ΜΑΝΟΣ 00 Α · από τις πιθανότητες και ορισμένα στοιχεία...

ii Εφαρμοσμένη Στατιστική

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

18ο χλμ Θεσ/νίκης-ΠεραίαςT.Θ. 4171 • Περαία Θεσσαλονίκης • T.K. 570 19Tηλ.: 23920 72.222 (10 γραμ.) - Fax: 23920 72.229e-mail: [email protected]

Π. ZHTH & Σια OEΦωτοστοιχειοθεσίαEκτύπωση –Βιβλιοδεσία

Aρμενοπούλου 27 • 546 35 Θεσσαλονίκη Tηλ. 2310 203.720, Fax 2310 211.305e-mail: [email protected]

Bιβλιοπωλείο

ISBN 978-960-456-154-4

© Copyright: Μάνος Β., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 2009

Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη και συγγραφέα κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου.

w w w. z i t i . g r

Περιεχόμενα iii

Πρόλογος

Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους φοιτητές της Αγροτικής Οικονομίας της Γεωπονικής Σχολής του Αριστοτέλειου Πανεπιστήμιου Θεσσαλονίκη για να αποτελέσει βοήθημα στο μάθημα της Εφαρμοσμένης Στατιστικής.

Με αυτό επιδιώκεται η εισαγωγή των φοιτητών στις βασικές έννοιες και ε-φαρμογές της Στατιστικής που είναι απαραίτητες για μια πλήρη και ουσιαστική γεωργοοικονομική και κοινωνική στατιστική ανάλυση. Ανάλογο με το σκοπό αυτό είναι συνεπώς και το περιεχόμενό του. Έτσι καταβλήθηκε ιδιαίτερη προ-σπάθεια, ώστε να περιληφθούν βασικά και αναγκαία θέματα της Στατιστικής και να αναλυθούν αυτά, άλλα περισσότερο και άλλα λιγότερο, ανάλογα με τις πραγματικές καταστάσεις που αναμένεται να αντιμετωπίσει ένας μελλοντικός γεωργοοικονομολόγος. Στην επιδίωξη του παραπάνω αυτού σκοπού βοηθάει σημαντικά η παράθεση πολλών παραδειγμάτων.

Για να διορθωθούν τα λάθη ή οι παραλήψεις που πιθανόν να έγιναν σε αυτό, είναι ευπρόσδεκτη κάθε καλοπροαίρετη υπόδειξη και κριτική.

Για τη διόρθωση και επιμέλεια των κειμένων ευχαριστώ τις κ. Φ. Κιομουρτζή και Χ. Μουλογιάννη.

Βασίλης Δ. Μάνος

Περιεχόμενα v

Περιεχόμενα

Εισαγωγή.......................................................................................................................... 1 I Βασικές έννοιες από τις πιθανότητες

1 Δειγματικός χώρος .......................................................................................... 3 2 Γεγονότα ........................................................................................................... 4 3 Σχετική συχνότητα.......................................................................................... 5 4 Πιθανότητα....................................................................................................... 6 5 Δεσμευμένη πιθανότητα ................................................................................. 8 6 Ανεξαρτησία γεγονότων ................................................................................ 9 7 Θεώρημα Bayes ................................................................................................ 9 8 Παραδείγματα ................................................................................................11

II Τυχαίες μεταβλητές

1 Ορισμός τυχαίας μεταβλητής ......................................................................19 2 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές .....................................................................20 3 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές .......................................................................22 4 Συνάρτηση κατανομής..................................................................................24 5 Μέση τιμή και διακύμναση τυχαίας μεταβλητής ......................................25 6 Παραδειγματα ................................................................................................27

IΙI Θεωρητικές κατανομές πιθανότητας

1 Διωνυμική κατανομή.....................................................................................33 2 Κατανομή Poisson.........................................................................................34 3 Γεωμετρική κατανομή...................................................................................35 4 Αρνητική διωνυμική ......................................................................................36 5 Κανονική κατανομή ......................................................................................37 6 Τυπική κανονική κατανομή .........................................................................38 7 Πινακοποίηση των τιμών της κανονικής κατανομής...............................39 8 Προσέγγιση διωνυμικής κατανομής ...........................................................42

vi Εφαρμοσμένη Στατιστική

9 Αρνητική εκθετική κατανομή ......................................................................43 10 Ορθογώνια κατανομή ...................................................................................44 11 Χ-τετράγωνο κατανομή ...............................................................................45 12 Κατανομή t ....................................................................................................46 13 Άλλες θεωρητικές κατανομές ......................................................................47 14 Παραδείγματα................................................................................................48

IV Πίνακες συχνοτήτων και διαγράμμα

1 Πίνακες συχνοτήτων.....................................................................................55 2 Ιστογράμματα ................................................................................................58

2.1 Ιστόγραμμα απόλυτων συχνοτήτων....................................................58 2.2 Ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων ...............................................59

3 Ραβδογράμματα.............................................................................................60 4 Κυκλικά διαγράμματα...................................................................................62 5 Παραδείγματα................................................................................................63

V Μέτρα θέσης και διασποράς

1 Μέτρα θέσης...................................................................................................67 1.1 Επικρατούσα τιμή ...................................................................................67 1.2 Διάμεσος...................................................................................................69 1.3 Μέσος όρος..............................................................................................70 1.4 Σταθμικός μέσος όρος............................................................................71 1.5 Σύγκριση μέσου όρου, διαμέσου και επικρατούσας τιμής ................72 1.6 Γεωμετρικός μέσος όρος ........................................................................73 1.7 Αρμονικός μέσος όρος ...........................................................................74

2 Μέτρα διασποράς ..........................................................................................75 2.1 Εύρος ........................................................................................................76 2.2 Μέση απόκλιση .......................................................................................76 2.3 Διακύμανση και τυπική απόκλιση ........................................................77 2.4 Σημασία και χρήση της τυπικής απόκλισης ........................................80

