213

Κεφάλαιο 10

Ψηφιακά Λεξικά

Περιεχόμενα

10.1 Εισαγωγή ................................................................................................................................................ 213

10.2 Ψηφιακά Δένδρα .................................................................................................................................. 214

10.3 Υλοποίηση σε Java .............................................................................................................................. 222

10.4 Συμπιεσμένα και τριαδικά ψηφιακά δένδρα ............................................................................... 223

Ασκήσεις .......................................................................................................................................................... 225

Βιβλιογραφία .................................................................................................................................................. 226

10.1 Εισαγωγή

Σε αυτό το κεφάλαιο μελετάμε μια διαφορετική κατηγορία λεξικών (δομών αναζήτησης) από

αυτή που είδαμε στα Κεφάλαια 7 και 8. Εδώ επιθυμούμε να αποθηκεύσουμε ένα δυναμικό

σύνολο στοιχειών τα οποία είναι ακολουθίες συμβόλων 𝑥 = 𝑥1𝑥2 … 𝑥𝜇 από ένα πεπερασμένο

αλφάβητο Σ = {𝜎1, 𝜎2, … , 𝜎𝑅}. Θα αναφερόμαστε σε τέτοιες ακολουθίες συμβόλων 𝑥 ως

«λέξεις» και σε μια δομή η οποία διαχειρίζεται ένα σύνολο λέξεων ως «ψηφιακό λεξικό». Για

μια λέξη 𝑥 = 𝑥1𝑥2 … 𝑥𝜇 η οποία αποτελείται από 𝜇 χαρακτήρες θα λέμε ότι έχει μήκος 𝜇. Το

αλφάβητο καθορίζεται από το είδος των λέξεων που θέλουμε να αποθηκεύσουμε. Για

παράδειγμα, 𝑅 = 256 για ακολουθίες χαρακτήρων των 8 bit, 𝑅 = 10 για ακολουθίες

δεκαδικών ψηφίων, 𝑅 = 4 για ακολουθίες DNA κλπ.

Ένα ψηφιακό λεξικό 𝐷 υποστηρίζει τις βασικές λειτουργίες ενός λεξικού :

κατασκευή() : Επιστρέφει ένα κενό λεξικό.

αναζήτηση(𝑥) : Αν το 𝐷 περιέχει τη λέξη 𝑥 τότε επιστρέφει «αληθές». Διαφορετικά

επιστρέφει «ψευδές».

εισαγωγή(𝑥) : Εισαγάγει στο 𝐷 μια νέα λέξη 𝑥.

διαγραφή(𝑥) : Διαγράφει από το 𝐷 τη λέξη 𝑥.

Στα ψηφιακά λεξικά μπορούμε να εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι αποθηκεύουμε ακολουθίες

συμβόλων, για να υποστηρίξουμε κάποιες χρήσιμες λειτουργίες, τις οποίες φαίνεται δύσκολο

να υλοποιήσουμε αποδοτικά με τις δομές των Κεφαλαίων 7 και 8. Έστω δύο λέξεις 𝑦 =𝑦1𝑦2 … 𝑦𝜆 και 𝑥 = 𝑥1𝑥2 … 𝑥𝜇, όπου 𝜆 ≤ 𝜇. Η λέξη y αποτελεί πρόθεμα της x αν 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 για

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝜆. Μια μερική λέξη 𝑦 = 𝑦1𝑦2 … 𝑦𝜆 είναι μια ακολουθία συμβόλων από το αλφάβητο

Σ ∪ {? }, όπου το σύμβολο «?» είναι ένας ειδικός χαρακτήρας ο οποίος μπορεί να

αντικατασταθεί από οποιοδήποτε χαρακτήρα του Σ. Μια λέξη 𝑥 = 𝑥1𝑥2 … 𝑥𝜇 ταυτίζεται με τη

μερική λέξη 𝑦 = 𝑦1𝑦2 … 𝑦𝜆, αν για 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝜆 έχουμε 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 ή 𝑦𝑖 = ?.

214

Ένα ψηφιακό λεξικό 𝐷 υποστηρίζει ακόμα τις ακόλουθες λειτουργίες:

πρόθεμα(𝑦) : Επιστρέφει όλες τις λέξεις 𝑥 του 𝐷 οι οποίες έχουν ως πρόθεμα τη λέξη

𝑦.

