ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ' ΣΑΞΖ

ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β΄)

ΠΑΡΑΚΔΤΖ 30 ΜΑΪΟΤ 2014

ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΗ ΣΟΗΥΔΗΑ

ΣΑΣΗΣΗΚΖ

ΑΠΑΝΣΖΔΗ

ΘΔΜΑ Α

Α1. Απόδεημε ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει.30

Α2. Θεωξία ζρνιηθό ζει. 13

Α3. Θεωξία ζρνιηθό ζει. 59

Α4. α. ωζηό

β. Λάθος

γ. Λάθος

δ. Λάθος

ε. ωζηό

ΘΔΜΑ Β

B1.

Δίλαη 1 2 3 4 6 8 12 14 40

Β2. Έρνπκε

11

120,3

40f

, 2

2

80,2

40f

, 3

3

140,35

40f

, 4

4

60,15

40f

Κλάζεις Κενηρικές ηιμές στνόηηηα τεηική

ζστνόηηηα

xiνi

[2,4) 3 12 0,3 36

[4,6) 5 8 0,2 40

[6,8) 7 14 0,35 98

[8,10) 9 6 0,15 54

ύνολο 40 1 228

B3.

α) Η κέζε ηηκή ηζνύηαη κε 4

1

1 2285,7

40i i

i

x x

ρηιηάδεο επξώ

β) Οη παξαηεξήζεηο θάζε θιάζεο είλαη νκνηόκνξθα θαηαλεκεκέλεο. Δπνκέλωο ζηε

θιάζε [4,6) αληηζηνηρνύλ 8 παξαηεξήζεηο θαη έζηω ζηε θιάζε [4,5 , 6) αληηζηνηρνύλ

x παξαηεξήζεηο. Τόηε 2 8

2 12 61,5

x xx

.

Δπνκέλωο νη πωιεηέο πνπ έθαλαλ πωιήζεηο ηνπιάρηζηνλ 4.5 ρηιηάδωλ επξώ είλαη

6+14+6=26 πωιεηέο.

ΘΔΜΑ Γ

Γ1. Η ζπλάξηεζε 3 274 1

2f x x x x είλαη παξαγωγίζηκε κε παξάγωγν

212 7 1f x x x . Λύλνπκε ηελ εμίζωζε 20 12 7 1 0f x x x (1).

Δίλαη 1 0 . Δπνκέλωο ε εμίζωζε (1) έρεη δύν πξαγκαηηθέο θαη άληζεο ξίδεο ηηο

1 2

7 1 1 7 1 1

24 4 24 3x ή x

( 1 2x x ).

Η κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο βξίζθνληαη από ηνλ πίλαθα πνπ

αθνινπζεί,

x 14

13

f x + - +

f x

0 0

Η ζπλάξηεζε f παξνπζηάδεη ηνπηθό κέγηζην ζηε ζέζε 1

1

4x θαη ηνπηθό ειάρηζην ζηε

ζέζε 2

1

3x .

Δπνκέλωο είλαη 1

1

4P K x θαη 2

1

3P A x

Γ2. Οη δεηνύκελεο πηζαλόηεηεο είλαη,

Τα ελδερόκελα Α θαη Κ είλαη αζπκβίβαζηα άξα

7

12P P K A P K P A

5

112

P P K A P K A

Δπεηδή ην ελδερόκελν Γ είλαη ε κπάια πνπ επηιέγεηαη λα κελ είλαη θόθθηλε νύηε

άζπξε, απηό ζεκαίλεη ζα είλαη πξάζηλε επνκέλωο, 5

12P P

Δίλαη,

1P P P P P P P P P

5 7

1 ( ) 1 112 12

P P P P P

Γ3.

: 4 4 1 5 44 48

3 12P P

ΘΔΜΑ Γ

Γ1. Δίλαη x dm ε κία πιεπξά θαη έζηω y dm ε άιιε πιεπξά ηεο βάζεο ηνπ νξζνγωλίνπ.

ηόηε 2 2 20 10 10x y x y y x (1).

Δπνκέλωο ην εκβαδόλ επηθάλεηαο ηνπ θνπηηνύ ηζνύηαη κε

1

210 10 10 10 10 10 10 10 100E x y xy x y x x x x x x

Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε 2 10 100, 0 10E x x x x

Η ζπλάξηεζε 2 10 100E x x x είλαη παξαγωγίζηκε κε παξάγωγν

2 10E x x . Λύλνπκε ηελ εμίζωζε 0 2 10 0 5E x x x .

Η κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο βξίζθνληαη από ηνλ πίλαθα πνπ

αθνινπζεί,

x 0 5 10

E x + -

E x

Δπνκέλωο ην θνπηί έρεη κέγηζηε επηθάλεηα γίλεηαη κέγηζην γηα 5x dm

Γ2.

α) Λύλνπκε ηελ εμίζωζε 2 5 2 0s s (2)

Δίλαη 9 0 . Δπνκέλωο ε εμίζωζε (2) έρεη δύν πξαγκαηηθέο θαη άληζεο ξίδεο ηηο

5 3 5 3 12

4 4 2s ή s

.

Αλ 2s ηόηε ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο ηζνύηαη κε 2 1 1

8 4 10

sCV

x δεθηή

δηόηη ην δείγκα δελ είλαη νκνηνγελέο.

Αλ 1

2s ηόηε ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο ηζνύηαη κε

11 12

8 16 10

sCV

x

απνξξίπηεηαη δηόηη ην δείγκα είλαη νκνηνγελέο ζε απηή ηε πεξίπηωζε.

β) Ο ηύπνο ηεο δηαθύκαλζεο γίλεηαη,

2 2 2

2 2

1 12 2 2 21 1 1

21

1i ii i i

i ii i ii

i

t tt t t

s t x x

Οπόηε 2 2 2 4 64 68x s x

Γ3. Η ζπλάξηεζε E(x) από ην πίλαθα κνλνηνλίαο πξνθύπηεη όηη είλαη γλεζίωο θζίλνπζα.

Οπόηε αθνύ 1 2 155 ..... 9x x x ηζρύεη 25 ...... 9E E x E . Άξα ην εύξνο

ηωλ i iy E x ηζνύηαη κε 5 9 125 109 16R E E .

Οπόηε ιύλνπκε ηελ αλίζωζε

2 24 9 1 10 100 4 144 1 14 45 0E x x R x x x x x . Δπνκέλωο

5 9x .

Άξα ην ελδερόκελν Β είλαη ην 2 2 3 3 14 14, , , ,......, ,x y x y x y . Δπνκέλωο ζύκθωλα

κε ηνλ θιαζηθό νξηζκό ηεο πηζαλόηεηαο είλαη

13

15P

0