2.4.1 Διαστήματα τιμών ενός δείγματος – Προσέγγιση τυπικής απόκλισης .........................................................................................81

2.4.2 Συντελεστής διασποράς – Σύγκριση της διασποράς των τιμών δύο δειγμάτων ..................................................................................82

2.4.3 Σχετική θέση τιμών δύο διαφορετικών δειγμάτων...........................83 3 Παραδείγματα................................................................................................84

Περιεχόμενα vii

VΙ Συμμεταβολή και συσχέτιση

1 Κατανομές δύο η περισσότερων τυχαίων μεταβλητών ...........................89 2 Συμμεταβολή..................................................................................................91 3 Συσχέτιση........................................................................................................94 4 Παραδείγματα................................................................................................97

VΙΙ Εκτιμητική

1 Εκτιμητές και ιδιότητες τους .....................................................................102 2 Εκτίμηση της μέσης τιμής μιας μεταβλητής ............................................104 3 Κατανομή του μέσου όρου – Κεντρικό οριακό θεώρημα ......................105 4 Εκτίμηση της διακύμανσης μιας μεταβλητής ..........................................107 5 Διαστήματα εμπιστοσύνης .........................................................................107

5.1 Διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή.........................................108 5.2 Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση.....................................110 5.3 Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά δύο μέσων τιμών............111 5.4 Ζευγαρωτά δείγματα............................................................................113 5.5 Διάστημα εμπιστοσύνης για την πιθανότητα p της διωνυμικής

κατανομής..............................................................................................114 5.6 Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά δύο αναλογιών ...............115

6 Παραδείγματα..............................................................................................116

VΙΙΙ Έλεγχος Υποθέσεων

1 Έλεγχος της μέσης τιμής.............................................................................129 2 Έλεγχος της διακύμανσης...........................................................................130 3 Έλεγχος της διαφοράς δύο μέσων τιμών..................................................131 4 Έλεγχος της διαφοράς δύο μέσων τιμών σε ζευγαρωτά δείγματα .......133 5 Σύγκριση δύο διακυμάνσεων .....................................................................133 6 Έλεγχος αναλογιών .....................................................................................135 7 Έλεγχος της διαφοράς δύο αναλογιών.....................................................135 8 Παραδείγματα..............................................................................................136

ΙΧ Έλεγχος καλής προσαρμογής και πίνακες σαφήνειας

1 Έλεγχος καλής προσαρμογής ....................................................................144 2 Πίνακες συνάφειας ......................................................................................145 3 Παραδείγματα..............................................................................................148

viii Εφαρμοσμένη Στατιστική

Χ Απλή παλινδρόμηση

1 Το γραμμικό μοντέλο..................................................................................160 2 Εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου...............................................163 3 Μεροληπτικότητα και ακρίβεια των εκτιμητών .....................................165 4 Συντελεστής προσδιορισμού......................................................................167 5 Συντελεστής συσχέτισης ............................................................................169 6 Έλεγχος του γραμμικού μοντέλου ............................................................171 7 Προβλέψεις ...................................................................................................173 8 Μοντέλα απλής παλινδρόμησης που ανάγονται σε γραμμικά .............175 9 Επιλογή μοντέλου .......................................................................................178 10 Παραδείγματα..............................................................................................180

ΧΙ Πολλαπλή παλινδρόμηση

1 Το γραμμικό μοντέλο πολλαπλής παλινδρόμησης ................................192 2 Οι εκτιμητές των παραμέτρων του μοντελου .........................................194 3 Συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού και μερικοί συντελεστές

προσδιορισμού .............................................................................................197 4 Έλεγχος του μοντέλου ................................................................................200 5 Μοντέλα πολλαπλής παλινδρόμησης που ανάγονται σε γραμμικά ....202 6 Παραδείγματα..............................................................................................203

ΧΙΙ Ανάλυση διακύμανσης

1 Εισαγωγή.......................................................................................................211 2 Aνάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα ..........................................212 3 Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα σε άνισα δείγματα.........215 4 Ανάλυση διακύμανσης κατά δύο παράγοντες ........................................217 5 Ανάλυση διακύμανσης κατά δύο παράγοντες με αλληλεπίδραση

και με περισσότερες από μία παρατηρήσεις ανά κυψέλη......................221 6 Παραδείγματα..............................................................................................222

ΧΙΙΙ Χρονολογικές σειρές και τεχνικές προβλέψεων

1 Η φύση των χρονολογικών σειρών...........................................................229 2 Η χρήση των χρονολογικών σειρών.........................................................230 3 Συνιστώσες των χρονολογικών σειρών ...................................................231 4 Ανάλυση χρονολογικών σειρών................................................................233

Περιεχόμενα ix

5 Μοντέλα και τεχνικές προβλέψεων..........................................................234 6 Μέθοδοι προσδιορισμού της τάσης ..........................................................235

6.1 Χάραξη με το χέρι .................................................................................235 6.2 Μέθοδος μέσων σημείων .....................................................................236 6.3 Μέθοδος κινητού μέσου όρου.............................................................237 6.4 Μέθοδος απλής εκθετικής ομαλοποίησης.........................................239 6.5 Τα μοντέλα της παλινδρόμησης .........................................................240

7 Μέθοδοι υπολογισμού των συντελεστών εποχικότητας.......................242 8 Προχωρημένες τεχνικές προβλέψεων ......................................................244

8.1 Μέθοδος των Box-Jenkins ..................................................................244 8.2 Μέθοδος του Bayes...............................................................................244 8.3 Αλυσίδες του Markov...........................................................................245 8.4 Διαδικασίες γεννήσεων και θανάτων.................................................248

9 Παραδείγματα..............................................................................................250

ΧΙV Αριθμοδείκτες και Τιμάριθμοι

1 Σχηματισμός αριθμοδεικτών......................................................................265 2 Είδη αριθμοδεικτών.....................................................................................266

2.1 Μη σταθμισμένος αριθμοδείκτης .......................................................267 2.2 Σταθμισμένος αριθμοδείκτης ..............................................................268

