ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ 4οΚΕΦΑΛΑΙΟ

ÊåöÜëáéï 4ï

ÌåëÝôç óõíÜñôçóçò

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει

να γνωρίζει:

Αν µια συνάρτηση είναι άρτια ή αν είναι περιττή και να διαπιστώνει

τις αντίστοιχες συµµετρίες στη γραφική παράσταση.

Να βρίσκει τα διαστήµατα µονοτονίας απλών συναρτήσεων.

Να βρίσκει τα ακρότατα απλών συναρτήσεων.

Να µελετά τις συναρτήσεις f(x) = αx2 και f(x) = α/x, µε ≠α 0 και να

σχεδιάζει τις γραφικές τους παραστάσεις.

Να παραγοντοποιεί ένα τριώνυµο f(x) = αx2 + βx + γ, ≠α 0 γράφο-

ντάς το στη µορφή f(x) = α(x + β/2α)2 - ∆/4α και ανάλογα µε το πλή-

θος των ριζών του, σε µια από τις παρακάτω ακόλουθες µορφές:

( )( ) ( )( ) ( )

1 2

2

2

f(x)=α(x-ρ ) x-ρ

f x =α x-ρ

f x =α x+β/2α + ∆ /4α

και να τις χρησιµοποιεί όταν χρειάζεται (π.χ. εύρεση ακρότατων

τριωνύµων, απλοποίηση κλασµατικών παραστάσεων κ.τ.λ.)

Να παριστάνει γραφικά συναρτήσεις µορφής ( )±f(x)=φ x c .

Να παριστάνει γραφικά συναρτήσεις µορφής ( )±f(x)=φ x c .

Να κάνει τη µελέτη και τη γραφική παράσταση της f(x) = αx2 + βx + γ, ≠α 0

Να επιλύει γραφικά την εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, ≠α 0 .

Να αποδεικνύει τα συµπεράσµατα που αναφέρονται στο πρόση-

µο τριωνύµου και να επιλύει ανισώσεις β΄ βαθµού χρησιµοποιώ-

ντας αυτά τα συµπεράσµατα.

Να βρίσκει το πρόσηµο του πολυωνύµου f(x) = P1(x)·P

2(x)...P

ν(x)

και να επιλύει ανισώσεις της µορφής: P1(x)·P

2(x)...P

ν(x) ≥ 0 και

Ρ(x)/Q(x)≥ ή ≤ 0.

96. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο

Θεωρία 1

Θεωρία 2

Ìáèáßíïõìå

ôéò

áðïäåßîåéòÂÞìá 1

Θεωρία 1

97.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

Θεωρία 3

98. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο

Θεωρία 4

99.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

Θεωρία 5

100. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”Βήµα 2ο

Από το σχολικό βιβλίο:

ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

σελ. 92: Α΄ Οµάδα: 1, 3, 5, 6, 7, 9, 11

σελ. 140-141: Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12

Β΄ Οµάδα: 1

σελ. 151-152: Α΄ Οµάδα: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10

Από το βιβλίο:

ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ “ΟΡΟΣΗΜΟ”

Ενότητα Ε: Ασκήσεις:

282, 290, 293, 294, 296, 307, 309, 313, 320

ÂÞìá 1

ÅðáíáëáìâÜíïõìå

ôéò áóêÞóåéò

"êëåéäéÜ"ÂÞìá 2

101.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

1. Λύστε τις εξισώσεις:α. ( ) ( )2x 2 1 x 2 2 1 0− + + − =

β. 2 2 2x (3α 4β)x 2α 5αβ 3β 0− + + + + =

γ. 2 2x (α γ)x α(β γ) β βγ− + + + = +

Λύση:

α. Βρίσκουµε την διακρίνουσα:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

22 22

∆ 2 1 4 2 2 1 ∆ 2 1 8 2 1

∆ 2 1 2 2 8 2 8 ∆ 2 9 6 2 ∆ 3 2

= − + − ⋅ − ⇔ = + − − ⇔

= + + − + ⇔ = + − ⇔ = −

άρα η εξίσωση γίνεται: ( )2 1 3 2

x x 2 ή x 2.2

+ ± −= ⇔ = =

β. Βρίσκουµε την διακρίνουσα:

( )( ) ( )2 2 2∆ 3α 4β 4 2α 5αβ 3β= − + − + + ⇔

( )2 2 2∆ 3α 4β 8α 20αβ 12β= + − − − ⇔

( )

2 2 2 2

22 2

∆ 9α 16β 24αβ 8α 20αβ 12β

∆ α 4β 4αβ ∆ α 2β

= + + − − − ⇔

= + + ⇔ = +

άρα η εξίσωση γίνεται:

( ) 2(3α 4β) (α 2β) 3α 4β (α 2β)x x

2 2x 2α 3β ή x α 2β

− − + ± + + ± += ⇔ =

= + = +

γ. Βρίσκουµε την διακρίνουσα:

