ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - A ’ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο – ΤΡΙΓΩΝΑ

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο

Τα τρίγωνα ταξινομούνται ως προς τις πλευρές τους

Σκαληνά Ισοσκελή Ισόπλευρα

Τα τρίγωνα ταξινομούνται ως προς τις γωνίες τους

Οξυγώνια Αμβλυγώνια Ορθογώνια

Δύο τρίγωνα είναι ίσα (Κριτήρια)

Δύο πλευρές αντίστοιχα ίσες και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες

Μία πλευρά αντίστοιχα ίση και τις προσκείμενες γωνίες της βάσης ίσες

Τρεις πλευρές αντίστοιχα ίσες μία προς μία

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα Δύο πλευρές αντίστοιχα ίσες μία

προς μία Μία πλευρά αντίστοιχα ίσες μία

προς μία και μία οξεία γωνία ίση

Στο ισοσκελές τρίγωνο

Οι 2 πλευρές της είναι ίσες (ΑΒ=ΑΓ)

Α κορυφή της 2 γωνίες της βάσης ίσες Η διχοτόμος της κορυφής είναι

διάμεσος & ύψος Η διάμεσος της κορυφής είναι

διχοτόμος &ι ύψος Το ύψος της κορυφής είναι

διάμεσος & διχοτόμος

Στο ισόπλευρο τρίγωνο Οι πλευρές του είναι ίσες Οι γωνίες του είναι ίσες ¨Έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ Ισχύουν τα ίδια με το ισοσκελές

για όλες όμως τις κορυφές του

Στον κύκλο

Αν δύο τόξα είναι ίσα τότε και οι χορδές τους είναι ίσες και αντίστροφα

Δύο χορδές είναι ίσες αν τα αποστήματά τους είναι ίσα και αντίστροφα

Ο φορέας του αποστήματος μιας χορδής

διέρχεται από το κέντρο του κύκλου

είναι μεσοκάθετος της χορδής

διχοτομεί το αντίστοιχο τόξο της χορδής

ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 1 13/4/2023

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - A ’ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο – ΤΡΙΓΩΝΑ

Βασικοί γεωμετρικοί τόποι

Κύκλος αφού κάθε σημείο του επιπέδου ισαπέχει σταθερή απόσταση από σταθερό σημείο

Η μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του

Η διχοτόμος μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της

Ανισοτικές σχέσεις

Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου

Απέναντι από άνισες πλευρές τριγώνου βρίσκονται αντίστοιχα και άνισες γωνίες

Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο πλευρών τριγώνου

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες τότε είναι ισοσκελές

Εφαπτόμενα τμήματα

Τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ, ΡΒ είναι ίσα

Η διακεντρική ευθεία ΡΟ είναι μεσοκάθετος της χορδής ΑΒ

Η διακεντρική ευθεία ΡΟ διχοτομεί την γωνία Ρ & την γωνία Ο που σχηματίζουν οι ακτίνες

Σχετικές Θέσεις κύκλων (Ο, ρ1) , (Κ,ρ2)

Η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους

(ΟΚ)>ρ1+ρ2 δεν τέμνονται εξωτερικά

(ΟΚ)= ρ1+ρ2 εφάπτονται εξωτερικά

ρ1 - ρ2< (ΟΚ)< ρ1+ρ2 τέμνονται εξωτερικά

(ΟΚ)= ρ1-ρ2 εφάπτονται εσωτερικά

(ΟΚ)< ρ1+ρ2 δεν τέμνονται εσωτερικά

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 2 13/4/2023

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - A ’ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο – ΤΡΙΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3ΟΥ

1. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, η μεσοκάθετός του (ε) και σημείο Μ της ε. Στις προεκτάσεις των ΑΜ και ΒΜ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Γ, Δ τέτοια ώστε ΜΓ=ΜΔ. Να αποδείξετε ότι:α) ,όπου Κ το σημείο τομής της ε με το ΑΒ

