ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ … · 10 1010 2 11 1011 3 14...

ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΧΑΡΗΣ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής, ΗΜΜΥ

([email protected])

Χειµερινό Εξάµηνο 2016

ΔΙΑΛΕΞΗ 3: Αλγοριθµική Ελαχιστοποίηση (Quine-McCluskey, tabular method)

ΗΜΥ210 Δ03 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.2 © Θεοχαρίδης, ΗΜΥ, 2016

Επανάληψη q Δυαδική Λογική και Πύλες

q Άλγεβρα Boole ●  Βασικές ιδιότητες ●  Αλγεβρικός Χειρισµός/Μετασχηµατισµός

q Κανονικές (Canonical) και Πρότυπες (Standard) µορφές ●  Ελαχιστόροι (minterms) και Μεγιστόροι (maxterms) ●  SOP and POS (κανονικές και πρότυπες µορφές) ●  Χάρτες Karnaugh (K-χάρτες) ●  Xάρτες 2, 3ων, 4ων, και 5 µεταβλητών ●  Απλοποίηση χρησιµοποιώντας K-χάρτες

q Επεξεργασία K-χαρτών ●  Implicants: Primes (κύριοι), Essentials (ουσιώδεις) ●  Αδιάφοροι όροι (don’t cares)


Αλγοριθµική Ελαχιστοποίηση

q Τι κάνουµε για συναρτήσεις που έχουν περισσότερες από 4-5 µεταβλητές;

q Χρησιµοποιούµε διαδικασίες/αλγόριθµους ελαχιστοποίησης που µπορούν να προγραµµατιστούν = Computer-Aided Design (CAD) ● π.χ. Αλγόριθµος Quine-McCluskey (βλέπε σηµειώσεις)

● π.χ. Espresso


Μέθοδος Κατάταξης σε Πίνακα

q Επίσης γνωστή ως: ● Μέθοδος Quine-McCluskey (από τους επινοητές) ● Tabular Method

q Μπορεί να αυτοµατοποιηθεί (CAD)

q Μπορεί να υποστηρίξει µεγαλύτερο αριθµό µεταβλητών (από Κ-χάρτες)

q 2 βασικά µέρη: ●  Προσδιορισµός ΟΛΩΝ των prime implicants (PIs) ●  Επιλογή ελάχιστου αριθµού prime implicants (PIs)


1ο Μέρος: Προσδιορισµός ΟΛΩΝ των PIs q  Βήµα 1: Βρίσκουµε τις δυαδικές αναπαραστάσεις των ελαχιστόρων και τις κατατάσσουµε σε οµάδες, ανάλογα µε τον αριθµό των 1ων που περιέχουν.

q  Π.χ. F(w,x,y,z) = ∑m(0,1,2,8,10,11,14,15)

Ελαχιστόρος/οι

Αρ. Άσσων Δεκαδικό Δυαδικό

(w,x,y,z)

0 0000 0 1 0001

2 0010 1 8 1000

10 1010 2 11 1011 3 14 1110 15 1111 4

Βήµα 1


1ο Μέρος: Προσδιορισµός ΟΛΩΝ των PIs q  Βήµα 2: Συνδυάζουµε όρους που διαφέρουν µόνο κατά µία µεταβλητή. Σηµειώνουµε µε X τους όρους του προηγούµενου βήµατος που συµµετέχουν τουλάχιστον σε ένα συνδυασµό.

q  Π.χ. F(w,x,y,z) = ∑m(0,1,2,8,10,11,14,15)



(w,x,y,z)

x 0 0000 0 x 1 0001 x 2 0010 1 x 8 1000 x 10 1010 2 x 11 1011 3 x 14 1110 x 15 1111 4

Βήµα 1



(w,x,y,z)

0, 1 000- 0

0,2 00-0 0,8 -000

2,10 -010

1 8,10 10-0 10,11 101-

2 10,14 1-10 11,15 1-11

3 14,15 111-

Βήµα 2


1ο Μέρος: Προσδιορισµός ΟΛΩΝ των PIs q  Βήµα 3: Επαναλαµβάνουµε το Βήµα 2, µέχρι να µην µπορεί να γίνει κανένας συνδυασµός όρων.