( ) ( )2 2∆ α(α γ) 4 αβ αγ β βγ= − + − + − − ⇔2 2∆ (α β) 4αβ 4αγ 4β 4βγ= + − − + + ⇔

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

Ëýíïõìå

ðåñéóóüôåñåò

áóêÞóåéòÂÞìá 3

102. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο

2 2 2∆ α γ 2αγ 4αβ 4αγ 4β 4αβγ= + + − − + + ⇔2 2 2 2∆ α γ 4β 4αβ 4βγ 2αγ ∆ (2β γ α)= + + − + − ⇔ = + −

άρα η εξίσωση γίνεται:

( ) 2(α γ) (2β γ α) α γ (2β γ α)x x

2 2

− − + ± + − + ± + −= ⇔ = ⇔

α γ 2β γ α α γ 2β γ αx β γ ή x α β

2 2

+ + + − + − − += = + = = −

2. Αν λ 3≠ και η εξίσωση 2(λ 3)x (λ 2)x 2λ 1 0− − + + + = έχει µια διπλή ρίζα

βρείτε το λ και µετά την διπλή ρίζα.

Λύση:

Αφού η εξίσωση έχει µια διπλή ρίζα έχει διακρίνουσα ∆ 0= . ∆ηλαδή είναι

( )2 2 2(λ 2) 4(λ 3)(2λ 1) 0 (λ 2) 4(2λ λ 6λ 3) 0− + − − + = ⇔ + − + − − = ⇔2 2 2λ 4 4λ 8λ 20λ 12 0 9λ 24λ 16 0+ + + + + = ⇔ + + = ⇔

2 4(3λ 4) 0 3λ 4 0 λ

3+ = ⇔ + = ⇔ = −

Τότε η διπλή ρίζα της εξίσωσης είναι η:

4 22(λ 2) λ 2 13 3x

1342(λ 3) 2(λ 3) 1322 333

− ++ += = = = = −− − −− −

3.i. Αν α, γ ετερόσηµοι δείξτε ότι η εξίσωση 2

αx βx γ 0+ + = έχει δυο ρίζες

άνισες, ii. ∆είξτε ότι η εξίσωση 2 5 4 22001x (2µ µ 3)x µ 1− + + = + έχει δυο

ρίζες άνισες.

Λύση:

i. Αφού α, γ είναι ετερόσηµοι ισχύει αγ 0< . Τότε 2

4αγ 0

και

β 0

− > ≥

και µε πρόσθεση κατά

µέλη παίρνουµε: 2β 4αγ 0− > , δηλαδή η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι θετική.

Αυτό σηµαίνει ότι η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες.


ii. Η εξίσωση γράφεται: 2 2 4 22001x (2µ µ 3)x (µ 1) 0− + + − + = και έχει α 2001=

και ( )2γ µ 1 0= − + < , δηλαδή α, γ είναι ετερόσηµοι, άρα έχει δυο ρίζες άνισες.

4. Αν 1 2ρ ,ρ οι ρίζες της εξίσωσης 2x 2x λ 1 0− + − = βρείτε το λ έτσι ώστε να

ισχύει, 3 2 31 1 2 23ρ 8ρ ρ 3ρ 192+ + = .

Λύση:

Ισχύουν: 1 2

1 2

2ρ ρ 2

1λ 1

ρ ρ λ 11

− + = − = − = = −

Ακόµα ισχύει: ( )3 3 2 21 2 1 2 1 23 ρ ρ 8ρ ρ 8ρ ρ 192+ + + =

( ) ( ) ( )3

1 2 1 2 1 2 1 2 1 23 ρ ρ 3ρ ρ ρ ρ 8ρ ρ ρ ρ 192 + − + + + =

( ) ( ) ( )3

1 2 2 1 1 2 1 2 1 23 ρ ρ 9ρ ρ ρ ρ 8ρ ρ ρ ρ 192+ − + + + =

( ) ( )3

1 2 1 2 1 23 ρ ρ ρ ρ ρ ρ 192+ − + =33 2 (λ 1)2 192⋅ − − =

24 2λ 2 192− + =2λ 166 λ 83− = = −ή

5. ∆ίνεται η εξίσωση 2 2x 6x λ 3λ 7 0+ + − + = της οποίας η µια ρίζα ισούται

µε το διπλάσιο της άλλης αυξηµένο κατά 3. Βρείτε:

i. τις ρίζες της εξίσωσης και ii. το λ.

