ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ

Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΛΙΖΑ ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΙΟΥ

2

1. ∆ιαφορικός Λογισµός 1.1 Συναρτήσεις

Συνάρτηση είναι η διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ’ ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β.

Σχηµατική ερµηνεία

Μονοτονία Όταν για κάθε x1, x2 ∈∆ µε x1 < x2 ισχύει ότι f(x1) < f(x2), τότε η συνάρτηση

f λέγεται γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ∆.

Όταν για κάθε x1, x2 ∈∆ µε x1 < x2 ισχύει ότι f(x1) > f(x2), τότε η συνάρτηση

f λέγεται γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα ∆.

Παρατήρηση:

Μια συνάρτηση που είναι µόνο γνησίως αύξουσα σ’ όλο το πεδίο ορισµού της ή µόνο γνησίως φθίνουσα σ’ όλο το πεδίο ορισµού της λέγεται γνησίως µονότονη.

Ακρότατα Περιοχή του x1 ονοµάζεται κάθε ανοιχτό διάστηµα που περιέχει το x1. Αν f

είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α τότε λέµε ότι παρουσιάζει: Τοπικό µέγιστο στο x1∈A το f(x1),

όταν f(x) ≤≤≤≤ f(x1), για κάθε x σε µια περιοχή του x1.

∆εν αποτελεί συνάρτηση αφού κάποιο

στοιχείο του Α δεν αντιστοιχίζεται σε κάποιο στοιχείο του Β

Α Β Α Β

Α Β Β Α

Αποτελεί συνάρτηση Αποτελεί συνάρτηση

∆εν αποτελεί συνάρτηση αφού κάποιο

στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε δύο στοιχεία του Β

IV III

II I

3

Ολικό µέγιστο στο x1∈A το f(x1), όταν f(x) ≤≤≤≤ f(x1), για κάθε x ∈ Α.

Τοπικό ελάχιστο στο x1∈A το f(x1), όταν f(x) ≥≥≥≥ f(x1), για κάθε x σε µια περιοχή του x1.

Ολικό ελάχιστο στο x1∈A το f(x1), όταν f(x) ≥≥≥≥ f(x1), για κάθε x ∈ Α.

Παρατηρήσεις:

Τα µέγιστα και τα ελάχιστα µιας συνάρτησης, τοπικά ή ολικά λέγονται ακρότατα.

Λέµε ότι στο x1 παρουσιάζει ακρότατο η f. Το ακρότατο είναι το f(x1).

Εύρεση Πεδίου Ορισµού

Είδος Συνάρτησης Μεθοδολογία Παράδειγµα 1. Πολυωνυµική

f(x)=axv+av-1x

v-1+...+a1x+ao

• Είναι όλο το R f(x) = 3x2 + 5x + 6 A = R

2. Κλασµατική

( )( )( )xf

xfxf

2

1=

• Πρέπει f2(x) ≠ 0

• Λύνουµε την εξίσωση f2(x)= 0 και εξαιρούµε από το R τις τιµές του x που βρίσκουµε.

( )4x

x1xf

2 −

−=

πρέπει x2 − 4 ≠ 0 Άρα x2 − 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ± 2 Άρα Α = R − −2, 2

3. Άρρητη

( ) ( )v xgxf =

ν ≥ 2, ν∈N

• Πρέπει g(x) ≥ 0

• Λύνουµε την ανίσωση οπότε το πεδίο ορισµού είναι το υποσύνολο του R που προκύπτει από τις λύσεις της ανίσωσης.

( ) 2x1xf −=

πρέπει 1 − x2 ≥ 0 ⇔ x2 ≤ 1 ⇔ |x| ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 Άρα Α = [−1, 1].

4. Εκθετική

f(x) = [g(x)]h(x)

• Πρέπει g(x) > 0 • Λύνουµε την ανίσωση,

οπότε πεδίο ορισµού είναι το υποσύνολο του R που προκύπτει από τις λύσεις της ανίσωσης.

f(x) = (x + 1)x πρέπει x + 1 > 0 ⇔ x > −1 Άρα Α = (−1, +∞)

5. Λογαριθµική

f(x) = ln(g(x))

ή

f(x) = log(g(x))

• Πρέπει g(x) > 0 • Λύνουµε την ανίσωση,

οπότε πεδίο ορισµού είναι το υποσύνολο του R που προκύπτει από τις λύσεις της ανίσωσης.

f(x) = ln(x2 − 5x + 6) πρέπει x2 − 5x + 6 > 0 ∆ = 25 − 24 = 1

2

3

2

15x 2,1

±=

Άρα x < 2 ή x > 3 Άρα Α=(−∞, 2)∪(3, +∞)

x −∞ 2 3 +∞

x2−5x+6 + − +

4

6. Τριγωνοµετρικές

f1(x) = ηµ(g(x))

ή f2(x) = συν(g(x)) ή f3(x) = εφ(g(x))

ή f4(x) = σφ(g(x))

• Για τις f1, f2 δεν υπάρχουν περιορισµοί οπότε A = R

• Για την f3 πρέπει g(x)≠κπ+

2

π , ,κ∈Ζ.

• Για την f4 πρέπει g(x)≠κπ ,κ∈Ζ.

f3(x) = εφ(2x + 3

π )

πρέπει 2x + 3

π ≠ κπ +

2

π

είναι 2x + 3

π = κπ +

2

π⇔

2x = κπ + 3

π

2

π− ⇔

2x= κπ + 6

π ⇔ x =

12

π

2

κπ+

Άρα Α=R−12

π

2

κπ+ , κ∈Z

Βασικές Συναρτήσεις – Χρήσιµα Στοιχεία

Τύπος Συνάρτησης Γραφική παράσταση

Πεδίο Ορισµού: Α Σύνολο τιµών: Β

Μονοτονία Ακρότατα Παρατηρήσεις

1) f(x) ==== αx ++++ β

α > 0

Α = R

Β = R

• Αν α>0 τότε f γνησίως αύξουσα.

• Αν α<0 τότε f γνησίως

φθίνουσα. • Αν α=0 τότε f σταθερή.

∆εν έχει

Αν α < 0 τότε:

2) f(x) ==== αx2, α≠0

a > 0

(παραβολή)

A = R • Αν α > 0

Β = [0, +∞)

• Αν α < 0 Β = (−∞,0]

• Αν α>0 τότε f γνησίως αύξουσα στο [0, +∞) και f γνησίως φθίνουσα στο (−∞, 0].

• Αν α<0 τότε f γνησίως

αύξουσα στο (−∞,0] f γνησίως φθίνουσα στο

[0, +∞)

Αν α>0 τότε έχει

ολικό ελάχιστο το f(0) = 0.

Αν α<0 τότε έχει

ολικό µέγιστο στο f(0) = 0.


Άξονας

συµµετρίας ο yy’.

3) f(x) ==== x

α, α≠0

a > 0

(υπερβολή)

A=R−0= R*

Β = R*

• Αν α > 0 τότε f γνησίως

φθίνουσα στα (−∞,0), (0,+ ∞).

• Αν α < 0 τότε f γνησίως αύξουσα στα (−∞,0), (0,+ ∞).

∆εν έχει.


Ασύµπτωτες: xx’, yy’. Κέντρο συµµετρίας το

(0, 0).

4) f(x)====αx, α>0, α≠1

(π.χ. f(x) = ex)

a > 1

(εκθετική)

A=R Β = (0, +∞)

• Αν α > 1 τότε f γνησίως

αύξουσα στο Α. • Αν 0 < α < 1 τότε f

γνησίως φθίνουσα στο Α

∆εν έχει

Αν 0 < α < 1 τότε:

Ασύµπτωτη ο xx’.

5) f(x)====lnx ή f(x)====logx

(λογαριθµική)

A=(0, +∞) Β = R

Γνησίως αύξουσα στο Α. ∆εν έχει Ασύµπτωτη ο yy’.

ω β

y = ax + β α = εφω

1

ω

β α=εφω

β f(x)=β

5

6) f(x) ==== ηµx

Α = R

Β = [−1, 1]

• Γνησίως αύξουσα στα: [0, π/2], [3π/2, 2π]

• Γνησίως φθίνουσα στο:

[π/2, 3π/2]

Ολικό µέγιστο για

x = π/2 το f(π/2)=1.

Ολικό ελάχιστο για x = 3π/2 το f(3π/2)=−1.

Περιοδική µε

περίοδο Τ = 2π οπότε η µονοτονία

και τα ακρότατα επαναλαµβάνονται κάθε 2π.

7) f(x) ==== συνx

A = R

Β = [−1, 1]

• Γνησίως φθίνουσα στο:

[0, π] • Γνησίως αύξουσα στο:

[π, 2π]

• Ολικά µέγιστα για

x = 0 και x = 2π, το f(0) = f(2π) = 1.

• Ολικό ελάχιστο για

x = π, το f(π) = −1

Περιοδική µε περίοδο Τ = 2π

οπότε η µονοτονία και τα ακρότατα

επαναλαµβάνονται κάθε 2π.

Όριο Συνάρτησης

Η f έχει όριο στο xo , τον αριθµό ℓ∈R, όταν καθώς το x πλησιάζει τον αριθµό xo µε οποιοδήποτε τρόπο είναι εφικτό, πάνω στον xx’, τα f(x) πλησιάζουν τον αριθµό ℓ πάνω στον yy’. Συµβολίζουµε µε (((( )))) ====

→→→→xflim

0xxℓ

Σχηµατική Ερµηνεία – Περιπτώσεις Πεδίο Ορισµού σε σχέση

µε το xo. Γραφική Παράσταση Όριο – Τιµή f(x)

1. Α=(α, xo)∪(xo, β)

όταν x→xo τότε f(x)→ℓ

• ( ) =→

xflimoxx

ℓ

• ∆εν υπάρχει f(xo).

2. Α=(α, xo)


• ( ) =→

xflimoxx

ℓ


3. A=(xo, β)


• ( ) =→

xflimoxx

ℓ


4. Α=(α, β), xo∈A

• ( ) =→

xflimoxx

ℓ

• f(xo)=ℓ

1

−1

0 2

π

2

π3

π 2π

1

−1

0 2

π2

π3 π 2π

a β

ℓ

f(x)

f(x)

x x xo

a

ℓ

f(x) x xo

β

ℓ

f(x)

x xo

a β

ℓ

f(x)

f(x)

x x xo

6

5. Α=(α, β), xo∈A


• ( ) =→

xflimoxx

ℓ

• f(xo) ≠ ℓ

Συνέχεια Στην περίπτωση 4 παρατηρούµε ότι ( ) ( )o

xxxfxflim

o

=→

. Τότε λέµε ότι η f

είναι συνεχής στο xο.

Αν επιπλέον ισχύει ότι ( ) ( )oxx

xfxflimo

=→

, για κάθε xο∈Α τότε λέµε ότι η f

είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισµού της Α. Προφανώς (από τα σχήµατα 4, 5) χαρακτηριστικό µιας συνεχούς συνάρτησης είναι η αδιάκοπτη γραφική της παράσταση στο πεδίο ορισµού της Α.


Για να είναι δυνατόν να υπάρχει το όριο της f(x) στο xo πρέπει το πεδίο ορισµού της να είναι της µορφής:

(α, xo) ∪ (xo, β) ή (xo, β) ή (α, xo) ή (α, β) µε xo∈(a, β)

Όλες οι γνωστές µας συναρτήσεις, πολυωνυµικές, τριγωνοµετρικές, εκθετικές, λογαριθµικές αλλά και οι πράξεις µεταξύ τους, είναι συνεχείς συναρτήσεις.

Αν δύο συναρτήσεις f και g έχουν στο xo όρια πραγµατικούς αριθµούς δηλαδή αν

oxxlim→

f(x) = ℓ και oxx

lim→

g(x) = κ, µε ℓ, κ∈R, τότε ισχύει ο παρακάτω πίνακας:

Πίνακας πράξεων ορίων

Πράξη Μεθοδολογία

Παράδειγµα Έστω

2xlim→→→→

f(x)====3 και

2x

lim→→→→

g(x)====2

1. oxx

lim→→→→

(f(x)++++g(x))

(όριο πρόσθεσης συναρτήσεων)

oxxlim→

f(x) + oxx

lim→

g(x) =ℓ + κ 2x

lim→

(f(x)+g(x))=

2xlim→

f(x) + 2x

lim→

g(x) = 3+ 2 = 5

2. oxx

lim→→→→

(µf(x)), µ∈R oxx

lim→

(µf(x)) = µ⋅oxx

lim→

f(x) 2x

lim→

(5f(x)) =

52x

lim→

f(x) = 5⋅3 = 15

a β

ℓ f(x)

f(x)

x x xo

f(xo)

7

3. oxx

lim→→→→

(f(x)g(x))

(όριο γινοµένου συναρτήσεων)

oxxlim→

f(x)⋅ oxx

lim→

g(x) = ℓ⋅κ 2x

lim→

(f(x)⋅g(x)) =

2xlim→

f(x)⋅ 2x

lim→

g(x) = 3⋅2 = 6

4. oxx

lim→→→→

)x(g

)x(f

(όριο πηλίκου συναρτήσεων)

( )xglim

)x(flim

o

o

xx

xx

→

→ =

κ

ℓ, κ ≠ 0 2x

lim→

)x(g

)x(f =

( )

( )xglim

xflim

2x

2x

→

→ = 2

3

5. oxx

lim→→→→

(fv(x)), ν∈N* (oxx

lim→

f(x))v = ℓv 2x

lim→

(f3(x)) =

(2x

lim→

f(x))3 = 33 = 27

6. oxx

lim→→→→

v )x(f , v∈N*

v ≥ 2, f(x) ≥ 0

vv

xx)x(flim

o

ℓ=→

, ℓ ≥ 0 2x

lim→

)x(f = 3)x(flim2x

=→

1.2 – 1.3 Η έννοια της παραγώγου

1.2 Παράγωγος της f στο σηµείο x ==== xo.

Μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο xo του πεδίου ορισµού

της, αν υπάρχει το όριο ( ) ( )

h

xfhxflim oo

0h

−+→

, και είναι πραγµατικός

αριθµός. Το όριο αυτό ονοµάζεται παράγωγος της f στο xo και συµβολίζεται µε f’(xo), εποµένως:

Ρυθµός Μεταβολής Έστω µια συνάρτηση f µε τύπο y = f(x) και πεδίο ορισµού το Α. Η τιµή της f στο xo (δηλαδή f(xo)) εκφράζει την τιµή του µεγέθους y όταν το x = xo µε xo∈A. Η παράγωγος της f στο xo (δηλαδή f’(xo)) εκφράζει τον ρυθµό µεταβολής του µεγέθους y ως προς το µέγεθος x όταν x = xo. Συναρτήσεις Ρυθµός Μεταβολής Συνάρτησης όταν x ==== xo

• y = x(t) η θέση του

κινητού (αποµάκρυνση) συναρτήσει του χρόνου

t.

• Η στιγµιαία ταχύτητα την χρονική στιγµή to, είναι ο

ρυθµός µεταβολής της αποµάκρυνσης, για t = to

• υ(to) = x’(to) = ( ) ( )

h

txhtxlim oo

0h

−+

→

• υ(t) η ταχύτητα του κινητού συναρτήσει του χρόνου t.

• Η στιγµιαία επιτάχυνση την χρονική στιγµή to είναι ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας για t = to.

• α(tο) = υ’(to) = ( ) ( )

h

tυhtυlim oo

0h

−+

→

• E(ρ) το εµβαδόν του κύκλου συναρτήσει της ακτίνας του ρ.

• Ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού όταν ρ = ρο είναι:

Ε’(ρο) = ( ) ( )

h

ρΕhρΕlim oo

0h

−+

→

8

• C(x) η συνάρτηση του κόστους για παραγωγή x µονάδων προϊόντος.

• Το οριακό κόστος για x = xo προϊόντα (C΄(xo)) είναι ο ρυθµός µεταβολής του κόστους

C΄(xo) = ( ) ( )

h

xChxClim oo

0h

−+

→

Εφαπτοµένη Καµπύλης Για να ορίσουµε της εφαπτοµένη της καµπύλης Cf µιας συνάρτησης f σε κάποιο σηµείο της Α(xo, f(xo)) (όπου xo ανήκει στο πεδίο ορισµού της f), θεωρούµε άλλο σηµείο Μο(xo+h, f(xo+h)) µε h ≠ 0 και παρατηρούµε ότι καθώς το Μ κινούµενο πάνω στην Cf πλησιάζει το Α (δηλαδή h → 0) η ευθεία ΑΜ τείνει να πάρει µια οριακή θέση (ε) η οποία λέγεται εφαπτοµένη της Cf στο Α.

Συντελεστής ∆ιεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης µιας συνάρτησης f στο (xo, f(xo)), είναι η παράγωγος της f στο xo. ∆ηλαδή:

λε = εφω = ( ) ( ) ( )o

oo

hxf

h

xfhxf'lim

0=

−+→

(1).