ταύτιση(𝑦) : Επιστρέφει όλες τις λέξεις 𝑥 του 𝐷 οι οποίες ταυτίζονται με τη μερική

λέξη 𝑦.

Στη συνέχεια, θα σχεδιάσουμε μια δομή δεδομένων η οποία υποστηρίζει τις παραπάνω

λειτουργίες.

10.2 Ψηφιακά Δένδρα

Ένα ψηφιακό δένδρο 𝛵 είναι ένα δένδρο αναζήτησης, κάθε εσωτερικός κόμβος 𝛧 του οποίου

έχει ακριβώς 𝑅 = |Σ| παιδιά 𝛧1, 𝛧2, … , 𝛧𝑅. Κάθε παιδί 𝛧𝑖 του 𝛧 αντιστοιχεί στο σύμβολο 𝜎𝑖

του αλφάβητου Σ, όπως φαίνεται στην Εικόνα 10.37.

Εικόνα 10.37: Εσωτερικός κόμβος Ζ ενός ψηφιακού δένδρου και τα παιδιά του 𝛧1, 𝛧2, … , 𝛧𝑅.

Όπως στο Κεφάλαιο 8, θα συμβολίζουμε το 𝑖-οστό παιδί ενός κόμβου 𝑍 ως 𝑍.παιδί(𝑖). Σε

αντίθεση με τα λεξικά των Κεφαλαίων 7 και 8, όπου κάθε λέξη αποθηκεύεται αυτούσια σε ένα

ξεχωριστό κόμβο, σε ένα ψηφιακό δένδρο οι λέξεις αποθηκεύονται με έμμεσο τρόπο. Κάθε

κόμβος αντιστοιχεί σε ένα χαρακτήρα του αλφάβητου και μια λέξη αντιστοιχεί σε ένα μονοπάτι

από τη ρίζα προς κάποιο εσωτερικό κόμβο. Μια αναπαράσταση ενός τέτοιου δένδρου φαίνεται

στην Εικόνα 10.38. Σε αυτήν την αναπαράσταση παραλείπουμε τις αναφορές σε κενούς

κόμβους, και σημειώνουμε με έντονη γραμμή τους κόμβους που αντιστοιχούν σε τερματικούς

χαρακτήρες των λέξεων.

215

Εικόνα 10.38: Γραφική αναπαράσταση ενός ψηφιακού δένδρου για τις λέξεις «ακολουθία»,

«αλγόριθμος», «αλληλουχία», «αλφάβητο», «δεδομένα», «δεν», «δενδρική».

Συγκεκριμένα, ας θεωρήσουμε ότι έχουμε αποθηκεύσει στο δένδρο τη λέξη 𝜎𝑖1𝜎𝑖2

… 𝜎𝑖𝜇. Η

λέξη αυτή αντιστοιχεί στο μονοπάτι 𝑍0, 𝑍1, … , 𝑍𝜇 του ψηφιακού δένδρου, όπου 𝑍0 είναι η ρίζα

του δένδρου και 𝛧𝑗+1 = 𝑍𝑗 .παιδί(𝑖𝑗) για 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝜇 − 1. Δείτε την Εικόνα 10.39.

Εικόνα 10.39: Το μονοπάτι στο ψηφιακό δένδρο της Εικόνα 10.38 που αντιστοιχεί στη λέξη

αλληλουχία.

216

Με την παραπάνω δομή μπορούμε να επιτύχουμε τους χρόνους εκτέλεσης που δίνονται στον

Πίνακας 10.1.

Πίνακας 10.1: Χρόνοι εκτέλεσης χειρότερης περίπτωσης των βασικών λειτουργιών ενός

ψηφιακού δένδρου 𝛵. Η λέξη η οποία δίνεται ως παράμετρος έχει μήκος 𝜇. Για τις λειτουργίες

πρόθεμα και ταύτιση, 𝜈 είναι το πλήθος των λέξεων που επιστρέφει η αντίστοιχη λειτουργία.

Επιπλέον, για τη λειτουργία πρόθεμα, 𝜆 είναι το μέσο μήκος των λέξεων που επιστρέφονται.

