ΕΕΣΣΩΩΤΤΕΕΡΡΙΙΚΚΟΟ ΓΓΙΙΝΝΟΟΜΜΕΕΝΝΟΟ ΔΔΙΙΑΑΝΝΥΥΣΣΜΜΑΑΤΤΩΩΝΝ

ΤΤρριιγγωωννοομμεεττρρίίαα

Γωνία φ ημφ συνφ εφφ

Μοίρες Ακτίνια 00 0 0 1 0

030 π

6

1

2

3

2

3

3

045 π

4

2

2

2

2 1

060 π

3

3

2

1

2 3

090 π

2 1 0 Δεν ορίζεται

0120 2π

3

3

2

1

2 3

0135 3π

4

2

2

2

2 1

0150 5π

6

1

2

3

2

3

3

0180 π 0 1 0

0270 3π

2 1 0 Δεν ορίζεται

0360 2π 0 1 0

ΟΟρριισσμμόόςς

Ονομάζουμε δύο μη μηδενικών

διανυσμάτων α και β και το συμβολίζουμε με

τον πραγματικό αριθμό

α β α β συνφ , όπου φ η γωνία των α και β.

Αν α

εσωτερικό γι

0

νόμε

ή β

νο

α β

ζ

ζ 0 , τότε ορίζουμε α β 0

Παράδειγμα 1

πΈστω δύο διανύσματα α,β με α 3, β 8 και φ

3

Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α β

Λύση

π 1α β α β συνφ 3 8 συν 24 12

3 2

ΙΙδδιιόόττηηττεεςς

2 2

α β β α (αντιμεταθετική ιδιότητα)

α β α β 0

α β α β α β

α β α β α β

α α α α

ζ

ζ

ζ

ζ

ζ

ΑΑννααλλυυττιικκήή ΈΈκκφφρραασσηη ΕΕσσωωττεερριικκοούύ ΓΓιιννοομμέέννοουυ

Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε:

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2

1 2 1 2

1

AB OA OB 2 OA OB συνθ

AB OA OB 2 ΟΑ ΟΒ συνθ

x x y y x y x y 2 OA OB συνθ

x 2x x x y 2y y y x y x y 2 OA OB συνθ

2 x x y y 2 OA OB συνθ

OA OB συνθ x x

2 1 2

y y

Άρα έχουμε:

1 2 1 2α β x x y y

Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το

άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους.

Παράδειγμα 2

Αν α 2, 9 , β 4, 1 να βρείτε το εσωτερικό

γινόμενο α β

Λύση

α β 2, 9 4, 1 2 4 9 1 8 9 17

Ο

y

x

1 1

A x , y

2 2

B x y

θ

αβ

ΙΙδδιιόόττηηττεεςς

1 2

1) λα β α λβ λ α β

2) α β γ α β α γ

3) α β λ λ 1 (εφόσον α / /

y ' y και β / / y ' y)

Αποδείξεις

1) 1 1 2 2

Αν α x , y και β x , y

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

λα β λ x , y x , y λx , λy x , y

λx x λx y λ x x y y λ α β

α λβ x , y λ x , y x , y λx , λy

x λx y λy λ x x y y λ α β

Άρα λα β λ α β α λβ

2) 1 1 2 2 3 3

Αν α x , y , β x , y και γ x , y

1 1 2 2 3 3

1 1 2 3 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 1 3 1 2 1 3

1 2 1 2 1 3 1 3

α β γ x , y x , y x y

x , y x x , y y

x x x y y y

x x x x y y y y

x x y y x x y y

α β α γ

3) 1 1 2 2 1 2

Αν α x , y και β x , y , x 0 και y 0

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

α β α β 0 x , y x , y 0

x x y y 0 y y x x

y y 1 λ λ 1

x x

ΣΣυυννηημμίίττοοννοο ΓΓωωννίίααςς ΔΔύύοο ΔΔιιααννυυσσμμάάττωωνν

1 1 2 2Έστω α x , y και β x , y είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα με α , β θ