Η Εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης Cf στο xo

y ==== f’(xo)x ++++ β

1.3 Παράγωγος Βασικών Συναρτήσεων

Συνάρτηση Παράγωγος Συνάρτησης

f(x) = c 1. f’(x) = (c)’ = 0

f(x) = x 2. f’(x) = (x)’ = 1

f(x) = xp 3. f’(x) = (xp)’ = pxp−1

f(x) = x 4. f’(x) = ( )x2

1x

2

1xx 2

1

2

1

==

′

=

′ −

f(x) = ηµx 5. f’(x) = (ηµx)’ = συνx

f(x) = συν x 6. f’(x) = (συνx)’ = − ηµx

f(x) = ex 7. f’(x) = (ex)’ = ex

f(x) = lnx 8. f’(x) = (lnx)’= x

1

y

M(xo+h, f(xo+h))

(xo, f(xo))A

O xo ←←←← xo+h x

f(xo)

f(xo+h)

φ ω

(ε)

9

Κανόνες Παραγώγισης Κανόνες Παραγωγίσης Παράδειγµα

1.(c · f(x))΄ = c · f’(x) (6 lnx)’ = 6 (lnx)’ = x

16 ⋅

2.(f(x)+g(x))’ = f’(x)+g’(x) (x2 + 2x + 1)’ = (x2)’ + (2x)’ + (1)’ = 2x + 2

3.(f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) (4x2ηµx)’ = (4x2)’ηµx + 4x2(ηµx)’ = 4(x2)’ηµx + 4x2συνx =

= 8xηµx + 4x2συνx

4.( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )xg

x'gxfxgx'f

xg

xf2

−=

′

(εφx)’ = ′

xσυν

xηµ ( ) ( )=

−=

xσυν

'xσυνxηµxσυν'xηµ2

( )

=−−

=χσυν

xηµxηµxσυνxσυν2

xσυν

1

xσυν

xηµxσυν22

22=

+=

Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Έστω f, g δύο παραγωγίσιµες συναρτήσεις τότε:

[f(g(x))]’ = f’(g(x)) · g’(x)

Παράγωγοι Απλών Συναρτήσεων

Παράγωγοι Σύνθετων Συναρτήσεων Παραδείγµατα

(xv)’ = v · xv-1 1. [hv(x)]’=vhv-1(x)·h’(x)

(συν3x)’ = [(συνx)3]’ =

3συν2x (συνx)’ = 3συν2x (−ηµx) = −3συν2xηµx

2x

1

x

1−=

′

, x≠ 0

2. ( ) ( )

( ) =−=′

x'h

xh

1

xh

12

( )( )xh

x'h2

−=

( )′−=′

xln

xln

1

xln

12

= xlnx

12

−

( )x2

1x =

′ 3. ( )( )

( )( )x'h

xh2

1xh =

′ ( ) ( ) =′=

′xηµ

xηµ2

1xηµ

xηµ2

xσυν

(ηµx)’ = συνx 4. ( )( ) ( ) ( )x'hxhσυνxhηµ ⋅=′ ( )( ) ( )( ) ( )x

xlnσυνxlnxlnσυνxlnηµ =′=′

(συνx)’ = − ηµx 5. (συνh(x))’=−ηµh(x)·h’(x) (συνx3)’ = −ηµx3(x3)’ = = −ηµx3(3x2) = = −3x2ηµx3

(ex)’ = ex 6. (eh(x))’ = eh(x)·h’(x) ( ) =′

=′

3xx xee

33 3x2ex3

(lnx)’ = x

1 7. (lnh(x))’ =

( )xh

1h’(x)

(ln ηµx)’ = xηµ

1(ηµx)’ =

= xηµ

xσυν = σφx

(εφx)’ =xσυν

12

8. (εφh(x))’=( )xhσυν

12

h’(x) (εφ2x)’ = ( )'x2

x2συν

12

=

= x2συν

22

10

(σφx)’ = xηµ

12

− 9. (σφh(x))’=( )

( )x'hxhηµ

12

−

(σφx2)’ = ( )'xxηµ

1 222

− =

= 22xηµ

x2−

1.4 Εφαρµογές Παραγώγων Μονοτονία & Ακρότατα Παραγωγίσιµων Συναρτήσεων

Θεωρήµατα Γεωµετρική Ερµηνεία

Γνησίως Αύξουσα: Αν η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ∆ και ισχύει f’(x) > 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του ∆, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο ∆ και συµβολίζεται f

Όταν µια συνάρτηση f

είναι γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστηµα ∆ τότε όπως παρατηρούµε από την Cf σε κάθε σηµείο

της, η εφαπτοµένη σχηµατίζει µε τον xx’ οξεία γωνία Άρα f’(xo) = λε = εφω > 0

Γνησίως Φθίνουσα: Αν η συνάρτηση f είναι

παραγωγίσιµη σ’ ένα διάστηµα ∆ και ισχύει f’(x) < 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του ∆ τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ∆.

Συµβολίζεται f

Όταν µια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο ∆ τότε όπως παρατηρούµε από την Cf σε κάθε σηµείο

της, η εφαπτοµένη σχηµατίζει µε τον xx’ αµβλεία γωνία.

Άρα f’(xo) = λε = εφω < 0.

Μέγιστο: Αν για µια παραγωγίσιµη

συνάρτηση f ισχύουν: f’(xo) = 0 , όπου xo∈(a, β) f’(x) > 0 στο (α, xo)

f’(x) < 0 στο (xo, β)

τότε η f παρουσιάζει στο διάστηµα (α, β) για x = xo µέγιστο το f(xo).

Αν για την συνάρτηση f προκύπτει ο παρακάτω πίνακας µεταβολών

παρατηρούµε

από την Cf, ότι

η f,

στο xo έχει µέγιστο το f(xo).

Ελάχιστο: Αν για µια παραγωγίσιµη

συνάρτηςη f ισχύουν: f’(xo) = 0 , όπου xo∈(a, β)

f’(x) < 0 στο (α, xo) f’(x) > 0 στο (xo, β)

τότε η f παρουσιάζει στο διάστηµα (α, β) για

x = xo ελάχιστο το f(xo).

Αν για την συνάρτηση f προκύπτει ο παρακάτω πίνακας µεταβολών

παρατηρούµε

από την Cf, ότι

η f,

στο xo έχει ελάχιστο το f(xo).

x a xo β

f’(x) − +

f

α β

f(xo)

xo

y

x

β

xo

α

f(xo)

y

x

x a xo β

f’(x) + −

f

Α (xo, f(xo))

ω > 90ο

x

y

Ο

A(xo, f(xo)

ω < 90ο

x

y

Ο

11


Αν γνωρίζουµε ότι η παραγωγίσιµη συνάρτηση f έχει ακρότατο σε κάποιο εσωτερικό σηµείο xo του πεδίου ορισµού της τότε σίγουρα f’(xo) = 0.

Στο εσωτερικό σηµείο xo όπου η f δέχεται ακρότατο, παρατηρούµε ότι f’(xo) = 0 , δηλαδή η εφαπτοµένη της f είναι παράλληλη στον xx’.

Αν f’(xo) = 0 και η f’ διατηρεί σταθερό πρόσηµο στα διαστήµατα (α, xo) και (xo, β) τότε η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο x = xo.

Αν f’(x) = 0 για κάθε x∈(α, β) τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατα στο (α, β), αφού η f είναι σταθερή για κάθε x∈(α, β).

Εποµένως από τις παραπάνω παρατηρήσεις γίνεται φανερό ότι η συνθήκη f’(xo) = 0, για x∈(a, β) είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή, για την ύπαρξη ακρότατων.

Ερωτήσεις θεωρίας

1. Τι ονοµάζεται συνάρτηση

2. Τι ονοµάζεται ανεξάρτητη και τι εξαρτηµένη µεταβλητή

3. Ποια τα πεδία ορισµού του αθροίσµατος, της διαφοράς του γινοµένου και του πηλίκου.

4. Τι ονοµάζεται γραφική παράσταση συνάρτησης

5. Σχεδιάστε τις βασικές γραφικές παραστάσεις

6. Ποια συνάρτηση ονοµάζεται γνησίως αύξουσα (γνησίως φθίνουσα)

7. Τι ονοµάζεται τοπικό µέγιστο και τι τοπικό ελάχιστο

8. Ποια συνάρτηση ονοµάζεται συνεχής

9. Τι ονοµάζουµε στιγµιαία και τι µέση ταχύτητα

10. Τι ονοµάζεται παράγωγος της συνάρτησης στο Χ0

11. Τι ονοµάζεται παράγωγος της συνάρτησης στο διάστηµα Α

12. Ποιες είναι οι παράγωγοι των γνωστήν συναρτήσεων (σταθερής , χ, χν)

13. Να γραφούν οι κανόνες παραγώγισης των συναρτήσεων: i. cf(x) ii. f(x)+g(x) iii. f(x)g(x) iv. f(x)/g(x)

14. Να γραφεί το κριτήριο της πρώτης παραγώγου

15. Πότε µια συνάρτηση παρουσιάζει µέγιστο – ελάχιστ

12

Ερωτήσεις κατανόησης

Ερωτήσεις επιλογής Σωστού – Λάθους

1. Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ΄ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

Σ Λ

2. Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε περισσότερα του ενός στοιχεία ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

Σ Λ

3.

H σχέση f, µε τύπο f(x) =

ρρητοςςρητ

άx

όx

,1

,0 είναι συνάρτηση.

Σ Λ

4. Η σχέση x2 + y2 = 1 όπου x, y ∈R, είναι συνάρτηση. Σ Λ

5. Η σχέση g µε τύπο g(x) = x2 είναι συνάρτηση. Σ Λ

6. Η σχέση f µε τύπο f(x) = 20x είναι συνάρτηση. Σ Λ

7. Η σχέση h µε τύπο h(t) = ± t2 , t∈R+, είναι συνάρτηση. Σ Λ

8. Η σχέση f µε τύπο f(t) = t2 , t∈R+, είναι συνάρτηση. Σ Λ

9. Αν για µια συνάρτηση f, που έχει πεδίο ορισµού το Α⊆R, ισχύει f(x) = f(y) για κάποια x, y ∈A, τότε x = y.

Σ Λ

10. Αν οι συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σ΄ ένα σύνολο Α, τότε και η συνάρτηση S = f + g ορίζεται στο ίδιο σύνολο.

Σ Λ

11. Αν οι συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σ΄ ένα σύνολο Α,

τότε και η συνάρτηση h = g

f ορίζεται πάντοτε στο ίδιο

ακριβώς σύνολο.

Σ Λ

12. Μια συνάρτηση γνησίως µονότονη είναι πάντοτε γνησίως αύξουσα.

Σ Λ

13. Κάθε πολυωνυµική συνάρτηση είναι συνεχής. Σ Λ

14. Οι συναρτήσεις f(x) = ηµx και g(x) = συνx είναι συνεχείς. Σ Λ

15. Η συνάρτηση f(x) = x

1, x > 0, είναι συνεχής.

Σ Λ

16. Η συνάρτηση f(x) = x

1, x < 0, είναι συνεχής.

Σ Λ

17. Η έννοια της συνέχειας µιας συνάρτησης αναφέρεται µόνο σε σηµεία του πεδίου ορισµού της.

Σ Λ

18. Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού το Α, λέγεται συνεχής αν είναι συνεχής, σε κάθε σηµείο του συνόλου Α.

Σ Λ

19. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε σηµεία x1, x2∈∆ µε x1 > x2 ισχύει f(x1)<f(x2).

Σ Λ

20. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε σηµεία x1, x2∈∆ µε x1<x2 ισχύει f(x1)<f(x2).

Σ Λ

13

21. H παράγωγος f΄(xo) µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f σ΄ ένα σηµείο xo του πεδίου ορισµού της είναι πραγµατικός αριθµός.

Σ Λ

22. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης που είναι η γραφική παράσταση µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης της f, στο σηµείο (xo, f(xo)) αυτής, είναι η παράγωγος της f στο xo.

Σ Λ

23. Η παράγωγος µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f σ΄ ένα σηµείο xo του πεδίου ορισµού της εκφράζει το ρυθµό µεταβολής της y = f(x), ως προς x, όταν x = xo.

Σ Λ

24. Η παράγωγος f΄(xo) µιας συνάρτησης f σ΄ ένα σηµείο xo του

πεδίου ορισµού της ισούται µε το h

)x(f)hx(flim oo

0h

−+→

, h∈R,

h ≠ 0.

Σ Λ

25. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ΄ ένα σηµείο xo του πεδίου ορισµού της, όταν και µόνο όταν υπάρχει το

h

)x(f)hx(flim oo

0h

−+→

, h∈R, h ≠ 0.

Σ Λ

26. Η συνάρτηση f(x) = x είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο xo = 0. Σ Λ

27. Η συνάρτηση f(x) = x είναι συνεχής στο σηµείο xo = 0. Σ Λ

28. Αν µια συνάρτσηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο xo του

πεδίου ορισµού της, τότε το όριο h

)x(f)hx(flim oo

0h

−+→

, h ≠

0, ισούται µε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης, που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σηµείο (xo,f(xo)) αυτής.

Σ Λ

29. Η παράγωγος της συνάρτησης f(x)= x , x∈R+, είναι

f΄(x)=x2

1.

Σ Λ

30. H παράγωγος της συνάρτησης g(κ) = κq, όπου q∈Q, κ>0 είναι g΄(κ) = qκq-1.

Σ Λ

31. Οι παράγωγοι των συναρτήσεων f(x) = ηµx και g(x)=συνx είναι αντίστοιχα f΄(x) = (ηµx)΄ = συνx και g΄(x) = (συνx)΄ = −ηµx.

Σ Λ

32. Οι παράγωγοι των συναρτήσεων Ε(x) = ex και L(x) = lnx είναι

αντίστοιχα Ε΄(x) = (ex)΄ = ex και L΄(x)=(lnx)΄=x

1.

Σ Λ

33. Αν η πρώτη παράγωγος µιας συνάρτησης g είναι η σταθερή συνάρτηση 1, τότε η g είναι της µορφής g(x)=cx, c∈R − 1.

Σ Λ

34. Αν η πρώτη παράγωγος µιας πολυωνυµικής συνάρτησης g είναι 4ου βαθµού, τότε η g είναι 5ου βαθµού.

Σ Λ

35. Αν η δεύτερη παράγωγος µιας πολυωνυµικής συνάρτησης g είναι σταθερή, τότε η g είναι το πολύ 2ου βαθµού.

Σ Λ

36. Η συνάρτηση f΄ µε f΄(x) = h

)x(f)hx(flim

0h

−+→

, h ≠ 0, όπου x Σ Λ

14

τα σηµεία του πεδίου ορισµού της f στα οποία η f είναι παραγωγίσιµη, λέγεται (πρώτη) παράγωγος της f.

37. H παράγωγος (αν υπάρχει) της συνάρτησης g΄ λέγεται πρώτη παράγωγος της g.

Σ Λ

38. H παράγωγος (αν υπάρχει) της συνάρτησης g΄΄ λέγεται τρίτη παράγωγος της g.

Σ Λ

39. Η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = 5 είναι f΄(x) = 5x. Σ Λ

40. Η παράγωγος της συνάρτησης s(t) = t είναι s΄(t) = 1. Σ Λ

41. Θέσεις πιθανών ακροτάτων συνάρτησης f ορισµένης και συνεχούς σ΄ ένα διάστηµα ∆ είναι µόνο τα σηµεία στα οποία η f παραγωγίζεται.

Σ Λ

42. Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ΄ ένα εσωτερικό σηµείο xo του πεδίου ορισµού της, και υπάρχει η παράγωγος f΄(xo), τότε f΄(xo) = 0.

Σ Λ

43. Αν για µια συνάρτηση f, ορισµένη και συνεχή σ΄ ένα διάστηµα ∆, υπάρχει η f΄(xo) και είναι f΄(xo) ≠ 0, µε xo εσωτερικό σηµείο του ∆, τότε το xo είναι θέση τοπικού ακρότατου της f.

Σ Λ

44. Έστω συνάρτηση f, ορισµένη και συνεχής σ΄ ένα διάστηµα ∆. Τα εσωτερικά σηµεία του ∆, στα οποία η f παραγωγίζεται και η παράγωγος ισούται µε µηδέν, είναι θέσεις πιθανών τοπικών ακροτάτων της.

Σ Λ

45. Έστω συνάρτηση f, ορισµένη και συνεχής σ΄ ένα διάστηµα ∆. Τα εσωτερικά σηµεία x του ∆, στα οποία η f παραγωγίζεται και η παράγωγος f΄(x) ισούται µε µηδέν, είναι θέσεις πιθανών τοπικών ακροτάτων της.

Σ Λ

46. Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ΄ ένα εσωτερικό σηµείο xo ενός διαστήµατος του πεδίου ορισµού της και είναι παραγωγίσιµη στο xo, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (xo, f(xo)) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

Σ Λ

47. Στο σχήµα παρουσιάζεται η γραφική παράσταση µιας συνεχούς συνάρτησης f. Να χαρακτηρίσετε µε (Σ) ή (Λ) τις παρακάτω προτάσεις:

i) Το πεδίο ορισµού της f είναι [−2, 7] Σ Λ ii) Το πεδίο ορισµού της f είναι (−2, 7] Σ Λ iii) Η συνάρτηση f παρουσιάζει στο διάστηµα (2, 4) τοπικό

µέγιστο, για x = 3. Σ Λ

iv) Ισχύει ότι f΄(3) ≠ 0. Σ Λ v) Ισχύει f΄(x) > 0 για x∈(2, 3) και f΄(x) > 0 για x∈(3,4). Σ Λ

x΄ 0 −1 −2 1 2 3 4 5 6 7

x

15

vi) Στο διάστηµα (2, 3) η συνάρτηση f είναι αύξουσα. Σ Λ vii) Ισχύει f΄(5) ≠ 0. Σ Λ viii) Οι εφαπτοµένες της γραφικής παράστασης της f στα σηµεία

(3, f(3)) και (5, f(5)) είναι παράλληλες µεταξύ τους. Σ Λ

Ερωτήσεις πολαπλής επιλογής 1. To παρακάτω διάγραµµα είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης

Α. f(x)=

<

−≤<−∞

x1,2

1x,x2

Β. f(x)=

≤

<<−∞

x1,2

1x,x

1

Γ. f(x) =

≤

<<−∞

x1,2

1x,x2

∆. f(x) =

≤

<<−∞

x1,2

1x,ex

Ε. f(x) =

<

≤<−∞

x1,2

1x,x

12

2. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης µε γραφική παράσταση που παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήµα, είναι:

Α. (−∞, 2)

Β. (−∞, 3] Γ. (−∞, + ∞)

∆. (−∞, 3] Ε. (0, 3]

3. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = 2x1

1

− είναι

Α. Β. Γ. ∆. Ε.

[−1, 1] [−1, +∞) (−1, 1) (−∞, 1] (−∞, +∞)

x x΄

2

0 1

y΄

y

x x΄

2

0

−3

y΄

y΄

3

16

4. To παρακάτω διάγραµµα είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης

Α. f(x)= −x

Β. f(x)= x

Γ. f(x) =

x

1

∆. f(x) = −x

1

Ε. f(x) = −2x

5. To παρακάτω διάγραµµα είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης

Α. f(x)= x2

Β. f(x)= −x2

Γ. f(x) = −

2x

1

∆. f(x) = 2x

1

Ε. f(x) = x

1

6. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σηµείο xo του πεδίου ορισµού της, αν και µόνο αν

Α. ισχύει f(xo) = 0 Β. ισχύει f(xo) ≠ 0 Γ. υπάρχει το

oxxlim→

f(x)

∆. ισχύει oxx

lim→

f(x) = f(xo)

Ε. ισχύει oxx

lim→

f(x) ≠ f(xo)

7. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ΄ ένα σηµείο xo του πεδίου ορισµού της, αν και µόνο αν

Α. υπάρχει το

0hlim→ h

)h(f)hx(f o −+, h∈R, h ≠ 0

Β. υπάρχει το

0hlim→ h

)x(f)hx(f oo −+, h∈R, h ≠ 0

x x΄

ω

0

y

y΄

ω

x x΄ 0

y

y΄

17

Γ. υπάρχει το

0hlim→ h

)x(f)hx(f oo −+, h∈R, h ≠ 0 και είναι πραγµατικός

αριθµός

∆. το 0h

lim→ h

)x(f)hx(f oo −+ = + ∞, h∈R, h ≠ 0

Ε. το

0hlim→ h

)x(f)hx(f oo −+ = − ∞, h∈R, h ≠ 0

8. H παράγωγος µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f, σ΄ ένα σηµείο xo του πεδίου ορισµού της, εκφράζει

Α. την τιµή συνάρτησης στη θέση xo

Β. την τιµή του κλάσµατος h

)x(f)hx(f oo −+, h ≠ 0

Γ. το ρυθµό µεταβολής της f(x) ως προς x, όταν x = xo ∆. το ρυθµό µεταβολής της f(x) ως προς x − xo Ε. κανένα από τα παραπάνω

9. Παράγωγος f΄(xo) µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f σ΄ ένα σηµείο xo του πεδίου ορισµού της ονοµάζουµε

Α. το πηλίκο

h

)x(f)hx(f oo −+, h∈R, h ≠ 0

Β. το0h

lim→

(f(xo + h) − f(xo)), h∈R, h ≠ 0

Γ. το

0hlim→ h

)x(f)hx(f oo −+, h∈R, h ≠ 0

∆. το

0hlim→ h

)hx(f o +, h∈R, h ≠ 0

Ε. το πηλίκο

h

)hx(f o +, h∈R, h ≠ 0

10. Εάν S(t) είναι η θέση ενός κινητού τη χρονική στιγµή t, που κινείται

ευθύγραµµα, τότε το κλάσµα h

)x(S)hx(S oo −+, h∈R, h ≠ 0 εκφράζει

Α. Β. Γ. ∆. Ε.

