θεματα πανελλαδικων παραγωγοι

www.askisopolis.gr

1

Θέματα Πανελλαδικών 2000 -2015 στις Παραγώγους

Εφαπτομένη

1. Έστω η συνάρτηση f : 1, με f x 2000 ln x 1 . Έστω c > 2000 και έστω ότι η

ευθεία y = c και η Cf τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου. Να αποδείξετε ότι

οι εφαπτόμενες της Cf στα Α και Β είναι κάθετες μεταξύ τους.

(2000)

2. Έστω η συνάρτηση

2

1 x, x 1f x

x 1 , x 1

.

α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι:

i. συνεχής στο 0x 1 ii. παραγωγίσιμη στο 0x 1

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 2,1

(Εσπερινά 2008)

3. Δίνεται η συνάρτηση f : α,β με α 0 β , η οποία είναι συνεχής στο α,β και

παραγωγίσιμη στο α,β . Αν ισχύει f α 5β και f β 5α , να αποδείξετε ότι:

α) Η εξίσωση f x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο α,β .

β) Υπάρχει σημείο M ξ,f ξ στο οποίο η εφαπτομένη της fC είναι κάθετη στην ευθεία

ε : x 5y 2010 0 .

γ) Η συνάρτηση f παίρνει την τιμή 5

α β2

. (Εσπερινά 2010)

4. Δίνεται η συνάρτηση f : , με

3

2

x α, x 1f x

x β , x 1

α,β . η οποία είναι συνεχής

στο 0x 1 .

α) Να αποδείξετε ότι 2β 2β α και ότι α 1 .

β) Αν 1 α 1 , να αποδείξετε η εξίσωση f x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα

1,1 .

γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 1 , να βρείτε τα α και β.

δ) Αν 5

α4

και 1

β2

να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο

1,f 1 (Ε 2012)

Θ.Rolle – Θ.Μ.T.– Συνέπειες Θ.Μ.Τ

5. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0,1 και ισχύει f x 0 για κάθε x 0,1 .Αν

f 0 2 και f 1 4 , να δείξετε ότι:

α) Η ευθεία y 3 τέμνει τη fC σ΄ ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη 0x 0,1 .

β) υπάρχει 1x 0,1 , τέτοιο ώστε 1

1 2 3 4f f f f

5 5 5 5f x

4

www.askisopolis.gr

2

γ) υπάρχει 2x 0,1 , τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο 2 2M x ,f x να

είναι παράλληλη στην ευθεία y 2x 2000 . (2000)

6. Έστω η συνάρτηση f : α,β η οποία είναι συνεχής στο α,β , παραγωγίσιμη στο α,β και

f α 2β , f β 2α .

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 2x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο α,β .

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2ξ ,ξ α,β τέτοια ώστε : 1 2f ξ f ξ 4 . (2001)

7. Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με f x 0 για κάθε x .

α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.

β) Αν η Cf διέρχεται από τα σημεία A 1,2005 και B 2,1 , να λύσετε την εξίσωση

1 2f 2004 f x 8 2 .

γ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της fC , στο οποίο η εφαπτομένη

είναι κάθετη στην ευθεία ε: 1

y x 2005668

. (2005)

8. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με f 0 0 για την οποία ισχύει ότι:

f x xf x ημx για κάθε x .

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g x xf x συνx είναι σταθερή στο .

β) Να αποδείξετε ότι 1 συνx

f xx

, x 0 .

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1 συνx x ημx έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο π 3π

,2 2

.

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ 0,π τέτοιο, ώστε

2

2

2ξημξ συνξ 1 ξ

π . (2011)

Μονοτονία - Ακρότατα

9. Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση f : τέτοια, ώστε: 2 x2xf x x 1 f x e για

κάθε x με f 0 1 .

α) Να αποδείξετε ότι x

2

ef x ,x

x 1

β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f. (2000)

10.Tη χρονική στιγμή t0 χορηγείται σ΄ έναν ασθενή ένα φάρμακο. Η συγκέντρωση του φαρμάκου

στο αίμα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση 2

αtf t ,t 0,α,β

t1

β

και t ο χρόνος

σε ώρες. Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ίση με 15 μονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες

μετά τη χορήγηση του φαρμάκου.

