προετοιμασια για τις πανελληνιες εξετασεις

ΤΤΣΣΙΙΚΚΑΑΛΛΟΟΥΥΔΔΑΑΚΚΗΗΣΣ ΓΓΙΙΩΩΡΡΓΓΟΟΣΣ

NEEΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ

B I B Λ I A 20ετούς συγγραφής με 35

χρόνια διδασκαλίας

Διαρκώς ενημερωμένα με ότι

νέο ωραίο

[email protected]

κιν. 697 38 27 622

Θα αγοράσετε βιβλία μαζικής παραγωγής

(μια από τα ίδια ) ή θα πάρετε βιβλία

που εκδίδονται (εδώ και 20 χρόνια )

σε λίγα αντίτυπα , κάθε φορά , και

διαρκώς ανανεωμένα με νέα θέματα;

2

ΒΙΒΛΙΑ με Θέματα πρωτότυπα

Χρήσιμα σε κάθε επαγγελματία Μαθηματικό

΄΄ Για αυτούς που ψάχνουν κάτι ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟ΄΄

ΓΓ .. ΤΤΣΣΙΙΚΚΑΑΛΛΟΟΥΥΔΔΑΑΚΚΗΗΣΣ

ΓΓ ΄ ΛΛ ΥΥ ΚΚ ΕΕ ΙΙ ΟΟ ΥΥ

555000000 ΕΕΠΠΑΑΝΝΑΑΛΛΗΗΠΠΤΤΙΙΚΚΑΑ

ΘΘΕΕΜΜΑΑΤΤΑΑ

ΝΝΕΕΑΑ ΑΑΝΝΑΑΤΤΥΥΠΠΩΩΣΣΗΗ

μμεε ννέέαα θθέέμμαατταα

ΠΠΡΡΩΩΤΤΟΟΤΤΥΥΠΠΑΑ

ΘΘΕΕΜΜΑΑΤΤΑΑ ΕΕΞΞΕΕΤΤΑΑΣΣΕΕΩΩΝΝ

886600 σσεελλίίδδεεςς ((2255€ ))

ΚΚΡΡΙΙΤΤΗΗΡΡΙΙΑΑ

ΑΑΞΞΙΙΟΟΛΛΟΟΓΓΗΗΣΣΗΗΣΣ

Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ T A T I Σ T I K H


ΠΛΗΡΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΘΕΕΜΜΑΑΤΤΑΑ

Π I Θ A N O T H T Ω N Σ T A T I Σ T I K H Σ

ΔΔΙΙΑΑΓΓΩΩΝΝΙΙΣΣΜΜΑΑΤΤΑΑ

600 σελιδες (20€ )

3

(Παρόμοια ΘΕΜΑΤΑ)

ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ B : Τόμος 1ος : Σελ. 98. ΘΕΜΑ A . 2.

Τόμος 5ος :

Σελ. 709 ΘΕMA 209 , Σελ 712 ΘEMA 173, Σελ. 790 ΘEMA 209

ΘΕΜΑ : Τόμος 3ος Σελ. 40 Ασκ. 22.5, 22.6 , 22.7 , Σελ. 265 Ασκ. 27.80

Σελ. 478 Ασκ. 6 , Σελ. 325 Ασκ. 28.52

Τόμος 5ος Σελ. 765 ΘΕΜΑ Γ. , σελ. 754 4

Σελ. 796 ΘΕΜΑ Δ. , Σελ. 747 ΘΕΜΑ Β.

ΘΕΜΑ : Τόμος 3ος 2

,3

Σελ. 325 ασκ. 28.52

Τόμος 3ος 3

: Σελ. 584 ΘΕΜΑ 4ο

Τόμος 5ος Σελ. 473 ΘΕΜΑ 3ο και Σελ. 804. ΘΕΜΑ 4ο

με ΘΕΜΑ Β

A. Δίνεται η εξίσωση:

2

z z 0 , με 0 και 24 0 (1)

1. Να αποδείξετε ότι η (1) έχει δύο μιγαδικές ρίζες , συζυγείς.