τη στιγµιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή t = to τη µέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστηµα [to, to + h] τη µέση τιµή της επιτάχυνσης στο χρονικό διάστηµα [to, to + h] τη στιγµιαία τιµή της επιτάχυνσης τη χρονική στιγµή t = to τη διαφορά του διαστήµατος που διήνυσε το κινητό από τη χρονική στιγµή to µέχρι τη χρονική στιγµή to + h

11. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε διάστηµα ∆ ⊆ R και γνησίως φθίνουσα στο ∆, τότε η f΄ είναι αρνητική

Α. Β. Γ.

µόνο σ΄ ένα σηµείο του ∆ σε όλα τα εσωτερικά σηµεία του ∆ στο σηµείο µηδέν

18

∆. Ε.

µόνο στα σηµεία που µηδενίζουν την f κανένα από τα παραπάνω

12. Η συνάρτηση f, παραγωγίσιµη σ΄ ένα ανοικτό διάστηµα ∆, είναι γνησίως αύξουσα στο ∆, αν ισχύει

Α. Β. Γ. ∆. Ε.

f΄(x) = 0, για κάθε σηµείο x του ∆ f(x) = 0, για κάθε σηµείο x του ∆ f΄(x) > 0, για κάθε σηµείο x του ∆ f΄(x) < 0, για κάθε σηµείο x του ∆ κανένα από τα παραπάνω

13. H παράγωγος της συνάρτησης f(x) = x2 είναι (για h ≠ 0)

Α.

2hlim→ h

)hx2(h +

Β. 0h

lim→

h(2x + h)

Γ.

0hlim→ h

x)hx( 22 −+

∆. 2 Ε. x

14. Αν ο µεγιστοβάθµιος όρος µιας πολυωνυµικής συνάρτησης είναι axa, όπου α ≠ 0, α ≠ 1, τότε η παράγωγός της είναι

Α. Β. Γ. ∆. Ε.

σταθερή συνάρτηση τριγωνοµετρική συνάρτηση πολυωνυµική συνάρτηση µε µεγιστοβάθµιο όρο τον α2xa-1 πολυωνυµική συνάρτηση µε µεγιστοβάθµιο όρο τον axa-1 δεν µπορούµε να το γνωρίζουµε χωρίς τον τύπο της συνάρτησης

15. H συνάρτηση h(x) = 2x είναι

Α. σύνθεση των συναρτήσεων f(x) = x και g(x) = x

Β. σύνθεση των συναρτήσεων f(x) = x2 και g(x) = 2x

Γ. άλλη µορφή της συνάρτησης f(x) = x ∆. άλλη µορφή της συνάρτησης f(x) = x

Ε. κανένα από τα παραπάνω

16. H συνάρτηση f(x) = ηµ3x είναι

Α. άλλη µορφή της συνάρτησης f(x) = 3ηµx Β. η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = συν3x Γ. σύνθεση των συναρτήσεων f(x) = ηµx, g(x) = 3x

∆. η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = 3

x3συν

Ε. κανένα από τα παραπάνω

19

2. Στατιστική

2.1 Βασικές Έννοιες στη Στατιστική

Παραδείγµατα µεταβλητών

Ποσοτικές (οι τιµές τους είναι αριθµοί)

∆ιακριτές (οι τιµές τους είναι ακέραιοι

αριθµοί)

Συνεχείς (οι τιµές τους είναι ένα διάστηµα

των πραγµατικών αριθµών)

Αριθµός υπαλλήλων (1, 2, 3....). Πληθυσµός µιας πόλης (20, 30, ..., σε χιλιάδες)

Βάρος παικτών µιας οµάδας. Χρόνοι των αθλητών σε µια κούρσα Πίεση του αίµατος

Ποιοτικές (οι τιµές τους δεν είναι αριθµοί)

Οµάδα αίµατος (Α, Β, ΑΒ, Ο) Χαρακτηρισµός θεµάτων διαγωνίσµατος (εύκολα, µέτρια, δύσκολα)


Ο διαχωρισµός διακριτών και συνεχών ποσοτικών µεταβλητών µερικές φορές δεν είναι και τόσο σαφής. Για παράδειγµα αν συµφωνήσουµε ότι για το βάρος των αθλητών µας ενδιαφέρουν µόνο τα κιλά και όχι οι υποδιαιρέσεις τους, τότε το βάρος γίνεται διακριτή µεταβλητή.

Η συλλογή των στατιστικών δεδοµένων γίνεται µε απογραφή ή µε δειγµατοληψία.

Απογραφή: έχουµε όταν οι παρατηρήσεις προκύπτουν από όλον τον

πληθυσµό. ∆ειγµατοληψία: έχουµε όταν οι παρατηρήσεις προκύπτουν από ένα κατάλληλα

επιλεγµένο υποσύνολο του πληθυσµού το οποίο καλείται δείγµα.


Η επιλογή του δείγµατος πρέπει κάθε φορά να γίνεται µε καλό και επιστηµονικό σχεδιασµό ώστε αυτό να είναι αντιπροσωπευτικό.

2.2 Παρουσίαση Στατιστικών ∆εδοµένων Συχνότητες Έστω Χ η µεταβλητή (το χαρακτηριστικό) ως προς την οποία εξετάζουµε ένα δείγµα ν παρατηρήσεων και x1, x2, ......xκ, κ ≤ ν, οι τιµές της µεταβλητής αυτής.

Συχνότητα (απόλυτη) νi, της τιµής xi, i = 1, 2, .....,κ, ονοµάζεται ο φυσικός αριθµός που δηλώνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή xi στις παρατηρήσεις.

20

Σχετική συχνότητα fi, της τιµής xi ονοµάζουµε το λόγο της απόλυτης συχνότητας δια το µέγεθος του δείγµατος.

∆ηλαδή: v

vf ii ==== , i ==== 1, 2, .....,κ.

Αθροιστική συχνότητα Νi, της τιµής xi, ονοµάζεται το άθροισµα των συχνοτήτων όλων των τιµών της µεταβλητής που είναι µικρότερες ή ίσες της τιµής xi. ∆ηλαδή: Νi ==== v1 + v2 + ....+ vi.

Σχετική αθροιστική συχνότητα Fi , της τιµής xi, ονοµάζεται το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων όλων των τιµών της µεταβλητής που είναι µικρότερες ή ίσες της τιµής xi ∆ηλαδή: Fi ==== f1 + f2 + .....+ fi.


Χρησιµοποιούνται ακόµη οι fi% = fi · 100, Fi% = Fi · 100, σχετική συχνότητα επί τοις εκατό, και αθροιστική σχετική συχνότητα επί τοις εκατό.

Οι αθροιστικές συχνότητες αφορούν µόνο στις ποσοτικές µεταβλητές.

Κατανοµή συχνοτήτων ονοµάζεται το σύνολο των ζευγών (xi, vi).

Κατανοµή σχετικών συχνοτήτων ονοµάζεται το σύνολο των ζευγών (xi, fi).

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων ή απλά πίνακας συχνοτήτων ονοµάζεται ο πίνακας στον οποίο συγκεντρώνονται οι ποσότητες xi, vi, fi.

Στο ραβδόγραµµα δεν έχει σηµασία το πάχος των στηλών, φτάνει να είναι το ίδιο για κάθε xi, ή η µεταξύ τους απόσταση.

Το κυκλικό διάγραµµα και το σηµειόγραµµα γίνονται όταν οι τιµές της µεταβλητής είναι λίγες.

Το άθροισµα των εµβαδών όλων των ορθογωνίων: ....σε ιστόγραµµα νi, ισούται µε ν ....σε ιστόγραµµα fi, ισούται µε 1 ....σε ιστόγραµµα fi%, ισούται µε 100

Γραφικές Παραστάσεις Μεταβλητές Γραφικές Παραστάσεις

Ποιοτικές • Κυκλικό διάγραµµα

• Ραβδόγραµµα (vi, fi, fi%)

Ποσοτικές (διακριτές)

• Κυκλικό διάγραµµα • Σηµειόγραµµα • ∆ιάγραµµα συχνοτήτων (vi, fi, fi%, Ni, Fi, Fi%) • Πολύγωνο συχνοτήτων (vi, fi, fi%, Ni, Fi, Fi%)

Οµαδοποιηµένες

Παρατηρήσεις

• Κυκλικό διάγραµµα

• Ιστόγραµµα συχνοτήτων (vi, fi, fi%, Ni, Fi, Fi%) • Πολύγωνο συχνοτήτων (vi, fi, fi%, Ni, Fi, Fi%)

21

Οµαδοποίηση των παρατηρήσεων Στην περίπτωση που έχουµε διακριτή ποσοτική µεταβλητή η οποία παίρνει πολλές τιµές ή όταν έχουµε συνεχή µεταβλητή, τότε προκειµένου να κατασκευάσουµε πίνακα συχνοτήτων οµαδοποιούµε τις παρατηρήσεις σε µικρό αριθµό κλάσεων (οµάδων), της µορφής [α, β) (ο τρόπος µε τον οποίο γίνεται η οµαδοποίηση σε ισοπλατείς κλάσεις αναλύεται στο παράδειγµα 3 που ακολουθεί).

Πλάτος της κλάσης ονοµάζεται ο αριθµός c = β − α.

Κεντρική τιµή της κλάσης ονοµάζεται ο αριθµός 2

βax

+= .

Το πλήθος των παρατηρήσεων vi που προκύπτουν από τη διαλογή για την κλάση i ονοµάζεται συχνότητα της κλάσης i, ή συχνότητα της κεντρικής τιµής xi, i = 1, 2, ..., κ.

Μέθοδος Οµαδοποίησης Παρατηρήσεων 1ο βήµα: Αν δεν δίνεται ο αριθµός των κλάσεων τότε επιλέγουµε εµείς τον

κατάλληλο αριθµό ανάλογα µε το µέγεθος του δείγµατος. Συγκερκιµένα:

Μέγεθος δείγµατος ν Αριθµός κλάσεων κ

<20 5

20-50 6

50-100 7

100-200 8

200-400 9

2ο βήµα: Προσδιορίζουµε το πλάτος των κλάσεων χρησιµοποιώντας τον τύπο c= ,

όπου R είναι το εύρος του δείγµατος, δηλαδή η διαφορά της µικρότερης παρατήρησης από την µεγαλύτερη του δείγµατος. Αν ο αριθµός c δεν είναι ακέραιος, τότε στρογγυλοποιούµε πάντα προς τα πάνω. 3ο βήµα: Κατασκευάζουµε τις κλάσεις. Ξεκινάµε από την µικρότερη παρατήρηση (ή λίγο πιο κάτω από αυτή) και προσθέτοντας κάθε φορά τον αριθµό c δηµιουργούµε τις κ- κλασεις. Πάντα το αριστερό άκρο της κλάσης είναι κλειστό και το δεξί ανοιχτό. 4ο βήµα: Κάνουµε διαλογή των παρατηρήσεων. Παρατηρήσεις:

Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όµοιες, οπότε µπορούν να «αντιπροσωπευθούν» από τις κεντρικές τιµές κάθε κλάσης.

Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται οµοιόµορφα κατανεµηµένες σ’ όλο το πλάτος της κλάσης.

Η µεγαλύτερη τιµή του δείγµατος πρέπει να ανήκει στην τελευταία κλάση.

22

2.3 Μέτρα Θέσης και ∆ιασποράς

∆ιακρ

ιτές

ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ x :

είναι το άθροισµα των παρατηρήσεων προς το σύνολο των παρατηρήσεων.

Τύπος:

Παράδειγµα:

== ∑=

4

1iit

4

1x

134

16141210=

+++=

∆ΙΑΜΕΣΟΣ δ: ν παρατηρήσεων διατεταγµένων σε αύξουσα σειρά είναι: α) η µεσαία παρατήρηση αν ν περιττός β) το ηµιάθροισµα των δυο µεσαίων αν ν άρτιος.


α) ν περιττός β) ν άρτιος v=5 περιττός v=4 άρτιος

5,22

5

2

v== 2

2

v=

δ = t3 = 14 =+

=2

ttδ 32

132

1412=

+=

∆ιακρ

ιτές

µε

Συχ

νότη

τα

i

κ

1iii

κ

1ii fxvx

v

1x ∑∑

==

==


8,1210

128x

10

vx

x

4

1iii

==

⋅

=∑=

χρησιµοποιώ στήλη Νi.

Παράδειγµα: a) ν περιττός β) ν άρτιος

ν=81 ν = 80 5.40

2

v= 40

2

v=

δ=t41=14 =+

=2

ttδ 4140

122

1212=

+=

Κλά

σεις

i

κ

1iii

κ

1ii fxvx

v

1x ∑∑

==

==


4,1410

144

10

vx

xi

4

1ii

===∑=

Στα

θµικό

ς Μ

έσος

∑

∑

=

==v

1ii

i

v

1ii

w

wx

x

∑

∑

=

==4

1i1

4

1i11

w

wx

x

144

56==

χρησιµοποιώ το πολύγωνο Fi% και βρίσκω που αντιστοιχεί το 50%.


Πρώτος τρόπος: περίπου δ = 14,5 (µε το µάτι).

∆εύτερος τρόπος: 5,040

20x

40

10

2

x

∆Ε

ΒΓ

∆A

AB==⇔=⇔=

(Θεώρηµα Θαλή) άρα: δ = 14 + 0,5 = 14,5

ti 10 12

14 16

xi vi xi vi

10 12 14

16

2 4 2

2

20 48 28

32

Συν. 10 128

xi vi Νi

10 12

14

16

20 10

20

31

20 30

50

81

Συν 81 -

Κλάσεις xi vi xi vi

[10, 12) [12, 14) [14, 16)

[16, 18)

11 13 15

17

1 3 4

2

11 39 60

34

Συν - 10 144

xi wi xi wi

10

12 14 18

0,7

1,2 0,8 1,3

7

14,4 11,2 23,4

Συν 4 56

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ

xi vi Νi

10 12

14

16

20 30

20

10

20 50

70

80

Συν 80 -


v

tx

v

1ii∑

==

Κλάσεις νi fi % Fi %

[10, 12) [12, 14) [14, 16) [16, 18)

1 3 4 2

10 30 40 20

10 40 80 100

Συν 10 100 -

10 12 14 16 18 κλάσεις δ

Fi% 100

80

50

40

10 x

∆ Α Β Γ

Ε

όπου wi συντελεστής βαρύτητας

ti 10 12

14

16 17

ti 10

12 14

16

όπου xi η κεντρική τιµή κάθε κλάσης

23

ΜΕΤΡΑ ∆ΙΑΣΠΟΡΑΣ ∆ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ: s2 ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ: s ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ: CV

∆ιακριτές Μεταβλητές µε λίγες παρατηρήσεις. Χρησιµοποιούνται οι

τύποι: ( )2v

1ii

2 ttv

1s ∑

=

−= , ∑∑∑===

−=

−=

v

1i

22i

2v

1ii

v

1i

2i

2 xtv

1t

ν

1t

v

1s

Cv = s/x

Παράδειγµα: Αν x ακέραιος

13x = ακέραιος

( ) 5204

113t

4

1s

24

1ii

2 =⋅=−= ∑=

%76,113

3,2,3,25 ===≈=

x

sCVs

∆ιακριτές µε Συχνότητες και Κλάσεις

χρησιµοποιούνται οι τύποι:

( ) ( ) i

2κ

iiii

2κ

iii

2 fxxvxxv

1s ∑∑

==

−=−=

( )2κ

1ii

2i

2κ

1iii

κ

1ii

2i

2κ

1iii

κ

1ii

2i

2

xfx

fxfxvxν

1vx

v

1s

−=

=

−=

−=

∑

∑∑∑∑

=

====

Παράδειγµα: Αν x ακέραιος

13x = ακέραιος

( )

2,44210

1

vxxv

1s i

κ

1i

2

i2

=⋅=

=−= ∑=

%7,15157,013

05,2

x

sCV,05,22,4s →===≈= ανοµοιογενές

Παράδειγµα: Αν x δεκαδικός

16,410

1281680

10

1vx

v

1vx

v

1s

22κ

iiiii

κ

ii

2i

2 =

−=

−= ∑∑

==

8,1210

128x,04,216,4s ==≈= %9,15159,0

8,12

04,2

x

sCV →=== ανοµοιογενές δείγµα


Για ποιοτικές µεταβλητές δεν ορίζεται µέση τιµή

Στις ποιοτικές µεταβλητές δεν ορίζεται διάµεσος.

Στην κανονική ή περίπου κανονική κατανοµή R = 6 · s.

Το µειονέκτηµα της διακύµανσης είναι ότι δεν εκφράζεται µε τις µονάδες µε τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις αλλά µε το τετράγωνό τους.

Πλεονέκτηµα στη χρήση της τυπικής απόκλισης είναι ότι εκφράζεται στις ίδιες µονάδες που εκφράζονται οι παρατηρήσεις.

24

Σύγκριση Μέτρων Θέσης – ∆ιασποράς Πλεονεκτήµατα Μειονεκτήµατα

Μέση Τιµή

• Για τον υπολογισµό της χρησιµοποιούνται όλες οι τιµές.

• Είναι µοναδική για κάθε σύνολο δεδοµένων. • Είναι εύκολη στην κατανόηση. • Είναι εύκολος ο υπολογισµός της. • Έχει µεγάλη εφαρµογή για περαιτέρω στατιστική

ανάλυση.

• Επηρεάζεται πολύ από ακραίες τιµές.

• Μπορεί να µην αντιστοιχεί σε δυνατή τιµή της µεταβλητής.

• ∆εν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδοµένα.