3 Δείκτες που υπολογίζονται στην Ελλάδα ................................................270 4 Τιμάριθμος και αποπληθωρισμός χρηματικών αξιών.............................271 5 Παραδείγματα..............................................................................................272

Ερωτήσεις και Ασκήσεις ...........................................................................................277 Βιβλιογραφία ...............................................................................................................285

Παράρτημα: Πίνακες θεωρητικών κατανομών πιθανότητας.............................287

Εισαγωγή 1

Εισαγωγή

Στατιστική είναι η επιστήμη που ασχολείται με τη συγκέντρωση, την επεξερ-γασία και την ανάλυση δεδομένων με σκοπό την εξαγωγή συμπερασμάτων και τη διεξαγωγή προβλέψεων. Τα δεδομένα αυτά που μπορεί να είναι ποσοτικά, ποιοτικά ή τακτικά, διαχρονικά ή διαστρωματικά, πειραματικά ή κοινωνικοοι-κονομικά, συγκεντρώνονται με κάποια από τις ειδικές μεθόδους δειγματοληψί-ας και αναφέρονται σε μια ή περισσότερες παραμέτρους ενός πληθυσμού. Η ανάλυση ενός δείγματος και η εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό γί-νεται με βάση ειδικές μεθόδους της Στατιστικής. Αρχικά η λέξη «στατιστική» χρησιμοποιήθηκε με την έννοια των αριθμητι-κών δεδομένων που αναφέρονται σε πληθυσμιακά και οικονομικά μεγέθη. Στις μέρες μας η λέξη «στατιστική» χρησιμοποιείται με δύο έννοιες. Η πρώτη σημαί-νει απλώς στατιστικούς υπολογισμούς, ενώ η δεύτερη τις στατιστικές αρχές και μεθόδους που έχουν αναπτυχθεί με την επεξεργασία και την ανάλυση δεδομέ-νων. Η ανάπτυξη της Στατιστικής τόσο από την άποψη της θεωρίας, όσο και των εφαρμογών της έχει κάνει τη γνώση της απαραίτητη στην εποχή μας για κάθε επιστήμονα. Χωρίς την επιστήμη αυτή θα ήταν αδύνατη η εξαγωγή συμπερα-σμάτων για φαινόμενα που είτε δεν είναι συνολικά αντιληπτά στον άνθρωπο, είτε περιλαμβάνουν κάποιο στοιχείο τύχης ή αβεβαιότητας. Όπως αναφέρουν χαρακτηριστικά οι Wonnacotts(27) με τη Στατιστική μπορείς να περιγράψεις ένα άγνωστο κόσμο ανοίγοντας μόνο λίγα παράθυρά του. Η Επιστήμη της Στατιστικής διακρίνεται σε δύο βασικούς κλάδους, την Πε-ριγραφική Στατιστική και την Επαγωγική ή Συμπερασματική Στατιστική. Η πρώτη ενδιαφέρεται εκτός από τη συγκέντρωση και ταξινόμηση των δεδομένων για την ανάλυση αυτών και την παρουσίαση των αποτελεσμάτων στηριζόμενη στις βασικές αρχές και μεθόδους της Στατιστικής, ενώ η δεύτερη δανειζόμενη και στοιχεία από τη θεωρία των Πιθανοτήτων προχωρεί σε γενικεύσεις των α-ποτελεσμάτων και σε προβλέψεις για τη λήψη αποφάσεων. Με την εξέλιξη των επιστημών και τις ειδικές ανάγκες τους σε στατιστικές αναλύσεις δημιουργήθηκαν κλάδοι της Στατιστικής προσαρμοσμένοι στις ανά-γκες των επιστημών αυτών. Έτσι έχουμε την Πειραματική Στατιστική, τη Βιο-στατιστική, την Οικονομική Στατιστική, τη Στατιστική των Επιχειρήσεων, τη

2 Εφαρμοσμένη Στατιστική

Γεωργική Στατιστική, κ.λπ. Στις Στατιστικές αυτές δίνονται πάντοτε οι γενικές αρχές της Στατιστικής, αναλύονται περισσότερο τα θέματα της Στατιστικής που ενδιαφέρουν άμεσα τις αντίστοιχες επιστήμες και περιλαμβάνονται εφαρμογές προσαρμοσμένες σε θέματα αυτών. Γενικά όμως μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει η Μαθηματική Στατιστική και η Εφαρμοσμένη Στατιστική. Η πρώτη απευθύνε-ται στους Μαθηματικούς και στους επιστήμονες που ερευνούν τις μεθόδους και τις τεχνικές της Στατιστικής, ενώ η δεύτερη με τις βασικές αρχές, τα ειδικά θέ-ματα και τις ειδικές εφαρμογές που περιλαμβάνει, απευθύνεται σε φοιτητές και επιστήμονες πειραματικών και εφαρμοσμένων επιστημών. Στην Εφαρμοσμένη Στατιστική, αντίθετα με τη Μαθηματική Στατιστική, δεν απαιτούνται γνώσεις προχωρημένων μαθηματικών. Τους οικονομολόγους και γεωργοοικονομολόγους ενδιαφέρει όπως είναι φανερό η Εφαρμοσμένη στην Αγροτική Οικονομία και Κοινωνιολογία Στατι-στική.

Βασικές έννοιες από τις πιθανότητες 3

IΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣΑΠΟ ΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Η Θεωρία Πιθανοτήτων αποτελεί ιδιαίτερο κλάδο των Μαθηματικών και αποτελεί τη βάση όχι μόνο για την Επαγωγική Στατιστική, αλλά και για άλλους κλάδους Επιστημών, όπως η Θεωρία Αποφάσεων, η Θεωρία Παιγνίων, η Θεω-ρία Πληροφοριών, οι Επικοινωνίες, ο Δυναμικός Προγραμματισμός κ.λπ. Στο κεφάλαιο αυτό καθώς και στα δύο επόμενο δίνονται μόνο οι βασικές έννοιες από τις πιθανότητες και ορισμένα στοιχεία από τις κατανομές τυχαίων μετα-βλητών που θα χρειασθούν στην ανάλυση των επομένων κεφαλαίων.