2. Αν 1

z είναι μια ρίζα της (1), να αποδείξετε ότι: 2 2 2

1 1(z z ) 4

Έστω ότι για τον μιγαδικό z ισχύει: | z 3i | 2

Να αποδείξετε ότι α) 1 | z | 5 , β) 2 | z 4 3i | 6

Έστω μιγαδικός z τέτοιος ώστε: | z |3 10

και 2 2

3 3 20 3 100| z | | z | | z |

α. Να αποδείξετε ότι: | z | | z |3 3 10

.β Να αποδείξετε ότι: | z |4 5

. Αν | z |2 9 16 , να αποδείξετε ότι z

. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: | z z |9

ΕΠΙΤΥΧΙΕΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 2013

ΜΕΡΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ από τους 5 τόμους (παρόμοια των πανελληνίων)

136.

209

4

Έστω μιγαδικός z τέτοιος ώστε:

| z i | | z |3 4 6

α. Να αποδείξετε ότι: | z i |3 1

.β Να αποδείξετε ότι: |z | 1 4 6

. Αν |z| 2 και | z i |3 4 , να υπολογιστεί το | z |1 .

. Να βρεθεί ο z , αν: | z i | | z |3 4 5 και | z i | > | z |3 4

Έστω μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει:

2| z 4z 4 | 4 (1)

1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z

είναι ο κύκλος με κέντρο K(2,0) και ακτίνα 2 .

2. Αν η αρχή των αξόνων και οι εικόνες δύο μιγαδικών 1 2

z ,z που ικανοποιούν

την (1) και σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο, να αποδείξετε ότι οι 1 2

z ,z

είναι ρίζες της εξίσωσης: 2

z 6z 12 0 .

3. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό w με | w | 1

ισχύει: 2 | w z 2 | | w z 2 | 6

4. Αν o 1 2

z ,z ,z είναι τρείς μιγαδικοί που ικανοποιούν την (1), να αποδείξετε

ότι για κάθε μιγαδικό w , με 2

2 1 ow z w z 1 z , ισχύει: | w | 5

με: ΘΕΜΑ Γ

22. 7 Αν για μια συνάρτηση f , ισχύει:

h 0

f 1 3h f(1 h)lim 4

h

να αποδείξετε ότι: f (1) 2 .

27.80 Να βρεθεί συνάρτηση f τέτοια, ώστε f ( 0) 1

και για κάθε x R , να ισχύει : f ( x) f ( x) x

Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε:

f (5) 0 και f (x) 0 , για κάθε x R .

i) Αν για μια συνάρτηση g ισχύει: g(0) 5 , g (0)=0 και g (x) 0 ,

για κάθε x R , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι κοίλη.

ii) Αν είναι 2

g(x) x 2x 3 , να μελετηθεί η f g ως προς τη μονοτονία.

ΘΕΜΑ Β (από διαγώνισμα)

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: 2f x x x 1( )

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

β. Να αποδείξετε ότι για κάθε x ισχύει f x 0( )

γ. Να ορίσετε την αντίστροφη της f .

δ. Να αποδείξετε ότι η fC και η 1fC δεν έχουν κοινά σημεία.

173

.6

.168

5

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο:

x

2x

ln(e x 1) , x 0f (x)

e 2x 1 , x 0

. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία.

. Να μελετηθεί η f ως προς τα κυρτά και κοίλα .

. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της f

C

. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : f 0f (x) ,

έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες

ΘΕΜΑ 4ο ® (από διαγώνισμα)

Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο R με:

f (0) 0 και f (x) 0 , για κάθε x R .

Να αποδείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( , 0)

η συνάρτηση g με: x

f(2x) 2f(x)g(x)

e

με ΘΕΜΑ Δ

28.52 Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραωγίσιμη στο τέτοια ώστε:

0 0 1 f ( ) f ( ) και η f είναι γνησίως φθίνουσα.

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x) 1 , x 0

G(x) x1 , x 0

Να αποδείξετε ότι:

1. η G είναι παραγωγίσιμη στο 0

2. η G είναι γνησίως φθίνουσα στο 0 [ , )

3. xf (x) 1 f(x) < x 1 , για κάθε 0x

Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο: ( )xg x e x

α. Να μελετηθεί η g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

β. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της g.