q  Π.χ. F(w,x,y,z) = ∑m(0,1,2,8,10,11,14,15)



(w,x,y,z)

X 0 0000 0 X 1 0001

X 2 0010 1 X 8 1000

X 10 1010 2 X 11 1011 3 X 14 1110 X 15 1111 4

Βήµα 1



(w,x,y,z)

0, 1 000- 0

X 0,2 00-0 X 0,8 -000

X 2,10 -010

1 X 8,10 10-0 X 10,11 101-

2 X 10,14 1-10 X 11,15 1-11

3 X 14,15 111-

Βήµα 2



(w,x,y,z)

0,2,8,10 -0-0

0 0,8,2,10 -0-0

1 10,11,14,15 1-1-

2 10,14,11,15 1-1-

Βήµα 3


1ο Μέρος: Προσδιορισµός ΟΛΩΝ των PIs q  Βήµα 4: Κρατούµε ΟΛΟΥΣ τους όρους που ΔΕΝ έχουν σηµειωθεί µε X == ΟΛΟΙ οι PIs

q  Π.χ. F(w,x,y,z) = ∑m(0,1,2,8,10,11,14,15) = w’x’y’+x’z’+wy



(w,x,y,z)

� 0 0000 0 � 1 0001

� 2 0010 1 � 8 1000

� 10 1010 2 � 11 1011 3 � 14 1110 � 15 1111 4

Βήµα 1



(w,x,y,z)

0, 1 000- 0

� 0,2 00-0 � 0,8 -000 � 2,10 -010

1 � 8,10 10-0 � 10,11 101-

2 � 10,14 1-10 � 11,15 1-11

3 � 14,15 111-

Βήµα 2



(w,x,y,z)

0,2,8,10 -0-0

0 0,8,2,10 -0-0

1 10,11,14,15 1-1-

2 10,14,11,15 1-1-

Βήµα 3


2ο Μέρος: Επιλογή Eλάχιστου Aριθµού PIs

q  Βήµα 1: Δηµιουργία Πίνακα των Prime Implicants

q  Π.χ. F(w,x,y,z) = ∑m(0,1,2,8,10,11,14,15) µε PIs = w’x’y’+x’z’+wy (από το 1ο Μέρος)

Ελαχιστόροι στον PI

PIs Ελαχιστόροι wxyz 0 1 2 8 10 11 14 15

0,1 000- � �

0,2,8,10 -0-0 � � � � 10,11,14,15 1-1- � � � �



q  Βήµα 2: Προσδιορισµός Essential Prime Implicants

q  Π.χ. F(w,x,y,z) = ∑m(0,1,2,8,10,11,14,15)



0,1 000- � �

0,2,8,10 -0-0 � � � � 10,11,14,15 1-1- � � � �

� � � � � �

Ο ελαχιστόρος 1 καλύπτεται µόνο µία φορά, από τον PI 000- = w’x’y’

Essential PIs = w’x’y’+x’z’+wy



q  Βήµα 3: Σηµειώνουµε µε � όσους ελαχιστόρους καλύπτονται από τους Essential PIs

q  Π.χ. F(w,x,y,z) = ∑m(0,1,2,8,10,11,14,15)



0,1 000- � �

0,2,8,10 -0-0 � � � � 10,11,14,15 1-1- � � � �

�

� � � � � � �





q  Βήµα 4: Για όσους ελαχιστόρους έχουν µείνει ακάλυπτοι, βρίσκουµε τον µικρότερο αριθµό από PIs που µπορεί να τους καλύψει

q  Π.χ. F(w,x,y,z) = ∑m(0,1,2,8,10,11,14,15)



