203404553...

41
http://www.mathschool-online.gr/elearning http://www.mathschool-online.gr/elearning Διαφορικός λογισμός Γ΄Λυκείου Ερωτήσεις-Απαντήσεις-Αναλυτικά λυμένα παραδείγματα 1η Ερώτηση Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της; Απάντηση Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της όταν υπάρχει το όριο ( ) ( ) 0 0 x x 0 fx fx lim x x και είναι πραγματικός αριθμός Το παραπάνω όριο συμβολίζεται με f΄(x 0 ),οπότε έχω ( ) ( ) ( ) 0 0 x x 0 0 fx fx lim fx x x = 2 η Ερώτηση Να δείξετε ότι ( ) ( ) ( ) 0 0 h 0 0 fx h fx lim fx h + = 1
  • Upload

    -
  • Category

    Documents

  • view

    3.610
  • download

    1

Transcript of 203404553...

Page 1: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Διαφορικός λογισμός

Γ΄Λυκείου

Ερωτήσεις-Απαντήσεις-Αναλυτικά λυμένα παραδείγματα

1η Ερώτηση

Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της;

Απάντηση

Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της όταν υπάρχει το όριο

( ) ( )0

0x x

0

f x f xlim

x x→

και είναι πραγματικός αριθμός

Το παραπάνω όριο συμβολίζεται με f΄(x0),οπότε έχω

( ) ( ) ( )

0

0x x 0

0

f x f xlim f x

x x→

−′=

2η Ερώτηση

Να δείξετε ότι

( ) ( ) ( )0 0h 0 0

f x h f xlim f x

h→

+ −′=

1

Page 2: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Απάντηση

Θέτω στη σχέση

( ) ( ) ( )0

0x x 0

0

f x f xlim f x

x x→

−′=

x=x0 + h (1),

παρατηρώ ότι όταν x->x0

τότε(1)->x0= x0 + h->h=0

δηλαδή h->0

επομένως

( ) ( ) ( )0 0h 0 0

f x h f xlim f x

h→

+ −′=

1ο Παράδειγμα

Να εξετασθεί αν η συνάρτρηση f με

( )2x 3x, x 0f xx 3, x 0

− < = − ≥

είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0=0

Λύση

( ) ( ) ( )2

x 0 x 0 x 0

f x f 0 x x 3x 3xlim lim lim 3x 0 x x− − −→ → →

− −−= = = −

2

Page 3: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

( ) ( )x 0 x 0

x 0

f x f 0 x 3 ( 3)lim limx 0 x

x 3 3 lim 1x

+ +

+

→ →

− − − −= =

−− +

=

Παρατηρώ ότι

( ) ( ) ( ) ( )x 0 x 0

f x f 0 f x f 0lim lim

x 0 x 0− +→ →

− −≠

− −

Αυτό σημαίνει ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0=0

3η Ερώτηση

Τί εκφράζει γεωμετρικά ο πραγματικός αριθμός f΄(x0);

Απάντηση

Ο πραγματικός αριθμός f΄(x0) εκφράζει τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης

της f στο σημείο A(x0,f(x0))

3

Page 4: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

4η Ερώτηση

Ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(x0,f(x0));

Απάντηση

Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(x0,f(x0)) είναι

( ) ( ) ( )0 0 0y f x f x x x′− = −

Όπου

( )0f x εφω′ =

και ω είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(x0,f(x0))

με τον άξονα xx΄

5η Ερώτηση

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της τότε είναι και συνεχής στο σημείο

αυτό.