Λύση:

i. Αν ρ η µια ρίζα της εξίσωσης η άλλη θα είναι 2ρ 3+ ,οπότε από τις σχέσεις Vieta

έχουµε:

6ρ 2ρ 3 3ρ 3 6 3ρ 3 ρ 1

1

−+ + = − ⇔ + = ⇔ = ⇔ =

Τότε 2ρ 3 5+ = , δηλαδή οι ρίζες της εξίσωσης είναι το 1 και το 5.

ii. Από τις σχέσεις Vieta έχουµε:

22 2λ 3λ 7

1·5 5 λ 3λ 7 λ 3λ 2 01

− += ⇔ = − + ⇔ − + = ⇔


( 3) 1 3 1λ λ λ 2 λ 1

2 2

− − ± ±= ⇔ = ⇔ = =ή .

6. Αν 1 2ρ ,ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2x 3x 1 0− − = ,

α. Βρείτε τις τιµές των παραστάσεων 1 2

2 1

ρ ρκ

ρ ρ= + και

4 41 2 2 1λ ρ ρ ρ ρ= +

β. Σχηµατίστε εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς κ και λ.

Λύση:

α. Από τις σχέσεις Vieta έχουµε: 1 2

1 2

3ρ ρ 3

11

ρ ρ 11

− + = − = − = = −

, οπότε

• ( )22 2 2

1 2 1 21 2 1 2

2 1 1 2 1 2

ρ ρ 2ρ ρρ ρ ρ ρ 3 2( 1)κ κ κ κ 11

ρ ρ ρ ρ ρ ρ 1

+ −+ − −= + ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −−

• ( )( ) ( )

4 4 3 31 2 2 1 1 2 1 2

3 31 2 1 2 1 2 1 2

λ ρ ρ ρ ρ λ ρ ρ ρ ρ

λ ρ ρ ρ ρ 3ρ ρ ρ ρ λ 1 3 3( 1)3 36

= + ⇔ = + ⇔

= + − + ⇔ = − − − = −

β. Ισχύουν: κ λ 36 11 47

κλ ( 36)( 11) 396

+ = − − = − = − − =

Άρα η ζητούµενη εξίσωση είναι η:

2 2x ( 47)x 396 0 ή x 47x 396 0− − + = + + =

7. Λύστε τις εξισώσεις: α. 2(x 1) 2 x 1 3− + − = β.

4 2x 3x 4 0− − =

γ. x 7 x 18 0− − = δ. x 1 x 5

x x 1 2+ + =

+

α. Η (ε) γράφεται: 2

x 1 2 x 1 3 0− + − − = και αν θέσουµε w x 1= − γίνεται:

2 2 16 2 4w 2w 3 0 w w w 1 w 3

2 2

− ± − ±+ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −ή

x 1 1 x 1 3 αδ νατη− = − = −ή ύ

x 1 1 x 1 1

x 2 x 0

− = − = −= =

ή

ή


β. Θέτουµε 2x w= και η (ε) γίνεται:

2 ( 3) 25 3 5w 3w 4 0 w w w 4 w 1

2 2

− − ± ±− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −ή

2 2x 4 x 1 αδ νατη

x 2 x 2

= = −= = −

ή ύ

ή

γ. Για x 0≥ θέτουµε x w= και η εξίσωση γίνεται:

2 ( 7) 121 7 11w 7w 18 0 w w w 9 w 2

2 2

− − ± ±− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −ή

x 9 x 2 αδ νατη

x 81

= = −=

ή ύ

δ. Για x 0, 1≠ − θέτουµε x 1

wx

+ = και η εξίσωση γίνεται:

2 2 21 5w 2w 5w 2w 2 5w 2w 5w 2 0

w 2+ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔

( )5 9 5 3w w

2 2 4

− − ± ±⇔ = ⇔ = ⇔⋅

1w 2 ή w

2= =

x 1 x 1 12 ή

x x 22x x 1 ή 2x 2 x

x 1 ή x 2

+ += =

= + + == = −

8. i. Λύστε την εξίσωση: 2x 2x 3 0+ − =

ii. Λύστε το σύστηµα: 2(α β) 2(α β) 3 0

α β 3

+ + + − =

− =Λύση:

α. 2 2 16 2 4x 2x 3 0 x x

2 2

− ± − ±+ − = ⇔ = ⇔ = x 1 x 3= = −ή

β. Το σύστηµα λόγω του i) ερωτήµατος γράφεται:


α β 1 α β 3 2α 4 2α 0 α 2 α 0ή ή ή

α β 3 α β 3 2β 2 2β 6 β 1 β 3

+ = + = − = = = = ⇔ ⇔ − = − = = − = − = − = −

9. Βρείτε τα κοινά σηµεία του κύκλου c:2 2x y 5+ = και της ευθείας ε: y 3x 1= − .