0,1 000- � �

0,2,8,10 -0-0 � � � � 10,11,14,15 1-1- � � � �

�

� � � � � � �




Παράδειγµα – Μέρος 1ο

q F(w,x,y,z) = ∑m(1,4,6,7,8,9,10,11,15)



(w,x,y,z)

� 1 0001 � 4 0100 1 � 8 1000 � 6 0110

2 � 9 1001 � 10 1010 � 7 0111

3 � 11 1011 � 15 1111 4

Βήµα 1



(w,x,y,z)

1,9 -001

1

4,6 01-0 � 8,9 100- � 8,10 10-0

6,7 011- 2 � 9,11 10-1

� 10,11 101- 7,15 -111

3 11,15 1-11

Βήµα 2



(w,x,y,z)

8,9,10,11 10--

1 8,10,9,11 10--

2 3

Βήµα 3



q F(w,x,y,z) = ∑m(1,4,6,7,8,9,10,11,15)



(w,x,y,z)

� 1 0001 � 4 0100 1 � 8 1000 � 6 0110

2 � 9 1001 � 10 1010 � 7 0111

3 � 11 1011 � 15 1111 4

Βήµα 1



(w,x,y,z)

1,9 -001

1

4,6 01-0 � 8,9 100- � 8,10 10-0

6,7 011- 2 � 9,11 10-1

� 10,11 101- 7,15 -111

3 11,15 1-11

Βήµα 2



(w,x,y,z)

8,9,10,11 10--

1 8,10,9,11 10--

2 3

Βήµα 3

Υπάρχουν 6 PIs



q PIs = {(1,9), (4,6), (6,7), (7,15), (11,15), (8,9,10,11)} = {x’y’z, w’xz’, w’xy, xyz, wyz, wx’}


PIs Ελαχιστόροι

wxyz 1 4 6 7 8 9 10 11 15 1,9 x’y’z � �

4,6 w’xz’ � �

6,7 w’xy � �

7,15 xyz � �

11,15 wyz � �

8,9,10,11 wx’ � � � �

� � � �

� � �

Κάνουν τον PI essential Καλύπτονται από EPI Καλύπτονται από όχι EPI






wxyz 1 4 6 7 8 9 10 11 15 1,9 x’y’z � �

4,6 w’xz’ � �

6,7 w’xy � �

7,15 xyz � �

11,15 wyz � �

8,9,10,11 wx’ � � � �

� � � � � � �

� � �


EPIs






wxyz 1 4 6 7 8 9 10 11 15 1,9 x’y’z � �

4,6 w’xz’ � �

6,7 w’xy � �

7,15 xyz � �

11,15 wyz � �

8,9,10,11 wx’ � � � �

� � � � � � � � � � � �


EPIs

F(w,x,y,z) = x’y’z + w’xz’ + wx’ + xyz


Μέθοδος Κατάταξης σε Πίνακα

q Υποστηρίζει και συνθήκες αδιαφορίας (don’t care terms) ● Οι αδιάφοροι όροι λαµβάνονται υπόψη στο 1ο µέρος, όπου παράγονται όλοι οι PI

● Δεν περιλαµβάνονται στον 2ο µέρος, αφού οι αδιάφοροι όροι δεν είναι ανάγκη να καλυφθούν

q Π.χ. f(a,b,c,d) = ∑m(1,2,4,5,6,8,9) και f(a,b,c,d) = ∑d(10,11,14,15)


ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Q-M Method (I)

∑= 30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,

q Transform the given Boolean function into a canonical SOP function

q Convert each Minterm into binary format

q Arrange each binary minterm in groups ● All the minterms in one group contain the same number of

“1”


Q-M Method: Grouping minterms ∑= 30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,

(29) 1 1 1 0 1 (30) 1 1 1 1 0

(2) 0 0 0 1 0 (4) 0 0 1 0 0 (8) 0 1 0 0 0 (16) 1 0 0 0 0

A B C D E (0) 0 0 0 0 0

(6) 0 0 1 1 0 (10) 0 1 0 1 0 (12) 0 1 1 0 0 (18) 1 0 0 1 0 (7) 0 0 1 1 1 (11) 0 1 0 1 1 (13) 0 1 1 0 1 (14) 0 1 1 1 0 (19) 1 0 0 1 1


