thanasiskopadis.blogspot.com Φροντιστήριο Μ.Ε. 19+

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ

Γ΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (3ο)

ΘΕΜΑ A

Α1. Ας υποθέσουµε ότι χ1 , χ2 ,…., χκ είναι οι τιµές µιας

µεταβλητής Χ , που αφορά τα άτοµα ενός δείγµατος µεγέθους ν,

όπου κ , ν µη µηδενικοί φυσικοί αριθµοί µε κ ≤ ν.

α) Τι ονοµάζεται απόλυτη συχνότητα νi , που αντιστοιχεί στην τιµή

χi , i=1,2,3,…,κ ? (3 µονάδες)

β) Τι ονοµάζεται σχετική συχνότητα fi , της τιµής χi , i=1,2,3,…,κ ?

(3 µονάδες)

γ) Να αποδείξετε ότι:

i) 0≤ fi ≤ 1 για i=1,2,3,….,κ

ii) f1 + f2 + …..+ fκ = 1 (4 µονάδες)

Α2. Να δώσετε τον ορισµό της διαµέσου (δ) ενός δείγµατος ν

παρατηρήσεων όταν ο ν είναι άρτιος αριθµός.

(5 µονάδες)

Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την

ένδειξη Σ ή Λ

α) Στο ιστόγραµµα συχνοτήτων οµαδοποιηµένων δεδοµένων ,

το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο

συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα ισούται µε το µέγεθος του

δείγµατος Σ Λ

β) Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική

παράσταση µόνο ποσοτικών δεδοµένων Σ Λ

γ) Η διακύµανση είναι µέτρο θέσης Σ Λ

δ) Στην κανονική κατανοµή το 95% των παρατηρήσεων

βρίσκεται στο διάστηµα ( x -S, x +S) , όπου x η µέση τιµή και S η

τυπική απόκλιση του δείγµατος Σ Λ

ε) Η διακύµανση εκφράζεται µε τις ίδιες µονάδες µε τις οποίες

εκφράζονται οι παρατηρήσεις Σ Λ

(10 µονάδες)

thanasiskopadis.blogspot.com Φροντιστήριο Μ.Ε. 19+

ΘΕΜΑ Β

Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε τύπο f(χ) = x2

Sχ2 -

201

χ , όπου x

η µέση τιµή και S η τυπική απόκλιση ενός δείγµατος.

Β1. Αν ισχύει f΄(1)<0 , να δείξετε ότι το δείγµα είναι οµοιογενές.

(8 µονάδες)

Β2. Να βρεθούν τα ακρότατα της f αν γνωρίζουµε ότι CV=201

(8 µονάδες)

Β3. Αν η τυπική απόκλιση S του δείγµατος είναι 51

και η

εφαπτοµένη (ε) της Cf στο σηµείο Α(1,f(1)) είναι κάθετη στην

ευθεία δ:ψ=-20χ+2009 , να βρεθεί η µέση τιµή x του δείγµατος.

(9 µονάδες)

(Το παραπάνω θέµα είναι πρωτότυπο)

ΘΕΜΑ Γ

Στον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων δίνεται ότι x =4

χi νi

2 ν1

3 2

4 ν3

5 4

Σ 10

Γ1. Να βρεθούν οι συχνότητες ν1 και ν3

(6 µονάδες)

Γ2. Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές

(7 µονάδες)

thanasiskopadis.blogspot.com Φροντιστήριο Μ.Ε. 19+

Γ3. Αν από το παραπάνω δείγµα θεωρήσουµε αντίστοιχα νέο

δείγµα ψi = αχi +β µε τις ίδιες συχνότητες και µέση τιµή 12

i) Nα βρεθεί η σχέση που συνδέει τα α και β

(5 µονάδες)

ii) Αν το γινόµενο α·β είναι µέγιστο , να βρεθεί η διακύµανση

του νέου δείγµατος

(7 µονάδες)

ΘΕΜΑ ∆

Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές

µιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους οµαδοποιήθηκαν σε

πίνακα συχνοτήτων µε κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο

πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων fi% έχει αντίστοιχες κορυφές

τις:

Α(8,0) Β(10,10) Γ(12,20) ∆(14,ψ∆) Ε(16, ψΕ) Ζ(18,10)

Η(20,0) , όπου ψ∆, ψΕ οι τεταγµένες των κορυφών ∆ και Ε του

πολυγώνου ΑΒΓ∆ΕΖΗ.

∆1. Να υπολογιστούν οι τεταγµένες ψ∆, ψΕ των κορυφών ∆ και Ε,

αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι η µέση τιµή των πωλήσεων στη

διάρκεια του έτους είναι 14200 ευρώ και το ευθύγραµµο τµήµα ∆Ε

είναι παράλληλο στον χ΄χ.

(7 µονάδες)

∆2. Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων fi%

(3 µονάδες)

∆3. Να κατασκευαστεί ο πίνακας σχετικών συχνοτήτων fi% της

κατανοµής των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της

εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους.

(7 µονάδες)

thanasiskopadis.blogspot.com Φροντιστήριο Μ.Ε. 19+

∆4. Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός

επιπλέον ποσού σε όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις

τουλάχιστον 15000 ευρώ. Να υπολογιστεί το ποσοστό των

πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό.

(4 µονάδες)

∆5. Το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο

συχνοτήτων της κατανοµής των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από

τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους και του

οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθµό των πωλητών

που δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο ∆4 ερώτηµα.

(4 µονάδες)

(3ο Θέµα Πανελληνίων 2011)

Καλή Επιτυχία

Θανάσης Κοπάδης

Μαθηµατικός