Λύση:

Λύνουµε το σύστηµα:

2 2 2 2

2x

x 1x y 5 x (3x 1) 5 5ή

y 2 11y 3x 1 y 3x 1y

5

− == + = + − = ⇔ ⇔ = −= − = − =

∆ηλαδή η (ε) τέµνει τον (c) στα σηµεία Α(1, 2) και Β2 11

( , )5 5

− −

2 2 2 2 2

2

x (3x 1) 5 x 9x 6x 1 5 10x 6x 4 0

( 3) 49 3 7 25x 3x 2 0 x x x 1 ή x

10 10 5

+ − = ⇔ + − + = ⇔ − − = ⇔

− − ± ±− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −

10. Βρείτε για ποιες τιµές του λ η ευθεία (ε) y λx 3= + εφάπτεται του κύκλου

(c) 2 2x y 4+ = .

Λύση:

Αφού η (ε) εφάπτεται του κύκλου (c) σηµαίνει ότι το σύστηµα

2 2 2 2x y 4 x (λx 3) 4

y λx 3 y λx 3

+ = + + =⇔

= + = + έχει µόνο µία λύση άρα η εξίσωση

2 2 2 2 2 2 2x (λx 3) 4 x λ x 9 6λx 4 0 (λ 1) x 6λ x 5 0+ + = ⇔ + ⋅ + + − = ⇔ + ⋅ + ⋅ + =έχει µία διπλή ρίζα δηλαδή διακρίνουσα ∆ 0= .

2 2 2 2 2

2

∆ 0 (6λ) 4 5(λ 1) 0 36λ 20λ 20 0 16λ 20

5 5λ ή λ

4 2

= ⇔ − ⋅ + = ⇔ − − = ⇔ = ⇔

= = ±

11. Λύστε τις ανισώσεις:

α. 2x 7x 10− > − β. 2x 5x≤ γ. 22x 18− ≥ −

δ. ( ) ( )2x 1 x 3 0+ ⋅ − + < ε. 2x x 2+ > − ζ. 2x 1 x 3+ < −


η. ( ) ( ) ( )2 22x 1 x 4 x 3x 2 0− ⋅ − ⋅ − + ≤ θ. ( ) ( )2004 20052 2x 2x x 4 0− ⋅ − ≥

ι. 3x 1

0x 2

− ≤− κ.

2x 13

x 1+ ≥−

Λύση:

α. 2x 7x 10 0 x ( ,2) (5, )− + > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ ,

διότι:

2 ( 7) 9 7 3x 7x 10 0 x x x 5 x 2

2 2

− − ± ±− + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = =ή

και το πρόσηµο του τριωνύµου 2φ(x) x 7x 10= − + φαίνεται στον επόµενο πίνα-

κα:

β. 2x 5x 0 x(x 5) 0− ≤ ⇔ − ≤

Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) x(x 5)= − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

Άρα : [ ]2x 5x 0 x(x 5) 0 x 0,5− ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ∈

γ. ( )2 22x 18 0 2 x 9 0 2(x 3)(x 3) 0− + ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + − ≥

Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) 2(x 3)(x 3)= − + − φαίνεται στον επόµενο πίνα-

κα::

Άρα: ( ) [ ]2 22x 18 0 2 x 9 0 2(x 3)(x 3) 0 x 3,3− + ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + − ≥ ⇔ ∈ −

δ. Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) (2x 1)( x 3)= + − + φαίνεται στον επόµενο πίνα-

κα:

Άρα: ( )x , 1 2 (3, )∈ −∞ − ∪ +∞ ,

ε. 2x x 2 0+ + >

x −∞ 2 5 +∞φ(x) + +−

x −∞ 0 5 +∞φ(x) + +−

x −∞ 3− 3 +∞φ(x) − −+

x −∞ 1 2− 3 +∞φ(x) − −+


x −∞ 4−2

3 +∞φ(x) + +−

x −∞ +∞φ(x) +

12

−

x −∞ 2− 2 +∞g(x) + +−

x −∞ 1 2 +∞f (x) + +−

Το πρόσηµο του τριωνύµου 2φ(x) x x 2= + + φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

Άρα: 2x x 2 0 x+ + > ⇔ ∈

ζ. 2 2 2 2 2 22x 1 x 3 (2x 1) (x 3) (2x 1) (x 3) 0

(2x 1 x 3)(2x 1 x 3) 0 (3x 2)(x 4) 0

+ < − ⇔ + < − ⇔ + − − < ⇔+ + − + − + < ⇔ − + <

Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) (3x 2)(x 4)= − + φαίνεται στον επόµενο πίνα-

κα:

Άρα: 2

(3x 2)(x 4) 0 x 4,3

− + < ⇔ ∈ −

η. ] [ ] 12x ( , 2 ,1 2∈ −∞ − ∪ ∪

Ι. Το πρόσηµο του διωνύµου ( )φ x 2x 1= − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

ΙΙ. Το πρόσηµο του τριωνύµου ( ) ( ) ( )2g x x 4 x 2 x 2= − = + ⋅ − φαίνεται στον