Τότε α β α β συνθ α β

συνθα β

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

x x y yσυνθ

x y x y

Παράδειγμα 3

Αν α 1, 2 και β 3,1 , να βρείτε την γωνία α , β

Λύση

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

2 22 2

x x y yα βσυν α , β

α β x y x y

1 3 2 1

1 2 3 1

3 2 5

1 4 9 1 5 10

5 5 5 1 2 2

250 25 2 5 2 2 2 2

02 3π

συν α , β α , β 1352 4

Παράδειγμα 4 (Εφαρμογή 2 / σελ. 44 του σχολικού βιβλίου)

0

Έστω δύο διανύσματα α και β που έχουν μέτρα α 3 ,

πβ 1 και σχηματίζουν γωνία φ 30 . Να βρεθεί η γωνία

6

των διανυσμάτων x α β και y α β.

Λύση

x yσυν x , y

x y

22 2 2 2

2

x y α β α β α β α β 3 1 3 1 2 ζ

2 2 2 2 2 2 2

x α β α β α 2α β β α β 2 α β συν α , β

ζ

2

2π 3

3 1 2 3 1 συν 3 1 2 3 4 3 76 2

Άρα x 7

2 2 2 2 2 2 2

22

y α β α β α 2α β β α β 2 α β συν α , β

π 3 3 1 2 3 1 συν 3 1 2 3 4 3 1

6 2

ζ

Άρα y 1

0x y 2 2 7 2 7

συν x , y x , y 417x y 7 1 7 7

ΠΠρροοββοολλήή ΔΔιιααννύύσσμμααττοοςς σσεε ΔΔιιάάννυυσσμμαα

1

α

προβολή του ν στοΤο διάνυσμα ΟΜ λέγεται

και συμβολίζεται

α

μ προβ νε

1 1 1 1

α ν α ΟΜ α ΟΜ Μ Μ α ΟΜ α Μ Μ

αα ν α προβ ν

Παράδειγμα 5 (Ερώτηση 13 / σελ. 54 του σχολικού βιβλίου) Για τα διανύσματα του διπλανού σχήματος

να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση:

i) ΑΒ ΑΔ ΑΒ ΑΓ

ii) ΑΒ ΑΔ ΑΒ ΑΓ

iii) AB AΔ ΑΒ ΑΓ

AB

AB

ΑΒ ΑΔ AB προβ ΑΔ AB ΑΜAB ΑΔ ΑΒ ΑΓ

ΑΒ ΑΓ ΑΒ προβ AΓ ΑΒ ΑΜ

Άρα σωστή είναι η απάντηση (iii)

Ο

θ

Μ1

Μ

Α

v

v

α

α

Γ

Δ

Α Μ Β

Παράδειγμα 5 (Εφαρμογή 1 / σελ. 46 του σχολικού βιβλίου)

0

Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος ν πάνω στο

1διάνυσμα α , αν α , ν 3 και η γωνία των

2

πδιανυσμάτων α και ν είναι όση με φ 30 .

6

Λύση

1 1 1α αOM προβ ν OM / /α OM λα προβ ν λα

α

2

2

2

α ν α προβ ν

α ν συν α , β αλα

α ν συν α , ν λα

α ν συν α , ν λ α

1 π 13 συν λ

2 6 2

1 3 13 λ

2 2 4

λ 3

αΆρα προβ ν 3α

Ο Μ1

Μ

Α

v

α

π

6

ΛΛυυμμέέννεεςς ΑΑσσκκήήσσεειιςς

1η Κατηγορία: Υπολογισμός εσωτερικού γινομένου

Μέθοδος

1 2 1 2

Αν γνωρίζουμε τα μέτρα: α β α β συν α , β

Αν γνωρίζουμε συντεταγμένες: α β x x y y

Αν έχουμε γραμμικό συνδυασμό χρησιμοποιούμε ιδιότητες

Πολλές φορές όταν έχουμε σχέση με τα διανύσματα,

ζ

ζ

ζ

ζ υψώνουμε στο τετράγωνο

ώστε να βγει το εσωτερικό γινόμενο.