αναζήτηση εισαγωγή διαγραφή πρόθεμα ταύτιση Ο(𝝁) Ο(𝜇) Ο(𝜇) Ο(𝜇 + (𝜆 − 𝜇)𝜈) O(𝜇𝜈)

Θα περιγράψουμε αναλυτικά την υλοποίηση ενός τέτοιου ψηφιακού δένδρου. Κάθε κόμβος 𝑍

του δένδρου περιλαμβάνει ένα πίνακα 𝑅 = |Σ| θέσεων, όπου η 𝑖-οστή θέση αντιστοιχεί στον

𝑖-οστό χαρακτήρα 𝜎𝑖 του αλφάβητου Σ και αποθηκεύει μια αναφορά στον κόμβο 𝑍.παιδί(𝑖).

Δείτε την Εικόνα 10.40. Επιπλέον, διατηρούμε ένα bit επισήμανσης, με το οποίο ελέγχουμε αν

ο τρέχων κόμβος σηματοδοτεί το τέλος μιας λέξης του δένδρου. Καλούμε ένα τέτοιο κόμβο

επισημασμένο.

Εικόνα 10.40: Υλοποίηση ενός κόμβου ψηφιακού δένδρου για λέξεις από το ελληνικό

αλφάβητο.

Ας θεωρήσουμε τώρα ένα κόμβο 𝑍 του ψηφιακού δένδρου, ο οποίος βρίσκεται σε απόσταση λ

από τη ρίζα. Το μονοπάτι από τη ρίζα προς τον κόμβο Z κωδικοποιεί μια λέξη 𝑦 = 𝜎𝑖1𝜎𝑖2

… 𝜎𝑖𝜆,

η οποία αποτελεί πρόθεμα μιας ή περισσότερων λέξεων που έχουν αποθηκευτεί στο ψηφιακό

δένδρο. Έτσι, για 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑅, η αναφορά 𝑍.παιδί(𝑖) δείχνει σε εσωτερικό κόμβο του δένδρου

αν και μόνο αν έχουμε αποθηκεύσει στο δένδρο κάποια λέξη με πρόθεμα 𝑦𝜎𝑖. Δείτε την Εικόνα

10.41.

Εικόνα 10.41: Πραγματική αναπαράσταση ενός τμήματος του ψηφιακού δένδρου της Εικόνα

10.38.

Ο αλγόριθμος αναζήτησης μιας λέξης 𝑥 στο ψηφιακό δένδρο ακολουθεί το μονοπάτι από τη

ρίζα το οποίο αντιστοιχεί στους χαρακτήρες της 𝑥. Παρακάτω δίνουμε μια αναδρομική

περιγραφή αυτής της διαδικασίας.

217

Αλγόριθμος αναζήτησης λέξης σε ψηφιακό δένδρο

αναζήτηση(𝛧, 𝑥, 𝑑) 1. αν ο κόμβος 𝑍 είναι κενός, τότε επίστρεψε τον κενό κόμβο

2. αν η λέξη 𝑥 έχει μήκος 𝑑, τότε επίστρεψε τον κόμβο 𝛧

3. έστω 𝜎𝑖 ο χαρακτήρας της λέξης 𝑥 στη θέση 𝑑 + 1

4. εκτέλεσε αναδρομικά αναζήτηση(𝑍.παιδί(𝑖), 𝑥, 𝑑 + 1)

τέλος αναζήτηση(𝑍, 𝑥, 𝑑)

αρχή αναζήτησης

5. εκτέλεσε 𝑍 ← αναζήτηση(𝛵.ρίζα, 𝑥, 0)

6. αν ο 𝛧 είναι κενός ή δεν είναι επισημασμένος τότε επίστρεψε ψευδές

7. διαφορετικά επίστρεψε αληθές

τέλος αναζήτησης

Για την εισαγωγή μιας λέξης ακολουθούμε μια ανάλογη διαδικασία, με τη διαφορά ότι αν ο

επόμενος κόμβος Z.παιδί(i) του μονοπατιού αναζήτησης είναι κενός, τότε τον δημιουργούμε

και τον συνδέουμε με τον τρέχοντα κόμβο 𝑍. Έπειτα, συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία

αναδρομικά. Τέλος, θέτουμε το bit επισήμανσης στον τερματικό κόμβο του μονοπατιού

εισαγωγής.