1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ

Για κάθε πείραμα τύχης Ε ορίζουμε το δειγματικό χώρο (sample space) σαν το σύνολο όλων των πιθανών αποτελεσμάτων. Ο δειγματικός χώρος συμβολί-ζεται συνήθως με S. Έτσι για τα πειράματα (ή δοκιμασίες)

Ε1 = ρίχνουμε ένα ζάρι και σημειώνουμε τον αριθμό που έρχεται Ε2 = απόφαση δικαστηρίου για κάποιον που δικάζεται Ε3 = μετράμε την ακαθάριστη πρόσοδο προβατοτροφικών εκμεταλλεύσεων

νομού Θεσσαλονίκης

δειγματικοί χώροι είναι τα σύνολα

S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S2 = {αθώος, ένοχος} S3 = {x : x > 0}

Κάθε δειγματικός χώρος που έχει πεπερασμένο ή αριθμήσιμο πλήθος στοι-χείων λέγεται διακριτός. Στην αντίθετη περίπτωση, όταν δηλαδή το πλήθος των στοιχείων του δεν είναι αριθμήσιμο, ο χώρος λέγεται συνεχής. Οι δειγματι-κοί χώροι S2 και S2 είναι διακριτοί, ενώ ο S3 είναι συνεχής.

4 Κεφάλαιο Ι

2 ΓΕΓΟΝΟΤΑ

Έστω το πείραμα τύχης Ε και S ο αντίστοιχος δειγματικός χώρος. Ένα γε-γονός (event) A είναι ένα σύνολο πιθανών αποτελεσμάτων του δειγματικού χώρου S, δηλαδή ένα γεγονός Α είναι ένα υποσύνολο του δειγματικού χώρου S. Ένα γεγονός λέγεται απλό αν περιλαμβάνει μόνο ένα στοιχείο και σύνθετο αν περιλαμβάνει περισσότερα από ένα στοιχεία. Τα γεγονότα πολλές φορές αναφέρονται και ως ενδεχόμενα. Στο πείραμα τύχης

Ε = ρίψη ενός ζαριού

με δειγματικό χώρο

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

μπορούμε να έχουμε τα γεγονότα

Α1 = έρχεται άσσος = {1} Α2 = έρχεται δύο = {2} Α3 = έρχεται τρία = {3} Α4 = έρχεται τέσσερα = {4} Α5 = έρχεται πέντε = {5} Α6 = έρχεται έξι = {6} Α7 = εμφανίζεται ζυγός αριθμός = {2, 4, 6} Α8 = εμφανίζεται μονός αριθμός = {1, 3, 5} Α9 = εμφανίζεται αριθμός μεγαλύτερος του 3 = {4, 5, 6}

Από τα γεγονότα αυτά τα Α1 , Α2 , Α3 , Α4 , Α5 , Α6 είναι απλά και τα Α7 , Α8 , Α9 είναι σύνθετα.

1 3 5

2 4 6

SA1 A8

A7

A9

Σχήμα 1: Δειγματικός χώρος και γεγονότα στη δοκιμασία της ρίψης ενός ζαριού.


Δύο γεγονότα Α και Β λέγονται αμοιβαία αποκλειστικά (mutually exclu-sive) ή ασυμβίβαστα όταν δεν μπορούν να συμβούν συγχρόνως στο ίδιο πείρα-μα. Δηλαδή όταν

Α Β« =∆ Τα γεγονότα Α7 και Α8 στο σχήμα 1 είναι ασυμβίβαστα ενώ δε συμβαίνει το ίδιο με τα γεγονότα Α1 και Α8 γιατί

1 8Α Β {1}« = π ∆

3 ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ

Έστω ότι ένα πείραμα τύχης Ε επαναλαμβάνεται n φορές και ότι Α και Β είναι δύο γεγονότα που συνδέονται με το πείραμα αυτό. Σημειώνουμε με nA και nΒ τον αριθμό των φορών που συμβαίνουν τα γεγονότα Α και Β στις n επαναλήψεις του πειράματος αντίστοιχα. Ο αριθμός

AA

nf

n=

καλείται σχετική συχνότητα του γεγονότος Α στις n επαναλήψεις του πειρά-ματος Ε και έχει τις παρακάτω ιδιότητες

α) A0 f 1£ £

β) fΑ = 1 αν και μόνο αν το γεγονός Α συμβαίνει και στις n επαναλήψεις.

γ) fΑ = 0 αν και μόνο αν το γεγονός Α συμβαίνει και στις n επαναλήψεις.

δ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα γεγονότα, τότε η σχετική συχνότητα του γεγονότος Α Β» είναι

A Β A Bf f f»

= + .

ε) Αν Α και Β είναι δύο μη ασυμβίβαστα γεγονότα, τότε η σχετική συχνότητα του γεγονότος Α Β» είναι

A Β A B A Βf f f f» «

= + -

στ)Η σχετική συχνότητα fA είναι συνάρτηση του αριθμού των επαναλήψεων n και συγκλίνει σε κάποιο αριθμό Ρ(Α) καθώς το n τείνει στο άπειρο.

Η σχετική συχνότητα των σύνθετων γεγονότων στις περιπτώσεις που δεν μπορεί να υπολογισθεί κατευθείαν, υπολογίζεται με τη βοήθεια των απλών γε-γονότων που αποτελούν το σύνθετο γεγονός.