α) Να βρείτε τις τιμές των α, β.

www.askisopolis.gr

3

β) Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της

συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με 12 μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα

που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά. (2000)

11. Φάρμακο χορηγείται σε ασθενή για πρώτη φορά. Έστω f t η συνάρτηση που περιγράφει τη

συγκέντρωση του φαρμάκου στον οργανισμό του ασθενούς μετά από χρόνο t από τη χορήγησή

του, όπου t 0 . Αν ο ρυθμός μεταβολής της f t είναι 8

2t 1

α) Να βρείτε τη συνάρτηση f t .

β) Σε ποια χρονική στιγμή t, μετά τη χορήγηση του φαρμάκου, η συγκέντρωση του στον

οργανισμό γίνεται μέγιστη;

γ) Να δείξετε ότι κατά τη χρονική στιγμή t 8 υπάρχει ακόμα επίδραση του φαρμάκου

στον οργανισμό, ενώ πριν τη χρονική στιγμή t 10 η επίδρασή του στον οργανισμό

έχει μηδενιστεί. (Δίνεται ln11 2,4 ) (2000)

12. Για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών , ισχύει

ότι: 3 2 3 2f x βf x γf x x 2x 6x 1 για κάθε x ,

όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί με 2β 3γ .

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα.

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης ( ) 0 στο ανοικτό διάστημα (0,1).

(2001)

13.α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 3f x x 2x 1 ημ2x ,x , είναι γνησίως

αύξουσα.

β) Η εξίσωση 3x 2x 1 ημ2x έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα 0,1 . (2001)

14.Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το .Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog

είναι 1-1.

α) Να δείξετε ότι η g είναι 1-1.

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση: 3g f x x x g f x 2x 1 έχει ακριβώς δύο θετικές και

μία αρνητική ρίζα. (2002)

15. Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι

σχέσεις: f x f 2 x και f x 0 για κάθε x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη .

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα.

γ) Έστω η συνάρτηση

f xg x

f x

.Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης

της g στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα x΄x, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45ο .

(2003)

16. Δίνεται η συνάρτηση 2kx x

f x4

, x , της οποίας η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης στο σημείο O 0,0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 1 .

α) Να αποδείξετε ότι k 4 .

β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ολικό μέγιστο, το οποίο και να βρείτε.

γ) Να αποδείξετε ότι στο διάστημα 2,4 υπάρχει μοναδικό σημείο ξ , στο οποίο η

www.askisopolis.gr

4

εφαπτομένη της f είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, όπου A 2,f 2 και B 4,f 4 .


17. Δίνεται η συνάρτηση f x x ln x 1 x 1 ln x , x > 0.

α) i. Να αποδείξετε ότι: 1

ln x 1 ln xx

, x > 0.

ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, .

β) Να υπολογίσετε το x

1lim x ln 1

x

γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός α 0, τέτοιος ώστε α α 1α 1 α .

(2006)

18. ∆ίνεται η συνάρτηση x 1

f x ln xx 1

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς 2 ρίζες στο πεδίο ορισμού της.

γ) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g x ln x στο σημείο

A α,ln α με α 0 και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

xh x e στο σημείο βB β,e με β ταυτίζονται, τότε να δείξετε ότι ο αριθμός α

είναι ρίζα της εξίσωσης f x 0 .

δ) Να αιτιολογήσετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h έχουν

ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες. (2006)

19. Για κάθε k δίνεται η συνάρτηση 3 2f x 2x kx 10 ,x

α) Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης f στο σημείο Α(1,f(1)) είναι παράλληλη στον άξονα x ΄x.

β) Για k = 3

i. να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

ii. να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα ,0 .

iii. για κάθε α 14,15 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = α – 5 έχει ακριβώς μία

λύση στο διάστημα 0,1 . (Εσπερινά 2006)

20. Δίνεται μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει:

3 3 2f x f x 8x 12x 8x 2 για κάθε x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει μία μόνο ρίζα στο 0,1 .

γ) Αν για τη συνάρτηση g : ισχύει ότι 2f g x 3x f x 2 , για κάθε x ,

να βρείτε το 0x στο οποίο η g παρουσιάζει ελάχιστο. (Εσπερινά 2007)

21. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει xf x x 2ημx για κάθε x 0 .

α) Να βρείτε το f 0 .

β) Να αποδείξετε ότι f x 3 για κάθε π

x 0,2

.

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 2 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο π

,π2

.


www.askisopolis.gr

5

22. Δίνεται η συνάρτηση 1

f x ln x4x

, x 0 .

α) Να αποδείξετε ότι 5

1f 0

e

,

1f 0

4

και 5f e 0 .

