Μαθηματικά Ε΄ 4.27. ΄΄Πολλαπλασιασμός κλασμάτων -...

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής

Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 4 - Κεφάλαιο 27

΄΄ Πολλαπλασιασμός κλασμάτων –

Αντίστροφοι αριθμοί ΄΄

http://e-taksh.blogspot.gr

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 27

ΠΟΛΛΑΠΛΑΙΑΜΟ ΚΛΑΜΑΣΩΝ - ΑΝΣΙΣΡΟΦΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παραδείγματα πολλαπλαςιαςμών:

3

5 •

2

5 =

6

25

7

8 •

2

4 =

14

32

Ο πολλαπλαςιαςμόσ κλαςμάτων είναι πολφ πιο εφκολοσ από τθν πρόςκεςθ και τθν αφαίρεςθ.

Για να πολλαπλαςιάςω δφο κλάςματα μεταξφ τουσ, πολλαπλαςιάηω πρώτα τουσ αρικμθτζσ τουσ (και γράφω το γινόμενο ωσ νζο αρικμθτι) κι ζπειτα πολλαπλαςιάηω τουσ παρονομαςτζσ τουσ (και γράφω το γινόμενο ωσ νζο παρονομαςτι)

Αν κατάλαβα καλά, δεν

ζχει καμία ςθμαςία αν

τα κλάςματα είναι

ομϊνυμα ι ετερϊνυμα;

Πολφ ςωςτά. ε αντίκεςθ με τθν πρόςκεςθ και τθν αφαίρεςθ, ςτον πολλαπλαςιαςμό δεν εξετάηουμε αν τα κλάςματα είναι ομϊνυμα ι ετερϊνυμα. Πολλαπλαςιάηουμε και τουσ αρικμθτζσ μεταξφ τουσ και τουσ παρονομαςτζσ μεταξφ τουσ.

Η πρόςκεςθ και θ αφαίρεςθ μου

φάνθκαν ςχετικά εφκολθ υπόκεςθ. Είναι

το ίδιο εφκολοσ και ο πολλαπλαςιαςμόσ

κλαςμάτων; Μπορείσ να μου πεισ πϊσ

γίνεται;

Παραδείγματα πολλαπλαςιαςμοφ αρικμϊν

διαφορετικισ μορφισ

Και ςτθν περίπτωςθ του

πολλαπλαςιαςμοφ, αν

ζχω αρικμοφσ

διαφορετικισ μορφισ,

πριν κάνω οποιαδιποτε

πράξθ, φροντίηω να

είναι όλοι οι αρικμοί ςε

κλαςματικι μορφι

• 14

5

2

3 =

2

3 •

9

5 =

18

15 = 1

3

15

= • 45

7 =

5

7 •

4

1

20

7 = 2

6

7

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.2 Παύλος Κώτσης

Ποιουσ αρικμοφσ

λζμε αντίςτροφουσ;

Αντίςτροφουσ λζμε δφο αρικμοφσ που, αν

τουσ πολλαπλαςιάςουμε μασ δίνουν

γινόμενο τθ μονάδα (τον αρικμό 1).

Παραδείγματα:

Ο αντίςτροφοσ του αρικμοφ είναι ο αρικμόσ γιατί...

Ο αντίςτροφοσ του αρικμοφ 5 είναι ο αρικμόσ γιατί...

42

42

7

6

6

7

6

7

7

6 = • = 1

1

5

1

5 5 • =

5

1 •

1

5 =

5

5 = 1

Στθν περίπτωςθ που ζχω να πολλαπλαςιάςω φυςικό αρικμό με κλάςμα, για να

υπολογίςω πιο γριγορα, απλά πολλαπλαςιάηω τον αρικμό με τον αρικμθτι και

αφινω παρονομαςτι τον ίδιο.

Παράδειγμα:

= • 42

5 =

• 8

5 = 1

3

5

4 2

5

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.3 Παύλος Κώτσης

Για να βροφμε τον αντίςτροφο ενόσ αρικμοφ :

α/ Μετατρζπουμε τον αρικμό ςε κλαςματικι μορφι (αν δεν είναι ιδθ).

β/ Σε νζο κλάςμα γράφουμε ωσ αρικμθτι, τον παρονομαςτι του αρχικοφ και

ωσ παρονομαςτι, τον αρικμθτι του αρχικοφ. Αυτό το νζο (ανάποδο) κλάςμα είναι ο

αντίςτροφοσ του αρχικοφ. Για παράδειγμα,

ςτο κλάςμα για να βρω τον αντίςτροφο εργάηομαι ωσ εξισ: 4

5

4

5

5

4

Καταλαβαίνουμε, λοιπόν, πωσ ο αντίςτροφοσ του

είναι ο αρικμόσ

4

5 5

4

Πράγματι, αν πολλαπλαςιάςουμε τουσ δφο αρικμοφσ κα βροφμε γινόμενο...

4

5

5

4 = = 1

20

20 •

Παιδιά, ςυνεχίςτε εςείσ το διάβαςμα.

Δεν πρόκειται να μασ βρει ο

Ραντανπλάν. Θα τελειϊςετε όλα τα

μακιματα κι ακόμα κα μασ ψάχνει...

Νομίηω ότι ζχαςα τα ίχνθ του Λοφκι

Λουκ. Η απίκανθ όςφρθςι μου δε με

γελά. Αποκλείεται να τον βρω

ςφντομα!


Xristos

Πλαίσιο κειμένου

Παύλος Κώτσης

eva-edu

Παράδειγμα

4

2 x

6

3=

64

32

x

x=

24

6

Αντίστροφοι αριθμοί

Για να φτιάξω τον αντίστροφο ενός αριθμού ακολουθώ 3 βήματα

1. Φτιάχνω μια νέα κλασματική γραμμή

2. Βάζω κάτω αυτόν τον αριθμό

3. Βάζω πάνω τον αριθμό 1

Όταν πολλαπλασιάζω 2 αντίστροφους αριθμούς το αποτέλεσμα είναι πάντα 1


6 6

1και 6 x

6

1= 1

Για να πολλαπλασιάσω δύο κλάσματα μεταξύ τους ακολουθώ 3 βήματα

1. Φτιάχνω μια νέα κλασματική γραμμή

2. Πολλαπλασιάζω το πάνω με το πάνω

3. Πολλαπλασιάζω το κάτω με το κάτω


eva-edu

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να πολλαπλασιάσεις μεταξύ τους τα παρακάτω κλάσματα

2 4

5 8 _______________________________

6 8

7 9 _______________________________

3 2

4 5 _______________________________

Να φτιάξεις τους αντίστροφους των παρακάτω αριθμών

5

3

1


eva-edu

1. Βρίσκω τα γινόμενα:

3 4

10 5

3 2

4 5

3 4

5 8

2 2

10 5

1 1

4 2

4 2

10 100


Πολλαπλασιασμός κλασμάτων – αντίστροφοι αριθμοί

Γιάννης Φερεντίνος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.8

Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο κλάσματα;

• Για να πολλαπλασιάσουμε δυο κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε πρώτα τους αριθμητές και γράφουμε το γινόμενο σαν αριθμητή.

• Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τους παρονομαστές και γράφουμε το γινόμενο σαν παρονομαστή.

Π.χ. 2 * 5 = 2*5 = 10 3 7 3*7 21


Ποιοι αριθμοί λέγονται αντίστροφοι;

• Δυο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι αν το γινόμενό τους είναι ίσο με τη μονάδα (1).