Αν υποθέσουμε ότι το πείραμα τύχης

Ε = ρίψη ενός ζαριού

επαναλαμβάνεται 10 φορές (n = 10) στις οποίες εμφανίζονται κατά σειρά οι αριθμοί

2, 1, 3, 4, 3, 6, 2, 3, 5, 5

τότε για τα γεγονότα Α1 , Α7 , Α 8 και Α9 της προηγούμενης παραγράφου θα έχουμε

1A

1f

10=

7A

4f

10=

ή 7 A A A A2 A A 2 4 64 6

A2 1 1 4

f f f f f10 10 10 10» »

= = + + = + + =

8 9A A

6 4f f

10 10= =

A A A7 A 7 88

4 6f f f 1

10 10»

= + = + =

4 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

Έστω Ε ένα πείραμα και S ο δειγματικός του χώρος. Πιθανότητα του γε-γονότος Α, και θα σημειώνεται με P(A) ή PA, λέγεται το όριο της σχετικής συχνότητας του γεγονότος Α καθώς το n τείνει στο άπειρο.

Δηλαδή An

P(A) ορ. fÆ•

=

Η πιθανότητα έχει τις παρακάτω ιδιότητες

α) 0 P(A) 1£ £

β) P(S) = 1

γ) P( ) 0∆ =

δ) Αν εi , i = 1, 2, 3, …, n είναι τα στοιχεία του δειγματικού χώρου S τότε

n

ii 1

P(ε ) 1=

=Â


ε) Αν τα γεγονότα Βi , i = 1, 2, …, κ αποτελούν ένα διαμελισμό του δειγματι-κού χώρου S, τότε

κ

ii 1

P(B ) 1=

=Â

στ) P(A B) P(A) P(B)» = + αν Α και Β είναι δύο γεγονότα ασυμβίβαστα.

ζ) P(A B) P(A) P(B) P(A B)» = + - « αν Α και Β δύο τυχόντα γεγονότα.

η) P(A) 1 P(A)= - , όπου A το συμπληρωματικό γεγονός του A (A A S)» = .

θ) Αν A B τότε P(A) P(B)Õ £ .

Όπως η σχετική συχνότητα, έτσι και η πιθανότητα σύνθετων γεγονότων, όταν δεν μπορεί να υπολογισθεί κατευθείαν, υπολογίζεται με τη βοήθεια των απλών γεγονότων που αποτελούν το σύνθετο γεγονός. Αν φανταζόμασταν το πείραμα της ρίψης ενός μη ελαττωματικού ζαριού να επαναλαμβάνεται απεριόριστες φορές, τότε θα παρατηρούσαμε ότι κάθε ένας απ’ τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5 και 6 θα εμφανιζόταν με την ίδια συχνότητα. Συνεπώς

1 2 61

P(Α ) P(A ) P(A )6

= =º= =

7 2 4 6 2 4 6P(A ) P(A A A ) P(A ) P(A ) P(A )= » » = + + =

1 1 1 16 6 6 2

= + + =

81 1 1 1

P(A )6 6 6 2

= + + =

91 1 1 1

P(A )6 6 6 2

= + + =

7 8 7 81 1

P(A A ) P(A ) P(A ) 12 2

» = + = + =

1 8 1 8 1 81 1 1 1

P(A A ) P(A ) P(A ) P(A A )6 2 6 2

» = + - « = + - =

γιατί 1 8 11

P(A A ) P(A )6

« = =

1 11 5

P({να μην έλθει άσσος}) P(A ) 1 P(A ) 16 6

= = - = - =


5 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Έστω ένα πείραμα Ε και δύο γεγονότα Α και Β που αντιστοιχούν σ’ αυτό.

Συμβολίζουμε με B

PΑ

Ê ˆË ¯ τη δεσμευμένη πιθανότητα του γεγονότος Β, όταν το

γεγονός Α έχει συμβεί. Αν Ρ(Α) > 0 τότε η δεσμευμένη πιθανότητα του γεγονότος Β δίνεται από τον τύπο

Β P(A B)

PΑ P(A)

«Ê ˆ =Ë ¯

Από τον τύπο αυτό προκύπτει το θεώρημα του πολλαπλασιασμού

B Α

P(A B) P P(A) P P(B)Α Β

Ê ˆÊ ˆ« = =Ë ¯ Ë ¯

Είναι φανερό ότι B

P 0Α

Ê ˆ =Ë ¯ αν Α και Β είναι ασυμβίβαστα μεταξύ τους

γεγονότα. Στο πείραμα της ρίψης ενός ζαριού οι πιθανότητες των γεγονότων

Α10 = έρχεται ζυγός αριθμός, όταν έχει εμφανιστεί άσσος Α11 = έρχεται μονός αριθμός, όταν έχει εμφανιστεί άσσος Α12 = έρχεται μονός αριθμός, όταν έχει εμφανιστεί αριθμός μεγαλύτερος

του 3

είναι: 7 7 110

1 1

Α Ρ(A A ) 0P(A ) P 01A Ρ(A )

6

Ê ˆ «= = = =Á ˜Ë ¯

8 8 111

1 1

1Α Ρ(A A ) 6P(A ) P 11A Ρ(A )

6

Ê ˆ «= = = =Á ˜Ë ¯

8 8 912

9 9

1Α Ρ(A A ) 16P(A ) P 1A Ρ(A ) 3

2

Ê ˆ «= = = =Á ˜Ë ¯

γιατί 1 7A A« =∆ και Ρ( ) 0∆ =

8 9A A {5}« = και 1

Ρ({5})6

=


6 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ

Δύο γεγονότα Α και Β που συνδέονται με ένα δειγματικό χώρο S σ’ ένα πείραμα Ε λέγονται ανεξάρτητα αν και μόνον αν Ρ(A Β) Ρ(Α) Ρ(Β)« = ◊ Από τον ορισμό αυτό προκύπτει ότι για δύο ανεξάρτητα γεγονότα Α και Β

Β

Ρ Ρ(Β)Α

Ê ˆ =Ë ¯

και Α

Ρ Ρ(Α)Β

Ê ˆ =Ë ¯

Τα γεγονότα Α7 και Α13 όπου: 13A «εμφανίζεται αριθμός μικρότερος του 3»= είναι ανεξάρτητα γιατί