Αλγόριθμος εισαγωγής λέξης σε ψηφιακό δένδρο

εισαγωγή(𝛧, 𝑥, 𝑑) 1. αν ο κόμβος 𝑍 είναι κενός, τότε δημιούργησε ένα νέο εσωτερικό κόμβο 𝛧

2. αν η λέξη 𝑥 έχει μήκος 𝑑, τότε θέσε το bit επισήμανσης του 𝛧 και επίστρεψε τον 𝛧

3. έστω 𝜎𝑖 ο χαρακτήρας της λέξης 𝑥 στη θέση 𝑑 + 1

4. εκτέλεσε αναδρομικά 𝑍.παιδί(𝑖) ← εισαγωγή(𝑍.παιδί(𝑖), 𝑥, 𝑑 + 1)

τέλος εισαγωγή(𝑍, 𝑥, 𝑑)

αρχή εισαγωγής

5. εκτέλεσε 𝛵.ρίζα ← εισαγωγή(𝛵.ρίζα, 𝑥, 0)

τέλος εισαγωγής

Η Εικόνα 10.42 δίνει ένα παράδειγμα διαδοχικών εισαγωγών λέξεων σε αρχικά κενό ψηφιακό

δένδρο.

218

Εικόνα 10.42: Κατασκευή ψηφιακού δένδρου με διαδοχική εισαγωγή λέξεων. Εισάγουμε, με

τη σειρά, τις λέξεις «ακολουθία», «αλγόριθμος», «αλληλουχία», «αλφάβητο», «δεδομένα»,

«δενδρική» και «δεν».

Σε αυτό το σημείο είναι χρήσιμο να αναφέρουμε κάποια χαρακτηριστικά των επιδόσεων των

ψηφιακών δένδρων:

Η μορφή του ψηφιακού δένδρου είναι ανεξάρτητη από τη σειρά εισαγωγής των

στοιχείων. Κάθε δεδομένο σύνολο διακριτών λέξεων στοιχείων δημιουργεί ένα

μοναδικό ψηφιακό δένδρο.

Η αναζήτηση ή εισαγωγή μιας λέξης μήκους 𝜇 χαρακτήρων απαιτεί 𝛰(𝜇) χρόνο στη

χειρότερη περίπτωση.

Έστω 𝛮 το πλήθος των συνδέσμων (κενών ή μη) σε ένα ψηφιακό δένδρο

κατασκευασμένο από 𝑛 λέξεις μέσου μήκους 𝜇 από αλφάβητο 𝑅 χαρακτήρων. Ισχύει

𝑅𝑛 ≤ 𝛮 ≤ 𝑅𝑛𝜆.

Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση της διαγραφής μιας λέξης 𝑥. Πρώτα αναζητούμε τη λέξη

𝑥 στο δένδρο. Αν δεν υπάρχει, τότε δε γίνεται καμία αλλαγή στο δένδρο. Διαφορετικά, αν η 𝑥

υπάρχει, βρίσκουμε τον κόμβο 𝛧 που αντιστοιχεί στο τελευταίο της γράμμα και σβήνουμε την

219

επισήμανση του. Αν ο 𝛧 δεν έχει απογόνους στο δένδρο, τότε τον διαγράφουμε και συνεχίζουμε

την ίδια διαδικασία στους προγόνους του 𝛧, μέχρι να φτάσουμε σε κόμβο με απογόνους ή με

επισήμανση.

Αλγόριθμος διαγραφής σε ψηφιακό δένδρο

αρχή διαγραφής

1. εκτέλεσε 𝑍 ← αναζήτηση(𝛵.ρίζα, 𝑥, 0)

2. αν ο 𝛧 είναι κενός ή δεν είναι επισημασμένος, τότε επίστρεψε (δεν γίνεται καμία αλλαγή

στο δένδρο)

3. σβήσε την επισήμανση του 𝛧

4. ενόσω ο 𝛧 δεν είναι κενός και δεν έχει επισήμανση και δεν έχει παιδιά

5. έστω 𝛶 ο γονέας του 𝛧 στο δένδρο

6. διάγραψε τον κόμβο 𝛧

7. θέσε 𝑍 ← 𝛶

τέλος διαγραφής

Στην Εικόνα 10.43 φαίνονται οι διάφορες περιπτώσεις διαγραφής λέξης σε ένα ψηφιακό

δένδρο. Στην πρώτη περίπτωση, για τη διαγραφή της λέξης «δεν», αρκεί να σβήσουμε την

επισήμανση του κόμβου 𝛧, ο οποίος αντιστοιχεί στο τελευταίο γράμμα της λέξης. Καθώς ο

κόμβος 𝛧 έχει παιδί, το δένδρο δεν υφίσταται καμία άλλη αλλαγή. Στη δεύτερη περίπτωση,