Π.χ. ο αντίστροφος αριθμός του 5 είναι ο αριθμός 8 γιατί 8 5 5 * 8 = 5*8 = 40 = 1 8 5 8*5 40


Πολλαπλασιασμός δεκαδικών ή κλασματικών αριθμών μικρότερων

από τη μονάδα (1) • Αν πολλαπλασιάσουμε δύο δεκαδικούς ή

κλασματικούς αριθμούς μικρότερους από το 1 (μονάδα), το γινόμενό τους θα είναι μικρότερο από τη μονάδα, αλλά και μικρότερο από τους δύο αριθμούς.

Π.χ. 3 * 6 = 18 < 1 4 9 36 0,7 * 0,32 = 0,224 < 1


Πολλαπλασιασμός ακέραιου με δεκαδικό ή κλασματικό αριθμό μικρότερο από τη μονάδα (1)

• Ένας ακέραιος αριθμός όταν πολλαπλασιαστεί με ένα δεκαδικό ή

κλασματικό αριθμό μικρότερο από τη μονάδα θα μικρύνει.

Π.χ. 5 * 0,4 = 2 6 * 3 = 18 = 3 6 6

Γιάννης Φερεντίνος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.12

Εγκύκλιος Παιδεία

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ-ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΑΘΕΙΣ ΚΑΛΑ: α) Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι ένα νέο κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών Παράδειγμα: 3/5 . 2/8 = 3 . 2 / 5 . 8 = 6/40 ΟΠΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑ ΚΛΙΚ ΚΑΙ ΕΔΩ ΣΧΕΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ β) Δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους είναι ίσο με 1 Παράδειγμα: Ο 1/2 και ο 2 είναι αντίστροφοι, γιατί 1/2 . 2 = 2/2 = 1 (μην ξεχνάς πώς μάθαμε ότι μετατρέπουμε ακέραιο σε κλάσμα. Βάζουμε απλά παρονομαστή το 1)

γ) Δύο αριθμοί μικρότεροι της μονάδας έχουν γινόμενο επίσης μικρότερο της μονάδας Παράδειγμα: 3/4 . 2/5 = 6/20 <1 (μην ξεχνάς ότι το ίδιο γίνεται και με τους δεκαδικούς. 0,75 . 0,40 = 0,30 <1

δ) Για να διαιρέσεις ένα κλάσμα μ' έναν ακέραιο, απλά πολλαπλασιάζεις το κλάσμα με τον αντίστροφο του ακεραίου Παράδειγμα: 15/30 : 3 = 15/30 . 1/3 = 15/90 (είπαμε παραπάνω ότι αφού το 3 γράφεται ως κλάσμα 3/1, αντίστροφο του θα είναι το 1/3. Επίσης να θυμάσαι ότι αν αντιστρέψεις τους όρους ενός κλάσματος προκύπτει κλάσμα αντίστροφο του αρχικού) Παράδειγμα: Το 3/4 και το 4/3 είναι αντίστροφοι γιατί 3/4 . 4/3 = 12/12 = 1

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Τι προτιμάς το 1/2 των 3/4 μιας σοκολάτας ή τα 3/4 του 1/2 της; Γιατί;


http://egpaid.blogspot.com/

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_194_g_2_t_1.html

http://www.mathplayground.com/computation/Mult_Fractions_MP_secure.swf

Έλεγξε με ζωγραφική για να καταλάβεις: Και μετά βρες με ακρίβεια τα γινόμενα και για τις δυο περιπτώσεις

........................................................................................

β) Να κάνεις τις παρακάτω πράξεις:

12/18 . 6/24

3/15 . 40/6

21/36 . 6/7

γ) Να βρεις ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι αντίστροφοι

3, 4/8, 6, 1, 2, 3/6, 8, 1/6

δ) Τα 3/8 των μαθητών της Ε τάξης είναι αγόρια. Από τα αγόρια αυτά το 1/6 παρακολουθεί μαθήματα γαλλικών. Να βρεις ποιο μέρος των μαθητών της τάξης είναι τα αγόρια που παρακολουθούν γαλλικά.


ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Δύο ή περισσότερα κλάσματα που έχουν διαφορετικούς όρους, δηλαδή

διαφορετικό αριθμητή & παρονομαστή,

αλλά εκφράζουν την ίδια ποσότητα, λέγονται ισοδύναμα.

Π.χ.

Για να βρούμε αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα, πολλαπλασιάζουμε τους όρους

σταυρωτά.

Αν τα σταυρωτά γινόμενα είναι ίσα, τότε είναι ισοδύναμα.

Αν τα σταυρωτά γινόμενα είναι άνισα, τότε δεν είναι ισοδύναμα.

Παιχνίδια με ισοδύναμα κλάσματα:

http://gregzer.pbworks.com/f/equivalent_fractions.swf

http://gregzer.pbworks.com/f/doublefractions.swf


http://gregzer.pbworks.com/f/equivalent_fractions.swf

http://gregzer.pbworks.com/f/doublefractions.swf

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr -Μαθηματικά Ε΄

15

Μάθημα 22ο Πολλαπλασιασμός ακεραίου με κλάσμα

Όταν έχουμε να πολλαπλασιάσουμε ακέραιο με κλάσμα πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο με τον αριθμητή του κλάσματος και παρονομαστής μένει ο ίδιος.

π.χ. 2 • 3

2 =

3

22 =

3

4 = 1

3

1

στον πολλαπλασιασμό ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα :

2 • 3

2 =

3

2 • 2

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσω δύο κλάσματα, πολλαπλασιάζω τους αριθμητές και το γινόμενό τους είναι ο νέος αριθμητής και κατόπιν πολλαπλασιάζω τους παρονομαστές και το γινόμενό τους είναι ο νέος παρονομαστής.

π.χ. 3

2 •

6

1 =

63

12

= 18

2 =

9

1

Στον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα :

3

2 •

6

1 =

6

1•

3

2

Αντίστροφοι αριθμοί

Δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι, όταν το γινόμενό τους είναι 1.

π.χ. 3

2 •

2

3 =

6

6 = 1

6 • 6

1 =

6

6 = 1

Ασκήσεις

1. Να κάνετε στο τετράδιό σας τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς :

6

4 ·

6

1 = …..

5

4 ·

5

2 = …..

8

3 ·

4

1 = …..

7

3

·

21

5 = …..


Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr -Μαθηματικά Ε΄

16

2. Να κάνετε στο τετράδιό σας τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς :

2 · 6

1 = ….. 5 ·

5

2 = …..

2

9 · 4 = …..

3

18 · 5 = …..

3. Να βρείτε τους αντίστροφους των παρακάτω αριθμών :

6

4 · ….. = 1

8

3 · ….. = 1

2

9 · ….. = 1 8 · ….. = 1

13

6 · ….. = 1

5

13 · ….. = 1

2

3 · ….. = 1 2 · ….. = 1

4. Για μία συναυλία που έγινε το καλοκαίρι στην Αλεξάνδρεια πουλήθηκαν τα 3

2 από τα

3.000 εισιτήρια. Πόσα εισιτήρια πουλήθηκαν και πόσα έμειναν απούλητα ;

5. Ο Διονύσης αγόρασε ένα βιβλίο 400 σελίδων. Το Σάββατο διάβασε τα 10

2 των σελίδων

και την Κυριακή τα 6

3 των σελίδων. Πόσες σελίδες διάβασε το Σάββατο, πόσες την

Κυριακή και πόσες σελίδες έμειναν ακόμη να διαβάσει ; 6. Ο Μεχμέτ έχει στο πορτοφόλι του 100 €. Θέλει να αγοράσει μία μπάλα η οποία κοστίζει

το 4

1 των χρημάτων του. Πόσο κοστίζει η μπάλα και πόσα χρήματα θα του μείνουν ;

7. Η Μαρία είχε 5

435

€ και έδωσε το

8

1 για να αγοράσει λογοτεχνικό βιβλίο. Πόσα

χρήματα έδωσε;

8. Η Ελένη διαβάζει ένα βιβλίο 432 σελίδων. Την Κυριακή διάβασε το 6

1 των σελίδων και

τη Δευτέρα το 9

1 των σελίδων. Πόσες σελίδες διάβασε συνολικά και τις δυο μέρες ;

9. Ο Παύλος είχε ένα χαρτονόμισμα των 20 €. Ξόδεψε τα 5

4 των

4

3 των χρημάτων του

για να αγοράσει cd. Τι ρέστα πήρε ;

10. Ένα κιλό μπανάνες στοιχίζει 5

3

του ευρώ. Πόσο κοστίζουν τα

4

3

του κιλού ;


ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΜΕΙΚΤΟ & ΤΟ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ

Σε μεικτό μπορούν να μετατραπούν μόνο τα καταχρηστικά κλάσματα

Για να μετατρέψουμε γρήγορα ένα κλάσμα σε μεικτό αριθμό...

1. Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.

2. Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος του μεικτού.

3. Το κλάσμα του μεικτού έχει αριθμητή το υπόλοιπο της διαίρεσης και παρονομαστή τον

ίδιο με το αρχικό κλάσμα.

Π.χ.

Αν διαιρέσουμε τους όρους ενός καταχρηστικού κλάσματος, θα μας προκύψει ή ακέραιος

ή μεικτός αριθμός.

ακέραιος μεικτός

Για να μετατρέψουμε γρήγορα ένα μεικτό αριθμό σε κλάσμα...

1. Πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο του μεικτού με τον παρονομαστή του κλάσματός του.

2. Στο γινόμενο που προκύπτει προσθέτουμε τον αριθμητή του μεικτού αριθμού.

3. Το αποτέλεσμα αποτελεί τον αριθμητή του νέου κλάσματος, ενώ παρονομαστής

παραμένει ο ίδιος.

Π.χ.

Πηγή: http://ioannaprangiou.weebly.com/


1

© Γρηγό ρ ης Ζε ρ βό ς

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕργασίεςΕργασίεςΕργασίεςΕργασίες

1) Σ ω σ τό ( Σ ) - Λ ά θος ( Λ )

� Δύο αριθμοί που το γινόμενό τους είναι ακριβώς 1 λέγονται αντίστροφοι. [ ][ ][ ][ ]

� 15

2

53

12

5

1

3

2=

×

×=× [ ][ ][ ][ ]

� 12

1

4

3<× [ [ [ [ ]]]]

� Οι αριθμοί 12 και 12

1 δεν είναι αντίστροφοι. [ ][ ][ ][ ]

� Ένας ακέραιος δεν μπορεί να γραφτεί με τη μορφή κλάσματος. [ ][ ][ ][ ]

� Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι ένα νέο κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο

των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών. [ ][ ][ ][ ]

2) Ν α γ ί ν ου ν ο ι π ολ λα π λ ασ ι ασ μ ο ί :

� =×5

7

10

2 � =×

5

1

4

3

� =×4

9

4

10 � =×

5

2

7

6

� =×4

13 � =×

6

25,0

� =× 79

2 � =×

8

31,0

� =×10

1

5

21 � =×

7

2

6

12

Όνομα:Όνομα:Όνομα:Όνομα: ...........................................................

ΣΤ΄ΣΤ΄ΣΤ΄ΣΤ΄

……… /……… /………


2


3) Π οι ο ι α π ό τ ου ς π αρ ακ ά τω αρ ι θμ ού ς ε ί ναι α ν τί σ τ ροφ οι ;

� 2

3,

3

2 �

10

1,

8

4 � =×

12

112 �

25

20,

4

5

� � � �

4) Ν α β ρε ι ς του ς α ν τί σ τρ οφου ς τω ν α ρι θμ ώ ν κ αι να κ ά νε ι ς ε π αλή θε υ σ η

υ π ο λο γ ί ζ ο ντ ας το γ ι νόμ ε νό τ ου ς :

� 7

5

� 2

9

� 0,05

ΠΠΠΠροβλήματαροβλήματαροβλήματαροβλήματα

1) Ένα μπουκάλι περιέχει 2

11 λίτρα φυσικό χυμό πορτοκάλι. Η Πηνελόπη ήπιε το

5

1 από το

περιεχόμενο του μπουκαλιού. Πόσα λίτρα χυμού ήπιε η Πηνελόπη;

Λύση

Απάντηση

.......................................................

.......................................................

.......................................................


3


2) Η Νίκη έχει στη βιβλιοθήκη της 28 λογοτεχνικά βιβλία. Τα 4

3 απ’ αυτά είναι από Έλλη-

νες συγγραφείς, ενώ τα 7

5 απ’ αυτά τα έχει γράψει ο αγαπημένος της συγγραφέας.

α)α)α)α) Πόσα από τα βιβλία που έχει είναι από Έλληνες συγγραφείς;

ββββ)))) Πόσα απ’ αυτά τα έχει γράψει ο αγαπημένος της συγγραφέας;

Λύση

Απάντηση

.......................................................

.......................................................

.......................................................

.......................................................

.......................................................


ΠΟΛΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑ

Για να πολλαπλασιάσουμε ακέραιο με κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε

τον ακέραιο με τον αριθμητή και παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο.


Για να υπολογίσουμε το μέρος μιας ποσότητας, πολλαπλασιάζουμε το μέρος με την

ποσότητα.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑ

Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσμα με κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή

και το γινόμενο το γράφουμε στον αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή με

παρονομαστή

και το γινόμενο το γράφουμε στον παρονομαστή.


* Αν σε ένα πολλαπλασιαμό ο ένας παράγοντας του γινομένου είναι ακέραιος ή μεικτός

και ο άλλος κλάσμα, ή αν και οι δύο είναι μεικτοί, μπορούμε να τους μετατρέψουμε σε

κλάσματα και να συνεχίσουμε.

Αν δύο αριθμοί δίνουν γινόμενο το 1, λέγονται αντίστροφοι αριθμοί.

Πηγή: http://ioannaprangiou.weebly.com/


Πολλαπλασιασμός κλασμάτων – Αντίστροφοι αριθμοί

Πρέπει να θυμάμαι !!! Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσμα με κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και παρανομαστή με παρανομαστή.

Π.χ 2

1 ·

4

3 =

8

3

Κάθε ακέραιος μπορεί να γραφεί ως κλάσμα με παρανομαστή τη μονάδα.

Π.χ. 4

3 · 2 =

4

3 ·

1

2 =

4

6

Αντίστροφοι αριθμοί λέγονται δυο αριθμοί, όταν το γινόμενο τους

είναι ίσο με 1.

Π.χ το 2 και 2

1 είναι αντίστροφοι γιατί 2 ·

2

1 =

1

2 ·

2

1 =

2

2 = 1

Πολλαπλασιασμό κάνουμε: Όταν ξέρουμε την τιμή της μιας ακέραιας μονάδας και ζητάμε να βρούμε

την αξία των πολλών ακέραιων μονάδων. Π.χ. Ένα μπουκάλι νερό έχει 1,5 λίτρα νερό. Πόσο νερό έχουν τα 10 λίτρα; Λύση : 1,5 · 10 = 15 λίτρα νερό.

Όταν ξέρουμε την τιμή της μιας ακέραιας μονάδας και ζητάμε να βρούμε

την αξία ενός μέρους της.