7 7 137

13 13

1Α Ρ(Α Α ) 16Ρ P(A )2Α Ρ(Α ) 2

6

Ê ˆ «= = = =Á ˜Ë ¯

αφού 13 132

A {1, 2} P(A )6

= =

7 13 7 131

A A {2} P(A A )6

« = « =

7 ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES

Αν Β1, Β2, …, Βκ είναι ένας διαμελισμός του δειγματικού χώρου S και αν Α είναι ένα γεγονός που συνδέεται με το χώρο S, τότε

…

iii

κ

jjj 1

ΑP Ρ(B )BB

P i 1, 2, , κA ΑP Ρ(B )

B=

Ê ˆÁ ˜Ë ¯Ê ˆ = =Ë ¯ Ê ˆÁ ˜Ë ¯

Â

Επειδή τα γεγονότα Βi είναι ένας διαμελισμός του δειγματικού χώρου S, ένα και μόνο ένα από τα γεγονότα Βi συμβαίνει. Συνεπώς ο τύπος του Bayes


δίνει την πιθανότητα ενός γεγονότος Βi , όταν το γεγονός Α έχει συμβεί. Για να εφαρμοστεί ο τύπος του Bayes πρέπει να είναι γνωστές οι πιθανότητες Ρ(Βi), i = 1, 2, …, κ πράγμα που δε συμβαίνει πάντα στην πράξη, περιορίζοντας την εφαρμογή του. Στο παράδειγμα του πειράματος με το ζάρι τα γεγονότα

Β1 = εμφανίζεται μονός αριθμός = {1, 3, 5} και Β2 = εμφανίζεται ζυγός αριθμός = {2, 4, 6}

αποτελούν διαμελισμό του δειγματικού χώρου

S {1, 2, 3, 4, 5, 6} αφού ισχύει= 1 2 1 2Β Β και Β Β S« =∆ » =

Έτσι αν υποθέσουμε ότι το γεγονός

Α = έρχεται αριθμός μεγαλύτερος του 3 = {4, 5, 6}

έχει συμβεί τότε οι δεσμευμένες πιθανότητες iBP

AÊ ˆË ¯ δίνονται από τους τύπους

1

11

1 21 2

AP P(B )BB

PA A AP P(B ) P P(B )

B B

Ê ˆÁ ˜Ë ¯Ê ˆ =Ë ¯ Ê ˆ Ê ˆ

+Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯

2

22

1 21 2

AP P(B )BB

PA A AP P(B ) P P(B )

B B

Ê ˆÁ ˜Ë ¯Ê ˆ =Ë ¯ Ê ˆ Ê ˆ

+Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯

Στην περίπτωσή μας είναι

1 21 1

P(B ) P(B )2 2

= =

1

1 1 1

1P(A BA P({5}) 16P 1B P(B ) P(B ) 3

2

Ê ˆ «= = = =Á ˜Ë ¯

2

2 2 1

2P(A B )A P({4,6}) 26P 1B P(B ) P(B ) 3

2

Ê ˆ «= = = =Á ˜Ë ¯


Έτσι

1

1 1 1B 13 2 6P 31 1 2 1A 3

63 2 3 2

◊Ê ˆ = = =Ë ¯ Ê ˆ Ê ˆ◊ + ◊Ë ¯ Ë ¯

2

2 1 2B 23 2 6P 31 1 2 1A 3

63 2 3 2

◊Ê ˆ = = =Ë ¯ Ê ˆ Ê ˆ◊ + ◊Ë ¯ Ë ¯

8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Παράδειγμα 1

Έστω το πείραμα τύχης που αποτελείται από τρεις ρίψεις ενός κανονικού νομί-σματος. Στην περίπτωση αυτή ο δειγματικός χώρος είναι1: S {ΚΚΚ,ΚΚΓ,ΚΓΚ,ΚΓΓ,ΓΓΓ,ΓΚΚ,ΓΓΚ,ΓΚΓ}= Επειδή το νόμισμα είναι κανονικό θα είναι

1

P(Κ) Ρ(Γ)2

= =

και συνεπώς

…

1 1 1 1P(ΚΚΚ) Ρ(ΚΚΓ)

2 2 2 8= = = ◊ ◊ =

θεωρούμε τα γεγονότα

Α = έρχονται δύο κεφαλές Β = έρχεται μια φορά γράμματα Γ = η πρώτη ρίψη δίνει γράμματα Δ = η τρίτη ρίψη δίνει κεφαλή Ε = η πρώτη ρίψη δίνει γράμματα και η τρίτη κεφαλή Ζ = η πρώτη ρίψη δίνει γράμματα ή η τρίτη κεφαλή Η = η πρώτη ρίψη δε δίνει γράμματα ούτε η τρίτη κεφαλή 1 Σύμφωνα με τη θεμελιώδη αρχή της απαρίθμησης της Συνδυαστικής ο χώρος θα έχει 8

στοιχεία.