Q-M Method (II) q Combine terms with Hamming distance=1 from adjacent

groups

q Check (�) the terms being combined ●  The checked terms are “covered” by the combined new term

q Keep doing this till no combination is possible between adjacent groups


Q-M Method: Grouping minterms

A B C D E �

�

(0,2) 0 0 0 – 0

�

(0,4) 0 0 - 0 0 (0,8) 0 - 0 0 0

�

(0,16) - 0 0 0 0 �

(2,6) 0 0 - 1 0 � (2,10) 0 - 0 1 0

�

(2,18) - 0 0 1 0 (4,6) 0 0 1 - 0 (4,12) 0 - 1 0 0 (8,10) 0 1 0 - 0 (8,12) 0 1 - 0 0 (16,18) 1 0 0 - 0

(6,7) 0 0 1 1 - (6,14) 0 - 1 1 0 (10,11) 0 1 0 1 - (10,14) 0 1 - 1 0 (12,13) 0 1 1 0 - (12,14) 0 1 1 - 0 (18,19) 1 0 0 1 -

(13,29) - 1 1 0 1 (14,30) - 1 1 1 0

A B C D E (0,2,4,6) 0 0 - – 0

�

(0,2,8,10) 0 - 0 – 0

�

(0,2,16,18) - 0 0 – 0

�

(0,4,8,12) 0 - - 0 0

� �

(2,6,10,14) 0 - - 1 0

�

(4,6,12,14) 0 - 1 - 0

�

(8,10,12,14) 0 1 - - 0

�

A B C D E (0,2,4,6 0 - - - 0 8,10,12,14)

�

�

�

�

�

�

∑= 30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,


Prime Implicants

∑= 30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,

(6,7) 0 0 1 1 -

(10,11) 0 1 0 1 -

(12,13) 0 1 1 0 -

(18,19) 1 0 0 1 -

(13,29) - 1 1 0 1

(14,30) - 1 1 1 0 (0,2,16,18) - 0 0 – 0 (0,2,4,6 0 - - - 0 8,10,12,14)

A B C D E

•  Unchecked terms are prime implicants


Prime Implicants

∑= 30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,

CDBA=DCBA=

(6,7) 0 0 1 1 -

(10,11) 0 1 0 1 -

(12,13) 0 1 1 0 -

(18,19) 1 0 0 1 -

(13,29) - 1 1 0 1

(14,30) - 1 1 1 0 (0,2,16,18) - 0 0 – 0 (0,2,4,6 0 - - - 0 8,10,12,14)

A B C D E

•  Unchecked terms are prime implicants

DBCA=DCBA=EDBC=EBCD=ECB=EA=


Q-M Method (III) q Form a Prime Implicant Table

●  X-axis: the minterm ●  Y-axis: prime implicants

q An � is placed at the intersection of a row and column if the corresponding prime implicant includes the corresponding product (term)


Q-M Method: Prime Implicant Table

0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30

(6,7) X X

(10,11) X X

(12,13) X X

(18,19) X X

(13,29) X X

(14,30) X X

(0,2,16,18) X X X X

(0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X

∑= 30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,


Q-M Method (IV)

q  Locate the essential row from the table ●  These are essential prime implicants ●  The row consists of minterms covered by a single “�”

q Mark all minterms covered by the essential prime implicants

q Find non-essential prime implicants to cover the rest of minterms

q Form the SOP function with the prime implicants selected, which is the minimal representation


Q-M Method

0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30

(6,7) X X

(10,11) X X

(12,13) X X

(18,19) X X

(13,29) X X

(14,30) X X

(0,2,16,18) X X X X

(0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X

∑= 30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,


Q-M Method

0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30

(6,7) X X

(10,11) X X

(12,13) X X

(18,19) X X

(13,29) X X

(14,30) X X

(0,2,16,18) X X X X

(0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X

∑= 30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,

•  Select (0,2,4,6,8,10,12,14)