γ. Έστω ότι για μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ισχύουν:

f 1 0( ) , f x 0( ) , για κάθε x 1 και f x 0( ) , για κάθε x 1

i. Να αποδείξετε ότι: για κάθε x ισχύει ( )f g x 0 .

ii. Να βρεθεί το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης:

xf e x f α 1( ) ( ) , για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμό α .

263

® ΘΕΜΑ o3

® Θ Ε Μ Α o3

6

(από διαγώνισμα)

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f ( )1 2 και για κάθε x

να ισχύουν: xf (x) f x x

22

1 1 και xf x f (x) 21 0 .

α. Να αποδείξετε ότι f (x) x2

11

β. Να αποδείξετε ότι f ( x ) x x 1

γ. Να βρεθεί για ποια τιμή του α γίνεται ελάχιστο το α

f f (t) f (t)dt

1

δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε α 1 ισχύει: α α

α αf (t)dt f (t)dt

1 1

1

Έστω f συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα , [α β] όπου

0 α β . Έστω ακόμα ότι: f(α) 0 f(β) , f (β) 0 f (α)

και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο , (α β) . Να αποδείξετε ότι:

1. υπάρχει ox (α,β) στο οποίο η f παρουσιάζει μέγιστο, στο διάστημα , [α β] .

2. υπάρχει μοναδικό 1 ,x (α β) , τέτοιο ώστε: 1f(x ) 0 και 1 ox x .

3. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της

fC στο ξ να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

4. Για το παραπάνω ξ (α,β) ισχύει: β

2 2

α2 f(x)dx (β α ) f (ξ)

Θ Ε Μ Α 4o o4

Έστω συνάρτηση f με συνεχή παράγωγο στο διάστημα [0,1] , με:

f( ) 0 0 και f (x) 0 , για κάθε x [0,1] .Θεωρούμε τη συνάρτηση:

x

F(x) ( t x)f(t)dt 02 , x [0,1]

Να αποδείξετε ότι . η F είναι γνησίως αύξουσα

.

xf(x)dx ( x)f(x)dx α α

β β

1

. i,

x

F(x) f(t)dt 0 , x (0,1] , ii.

x

x

f(t)dt

limF(x)

0

0

. Να λυθεί η ανίσωση:

x x

F(t)dt F(t)dt

42

0 0

1 1

® Θ Ε Μ Α o4

229

7

® Θ Ε Μ Α o4 θ. Rolle - θ. Bolzano

7

ΜΜΕΕΡΡΙΙΚΚΑΑ ΑΑΠΠΟΟ ΤΤΑΑ

ΕΕΠΠΑΑΝΝΑΑΛΛΗΗΠΠΤΤΙΙΚΚΑΑ ΘΘΕΕΜΜΑΑΤΤΑΑ

Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [ , ]0 1 δύο φορές,

παραγωγίσιμη στο ( , )0 1 , τέτοια ώστε:

( )f x 0 , για κάθε ( , )x 0 1 ,

f( ) 0

1

x dx 0 και f( ) 0

1

x x dx 1 .

α. Να αποδείξετε ότι για κάθε c 1 υπάρχει

ox 0 1( , ) , τέτοιο ώστε:

o1f x

1 c( )

.β Να αποδείξετε ότι για κάθε , [ , ]α β 0 1 ,

με α β ισχύει: f( ) f( )

f ( )β α

αβ α

.γ Να αποδείξετε ότι:

f( ) ( )f( )2

0 0

1 1

x dx 2 1 x x dx

.δ Αν ( )f 0 0 , να αποδείξετε ότι υπάρχει

( , )ξ 0 1 , τέτοιο ώστε: ξ

0

ξ ξ t dt f( ) f( )

Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [ , ]0 1 με:

1

0f (t)dt 0 και

1

0tf (t)dt 1 .

Θεωρούμε ακόμα τη συνάρτηση:

0 0

1

0 0

x x

x tf ( t )dt f ( t )dt , x (0,1]G(x)

, x

α. Να αποδείξετε ότι η G είναι παραγωγίσιμη στο 0.