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο

M 1,f 1 .

γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες στο 0, .

(Ομογενείς 2007)

23. Δίνεται η συνάρτηση 3 2f x x λx 3x 1 , λ,x .

α) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0x 1 , να βρείτε την τιμή του λ.

β) Για λ 0


ii. να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που είναι

παράλληλες στην ευθεία y 9x .

iii. να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x x 0 , έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο

διάστημα 0,1 . (Εσπερινά 2009)

24. Δίνεται η συνάρτηση 3f x x 3x συνx 2 , x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο .

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα 0,π .

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2f x 8 f 6x .

δ) Να βρείτε το όριο

x 0

f x 1lim

x


25. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 3 9 x .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

β) Να βρείτε την παράγωγο της f:

i. στο διάστημα 3,3 . ii. στο 0x 3 .

γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.

δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f. (Εσπερινά 2010)


α 1f x

x x β

, όπου α,β ακέραιοι αριθμοί. Η γραφική παράσταση

της f στο σημείο της 5

A 2,12

δέχεται εφαπτομένη της οποίας ο συντελεστής διεύθυνσης είναι

5

18.

α) Να αποδείξετε ότι α 1 και β 4 .

β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 3 2kx 1 4k x x 4 0 (1) είναι ισοδύναμη με την

f x k , k και στη συνέχεια να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης (1) για

τις διάφορες τιμές του k . (Εσπερινά 2011)

www.askisopolis.gr

6

27.Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύουν:

f x 2 ,

2x 0

f x ημxlim 2

x x

και f 1 f 0

α) Να αποδείξετε ότι 0 0 και 1 3- .

β) Αν η 2

α 1 , x και α ικανοποιεί τις υποθέσεις του

θεωρήματος Rolle στο διάστημα 0,1 , να βρείτε τον αριθμό α.

γ) Για α 1 να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο ξ 0,1 τέτοιο ώστε

΄ ξ 2 ξ 1 -

δ) Για α 1 να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο ξ του προηγούμενου

ερωτήματος. (Εσπερινά 2012)

28. Θεωρούμε τη συνάρτηση f : με τύπο 2f x x x x 1 . Να αποδείξετε ότι:

α) Η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη.

β)Η εξίσωση 3f x x 1 f 2 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα 1,3 .

γ) Να εξετάσετε αν για τη συνάρτηση f ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης

Τιμής στα διαστήματα 1,2 , 2,3 και 1,3 και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχουν

1 2ξ 1,2 , ξ 2,3 και ξ 1,3 τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση: 1 22f ξ f ξ f ξ .


29. Έστω f : μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

2

2

xf xx 1f x 1 0

x 1

για κάθε χ και f 0 0 .

α) Να βρείτε την f.

β) Αν 2

xf x

x 1

, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 3 2f x 1 f 3x 2x 3x έχει μία τουλάχιστον ρίζα

στο 0,1 και μια τουλάχιστον ρίζα στο 1,4 .

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 24x 9x 4x 3 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο 0,4 .

(Επ. Εσπερινά 2013)


f x x 3 x 1 , x .

α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα και τα διαστήματα στα οποία η

f είναι γνησίως φθίνουσα.

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f η οποία:

i. είναι παράλληλη προς την ευθεία y 4x 3 και

ii. η τετμημένη του σημείου επαφής της με τη γραφική παράσταση της f είναι ακέραιος

αριθμός.

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g x x 1 f x , x έχει δύο θέσεις τοπικών

ελαχίστων και μια θέση τοπικού μεγίστου. (Εσπερινά 2014)

31. Δίνεται η συνάρτηση 3f x αx x, x , α 0 .

α) Να υπολογίσετε την τιμή του α, ώστε η ευθεία ε: y 4x 2 να εφάπτεται στη γραφική

παράσταση της f στο σημείο A 1,f 1 .

Στη συνέχεια, για α 1

β) i. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f.

www.askisopolis.gr

7

ii. Να λύσετε στο την ανίσωση 3f x x 10 .

γ) Να υπολογίσετε το όριο 2x 0

f x 1lim ημ

x 1 x

. (Επ. Εσπερινά 2014)


1f x , x

x 1

.

α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

β) Να αποδείξετε ότι 2

f f x2

για κάθε x .

γ) Να υπολογίσετε το όριο

x 0

2f 1 x

2limx

.