Εξετάστε αν ισχύει το αντίστροφο

Απάντηση

Το αντίστροφο δεν ισχύει

4

Page 5: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

(Απόδειξη με ένα αντιπαράδειγμα)

Έστω η συνάρτηση f με ( )f x x=

Και έστω x0=0

έχω

f(0)=0 και

( )x 0 x 0lim f x lim x 0→ →= =

Δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0=0

Αναπτύσω το τύπο της f

( )x, x 0

f x x, x 00, x 0

> = − < =

( ) ( )x 0 x 0

f x f 0 x 0lim lim (1 x 0 x

I)− −→ →

− − −= = −

( ) ( )x 0 x 0

f x f 0 x 0lim lim 1 x 0 x

(II)+ +→ →

− −= =

Από τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0=0

6η Ερώτηση

Τι ονομάζουμε παράγωγο συνάρτηση της f;

5

Page 6: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Aπάντηση

Έστω μια συνάρτηση f με f:A->B

Αν η f παραγωγίζεται σε κάθε σημείο 0x A∈

Τότε η συνάρτηση f΄ με

( )f : A f A′ ′→

Όπου σε κάθε 0x A∈ ,

απεικονίζει τον αριθμό

( ) ( )0f x f A′ ′∈

7η Ερώτηση

Πως ορίζεται η παράγωγος σύνθετης συνάρτησης;

Απάντηση

Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο g(x0) τότε η

συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο x0

και ισχύει

( )( ) ( )′ ′ ′= 0 0 0(f g) (x ) f g x g x

2οΠαράδειγμα

Να βρεθεί η παράγωγος της f

6

Page 7: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

με ( ) =f x ln(ημx)

στο πεδίο ορισμού της

Λύση

Η συνάρτηση ( ) =f x ln(ημx)

είναι ορισμένη στο

{ }= ∈ > =Δ x R : ημx 0 (0, π)

Η f είναι σύνθεση των συναρτήσεων g με g(x)=ημx

και h με h(x)=lnx

Η h(x)=lnx είναι παραγωγίσιμη στο (0,π)

Η g(x)=ημx είναι παραγωγίσιμη στο h(0,π)

Άρα και η f= h g είναι παραγωγίσιμη στο (0,π)

Επομένως έχω

( )′ ′ ′ ′= = = = =1 συνxf x (h g) (x) [ln(ημx)] (ημx) σφx

ημx ημx

3ο Παράδειγμα

Έστω η περιττή συνάρτηση g η οποία παραγωγίσιμη στο R

Να δειχτεί ότι

1)g(0)=0

2)Aν Α(x0,g(x0)) και Β(-x0,g(-x0))

7

Page 8: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

είναι σημεία της γραφικής παράστασης της g , να δειχτεί ότι οι εφαπτομένες της στα σημεία αυτά είναι παράλληλες

Λύση

1)Η g είναι περιττή συνάρτηση ,αυτό σημαίνει ότι

( ) ( )− = − ∈g x g x , για κάθε x R (I)

Θέτω x=0 και έχω

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

− = − ↔ = − ↔

+ = ↔ = ↔

=

g 0 g 0 g 0 g 0g 0 g 0 0 2g 0 0 g 0 0

2)Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης εΑ στο σημείο Α(x0,g(x0)) είναι g΄(x0)

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης εΒ στο

σημείο Β(-x0,g(-x0)) είναι g΄(-x0)

Για να δείξω ότι οι εφαπτομένες της στα σημεία Α και Β είναι παράλληλες,αρκεί να δείξω ότι έχουν τον ίδιο

συντελεστή διεύθυνσης,δηλαδή

g΄(x0)= g΄(-x0)

Παραγωγίζω τη σχέση (Ι) και έχω

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

′′ ′ ′ ′− = − ↔ − − = − ↔

′ ′ ′ ′− − = − ↔ − =

g x [ g x ] g x x g xg x g x g x g x

8

Page 9: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Δηλαδή

( ) ( )′ ′− = ∈g x g x , για κάθε x R

Θέτω x=x0 και έχω

( ) ( )′ ′− =0 0g x g x

Άρα

οι εφαπτομένες της στα σημεία Α και Β είναι παράλληλες

8η Ερώτηση

Έστω δύο μεγέθη x και y τα οποία μεταβάλλονται με τη σχέση y=f(x).Τι ονομάζεται ρυθμός μεταβολής ;