β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει o

x ( , )0 1 ,ώστε:

o

0

x

tf (t)dt 0

γ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( , )ξ 0 1 : 4

0

tf (t)dt f ( )

δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ρ 0 1( , ) ,ώστε:

0

f (t)dt 1

221

246

8

ΘΕΜΑ Γ.

Δίνεται η συνάρτηση :

3 3x 6

f (x) (x 1) e

1

Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί

το σύνολο τιμών της.

2

Να αποδείξετε ότι η f

C έχει τρία σημεία καμπής.

3

Αν είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη

της f

C στο o

x , με τον άξονα x x , να προσδιοριστούν

οι τιμές του o

x , για τις οποίες ισχύει:

o

f(x ) 0

4

Αν η εφαπτομένη της f

C στο o

x επανατέμνει τη f

C

στο 1

x , να αποδείξετε ότι υπάρχει μεταξύ των

o 1

x ,x , τέτοιο ώστε: o

f (x ) f ( ) .

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται ότι για τον μιγαδικό z ισχύει:

2 2z z 4 z z 0( ) ( ) (1)

1 Να αποδείξετε ότι η εικόνα του z διαγράφει

δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους.

2 Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης:

| | | |z z z z

3 Αν oz είναι ο μιγαδικός με το ελάχιστο

μέτρο που ικανοποιεί την ισότητα (1), να

αποδείξετε ότι:

2013 2013 504z z 2

4 Αν ο μιγαδικός z επαληθεύει την παραπάνω

ισότητα (1), να αποδείξετε ότι οι εικόνες

A,B, , των μιγαδικών:

z z 4i z 4i z, , ,

αντίστοιχα , είναι κορυφές τετραγώνου.

9

ΜΜΕΕΡΡΙΙΚΚΕΕΣΣ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΠΟΟ ΜΜΙΙΓΓΑΑΔΔΙΙΚΚΟΟΥΥΣΣ

Έστω μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει:

2| z 3 | 4i(z z) 0 (1)

α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z και του z .

. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού w , όπου:

8

wz 3

. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του 6i

z 3w

. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό z που ικανοποιεί την (1)

ισχύει: 1

z 10z

Έστω μιγαδικoί z για τους οποίους ισχύει:

| z 1 i | | z 1 i | 2 | z 2i | (1)

. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του

z και του z .

. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό που ικανο-

ποιει την (1) ισχύει: 2| z zi | 2

. Αν ο μιγαδικός z 1 ικανοποιεί την (1) και

A,B,Γ,Δ είναι οι εικόνες των μιγαδικών:

z , z , 2 z , 2 z αντίστοιχα ,

να αποδείξετε ότι το ABΓΔ είναι τετράγωνο.

. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό z που ικανοποιεί την (1) ισχύει:

2 2 2

| z z | | z z 2 | 4 | z 1|

Έστω z , w μιγαδικοί με z w 0 , τέτοιοι

ώστε :

w | z | z i 2 και | w | | z |

Να αποδείξετε ότι :

α. ο w δεν είναι φανταστικός

β. οι εικόνες των z , w ανήκουν σε δύο κύκλους

1

C , 2

C αντίστοιχα.

γ. οι κύκλοι 1

C , 2

C έχουν δύο κοινά σημεία .

δ. w z .

.138

148.

93 .

10

ΜΜΕΕΡΡΙΙΚΚΕΕΣΣ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΠΟΟ ΣΣΥΥΝΝΑΑΡΡΤΤΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ

1. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R και η συνάρτηση g με:

x

f x x

e f xg x

e e( )

( )( )

1. Αν είναι x 0

1g x2

lim ( )

, να αποδείξετε ότι: f 0 0( )

2. Αν είναι x

f xlim ( )

, να υπολογίσετε το όριο:x

g xlim ( )

.

3. Αν είναι g 0 0( ) και g 1 0( ) , να αποδείξετε ότι:

α. υπάρχει ξ 0 1( , ) τέτοιο, ώστε: ( )ξf ξ e

β. υπάρχει ,( )ox ξ 1 τέτοιο, ώστε: ( )of x e .

