1

Βασικές θεωρητικές κατανοµές

Βασικές θεωρητικές κατανοµές

n Η κατανοµή Bernoullin Η διωνυµική κατανοµήn Η γεωµετρική κατανοµήn Η αρνητική διωνυµική κατανοµήn Η υπεργεωµετρική κατανοµήn Η κατανοµή Poissonn Η διακριτική οµοιόµορφη κατανοµήn Η συνεχής οµοιόµορφη κατανοµήn Η εκθετική κατανοµήn Η κανονική κατανοµή n Η γάµµα κατανοµήn Η Χν

2 κατανοµή n Η tv κατανοµή ή κατανοµή του Studentn Η F(ν1, ν2) κατανοµή ή κατανοµή του

Fisher

2

Η κατανοµή BernoulliΗ κατανοµή Bernoulli

n Ένα τυχαίο πείραµα στο οποίο υπάρ-χουν δυο µόνο δυνατά αποτελέσµατα λέγεται δοκιµή Bernoulli. Το ένα από τα δυο αυτά αποτελέσµατα ονοµάζεται συνή-θως αυθαίρετα «επιτυχία» και το άλλο «αποτυχία».

n Αν µε p συµβολίσουµε την πιθανότητα «επιτυχίας», οπότε µε 1-p θα πρέπει να συµβολίσουµε την πιθανότητα «αποτυ-χίας», τότε η κατανοµή πιθανοτήτων της τυχαίας µεταβλητής (τ.µ.) Χ που ακολουθεί την κατανοµή Bernoulli, ορίζεται από τη συνάρτηση

⎩⎨⎧

==

=0 xαν p,-11 xαν ,p

)X(P

3

Η ∆ιωνυµική κατανοµήΗ ∆ιωνυµική κατανοµή

n Έστω ότι µια δοκιµή Bernoulli µε πιθα-νότητα επιτυχίας p επαναλαµβάνεται n φορές, έτσι ώστε το αποτέλεσµα µιας δοκιµής να είναι ανεξάρτητο από το απο-τέλεσµα σε οποιαδήποτε άλλη δοκιµή. Τότε ο αριθµός Χ των επιτυχιών στο πεί-ραµα αυτό είναι µια τυχαία µεταβλητή που µπορεί να πάρει τις τιµές 0,1,2,...,n.

n Γενικά, η κατανοµή πιθανοτήτων του αριθµού Χ των επιτυχιών σε n ανεξάρ-τητες δοκιµές Bernoulli µε σταθερή πιθα-νότητα επιτυχίας p δίνεται από τη σχέση

xnx )p1(pxn

)xX(P −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

4

Εφαρµογές της διωνυµικής κατανοµής

Εφαρµογές της διωνυµικής κατανοµής

Η διωνυµική κατανοµή εφαρµόζεται σε πειράµατα τύχης που χαρακτηρίζονται από τις ακόλουθες συνθήκες:1) Υπάρχουν δυο µόνο λογικά αποτελέσµατα στο πείραµα τύχης: να πραγµατοποιηθεί, για παράδειγµα, το ενδεχόµενο Α ή να µην πραγ-µατοποιηθεί. Οπότε, αν οι αντίστοιχες πιθανό-τητες είναι p και q, τότε ισχύει ότι: p+q=1.2) Το πείραµα τύχης εφαρµόζεται n ανεξάρτη-τες φορές ή εκτελούνται n ανεξάρτητα αλλά ίδια πειράµατα τύχης µία φορά.3) Η πιθανότητα p της πραγµατοποίησης του ενδεχοµένου Α παραµένει σταθερή στις n επαναλήψεις του πειράµατος τύχης ή είναι ίδια και στα n πειράµατα που θα εκτελεστούν µία φορά.

5

Η κατανοµή PoissonΗ κατανοµή Poisson

Η κατανοµή αυτή χρησιµοποιείται όταν θέλουµε να µετρήσουµε τον αριθµό των «συµβάντων» που εµφανίζονται µέσα σ’ ένα διάστηµα (0, t).

Απαραίτητη προϋπόθεση για τη χρησιµο-ποίηση της κατανοµής Poisson είναι να ισχύουν τα εξής:1) H πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ένα συµβάν σε διάστηµα µήκους t είναι ανάλογη προς το µήκος του διαστήµατος.2) H πιθανότητα να πραγµατοποιηθούν δυο ή περισσότερα συµβάντα σε διάστηµα µήκους t είναι πολύ µικρή σε σχέση µε την πιθανότητα εµφάνισης ενός µόνο συµβάντος, όταν το µήκος του διαστήµατος είναι µικρό.