όπου διαγράφουμε τη λέξη «δενδρική», η αναζήτηση της λέξης καταλήγει σε κόμβο 𝛧 χωρίς

κανένα παιδί. Έτσι, διαγράφουμε όλους τους προγόνους του 𝛧 στο δένδρο μέχρι τον

κοντινότερο πρόγονο ο οποίος είναι επισημασμένος. Ομοίως, στην τρίτη περίπτωση, κατά τη

διαγραφή της λέξης «αλληλουχία» καταλήγουμε σε κόμβο 𝛧 χωρίς κανένα παιδί. Αυτή τη

φορά, διαγράφουμε όλους τους προγόνους του 𝛧 στο δένδρο μέχρι τον κοντινότερο πρόγονο ο

οποίος έχει παιδιά.

Όπως και με τις λειτουργίες της αναζήτησης και της εισαγωγής, η διαγραφή μιας λέξης μήκους

𝜇 χαρακτήρων απαιτεί 𝛰(𝜇) χρόνο στη χειρότερη περίπτωση.

220

Εικόνα 10.43: Διαγραφή των λέξεων «δεν», «δενδρική» και «αλληλουχία» από το ψηφιακό

δένδρο της Εικόνα 10.38. Κάθε διαγραφή εκτελείται στο αρχικό δένδρο.

221

Πριν προχωρήσουμε στις υπόλοιπες δύο εντολές, είναι χρήσιμο να εξετάσουμε πώς μπορούμε

να συλλέξουμε όλες τις λέξεις οι οποίες είναι αποθηκευμένες σε ένα ψηφιακό δένδρο. Καλούμε

αυτή τη διαδικασία συλλογή. Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι η διαδικασία της

συλλογής μπορεί να πραγματοποιηθεί με μια προδιατεταγμένη διάσχιση του δένδρου. Κατά τη

διάρκεια της διάσχισης, σχηματίζουμε ένα τρέχον πρόθεμα 𝑦 = 𝜎𝑖1𝜎𝑖2

… 𝜎𝑖𝜇 το οποίο

αντιστοιχεί στο μονοπάτι 𝑍0, 𝑍1, … , 𝑍𝜇 του ψηφιακού δένδρου, όπου 𝑍0 είναι η ρίζα του

δένδρου, 𝑍𝜇 είναι ο τρέχων κόμβος της διάσχισης, και 𝛧𝑗+1 = 𝑍𝑗 .παιδί(𝑖𝑗) για 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝜇 − 1.

Δείτε την Εικόνα 10.44. Αν ο τρέχων κόμβος 𝑍𝜇 είναι επισημασμένος, τότε το πρόθεμα y είναι

λέξη που έχει αποθηκευτεί στο δένδρο και την τοποθετούμε σε μια ουρά 𝑄. Παρατηρήστε ότι,

αν κατά τη διάρκεια της διάσχισης επισκεπτόμαστε τα παιδιά κάθε κόμβου σε αλφαβητική

σειρά, τότε στο τέλος αυτής της διαδικασίας η ουρά 𝑄 θα περιέχει όλες τις λέξεις του ψηφιακού

δένδρου, διατεταγμένες σε λεξικογραφική σειρά.

Εικόνα 10.44: Σχηματισμός προθέματος κατά τη προδιατεταγμένη διάσχιση του ψηφιακού

δένδρου της Εικόνα 10.38.

Μπορούμε να εκτελέσουμε την ίδια διαδικασία, με αφετηρία κάποιο αυθαίρετο κόμβο 𝑍 του

ψηφιακού δένδρου αντί για τη ρίζα. Έστω 𝑦 το πρόθεμα το οποίο αντιστοιχεί στο μονοπάτι του

ψηφιακού δένδρου από τη ρίζα προς τον 𝛧. Το αποτέλεσμα θα είναι να συλλέξουμε στην ουρά

𝑄 τις καταλήξεις των λέξεων του δένδρου οι οποίες έχουν ως πρόθεμα το 𝑦. Καλούμε αυτή τη

διαδικασία συλλογή(𝛧).

Από τα παραπάνω, γίνεται κατανοητό ότι μπορούμε να υλοποιήσουμε τη λειτουργία

πρόθεμα(𝑦) όπως φαίνεται στον επόμενο αλγόριθμο.