20.8 Αν είναι α β γ 0 και 2β α γ ,

να αποδείξετε ότι, έχει μία τουλάχιστον πραγματική

ρίζα στο διάστημα (α , γ) , η εξίσωση:

4 44 4 x γx α 0

(x α)(x β) (x γ)(x β)

20.65 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα , [ ] τέτοια , ώστε :

α β f α β, ,[ ] [ ] και f α α( ) f β β( ) .


1. υπάρχουν x x1 2

, , ( ) τέτοιοι ώστε:

1

( ) f x και 2

( )f x

2. η εξίσωση: ( ) ( ) ( ) ( )

0( ) ( )

f x f f x ff x f x

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ,( ) .

3. η εξίσωση: 0( ) ( )

xxf x f x

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ,( ) .

4. Έστω συνάρτηση f : R R αντιστρέψιμη τέτοια,

ώστε για κάθε x R , να ισχύει:

1 11 f (x)e f (x) x 1 (1)

I. Να βρείτε την f

II. Να αποδείξετε ότι:

1. η f είναι γνησίως φθίνουσα.

2. οι f

C , 1fC έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο.

3. 1

xlim f (x) x 1

και

1

x

f (x)lim 1

x

11

ΜΜΕΕΡΡΙΙΚΚΕΕΣΣ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΠΟΟ ΠΠΑΑΡΡΑΑΓΓΩΩΓΓΟΟΥΥΣΣ

1. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: x

f(x) ln xe x 2

1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

2. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει διάστημα της μορφής [ , ] ,

( 0 ) στο οποίο να ισχύουν οι συνθήκες του θεωρήματοςRolle

3. Να λυθεί η ανίσωση: f( x) f(x)

4. Να αποδείξετε ότι για κάθε x ισχύει: f f(x) f f(x)

2. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f(x) xlnx x 1

1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

2. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 1 και x 0 ,ισχύει: 1xf ( x ) f

3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) f(x) έχει ακριβώς μια πραγματική

ρίζα.

4. Θεωρούμε τη συνάρτηση f( x ) , x ( 0 , )

G ( x ) 1 , x 0

.

Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι συνθήκες του Θ.Μ.Τ. για την G στο

διάστημα [0 ,1] και ότι υπάρχει μοναδικό (0,1) τέτοιο ώστε

f ( ) f( ) e

Δίνεται η συνάρτηση : f : , με:

x

x 2 x , x 0f x

e x 1 x 0( )

,

1. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.

2. Να μελετηθεί η f ως προς τα κυρτά και κοίλα

3. Να λυθεί η ανίσωση: 2f(x 4x) f(4)

4. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: f f (x) 0

33.5

12

Δίνεται η συνάρτηση:

2

4 3 2 2 2f x x x x4 3 2

( )

1. Να βρείτε για ποιες τιμές του η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο

στο 1 .

2. Να βρείτε για ποιες τιμές του η f παρουσιάζει σημείο καμπής

στο 1 .

Δίνεται η συνάρτηση :f : , με:

x

x 2 x , x 0f x

e x 1 x 0( )

,

1. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.

2. Να μελετηθεί η f ως προς τα κυρτά και κοίλα

3. Να λυθεί η ανίσωση: 2f(x 4x) f(4)

4. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:

f f (x) 0

Δίνεται η συνάρτηση :

( ) ln

x1 ef x1 x

1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f .

2. Να αποδείξετε ότι η f έχει ακριβώς δύο τοπικά ακρότατα.

3. Να λυθεί η ανίσωση: f (x) 0

4. Να λυθεί η εξίσωση : f f(x) 0 .

5. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της fC .

31.23 Δίνεται η συνάρτηση f με:

® 2 xf(x) x x 1 e , R


1. η f έχει δυο σημεία καμπής , αν και μόνο αν , 2 .

2. αν η f έχει δυο σημεία καμπής, τότε οι εφαπτόμενες

της fC στα σημεία αυτά δεν είναι παράλληλες.

3. υπάρχει 2 τέτοιο , ώστε οι εφαπτόμενες της fC

στα σημεία καμπής της να είναι κάθετες μεταξύ τους.