Q-M Method

0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30

(6,7) X X

(10,11) X X

(12,13) X X

(18,19) X X

(13,29) X X

(14,30) X X

(0,2,16,18) X X X X

(0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X

∑= 30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,

•  Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7)


Q-M Method

0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30

(6,7) X X

(10,11) X X

(12,13) X X

(18,19) X X

(13,29) X X

(14,30) X X

(0,2,16,18) X X X X

(0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X

∑= 30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,

•  Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11)


Q-M Method

0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30

(6,7) X X

(10,11) X X

(12,13) X X

(18,19) X X

(13,29) X X

(14,30) X X

(0,2,16,18) X X X X

(0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X

∑= 30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,

•  Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18)


Q-M Method

0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30

(6,7) X X

(10,11) X X

(12,13) X X

(18,19) X X

(13,29) X X

(14,30) X X

(0,2,16,18) X X X X

(0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X

∑= 30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,

•  Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19)


Q-M Method

0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30

(6,7) X X

(10,11) X X

(12,13) X X

(18,19) X X

(13,29) X X

(14,30) X X

(0,2,16,18) X X X X

(0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X

∑= 30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,

•  Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19), (13,29)


Q-M Method

0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30

(6,7) X X

(10,11) X X

(12,13) X X

(18,19) X X

(13,29) X X

(14,30) X X

(0,2,16,18) X X X X

(0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X

∑= 30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,

•  Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19), (13,29), (14,30) •  Now all the minterms are covered by selected prime implicants !


Q-M Method

0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30

(6,7) X X

(10,11) X X

(12,13) X X

(18,19) X X

(13,29) X X

(14,30) X X

(0,2,16,18) X X X X

(0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X

∑= 30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,

•  Select (0,2,4,6,8,10,12,14), (6,7), (10,11), (0,2,16,18), (18,19), (13,29), (14,30) •  Now all the minterms are covered by selected prime implicants ! •  Note that (12,13), a non-essential prime implicant, is not needed


Q-M Method Result

0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30

(6,7) X X

(10,11) X X

(12,13) X X

(18,19) X X

(13,29) X X

(14,30) X X

(0,2,16,18) X X X X

(0,2,4,6,8,10,12,14) X X X X X X X X

EAECBEBCDEDBCDCBADCBACDBA

,10,12,14)(0,2,4,6,8 )(0,2,16,18(14,30)(13,29)(18,19)(10,11)(6,7)

30) 29, 19, 18, 16, 14, 13, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, m(0,E)D,C,B,F(A,

++++++=

++++++=

=∑


Q-M Method Example 2

q Sometimes, simplification by K-map method could be less than optimal due to human error

q Quine-McCluskey method can guarantee an optimal answer

d(5,7,14)12) 10, 9, 8, 6, 4, 1, m(0,F +=∑

00 01 11 10

00 1 1 0 0

01 1 X X 1

11 1 0 0 X

10 1 1 0 1

AB CD


Grouping minterms

(1) 0 0 0 1 (4) 0 1 0 0 (8) 1 0 0 0

A B C D (0) 0 0 0 0

(5) 0 1 0 1 (6) 0 1 1 0 (9) 1 0 0 1 (10) 1 0 1 0 (12) 1 1 0 0

(7) 0 1 1 1 (14) 1 1 1 0

d(5,7,14)12) 10, 9, 8, 6, 4, 1, m(0,F +=∑

A B C D (0,1) 0 0 0 - (0,4) 0 - 0 0 (0,8) - 0 0 0 �

�

�

�

(1,5) 0 - 0 1 (1,9) - 0 0 1 (4,5) 0 1 0 – (4,6) 0 1 – 0 (4,12) – 1 0 0 (8,9) 1 0 0 – (8,10) 1 0 – 0 (8,12) 1 – 0 0