Αλγόριθμος εύρεσης όλων των λέξεων του ψηφιακού δένδρου με πρόθεμα 𝑦

αρχή πρόθεμα(𝑦)

1. εκτέλεσε 𝑍 ← αναζήτηση(𝛵.ρίζα, 𝑦, 0)

2. αν ο 𝛧 είναι κενός τότε επίστρεψε την κενή ουρά 𝑄

3. επίστρεψε την ουρά 𝑄 ← συλλογή(𝛧)

τέλος πρόθεμα(𝑦)

222

10.3 Υλοποίηση σε Java

Tο πρόγραμμα StringDT. java υλοποιεί ένα ψηφιακό δένδρο το οποίο αποθηκεύει λέξεις,

δηλαδή αντικείμενα τύπου String όπου ο κάθε χαρακτήρας είναι γράμμα του λατινικού

αλφάβητου a-z. Κάθε κόμβος 𝛧 του ψηφιακού δένδρου περιέχει έναν πίνακα Node next[R] συνδέσμων σε το πολύ R = 26 παιδιά, που ο σύνδεσμος 𝛧. next[𝑗] αντιστοιχεί στο γράμμα

(‘a’ + 𝑗). Δηλαδή ο 𝛧. next[0] στο ‘a’, o 𝛧. next[1] στο ‘b’, …, και o 𝛧. next[25] στο ‘z’. Κάθε

κόμβος 𝛧 του ψηφιακού δένδρου περιλαμβάνει επίσης μια μεταβλητή σήμανσης

boolean mark, όπου 𝛧. mark == true, αν ο 𝛧 αντιστοιχεί στο τέλος μιας λέξης που έχει

εισαχθεί στη δομή.

public class StringDT { private static int R = 26; // πλήθος διαφορετικών χαρακτήρων private static int N = 0; // πλήθος λέξεων στο ψηφιακό δένδρο private Node root; // ρίζα του ψηφιακού δένδρου // κόμβος ψηφιακού δένδρου private static class Node { private boolean mark; // true αν είναι το τέλος μιας λέξης private Node[] next = new Node[R]; // αναφορές σε R παιδιά } // επιστρέφει true αν βρει τη λέξη x public boolean contains(String x) { Node Z = contains(root, x, 0); if (Z == null) { return false; } else { return Z.mark; } } // αναζήτηση στους απόγονους του Z για τη λέξη που περιέχει το x // από τη θέση d και μετά private Node contains(Node Z, String x, int d) { if (Z == null) { return null; } if (d == x.length()) { return Z; // τέλος της λέξης } char c = x.charAt(d); // επόμενος χαρακτήρας int j = (int) c - 'a'; // αντίστοιχη θέση του επόμενου χαρακτήρα return contains(Ζ.next[j], x, d + 1); } // εισαγωγή της λέξης x public void insert(String x) { root = insert(root, x, 0); } // εισαγωγή στους απόγονους του Z της λέξης που περιέχει το x // από τη θέση d και μετά private Node insert(Node Ζ, String x, int d) { if (Z == null) { Z = new Node();

223

} if (d == x.length()) { Ζ.mark = true; N++; return Z; } // τέλος της λέξης char c = s.charAt(d); // επόμενος χαρακτήρας int j = (int) c - 'a'; // αντίστοιχη θέση του επόμενου χαρακτήρα Ζ.next[j] = insert(Ζ.next[j], x, d + 1); return Ζ; } // διαγραφή της λέξης x public void delete(String x) { root = delete(root, x, 0); } // διαγραφή από τους απόγονους του Z της λέξης που περιέχει το x // από τη θέση d και μετά private Node delete(Node Ζ, String x, int d) { if (Z == null) { return null; } if (d == x.length()) { Z.mark = false; // τέλος της λέξης N--; } else { char c = s.charAt(d); // επόμενος χαρακτήρας int j = (int) c - 'a'; // αντίστοιχη θέση του επόμενου χαρακτήρα Ζ.next[j] = delete(Ζ.next[j], x, d + 1); } if (Z.mark) { return Z; // o Z είναι επισημασμένος και δεν τον διαγράφουμε } for (int j = 0; j < R; j++) { if (Ζ.next[j] != null) { return Ζ; // o Z έχει μη κενά παιδιά και δεν τον διαγράφουμε } } return null; } }

10.4 Συμπιεσμένα και τριαδικά ψηφιακά δένδρα

Το ψηφιακό δένδρο της Ενότητας 10.2 είναι υπερβολικά σπάταλο σε χώρο μνήμης, όταν

αποθηκεύουμε λέξεις με μεγάλο μήκος και με χαρακτήρες από μεγάλο αλφάβητο. Σε αυτήν

την ενότητα αναφέρουμε, εν συντομία, δύο εναλλακτικές μορφές ψηφιακών δένδρων, οι οποίες

αποσκοπούν στη βελτίωση των απαιτήσεων σε μνήμη.