Άσκηση 1

Αν α 1, 3 και β 2, 5 , τότε

i) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα α β , 2α 3β και

α β 3α β

ii) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ,λ , ώστε το εσωτερικό

γινόμενο των διανυσ

μάτων u κ, λ και β να είναι ίσο με μηδέν.

Ποια η σχέση όλων των διανυσμάτων u στην περιπτώση αυτή;

Λύση

i) α β 1, 3 2, 5 1 2 3 5 13

2α 3β 2 1, 3 3 2, 5 2, 6 6, 15

2 6 6 15 12 90 78

α β 3α β 1, 3 2, 5 3 1, 3 2, 5

1, 3 2, 5 3, 9 2, 5

3, 2 1,14 3 1 2 14 25

ii) u β 0 κ, λ 2, 5 0 2κ 5λ 0

Τα διανύσματα u είναι κάθετα στο β κι επομένως

είναι μεταξύ τους συγγραμικά.

Άσκηση 2

Αν α 2 , β 1 , γ 3 και 2α β γ 0 , να υπολογίσετε τα:

i) α β , β γ , γ α

ii) συν α , β , συν β , γ , συν γ , α και να αποδείξετε

ότι α 2β και γ 3β

Λύση

i) 2 2 2 2 2

2α β γ 0 2α β γ 2α β γ 4α 4α β β γ

2 2 22 2 2

4 α 4α β β γ 4 2 4α β 1 3

4α β 8 α β 2

2 2 2 2 2

2α β γ 0 2α γ β 2α γ β 4α 4α γ γ β

2 2 22 2 2

4 α 4α γ γ β 4 2 4α γ 3 1

4α γ 24 α γ 6

2 2 2 2 2

2α β γ 0 β γ 2α β γ 2α β 2β γ γ 4α

2 2 22 2 2

β 2β γ γ 4 α 1 2β γ 3 4 2

2β γ 6 β γ 3

ii) α β 2συν α , β 1

2 1α β

β γ 3συν β , γ 1

1 3β γ

α γ 6συν α , γ 1

2 3α γ

0

συν α , β 1 α , β π 180 και α 2 β Άρα α 2β

συν β , γ 1 β , γ 0 και γ 3 β Άρα γ 3β

2η Κατηγορία: Υπολογισμός Μέτρου Διανύσματος

Μέθοδος

Αν θέλουμε να βρούμε το μέτρο ενός διανύσματος α, το εκφράζουμε

ως συνάρτηση γνωστών διανυσμάτων και υψώνουμε στο τετράγωνο

για να βρούμε το τετράγωνο του μέτρου του.

Άσκηση 3

0

Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α 1 , β 2 και

πα , β 60 . Έστω τα διανύσματα u 2α 3β , v α 2β.

3

Να υπολογίσετε τα μέτρα u , v

Λύση

π 1α β α β συν α , β 1 2 συν 1 2 1

3 2

2 2 2 2 2

u 2α 3β u 2α 3β u 2α 12α β 3β

2 2 2

2 2 2

22 2

u 4α 12α β 9β

u 4 α 12α β 9 β

u 4 1 12 1 9 2

u 52 4 13 2 13

2 2 2 2 2 2

v α 2β v α 4α β 4β v α 4α β 4 β

22 2

v 1 4 1 4 2 13

v 13

3η Κατηγορία: Γωνία Διανυσμάτων

Μέθοδος

Για να βρούμε τη γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

α βχρησιμοποιούμε τη σχέση: συν α , β

α β

και στην συνέχεια βρίσκουμε την γωνία.