δ) Να βρείτε τις εξισώσεις όλων των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που

διέρχονται από το σημείο 3,0 .



2

1f x x , x 0,

x .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, όπου g x f x 2 .

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3

f f x 2, x 0,2

.

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει 1

,12

τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης

της f στο σημείο ,f να διέρχεται από το σημείο 5

0,2

.


Κυρτότητα

34. Έστω η συνάρτηση 3 2 2 2f x x 3x συν2α 2xσυν 2α ημ 2α ,x,α . Να αποδείξετε ότι για

οποιαδήποτε τιμή του α η γραφική παράσταση της f έχει μόνο ένα σημείο καμπής, το οποίο για

τις διάφορες τιμές του α ανήκει σε παραβολή. (2001)

35. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα [α,β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο

(α,β). Αν ισχύει α β 0 και υπάρχουν αριθμοί γ α,β , δ α,β , έτσι ώστε

f γ f δ 0 , να αποδείξετε ότι:

α) Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f x 0 στο διάστημα α,β .

β)Υπάρχουν σημεία 1 2ξ ,ξ α,β τέτοια ώστε 1f ξ 0 και 2f ξ 0 .

γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. (2003)

36. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x ln x .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f, να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και να

βρείτε τα ακρότατα της.

β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της.

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. (2004)

www.askisopolis.gr

8

37. Δίνεται η συνάρτηση x ln x, x 0

f x0, x 0

.

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.

β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

γ) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης α

xx e για όλες

τις τιμές του πραγματικού αριθμού α.

δ)Να αποδείξετε ότι f x 1 f x 1 f x για κάθε x 0 . (2008)

38. Δίνεται η συνάρτηση xf x α ln x 1 , x 1 , α 0 με α 1 .

α) Αν f x 1 για κάθε x 1 , να αποδείξετε ότι α e .

β) Για α e ,

i. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή.

ii. να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 1,0 και γνησίως αύξουσα στο

0, .

iii. αν β,γ 1,0 0, , να αποδείξετε ότι η εξίσωση f β 1 f γ 1

0x 1 x 2

έχει

τουλάχιστον μια ρίζα στο 1,2 . (2009)

39. Δίνεται η συνάρτηση xf x x ln e 1 , x ℝ

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη.

γ) Να αποδείξετε ότι: xf x f x ln 2 , για κάθε x 0, . (Ομογενείς 2011)

40. Έστω η παραγωγίσιμη στο διάστημα 1,1 συνάρτηση f με f 0 3 και η συνάρτηση

2

1g x f x

1 x

, x 1,1 με g(x) βx 3, - x 1,1 ,όπου β .Δίνεται επιπλέον ότι η

παράγωγος f της f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 1,1 .

α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν κοινό

σημείο με τετμημένη x0=0 και κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό.

β) Να δείξετε ότι g 0 β και ότι η κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων

των συναρτήσεων f και g στο κοινό τους σημείο με τετμημένη x0=0 είναι η

y βx 3 .

γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f x β , x 1,1 , έχει μοναδική ρίζα το 0

δ) Να δείξετε ότι f x βx 3 , για κάθε x 1,1 . (Εσπερινά 2012)

41. Δίνεται η συνάρτηση 2x

f x ln x x, x 02

.

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0, και να μελετήσετε την f

ως προς τη κυρτότητα.

β) Να βρείτε έναν θετικό ακέραιο αριθμό α τέτοιο, ώστε στο διάστημα α,α 1 η εξίσωση

4f x 2x f 4 να έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0, την ανίσωση 2xln x 2 2x . Ομογενείς 2013

www.askisopolis.gr

9

42. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν:

xf x 2xe f x για κάθε x και

1f 1 e .


x

xf x , x

e .

β)Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το

διάστημα 0, .

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 x 2x 2e έχει ακριβώς τρείς ρίζες στο σύνολο των

πραγματικών αριθμών.

δ) Δεδομένου ότι η f είναι κυρτή στο διάστημα ,0 , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

της γραφικής παράστασης της f στο σημείο 1,f 1 και να αποδείξετε ότι

f x 2e 3ex 0 για κάθε x 0 .

Ομογενείς 2015

Ασύμπτωτες- De l Hospital

43. Έστω f ,g : συνεχείς συναρτήσεις με f x g x x 4 για κάθε x . Έστω ότι η

ευθεία y 3x 7 είναι ασύμπτωτη της Cf στο .

α) Να βρείτε τα όρια: i.

x

g xlim

x και ii.