Π.χ. Όλο το μήκος ενός σκοινιού είναι 200 μέτρα. Πόσα μέτρα είναι τα 5

3

του σκοινιού; Λύση :

i. Με αναγωγή στην κλασματική μονάδα: Τα 5

5 του σκοινιού είναι 200 μ.

Το 5

1 είναι 200 : 5 = 40 μ.

Τα 5

3 θα είναι 3 ·

5

1 δηλ. 3 · 40 = 120 μ.

ii. Με πολλαπλασιασμό κλασμάτων : 200 · 5

3 =

1

200 ·

5

3 =

5

600 = 120 μ.


Ασκήσεις εμπέδωσης

1. Βρίσκω τα παρακάτω γινόμενα με πολλαπλασιασμό α) κλασμάτων και β)

δεκαδικών αριθμών:

2. Γράφω τον αντίστροφο κάθε αριθμού και στη συνέχεια βρίσκω το

γινόμενό τους:

3. Βάζω το σύμβολο της ισότητας ή της ανισότητας όπου ταιριάζει:

4.


Xristos


Πηγή: blogs.sch.gr/ioporporis/files/2012/12/polklantari.pdf

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ-ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσματα ακολουθούμε τα παρακάτω

τρία βήματα :

1. Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και το γινόμενό τους το

βάζουμε αριθμητή.

2. Πολλαπλασιάζουμε τους παρονομαστές και το γινόμενό τους το

βάζουμε παρονομαστή.

3. Κάνουμε απλοποίηση, εάν γίνεται.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

1 2

2 5

1. Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές : 1 2 1 2 2

2 5

2. Πολλαπλασιάζουμε τους παρονομαστές : 1 2 1 2 2

2 5 2 5 10

3. Κάνουμε απλοποίηση : 2 1

10 5


1 9

3 16

1. Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές : 1 9 1 9 9

3 16

2. Πολλαπλασιάζουμε τους παρονομαστές : 1 9 1 9 9

3 16 3 16 48

3. Κάνουμε απλοποίηση : 9 3

48 16 (διαιρέσαμε και τους 2 όρους με

το 3).


Xristos


sainia.gr

Πολλαπλασιασμός ακεραίου με κλάσμα

Ένας ακέραιος μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα με αριθμητή τον ίδιο τον

ακέραιο και παρονομαστή το 1.

Π.χ. 8 = 8

1

Για να πολλαπλασιάσουμε ακέραιο με κλάσμα :

Α΄ Τρόπος

1. Μετατρέπουμε τον ακέραιο σε κλάσμα (όπως είδαμε

παραπάνω).

2. Κάνουμε την πράξη όπως μάθαμε.

3. Κάνουμε απλοποίηση, αν χρειάζεται.


1. 2 7 2 7 2 14

75 1 5

2. 2 7 2 7 2 14

75 1 5 1 5 5

3. Το κλάσμα 14

5 δεν απλοποιείται.

Β΄ Τρόπος

1. Πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο με τον αριθμητή και το

γινόμενο το βάζουμε αριθμητή.

2. Παρονομαστής μένει ο ίδιος.

3. Κάνουμε απλοποίηση, αν χρειάζεται.



4 4 4 16 84

6 6 6 3

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Αντίστροφοι λέγονται οι αριθμοί που το γινόμενό τους είναι 1.

Π.χ. 45

και 54

είναι αντίστροφοι επειδή : 5 20

14 20

45

Οι αριθμοί 7 και 17

:

7 177

17

Άρα :

Το αντίστροφο ενός κλάσματος είναι το κλάσμα που έχει αντίστροφα

τους όρους του πρώτου κλάσματος.

Ο αντίστροφος κάθε ακεραίου είναι η κλασματική μονάδα που έχει

παρονομαστή τον ακέραιο.


ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 27

Ειρήνη Ξαγοράρη

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΙ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ – ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Ονοματεπώνυμο: …………………………………………………

1. Να γίνουν οι πολλαπλασιασμοί:

8

3 χ 2

4 =

28

43

x

x =

16

12

8

5 χ 70

90 =

7

6 χ 40

8 =

23

5 χ 3

7 =

200

55 χ 25

2 =

293

765 χ 765

293 =

450

65 χ

2

10 =

28

82 χ 10

3 =

75

40 χ 8

7 =

98

58 χ 58

98 =

2. Να βρεις τους αντίστροφους των παρακάτω αριθμών :

7

9 : Είναι τα

9

7 γιατί

7

9 χ

9

7 = 1

8

5 : Είναι το … γιατί …………………………

98

12 : ………………………………………………………………

3

21 :

3

21 =

3

5, επομένως είναι τα

5

3 γιατί

3

5 χ 5

3 = 1

6

52 : ………………………………………………………………………………

9

71 : ………………………………………………………………………………

8

63 : ………………………………………………………………………………

0,5 : 0,5= 10

5, επομένως ………………………………………………

0,25 : …………………………………………………………………………………

1,2 : …………………………………………………………………………………


ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 27

Ειρήνη Ξαγοράρη

3. Η Μαρία είχε 5

436€ και έδωσε το

8

1 για να αγοράσει ένα λογοτεχνικό βιβλίο. Πόσα χρήματα έδωσε;

Λύση:

Απάντηση: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. Η Ελένη διαβάζει ένα βιβλίο 432 σελίδων. Την Κυριακή διάβασε το 6

1 των σελίδων και τη Δευτέρα το

9

1 των σελίδων.

Πόσες σελίδες διάβασε συνολικά και τις δύο μέρες;

Λύση:

Απάντηση: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


Πότε κάνω πολλαπλασιασμό κλασμάτων

Περίπτωση 1η

Ξέρω το ένα και ψάχνω τα πολλά.

Θα στοιχίζουν 15

1 + 1

5

1 + 1

5

1 = 3

5

3

Ή αλλιώς 3 . 15

1 =

1

3. 5

6 =

5

18 = 3

5

3

Περίπτωση 2η

Ξέρω το ολόκληρο και ψάχνω το μέρος

Το 1 λίτρο γάλα κοστίζει 15

1€.

Τα 3 λίτρα πόσο θα κοστίζουν;

15

1

15

1 1

5

1 1

5

1

Ολόκληρο το δοχείο, χωράει 8 λίτρα λάδι.

Τα 4

3 του δοχείου πόσα λίτρα λάδι θα χωρούν;


Ή αλλιώς

8 . 4

3 = 1

8 . 4

3 =

4

24 = 6 λίτρα λάδι

Αφού τα 4 μέρη χωρούν 8 λίτρα, το κάθε μέρος θα

χωράει 8: 4 = 2 λίτρα

2

2

2

2

2

2

2 Συνεπώς, τα 3 μέρη θα χωράνε 2 Χ 3 = 6 λίτρα λάδι.


Φύλλο αξιολόγησης

α) Να βρεις με δύο τρόπους:

τα 5

2 της ώρας

τα 6

4 του έτους

τα 6

5 του μήνα

τα 20

8 του €

β) Ο Γιώργος από τα 20€ του, ξόδεψε τα 4

3 για μία μπάλα. Πόσα χρήματα

του περίσσεψαν;

γ) Μία παράσταση την παρακολούθησαν 200 θεατές. Τα 5

2 των θεατών ήταν

άντρες, το 4

1 γυναίκες και τα υπόλοιπα παιδιά. Πόσοι ήταν άντρες, πόσες οι

γυναίκες και πόσα τα παιδιά;

δ) Να βρεις το 2

1 των

4

3 του 80.

