ΕΑΠ – ΠΛΗ 12

2016 - 2017

ΕΡΓΑΙΑ 2 – ΑΠΑΝΣΗΕΙ

Άσκηση 1

a) 1 2 1 2

42(1, 2,3), (1, 1,1) cos( , )

7u u u u

1 2 1 2

5 26( 2,3), v ( 1,1) cos( , )

26v v v

b) Ο πίλαθαο Α νινθιεξωκέλνο είλαη:

1/ 3 1/ 3 1/ 3

1/ 14 3 / 14 2 / 14A

ή

1/ 3 1/ 3 1/ 3

1/ 14 3 / 14 2 / 14A

c) {( 2, 2, 1,1)}V

B

d) .

1 1 1 1 1{( , ,0), ( , , )}

2 2 3 3 3WB θαη ε δεηνύκελε πξνβνιή:

5 1 1( , , )6 6 3

p .

Άσκηση 2

a)

i. Η f είλαη γξακκηθή.

ii. Η g δελ είλαη γξακκηθή.

iii. Η h δελ είλαη γξακκηθή.

b)

i. 3 3: κε 7 3 3 3 3 5

( , , ) , ,32 2

x y z x y zx y z z

ii. ΑΚΜ: 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

Γηα ηνλ kerθ: ker {(0,0,0)}B θαη dim(kerθ)=1

Γηα ηελ Imθ: Im

7 3 3 3 3 5{( , ,0), ( , ,0), ( , ,3)}

2 2 2 2 2 2B

θαη dim(Imθ)=3.

iii. H θ είλαη 1 – 1 θαη επί.

Άσκηση 3

a) Τν ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν ηνπ Α είλαη:3 22 2

Φροντιστήριο Μέθοδος Επιτυχίας ΕΑΠ - ΠΛΗ12_2016-2017 Εργασία 2 - Απαντήσεις - Έκδοση 2

Γεώργιος Στεφανόπουλος - Μαθηματικός MSc 1

Ο Α αληηζηξέθεηαη.

b) Οη ηδηνηηκέο ηνπ Α είλαη: 1 2 31, 1, 2 . Τα αληίζηνηρα ηδηνδηαλύζκαηα είλαη:

1 (1,0,0)r c , 2 (1, 1,1)r c , 3 ( 1,1, 2)r c , 0c .

c) Ο αληίζηξνθνο ηνπ Α είλαη: 1 2

1 5 / 2 1/ 21 1

0 3 / 2 1/ 22 2

0 1 0

A A A I

d) 1

1 1 1 1 0 0 1 1 0

0 1 1 , 0 1 0 , 0 2 1

0 1 2 0 0 2 0 1 1

P D P

e)

2016 2016

2016 2016 2016

2017 2017

1 2 1 2 1

0 2 2 1 2

0 2 2 2 1

A

Άσκηση 4

a)

1 0 2

0 1 0

2 0 1

B

.

Οη ηδηνηηκέο ηνπ Β είλαη: 1 21, 3 κε αληίζηνηρα ηδηνδηαλύζκαηα:

1 (1,0,1) (0,1,0)r x y , 2 (1,0, 1)r x .

Οη βάζεηο ηωλ ηδηνρώξωλ είλαη: (1) {(1,0,1),(0,1,0)}VB θαη ( 3) {(1,0, 1)}VB .

b) Γηα λα είλαη ν B ζεηηθά νξηζκέλνο πξέπεη: 4 .

Άσκηση 5

a) Ο δεηνύκελνο πίλαθαο είλαη: 1 5

5 1

b) Η ηεηξαγωληθή κνξθή είλαη αόριστη.

c)

1 1

4 02 2,

1 1 0 6

2 2

P D

d) Η εμίζωζε παξηζηάλεη ππεξβνιή.

Φροντιστήριο Μέθοδος Επιτυχίας ΕΑΠ - ΠΛΗ12_2016-2017 Εργασία 2 - Απαντήσεις - Έκδοση 2

Γεώργιος Στεφανόπουλος - Μαθηματικός MSc 2