2x

g x 3x ημ2xlim

xf (x) 3x 1

β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y 2x 3 είναι ασύμπτωτη της Cg στο . (2000)

44. Έστω η συνάρτηση 2αx βx

f x ,x - 2 ,α,βx 2

.Αν η ευθεία ε: y 2x 1 είναι

ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο , να βρείτε τα α,β. (2001)

45.Δίνεται η συνάρτηση -x 1

x α ,x 1f x ,α

1- e ln x 1 ,x 1,2

.

α) Να υπολογίσετε το όριο x 1

x 1

1 elim

x 1

.

β) Να βρείτε το α ώστε η f να είναι συνεχής στο 0x 1 .

γ) Για α 1 να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 1,2 τέτοια, ώστε η

εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο A ξ,f ξ να είναι

παράλληλη στον άξονα x΄x. (2001)

46. Δίνεται η συνάρτηση

2x , x 0

f x αx β , 0 x 1

1 x ln x, x 1

όπου α,β .

α) Να βρείτε τα α και β έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

β) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β, ισχύει: α 1 και β 0 , τότε:

i. Να υπολογίσετε το

2x

f xlim

x

www.askisopolis.gr

10

ii. Να υπολογίσετε τα όρια:

x 1

f x f 1lim

x 1

,

x 1

f x f 1lim

x 1

(2004)

47. Δίνεται η συνάρτηση 22 α x kx 2

f xx 3

, α,k και x 3 .

α) Αν η ευθεία y x είναι πλάγια ασύμπτωτη της fC στο , να αποδείξετε ότι α 1

και k 3 .

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ 1,2 , στο οποίο η εφαπτομένη της fC

είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο 0x 1 .



3x λ , x 1

4f x

x 8x 4 ,x 1

4x

με λ

α) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x 1 .

β) Για λ 0

i. να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο .

ii. να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο .

(2006)

49. Δίνεται η συνάρτηση

2

2

1 1x , x 2

8 2f x

x 5x 6 , x 2

2 x 1

.

α) Να αποδείξετε ότι η αι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 0x 2 .

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο

M 0,f 0 .

γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία 1

y x 22

είναι ασύμπτωτη της fC στο .


50. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 2ln x , x 0 .

α) Να αποδείξετε ότι f x 1 για κάθε x 0 .

β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

γ) Έστω η συνάρτηση ln x

, x 0f xg x

k, x 0

.

i. Να βρείτε την τιμή του k ώστε η g να είναι συνεχής.

ii. Αν 1

k2

, να αποδείξετε ότι η g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 0,e . (2008)

51. Δίνεται η συνάρτηση 2x 2x k

f xx

, k .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

β) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M 1,f 1 είναι

παράλληλη στον άξονα x΄x, να βρείτε το k.

www.askisopolis.gr

11

γ) Για k 1 ,

i. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

ii. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στο διάστημα 1, .


52. Δίνεται η συνάρτηση 2f x ln λ 1 x x 1 ln x 2 , x 1 , λ 1 .

α) Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε να υπάρχει το όριο xlim f x

και να είναι

πραγματικός αριθμός.

β) Έστω ότι λ 1

i. να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

ii. να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

iii. να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2f x α 0 έχει μοναδική λύση για κάθε α 0 . (2009)

53.Δίνεται η συνάρτηση 2αx β, x 1

f x2x 3, x 1

α,β .

α) Αν η f είναι συνεχής στο 0x 1 , να αποδείξετε ότι α β 5 .

β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 1 , να αποδείξετε ότι α 1 και β 4 .

γ) Για α 1 και β 4 , να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f x

g x ,x

x 0 . (Εσπερινά 2009)

54. Δίνεται η συνάρτηση x αf x xe , α .

α) Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτομένη της fC στο σημείο A 0,f 0 να είναι παράλληλη

στην ευθεία y ex .

β) Για α 1 ,


ii. να αποδείξετε ότι ο άξονας x΄x είναι οριζόντια ασύμπτωτη της fC στο .

55. Δίνεται η συνάρτηση 2x 3

f x 2xx

, x 0 . Να βρείτε:

α) Τα τοπικά ακρότατα της f.

β) Τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

γ) Την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 1,f 1 .

δ) Το σημείο M ξ,f ξ , ξ 0 , της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η

εφαπτομένη είναι παράλληλη προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με A 1,f 1 και B 3,f 3 .