33.1

33.5

33.10

13

ΜΜΕΕΡΡΙΙΚΚΕΕΣΣ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΠΟΟ ΟΟΛΛΟΟΚΚΛΛΗΗΡΡΩΩΜΜΑΑΤΤΑΑ

ΘΕΜΑ 4ο

Έστω α,β R τέτοιοι ώστε 0 α β και :

2

β

α

lntdt 0

1 t

Θεωρούμε τη συνάρτηση F με: F(x) 2

lnt dt1 t

, x 0


1. 1 1α β

F F , 2. α β 1

3. για κάθε x 0 ισχύει: 1xF x F

4. η F έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής.

ΘΕΜΑ 4ο

Έστω f συνάρτηση συνεχής στο R με παράγουσα την

x

22eG(x) c

x 1

, c R

Έστω ακόμα συνάρτηση : x

αF(x) f(t)dt , α R .

1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο μια τιμή του α R

για την οποία η γραφική παράσταση της F διέρχεται

από το σημείο A(0,1) .

2. Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται

από:

α) τη γραφική παράσταση της f β) τους άξονες και

γ) την ευθεία x 1 .

I

x

α

14

ΘΕΜΑ 4ο

Έστω f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R με f (1) 0

και f (x) 0 , για κάθε x R .

Έστω ακόμα g συνάρτηση συνεχής στο R τέτοια ώστε:

2 1

x1g(x) (t 1)f (t)d t

(x 1)

, για x 1


1. η g είναι παραγωγίσιμη στο 1

2. η g είναι παραγωγίσιμη στο R

3. για κάθε x 1 ισχύει: x

1(x 1)g(x) f (t)d t

4. αν είναι: 2

0(t 1)f (t)d t 0 , να αποδείξετε

ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (0,2) , με 1

τέτοιο ώστε: f ( ) 2g( ) .

40.44 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f (x) 0

και f(x) 0 , για κάθε x . Θεωρούμε τη συνάρτηση:

0

x

F(x) f(t)dt


1. Η F είναι κοίλη

2. Για κάθε x 0 ισχύει: F(x) F(3x) 2F(2x)

3. Για 0 υπάρχει μοναδικό (2 , ) τέτοιο

ώστε: F( ) F(3 ) 2F( )

40.42 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα ,[ ]0 1 με:

0 0

1 1

f(t)dt tf(t)dt

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ,( )0 1

τέτοιο ώστε: 0

ξ

f(ξ) f(t)dt

15

ΒΒΙΙΒΒΛΛΙΙΑΑ Γ ρ α μ μ έ ν α : μ ά θ η μ α - μ ά θ η μ α , μ ε π λ ή ρ η θ ε ω ρ ί α

π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς - σ η μ ε ι ώ σ ε ι ς σ χ ό λ ι α - μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α

π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α , α ν ά π α ρ ά γ ρ α φ ο . Ε π α ν ά λ η ψ η κ α τ ά

ε ν ό τ η τ ε ς

Ε π α ν α λ η π τ ι κ έ ς α σ κ ή σ ε ι ς

60 Δ ι α γ ω ν ί σ μ α τ α 70 Κ ρ ι τ ή ρ ι α α ξ ι ο λ ό γ η σ η ς

Μελετήστε προσεκτικά τα βιβλία '' Γ . Τ σ ι κ α λ ο υ δ ά κ η ' '

και θα διαπιστώσετε :

λ ε π τ ο μ έ ρ ε ι ε ς , ε π ε ξ η γ ή σ ε ι ς και κ α τ η γ ο ρ ί ε ς α σ κ ή σ ε ω ν

που λείπουν από τα βιβλία '' μαζ ικής παραγωγής ''

Δοκιμάστε τα στη δ ι δ α σ κ α λ ί α σας και θα εγκαταλείψετε

πολλά άλλα (δήθεν) βοηθήματα .