Τότε έχουμε

Α {ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ}= και 3

Ρ(Α)8

=

Β {ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ}= και 3

Ρ(Β)8

=

Γ {ΓΓΓ, ΓΚΚ, ΓΓΚ, ΓΚΓ}= και 4

Ρ(Γ)8

=

Δ {ΚΚΚ, ΚΓΚ, ΓΚΚ, ΓΓΚ}= και 4

Ρ(Δ)8

=

Ε {ΓΚΚ, ΓΓΚ}= και 2

Ρ(Ε)8

=

Ζ {ΓΓΓ, ΓΚΚ, ΓΓΚ, ΓΚΓ, ΚΓΚ, ΚΚΚ}= και 6

Ρ(Ζ)8

=

Η {ΚΚΓ, ΚΓΓ}= και 2

Ρ(Η)8

=

Παρατηρούμε ακόμη ότι τα γεγονότα Ε και Ζ μπορούν να υπολογιστούν και ως εξής

Ε Γ Δ {ΓΓΓ, ΓΚΚ, ΓΓΚ, ΓΚΓ} {ΚΚΚ, ΚΓΚ, ΓΚΚ, ΓΓΚ} {ΓΚΚ, ΓΓΚ}= « = « =

Ζ Γ Δ {ΓΓΓ, ΓΚΚ, ΓΓΚ, ΓΚΓ} {ΚΚΚ, ΚΓΚ, ΓΚΚ, ΓΓΚ}= » = » = {ΓΓΓ, ΓΚΚ, ΓΓΚ, ΓΚΓ, ΚΓΚ, ΚΚΚ}=

Επίσης παρατηρούμε ότι

2 4 4

P(Γ Δ) P(Γ) Γ(Δ)8 8 8

« = = =

οπότε P(Γ Δ) Ρ(Γ)Ρ(Δ)« =

πράγμα που σημαίνει ότι τα γεγονότα Γ και Δ είναι ανεξάρτητα. Επειδή επίσης Γ Δ« π ∆ συνεπάγεται ότι τα γεγονότα Γ και Δ δεν είναι ασυμβίβαστα και έτσι θα πρέπει να ισχύει

P(Γ Δ) Ρ(Γ) Ρ(Δ) Ρ(Γ Δ)» = + - «

Πράγματι έχουμε

6 4

P(Γ Δ) Ρ(Ζ) Ρ(Γ)8 8

» = = =

4 2

P(Δ) Ρ(Γ Δ)8 8

= « =


και έτσι η σχέση αυτή ισχύει. Τέλος το γεγονός Η είναι συμπληρωματικό του γεγονότος Ζ, δηλαδή Η Ζ= , αφού Η {ΚΚΓ, ΚΓΓ} και Η Ζ S= » =

Συνεπώς θα πρέπει να ισχύει

P(H) 1 P(Z)= -

Πράγματι 2 6 2

P(H) και 1 Ρ(Ζ) 18 8 8

= - = - =

Επίσης επειδή Η Ζ« =∆ συνεπάγεται ότι τα γεγονότα Η και Ζ θα είναι ασυμβίβαστα. Άρα θα πρέπει

P(H Ζ) Ρ(Η) Ρ(Ζ)» = +

πράγμα που ισχύει αφού

P(H Ζ) Ρ(S) 1» = =

και 2 6

P(H) , P(Z)8 8

= = .

Παράδειγμα 2 Στο προηγούμενο πείραμα τύχης θεωρείστε ότι το νόμισμα δεν είναι κανονικό και ότι

3 2

P(K) και Ρ(Γ)5 5

= =

Τότε τα στοιχεία του δειγματικού χώρου S δεν θα είναι ισοπίθανα, αλλά θα έχουν πιθανότητες που προκύπτουν εύκολα από το σχήμα 2.

3 3 3 27

P(KΚΚ)5 5 5 125

= ◊ ◊ =

3 3 2 18

P(KΚΓ)5 5 5 125

= ◊ ◊ =

3 2 3 18

P(KΓΚ)5 5 5 125

= ◊ ◊ =

3 2 2 12

P(KΓΓ)5 5 5 125

= ◊ ◊ =


K

Γ Γ

ΚΚ

Κ

Κ ΚΚΚ

ΚΚΓ

ΚΓΚ

ΚΓΓ

ΓΚΚ

ΓΚΓ

ΓΓΚ

ΓΓΓ

Κ

Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

Κ

25

25

35

25

35

35

25

35

25

35

2535

25

35

Σχήμα 2: Δένδρο αποτελεσμάτων στο πείραμα της ρίψης ενός

μη κανονικού νομίσματος τρεις φορές.

2 3 3 18

P(ΓΚΚ)5 5 5 125

= ◊ ◊ =

2 3 2 12

P(ΓΚΓ)5 5 5 125

= ◊ ◊ =

2 2 3 12

P(ΓΓΚ)5 5 5 125

= ◊ ◊ =

2 2 2 8

P(ΓΓΓ)5 5 5 125

= ◊ ◊ =

…P(ΚΚΚ) Ρ(ΚΚΓ) Ρ(ΓΓΓ) 1+ + + =

Αν θέλουμε τώρα να υπολογίσουμε τις πιθανότητες των γεγονότων του προηγούμενου παραδείγματος θα έχουμε

18 18 18 54

P(Α)125 125 125 125

= + + =

18 18 18 54

P(Β)125 125 125 125

= + + =

8 18 12 12 50

P(Γ)125 125 125 125 125

= + + + =

27 18 18 12 75

P(Δ)125 125 125 125 125

= + + + =


18 12 30

P(Ε)125 125 125

= + =

8 18 12 12 18 27 95

P(Ζ)125 125 125 125 125 125 125

= + + + + + =

18 12 30

P(Η)125 125 125

= + =

Επίσης παρατηρούμε ότι τα γεγονότα Γ και Δ εξακολουθούν να είναι ενα-ξάρτητα αφού

30

P(Γ Δ) Ρ(Ε)125

« = =

50 75 30

P(Γ) Ρ(Δ)125 125 125

◊ = ◊ ◊


Ένας γεωργός από 5 είδη καλλιεργειών Α, Β, Γ, Δ και Ε πρόκειται να διαλέξει 3 είδη που θα καλλιεργήσει στην εκμετάλλευσή του. Στην περίπτωση αυτή ο δειγματικός χώρος περιλαμβάνει 10 στοιχεία – συνδυασμούς.2 S {ΑΒΓ, ΑΒΔ, ΑΒΕ, ΑΓΔ, ΑΓΕ, ΑΔΕ, ΒΓΔ, ΒΓΕ, ΒΔΕ, ΓΔΕ}= Αν υποθέσουμε ότι και οι 10 συνδυασμοί έχουν την ίδια πιθανότητα να καλλιεργηθούν από τον αγρότη, τότε η πιθανότητα κάθε συνδυασμού θα είναι

ίση με 1

10.