β) ΑΔ=ΒΓ

γ)

2. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ και θεωρούμε τμήματα ΒΚ=ΓΛ=ΑΜ.α) Τι γωνίες είναι οι ;

β) Ν.δ.ο: γ) Ν.δ.ο: το τρίγωνο ΚΜΛ είναι ισόπλευρο

3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του ΒΑ, ΓΑ θεωρούμε ίσα τμήματα ΑΔ, ΑΕ αντίστοιχα. Αν Μ το μέσο της βάσης ΒΓ, τότε να δείξετε ότι:α) ΜΕ=ΜΔβ) γ) Η προέκταση της ΜΑ διχοτομεί την ΔΕ

4. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και χορδή ΑΒ. Προεκτείνουμε την ΑΒ και προς τα δύο της άκρα, κατά ίσα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:α) β) ΟΓ=ΟΔγ) Το απόστημα ΟΚ στην χορδή ΑΒ διχοτομεί και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ

5. Αν ΑΑ´, ΒΒ´ και ΓΓ´ είναι τρεις διάμετροι κύκλου (Ο,ρ), τότε να δείξετε ότι:α) ΑΒ=Α´Β´β) ΑΓ=Α´Γ´γ) ΒΓ=Β´Γ´δ)

ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 3 13/4/2023

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - A ’ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο – ΤΡΙΓΩΝΑ

6. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΓ τέμνει την προέκταση της ΓΒ στο Δ. Προεκτείνουμε τη ΔΑ κατά τμήμα ΑΕ=ΔΒ. Να δείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΔΑΓ είναι ισοσκελέςβ) γ) Τα τρίγωνα ΑΔΒ=ΑΕΓδ) Το τρίγωνο ΓΔΕ είναι ισοσκελές

7. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΒΔ. Από το Δ φέρνουμε ΔΕΒΓ, που τέμνει την ΑΒ στο Ζ. Να δείξετε ότι:α) ΒΕ=ΑΒβ) ΑΖ=ΓΕγ)

8. Δίνεται κύκλος (Ο, ρ), οι ίσες χορδές του ΑΒ, ΓΔ και τα αποστήματά τους ΟΚ και ΟΛ αντίστοιχα. Αν οι προεκτάσεις των ΒΑ και ΔΓ τέμνονται στο Μ, να αποδείξετε ότι:α) ΚΜ=ΛΜβ) Η ΟΜ διχοτομεί την γωνία Ο και Μγ) ΜΑ=ΜΓ και ΜΒ=ΜΔδ) ΑΓΟΜ

9. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ. Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την μεσοκάθετο της ΒΓ στο σημείο Δ. Έστω Ε και Ζ οι προβολές του Δ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:α) ΕΒ=ΖΓβ) ΑΕ=ΑΖγ) Η ΑΔ είναι μεσοκάθετος του ΕΖ

10. Θεωρούμε γωνία και δύο ομόκεντρους κύκλους (Ο,ρ) , (Ο,R) με ρ<R. Αν ο πρώτος κύκλος τέμνει τις πλευρές Οχ, Οy στα Α, Β, ο δεύτερος στα Γ,Δ και Μ το σημείο τομής των ΑΔ,ΒΓ, να αποδειχθεί ότι:α)

β)

γ)

δ) Η ΟΜ είναι η διχοτόμος της

11. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΜ διάμεσο και διχοτόμος. Αν προεκτείνουμε την ΑΜ κατά ίσο τμήμα ΜΕ, τότε να αποδείξετε ότι:α) ΑΒ=ΓΕβ) Το τρίγωνο ΑΕΓ είναι ισοσκελές

ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 4 13/4/2023

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - A ’ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο – ΤΡΙΓΩΝΑ

γ) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές

12. Να δείξετε ότι, αν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε στις αντίστοιχες ίσες πλευρές του αντιστοιχούν,α) ίσες διάμεσοιβ) ίσες διχοτόμοιγ) ίσα ύψη