6

Η κατανοµή Poisson (συνέχεια)

Η κατανοµή Poisson (συνέχεια)

3) Η πιθανότητα εµφάνισης k συµβάντων σ’ ένα διάστηµα είναι ανεξάρτητη από την αντίστοιχη πιθανότητα σ’ ένα δεύτερο διάστηµα ξένο προς το πρώτο.

Αν ισχύουν τα πιο πάνω, τότε η πιθανότητα πραγµατοποίησης x συµβάντων σ’ ένα διάστη-µα µήκους t δίνεται από τη σχέση

όπου e=2,71828… και λ=ο µέσος όρος των συµβάντων στο διάστηµα (0, t).

P X xe

x

x( )

!= =

−λλ

7

Εφαρµογές της κατανοµής Poisson Εφαρµογές της

κατανοµής Poisson

n Ο αριθµός των τηλεφωνικών κλήσεων που φθάνουν σ’ ένα κέντρο στη διάρ-κεια ορισµένου χρονικού διαστήµατος π.χ. ενός δεκαλέπτου

n Ο αριθµός των αφίξεων µεταφορικών µέσων π.χ. αεροπλάνων, πλοίων, στη διάρκεια ενός ορισµένου χρονικού δια-στήµατος

n Ο αριθµός των βλαβών σε µια συσκευή στη διάρκεια π.χ. µιας εβδοµάδας

n Ο αριθµός των τυπογραφικών λαθών σε µια σελίδα βιβλίου

n Ο αριθµός των ατυχηµάτων σε µια πόλη στη διάρκεια µιας εβδοµάδας

n Ο αριθµός των απεργιών σε µια επιχεί-ρηση στη διάρκεια ενός χρόνου, κ.λπ.

8

Η κανονική κατανοµήΗ κανονική κατανοµή

n Θα λέµε ότι µια συνεχής τυχαία µεταβλη-τή X ακολουθεί την κανονική κατανοµή όταν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανό-τητας της X έχει τη µορφή

n Παράµετροι της κανονικής κατανοµήςΜέση τιµή: Ε(Χ)=µ∆ιακύµανση: Var(X)=σ2

Τυπική απόκλιση: Std(X)=σΕπικρατούσα τιµή: Συντελεστής ασυµµετρίας: γ1=0Συντελεστής κυρτότητας: β2=3

n Στην κανονική κατανοµή η µέση τιµή, η διάµεσος και η επικρατούσα τιµή συµπί-πτουν

2x21

e2

1)x(f ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σµ−⋅−⋅

πσ=

πσ= 2/1T

9

Η τυπική κανονική κατανοµή

Η τυπική κανονική κατανοµή

n Η τυχαία µεταβλητή Z που δίνεται από τη σχέση

λέγεται τυπική ή τυποποιηµένη κανονική και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότη-τας της Z έχει τη µορφή

n Αποδεικνύεται ότι αν η τυχαία µεταβλητή(τ.µ.) X ακολουθεί την κανονική κατανο-µή µε µέσο µ και διακύµανση σ2, τότε και η τ.µ. Z ακολουθεί την κανονική κατανο-µή µε µέσο 0 και διακύµανση 1.

σµ−

=XZ

2z21

e21)z(f

⋅−⋅

π=

10

Εφαρµογές της κανονικής κατανοµής

Εφαρµογές της κανονικής κατανοµής

Η κανονική κατανοµή είναι η πιο χρήσιµη κατανοµή στη στατιστική, τόσο γιατί πολλές ποσότητες που συναντάµε στη φύση ακολουθούν την κανονική κατανοµή, όσο και γιατί κάτω από ορισµένες συνθήκες είναι δυνατό να προσεγγίζουµε την κατανοµή κάποιων τυχαίων µεταβλητών µε την κανονική κατανοµή λόγω του κεντρικού οριακού θεωρήµατος. Ενδεικτικά, µπορεί να αναφερθεί ότι, όταν υπάρχει ένας µεγάλος αριθµός παραγόντων που επιδρούν πάνω σε µια φυσική ποσότητα και οι παράγοντες αυτοί διαµορφώνουν τις τιµές που παίρνει, τότε µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η ποσότητα που µετρούµε ακολουθεί την κανονική κατανοµή. Για παράδειγµα, αναφέ-ρουµε το ύψος των κατοίκων µιας χώρας, το βάρος τους, κ.λπ.