Συμπιεσμένα ψηφιακά δένδρα

Ένας τρόπος, για να ελαττώσουμε τον αποθηκευτικό χώρο που απαιτεί το ψηφιακό δένδρο,

είναι να απαλείψουμε τους κόμβους του δένδρου που δεν δημιουργούν πολλαπλές

διακλαδώσεις. Συγκεκριμένα, έστω 𝑍0, 𝑍1, … , 𝑍𝜇 ένα μονοπάτι του ψηφιακού δένδρου, όπου

224

𝛧𝑗+1 = 𝑍𝑗 .παιδί(𝑖𝑗) και ο κόμβος 𝛧𝑗+1 είναι το μοναδικό παιδί του 𝑍𝑗, για 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝜇 − 1. Τότε,

μπορούμε να αντικαταστήσουμε το μονοπάτι αυτό με ένα νέο κόμβο Z, όπως φαίνεται στην

Εικόνα 10.45. Για να διατηρήσουμε την πληροφορία του αρχικού μονοπατιού 𝑍0, 𝑍1, … , 𝑍𝜇,

αποθηκεύουμε στον κόμβο Z του συμπιεσμένου ψηφιακού δένδρου τη λέξη 𝑦 = 𝜎𝑖1𝜎𝑖2

… 𝜎𝑖𝜇.

Επιπλέον, σημειώνουμε τους χαρακτήρες της y οι οποίοι αποτελούν τερματικούς χαρακτήρες

κάποιας λέξης. Έτσι, στο παράδειγμα της Εικόνα 10.45, στον κόμβο ο οποίος αποθηκεύει τη

λέξη «νδρική», σημειώνουμε ότι ο πρώτος και ο τελευταίος χαρακτήρας είναι τερματικοί

χαρακτήρες λέξεων του δένδρου.

Εικόνα 10.45: Κατασκευή συμπιεσμένου ψηφιακού δένδρου.

Η παραπάνω αντιμετωπίζει το πρόβλημα χώρου, αλλά ο χειρισμός του ψηφιακού δένδρου

γίνεται αρκετά πιο περίπλοκος. Δείτε την Άσκηση 10.3.

Τριαδικά ψηφιακά δένδρα

Ένας διαφορετικός τρόπος για να ελαττώσουμε τον αποθηκευτικό χώρο που απαιτεί το

ψηφιακό δένδρο, είναι να μειώσουμε το πλήθος των συνδέσμων του κάθε κόμβου. Αυτή την

ιδέα εφαρμόζει ένα τριαδικό ψηφιακό δένδρο, οι κόμβοι του οποίου έχουν ακριβώς τρεις

συνδέσμους. Δείτε την Εικόνα 10.46.

Εικόνα 10.46: Κόμβος και σύνδεσμοι τριαδικού ψηφιακού δένδρου.

Όπως και στα τυπικά ψηφιακά δένδρα, ένα μονοπάτι από τη ρίζα προς κάποιο κόμβο 𝑍

αντιστοιχεί σε ένα πρόθεμα 𝑦. Ο κόμβος 𝑍 ελέγχει μόνο ένα χαρακτήρα 𝜎𝑖 του αλφάβητου. Ο

μεσαίος σύνδεσμος οδηγεί σε λέξεις με πρόθεμα 𝑦𝜎𝑖. Ο αριστερός σύνδεσμος αντιστοιχεί στις

λέξεις με πρόθεμα 𝑦 στις οποίες ο επόμενος χαρακτήρας είναι μικρότερος του 𝜎𝑖. Τέλος, ο

225

δεξιός σύνδεσμος αντιστοιχεί στις λέξεις με πρόθεμα 𝑦 και επόμενο χαρακτήρα μεγαλύτερο

του 𝜎𝑖. Δείτε την Εικόνα 10.47.