επόµενο πίνακα:

ΙΙΙ. Είναι: ( )2 3 1 3 1

x 3x 2 0 x x2 2

− − ± ±− + = ⇔ = ⇔ = x 3 x 1= =ή

Το πρόσηµο του τριωνύµου ( ) 2f x x 3x 2= − + φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

IV. Το πρόσηµο του γινοµένου ( ) ( ) ( )2 2Γ 2x 1 x 4 x 3x 2= − ⋅ − ⋅ − + φαίνεται στον

επόµενο πίνακα:

x −∞ +∞φ(x) +


x −∞ 12− +∞

φ(x)

+

+−

12 2

g(x)

f (x)

Γ

+

−

−−++

−+−

+

+

−−

+

+

++

x −∞ 2− 2 +∞h(x) + +−

x −∞ 0 2 +∞φ(x) + + +

Άρα: ] [ ] 12x ( , 2 ,1 2∈ −∞ − ∪ ∪

θ. Ι. Το πρόσηµο του ( ) ( )20042φ x x 2x= − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

ΙΙ. Το πρόσηµο του τριωνύµου ( ) ( )2x 4 x 2 x 2− = + ⋅ − αλλά και του πολυώνυ-

µου ( ) ( )20052h x x 4= − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

ΙΙΙ. Το πρόσηµο του γινοµένου ( ) ( )Γ φ x h x= φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

Άρα: ( ] [ )x , 2 0 2,∈ −∞ − ⋅ ∪ ⋅ ∪ +∞

ι. ( ) ( ) ( )2 3x 1x 2 0 x 2 3x 1 0,x 2

x 2

−− ⋅ ≤ ⇔ − ⋅ − ≤ ≠−

Το πρόσηµο του τριωνύµου ( ) ( ) ( )φ x x 2 3x 1= − ⋅ − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

Άρα:1

x ,23

∈

x −∞ 2− +∞

φ(x)

+

++

0 2

h(x)

Γ

+

+

−−

−−

+

+

+

x −∞ 213 +∞

φ(x) + +−


µ −∞ 443 +∞

φ(µ) + +−

x −∞ 1 4 +∞φ(x) − −+

κ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22x 1x 1 3 x 1 x 1 2x 1 3 x 1 0, x 1

x 1

+− ⋅ ≥ − ⇔ − ⋅ + − − ≥ ≠−

( ) ( ) ( ) ( )x 1 2x 1 3x 3 0 x 1 x 4 0− ⋅ + − + ≥ ⇔ − ⋅ − + ≥Το πρόσηµο του τριωνύµου ( ) ( ) ( )φ x x 1 x 4= − ⋅ − + φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

Άρα: ( ]x 1,4∈

12. Αν η εξίσωση (ε): 2(µ 2)x µx µ 2 0 (µ 2)− − + − = ≠ έχει δύο ρίζες άνισες

βρείτε το µ.

Λύση:

Η (ε) έχει δυο ρίζες άνισες άρα θα έχει διακρίνουσα ∆ 0> , δηλαδή:

2 2 2 2( µ) 4(µ 2) 0 µ (2µ 4) 0 (µ 2µ 4)(µ 2µ 4) 0− − − > ⇔ − − > ⇔ + − − + >

4(3µ 4)( µ 4) 0 µ ,4 2

3 − − + > ⇔ ∈ −

διότι το πρόσηµο του τριωνύµου φ(µ) (3µ 4)( µ 4)= − − + είναι αυτό που φαίνεται

στον επόµενο πίνακα:

13. Αν 1 2x , x οι ρίζες του τριωνύµου 2 12

f (x) x λx λ7

= − + − βρείτε το λ εφό-

σον ισχύει 2 21 2 1 2x x 5x x+ > .

Λύση:

Iσχύουν:

1 2

1 2

λx x λ

112

λ 127x x l1 7

− + = = −

= = −


λ −∞ 3 4 +∞φ(λ) + +−

Είναι ( )

( )

22 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 21 2 1 2

x x 5x x x x 2x x 5x x

12x x 7x x 0 λ 7 λ 0 λ ( ,3) (4, )

7

+ > ⇔ + − > ⇔

+ − > ⇔ − − > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞

διότι 2 ( 7) 1 7 1λ 7λ 12 0 λ λ λ 4 ή λ 3

2 2

− − ± ±− + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = =

και το πρόσηµο του τριωνύµου 2φ(λ) λ 7λ 12= − + φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

14. Αν για κάθε x ∈ ισχύει 2(κ 3)x 4κx 6 5κ 0+ + + − > βρείτε το κ (δίνεται

κ 3≠ − )

Λύση:

Θέτουµε 2φ(x) (κ 3)x 4κx 6 5κ= + + + − οπότε για κάθε x ∈ ισχύει φ(x) 0> άρα

πρέπει: ( )2 2

κ 3κ 3 0α 0

∆ 0 (4κ) 4(κ 3)(6 5κ) 0 4 4κ (κ 3)(6 5κ) 0

> −+ > > ⇔ ⇔ ⇔ < − + − < − + − <

2 2 2

κ 3 κ 3

4(6κ 5κ 18 15κ) 0 4κ 6κ 5κ 18 15κ 0

> − > − ⇔ ⇔

− + − < − + − + <

2 2

κ 3 κ 3 κ 3κ ( 2,1)

κ ( 2,1)9κ 9κ 18 0 κ κ 2 0

> − > − > − ⇔ ⇔ ⇔ ∈ − ∈ −+ − < + − <

∆ιότι: 2 1 9 1 3

κ κ 2 0 κ κ κ 1 κ 22 2

− ± − ±+ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −ή

και το πρόσηµο του τριωνύµου 2g(κ) κ κ 2= + − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

15. Αν το τριώνυµο f (x) έχει ρίζες τους – 1 και 3 και ο συντελεστής του 2x

είναι το 2λ λ 1+ + βρείτε το πρόσηµο του γινοµένου

3Γ f(2,99) f ( 1,01)= ⋅ − .

κ −∞ 2− 1 +∞φ(κ) + +−


x −∞ 1− 38 +∞φ(λ) − −+

λ −∞ +∞φ(λ) +

x −∞ 1− 3 +∞f (x) + +−

Λύση:

• Η εξίσωση 2λ λ 1 0+ + = είναι αδύνατη, διότι έχει ∆ 3 0= − < , άρα το πρόσηµο

του τριωνύµου 2φ(λ) λ λ 1= + + είναι το:

δηλαδή 2λ λ 1 0+ + > , για κάθε λ ∈ .

Τότε το πρόσηµο του τριωνύµου f (x) είναι το:

• Επειδή: 1 2,99 3 είναι f (2,99) 0οπότε Γ 0

1,01 1 είναι f ( 1,01) 0

− < < <<

− < − − >

16. Αφού λύσετε το σύστηµα: 2x 3y 11 λ

x 5y λ 7

− = − + = +

λύστε την ανίσωση: 0 0x y 0>

όπου ( )0 0x , y είναι η λύση του συστήµατος.

Λύση:

2x 3y 11 λ 2x 3y 11 λ

x 5y λ 7 2x 10y 2λ 14

− = − − = − ⇔ ⇔ + = + − − = − −

3λ 3y

13y 3λ 3 13x λ 7 5y 2λ 76

x13

+ =− = − − ⇔ = + − − + =

Λύνουµε την ανίσωση: 0 0

3λ 3 2λ 76x y 0 0 (3λ 3)( 2λ 76) 0

13 13

+ − +> ⇔ ⋅ > ⇔ + − + >

Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(λ) (3λ 3)( 2λ 76)= + − + φαίνεται στον επόµενο πίνακα:

Άρα: λ ( 1,38)∈ −

17. i. ∆είξτε ότι: 23x x 4 0− + > , για κάθε x ∈

ii. Βρείτε πόσες λύσεις έχει το σύστηµα: ( )

( )2 4

2 5

3α 3β 1 x 2y α β

2x α β y α 3

+ − − = +

+ + = +


Λύση:

i. Το τριώνυµο 2φ(x) 3x x 4= − + έχει

2∆ ( 1) 4 3 4 1 48 47 0= − − ⋅ ⋅ = − = − < , άρα

για κάθε x ∈ θα είναι οµόσηµο του α 3 0= > , δηλαδή 23x x 4 0− + > , για

κάθε x ∈ .

ii. Βρίσκουµε την ορίζουσα του συστήµατος:

( )( )

( ) ( )

22 2

2

2 2 2

2

3α 3β 1 2D D α β 3α 3β 1 4

2 α β

D α β 3 α β 1 4 θέτω w α β

D w(3w 1) 4 D 3w w 4 0 (λ γω του i)

+ − −= ⇔ = + + − + ⇔

+

= + + − + = + = − + ⇔ = − + > ü

Άρα το σύστηµα έχει µοναδική λύση.

114. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

Ëýíïõìå

ìüíïé ìáòÂÞìá 4

1. Να βρείτε τον ∈λ R ώστε το άθροισµα των τετραγώνων των ριζών

1 2x ,x της εξίσωσης: ( )2 2x + 2λ + 3 ·x + λ +1 = 0 , να είναι ίσο µε 39.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

2. ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ≠2 2f x = λ - 3λ ·x - λ - 4 x - 2, λ 0 και ≠λ 3 .