�

�

�

�

�

(5,7) 0 1 - 1 (6,7) 0 1 1 - (6,14) - 1 1 0 (10,14) 1 – 1 0 (12,14) 1 1 - 0

� �

A B C D

(4,5,6,7) 0 1 - - (4,6,12,14) - 1 - 0 (8,10,12,14) 1 - - 0

�

�

�

�

�

�

�

(0,1,4,5) 0 - 0 - (0,1,8,9) - 0 0 – (0,4,8,12) - - 0 0

�

�

�

�

�

�

�

�

�


Prime Implicants

d(5,7,14)12) 10, 9, 8, 6, 4, 1, m(0,F +=∑ A B C D

(4,5,6,7) 0 1 - - (4,6,12,14) - 1 - 0 (8,10,12,14) 1 - - 0

(0,1,4,5) 0 - 0 - (0,1,8,9) - 0 0 – (0,4,8,12) - - 0 0

0 1 4 6 8 9 10 12 5 7 14

(0,1,4,5) X X X X

(0,1,8,9) X X X X

(0,4,8,12) X X X X

(4,5,6,7) X X X X

(4,6,12,14) X X X X

(8,10,12,14) X X X X

Don’t Care


Prime Implicants

d(5,7,14)12) 10, 9, 8, 6, 4, 1, m(0,F +=∑ A B C D

(4,5,6,7) 0 1 - - (4,6,12,14) - 1 - 0 (8,10,12,14) 1 - - 0

(0,1,4,5) 0 - 0 - (0,1,8,9) - 0 0 – (0,4,8,12) - - 0 0

0 1 4 6 8 9 10 12 5 7 14

(0,1,4,5) X X X X

(0,1,8,9) X X X X

(0,4,8,12) X X X X

(4,5,6,7) X X X X

(4,6,12,14) X X X X

(8,10,12,14) X X X X

Don’t Care

Essential PI

Essential PI

Non-Essential PI


Q-M Method Solution

0 1 4 6 8 9 10 12 5 7 14

(0,1,4,5) X X X X

(0,1,8,9) X X X X

(0,4,8,12) X X X X

(4,5,6,7) X X X X

(4,6,12,14) X X X X

(8,10,12,14) X X X X

A B C D

(4,5,6,7) 0 1 - - (4,6,12,14) - 1 - 0 (8,10,12,14) 1 - - 0

(0,1,4,5) 0 - 0 - (0,1,8,9) - 0 0 – (0,4,8,12) - - 0 0

Don’t Care

BADA CB

d(5,7,14)12) 10, 9, 8, 6, 4, 1, m(0,F

++=

+=∑


Yet Another Q-M Method Solution

0 1 4 6 8 9 10 12 5 7 14

(0,1,4,5) X X X X

(0,1,8,9) X X X X

(0,4,8,12) X X X X

(4,5,6,7) X X X X

(4,6,12,14) X X X X

(8,10,12,14) X X X X

A B C D

(4,5,6,7) 0 1 - - (4,6,12,14) - 1 - 0 (8,10,12,14) 1 - - 0

(0,1,4,5) 0 - 0 - (0,1,8,9) - 0 0 – (0,4,8,12) - - 0 0

Don’t Care

DB DA CB

d(5,7,14)12) 10, 9, 8, 6, 4, 1, m(0,F

++=

+=∑


K-Map – Ισοδύναµη µέθοδος

BADA CB

d(5,7,14)12) 10, 9, 8, 6, 4, 1, m(0,F

++=

+=∑

00 01 11 10

00 1 1 0 0

01 1 X X 1

11 1 0 0 X

10 1 1 0 1

AB CD

00 01 11 10

00 1 1 0 0

01 1 X X 1

11 1 0 0 X

10 1 1 0 1

AB CD

DB DA CB

d(5,7,14)12) 10, 9, 8, 6, 4, 1, m(0,F

++=

+=∑

ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ … · 10 1010 2 11 1011 3 14...

Documents

Transcript of ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ … · 10 1010 2 11 1011 3 14...