Άσκηση 4

2πΑν α β 1 και α , β , να υπολογίσετε τη γωνία των

3

διανυσμάτων u 2α 4β και v α β

Λύση

1 1α β α β συν α , β 1 1

2 2

2 2 2 2

u v 2α 4β α β 2α 2α β 4β α 4β 2 α 2α β 4 β

2 2

12 1 2 4 1 2 1 4 3

2

2 2 2 2 2

u 2α 4β u 2α 4β u 4 α 16α β 16 β

22 2

1u 4 1 16 16 1 4 8 16 12

2

u 12 4 3 2 3

2 2 2 2 2

v α β v α β v α 2α β β

2

2 21

v 1 2 1 v 32

0u v 3 3 1 2π

συν u , v u , v 1202 3 2 3u v 2 3 3

Μέθοδος

α α

Για να βρούμε την γωνία που σχηματίζει ένα μη μηδενικό διάνυσμα

α= x, y με τον άξονα x'x κάνουμε τα εξής:

1) Αν x 0 τότε α x ' x

y 2) Αν x 0 τότε λ και εφ α , x ' x λ

x

Από την

ζ

τιμή της εφ α , x ' x είμαστε σε θέση να βρούμε την γωνία.

Άσκηση 5

Δίνονται τα διανύσματα α 1, 2 και β 2, 3 .

Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα γ 5α 3β

με τον άξονα x'x.

Λύση

γ 5α 3β 5 1, 2 3 2, 3 5,10 6, 9 1,1

γ

0 0

1λ 1 εφ γ , x ' x 1

1

3π π 7πγ , x ' x 135 ή γ , x ' x 2π 315

4 4 4

Από το σχήμα φαίνεται ότι η γωνία του διανύσματος γ με τον άξονα x΄x

είναι 0135

1

1

y

x O

4η Κατηγορία: Κάθετα Διανύσματα

Μέθοδος

Δύο μη μηδενικά διανύσματα α,β είναι κάθετα αν και μόνο αν α β 0

Άσκηση 6

Αν α 1, 0 και β 1,1 , να βρείτε τον λ , ώστε:

i) Τα διανύσματα α και α λβ να είναι κάθετα

ii) Τα διανύσματα β και α λβ να είναι κάθετα

Λύση

i) 2 2

α α λβ α α λβ 0 α λα β 0 α λα β 0

2 2

1 0 λ 1 1 0 1 0 1 λ 0 λ 1

ii) 2

β α λβ β α λβ 0 β α λβ 0

2 2

1 2 21 1 0 1 λ 1 1 0 1 λ 2 0 λ

22 2 2

5η Κατηγορία: Προβολή Διανύσματος

Άσκηση 7(Εφαρμογή 1 / σελ. 46 του σχολικού βιβλίου)

0

Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος v πάνω στο διάνυσμα

1α , αν α , v 3 και η γωνία των διανυσμάτων α και v

2

πείναι ίση με φ 30 .

6

Λύση

απροβ ν λα

αα ν α προβ ν α ν α λα

2

2

2

α ν λα

α ν συν α , ν λ α

1 3 13 λ

2 2 2

3 1λ

4 4

λ 3

αΆρα προβ ν 3α όπως φαίνεται και στο σχήμα

π

6

α

v

απροβ v

Άσκηση 8 Για τα διανύσματα του παρακάτω σχήματος να υπολογίσετε

την παράσταση ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΓΔ

Λύση

AB AΓ ΑΒ ΓΔ ΑΒ AΓ ΓΔ

AΔ

0

AB AΔ

AΔ προβ AΒ

AΔ AE

ΑΔ AE συν AΔ , ΑΕ

5 3 συν180

15 1 15

Ε Α Δ

Γ

Β

6η Κατηγορία: Ανάλυση Διανύσματος σε Συνιστώσες

Άσκηση 9

Δίνονται τα διανύσματα α 3,1 και ν 1, 2 . Να αναλυθεί

το ν σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι

παράλληλη στο α.