Εικόνα 10.47: Γραφική αναπαράσταση ενός τριαδικού ψηφιακού δένδρου μετά την εισαγωγή

των λέξεων «ακολουθία», «αλληλουχία», «αλγόριθμος», «αλφάβητο», «δεδομένα», «δεν»,

«δενδρική». Οι λέξεις έχουν εισαχθεί με αυτήν τη σειρά.

Σε αντίθεση με τα τυπικά ψηφιακά δένδρα (και τα συμπιεσμένα ψηφιακά δένδρα), η μορφή

ενός τριαδικού ψηφιακού δένδρου δεν καθορίζεται μόνο από το σύνολο των λέξεων που

εισάγουμε, αλλά επίσης και από τη σειρά εισαγωγής.

Τέλος, σημειώνουμε ότι είναι δυνατό να συνδυάσουμε δύο ή παραπάνω δομές ψηφιακών

δένδρων και να κατασκευάσουμε υβριδικές μορφές τους. Δείτε την Άσκηση 10.6.

Ασκήσεις

10.1 Έστω 𝛮 το πλήθος των συνδέσμων (κενών ή μη) σε ένα ψηφιακό δένδρο

κατασκευασμένο από 𝑛 λέξεις μέσου μήκους 𝜇 από αλφάβητο 𝑅 χαρακτήρων. Δικαιολογήστε

γιατί ισχύει η σχέση 𝑅𝑛 ≤ 𝛮 ≤ 𝑅𝑛𝜆. Δώστε κατάλληλα παραδείγματα ψηφιακών δένδρων τα

οποία απαιτούν 𝑅𝑛 και 𝑅𝑛𝜆 συνδέσμους αντίστοιχα.

10.2 Περιγράψτε μια αποδοτική υλοποίηση της λειτουργίας ταύτιση σε ένα ψηφιακό δένδρο.

10.3 Περιγράψτε πώς μπορούν να υλοποιηθούν οι λειτουργίες αναζήτησης, εισαγωγής και

διαγραφής μιας λέξης σε ένα συμπιεσμένο ψηφιακό δένδρο.

10.4 Περιγράψτε πώς μπορούν να υλοποιηθούν οι λειτουργίες αναζήτησης, εισαγωγής και

διαγραφής μιας λέξης σε ένα συμπιεσμένο ψηφιακό δένδρο.

226

10.5 Έστω ένα τριαδικό ψηφιακό δένδρο κατασκευασμένο από 𝑛 λέξεις μέσου μήκους 𝜇 από

αλφάβητο 𝑅 χαρακτήρων. Δώστε ένα άνω και ένα κάτω φράγμα για το πλήθος των συνδέσμων

(κενών ή μη) σε ένα τέτοιο δένδρο.

10.6 Περιγράψτε την υλοποίηση ενός υβριδικού ψηφιακού δένδρου το οποίο συνδυάζει τα

τυπικά ψηφιακά δένδρα με τα τριαδικά ψηφιακά δένδρα ως εξής. Στη ρίζα του δένδρου

βρίσκεται ένας κόμβος τυπικού ψηφιακού δένδρου με 𝑅 συνδέσμους. Κάθε μη κενός

σύνδεσμος δείχνει σε ένα τριαδικό ψηφιακό δένδρο. Δηλαδή, το 𝑖-οστό παιδί της ρίζας είναι η

ρίζα ενός τριαδικού ψηφιακού δένδρου για τις λέξεις που ξεκινούν με το χαρακτήρα 𝜎𝑖.

10.7 Υλοποιήστε σε Java και συγκρίνετε πειραματικά την απόδοση των ψηφιακών δένδρων,

των τριαδικών ψηφιακών δένδρων και των υβριδικών ψηφιακών δένδρων της Άσκησης 10.6.

Μετρήστε το χρόνο κατασκευής των δένδρων καθώς και το χώρο που καταλαμβάνουν στη

μνήμη.

Βιβλιογραφία

Goodrich, M. T., & Tamassia, R. (2006). Data Structures and Algorithms in Java, 4th edition.

Wiley.

Mehlhorn, K., & Sanders, P. (2008). Algorithms and Data Structures: The Basic Toolbox.

Springer-Verlag.

Sedgewick, R., & Wayne, K. (2011). Algorithms, 4th edition. Addison-Wesley.

Tarjan, R. E. (1983). Data Structures and Network Algorithms. Society for Industrial and

Applied Mathematics.

Μποζάνης, Π. Δ. (2006). Δομές Δεδομένων. Εκδόσεις Τζιόλα.