ε) Από τα 120 παιδιά ενός σχολείου το 3

1 των παιδιών είναι ξανθά. Από

αυτά τα 8

3 είναι αγόρια. Πόσα είναι τα ξανθά κορίτσια;

στ) Ο Αποστόλης έχει 5

3€. Η Μαρία έχει

8

3 των 2€. Ποιο παιδί έχει

περισσότερα; Πόσα € τους λείπουν για να έχουν και οι δύο μαζί 6

9€;

zarkosdim


http://www.slideshare.net/zarkosdim?utm_campaign=profiletracking&utm_medium=sssite&utm_source=ssslideview

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Μπορείς να γράψεις με κλάσμα την ποσότητα που είναι μαυρισμένη;

………………………

Μπορείς να χρωματίσεις τη διπλάσια ποσότητα; Χρωμάτισέ το και γράψε

το με κλάσμα.

………………………

Βρήκες ότι το διπλάσιο του 10

4 είναι

10

8

Αν δεν είχες το σχήμα πώς θα μπορούσες να βρεις το διπλάσιο; Τι

κάνουμε για να βρούμε το διπλάσιο μιας ποσότητας; Γράψε τι πράξη θα

κάνουμε για να βρούμε το διπλάσιο του 10

4.

………………………………………………………………………………………….

Καταλαβαίνεις τώρα πώς πολλαπλασιάζουμε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο;

Διατύπωσε τον κανόνα …………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Το 2 είναι ακέραιος. Μπορείς να τον μετατρέψεις σε κλάσμα; …………………..

Για προσπάθησε να κάνεις τώρα τον πολλαπλασιασμό 10

4 Χ

1

2=

Τι παρατηρείς; Πώς πολλαπλασιάζουμε κλάσμα με κλάσμα; Διατύπωσε τον

κανόνα. …………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………


Θυμάμαι:

1.Για να μετατρέψουμε ένα μεικτό αριθμό σε κλάσμα κάνουμε τα εξής :

6 5

3

Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με τον ακέραιο: 5 Χ 6 = 30

Προσθέτουμε στο γινόμενο τον αριθμητή: 30 + 3 = 33

Βάζουμε στη θέση του αριθμητή το άθροισμα και παρονομαστή

αφήνουμε τον ίδιο.

6 5

3 =

5

33

Μπορείς να καταλάβεις τώρα πώς πολλαπλασιάζουμε μεικτούς μεταξύ τους ή

μεικτό με κλάσμα; Διατύπωσε τον κανόνα. …………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Μπορείς να διατυπώσεις τώρα ένα γενικό κανόνα που να περιλαμβάνει όλες τις

περιπτώσεις; …………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Φύλλο αξιολόγησης

1. Υπολόγισε τα παρακάτω γινόμενα:

8

2 .

6

7 =

5

4 .

8

6 =

9

4 .

5

8 =

6

5 . 8 =

3

2 .

6

4 =

8

4 .

9

7 = 3

4

8 . 2

7

3=


2. Συμπλήρωσε τα κενά

5

3 .

4 =

10

12

7

4 .

6 =

42

16

1 .

8

6 =

24

2 .

7 =

21

10

7 .

4= 16

22

1 .

7 =

14

15

12 . 3

4

3 =

8

45 4

1 . 2 = 9 3

3

1 . =

12

30

3. Κάνε τους πολλαπλασιασμούς

3

2 .

2

3 =

7

5 .

5

7 = 2

2

1 .

5

2 = 4 .

4

1 =

7

3 .

6

14 =

5

2 .

8

20 =

Τι παρατηρείς;

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Οι αριθμοί που έχουν γινόμενο ίσο με 1, λέγονται αντίστροφοι

4. Να βρεις τους αντίστροφους των παρακάτω αριθμών

5

2

7

5 7

3

1 3

2

1 0,5

zarkosdim


http://www.slideshare.net/zarkosdim?utm_campaign=profiletracking&utm_medium=sssite&utm_source=ssslideview

ΠΟΛΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑ

Για να πολλαπλασιάσουμε ακέραιο με κλάσμα,

πολλαπλασιάζουμε

τον ακέραιο με τον αριθμητή και παρονομαστή αφήνουμε τον

ίδιο.


Για να υπολογίσουμε το μέρος μιας ποσότητας,

πολλαπλασιάζουμε το μέρος με την ποσότητα.


ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑ

Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσμα με κλάσμα,

πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή

και το γινόμενο το γράφουμε στον αριθμητή και παρονομαστή

με παρονομαστή με παρονομαστή

και το γινόμενο το γράφουμε στον παρονομαστή.


* Αν σε ένα πολλαπλασιαμό ο ένας παράγοντας του γινομένου

είναι ακέραιος ή μεικτός

και ο άλλος κλάσμα, ή αν και οι δύο είναι μεικτοί, μπορούμε να

τους μετατρέψουμε σε

κλάσματα και να συνεχίσουμε.

Αν δύο αριθμοί δίνουν γινόμενο το 1,

λέγονται αντίστροφοι αριθμοί.

Γρηγόρης Ζερβός


Click t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww


k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww


k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww


k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww


k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww


k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww


k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww


k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

om


http://www.pdfxviewer.com/










Γιώργος Μπαρούτας

Ορθογώνιο


Πλαίσιο Κειμένου

Μάθημα 22ο Πολλαπλασιασμός ακεραίου με κλάσμα Όταν έχουμε να πολλαπλασιάσουμε ακέραιο με κλάσμα πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο με τον αριθμητή του κλάσματος και παρονομαστής μένει ο ίδιος. π.χ.: Στον πολλαπλασιασμό ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα: Πολλαπλασιασμός κλασμάτων Για να πολλαπλασιάσω δύο κλάσματα, πολλαπλασιάζω τους αριθμητές και το γινόμενό τους είναι ο νέος αριθμητής και κατόπιν πολλαπλασιάζω τους παρονομαστές και το γινόμενό τους είναι ο νέος παρονομαστής. π.χ.: Στον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα : Αντίστροφοι αριθμοί Δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι, όταν το γινόμενό τους είναι 1. π.χ.:


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα







Xristos



Click t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww


k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww


k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww


k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww


k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww


k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww


k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww


k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww


k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

om













Ορθογώνιο


Πλαίσιο Κειμένου

Ασκήσεις 1. Να κάνετε στο τετράδιό σας τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς: 2. Να κάνετε στο τετράδιό σας τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς: 3. Να βρείτε τους αντίστροφους των παρακάτω αριθμών: 4. Για μία συναυλία που έγινε το καλοκαίρι στην Αλεξάνδρεια πουλήθηκαν τα από τα 3.000 εισιτήρια. Πόσα εισιτήρια πουλήθηκαν και πόσα έμειναν απούλητα; 5. Ο Κύριλλος αγόρασε ένα βιβλίο 400 σελίδων. Το Σάββατο διάβασε τα των σελίδων και την Κυριακή τα των σελίδων. Πόσες σελίδες διάβασε το Σάββατο, πόσες την Κυριακή και πόσες σελίδες έμειναν ακόμη να διαβάσει ; 6. Ο Μίμης έχει στο πορτοφόλι του 100 €. Θέλει να αγοράσει μία μπάλα η οποία κοστίζει το των χρημάτων του. Πόσο κοστίζει η μπάλα και πόσα χρήματα θα του μείνουν ; 7. Η Μίνα είχε € και έδωσε το για να αγοράσει λογοτεχνικό βιβλίο. Πόσα χρήματα έδωσε; 8. Η Όλγα διαβάζει ένα βιβλίο 432 σελίδων. Την Κυριακή διάβασε το των σελίδων και τη Δευτέρα το των σελίδων. Πόσες σελίδες διάβασε συνολικά και τις δυο μέρες ; 9. Ο Νίκος είχε ένα χαρτονόμισμα των 20 €. Ξόδεψε τα των των χρημάτων του για να αγοράσει cd. Τι ρέστα πήρε ; 10. Ένα κιλό μπανάνες στοιχίζει του ευρώ. Πόσο κοστίζουν τα του κιλού μπανάνες;


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα


Σφραγίδα







163

27. Ðïëëáðëáóéáóìüò êëáóìÜôùí - Áíôßóôñïöïé áñéèìïß

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 34

1. ×ùñßæù ôçí ìïíÜäá óå 5 ßóá ìÝñç êáé ðáßñíù ôï 1 áðï áõôÜ.