56. Δίνεται η συνάρτηση 3f x x – 3ln x , x 0 .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή.

β) Να αποδείξετε ότι ο άξονας y΄y είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης

της f .

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 2 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα 1,e .

(Ομογενείς 2010)

57.Δίνεται η συνάρτηση f : , δύο φορές παραγωγίσιμη στο , με f 0 f 0 0 , η οποία

ικανοποιεί τη σχέση: xe f x f x 1 f x xf x για κάθε x .

www.askisopolis.gr

12

α) Να αποδείξετε ότι: xf x ln e x , .

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής.

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xln e x συνx έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα

π

0,2

. (2011)

58. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ,για την οποία ισχύει: xxf x 1 e , για κάθε x .

α) Να αποδείξετε ότι

xe 1, x 0

f x x

1, x 0

β) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση –1 f και να βρείτε το πεδίο

ορισμού της.

γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο

A 0,f 0 . Στη συνέχεια, αν είναι γνωστό ότι η f είναι κυρτή, να αποδείξετε ότι η

εξίσωση 2f x x 2 , x έχει ακριβώς μία λύση.

δ) Να βρείτε το x 0lim x ln x ln f x

.

(Επαναληπτικές 2012)

59. Δίνεται η συνάρτηση 22f x αx β

x , x 0 με α,β .

α) Αν είναι α<0, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, .

β) Αν είναι α<0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς μία λύση στο 0, .

γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f:

έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη για κάθε α,β, την οποία και να βρείτε.

έχει οριζόντια ασύμπτωτη μόνο για α=0 και β , την οποία και να βρείτε.

δ) Να βρείτε τις τιμές των α,β για τις οποίες η f παρουσιάζει στο σημείο 0x 1 τοπικό

ακρότατο, το 0f x 7 . Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος του ακροτάτου αυτού.



f x αx, x 1, αx 1

.

α) Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο

A 2,f 2 να είναι κάθετη στην ευθεία (ε): x 3y 6 0 .

Αν α 1 , τότε:

β) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της.

γ) να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f.

δ) να βρείτε το όριο

2x 1

x 1 f x 6lim

x 1


61. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν:

22xf x x f x 3 f x για κάθε x

1

f 12


2

xf x , x

x 1

και στη συνέχεια ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

www.askisopolis.gr

13

στο .

β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του προηγούμενου

ερωτήματος.

γ) Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση:

3 22 2f 5 x 1 8 f 8 x 1

δ) Να βρείτε την τιμή του κ ώστε xlim f x κ 5

. (Επ. Εσπερινά 2013)

62. Δίνεται η συνάρτηση 2αx x 2

h x , x 1, αx 1

. Αν η ευθεία με εξίσωση y x 2

είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο , τότε

α) Να αποδείξετε ότι α 1 .

β) i. Να εξετάσετε αν η ευθεία με εξίσωση y x 2 είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής

παράστασης της h στο .

ii. Να βρείτε τη κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h.

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

4x 3

h x 0x

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα

1,0 . (Εσπερινά 2014)

63. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, , για την οποία ισχύουν:

f x xf x 2x για κάθε x 0,

f 1 10

α) Να αποδείξετε ότι 2x 9

f x , x 0x

β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

γ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f .

δ) Να αποδείξετε ότι f x 10 x 1 f x για κάθε x 1 .


64. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι 2 1xf x x 1 x

x

για κάθε x 0 .

α) Να αποδείξετε ότι 1 x 1

x , x 0f x x x

, x 0

.

β) Να υπολογίσετε την παράγωγο f x της συνάρτησης f για κάθε x 0 .

γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει στο οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y 1 .

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 1

,

.


65. Δίνεται η συνάρτηση 4 3 2f x 3x 4x x , x , όπου α είναι πραγματικός αριθμός. Αν η f

παρουσιάζει στο 0x 1 τοπικό ακρότατο, τότε:

α) Να αποδείξετε ότι 12 .

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε τις τιμές

του , ώστε f x για κάθε x .

γ) Να βρείτε τη πλάγια ασύμπτωτη στο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

www.askisopolis.gr

14

3

f xg x , x 0

x 1

.

δ) Να υπολογίσετε το όριο

2x

f x 1lim

x x

για τις διάφορες ακέραιες τιμές του ν.


Στέλιος Μιχαήλογλου

θεματα πανελλαδικων παραγωγοι

Education

Transcript of θεματα πανελλαδικων παραγωγοι