∆ιάµεσος

• Είναι εύκολα κατανοητή • ∆εν επηρεάζεται από ακραίες τιµές • Ο υπολογισµός της είναι απλός

• Είναι µοναδική σε κάθε σύνολο δεδοµένων

• ∆εν χρησιµοποιούνται όλες οι τιµές για τον υπολογισµό της.

• Είναι δύσκολη η εφαρµογή της για

περαιτέρω στατιστική ανάλυση • ∆εν υπολογίζεται για ποιοτικά

δεδοµένα

Επικρατούσα Τιµή (Κορυφή)

• Υπολογίζεται εύκολα στα µη οµαδοποιηµένα δεδοµένα

• Είναι εύκολα κατανοητή • Υπολογίζεται και από ελλιπή δεδοµένα • Εφαρµόζεται και σε ποιοτικά δεδοµένα

• ∆εν χρησιµοποιούνται όλες οι τιµές

• ∆εν χρησιµοποιείται εύκολα για περαιτέρω στατιστική ανάλυση

• ∆εν ορίζεται πάντα µονοσήµαντα. Μπορούµε να έχουµε πολλές

κορυφές ή καθόλου.

Εύρος

• Απλός ο υπολογισµός του

• Χρησιµοποιείται αρκετά στον έλεγχο ποιότητας • Μπορεί να χρησιµοποιηθεί για µια εκτίµηση της

τυπικής απόκλισης.

• ∆εν θεωρείται αξιόπιστο µέτρο

διασποράς αφού βασίζεται σε δυο ακραίες τιµές.

• ∆εν χρησιµοποιείται για περαιτέρω στατιστική ανάλυση.

∆ιασπορά – Τυπική Απόκλιση

• Λαµβάνονται υπόψη για τον υπολογισµό τους όλες οι

παρατηρήσεις

• Έχουν µεγάλη εφαρµογή στην στατιστική συµπερασµατολογία

• Η διασπορά δεν εκφράζεται στις

ίδιες µονάδες µε το χαρακτηριστικό. ∆εν συµβαίνει όµως το ίδιο όταν χρησιµοποιούµε την τυπική

απόκλιση. • Απαιτούνται περισσότερες

αλγεβρικές πράξεις για τον υπολογισµό τους παρά στα άλλα

µέτρα

Συντελεστής Μεταβολής

• Είναι καθαρός αριθµός • Χρησιµοποιείται ως µέτρο σύγκρισης της

µεταβλητότητας όταν έχουµε ίδιες ή και διαφορετικές

µονάδες µέτρησης • Χρησιµοποιείται ως µέτρο οµοιογένειας ενός

πληθυσµού

• ∆εν ενδείκνυται στην περίπτωση

που η µέση τιµή είναι κοντά στο µηδέν.

25

Καµπύλες Συχνοτήτων Καµπύλη συχνοτήτων είναι η µορφή που θα έπαιρνε το πολύγωνο συχνοτήτων

αν υποθέσουµε ότι το πλήθος των κλάσεων είναι πολύ µεγάλο (τείνει στο άπειρο) και το πλάτος των κλάσεων είναι πολύ µικρό (τείνει στο µηδέν)

Κανονική

Το 68% του πλήθους των παρατηρήσεων βρίσκεται από

(x − s, x + s)

To 95% του πλήθους των παρατηρήσεων βρίσκεται από

(x − 2s, x + 2s)

Το 99,7% του πλήθους των παρατηρήσεων βρίσκεται από

(x − 3s, x + 3s)

Εύρος s6R ≈

Οι υπόλοιπες ακραίες παρατηρήσεις αντιστοιχούν στο 0,3%.

x = δ = Μο και τα τρία µέτρα θέσης αντιστοιχούν στο µέσο της κατανοµής. Θετική Ασυµµετρία

Η επικρατούσα τιµή αντιστοιχεί στην κορυφή της κατανοµής

δ < x

Η µέση τιµή έχει µεγαλώσει έναντι της διαµέσου αφού επηρεάζεται από

µεγάλες ακραίες τιµές.

Αρνητική Ασυµµετρία

Η επικρατούσα τιµή αντιστοιχεί στην κορυφή της κατανοµής

x < δ

Η µέση τιµή επηρεάζεται απο µικρότερες ακραίες τιµές, µικραίνει σε σχέση µε τη διάµεσο.

x + s x + 2s x + 3s x

x - s x - 2s x - 3s

34% 34% 13,5% 13,5% 2,35% 2,35%

99,7%

95%

68%

50%

0,15% 0,15%

26

Βασική Παρατήρηση:

Ποια η αλλαγή των µέτρων θέσης και διασποράς ανάλογα µε την αλλαγή των τιµών µιας µεταβλητής;

Μεταβλητή Μέση – Τιµή - ∆ιάµεσος ∆ιακύµανση - Τυπική Απόκλιση

Συντελεστής Μεταβολής Οµοιογένεια

xi x , δ, s2, s, CV

yi ==== xi + c

c ∈ R*, σταθερός

αριθµός

cxy +=

δy = δ + c

s2y = s2

sy = s

CVy = cx

s

y

sy

+=

<>

><

0cανCV

0cανCV

∆είγµα: πιο οµοιογενές αν c > 0,

πιο ανοµοιογενές αν c < 0.

zi ==== xi · c

c ∈ R*, σταθερός

αριθµός

cxz ⋅=

δz = δ · c

s2z = c2 s2

sz = |c|· s

CVz = CVcx

s|c|

z

sz =+

=

H οµοιογένεια δεν αλλάζει.

wi ==== axi + β

a, β ∈ R*, σταθεροί

αριθµοί

βxαw +=

δw = α δ + β

s2w = α2 s2

sw = |α|· s

CVw =

<>

><

+ 0βανCV

0βανCV

βxa

s|α|

Συνοψίζοντας • Αν προσθέσουµε σε όλα τα xi τον ίδιο αριθµό c

µένει ίδιο → s2, s. αλλάζουν → x , δ, CV.

• Αν πολλαπλασιάσουµε όλα τα xi µε τον ίδιο αριθµό c µένει ίδιο → CV αλλάζουν → x , δ,s, s2.

27

Ερωτήσεις Θεωρίας

1. ∆ώστε τον ορισµό της στατιστικής

2. Σε τι διακρίνονται οι κλάδοι της στατιστικής. ∆ώστε παράδειγµα.

3. Τι ονοµάζεται δείγµα και τι πληθυσµό.

4. Τι ονοµάζεται µεταβλητή; Σε ποιες κατηγορίες διακρίνονται;

5. Τι ονοµάζεται απογραφή;

6. ∆ε τι διακρίνονται οι ποσοτικές µεταβλητές;

7. Πότε ένα δείγµα θεωρείται αντιπροσωπευτικό ενός πληθυσµού;

8. Σε τι διακρίνονται οι στατιστικοί πίνακες;

9. Τι πρέπει να έχει ένας σωστά κατασκευασµένος πίνακας;

10. Τι ονοµάζεται συχνότητα και τι σχετική συχνότητα;

11. Τι περιέχει ένας πίνακας συχνοτήτων;

12. Τι είναι η κατανοµή συχνοτήτων;

13. Τι ονοµάζεται αθροιστική σχετική συχνότητα;

14. Από τι συνοδεύονται οι στατιστικοί πίνακες και τα στατιστικά διαγράµµατα;

15. Για τι είδους µεταβλητές χρησιµοποιείται το ραβδόγραµµα;

16. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε διάγραµµα συχνοτήτων για ποσοτικές µεταβλητές;

17. Πως κατασκευάζεται το πολύγωνο σχνοτήτων; 18. Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται και για ποσοτικές και για ποιοτικές µεταβλητές; 19. Το σηµειόγραµµα χρησιµοποιείται όταν έχουµε λίγες παρατηρήσεις 20. Τι είναι οι κεντρικές τιµές; 21. Πως κατασκευάζεται ο πίνακας συχνοτήτων για οµαδοποιηµένες παρατηρήσεις; 22. Τι ονοµάζουµε ιστόγραµµα συχνοτήτων; 23. Με τι ισούται το ύψος του ορθογωνίου µιας κλάσης σε ένα ιστόγραµµα συχνοτήτων 24. Πως κατασκευάζεται το πολύγωνο συχνοτήτων; 25. Τι ονοµάζεται καµπύλη συχνοτήτων; 26. Σχεδιάστε τις σύµµετρες κατανοµές 27. Ποια τα µέτρα θέσης και ποια τα µέτρα διασποράς; 28. ∆ώστε τον ορισµότης µέσης τιµής, της διαµέσου και του σταθµικού µέσου. 29. Ποια τα πλεονεκτήµατα της διαµέσου σε σχέση µε την µέση τιµή; 30. Πως βρίσκω τη διάµεσο σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα; 31. ∆ώστε τον ορισµό του εύρους, της διακύµανσης και της τυπικής απόκλισης 32. Ποιο το µειονέκτηµα της διακύµανσης σε σχέση µε την τυπική απόκλιση

28

33. Ποια τα πλεονεκτήµατα του συντελεστή µεταβολής; 34. Πότε ένα δείγµα ονοµάζεται οµοιγενές;

35. Πως συγκρίνουµε δύο δείγµατα ως προς την οµοιγένεια τους;

36. Αν οι τιµές της µεταβλητής χi µεταβληθούν κατά µια σταθερά c πως µεταβάλλονται τα µέτρα θέσης και διασποράς;

2.5 Ερωτήσεις κατανόησης Ερωτήσεις επιλογής Σωστού – Λάθους

1. Το άθροισµα όλων των συχνοτήτων µιας κατανοµής είναι ίσο µε 1, δηλαδή 1ν...νν κ21 =+++ .

Σ Λ

2. Το άθροισµα όλων των σχετικών συχνοτήτων µιας κατανοµής είναι ίσο µε 1, δηλαδή 1f...ff κ21 =+++ .

Σ Λ

3. Οι συχνότητες µιας µεταβλητής µπορεί να είναι και αρνητικοί αριθµοί. Σ Λ

4. Οι αθροιστικές συχνότητες Νi και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi µιας κατανοµής ορίζονται και για τις ποιοτικές µεταβλητές.

Σ Λ

5. Οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi µιας κατανοµής εκφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι µεγαλύτερες ή ίσες της τιµής xi.

Σ Λ

6. Η αθροιστική συχνότητα της µεγαλύτερης τιµής είναι ίση µε το πλήθος των παρατηρήσεων του δείγµατος.

Σ Λ

7. Οι σχετικές συχνότητες fi είναι αριθµοί του διαστήµατος [0,1] Σ Λ

8. Το κυκλικό διάγραµµα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισµένος σε κυκλικούς τοµείς των οποίων τα εµβαδά είναι ίσα µε τις αντίστοιχες σχετικές συχνότητες.

Σ Λ

9. Πλάτος κλάσης ,στις οµαδοποιηµένες παρατηρήσεις είναι το άθροισµα των δύο άκρων της.

Σ Λ

10. Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης ενός δείγµατος αντιπροσωπεύονται από τις κεντρικές τιµές τους.

Σ Λ

11. Κεντρική τιµή µιας κλάσης είναι το ηµιάθροισµα των δύο άκρων της.

Σ Λ

12. Το άθροισµα των εµβαδών συχνοτήτων των ορθογωνίων παραλληλογράµµων ενός ιστογράµµατος συχνοτήτων είναι ίσο µε τον πληθυσµό του δείγµατος.

Σ Λ

13. Το ύψος των ορθογωνίων παραλληλογράµµων ενός ιστογράµµατος συχνοτήτων είναι πάντοτε ίσο µε την συχνότητα.

Σ Λ

14. Η διαφορά των κεντρικών τιµών δύο διαδοχικών κλάσεων σε κλάσεις µε ίσα πλάτη, είναι ίση µε το πλάτος των κλάσεων.

Σ Λ

15. Η µέση τιµή των παρατηρήσεων µιας µεταβλητής Χ είναι πάντοτε ίση µε µία από τις τιµές της Χ.

Σ Λ

16. Η µέση τιµή των παρατηρήσεων µιας µεταβλητής Χ είναι αριθµός µεταξύ της µικρότερης και µεγαλύτερης τιµής της Χ.

Σ Λ

17. Αν x είναι η µέση τιµή των παρατηρήσεων ti µιας µεταβλητής Χ, τότε Σ Λ

29

η µέση τιµή των παρατηρήσεων ti + c είναι cx + .

18. ∆ιάµεσος τιµή ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων είναι η τιµή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερες από αυτή.

Σ Λ

19. Σε οµαδοποιηµένες παρατηρήσεις, δεν ορίζεται διάµεσος. Σ Λ

20. Η διάµεσος των παρατηρήσεων: 0, 1, 1, 2, 2, 3 είναι 2. Σ Λ

21. Η επικρατούσα τιµή των παρατηρήσεων: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5 είναι η τιµή 5.

Σ Λ

22. Η επικρατούσα τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων είναι µοναδική. Σ Λ

23. Η επικρατούσα τιµή ορίζεται και για ποιοτικές µεταβλητές. Σ Λ

24. Το εύρος (R) ενός δείγµατος παρατηρήσεων ορίζεται ως η διαφορά της µέγιστης παρατήρησης από την ελάχιστη παρατήρηση.

Σ Λ

25. Η διακύµανση εκφράζεται µε τις µονάδες που εκφράζονται και οι παρατηρήσεις.

Σ Λ

26. Η τυπική απόκλιση εκφράζεται µε τις µονάδες που εκφράζονται και οι παρατηρήσεις.

Σ Λ

27. Η διακύµανση είναι ο µέσος όρος των τετραγώνων των αποκλίσεων

των παρατηρήσεων ti από τη µέση τιµή τους x . Σ Λ

28. Αν η καµπύλη συχνοτήτων είναι κανονική ή περίπου κανονική, τότε το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα

( s)x,sx +− . Σ Λ

29. Αν s είναι η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων ti µιας µεταβλητής x, τότε η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων ti + c είναι s + c.

Σ Λ

30. Ο συντελεστής µεταβολής είναι ανεξάρτητος από τις µονάδες µέτρησης.

Σ Λ

31. Ένα δείγµα είναι οµοιογενές αν ο συντελεστής µεταβολής είναι µεγαλύτερος από το 10%.

Σ Λ

32. Μεταξύ δύο δειγµάτων παρουσιάζει µεγαλύτερη οµοιογένεια αυτό µε τον µικρότερο συντελεστή µεταβολής.

Σ Λ

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Από τις παρακάτω µεταβλητές διακριτή ποσοτική µεταβλητή είναι: Α. Β. Γ. ∆. Ε.

Το ύψος των µαθητών Το ύψος των ηµερησίων δαπανών τους Ο χαρακτηρισµός της διαγωγής τους Ο αριθµός των απουσιών τους Το χρώµα του αυτοκινήτου της οικογένειας

2. Από τις παρακάτω µεταβλητές συνεχής είναι: Α. Ο αριθµός των εργαζοµένων σε µια επιχείρηση Β. Η οικογενειακή κατάσταση των υπαλλήλων µιας επιχείρησης

(έγγαµος, άγαµος, κ. τ. λ. ) Γ. Ο αριθµός των παιδιών της οικογένειας των εργαζοµένων σε µια

επιχείρηση

30

∆. Το χρώµα του αυτοκινήτου της οικογένειας Ε. Οι µηνιαίες αποδοχές των εργαζοµένων σε µια επιχείρηση

3. Από τις παρακάτω µεταβλητές ποιοτική είναι: Α. Ο ετήσιος αριθµός τροχαίων ατυχηµάτων Β. Το βάρος των µαθητών µιας τάξης Γ. Το µάθηµα επιλογής που διάλεξαν οι µαθητές της Β΄ Λυκείου ∆. Εβδοµαδιαίες πωλήσεις µιας αντιπροσωπείας αυτοκινήτων Ε. Ο αριθµός των παιδιών µιας οικογένειας

4. Για να εξετάσουµε τα ποσοστά ακροαµατικότητας των δελτίων ειδήσεων

της τηλεόρασης παίρνουµε ένα δείγµα 500 τηλεθεατών. Ο καλύτερος τρόπος για να πάρουµε το δείγµα είναι:

Α. Να πάρουµε 500 άνδρες Β. Να πάρουµε 500 γυναίκες Γ. Να πάρουµε 500 µαθητές ∆. Να πάρουµε 500 άτοµα από διάφορες περιοχές της χώρας Ε. Να πάρουµε 500 κατοίκους µιας πόλης

5. Αν νi είναι η συχνότητα των τιµών xi µιας µεταβλητής Χ και ν το µέγεθος

του δείγµατος, τότε ισχύει: Α. 1ν...νν κ21 =+++ ∆

.

κν...νν κ21 =+++

Β. νν...νν κ21 =+++ Ε. Κανένα από τα προηγούµενα

Γ. 100ν...νν κ21 =+++

6. Αν fi % είναι η σχετική συχνότητα των τιµών χi µιας µεταβλητής Χ και ν το

µέγεθος του δείγµατος, τότε ισχύει: Α. 1%f...%f%f κ21 =+++ ∆. 100%f...%f%f κ21 =+++ %

Β. ν%f...%f%f κ21 =+++ Ε. Κανένα από τα προηγούµενα

Γ. κ%f...%f%f κ21 =+++

7. Στο κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων, αν αi είναι το αντίστοιχο τόξο ενός

κυκλικού τµήµατος, τότε το αi είναι ίσο µε: Α. 360°νi Γ. 180°fi Ε. 180°νi

Β. 360°fi ∆. 360°ν

8. Στις οµαδοποιηµένες παρατηρήσεις, αν R είναι το εύρος του δείγµατος και κ

ο αριθµός των κλάσεων, τότε το πλάτος των κλάσεων c είναι:

Α. κ

Rc ≈ Γ.

Β.

R

κc ≈ ∆.

Rκc ⋅≈ κανένα από τα προηγούµενα

31

9. Αν σε κάθε τιµή χi µιας µεταβλητής Χ δώσουµε διαφορετική βαρύτητα, που εκφράζεται µε τους λεγόµενους συντελεστές στάθµισης (βαρύτητας) wi ,

τότε ο σταθµικός µέσος βρίσκεται από τον τύπο:

Α.

ν

wx

x

ν

1iii∑

==

Γ.

∑

∑

=

==ν

1ii

ν

1iii

χ

wx

x

Ε.

κανένα από τα προηγούµενα

Β.

∑

∑

=

==ν

1ii

ν

1iii

w

wx

x

∆.