2. Ôï 1

5 ôçò ìïíÜäáò, äçëáäÞ ôï ìÝñïò ðïõ åðÝëåîá ôï ÷ùñßæù óå 4 ßóá ìÝñç.

Êáé åðéëÝãù ôá 3 áðï ôá 4. ¸ôóé Ý÷ù ôá 3

4 ôïõ

1

5 äçëáäÞ

3

20 ôçò ìïíÜäáò

â. 1

10 x

1

10 =

1

100 ôçò ìïíÜäáò Þ 0, ..........01

1 ìïíÜäá

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò áôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 34


164

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 34

• .......... • ..........

• 2

10 ÷

3

5 = ...........

Þ 0,2 ÷ 0,6 = ..........0,12

6

50•

5

10 ÷

2

100 = ...........

Þ 0,5 ÷ .......... = ..........

10

1.000

0,02 0,01

14

0,5 0,5 0,25

0,250,12 0,01

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò äôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 35

• á) 3

5 ÷

20

60 1 â)

3

5 ÷

4

8 1 ä)

125

8 ÷

8

125 1ã)

22

10 ÷ 5

11 1

• 1

2 ÷ 1

2 = .........

.......... x .......... = ..........

• ..........

< < ==

á) 60

300 Þ ......0,2...... ã)

110

110 Þ ......1,0......

â) 12

40 Þ ......0,3......

ä) 1000

1000 Þ ...... 1,0.......

•

Ðïëëáðëáóéáóìüò êëáóìÜôùí - Áíôßóôñïöïé áñéèìïß

¢óêçóç á

Ìéá âñýóç ãåìßæåé ìéá äåîáìåíÞ ýøïõò 10ì. ìå ôïí åîÞò ôñüðï:

Óôï ôÝëïò ôçò 1çò þñáò ç óôÜèìç ôïõ íåñïý Ý÷åé öôÜóåé óôá 4

5 ôïõ

ìéóïý ýøïõò ôçò äåîáìåíÞò.Óôï ôÝëïò ôçò äåýôåñçò þñáò ç óôÜè-


165

Óôï ôÝëïò ôçò 1çò þñáò ôï ýøïò ôïõ íåñïý å÷åé öôÜóåé óôá 4

5 ôïõ ìéóïý ýøïõò ôçò.Âñßóêïõìå ôï ìéóü ôïõ

óõíïëéêïý ýøïõò ôçò äåîáìåíÞò ðïõ åßíáé ( 1

2 ÷ 10 ) ì. =

10

2 ì. = 5ì. Ôá

4

5 áõôïõ ôïõ ýøïõò åéíáé

( 4

5 ÷ 5 ) ì. =

20

5 ì. = 4ì. ¢ñá óôï ôÝëïò ôçò 1çò þñáò ç óôÜèìç ôïõ íåñïý åéíáé óôá 4ì. áðï ôïí

ðõèìÝíá. Óôï ôÝëïò ôçò 2çò þñáò ç óôÜèìç ôïõ íåñïý Ý÷åé áíÝâåé êáôá 1

4 ôïõ ýøïõò ðïõ âñßóêåôáé óôï

ôÝëïò ôçò 1çò þñáò äçëáäÞ ôùí 4ì. ¸éíáé åðïìÝíùò ( 1

4 ÷ 4 ) ì. =

4

4 ì. = 1ì. ¢ñá Ý÷åé áíÝâåé êáôá 1ì. Óôï

ôÝëïò ôçò 2çò þñáò ç óôÜèìç ôïõ íåñïý âñßóêåôáé óå ýøïò 4ì. + 1ì. = 5ì. ÅðïìÝíùò âñßóêåôáé óôçí ìÝóç.

ëýóç

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò åôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 35

• O ÃéÜííçò áíáññé÷Þèçêå ôá 9

10 ôùí 2ì. äçëáäÞ

9 18x2 µ. µ. 1,8µ.

10 10

= =

áöïý 2ì. Þôáí ôï

ýøïò ðïõ áíáññé÷Þèçêå ï Ìßëôïò åðåéäÞ Ýöôáóå óôá 3

6 ôùí 4ì. äçëáäÞ

3 12x4 µ. µ. 2µ.6 6

= =

• ÊÜëõøå 9

20 ôïõ óõíïëéêïý ìÞêïõò ôïõ ó÷ïéíéïý.


ìç Ý÷åé áíÝâåé åðéðëÝïí 1

4 ôïõ ýøïõò ðïõ âñéóêüôáí óôï ôÝëïò ôçò 1çò þñáò. Íá áðáíôÞóåôå áí ç

óôÜèìç ôïõ íåñïý óôï ôÝëïò ôçò 2çò þñáò åßíáé:

• óôçí ìÝóç •ðéï êÜôù áðï ôçí ìÝóç

• ðéï ðÜíù áðï ôçí ìÝóç.


166

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò óôôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 35

ÊÜèå ìÞíá äßíïõí 21 äéüôé 1 252

252χ € € 21€12 12

= =

.

Áðü áõôÜ 7 ôá 1χ21 € 7€3

=

äßíåé ç Å’ ôÜîç êáé ôá 2 42χ21 € € 14€3 3

= =

äßíåé ç ÓÔ’ ôÜîç

¢ñá Å’ ôÜîç äßíåé: 7

252 ôïõ óõíüëïõ =

1

36 ôïõ óõíüëïõ.

ÓÔ’ ôÜîç: 14

252 ôïõ óõíüëïõ =

1

18 ôïõ óõíüëïõ.

• ÊÜèå ÷ñüíï ç Å’ ôÜîç äßíåé 7 ÷ 12 = 84 êáé ÓÔ’ ôÜîç äßíåé 14 ÷ 12 =168 .



167

28. Äéáßñåóç ìÝôñçóçò óå ïìþíõìá êëÜóìáôá



• ÷ùñÜåé 4 öïñÝò

• ×ùñÜåé 10 öïñÝò




• ÷ùñÜåé 4 öïñÝò


• 2 öïñÝò ãéáôß 0,2 ÷ 2 = 0,4 Þ 2 4x2

10 10=

• 2 öïñÝò ãéáôß 0,2 ÷ 2 = 0,40 Þ 2 4x2

10 10=

4 2

:10 10

• 11 öïñÝò ãéáôß 0,2 ÷ 11 = 2,20 Þ 2 22 220x11

10 10 100= =

22 2

:10 10

Óôá 2

3 ôçò þñáò ðüóåò öïñÝò ÷ùñÜåé ôï

1

15 ôçò.

Óôá 15

5 ôïõ ìÝôñïõ ðüóåò öïñÝò ÷ùñÜåé ôï

1

4 ôïõ.

Óôá 12

25 ôïõ ÷ì. ðüóåò öïñÝò ÷ùñÜåé ôá

3

100 ôïõ ÷ì.


168

Äéáßñåóç ìÝôñçóçò óå ïìþíõìá êëÜóìáôá

¢óêçóç á

Ìå Ýíá êéëü áëÜôé ãåìßóáìå 50 áëáôéÝñåò. Ðüóåò

áëáôéÝñåò èá ãåìßóïõìå ìå 1,4 êéëÜ áëÜôé;

Ôï ðåñéå÷üìåíï êÜèå áëáôéÝñáò åßíáé ôï 1

50 ôïõ êéëïý.