Λύση

1 1 1 1α

v προβ v v λα v λ 3,1 v 3λ, λ

1αα ν α προβ ν α ν α ν 3 1 1 2 3 3λ 1 λ

5 1

5 10λ λ10 2

1

3 1Άρα ν ,

2 2

1 2 2 1Επίσης ισχύει: ν ν ν ν ν ν

2

2

3 1ν 1, 2 ,

2 2

1 3ν ,

2 2

α

Ο

y

x

v

M

1M

2M

1v

2v

7η Κατηγορία: Γεωμετρικοί Τόποι

Μέθοδος Αν Μ είναι τυχαίο σημείο και ικανοποιεί τη σχέση:

ΑΜ ρ , όπου Α σταθερό σημείο και ρ ,

τότε το Μ κινείται σε κύκλο κέντρου Α και ακτίνας ρ

ζ

Αν Μ είναι τυχαίο σημείο και ικανοποιεί τη σχέση

ΜΑ ΜΒ , όπου Α, Β σταθερά σημεία, τότε το

Μ κινείται στην μεσοκάθετο του ΑΒ.

ζ

Αν Μ είναι τυχαίο σημείο και ικανοποιεί τη σχέση

AM AB , όπου Α, Β σταθερά σημεία, τότε το

Μ κινείται στην ευθεία που είναι κάθετη της ΑΒ στο Α.

ζ

Α

Μ

ρ

Α Β / ///

/ /

Μ

Μ

Μ

Α Β

Μ

Άσκηση 10

Έστω Κ και Α δύο σταθερά σημεία ενός επιπέδου με ΚΑ 4.

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου

για τα οποία ισχύει: ΚΜ ΚΜ 2ΚΑ 9

Λύση

2

KM ΚΜ 2ΚΑ 9 KM 2KA KM 9

2 2 2

2 2

2

2

KM 2KA KM KA 9 KA

KM KA 9 KA

AM 9 16

AM 25

AM 5

Άρα το Μ κινείται σε κύκλο με κέντρο το Α και ακτίνα ρ 5

Β΄ Τρόπος

KM ΚΜ 2ΚΑ 9 ΑΜ ΑΚ ΑΜ ΑΚ 2ΚΑ 9

2 2

2 2

22

2

AM KA AM KA 2KA 9

AM KA AM KA 9

AM KA 9

AM KA 9

AM 4 9

AM 25

AM 5

Άρα το Μ κινείται σε κύκλο με κέντρο το Α και ακτίνα ρ 5

Α

ρ=5

Μ

Άσκηση 11 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του

επιπέδου για τα οποία ισχύει: ΒΓ ΒΜ ΒΑ ΒΜ

Λύση

BΓ ΒΜ ΒΑ ΒΜ ΒΓ ΒΜ ΒΑ ΒΜ 0

BΓ ΒΑ ΒΜ 0

AΓ ΒΜ 0

ΑΓ ΒΜ

Άρα το Μ κινείται πάνω στον φορέα του ύψους

από την κορυφή Β στην πλευρά ΑΓ

Άσκηση 12 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του

επιπέδου για τα οποία ισχύει ΑΒ ΑΜ ΑΓ ΑΜ 0

Λύση

AB AM AΓ AM 0

AB ΑΓ ΑΜ 0

AΔ ΑΜ 0

AΔ ΑΜ

Άρα το Μ κινείται πάνω σε μία ευθεία η οποία είναι

κάθετη στο τμήμα ΑΔ και διέρχεται από το σημείο Α.

Α Γ

Β

Μ

Α Γ

Β Δ

Μ

Άσκηση 13

2

Σε επίπεδο, δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β και ονομάζουμε Κ

το μέσο του ΑΒ. Αν Ο είναι τυχαίο σημείο, να βρεθεί ο

γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία

ισχύει: ΟΜ 2ΟΚ ΟΜ ΟΑ ΟΒ 0

Λύση

AK KB KB KAΚ μέσο του ΑΒ

AK KB

2

2

2 2 2

2

2

OM 2ΟΚ ΟΜ ΟΑ ΟΒ 0

KM ΚΟ 2ΚΟ ΚΜ ΚΟ ΚΑ ΚΟ ΚΒ ΚΟ 0

KM 2KM ΚΟ ΚΟ 2ΚΟ ΚΜ 2ΚΟ

ΚΑ ΚΒ ΚΑ ΚΟ ΚΟ ΚΒ ΚΟ 0

KM KA

2 2

2 2

KA KB KO KB KO 0

KM ΚΑ 0

KM KA

KM ΚΑ

Άρα το Μ κινείται στον κύκλο με κέντρο Κ και

ακτίνα ρ ΚΑ (διάμετρο το ΑΒ)

Α

Β Κ

Μ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

π1) Αν α 1 , β 3 και α , β , να υπολογίσετε τον κ ,

6

ώστε τα διανύσματα u 2α 3β και v κα 2β να είναι κάθετα.