∑

∑

=

==ν

1ii

ν

1iii

ν

wx

x

10. Η τιµή της µεταβλητής, η οποία χωρίζει το σύνολο των παρατηρήσεων σε

δύο ισοπληθείς οµάδες, ονοµάζεται: Α. Μέση τιµή Γ. Πρώτο τεταρτηµόριο Β. ∆ιάµεσος ∆. Επικρατούσα τιµή

11. Η τιµή που παρουσιάζεται περισσότερες φορές σε µια οµάδα στατιστικών

στοιχείων, ονοµάζεται :

Α. Μέση τιµή Γ. Πρώτο τεταρτηµόριο Β. ∆ιάµεσος ∆. Επικρατούσα τιµή

12. Η µέση τιµή και η διάµεσος: Α. Έχουν πάντα την ίδια τιµή. Β. Ποτέ δεν έχουν την ίδια τιµή. Γ. Μπορεί να έχουν είτε την ίδια είτε διαφορετική τιµή.

13. Οι αριθµοί 4, 6, 10, 13, 17, και x έχουν µέση τιµή .xx =

Ο x είναι ίσος µε:

Α. 12 Β. 13 Γ. 10 ∆. 11 Ε. 14 14. Έχουµε ένα δείγµα 10 τιµών όπου κάθε τιµή µπορεί να είναι 0 ή 2 ή 4.

Μια πιθανή τιµή της µέσης τιµής των 10 τιµών του δείγµατος είναι: Α. 3 Β. 5 Γ. 7 ∆. 10 Ε. Κανένα από τα

προηγούµενα 15. Ένας εργαζόµενος δοκιµάζει µια νέα διαδροµή για τη δουλειά του.

Οι χρόνοι σε min για τις πέντε πρώτες µέρες είναι: 18, 21, 20, 17, 19 α) Η µέση τιµή των χρόνων αυτών είναι: Α. 16 Β. 22 Γ. 19 ∆. 17 Ε. 20 β) Μετά την έκτη µέρα η νέα µέση τιµή είναι 20 min.

O χρόνος που έκανε την έκτη µέρα είναι:

32

Α. 18 Β. 22 Γ. 19 ∆. 25 Ε. 20 γ) Ο εργαζόµενος αυτός δοκιµάζει τη διαδροµή τέσσερις µέρες ακόµη.

Θέλει η µέση τιµή των δέκα µερών να είναι 19 min. Η µέση τιµή των τελευταίων τεσσάρων µερών είναι:

Α. 16 Β. 20 Γ. 19 ∆. 17,5 Ε. 20 16. Η µέση τιµή των αριθµών 5, 8, χ, 12, χ+1, 3χ-1 είναι 12,5. Η τιµή του x

είναι: Α. 12,5 Β. 10 Γ. 12 ∆. 11,5 Ε. 13 17. Ένας µαθητής έχει 14 µέσο όρο στα 9 πρώτα διαγωνίσµατα. Ο µέσος όρος

που µπορεί να ελπίζει ο µαθητής, όταν γράψει και το 10ο και τελευταίο διαγώνισµα, είναι:

Α. 12,5 Β. 14,6 Γ. 15 ∆. 17 Ε. 13,8 18. Στις παρατηρήσεις 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5 α) Η διάµεσος τιµή είναι: Α. 2,5 Β. 4 Γ. 1 ∆. 3 Ε. 5

19. Στις παρατηρήσεις 0, 1, 3, 3, 5, 1, 0, 2, 7, 5, 6, 2, 5, 7, 8 α) Η διάµεσος τιµή είναι: Α. 2,5

Β. 3 Γ. 2 ∆. 4,5 Ε. 3,5

20. Στις παρατηρήσεις 10, 20, 30, 40, 60 η επικρατούσα τιµή είναι: Α. 10 Β. 60 Γ. 30 ∆. 40 Ε. Καµία από τις προηγούµενες

xi vi

0 1

1 2

2 3

3 …

4 2

21. Στο διπλανό πίνακα κατανοµής συχνοτήτων µιας µεταβλητής Χ, είναι άγνωστη η συχνότητα ν4.

Αν η διάµεσος είναι 2,5, τότε η άγνωστη συχνότητα είναι:

5 1

Α. 2 Β. 3 Γ. 1 ∆. 4 Ε. Κανένα από τα προηγούµενα 22. Στις ίδιες µονάδες που εκφράζονται οι τιµές της µεταβλητής Χ εκφράζεται

και: Α. Η τυπική απόκλιση Β. Η διακύµανση Γ. Ο συντελεστής µεταβολής

23. Στα µέτρα θέσης ανήκουν: Α. Η διάµεσος και η µέση τιµή.

33

Β. Η διάµεσος και η διακύµανση. Γ. Η διακύµανση και η τυπική απόκλιση. ∆. Το εύρος των τιµών και η επικρατούσα τιµή.

24. Αν όλες οι τιµές µιας µεταβλητής Χ πολλαπλασιασθούν επί µια σταθερά λ,

τότε: Α. Η διακύµανση πολλαπλασιάζεται επί λ. Β. Η διακύµανση πολλαπλασιάζεται επί λ2 . Γ. Η διακύµανση παραµένει σταθερά.

25. Ο συντελεστής µεταβλητότητας δίνεται από το πηλίκο: Α. Της διακύµανσης δια της µέσης τιµής. Β. Της διακύµανσης δια της τυπικής απόκλισης. Γ. Της τυπικής απόκλισης δια της µέσης τιµής. ∆. Της µέσης τιµής δια της τυπικής απόκλισης.

26. Από τα παρακάτω στατιστικά µέτρα καθαρός αριθµός είναι: Α. Η διακύµανση. Β. Η τυπική απόκλιση. Γ. Η µέση τιµή. ∆. Ο συντελεστής µεταβλητότητας.

27. Ένα σύνολο παρατηρήσεων xi έχει 120x

10

1ii =∑

=

και 1480x10

1i

2i =∑

=

. Η

τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων αυτών είναι: Α. 1 Β. 6 Γ. 3 ∆. 4 Ε. 2

28. Αν η καµπύλη συχνοτήτων για τη µεταβλητή που εξετάζουµε είναι κανονική,

τότε το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκεται στο διάστηµα

s)x,sx( +− είναι:

Α. 88% Β. 68% Γ. 95% ∆. 99,7% Ε. 72% 29. Η µέση τιµή µιας κανονικής κατανοµής είναι 20 και η τυπική απόκλιση είναι

3. Το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι µεταξύ 14 και 26 είναι περίπου:

Α. 20% Β. 70% Γ. 68% ∆. 99,7% Ε. 95%

30. Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει βίδες δια τη λειτουργία µιας µηχανής. Η κατανοµή συχνοτήτων ως προς τη διάµετρο τους είναι κανονική µε µέση τιµή 32 cm και τυπική απόκλιση 0,2 cm.

α) Αν χρησιµοποιήσουµε µια τέτοια βίδα η διάµετρος της είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα βρίσκεται στο διάστηµα µεταξύ:

Α. 33,5cm και 35,2cm Β. 29,2cm και 31,4cm Γ. 31,4cm και 32,6cm ∆. 32,6cm και 35,5cm Ε. 31,8cm και 32,2cm

34

β) Αν διαλέξουµε µια τέτοια βίδα στην τύχη, πρέπει να ελέγξουµε τη λειτουργία της µηχανής για πιθανή βλάβη, όταν η διάµετρος της είναι:

Α. 33,5 cm Β. 31,5 cm Γ. 31,4 cm ∆. 32,6 cm Ε. 32,2 cm

31. Ο συντελεστής µεταβολής CV των παρατηρήσεων 1, 2, 5, 5 ,7 είναι περίπου

ίσος µε: (∆ίνεται 2,28,4 ≅ )

Α. 20,8% Β. 54,7% Γ. 68% ∆. 60% Ε. 59,5% 32. Η µέση τιµή των παρατηρήσεων xi ενός δείγµατος είναι 4 και ο

συντελεστής µεταβολής είναι 50%. Αν είναι ∑=

v

1ii2x =200, τότε το µέγεθος

του δείγµατος είναι: Α. 20 Β. 10 Γ. 8 ∆. 6 Ε. κανένα από τα προηγούµενα

Ερωτήσεις Αντιστοίχησης

1. Υποθέτουµε ότι η καµπύλη συχνοτήτων είναι κανονική ή περίπου κανονική. Να αντιστοιχίσετε κάθε διάστηµα της στήλης Α στο ποσοστό των

παρατηρήσεων που βρίσκεται στο διάστηµα της στήλης Β.

Στήλη Α : ∆ιάστηµα Στήλη Β : Ποσοστό %

1. 68 Α. 3s)x,s3x( +− 2. 83,85

Β. s)2x,sx( +− 3. 95

Γ. s)x,sx( +− 4. 49,85

∆. s)x,s2x( +− 5. 81,5

Ε. s)3x,sx( +− 6. 100

ΣΤ. )x,s3x( − 7. 99,7

2.

Να αντιστοιχίσετε κάθε σύνολο παρατηρήσεων της στήλης Α µε το αντίστοιχο µέτρο στη στήλη Β

Στήλη Α Στήλη Β Α. 4,7,5,8,6 1. 6x = Β. 4,5,6,10,12 2. δ=6 Γ. 4,4,5,8,10 3. R=6 ∆. 4,10,5,8,4

35

3. Πιθανότητες 3.1 Βασικές Έννοιες στις Πιθανότητες Ενδεχόµενο

Κάθε υποσύνολο του δειγµατικού χώρου Ω αποτελεί ένα ενδεχόµενο. Συµβολίζεται µε κάποιο κεφαλαίο γράµµα, π.χ. Α ⊆ Ω, Α = α1, α2, ....., ακ, κ ≤ ν. Τα αi, i = 1, 2, ...., κ, λέγονται ευνοϊκά αποτελέσµατα, µε την έννοια ότι, αν κάποιο από αυτά είναι το αποτέλεσµα του πειράµατος τύχης, τότε το ενδεχόµενο Α λέµε ότι πραγµατοποιείται.

Ως ειδικά ενδεχόµενα θεωρούνται: το «βέβαιο ενδεχόµενο» συµβολίζεται Ω (δηλαδή ο ίδιος ο δειγµατικός

χώρος) το «αδύνατο ενδεχόµενο» συµβολίζεται ∅ (δηλαδή το κενό σύνολο).

Τα ενδεχόµενα διακρίνονται σε: «απλά» (µονοµελή σύνολα) «σύνθετα» (πολυµελή σύνολα).

Ένα ενδεχόµενο µπορεί να παρουσιαστεί µε 3 τρόπους: µε χρήση συµβόλων της θεωρίας συνόλων µε περιγραφή (σχετικά µε την πραγµατοποίησή του) µε διάγραµµα Venn.

Ασυµβίβαστα είναι δύο ενδεχόµενα Α, Β ⊆ Ω, όταν δεν έχουν κοινά στοιχεία,

δηλαδή Α∩Β=∅. ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ

Α1. Έστω σύνολο Ω = 1, 2, 3, 4, 5 και τα υποσύνολα Α = 1, 5,Β = 2, 5, 3, Γ = 4, 2. Να βρείτε τα σύνολα: α) Α ∪ (Β ∪ Γ), (Α ∪ Β) ∪ Γ β) Α ∩ (Β ∪ Γ), (Α ∩ Β) ∪ (Α ∩ Γ) γ) Α’ ∩ (Β’ ∩ Γ’), (Α ∩ Γ)’ ∪ Β δ) (Α ∪ Β) − (Α ∪ Γ), Α − (Β’ ∪ Γ’)

Α2. Έστω το σύνολο Ω = 0, 1, 2, ....., 10, θεωρούµε τα υποσύνολα:

x/ΩxA ∈= άρτιος ακέραιος , 6x1 <≤

x/ΩxB ∈= αριθµός, 4x0 ≤<

Να βρείτε τα σύνολα: α) BA ∪ γ) BA ′∩′ ε) AB −

β) BA ∩ δ) BA − στ) ( ) ( )ABBA −∪−

Α3. ∆είξτε µε τη βοήθεια των διαγραµµάτων Venn, ότι : α) εάν BA ′⊂ , τότε ∅=∩BA β) ( ) BABAA ′∩=∩−

Α4. Ισχύει ότι : ( ) BABA ′−′=′− ;

∆ικαιολογήστε την απάντησή σας µε την βοήθεια των διαγραµµάτων Venn.

36

Πίνακας Αντιστοιχίας Ενδεχόµενα Περιγραφή Ενδεχοµένων Παραδείγµατα

Α ==== Β Ισότητα

Η πραγµατοποίηση του Α

ισοδύναµη µε την πραγµατοποίηση του Β

Α ⊆⊆⊆⊆ Β Υποσύνολο

Η πραγµατοποίηση του Α

συνεπάγεται την πραγµατοποίηση του Β

Πείραµα Τύχης: «Ρίψη Ζαριού»

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Α = 3, 4, 5

Β = 1, 3, 6

Α ∪∪∪∪ Β

Ένωση

Η πραγµατοποίηση • «του Α ή του Β» • «τουλάχιστον ενός από

τα Α ή Β»

Α∪Β = όλα τα στοιχεία των Α και Β

Α ∪ Β = 1, 3, 4, 5, 6

Α ∩∩∩∩ Β Τοµή

Πραγµατοποίηση • «του Α και του Β»

• «Ταυτόχρονη των Α, Β»

Α∩Β = τα κοινά στοιχεία των Α και Β

Α ∩ Β = 3

Α’ Αντίθετο ή

συµπληρωµατικ

ό του Α ως προς το Ω

Η µη πραγµατοποίηση

του Α

Α’ = Όλα τα στοιχεία

του Ω εκτός των στοιχείων του Α

Α’ = 1, 2, 6

Β’ = 2, 4, 5

Α −−−− Β ή

Α ∩∩∩∩ Β’ ∆ιαφορά

Πραγµατοποίηση του Α και όχι του Β

Α−Β=τα στοιχεία του Α που δεν ανήκουν

στο Β

Α − Β = 4, 5 Β − Α = 1, 6

(Α−−−−Β)∪∪∪∪(Β−−−−Α) ή

(Α∩∩∩∩Β’)∪∪∪∪(Β∩∩∩∩Α’) Άθροισµα

πραγµατοποίηση ενός µόνο από τα Α, Β

(Α − Β) ∪ (Β − Α) =όλα τα στοιχεία των

Α, Β εκτός από τα κοινά τους

(Α − Β) ∪ (Β − Α) = 1, 4, 5, 6

Α Β

Ω

Ω

Α Β

Ω

Α Β

Ω

Β Α

Ω

Β Α

Ω

Β Α

Σχέσ

εις

Πρά

ξεις

Ω

Α Α’

37

3.1 Έννοια της Πιθανότητας

Σχετική Συχνότητα Ιδιότητες: 1) 0 ≤ fi ≤ 1 για κάθε i = 1, 2, 3, ...., λ

2) f1 + f2 + ..... + fλ = 1

3) fA = fa1 + fa2 + ..... + fap

Σε ν εκτελέσεις του Π.Τ. τα απλά ενδεχόµενα ω1, ω2, ...., ωλ πραγµατοποιούνται αντιστοίχως, κ1, κ2, ....., κλ φορές. Τότε ονοµάζονται σχετικές συχνότητες των ενδεχοµένων

ω1, ω2, ...., ωλ, οι αριθµοί v

κf 11 = ,

v

κf 22 = , .....,

v

κf λ

λ = .

Έστω Α = α1, α2, ...., αρ είναι ένα ενδεχόµενο του ∆.Χ. Ω, τότε: fA = fa1 + fa2 + ..... + faρ

Αξιωµατικός Ορισµός Πιθανότητας Έστω Ω = ω1, ω2, ..., ων είναι δειγµατικός χώρος µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε απλό ενδεχόµενο ωi όπου i = 1, 2, ... v αντιστοιχίζουµε έναν πραγµατικό αριθµό που τον συµβολίζουµε µε Ρ(ωi) έτσι ώστε να ισχύουν:

0 ≤ Ρ(ωi) ≤ 1 Ρ(ω1) + Ρ(ω2) + ... + Ρ(ων) = 1 Ρ(Ω) = 1

Τον αριθµό Ρ(ωi) ονοµάζουµε πιθανότητα του ενδεχοµένου ωi. Ως πιθανότητα Ρ(Α) ενός ενδεχοµένου Α = α1, α2, ..., ακ ≠ ∅ ορίζουµε το άθροισ Ρ(α1) + Ρ(α2) + ... + Ρ(ακ) ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχοµένου ∅ ορίζουµε τον αριθµό Ρ(∅) = 0


Ο Αξιωµατικός ορισµός ισχύει είτε τα ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα είτε όχι.

Κλασικός Ορισµός Πιθανότητας Όταν όλα τα απλά ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης είναι ισοπίθανα τότε για οποιοδήποτε ενδεχόµενο Α του δειγµατικού χώρου Ω ονοµάζουµε πιθανότητα του ενδεχοµένου Α τον αριθµό:

Ρ(Α) = )Ω(Ν

)Α(Ν

Ωσεωνώπεριπτνώδυνατθοςήπλ

Ασεωνώπεριπτνώκϊευνοθοςήπλ=

Ιδιότητες:

1) Ρ(∅) = ( ) 01

0

ΩN

)(N==

∅ 2) ( ) ( )

( ) 1ΩΝ

ΩΝΩΡ == 3) 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1

Κανόνες Πιθανοτήτων Έστω δειγµατικός χώρος Ω και Α, Β ενδεχόµενα του Ω. Οι παρακάτω κανόνες ισχύουν είτε τα ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα είτε δεν είναι.

Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) − Ρ(Α ∩ Β) (Προσθετικός Νόµος)

38

Ρ(Α’) = 1 − Ρ(Α)

Αν Α ⊆ Β τότε Ρ(Α) ≤ Ρ(Β)

Ρ(Α − Β) = Ρ(Α) − Ρ(Α ∩ Β)

Εκφράσεις Συµβολισµοί

Πιθανοτήτων

Συµβολισµοί αντίστοιχων ενδεχοµένων

Τύποι

Η πιθανότητα να “πραγµατοποιηθεί

το Α” Ρ(Α)

Η πιθανότητα να “µην

πραγµατοποιηθεί το Α”

Ρ(Α’)

Ρ(Α’) = 1 − Ρ(Α)

Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί

• “ένα τουλάχιστον από τα Α, Β”

ή • “το Α ή το Β”

Ρ(Α∪Β)

• Ρ(Α∪Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)−Ρ(Α∩Β) (Προσθετικός Νόµος)

• αν Α∩Β = ∅ Ρ(Α∪Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) (Απλός Προσθετικός Νόµος)

Η πιθανότητα να πραγµατοποι-

ηθούν • “ταυτόχρονα τα

Α,Β” • “το Α και το Β”

Ρ(Α∩Β)

• Ρ(Α∩Β)= Ρ(Α)+Ρ(Β)− Ρ(Α∪Β) • αν Α, Β ασυµβίβαστα Ρ(Α∩Β) = 0

Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί • “µόνο το Α”

• “το Α και όχι το Β”

Ρ(Α−Β) Ρ(Α∩Β’)

• Ρ(Α−Β) = Ρ(Α) − Ρ(Α∩Β) • Ρ(Α−Β) = Ρ(Α∩Β’)

Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί “ένα µόνο από τα

Α, Β”

Ρ[(Α−Β)∪(Β−Α)]

• Ρ[(Α−Β) ∪ (Β−Α)] = Ρ(Α−Β) + Ρ(Β−Α) = Ρ(Α) − Ρ(Α∩Β) + Ρ(Β) − Ρ(Α∩Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) −2Ρ(Α∩Β)


πραγµατοποιηθεί κανένα από τα Α,

Β”

Ρ[(Α∪Β)’] Ρ(Α’∩Β’)

• Ρ[(Α∪Β)’] = 1 − Ρ(Α∪Β) • Ρ(Α’∩Β’) = Ρ[(Α∪Β)’]


πραγµατοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α,

Β”

Ρ[(Α∩Β)’] Ρ(Α’∪Β’)

• Ρ[(Α∩Β)’] = 1 − Ρ(Α∩Β) • Ρ(Α’∪Β’) = Ρ[(Α∩Β)’]

Ω

Α

Ω

Α

Ω

B A

Ω

B A

Ω

Β A

Ω

A B

Ω

A B

Ω

Β Α

A B

Ω

39


Ο απλός προσθετικός νόµος ισχύει και για περισσότερα από δύο ενδεχόµενα αρκεί ανά δύο να είναι ασυµβίβαστα.