Ôá 1,4 êéëÜ áëÜôé èá ãåìßóïõí:

1 14 1 70 11,4 : : :

50 10 50 50 50= = = 70 áëáôéÝñåò.

ëýóç

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 37

• Èá ãåìßóïõí 1 18 1 18 2

1,8 : : :5 10 5 10 10= =

ðÞëéíá äï÷åßá = 9 ðÞëéíá äï÷åßá.


169



• 9,9:1,1 9÷1,1 Þ 11 999x10 10

=

• 0,80:0,1

8÷0,1 Þ 1 88x10 10

=

• ÷ùñÜåé 60 öïñÝò 60÷0,25 Þ 25 15060x100 10

=

1 10

80 40

13, 6 6, 8

90 30

45 15

9, 6 3, 2

21, 6 7 ,2

90 30

10 10

60

100

12

100

5, 628 ,0

4 ,221 ,0

100

60

20

12

3 6

9 ,7 19 ,4

8

:

: :

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

2

1,1

Äéáßñåóç ìÝôñçóçò óå ïìþíõìá êëÜóìáôá

:


170

29. Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÅðáëÞèåõóç



• 3,5 ãýñïõò

• (1.400:400)ãýñïõò = 3,5ãýñïõò

• 400 1ãýñïò

• 400 2ãýñïò 400 3ãýñïò 200

1.400ìÝôñá

• Ôá 2

3 ôïõ 2.688 åßíáé 1.792 ìÝôñá. ¢ñá ç áðüóôáóç ôïõ ðÜñêïõ áðü ôï óðßôé ôïõ

Êùíóôáíôßíïõ åßíáé (2.688 - 1.792)ìÝôñá = 896ìÝôñá.

• Ç áðüóôáóç áðü ôï ðÜñêï óôï óðßôé ôïõ Êùíóôáíôßíïõ åßíáé ôï 1

3 ôçò óõíïëéêÞò áðüóôáóçò

ðïõ åßíáé 2.688ìÝôñá. Åßíáé (2.688:3)ìÝôñá = 896ìÝôñá.


171

Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÅðáëÞèåõóç


• 51 ôüíïõò

• (4 ÷ 12) ôüíïé = 48 ôüíïé

( )3 36x12 τόνοι τόνοι 3,6τόνοι

10 10= =

(48 + 3,6) ôüíïé = 51,6 ôüíïé

Ôï âÜñïò ôïõ öïñôßïõ áðü ôéò êáñüôóåò åßíáé 2 x 25 = 50 ôüíïé.

Åðßóçò ôï âÜñïò ôïõ öïñôçãïý ÷ùñßò ôï öïñôßï åßíáé 1 50χ50

10 10= ôüíïé = 5 ôüíïé.

Ôï óõíïëéêü âÜñïò ôïõ öïñôçãïý ìå ôï öïñôßï åßíáé 50 + 5 = 55 ôüíïé.

¢ñá äåí åðéôñÝðåôáé íá ðåñÜóåé ôç ãÝöõñá.

ëýóç

¢óêçóç á

Áðü ìéá ãÝöõñá åðéôñÝðåôáé íá ðåñÜ-

óåé öïñôßï âÜñïõò 50 ôüíùí. ̧ íá öïñ-

ôçãü Ý÷åé âÜñïò ÷ùñßò öïñôßï ôï 1

10

ôïõ åðéôñåðüìåíïõ âÜñïõò ãéá ôçí óõ-

ãêåêñéìÝíç ãÝöõñá. Êáèþò êáèåìßá

áðü ôéò êáñüôóåò ôïõ ìðïñåß íá ìåôá-

öÝñåé 25 ôüíïõò. ÅðéôñÝðåôáé ôï öïñ-

ôçãü íá ðåñÜóåé ôçí ãÝöõñá;


172


Óå êáèÝíá áðü ôá äï÷åßá á, â, ã ðñÝðåé íá âÜëù 3

10 ôïõ êéëïý æÜ÷áñç. ¸÷ù óôç

äéÜèåóç ìïõ ôá âïçèçôéêÜ äï÷åßá (Â.Ä.) ôùí 9 1 5 1 2, ,

10 2 10 5 10κ κ κ κ κ= = ôá ïðïßá

ïíïìÜæù áíôßóôïé÷á

9 5 2, ,

10 10 10Β∆ Β∆ Β∆

1. Ìå ôï 9

10Β∆ ãåìßæù ôï

5

10Β∆ êáé óôç óõíÝ÷åéá ìå ôï

5,

10Β∆ ãåìßæù ôï

2

10Β∆

Ýôóé óôï 5

10Β∆ Ýìåéíáí ôá

3

10 ôïõ êéëïý æÜ÷áñç ôï ïðïßï áäåéÜæù óôï äï÷åßï

á. ¸ôóé ôï äï÷åßï á Ý÷åé 3

10 ôïõ êéëïý æÜ÷áñç.

2. ÁäåéÜæù ôï 2

10Β∆ óôï

9

10Β∆ êáé åðáíáëáìâÜíù ôçí ßäéá ìå ðáñáðÜíù äéáäé-

êáóßá êáé ãåìßæù ôï äï÷åßï â.

3. Ôï 9

10Β∆ ðåñéÝ÷åé

1

10 ôïõ êéëïý æÜ÷áñç êáé ôï

2

10Β∆ ðåñéÝ÷åé

2

10 ôïõ êéëïý

æÜ÷áñç, ôá ïðïßá êáé áäåéÜæù óôï äï÷åßï ã.

¸ôóé êáé ôá ôñéá äï÷åßá á, â, ã ðåñéÝ÷ïõí ôçí ßäéá ðïóüôçôá æÜ÷áñçò äçëáäÞ

3

10 ôïõ êéëïý.

Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÅðáëÞèåõóç


173

30. MïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (á)

¢óêçóç á

Ç Ìáñßá êáé ï ÃéÜííçò Ýêáíáí âüëôá ìå ôï

ðïäÞëáôï ôïõò êáé äéÜíõóáí áðüóôáóç 7,4

÷éëéüìåôñá. ¼ôáí ôåëåßùóå ç âüëôá ç Ìá-

ñßá åßðå: ̧ éìáé ðïëý êïõñáóìÝíç äéüôé êÜ-

íáìå 7.400 ìÝôñá. Åêåßíç ôçí óôéãìÞ

áðÜíôçóå ï ÃéÜííçò: ËÜèïò êÜíåéò Ìáñßá,

êÜíáìå 7 ÷éëéüìåôñá êáé 40 ìÝôñá. Ðïéüò

åß÷å äßêéï ôåëéêÜ;

Ç Ìáñßá åßðå ôçí óùóôÞ áðÜíôçóç äéüôé 7,4 ÷éëéüìåôñá = (7,4 ÷ 1000 ) ìÝôñá = 7.400 ìÝôñá.

ëýóç

Ôá ðáéäéÜ ðïõ Ý÷ïõí åêöñÜóåé ìå

óùóôü ôñüðï ôï ìÞêïò ôçò áêôÞò ðïõ

êáèÜñéóáí åßíáé: Ôá ðáéäéÜ Á, Ã, Ä.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò áôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 6


174

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ.åñãáóéþí ã, óåë. 6

MïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (á)

• Ôï ãåùìåôñéêü ó÷Þìá ðïõ ÷ñçóéìïðïéÞóáìå ðåñéóóüôåñá îõëÜêéá ãéá íá ó÷çìáôßóïõìå ôçí ðåñß-

ìåôñï, áí = 15 ÷éëéïóôÜ Þ .......... åßíáé ôï ó÷Þìá ã êáé ÷ñçóéìïðïéÞóáìå 14 îõëÜêéá.1,5åê.