Βρείτε τις τιµές του πραγµατικού αριθµού λ ώστε η γραφική παρά-

σταση της f

α. να τέµνει τον x΄x σε δύο σηµεία

β. να εφάπτεται στον x΄x

γ. να µην έχει µε τον x΄x κανένα κοινό σηµείο

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

115.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

3. ∆ίνεται η εξίσωση: ( ) ( ) ≠2x + λ - 3 ·x - λ - 2 = 0, (1) λ 1

α. Να αποδείξετε ότι η (1) για κάθε ∈λ R µε ≠λ 1 έχει δύο πραγµατι-

κές ρίζες.

β. Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της (1) να βρείτε τον λ ώστε η παράσταση

2 21 2 2 1B = x ·x + x ·x να γίνεται ελάχιστη.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

4. Για ποιές τιµές του ∈λ R οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγµατικές ρίζες:

α. 2x + 2λx + 2 - λ = 0 β. ( ) ( )2

λ -1 x - 2 λ - 3 x - λ + 3 = 0

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

5. Να βρείτε τον λ ώστε η ανίσωση: ( ) ≠2λ -1 ·x - λx + λ > 0, λ 1 να ισχύει

για κάθε ∈x R .


............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

6. Αν το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης ( )2 2x α 2α x 1 α 0+ − + − = βρείτε το α και

µετά την άλλη ρίζα της εξίσωσης.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

7.α. ∆είξτε ότι η εξίσωση (ε) 2 2x y 4x 2y 3 0− − + + = παριστάνει δυο ευθείες

που τέµνονται κάθετα, β. Βρείτε το κοινό τους σηµείο.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................


8. Αν η εξίσωση 2x 2x λ 1 0− + − = έχει δυο ρίζες άνισες και 0λ η ακέραια

τιµή που µπορεί να πάρει το λ βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης:

20

0

x 4λ x 3f (x)

3 λ x

− +=

− και κατόπιν βρείτε που η γραφική παράσταση της f

τέµνει τους άξονες.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

9. ∆ίνεται ένα 2 2× γραµµικό σύστηµα µε αγνώστους x,y το οποίο έχει µονα-

δική λύση. Αν η εξίσωση ( ) ( )2 2x x y x yW 2 D D W 4D D 4D D 0− − − + = έχει µια

διπλή ρίζα λύστε το σύστηµα.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

10. Αν η εξίσωση ( )1ε 2(2α β)x 4αx 4β 0− − + = έχει µια διπλή ρίζα δείξτε ότι

η εξίσωση ( )2ε 2 3α βx αx 1

4−− − = έχει δυο ρίζες άνισες.

............................................................................................................................

............................................................................................................................


............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

11. Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 22 2x 3x 2 0− − = ,

i. Βρείτε την τιµή της παράστασης: 1 2A x x= −

ii. Λύστε την ανίσωση: 2y 18

A4− <

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

12. Αν 1 2ρ ,ρ οι ρίζες της εξίσωσης 2 2x 2λx λ 4λ 5 0+ + − = βρείτε το λ ώστε

να ισχύει 1 2

1 1 1ρ ρ 4

+ = .

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................


13. α. Αν η εξίσωση 2κx 4x 35 0− − = έχει άθροισµα ριζών 1 βρείτε το κ.

β. Αν η εξίσωση 22x κx 6κ 0+ − = έχει γινόµενο ριζών 1

2− βρείτε το κ.

γ. Αν 1 2ρ ,ρ οι ρίζες της 29x 6x γ 0+ + = µε 1 2ρ ρ 2− = ,

i. Βρείτε τα 1 2ρ ,ρ , ii. Βρείτε το γ.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

14. Αν η µια ρίζα της εξίσωσης 2x 5λx 6 0− + = ισούται µε το τετράγωνο της

άλλης ελαττωµένο κατά 1, βρείτε το λ.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

15. Αν 1 2ρ ,ρ οι ρίζες της εξίσωσης 2x 2x 5 0− − = φτιάξτε εξίσωση 2ου βαθ-

µού µε ρίζες τους 21

12

ρ 1x

ρ

+= και

22

21

ρ 1x

ρ

+= .

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................


............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

16. Ένα οικόπεδο σχήµατος ορθογωνίου έχει διαστάσεις α,β και η περίµε-

τρος του είναι 48m. Αν αφαιρέσουµε από κάθε πλευρά του 1m προκύπτει

ορθογώνιο µε εµβαδόν 296cm . Βρείτε τα α,β.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

17. ∆ίνεται η εξίσωση: 2α x 2 5 β β 4− + = + που έχει ρίζα το 2. Βρείτε το β.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

18. ∆ίνεται η εξίσωση 2x 2x 1 0− − = µε ρίζες 1 2ρ ,ρ και οι ευθείες:

( )( )

2 21 1 2

22

ε : 2y ρ ρ x 20

ε : y (α 1) 2 α 1 x 6

= + +

= − + − +

Βρείτε το α ώστε 1 2ε ε

............................................................................................................................