∆ηλαδή αν Α ∩ Β = ∅, Α ∩ Γ = ∅, Β ∩ Γ = ∅, τότε ισχύει ότι: Ρ(Α ∪ Β ∪ Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ).

Τα ενδεχόµενα Α − Β, Α ∩ Β, Β − Α είναι ασυµβίβαστα ανά δύο µεταξύ τους. Από τον απλό προσθετικό νόµο ισχύει (βλέπε διπλανό σχήµα)

Αν Α = (Α − Β) ∪ (Α ∩ Β) τότε Ρ(Α) = Ρ(Α − Β) + Ρ(Α ∩ Β)

Αν Β = (Β − Α) ∪ (Α ∩ Β) τότε

Ρ(Β) = Ρ(Β − Α) + Ρ(Α ∩ Β) Αν Α ∪ Β = Α ∪ (Β − Α) τότε

Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β − Α) Αν Α ∪ Β = Β ∪ (Α − Β) τότε

Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Β) + Ρ(Α − Β) Αν Α ∪ Β = (Α − Β) ∪ (Α ∩ Β ) ∪ (Β − Α) τότε

Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α − Β) + Ρ(Α ∩ Β) + Ρ(Β − Α)

Οι κανόνες πιθανοτήτων και οι παραπάνω προτάσεις ισχύουν είτε τα ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα είτε όχι.

Σε κάθε περίπτωση ισχύουν ότι: (Α∩Β)⊆Α

(Α∩Β)⊆Β

Α⊆ (Α∪Β) Β⊆(Α∪Β)

Ερωτήσεις Θεωρίας

1. Ποιοι είναι οι κλάδοι των εφαρµοσµένων µαθηµατικών

2. Τι καλείται αιτιοκρατικό πείραµα

3. Τι ονοµάζεται πείραµα τύχης. ∆ώστε παράδειγµα.

4. Τι ονοµάζεται δειγµατικός χώρος

5. Τι ονοµάζεται ενδεχόµενο, απλό ενδεχόµενο, σύνθετο ενδεχόµενο, βέβαιο ενδεχόµενο και αδύνατο ενδεχόµενο.

6. Να διατυπωθούν στη «γλώσσα των συνόλων οι ακόλουθες σχέσεις i) To ενδεχόµενο Α πραγµατοποιείται

Ω

Β Α

Α ∩ Β Β − Α Α − Β

40

ii) To ενδεχόµενο Α δεν πραγµατοποιείται iii) Ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόµενα Α και Β πραγµατοποιείται iv) Πραγµατοποιούνται αµφότερα και το Α και το Β v) ∆εν πραγµατοποιείται κανένα από τα Α και Β vi) Πραγµατοποιείται µόνο το Α vii) Η πραγµατοποιήση του Α συνεπάγεται την πραγµατοποιήση του B

7. Ποια ενδεχόµενα ονοµάζονται αµοιβαίως αποκλειόµενα;

8. Τι ονοµάζεται νόµος των µεγάλων αριθµών

9. Ποια ενδεχόµενα ονοµάζονται ισοπίθανα.∆ώστε παράδειγµα

10. Να δοθεί ο κλασσικός και ο αξιωµατικός ορισµός της πιθανότητας

11. Ποιος είναι ο προσθετικός νόµος και ποιος ο απλός νόµος;

12. Ποια σχέση ισχύει για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α’;

13. Αν Α υποσύνολο του Β τότε ποια σχέση συνδέει τις πιθανότητες τους;

14. Με τι ισούται η πιθανότητα του ενδεχοµένου «πραγµατοποιείται µόνο το Α»;

Ερωτήσεις κατανόησης Ερωτήσεις τύπου Σωστό - Λάθος 1. Αν Ω είναι ο ∆. Χ. ενός πειράµατος τύχης, τότε Ρ(Ω) = 1. Σ Λ 2. Αν Α είναι ενδεχόµενο ενός πειράµατος τύχης τότε,

0 ≤ Ρ(Α)≤ 1.

Σ

Λ 3. Για το αδύνατο ενδεχόµενο ενός Π.Τ. ισχύει Ρ(∅) = 0. Σ Λ 4. ∆ειγµατικός χώρος λέγεται το σύνολο όλων των δυνατών

αποτελεσµάτων ενός πειράµατος τύχης. Σ Λ

5. Το αποτέλεσµα ενός Π. Τ. είναι στοιχείο του ∆.Χ. του πειράµατος. Σ Λ 6. Ένα αποτέλεσµα ενός Π.Τ. λέγεται απλό ενδεχόµενο ή γεγονός. Σ Λ

7. Ο ∆. Χ. Ω ενός Π.Τ. είναι βέβαιο ενδεχόµενο. Σ Λ 8. Αν Ω ο ∆.Χ. ενός Π.Τ. τότε ονοµάζουµε ενδεχόµενο του

πειράµατος κάθε υποσύνολο του Ω. Σ Λ

9. Ο ίδιος ο ∆.Χ ενός Π.Τ. είναι και αυτός ένα ενδεχόµενο. Σ Λ 10. Οι ευνοϊκές περιπτώσεις για ένα ενδεχόµενο ενός Π.Τ. είναι

στοιχεία του ∆. Χ. Σ Λ

11. Με Ν(Α) συµβολίζουµε όλα τα δυνατά υποσύνολα ενός ενδεχοµένου Α.

Σ Λ

12. Το συµπλήρωµα Α’ οποιουδήποτε ενδεχοµένου Α ενός Π.Τ. είναι επίσης ενδεχόµενο αυτού του Π.Τ.

Σ Λ

13. Στο διπλανό σχήµα το γραµµοσκιασµένο χωρίο απεικονίζει το ενδεχόµενο Α ∪ Β.

Σ

Λ Ω

Β Α

41

Ω

∆ Γ

B

A

14. Στο διπλανό σχήµα το γραµµοσκιασµένο χωρίο απεικονίζει το ενδεχόµενο Α ∪ Β.

Σ

Λ

15. Στο διπλανό σχήµα το γραµµοσκιασµένο χωρίο απεικονίζει το ενδεχόµενο Β − Α.

Σ

Λ

16. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός Π.Τ. µε ∆.Χ. Ω τότε ισχύει η ισότητα Α − Β = Α ∩ Β’.

Σ Λ

17. Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός Π.Τ. µε ∆.Χ. Ω τότε ισχύει η ισότητα Β ∪ Α = (Β − Α) ∪ (Α − Β).

Σ Λ

18. Στο διπλανό σχήµα τα ενδεχόµενα Α, Β είναι ασυµβίβαστα.

Σ Λ

19. ∆ύο ενδεχόµενα λέγονται ασυµβίβαστα όταν Α ∩ Β = Α. Σ Λ

20. Τα ενδεχόµενα Α = 1, 4, 7, Β = 4, 7, 11 είναι ξένα µεταξύ τους. Σ Λ 21. Αν το ενδεχόµενο Β = 2, 4, 6 τότε, Ν(Β) = 3. Σ Λ 22. Αν Α είναι το ενδεχόµενο να τραβήξουµε µια ντάµα από µια

τράπουλα, τότε Ν(Α) = 2. Σ Λ

23. Οι εκφράσεις: «πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο Α ή το Β» και «πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόµενα Α και

Β» είναι ισοδύναµες.

Σ Λ

24. Το κενό σύνολο δεν πραγµατοποιείται σε καµία εκτέλεση ενός Π.Τ. Σ Λ 25. Το κενό σύνολο είναι βέβαιο ενδεχόµενο ενός Π.Τ. Σ Λ 26. Ενδεχόµενα τα οποία Περιέχουν τουλάχιστον δύο αποτελέσµατα

ενός Π.Τ. λέγονται σύνθετα. Σ Λ

27. Ενδεχόµενα τα οποία περιέχουν ένα µόνο αποτέλεσµα ενός Π.Τ> ονοµάζονται απλά ενδεχόµενα.

Σ Λ

28. Αν σε ν εκτελέσεις ενός Π.Τ. ένα ενδεχόµενο Α πραγµατοποιείται

κ φορές, τότε ο λόγος ν

κfA = , λέγεται σχετική συχνότητα του

ενδεχοµένου.

Σ Λ

29. Για τη σχετική συχνότητα fA ενός ενδεχοµένου Α ισχύει fA > 1. Σ Λ

30. Οι σχέσεις από (i) µέχρι (xv) αναφέρονται στο διπλανό διάγραµµα του Venn. Βάλτε σε κύκλο το γράµµα (Σ) ή (Λ) αντίστοιχα αν η σχέση είναι σωστή ή λάθος.

i) A ⊆ B ii) Β ⊆ Α iii) Γ ⊆ Β iv) ∆ ⊆ Γ v) Γ ∪ ∆ ⊆ Α

Σ Σ Σ Σ

Σ

Λ Λ Λ Λ

Λ

Ω

B A

Ω

Β Α

Ω

Β Α

42

vi) Γ ∪ ∆ ⊆ Β vii) Γ ∩ ∆ ⊆ Α viii) Β ∪ Γ = Β ix) Β ∪ Γ ∪ ∆ = Α x) Α ∪ Β = Β xi) Α ∩ Β = Β xii) (Γ ∩ ∆) ∪ Α = Α xiii) (Γ ∩ ∆) ∩ Α = Β xiv) Β ∩ ∆ = ∆ xv) (Γ ∩ Β) ∩ Α = Γ

Σ Σ Σ Σ Σ

Σ Σ Σ

Σ Σ

Λ Λ Λ Λ Λ

Λ Λ Λ

Λ Λ

31. Σε ένα Π.Τ. µε ισοπίθανα αποτελέσµατα και ∆. Χ. Ω η πιθανότητα

του ενδεχοµένου Α είναι ο αριθµός Ρ(Α) = )Ω(N

)A(N.

Σ Λ

Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής

1) Ρίχνουµε µια φορά ένα κύβο ο οποίος έχει καθέναν από τους αριθµούς 1, 2, 3 γραµµένους αντίστοιχα ανά δύο έδρες του και καταγράφουµε το αποτέλεσµα. Ο ∆. Χ. Ω του Π. Τ. αυτού είναι: α) Ω = 3 β) Ω = 1, 2, 3 γ) Ω = 1, 1, 2, 2, 3, 3 δ) Ω = 1,1, 1,2, 1,3, 2,1, 2,2, 2,3, 3,3 ε) Ω = 1,2, 2,1, 1,3, 3,1

2) Ρίχνουµε ένα νόµισµα δύο φορές. Ο ∆.Χ. Ω του Π.Τ. αυτού είναι: α) Ω = ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ β) Ω = ΚΓ, ΓΚ γ) Ω = ΓΚ, ΚΓ δ) Ω = ΚΚ, ΓΓ ε) Κανένα από τα παραπάνω.

3) Ελέγχουµε διαδοχικά βιβλία µέχρι να βρούµε ένα κακοτυπωµένο (Κ) ή δύο σωστά τυπωµένα (Σ). Ο ∆.Χ. Ω του Π.Τ. είναι: α) Ω = Κ, Σ β) Ω = ΚΚ, ΚΣ γ) Ω = ΚΚ, ΣΣ δ) Ω = Κ, ΣΚ, ΣΣ ε) Ω = Κ, ΣΣ

4) Έστω Α = 1, 3, 5 και Β = 2, 4, 6 δύο ενδεχόµενα της ρίψης ενός ζαριού µια φορά. Αν το αποτέλεσµα της ρίψης είναι ο αριθµός 3 τότε πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο: α) Α ∪ Β β) Α’ γ) Β δ) Α ∩ Β ε) Β’ ∩ Α’

5) Τα Α και Β είναι ενδεχόµενα ενός Π.Τ. και α ένα αποτέλεσµα του πειράµατος αυτού. Η φράση «το Α πραγµατοποιείται» διατυπωµένη σε γλώσσα συνόλων είναι ισοδύναµη µε την: α) α ∈ Α’ β) α ∈ Α’ − Β γ) α ∈ Α’ ∪ Β δ) α ∈ Α ε) κανένα από τα παραπάνω

6) Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α’ ισχύει: α) Ρ(Α) + Ρ(Α’) = 0 β) Ρ(Α) + Ρ(Α’) = 2 γ) Ρ(Α) + Ρ(Α’) = 1 δ) Ρ(Α) = − Ρ(Α’) ε) κανένα από τα παραπάνω

43

7) Το ενδεχόµενο Α να εµφανιστεί αριθµός µεγαλύτερος του 6 κατά τη ρίψη ενός συνήθους ζαριού µια φορά είναι: α) Α = 1, 3, 5 β) Α = x: x ≥ 6 γ) Α = 2, ,4, 6 δ) Α = x: x > 6 ε) Α = ∅

8) Αν fA η σχετική συχνότητα ενός ενδεχοµένου Α τότε: α) 1 < fA < 2 β) fA > 1 γ) fA < 0 δ) 0 ≤ fA ≤ 1 ε) κανένα από τα παραπάνω

9) Από τις παρακάτω ισότητες σωστή είναι η: α) Α ∩ ∅ = Α β) Α΄ ∩ Α = Ω γ) Α ∩ Β = Α ∪ Β δ) Ω΄ = Ω ε) (Α΄)΄ = Α

10) Αν Α το ενδεχόµενο να φέρουµε περιττό αριθµό στις ρίψεις ενός αµερόληπτου ζαριού, τότε η συχνότητα εµφάνισής του αναµένεται να είναι:

α) 3

2 β)

6

1 γ)

2

1 δ)

3

1 ε) 1

11) Έστω δ.χ. Ω =ω1, ω2, ..., ωκ µε ισοπίθανα ενδεχόµενα. Η πιθανότητα Ρ(ωi), i = 1, 2,...κ ενός στοιχείου του Ω είναι:

α) 2

1 β)

κ

1 γ) κ δ) 1 ε)

κ2

1

12) Για την πιθανότητα Ρ(Α) κάθε ενδεχοµένου Α ενός πειράµατος τύχης ισχύει: α) 1 < Ρ(Α) < 2 β) Ρ(Α) > 1 γ) Ρ(Α) < 0 δ) 0 ≤ Ρ(Α) < 1 ε) κανένα από τα παραπάνω

13) Ο απλός προσθετικός νόµος των πιθανοτήτων για δύο ξένα µεταξύ τους ενδεχόµενα Α και Β είναι: α) Ρ(Α) + Ρ(Β) = Ρ(Α ∩ Β) β) Ρ(Α) + Ρ(Β΄) = Ρ(Α ∪ Β) γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) = Ρ(Α ∪ Β) δ) Ρ(Α) − Ρ(Β) = Ρ(Α ∪ Β) ε) Ρ(Α)⋅Ρ(Β) = Ρ(Α ∪ Β)

14) Ο προσθετικός νόµος των πιθανοτήτων για δύο ενδεχόµενα Α και Β είναι ισοδύναµος µε την ισότητα: α) Ρ(Α ∩ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) − Ρ(Α ∩ Β) β) Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) − [Ρ(Β) + Ρ(Α ∩ Β)] γ) Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) − Ρ(Α΄ ∩ Β΄) δ) Ρ(Α ∩ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) − Ρ(Α ∪ Β) ε) κανένα από τα παραπάνω

44

15) Η έκφραση : « η πραγµατοποίηση του ενδεχοµένου Α συνεπάγεται την πραγµατοποίηση του ενδεχοµένου Β » διατυπωµένη στη γλώσσα των συνόλων είναι ισοδύναµη µε τη σχέση: α) Β ⊆ Α β) Ν(Α) ≥ Ν(Β) γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) = 2

δ) Α ∪ Β = ∅ ε) Α ∩ Β = Α

16) Αν δύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δ.χ. Ω έχουν την συνολοθεωρητική σχέση Α ⊆

Β, τότε:

α) Ρ(Α) > Ρ(Β) β) )B(P

)A(P < 0 γ) Ρ(Α) ≤ Ρ(Β)

δ) Ρ(Α) + Ρ(Β) = −1 ε) κανένα από τα παραπάνω

17) Αν Α, Β ασυµβίβαστα ενδεχόµενα και Ρ(Α) = 0,4 και Ρ(Β) = 0,6 τότε: α) Ρ(Α ∩ Β) = 1 β) Ρ(Α ∪ Β) = 1 γ) Ρ(Α ∩ Β) = 0,2 δ) Ρ(Α ∪ Β) = 0,4 ε) Ρ(Α ∪ Β) = 0,6

18) Αν Α ⊆ Β (Α, Β ενδεχόµενα ενός δ.χ. Ω) τότε δεν ισχύει:

α) Ρ(Α) = 0,3 και Ρ(Β) = 0,7 β) Ρ(Β΄) + Ρ(Β) = 1 γ) Ρ(Α) = 0, 6 και Ρ(Β) = 0,4 δ) Ρ(Α) + Ρ(Α΄) = 1 ε) Ρ(Α) = 0,5 και Ρ(Β) = 0,5

19) Για τα ενδεχόµενα Α και Β ενός δ.χ. Ω (βλ. σχήµα) ισχύει: α) Ρ(Α − Β) = Ρ(Α) + Ρ(Α ∪ Β) β) Ρ(Α − Β) = Ρ(Α) − Ρ(Α ∪ Β) γ) Ρ(Α − Β) = Ρ(Β) + Ρ(Α) δ) Ρ(Α − Β) = Ρ(Α) − Ρ(Β) ε) Ρ(Α − Β) + Ρ(Α ∩ Β) = Ρ(Α)

Ερωτήσεις αντιστοίχησης

1) Στη στήλη Α του πίνακα γράφονται ισχυρισµοί για τα ενδεχόµενα Α και Β ενός πειράµατος. Στη στήλη Β γράφονται ισοδύναµοι ισχυρισµοί διατυπωµένοι στη γλώσσα των συνόλων(w ένα αποτέλεσµα του πειράµατος αυτού). Αντιστοιχίστε κατάλληλα κάθε στοιχείο της στήλης Α µε ένα και µόνο της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β

1. Το Α δεν πραγµατοποιείται.

2. Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγµατοποιείται.

3. Πραγµατοποιούνται συγχρόνως και το Α και το Β.

4. Το Α πραγµατοποιείται.

i) w∈A ii) w∈(A ∪ B΄) iii) w∈(Α΄ − Α) iv) w∈(Α ∩ Β) v) w∈(Α ∪ Β) vi) w∈Α΄ vii) w∈(Α ∪ Β)΄ viii) w∈ (A ∩ B΄) ∪ (Α΄ ∩ Β) ix) w∈Β

Ω

Β Α−Β Α

Α∩Β

45

5. Κανένα από τα Α και Β δεν πραγµατοποιείται.

6. Πραγµατοποιείται µόνο το Α ή

µόνο το Β.

7. Το Β πραγµατοποιείται.

8. Πραγµατοποιείται µόνο το Α.

9. Πραγµατοποιείται µόνο το Β.

x) w∈(A ∩ B΄) xi) w∈(Β ∩ Α΄) xii) w∈(Β ∩ Α)΄ xiii) w∈(Α ∩ Β)΄ xiv) w∈(Α΄ ∪ Β)

Στήλη Α 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Στήλη Β

Ερωτήσεις συµπλήρωσης

1) Με βάση το διπλανό σχήµα συµπληρώστε τον πίνακα που ακολουθεί (Α, Β ενδεχόµενα του δ.χ. Ω)

Γραφή σε γλώσσα συνόλου

Γραφή σε φυσική γλώσσα

µέρος του σχήµατος

Α ∩ Β Α τοµή Β ΙΙ

Β΄

Α ∪ Β

Α΄

Α − Β

Β − Α

Α ∩ Β΄

Α΄ ∩ β

Τι παρατηρείτε από τις τέσσερις τελευταίες γραµµές του πίνακα;

2) Συµπληρώστε τον πίνακα βάζοντας στη στήλη Β τον χαρακτηρισµό: Σ (σωστό ) ή Λ (λάθος). Όπου βάλετε Λ (λάθος) συµπληρώστε στη στήλη Γ τη σωστή σχέση.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Α ∪ Α = Α

Α ∪ ∅ = Α

Α ∩ Α = ∅ Λ Α ∩ Α = Α

Α ∩ ∅ = Α

Ω

Β Α

Ι ΙΙ ΙΙΙ

ΙV

46

Α΄ ∩ Α = Ω

Α΄ ∪ Α = ∅

Ω΄ = Ω

(Α΄)΄ = Ω

Α ∩ Β = Β ∩ Α

Α ∩ Β = Β ∪ Α

∅ ΄ = Ω

Αν Α ⊆ Β τότε

Α ∪ Β = Β

Α΄ ∪ Α = Ω

Α΄ ∩ Α = ∅

(Α΄)΄ = Α

Αν Α ⊆ Β τότε

Α ∩ Β = Α

Συνδυαστικά θέµατα 1) a) Na συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας και να υπολογιστεί η µέση τιµή και η

τυπική απόκλιση κλάσεις χi fi xifi (xi-x )2 (xi-x )2fi

[3,5) 0.1

[5,7) 0.2

[7,9) 0.3

[9,11)

Σύνολο 1

β) Αν οι τιµές του δείγµατος αυξηθούν κατά µια θετική σταθερά c, να υπολογιστούν οι τιµές του c ώστε το δείγµα να είναι οµοιγενές. γ) Αν c ∈ Ω= 1,2,3, ……20, όπου Ω δειγµατικός χώρος µε ισοπίθανα, απλά ενδεχόµενα να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου Α: το δείγµα να είναι οοιογενές και c άρτιος αριθµός.

2) Έστω ο πίνακας κλάσεις χi fi xifi (xi

2fi) [1,3) 0.2

[3,5) 0.8

[5,7)

[7,9

Σύνολο 1

a) Να συµπληρωθεί ο πίνακας αν γνωείζουµε ότι η µέση τιµή του δείγµατος είναι 6. β) Να υπολογιστεί ο συντελεστής µεταβλητότητας του δείγµατος και να εξετάσετε αν το δείγµα οµοιγενές.

3) Αν για τα ενδεχόµενα Α,Β ενός δειγµατικού χωρού Ω ισχύουν: P(A) > 0.6 και P(B) =0.4.

a) Να εξετάσετε αν τα Α,Β είναι ασυµβίβαστα β) Αν ρ∈ R ρίζα της εξίσωσης χ2 +2 Ρ(Α ∩ Β)χ + P(A) P(B) =0, να δειχθεί ότι -0,4≤ρ≤0

47

γ) να δειχθεί ότι 0,2< Ρ(Α − Β)

4) ∆ίνεται η συνάρτηση f(x)=4sx2 -2x x +13, x∈ R, όπου x : η µέση τιµή και s: η τυπική απόκλιση ενός δειγµατικού µεγέθους ν. Αν η εφαπτοµένη της καµπύλης f στο σηµείο Α(1, f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία ψ=2009 , τότε: α) Να βρείτε την f ’(χ) β) Να δείξετε ότι το δείγµα δεν είναι οµοιογενές γ) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο δ) Αν η συνάρτηση f έχει ελάχιστη τιµή ίση µε 1, τότε:

i. να βρείτε τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση του δείγµατος ii. ποιο είναι το ελάχιστο ποσό κατά το οποίο πρέπει να αυξηθεί η µέση τιµή

ώστε το δείγµα να παρουσιάζει οµοιγένεια; iii. να βρείτε την εξίσωση εφαπτοµένης της Cf στο Α.

5) Σε ένα σχολείο 400 µαθητών διδάσκονται αγγλικά και γαλλικά. Κάθε µαθητής παρακολουθεί τουλάχιστον µια από τις γλώσσες αυτές. 340 παρακολουθούν αγγλικά και 240 γαλλικά. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Έστω Α: ο µαθητής παρακολουθεί αγγλικά, Γ: ο µαθητής παρακολουθεί γαλλικά α) Να εξετάσετε αν τα Α, Γ είναι ασυµβίβαστα

β) Να δείξετε ότι P(Γ-Α) ≤5

3

γ) Να βρείτε την πιθανότητα ο µαθητής να παρακολουθεί µόνο αγγλικά και την πιθανότητα να παρακολουθεί µόνο µια από τις ξένες γλώσσες.

6) Οι χρόνοι που χρειάστηκαν 7 µαθητές για να λύσουν ένα πρόβληµα στατιστικής ήταν 6,3,χ,2,1,2,4 σε λεπτά, όπου χ: θετικός πραγµατικός αριθµός.

α) Να αποδείξετε ότι η διακύµανση των παρατηρήσεων δίνεταιαπό την συνάρτηση

S2(Χ) = 49

1662562 +− xx

β) Να βρείτε την τιµή του χ ώστε οι παρατηρήσεις να έχουν όσο γίνεται µικρότερη διασπορά. γ) Αν το χ παίρνει τιµές από το σύνολο Ω=1,2,3,,,50 να υπολογίσετε την

πιθανότητα του ενδεχοµένου Α= Η τυπική αποκλιση είναι µικρότερη από 7

166.

7) ∆ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 9

3

−−

x

x και g(x)=

107

652

2

++++

xx

xx και τα

ενδεχόµενα Α και Β του δειγµατικού χώρου Ω για τα οποία υποθέτουµε ότι: P(A) = )(lim

9xf

x→ P(Β) = )(lim

2Xg

x −→και Ρ(Α ∩ Β)=g‘ (1).

a) Na βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων f(x) και g(x) και να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης g. β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες P(A), P(B), και Ρ(Α ∩ Β). γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ(Α ∪ Β) δ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχοµένου «πραγµατοποιείται µόνο ένα από τα Α και Β».

48

8) ∆ίνεται η συνάρτηση f(x)=xlnx – x α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Κ(e, f(e)). γ) Να µελετήσετε την συνάρτηση ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα δ) Για τα ενδεχόµενα Α και Β του δειγµατικού χώρου Ω υποθέτουµε ότι Α⊆ Β καιτο

Α δεν είναι αδύνατο ενδεχόµενο. Να δείξετε ότι P(A)lnP(A)+P(B) ≥ P(B)lnP(B)+P(A).

9) Μια αυτοκινητβιοµηχανία στον εξοπλισµό κάθε αυτοκινήτου της περιλαµβάνει προαιρετικά δερµάτινα καθίσµατα και cd player. Στις παραγγελείες που έγιναν για το έτος 2004 το 40% των αυτοκινήτων που κατασκευάστηκαν είχαν δερµάτινα καθίσµατα, 50% cd player ενώ ένα 15% είχαν cd player και δερµάτινα καθίσµατα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων. α) Το αυτοκίνητο να µην έχει cd player β) Το αυτοκίνητο να µην έχει δερµάτινα καθίσµατα γ) Το αυτοκίνητο να έχει δερµάτινα καθίσµατα και cd player δ) Το αυτοκίνητο να έχει δερµάτινα καθίσµατα ή cd player ε) Το αυτοκίνητο να µην έχει ούτε δερµάτινα καθίσµατα ούτε cd player

10) Το πλήθος σε δέκαδες χιλιάδες κοµµάτια των πωλήσεων µιας εταιρείας που

παράγει ηλεκρονικούς υπολογιστές, δίνεται από την συνάρτηση P(t) = 25

4002 +t

t, t≥0

εκφράζει σε µήνες το χρόνο κυκλοφορίας του µοντέλου από την κυκλοφορία του στην αγορά. α) Να βρείτε τις πωλήσεις του µοντέλου τον 10 µήνα κυκλοφορίας του στην αγορά β) Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής των πωλήσεων της εταιρείας µετά από ένα µήνα από την κυκλοφορία στην αγορά ενός νέου µοντέλου γ) Να βρεθεί η χρονική στιγµή κατά την οποία οι πωλήσεις κ, παιρνουν τη µλεγιστη τιµή δ) Να βρεθεί η µέγιστη ποσότητα σε δεκάδες χιλιάδες κοµµάτια που πουλά η εταιρεία το µήνα που βρέθηκε στο β ερώτηµα.

11) Οι 70 δηµόσιοι υπάλληλοι δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης µιας νοµαρχίας έχουν µέσο µηνιαίο µισθό €800, ενώ οι υπάλληλοι πανεπιστηµιακής εκπαίδευσης έχουν µέσο µισθό €1.000. Ο µέσος µισθός όλων των υπαλλήλων στη νοµαρχία είναι €890. Α. α) Να βρείτε πόσοι είναι οι υπάλληλοι πανεπιστηµιακής εκπαίδευσης β) Ποιο είναι το µηνιαίο οικονοµικό κονδύλι που απαιτείται για την αποπληρωµή όλων των εργαζοµένων στην νοµαρχία. Β. Την 1η Ιανουαρίου του έτους 2005 δόθηκε αύξηση €30 µηνιαία σε κάθε υπάλληλο δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης και 4% σε κάθε υπάλληλο πανεπιστηµιακής εκπαίδευσης. Να υπολογίσετε: α) Το µέσο µισθό των υπαλλήλων δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης και το µέσο µισθό των υπαλλήλων πανεπιστηµιακής εκπαίδευσης, όπως θα διαµορφωθεί µετά την αύξηση.

49

β) Το νέο µισθό των εργαζοµένων στην νοµαρχία.

12) Το µέσο ύψος 70.000 µαθητών της Γ Λυκείου είναι x = 172cm και η τυπική απόκλιση s = 7cm. Η κατανοµή των µαθητών ως προς το ύψος είναι περίπου κανονική. α) Να αποδείξετε ότι το δέιγµα των µαθητών της Γ’ Λυκείου έχει οµοιογένεια ως προς το ύψος β) Να εκτιµήσετε πόσοι µαθητές της Γ’ Λυκείου έχουν ύψος µεταξύ 165cm και 179cm. γ) Επιλέγοντας τυχαία ένα µαθητή της Γ’ Λυκείου να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Α:το ύψος του µαθητή είναι µεταξύ 165 cm και 193 cm δ) Αν κατά την µλετρηση του ύψους όλων των µαθητών είχε από λάθος µετρηθεί 2 cm περισσότερο από το πραγµατικό, να βρείτε πόσο είναι το «πραγµατικό» µέσο ύψος. ε) Λαµβάνοντας υπόψη το «πραγµατικά» στοιχεία του ύψους των µαθητών το δείγµα σε αυτήν την περίπτωση είναι περισσότερο ή λιγότερο οµοιογενές από το δείγµα για το οποίο είχαµε λάβει υπόψη τα «πλασµατικά» στοιχεία του ύψους.

13) ∆ίνεται η κατανοµή µε τα δεδοµένα της οµαδοποιηµένα σε τέσσερις κλάσεις/ Α. Να βρεθούν οι συχνότητες ν1,ν2,ν3,ν4των κλάσεων όταν:

i. το ν1 =3

lim→x 21

3

−+

−

x

x

ii. το ν2 ισούται µε την κλίση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

f(x)= 2x2 -20 x -16lnx +1 στο σηµείο Α(4,f(4))

iii. το ν3 είναι η τιµή για την οποία η συνάρτηση g(x) =

=+

≠+

3,3

3,5

3

2

xv

xxείναι

συνεχής στο σηµείο χ0 =3.

iv. το ν4 =2

3321

ννν ++

Β. α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα της κατανοµής που ακολουθεί λαµβάνοντας υπόψη τα δεδοµένα του ερωτήµατος Α.

κλάσεις νi χi fi% Ni Fi% xiνi [4,10) 0.2

[10,16) 0.8

[16,22)

[22,28)

Άθροισµα

β) Να βρεθεί η µέση τιµή τω παραπάνω δεδοµένων γ) Αν οι παραπάνω κλάσεις αναφέρονται στις απουσίες 40 µαθητών της Γ’ τάξης ενός λυκείου για το µήνα Μάιο και οι κλάσεις είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες να βρεθεί ο αριθµός των µαθητών που έχουν απουσίες από 16 έως 25 και το ποσοστό των µαθητών που έχουν τουλάχιστον 10 απουσίες για τον µήνα αυτό.

50

14) Σε µια κανονική κατανοµή το 49,85% των παρατηρήσεων βρίσκονται στο διάστηµα (10,06). Να εξετασθεί αν το δείγµα είναι οµοιγενές.

15) Πέντε διαδοχικοί αριθµοί έχουν µέση τιµή 8. Να υπολογιστεί ο συντελεστής µεταβολής.

Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις

1) Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση της f’(x) µιας συνάρτησης f µε πεδίο ορισµού όλο το R. α) Να γράψετε τα

διαστήµατα στα οποία η f’(x) είναι θετική και αρνητική και να γίνει ο πίνακας µεταβολών της f.

β) Να βρείτε την µονοτονία της f καθώς και την θέση και το είδος των ακρότατων της.

γ) Σε ποια σηµεία δέχεται οριζόντια εφαπτοµένη; δ) Να µελετηθεί στο R η µονοτονία της g µε g(x) = ef(x)

2) Τυπογράφος θέλει να εκτυπώσει 100 χιλιάδες αφίσες γι’ αυτό νοικιάζει µηχανές που η κάθε µια τυπώνει 100 αφίσες την ώρα. Τα πάγια έξοδα ενοικίασης και εγκατάστασης είναι 200€. Επιπλέον για κάθε ώρα εκτύπωσης το τυπογραφείο έχει πρόσθετα έξοδα 5€. α) Να γράψετε τα συνολικά έξοδα εκτύπωσης ως συνάρτηση του αριθµού των εκτυπωτικών µηχανών που θα χρησιµοποιηθούν. β) Ποιο το πλήθος των µηχανών για το ελάχιστο κόστος; γ) Ποιο το ελάχιστο κόστος;

3) Στο παρακάτω πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων φαίνεται η βαθµολογία των µαθητών µιας τάξης σε ένα διαγώνισµα. α) Να βρεθεί ο αριθµός των µαθητών. β) Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων (απολύτων και αθροιστικών). γ) Να υπολογιστεί η διάµεσος. δ) Να βρεθεί το πλήθος των µαθητών που πήραν βαθµό µεγαλύτερο ή

ίσο του 10.

y

3

1

x’ −2 0 1 2 3 x

−1 y’

Ni

4 8 12 16 20 xi

20

40

10

35

4

0

Cf’

51

4) Στο µάθηµα της Στατιστικής 25 φοιτητές πήραν βαθµούς 7,8,9 και 10

σύµφωνα µε τον πίνακα που ακολουθεί, µε µέση βαθµολογία 4,8x = .

xi fi%

7 a

8 28

9 32

10 β

Σύνολο 100

5) Στο παρακάτω σχήµα έχουµε το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων σε οµαδοποίηση. α) Να βρείτε:

i) τη διάµεσο δ, ii) το εύρος R

iii) τη µέση τιµή x , iv) τη διακύµανση s2 β) Αν για τις κεντρικές τιµές x1, x2, x3 των παραπάνω κλάσεων ισχύει

ότι ∑ = 1180νx i2i , να βρείτε το πλήθος ν των παρατηρήσεων.

6)

xi νi

1

2 2

3

4 4

5

Σύνολο 20

i) Να βρείτε τη σχέση των α και β. ii) Αν το γινόµενο αβ είναι µέγιστο, να βρεθεί η διακύµανση του νέου δείγµατος.

α) Να βρεθούν οι α και β. β) Να βρεθούν: i) η διάµεσος ii) η διακύµανση S2 γ) Πόσο είναι το τόξο α4 του αντίστοιχου κυκλικού διαγράµµατος; δ) Να γίνει το διάγραµµα συχνοτήτων.

∆ίνεται ο διπλανός πίνακας συχνοτήτων µε 4=x και s2 = 1,5 α) Να συµπληρωθεί ο πίνακας. β) Να βρεθεί η διάµεσος δ και να εξεταστεί αν

το δείγµα αυτό είναι οµοιογενές. γ) Αν από το παραπάνω δείγµα των xi,

i = 1,2,3,4,5 θεωρήσουµε ένα νέο δείγµα µε τιµές ψi = axi+β, i = 1,2,3,4,5 µε τις ίδιες συχνότητες αντίστοιχα και µε µέση τιµή

=ψ 16, τότε:

1 3 5 7

100 90

80 70 60 50

40

30 20

10

Fi%

52

7) Σε µία εταιρεία το 68% των υπαλλήλων παίρνει µέσο εβδοµαδιαίο µισθό 250€, το 28% παίρνει µέσο εβδοµαδιαίο µισθό 300€ και τα υπόλοιπα 8 άτοµα παίρνουν µέσο εβδοµαδιαίο µισθό 350€. Να βρείτε: α) Το πλήθος των υπαλλήλων της εταιρείας. β) Το µέσο εβδοµαδιαίο µισθό όλων των υπαλλήλων της εταιρείας. γ) Τη διασπορά του παραπάνω δείγµατος.