á) Ý÷ïõí ìÞêïò: 10 ÷ 1,5åê. = 15åê.

â) Ý÷ïõí ìÞêïò: 10 ÷ 1,5åê. = 15åê.

ã) Ý÷ïõí ìÞêïò: 14 ÷ 1,5åê. = 21åê.

¢óêçóç â

ÊÜíå ôéò ðñÜîåéò:

• 2,3ì. + 0,8ì. = ......

• 0,6ì. + 0,3ì. = ......

• 1,4ì. + 0,6ì. = ......

• 3,1ì. + 1,3ì. = ......

• 2,3ì. + 0,8ì. = 2ì. + 30åê. + 80åê. = 2ì. + 110åê. = 3ì.10åê.

• 0,6ì. + 0,3ì. = 60åê. + 30åê. = 90åê. = 0,9ì.

• 1,4ì. + 0,6ì. = 1ì. + 40åê. + 60åê. = 1ì. + 100åê. = 1ì. + 1ì. = 2ì.

• 3,1ì. + 1,3ì. = 3ì. + 10åê. + 1ì. + 30åê. = 4ì. + 40åê. = 4ì. 40åê.

ëýóç


175

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 7

• 2,2ì. + 0,2ì. = 2,22 ì.

• 2,5ì. + 1,75ì. = 3,80ì.

• 1,5 ì. + 0,50ì. = 2ì.

• 2,25ì. + 1,25 ì. = 3,50ì.

• 0,4ì. + 0,5ì. = 0,9 ì.

• 0,2ì. + 0,8ì. = 0,10ì.

• 0,7 ì. + 0,5ì. = 1,2ì.

• 6,3ì. + 4,7 ì. = 10,10ì.

Ó

Ë

Ó

Ë Ó

Ó

Ë

Ë

MïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (á)

• Ôï ìÞêïò êÜèå ðëïêáìéïý ôçò áñêôéêÞò ìÝäïõóáò öôÜíåé ôá 0,003÷ì. Þ ...... ì.

• Ôï ÷åëéäüíé ìðïñåß íá äéáíýóåé êÜèå ÷ñüíï 38,5 ÷éëéÜäåò ÷ì. Þ .................... ì.

• Ôï ðéï ìåãÜëï âáôñÜ÷é Ý÷åé ìÞêïò 0,3ì. Þ ...... åê.

• Ï îéößáò, ðïõ ìðïñåß íá Ý÷åé ìÞêïò 35.

10µ Þ ........ åê., åßíáé Ýíá øÜñé ðïõ ôï ìõôåñü ôïõ ñýã÷ïò

ìïéÜæåé ìå óðáèß.

• Ç íõößôóá æåé óôï äÜóïò êáé ôï ìÞêïò ôçò öôÜíåé óôá 0,26ì. Þ ...... åê.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò äôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 7

3

38.500.000

30

350

26


176

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò áôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 8

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 8

31. MïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (â)

¢óêçóç á

Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ:

• 4,16ì. 41,6åê • 7,35÷ì. 73500ì.

545,5ì.

........... ÷ì. ......ì.

0,5450,5

..........å

ê.54.550

........

..÷ì.

0,5455

........... äåê.

5.455

• Óôçí Åõñþðç ðåñßðïõ 4,5 åêáô. Üôïìá æïõí üëï ôï ÷ñüíï óôï âïõíü, óå õøüìåôñï áíÜìåóá

óå 0,8÷ì. ( ...... ì.) êáé 2,2÷ì. ( ........ ì. ).

• Ïé Üíèñùðïé êáëëéåñãïýí óßêáëç óå õøüìåôñï ìÝ÷ñé 1,8÷ì. Þ ........ ì.

• Ôï ãéáê åßíáé Ýíá åßäïò ìéêñïý âïåéäïýò ðïõ æåé óå õøüìåôñï áíÜìåóá óôá 3÷ì. Þ ........ ì. êáé

4÷ì. Þ ........ óôá âïõíÜ ôïõ ÈéâÝô.

800 2200

1800

3000

4000


177

ëýóç

MïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (â)

ÌåôáôñÝðù ôïõò áñéèìïýò Ýôóé þóôå íá Ý÷ïõí ßäéåò ìïíÜäåò ìÝôñçóçò.

• 4,16ì. = ( 4,16 ÷ 100 ) åê. = 416åê.

¢ñá 416åê. > 41,6åê. äçëáäÞ 4,16ì. > 41,6åê.

• 7,35÷ì. = ( 7,35 ÷ 1000 ) ì. = 7350ì.

¢ñá 7350ì. < 73500ì. äçëáäÞ 7,35÷ì. < 73.500ì.

Ôá 3,16÷ì. åßíáé 3,16 ÷ 1000 = 3160ì.Ïðüôå åßíáé 3,16ì. < 3160ì.

Ôá 0,75÷ì. åßíáé 0,75 ÷ 1000 = 750ì. Ïðüôå åßíáé 7,5ì. < 750ì.

Óôçí ðñþôç ðåñßðôùóç ç äéáöïñÜ åßíáé 3160 - 3,16 = 3156,84ì.

Óôçí äåýôåñç ðåñßðôùóç ç äéáöïñÜ åßíáé 750 - 7,5 = 742,5ì.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçòãôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 8

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò äôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 9

1ïò óå: 3ì.

óå: 300åê.

óå: 0,003÷ì.

2ïò óå: 4ì.

óå: 400åê.

óå: 0,004÷ì.

3ïò óå: 5ì.

óå: 500åê.

óå: 0,005÷ì.

Ï 3ïò ôïß÷ïò åßíáé ï ìåãáëýôåñïò.

¸÷ù: 3ì. < 4ì. < 5ì.


178

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò åôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 9

• ........ ÷éë.

• ........ åê.

• ........ äåê.

462

46,2

4,62

MïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (â)

• ........ ÷éë. Þ

• ........ åê. Þ

• ........ äåê.

48

4,8

0,48

• ........ ÷éë. Þ

• ........ åê. Þ

• ........ äåê.

126

12,6

1,26

• ........ ÷éë. Þ

• ........ åê. Þ

• ........ äåê.

120

12

1,2

• ........ ÷éë. Þ

• ........ åê. Þ

• ........ äåê.

294

29,4

2,94

• ........ ÷éë.

• ........ åê.

• ........ äåê.

264

26,4

2,64

¢óêçóç âÂñßóêù ôïõò áñéèìïýò ðïõ ëåßðïõí:

• 0,345äåê. ÷ ...... = 34,5÷éë. • 0,345åê. ÷ ...... = 3,45÷éë.

•0,345ì. ÷ ...... = 345÷éë.

ëýóç

ÌåôáôñÝðù:

• ôá äåê. óå ÷éë. 0,345xéë. ÷ 100 = 34,5÷éë.

• ôá åê.óå ÷éë. 0,345÷éë. ÷ 10 = 3.45÷éë.

• ôá ì. óå ÷éë. 0,345÷éë. ÷ 1000 = 345÷éë.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò óôôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 9

2,5äåê. ÷ ........ = 250÷éë.

2,5÷ì. ÷ ........ = 2.500ì.

0,25ì. ÷ ........ = 2,5äåê.

100

1000

10


Μαθηματικά Ε΄ 4.27. ΄΄Πολλαπλασιασμός κλασμάτων -...

Education

Transcript of Μαθηματικά Ε΄ 4.27. ΄΄Πολλαπλασιασμός κλασμάτων -...