............................................................................................................................


............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

19. Βρείτε τα κοινά σηµεία του κύκλου: 2 2(c) : x y 10+ = και της υπερβο-

λής (γ) : xy 3=............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

20. Βρείτε τα κοινά σηµεία της ευθείεας (ε) y 4x 1= − και της υπερβολής

(γ) : xy 3=............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

21. ∆είξτε ότι η ευθεία y 3x λ (ε)= + τέµνει την υπερβολή 6

(γ) yx

= σε

δυο σηµεία για κάθε τιµή του λ∈ .

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................


............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

22. Κάντε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων:

2 2 2

2 2 2

f (x) 2x 1, f (x) x 4x 3, f (x) 2x 4x 2

f (x) x 2x 3, f (x) x 3, f (x) x 4x 4

= − = − + = + += − + + = − + = + +

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

23. ∆ίνεται η συνάρτηση x 1

f (x) 2x 2

−= −+

. Βρείτε το πεδίο ορισµού της.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

24. Λύστε το σύστηµα:

2

2x 1 3

x0

x 1x 16

− < >

− ≤


............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

25. Αν 2x 5x 6 0− + − > βρείτε την τιµή της παράστασης:

x 2 x 3A

x 1 x 5− + −=− + −

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

124. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

ÂÞìá 4 ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáòÂÞìá 5

ΘΕΜΑ 1ο

Α.1. Είναι σωστό ή λάθος ότι:

“Η γραφική παράσταση µιας γνησίως µονότονης συνάρτησης τέµνει

στον άξονα x΄x σε ένα το πολύ σηµείο.”

Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

Α.2. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση 31)x-(λf(x)2 +=

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

125.Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

ΘΕΜΑ 2ο

Β. α. Να απλοποιηθεί η παράσταση 14x4x

xx6xA

2

23

+−−−=

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

β. Να βρείτε το µέγιστο ή το ελάχιστο των συναρτήσεων:

i. f(x) = -x2 + 5x - 2 ii. g(x) = 3x2 + 7x - 1

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

ΘΕΜΑ 3ο

∆ίνεται η παραβολή f(x) = x2 + (κ + 2)x + κ + 2. Να βρείτε το κ κάθε φορά στις

περιπτώσεις που η παραβολή:

α. εφάπτεται στον x΄x β. τέµνει τον x΄x σε δύο σηµεία.

γ. δεν τέµνει τον x΄x δ. έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία x = 3.

ε. παρουσιάζει ελάχιστο για x = 5 στ. έχει ελάχιστο το -8

ζ. τέµνει τον x΄x στο Α(3, 0) η. τέµνει τον y΄y στο Β(0, 5)

............................................................................................................................

............................................................................................................................

126. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

ΘΕΜΑ 4ο

Ένα εργοστάσιο που παράγει την ηµέρα x προϊόντα το κόστος παραγωγής δίνε-

ται από την συνάρτηση: Κ(x) = 4x2 - 20x +13 (χιλιάδες ευρώ) η δε είσπραξη από

την πώληση των x προϊόντων δίνεται από τη συνάρτηση: Ε(x) = 3x2 + 80 (χιλιάδες

ευρώ). Να βρείτε πόσα προϊόντα πρέπει να παράγει την ηµέρα, ώστε το κέρδος να

είναι το µέγιστο. Ποιο είναι αυτό;

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

ΒΙΒΛΙΟ

µαθήµατα

Μία έκδοση

ΕΚΠΛΗΞΗ!!!

για τις επαναλήψεις

σας και όχι µόνο...

1. ΦΥΣΙΚΗ Α΄ Λυκείου Κωδ. 21

2. ΧΗΜΕΙΑ Α΄ Λυκείου Κωδ. 22

3. ΦΥΣΙΚΗ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Κωδ. 30

4. ΧΗΜΕΙΑ Θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Κωδ. 31

5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Κωδ. 32

6. ΦΥΣΙΚΗ Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου Κωδ. 33

7. ΑΛΓΕΒΡΑ Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου Κωδ. 34

8. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου Κωδ. 35

9. ΦΥΣΙΚΗ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Κωδ. 36

10. ΧΗΜΕΙΑ Θετικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Κωδ. 37

11. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Κωδ. 38

12. ΦΥΣΙΚΗ Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου Κωδ. 39

13. ΑΡΧΑΙΑ Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

(Θουκιδίδη Περικλέους Επιτάφιος) Κωδ. 52

Το “αντίδοτο” για την... αµνησία την ώρα των εξετάσεωνείναι η σωστή επανάληψη.

ΕΝΗΜΕΡΩΣΟΥ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΣΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ 4οΚΕΦΑΛΑΙΟ

Documents

Transcript of ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ 4οΚΕΦΑΛΑΙΟ