Ό λ α τ α β ι β λ ί α ε ί ν α ι γ ρ α μ μ έ ν α σ τ ο W o r d α π ό τ ο ν ί δ ι ο

τ ο σ υ γ γ ρ α φ έ α μ ε π ρ ο σ ε γ μ έ ν η π α ρ ο υ σ ί α σ η τ ο υ κ ε ι μ έ ν ο υ

κ α ι τ ω ν μ α θ η μ α τ ι κ ώ ν τ ύ π ω ν ( B o l d ) έ τ σ ι ώ σ τ ε ν α ε ί ν α ι

ε υ α ν ά γ ν ω σ τ α κ α ι ο ι μ α θ η μ α τ ι κ ο ί τ ύ π ο ι ε υ δ ι ά κ ρ ι τ ο ι .

Σ τ ο τ έ λ ο ς κ ά θ ε β ι β λ ί ο υ υ π ά ρ χ ο υ ν ο ι α π α ν τ ή σ ε ι ς κ α ι ο ι

λ ύ σ ε ι ς ( σ τ ι ς δ ύ σ κ ο λ ε ς α σ κ ή σ ε ι ς ) .

Βιβλία γραμμένα για να διαβάσει ο μαθητής το μ ά θ ημ α τ ης ημ έ ρα ς

με όλες τις λεπτομέρειες του και με πληθώρα σχετικών ασκήσεων (στο

μ ά θ η μ α τ η ς η μ έ ρ α ς ) .

Κατά διδακτικές ενότητες γίνεται ε π α ν ά λ η ψ η (με ασκήσεις) σε όλα τα

προηγούμενα μαθήματα και ακολουθεί Κ ρ ι τ ή ρ ι ο α ξ ι ο λ ό γ η σ η ς

Είναι γραμμένα με την πείρα 32 χρόνων στον μ α υ ρ ο π ί ν α κ α

κ α ι σ τ α α τ ο μ ι κ ά μ α θ ή μ α τ α , γ ι α τ α ο π ο ί α κ υ ρ ί ω ς

ε ί ν α ι γ ρ α μ μ έ ν α .

Μ ε π ρ ο σ ε κ τ ι κ ή μ ε λ έ τ η θ α δ ι α π ι σ τ ώ σ ε τ ε π ό σ ο ά ν ε τ η

γ ί ν ε τ α ι η δ ι δ α σ κ α λ ί α σ α ς .


A E B P A

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ - ΜΑΘΗΜΑ


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ

1ος τόμος

720 σελ. Σύμφωνα με τη νέα ύλη


M A H M A T I K A

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕ ΠΛΗΡΗ

ΘΕΩΡΙΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ


400 σελ.

16


ΜΜΜΑΑΑΘΘΘΗΗΗΜΜΜΑΑΑΤΤΤΙΙΙΚΚΚΑΑΑ

Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΛΗΡΗΣ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ

300 σελιδες

(15€ )

ΘΕΩΡΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ



ΜΜΜΑΑΑΘΘΘΗΗΗΜΜΜΑΑΑΤΤΤΙΙΙΚΚΚΑΑΑ


ΠΛ ΗΡΗ Σ Θ Ε ΩΡΙ Α

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΔΔΙΙΑΑΓΓΩΩΝΝΙΙΣΣΜΜΑΑΤΤΑΑ 660 σελιδες

(20€ )




ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΔΔΙΙΑΑΓΓΩΩΝΝΙΙΣΣΜΜΑΑΤΤΑΑ 600 σελ.

Το μοναδικό βιβλίο με βάση

τη νέα ύλη στα ολοκληρώματα

(20€ )



ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΠΛ ΗΡΗ Θ Ε ΩΡΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΔΔΙΙΑΑΓΓΩΩΝΝΙΙΣΣΜΜΑΑΤΤΑΑ

700 σελιδες

(20€ )

Όλη η σειρά (Γ΄Λυκειου , 5 τόμοι ) προσφορά για τη βιβλιοθήκη

του Λυκείου καθώς και για τους συναδέλφους , 80 ευρώ

(+ 10 ταχ. τέλη)

κιν. 6973827622 mail: [email protected]

και στο Ιντερνετ: Art of Problems Solving (Tsikaloudakis)

mailto:[email protected]

προετοιμασια για τις πανελληνιες εξετασεις

Documents

Transcript of προετοιμασια για τις πανελληνιες εξετασεις