8) Οι ηλεκτρικοί λαµπτήρες που κατασκευάζει ένα εργοστάσιο µια ορισµένη ηµέρα, έχουν µέση διάρκεια ζωής 2000 ώρες και συντελεστή µεταβολής 5%.

a) Αν ισχύει 6v

1i

2i 10807.2t ⋅=∑

=

, να βρείτε το πλήθος των

λαµπτήρων. β) Αν υποθέσουµε ότι για το παραπάνω δείγµα έχουµε κανονική κατανοµή

και το πλήθος των λαµπτήρων είναι 1000, τότε να βρείτε το πλήθος των λαµπτήρων οι οποίοι έχουν διάρκεια ζωής :

i) Από 1300 ώρες έως 2000 ώρες. ii) Τουλάχιστον 1800 ώρες.

9) Έστω ένα δείγµα 100 παρατηρήσεων t1,t2,...,t100 µε συντελεστή µεταβολής 10%

για το οποίο ισχύει: 400.646t100

1i

2i =∑

=

.

α) Να βρείτε τη µέση τιµή του δείγµατος (x >0 ). β) Να αποδείξετε ότι κάθε παρατήρηση xi είναι µη αρνητικός αριθµός. γ) Να αποδείξετε ότι για το εύρος R του δείγµατος ισχύει: R≤ 160.

10) Για τη µέση τιµή και τη διακύµανση ενός δείγµατος 6 διαφορετικών

παρατηρήσεων υπολογίστηκε ότι: 20x = και s2 = 160. ∆ιαπιστώθηκε αργότερα πως η παρατήρηση 18 από λάθος γράφτηκε 24. α) Να βρείτε την πραγµατική µέση τιµή και τη διακύµανση του δείγµατος. β) Είναι το δείγµα οµοιογενές;

11) Ο µέσος όρος των αριθµών: 3, 1, 7, 2, 11, 7, x, ψ, όπου x, ψ είναι µονοψήφιοι θετικοί αριθµοί, είναι 4. a) Να δείξετε ότι x + ψ = 14. β) Να βρείτε την επικρατούσα τιµή αυτού του συνόλου των αριθµών, όταν:

i) x = ψ και ii) x ≠ ψ.

γ) Αν η τυπική απόκλιση είναι s = 763

1 να βρεθούν τα x, ψ δοθέντος ότι

x < ψ.

12) Σε µία ερώτηση στη Στατιστική απάντησαν ν φοιτητές σε χρόνους t1, t2, ..., tν αντίστοιχα. Θεωρούµε την συνάρτηση f µε:

f ( ) ( ) ( ) ( )2ν2

22

1 xt...xtxtx −++−+−= , x R∈

53

η οποία παρουσιάζει ελάχιστο το f ( )2 = 8.

α) Να βρεθεί ο µέσος χρόνος απάντησης των φοιτητών. β) Να αποδειχθεί ότι f’ ( ) ν40 −= .

γ) Να βρεθεί το µικρότερο πλήθος φοιτητών ώστε το δείγµα των χρόνων απάντησης να είναι οµοιογενές.

δ) Αν ισχύει ότι ∑=

=ν

1i

2i 48t , να βρεθεί το πλήθος ν των φοιτητών.

13) Οι ηλικίες των καθηγητών ενός σχολείου δίνονται στο παρακάτω ιστόγραµµα σχετικών συχνοτήτων, στο οποίο λείπει ο ιστός της τελευταίας κλάσης [55 , 65). α) Να βρεθεί το ποσοστό των καθηγητών που έχουν ηλικία από 55 έως

65 ετών. β) Να βρεθεί η µέση ηλικία των καθηγητών.

γ) Να βρεθεί το ποσοστό των καθηγητών που έχουν ηλικία x, όταν x )65,55[)45,30[ ∪∈ .

δ) Αν 26 είναι οι καθηγητές που έχουν ηλικία x µε 35 55x <≤ να βρεθεί το πλήθος όλων των καθηγητών του σχολείου.

14) Αν το δείγµα επτά διαδοχικών θετικών ακεραίων είναι οµοιογενές, να βρεθεί η µικρότερη τιµή που µπορεί να πάρει η µέση τιµή τους.

15) Ένας µαθητής έχει γράψει στα 8 από τα 10 µαθήµατα των Πανελληνίων εξετάσεων τους εξής βαθµούς: 18,16,16,17,14,20,12,13. Του µένουν τα Μαθηµατικά και η Φυσική. Πόσο πρέπει να γράψει στα Μαθηµατικά ώστε να βγάλει µέσο όρο 15 και οι βαθµοί του να παρουσιάζουν την ελάχιστη δυνατή διακύµανση από τη µέση βαθµολογία του;

16) Οι θερµοκρασίες για 30 διαδοχικές µέρες ακολουθούν την κανονική κατανοµή µε µικρότερη θερµοκρασία 20° C. ∆ίνεται ότι για τις θερµοκρασίες αυτές x1, x2, ..., x30 ισχύει:

30∑ ∑= =

−

30

1i

230

1ii

2i xx = 3600.

Να βρεθεί η µεγαλύτερη θερµοκρασία από αυτές.

25 35 45 55 65 xi

12

16

40

fi%

54

17) Αν ένα δείγµα θετικών αριθµών ακολουθεί την κανονική κατανοµή, να αποδειχθεί ότι ο συντελεστής µεταβολής του δεν υπερβαίνει το 34%.

18) Να βρεθεί το πλήθος ν των παρατηρήσεων:

x1 =12

ln , x2 = ,,23

ln … xν = ν

1νln

+,

αν η µέση τιµή αυτών είναι ν

2004ln .

19) Έστω οι αριθµοί x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x ∈ R, µε αντίστοιχες συχνότητες 1, 2, 3, 4. Να αποδειχθεί ότι η µέση τιµή του δείγµατος αυτών των αριθµών αυξάνεται µε σταθερό ρυθµό 1, για οποιαδήποτε τιµή του x ∈ R.

xi νi

11 α2-10γ+50

3 β2-2α

4 γ2-6β

Σύνολο 15

21) Αν µια µεταβλητή παίρνει δύο µόνο τιµές µε σχετικές συχνότητες f1 και f2 να

αποδειχθεί ότι f14

1f2 ≤⋅ .

xi νi

0 κ

1 λ

23) Από 120 µαθητές ενός λυκείου, 24 µαθητές συµµετέχουν στο διαγωνισµό της ΕΜΕ, 20 µαθητές συµµετέχουν στο διαγωνισµό της ΕΕΦ και 12 µαθητές συµµετέχουν και στους δύο διαγωνισµούς. Επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή. Ποια η πιθανότητα ο µαθητής: i) να συµµετέχει σε έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισµούς; ii) να συµµετέχει σε έναν µόνο από τους δύο διαγωνισµούς; iii) να µη συµµετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισµούς;

(ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ∆ΕΙΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – 2000)

24) Από τους µαθητές µιας τάξης το 25% δεν µαθαίνει αγγλικά, το 40% δεν µαθαίνει γερµανικά και το 10% δεν µαθαίνει ούτε αγγλικά ούτε γερµανικά.

∆ίνεται ο διπλανός πίνακας συχνοτήτων: α) Να βρεθούν οι α ,β ,γ. β) Να βρεθεί η µέση τιµή του δείγµατος.

20)

∆ίνεται ο διπλανός πίνακας συχνοτήτων µε κ ,λ ∈ Ν*. α) Αν s είναι η τυπική απόκλιση να

αποδείξετε ότι s2

1≤ .

β) Αν το δείγµα είναι οµοιογενές να βρείτε τη µικρότερη τιµή του λ.

22)

55

Επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα να µαθαίνει και αγγλικά και γερµανικά.

25) ∆ίνεται ο δ.χ. Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 µε πιθανότητες στοιχειωδών ενδεχοµένων που ικανοποιούν τις σχέσεις: 2Ρ(1) = 2Ρ(3) = 2Ρ(5) = 2Ρ(7) = 3Ρ(2) = 3Ρ(4) = 3Ρ(6) = 3Ρ(8). Επίσης, δίνεται το τριώνυµο f(x) = x2 + γx + 4 , όπου ο συντελεστής γ επιλέγεται τυχαία από το δ.χ. Ω. Αν το ενδεχόµενο Γ είναι: Γ = γ∈Ω / η εξίσωση f(x) = 0 να έχει πραγµατικές ρίζες, να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Γ.

26) ∆ίνεται η εξίσωση: (3x − 2)(4x2 − 11x + 6) = 0 (1) Αν οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) (Ρ(Α) < Ρ(Β)) των ενδεχοµένων Α, Β είναι ρίζες της (1) τότε: (α) Να εξετάσετε αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα,

(β) Να δείξετε ότι: 12

5 ≤ Ρ(Α ∩ Β) ≤

3

2

(γ) Αν Ρ(Α∩Β) = 2

1 να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων:

i) να πραγµατοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β, ii) να µην πραγµατοποιηθεί κανένα από τα Α, Β, iii) να πραγµατοποιηθεί µόνο το Α.

27) Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) + Ρ(Β) ( )BAP2 ∩≠ .

∆ίνεται η συνάρτηση: ( ) ( )( ) ( )( )33 BAPxBAPxxf ∩−−∪−= , Rx ∈

α) Να δείξετε ότι ( ) ( )BAPBAP ∪≠∩ .

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) παρουσιάζει µέγιστο στο σηµείο ( ) ( )

2

BPAPx

+= .

γ) Εάν τα ενδεχόµενα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να δείξετε ότι: ( )( ) ( )( )BPfAPf = .

28) Έστω πείραµα τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω και Α, Β τα ενδεχόµενα δύο ενδεχόµενα του Ω. Αν για τα Α, Β ισχύει: 4Ρ2(Α) + 9Ρ2(Β) + 2 = 4Ρ(Α) + 6Ρ(Β)

και Ρ(Α ∪ Β) = 5Ρ(Α ∩ Β) Να υπολογιστούν: α) Ρ(Α) β) Ρ(Β) γ) Ρ(Α ∪ Β) δ) Ρ(Α ∩ Β)

56

Αλλαγή Μεταβλητής Μεταβλητή Μέτρα που µένουν ίδια Μέτρα που αλλάζουν

ψi = xi + c sψ = sx

sψ2 = sx

2

cxψ +=

<>

><

0cανCV

0cανCVCV

x

xψ

∆είγµα πιο οµοιογενές

αν c > 0.

Ζι = xi · c

CVz = CVx

Η οµοιογένεια δεν αλλάζει 2

x22

z

xz

scs

s|c|s

xcz

=

=

⋅=

wi = axi + β

βxa

saCV

sas

s|a|s

βxaw

w

2x

22w

xw

i

++++====

====

====

++++====

Εκφράσεις

Συµβολισµοί

αντίστοιχων ενδεχοµένων

Τύποι

Η πιθανότητα να “πραγµατοποιηθεί

το Α”


πραγµατοποιηθεί το Α”

Ρ(Α’) = 1 − Ρ(Α)

Η πιθανότητα να

πραγµατοποιηθεί “ένα τουλάχιστον από

τα Α, Β” ή “το Α ή το Β”

Ρ(Α∪Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) − Ρ(Α∩Β)

(Προσθετικός Νόµος) αν Α∩Β = ∅

Ρ(Α∪Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)

(Απλός Προσθετικός Νόµος)


πραγµατοποιηθούν “ταυτόχρονα τα Α,Β”

“το Α και το Β”

Ρ(Α∩Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) − Ρ(Α∪Β) αν Α, Β ασυµβίβαστα

Ρ(Α∩Β) = 0


πραγµατοποιηθεί “µόνο το Α”

“το Α και όχι το Β”

Ρ(Α−Β) = Ρ(Α) − Ρ(Α∩Β) Ρ(Α−Β) = Ρ(Α∩Β’)

Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί “ένα µόνο από τα

Α, Β”

Ρ[(Α−Β)∪(Β−Α)]=Ρ(Α−Β)+Ρ(Β−Α)=

Ρ(Α)−Ρ(Α∩Β)+Ρ(Β)−Ρ(Α∩Β)=

Ρ(Α)+Ρ(Β)−2Ρ(Α∩Β)


πραγµατοποιηθεί κανένα από τα Α, Β”

Ρ[(Α∪Β)’] = 1 − Ρ(Α∪Β)

Ρ(Α’∩Β’) = Ρ[(Α∪Β)’]


πραγµατοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α, Β”

Ρ[(Α∩Β)’] = 1 − Ρ(Α∩Β)

Ρ(Α’∪Β’) = Ρ[(Α∩Β)’]

Ενδεχόµενα Περιγραφή Ενδεχοµένων

Α ==== Β Ισότητα

Η πραγµατοποίηση του

Α ισοδύναµη µε την

πραγµατοποίηση του Β

Α ⊆⊆⊆⊆ Β Υποσύνολο

Η πραγµατοποίηση του

Α συνεπάγεται την

πραγµατοποίηση του Β

Α ∪∪∪∪ Β Ένωση

Η πραγµατοποίηση «του Α ή του Β» «τουλάχιστον ενός

από τα Α ή Β»

Α∪Β = όλα τα στοιχεία

των Α και Β

Α ∩∩∩∩ Β Τοµή

Πραγµατοποίηση

«του Α και του Β»

«Ταυτόχρονη των Α, Β»

Α∩Β = τα κοινά στοιχεία των Α και Β

Α’ Αντίθετο ή

συµπληρωµατικό του Α ως προς το Ω

Η µη πραγµατοποίηση του Α

Α’ = Όλα τα στοιχεία του Ω εκτός των στοιχείων

του Α

Α −−−− Β ή

Α ∩∩∩∩ Β’ ∆ιαφορά

Πραγµατοποίηση του

Α και όχι του Β

Α−Β=τα στοιχεία του Α που δεν ανήκουν στο Β

(Α−−−−Β)∪∪∪∪(Β−−−−Α)ή

(Α∩∩∩∩Β’)∪∪∪∪(Β∩∩∩∩Α’)

Άθροισµα

πραγµατοποίηση ενός µόνο από

τα Α, Β

(Α − Β) ∪ (Β − Α)=όλα τα

στοιχεία των Α, Β εκτός από τα κοινά τους

Ω

Α

Ω

Α

Ω

B A

Ω

B A

A B

Ω

Β Α

Ω

Β A

Ω

A B

Ω

A B

Ω

Α Β

Ω

Ω

Α Β

Α’

Ω

Α

Ω

Α Β

Ω

Α Β

Ω

Α Β

Ω

Α Β

Πιθανότητες ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω Ω = ω1, ω2, ..., ων είναι δειγµατικός χώρος µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε απλό ενδεχόµενο ωi όπου i = 1, 2, ... v αντιστοιχίζουµε έναν πραγµατικό αριθµό τον Ρ(ωi) ώστε:

0 ≤ Ρ(ωi) ≤ 1

Ρ(ω1) + Ρ(ω2) + ... + Ρ(ων) = 1 Έστω Α = α1, α2, ..., ακ ≠ ∅ τότε Ρ(Α) = Ρ(α1) + Ρ(α2) + ... + Ρ(ακ)

Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ:

Ρ(∅) = 0

0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1

Ρ(Ω) = 1

ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Αν τα απλά ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα τότε:

Ρ(Α) = )Ω(Ν

)Α(Ν

Ωσεωνώπεριπτνώδυνατθοςήπλ

Ασεωνώπεριπτνώκϊευνοθοςήπλ=

Καµπύλη Συχνοτήτων Κανονικής Κατανοµής

Το 68% του πλήθους των παρατηρήσεων βρίσκεται από ( x - s, x + s)

To 95% του πλήθους των παρατηρήσεων βρίσκεται από ( x - 2s, x + 2s)

Το 99,7% του πλήθους των παρατηρήσεων βρίσκεται από ( x - 3s, x + 3s)

Εύρος s6R ≈

Οι υπόλοιπες ακραίες παρατηρήσεις αντιστοιχούν στο 0,3%.

x = δ = Μο και τα τρία µέτρα θέσης αντιστοιχούν στο µέσο της κατανοµής.

x

34% 34% 13,5% 13,5% 2,35% 2,35%

99,7%

95%

68%

x - 3s x - 2s x - s x + s x + 2s x + 3s

50%

0,15% 0,15%

57

Μεθοδολογία Εύρεσης Ορίου Συνάρτησης στο xo • Αντικαθιστούµε στην f(x) όπου x το xo

• Αν είναι κλασµατική και προκύψει 0

0 βγάζω κοινό παράγοντα από τον αριθµητή

και τον παρονοµαστή το x−xo και το απλοποιώ. Στη συνέχεια αντικαθιστώ όπου x το xo.

Συνέχεια Συνάρτησης στο xo. Μια συνάρτηση f µε Π.Ο. Α λέγεται συνεχής στο xo∈A όταν ( ) ( )o

xxxfxflim

o

=→

Παράγωγος Συνάρτησης στο xo Μια συνάρτηση f µε Π.Ο. Α λέγεται παραγωγίσιµη στο xo∈A όταν υπάρχει το

( ) ( )h

xfhxflim o

0h

−+

→ και είναι πραγµατικός αριθµός

Παράγωγος Συνάρτηση Μια συνάρτηση f µε Π.Ο. Α και Β⊆Α το σύνολο των x∈A στα οποία η f είναι παραγωγίσιµη. Ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε x∈B αντιστοιχίζεται

στο ( ) ( ) ( )h

xfhxflimx'f

0h

−+=

→ της f

Η f’ ονοµάζεται παράγωγος της f. Ρυθµός Μεταβολής Συνάρτησης στο xo Στιγµιαία ταχύτητα τη χρονική στιγµή to

u(to) = x’(to) = ( ) ( )h

txhtxlim oo

0h

−+

→

Στιγµιαία επιτάχυνση τη χρονική στιγµή to

α(to) = u’(to) = ( ) ( )h

tuhtulim oo

0h

−+

→

Εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf στο xo.

y = f’(xo) · x + β • f’(xo), συντελεστής διεύθυνσης • Το β υπολογίζεται από τις συντεταγµένες του Α(xo, f(xo)), β = f(xo) −

f’(xo) · xo. Κανόνες Παραγώγισης 1. (cf(x))’ = c f’(x) 2. (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x) 3. (f(x) · g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)

4. ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )xg

x'gxfxgx'f

xg

xf2

−=

′

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Documents

Transcript of ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