2) Αν α κ,1 και β 4, 3 , να βρείτε τον κ , ώστε να ισχύει:

π i) α β 0 ii) α , β iii) α / /β

4

3) Δίνονται τα διανύσματα α 2, 3 και β 1, 3 . Να αναλύσετε

το α σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη

προς το β.

4) Να εξετάσετε πότε ισχύει:

i) α β α β

ii) α β α β

5) Έστω α,β δύο μη μηδενικά διανύσματα. Να δείξετε ότι

4α 3β 4α 3β α β

6) Έστω δύο διανύσματα α και β με α 4 και για κάθε κ, λ

το διάνυσμα κα 2λβ είναι κάθετο στο διάνυσμα λα 3κβ .

Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α και 2β α

3π7) Αν για τα διανύσματα α, β, γ ισχύει ότι α 2 2, β 1, α , β

4

και γ α 3β , να βρείτε τo συνημίτονο της γωνίας α , γ .

8) Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος α 3, 5 στο διάνυσμα β 2, 1 .

9) Έστω α, β, γ τρία διανύσματα του επιπέδου, τέτοια ώστε: α β γ 2.

Nα υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Ε α β β γ γ α

όταν α β γ 0.

10) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α 2, 3 , Β 4, 5 , Γ 3, 2 .

Αν ΓΔ είναι το ύψος του τριγώνου να βρεθούν οι συντεταγμένες

του σημείου Δ και ΓΔ .

11) Αν για τα διανύσματα α, β ισχύει α 2β α β να δείξετε ότι

β 2α β

2β

12) Για δύο οποιαδήποτε μη μηδενικά διανύσματα α, β ,

α β να δείξετε ότι προβ α β

β

13) Να δειχθεί με την βοήθεια των διανυσμάτων ότι κάθε εγγεγραμμένη γωνία

που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.

14) Αν για τρία διανύσματα του επιπέδου α, β, γ ισχύει ότι α β γ 1

και α β β γ 2 να δείξετε ότι α β γ.

15) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ. Να δείξετε ότι τα σημεία Μ του επιπέδου για τα οποία

ισχύει ΑΒ ΑΜ AΓ ΑΜ 0 βρίσκονται σε ευθεία την οποία και να

προσδιορίσετε.

16) i) Να δείξετε ότι για τέσσερα οποιαδήποτε σημεία του επιπέδου ισχύει:

ΑΒ ΓΔ ΑΓ ΔΒ ΑΔ ΒΓ 0

ii) Να δείξετε ότι τα ύψη ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο.

17) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ρ του

επιπέδου για τα οποία ισχύει ΒΡ 1 κ ΒΑ κΒΓ , κ 0.

18) Έστω Κ και Α δύο σταθερά σημεία ενός επιπέδου με ΚΑ 4 , να βρεθεί

ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει:

ΚΜ ΚΜ 2ΚΑ 9.

19) Έστω Α, Β δύο σταθερά σημεία με ΑΒ 8. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος

των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΜΑ ΜΒ 9

2 2

20) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία

ισχύει ΜΑ ΜΒ 20 , όπου Α, Β είναι δύο σταθερά σημεία του επιπέδου

με ΑΒ 2.

2 2

21) Δίνονται τα σημεία Α, Β τέτοια ώστε ΑΒ 6. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος

των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει: MA MB 9.

2

22) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Κ είναι το μέσο της ΑΓ, να βρεθεί ο γεωμετρικός

τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: ΒΜ 2ΒΚ ΒΜ ΒΑ ΒΓ.