13. Να δείξετε ότι στις ίσες πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου αντιστοιχούν,α) ίσα ύψηβ) ίσες διάμεσοιγ) ίσες διχοτόμοιδ) Ισχύουν τα ανάλογα συμπεράσματα και γ ια το

ισόπλευρο;

14.Εξωτερικά ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ. Να αποδείξετε ότι:α) Τα τρίγωνα ΑΒΕ=ΑΓΔβ) ΒΔ=ΕΓγ) Αν Κ,Λ και Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΕΑ,ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα, τότε το τρίγωνο ΚΜΛ είναι ισοσκελές.15. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση . Αν ΒΔ η διχοτόμος της γωνίας Β, τότε να αποδείξετε ότι:α) Το Δ ισαπέχει από την πλευρά ΒΓ και το σημείο Αβ) Το Δ ανήκει στην μεσοκάθετο του ΒΓγ) α=2γδ)

16. Από εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο,ρ) φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ & ΡΒ. Μία Τρίτη εφαπτομένη στο σημείο Ε του κύκλου τέμνει τα ΡΑ και ΡΒ στα σημεία Γ, Δ αντίστοιχα. Αν ΡΑ=4 cm α) Να αποδείξετε ΓΑ=ΓΕ και ΔΒ=ΔΕβ) Υπολογίστε την περίμετρο του τριγώνου ΡΓΔ

17. Δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο Α. Μία ευθεία ε εφάπτεται και στους δύο κύκλους στα Β, Γ αντίστοιχα. Αν ζ

ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 5 13/4/2023

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - A ’ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο – ΤΡΙΓΩΝΑ

είναι η κοινή εφαπτομένη των κύκλων στο σημείο Α, να δείξετε ότι:α) Η ευθεία ζ διχοτομεί το τμήμα ΒΓβ) ΚΜ διχοτόμος της γωνίας και ΜΛ διχοτόμος της γωνίας γ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΚΜΛ είναι ορθογώνιο

18. Να προσδιορισθούν οι σχετικές θέσεις των κύκλων (Κ, ρ)

και (Λ, ) αν

i. ΚΛ=

ii. ΚΛ= ρiii. ΚΛ= 2ρiv. ΚΛ= 3ρv. ΚΛ= 4ρ

19. Σε κύκλο κέντρου Κ φέρνουμε τρεις διαμέτρους ΑΑ΄, ΒΒ΄ και ΓΓ΄ . Να αποδείξετε ότι:α) ΑΒ = Α΄Β΄ και ΑΓ = Α΄Γ΄β) Τα τόξα γ) Τα αποστήματα των χορδών Β’Γ και ΒΓ’ είναι ίσα

20. Δίνονται τρία μη συνευθειακά σημεία Α, Β και Γ. ΝΑ βρείτε σημείο Μ του επιπέδου, ώστε τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΒΓ να είναι ισοσκελή.

21. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ και η διχοτόμος ΑΔ της γωνίας . Φέρνουμε την κάθετη ΒΖ στην ΑΔ, οποία τέμνει την ΑΓ στο Ε. Να αποδείξετε ότι:

i. Το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελέςii. Η ΑΔ είναι διχοτόμος της

22. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσος του ΑΔ. Προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΔ κατά τμήματα ΔΕ=ΑΔ. Να αποδείξετε ότι:

ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 6 13/4/2023

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - A ’ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο – ΤΡΙΓΩΝΑ

i. ΑΒ=ΓΕ

ii.

23. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι σχέσεις ΒΓ = 2ΑΒ και . Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας , η οποία τέμνει την

πλευρά ΑΓ στο Δ.i. Να αποδείξετε ότι ΒΓΔ είναι ισοσκελές

ii. Αν ΔΜ το ύψος πάνω στην ΒΓ να αποδείξετε ότι

ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ Μ. Σελίδα 7 13/4/2023