Θεωρούμε τα γεγονότα

Α1 = η εκμετάλλευση θα περιλαμβάνει την καλλιέργεια Α Α2 = η εκμετάλλευση θα περιλαμβάνει την καλλιέργεια Β Α3 = η εκμετάλλευση θα περιλαμβάνει τις καλλιέργειες Α και Β

Α4 = η εκμετάλλευση θα περιλαμβάνει την καλλιέργεια Α ή την καλλιέρ-γεια Β

Α5 = η εκμετάλλευση θα περιλαμβάνει τις καλλιέργειες Α, Β και Δ Α6 = η εκμετάλλευση θα περιλαμβάνει τις καλλιέργειες Γ ή Ε Α7 = η εκμετάλλευση θα περιλαμβάνει την καλλιέργεια Α

Τότε έχουμε 2 Συνδυασμός των 5 καλλιεργειών ανά 3.


1Α {ΑΒΓ, ΑΒΔ, ΑΒΕ, ΑΓΔ, ΑΓΕ, ΑΔΕ}= και 16

Ρ(Α )10

=

2Α {ΑΒΓ, ΑΒΔ, ΑΒΕ, ΒΓΔ, ΒΓΕ, ΒΔΕ}= και 26

Ρ(Α )10

=

3 1 2Α Α Α {ΑΒΓ, ΑΒΔ, ΑΒΕ}= « = και 33

Ρ(Α )10

=

4 1 2Α Α Α {ΑΒΓ, ΑΒΔ, ΑΒΕ, ΑΓΔ, ΑΓΕ, ΑΔΕ, ΒΓΔ, ΒΓΕ, ΒΔΕ}= » =

και 49

Ρ(Α )10

=

5Α {ΑΒΔ}= και 51

Ρ(Α )10

=

6Α {ΑΒΔ}= και 61

Ρ(Α )10

=

7Α {ΒΓΔ, ΒΓΕ, ΒΔΕ, ΓΔΕ}= και 74

Ρ(Α )10

=

Παρατηρούμε ακόμη

4 1 2 1 2 1 26 6 3 9

P(A ) P(A A ) P(A ) P(A ) P(A A )10 10 10 10

= » = + - « = + - =

7 1 16 4

P(A ) P(A ) 1 P(A ) 110 10

= = - = - =


Σ’ ένα στάβλο υπάρχουν 100 μοσχίδες και αγελάδες. Απ’ αυτές οι 40 είναι μοσχίδες (Μ) και οι 60 αγελάδες (Α). Από τις αγελάδες οι 18 είναι έγγειες (Ε) και οι 42 όχι (O), ενώ από τις μοσχίδες οι 12 είναι έγγειες και οι υπόλοιπες 28 όχι. Ένας γεωπόνος μπαίνει στο στάβλο πλησιάζει τυχαία ένα ζώο του στάβλου και βλέπει ότι δεν είναι έγγυο. Ποια είναι η πιθανότητα ότι αυτή είναι αγελάδα; Τα δεδομένα του προβλήματος μπορούν να παρουσιαστούν σύντομα στον παρακάτω πίνακα

Α Μ 0 Ε

42 18

28 12

70 30

60 40 100


Για τον υπολογισμό της πιθανότητας Α

ΡO

Ê ˆË ¯ έχουμε

42

P(Α O)100

« = και 70

P(O)100

=

έτσι Α P(A O) 42

PO P(O) 70

«Ê ˆ = =Ë ¯

Επίσης παρατηρούμε ότι επειδή

60 70

P(Α) , P(O)100 100

= = και 42

P(A O)100

« =

ισχύει P(Α O) P(A)P(O)« =

που σημαίνει ότι τα γεγονότα Α και Ο είναι ανεξάρτητα.


Ένα προϊόν μπορεί να παραχθεί σε τρία διαφορετικά εργοστάσια. Είναι γνωστό ότι το εργοστάσιο 1 παράγει διπλάσια ποσότητα από το εργοστάσιο 2, ενώ τα εργοστάσια 2 και 3 παράγουν τον ίδιο αριθμό προϊόντων μέσα στην ίδια χρο-νική περίοδο. Από προηγούμενες μετρήσεις είναι επίσης γνωστό ότι το 2% των προϊόντων που παράγονται στα εργοστάσια 1 και 2 είναι ελαττωματικά, ενώ τα ελαττωματικά προϊόντα στο εργοστάσιο 3 είναι το 4% των παραγομένων. Όλα τα προϊόντα που παράγονται από τα τρία εργοστάσια συγκεντρώνονται στην ίδια αποθήκη όπου γίνεται ποιοτικός έλεγχος στην παραγωγή κάθε μέρας. Ο αρμόδιος για τον έλεγχο εκλέγει τυχαία ένα τεμάχιο και το βρίσκει ελαττω-ματικό. Ποια είναι η πιθανότητα να έχει κατασκευασθεί αυτό στο εργοστάσιο 1; Ορίζουμε τα γεγονότα:

Α = το τεμάχιο είναι ελαττωματικό. Bi = το τεμάχιο κατασκευάσθηκε στο εργοστάσιο i, i = 1, 2, 3.

Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η 1BP

ΑÊ ˆË ¯

Από τον τύπο του Bayes έχουμε

1

11

1 2 31 2 3

ΑP P(B )BB

PΑ Α Α ΑP P(B ) P P(B ) P P(B )

B B B

Ê ˆÁ ˜Ë ¯Ê ˆ =Ë ¯ Ê ˆÊ ˆ Ê ˆ

+ +Á ˜ Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯


Στην περίπτωσή μας είναι

1 2 31 1 1

P(Β ) P(Β ) P(Β )2 4 4

= = =

1 2 3

Α Α ΑP 0,02 P 0,02 P 0,04

Β Β ΒÊ ˆÊ ˆ Ê ˆ

= = =Á ˜ Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯

Οπότε 1ΒP 0, 40

ΑÊ ˆ =Ë ¯ .

ΜΑΝΟΣ 00 Α · από τις πιθανότητες και ορισμένα στοιχεία...

Documents

Transcript of ΜΑΝΟΣ 00 Α · από τις πιθανότητες και ορισμένα στοιχεία...