογίζεται από τη σχέση

.

2. Η τυχαία θέση (Τ.Θ.) στην οποία φέρνουμε το σώμα αποτελεί ακραία θέση της ταλάντωσης (αφού στο σημείο αυτό είναι u = 0).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Η πάνω άκρη κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο. Στην κάτω άκρη του ελατηρίου προσαρμόζουμε σώμα μάζας m και το σύστημα ισορροπεί. Να αποδείξετε ότι αν απομακρύνουμε το σώμα κατά x από τη θέση ισορροπίας, το σύστημα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. Επίσης να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης αυτής.

Λύση

Στη θέση ισορροπίας (Θ.Ι.) είναι δηλαδή (1)Στην τυχαία θέση (Τ.Θ.) υπολογίζουμε τη ΣF.Είναι

Όμως από την (1) έχουμε ότι οπότε , δηλαδή η ΣF είναι της μορφής ΣF = - Dx , όπου D = K , άρα το σώμα θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση

με περίοδο δηλαδή .

Εφαρμογή

Ελατήριο σταθεράς Κ βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο. Η πάνω άκρη του είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο. Στην κάτω άκρη του ελατηρίου προσαρμόζουμε σώμα μάζας m και το σύστημα ισορροπεί. Να αποδείξετε ότι αν απομακρύνουμε το σώμα κατά x από τη θέση ισορροπίας, το σύστημα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. Επίσης να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης αυτής.