Απάντηση

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x0 τότε ο αριθμός f΄(x0) ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του y ως

προς x στο σημείο x0

4ο Παράδειγμα

Έστω s(t) το διάστημα που διανύει ένα κινητό σε χρόνο t

Το s΄(t)=υ(t) εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του διαστήματος s ανά μονάδα χρόνου,δηλαδή εκφράζει τη

ταχύτητα του κινητού

Το υ΄(t) =α(t) εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας ανά μονάδα χρόνου,δηλαδή εκφράζει την

επιτάχυνση του κινητού

9

Page 10: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

9η Ερώτηση

Πως διατυπώνεται το Θεώρημα του Rolle;

Aπάντηση

Έστω μια συνάρτηση f:

aν η f είναι

συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β)

f(α)=f(β) τότε

υπάρχει ένα τουλάχιστον

( )∈ξ α,β

τέτοιο ώστε

( )′ =f ξ 0

10η Ερώτηση

Τι εκφράζει γεωμετρικά το θεώρημα του Rolle; Aπάντηση

Το θεώρημα του Rolle εκφράζει γεωμετρικά ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

( )∈ξ α,β

τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη στον

άξονα xx΄

10

Page 11: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

5ο Παράδειγμα

Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=x2-1

Na εξετάσετε εάν εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [-1,1]

Απάντηση

Η f ως πολυωνυμική είναι συνεχής στο R ,επομένως και στο κλειστό διάστημα [-1,1]

Η f είναι παραγωγίσιμη στο (-1,1)

με

( )′′ = − =2f (x) x 1 2x

= − −2f(-1) ( 1) 1=1-1=0

= −2f(1) (1) 1=1-1=0

11

Page 12: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Δηλαδή

( )=f(-1) f 1

Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )∈ −ξ 1,1

τέτοιο ώστε

( )′ = ↔ = ↔ =f ξ 0 2ξ 0 ξ 0

11η Ερώτηση

Πώς διατυπώνεται το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού;

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση f:

aν η f είναι

συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β)

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον

( )∈ξ α,β

τέτοιο ώστε

( ) ( ) ( )f β f αf ξ

β α−

′ =−

12

Page 13: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

12η Ερώτηση

Τι εκφράζει γεωμετρικά το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού;

Απάντηση

Το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού εκφράζει γεωμετρικά ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

( )∈ξ α,β

τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ

όπου

Α(α,f(a)) και Β(β,f(β))

13

Page 14: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

6ο Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f με

( )f x lnx, x 0= >

Να εξετάσετε αν ικανοποιεί τις προυποθέσεις του θεωρήματος «Μέσης Τιμής» στο διάστημα [α,β] όπου

1<α<β Λύση

Η f είναι συνεχής στο R* ,επομένως είναι συνεχής και στο διάστημα [α,β] όπου 1<α<β

Η f είναι παραγωγίσιμη στο R* ,επομένως είναι παραγωγίσιμη και στο διάστημα [α,β] με 1<α<β

όπου

( ) 1f x (lnx)x

′ ′= =

Αυτό σημαίνει ότι ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος «Μέσης Τιμής» στο διάστημα [α,β]

14

Page 15: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ α,β∈

τέτοιο ώστε

( ) ( ) ( )f β f αf ξ

β α−

′ =−

13η Ερώτηση

Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Δ είναι σταθερή;

Aπάντηση

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ

Και

f΄(x)=0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε

η f είναι σταθερή σε όλο το Δ

14η Ερώτηση

Έστω δύο συναρτήσεις f και g με πεδίου ορισμού το Δ που είναι συνεχείς στο Δ

Αν f΄(x)=g΄(x) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ

Ποιά σχέση συνδέει τις δυο συναρτήσεων;

Απάντηση

Η σχέση που συνδέει τις δυο συναρτήσεις είναι

f (x)=g (x)+c , για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ

15

Page 16: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

15η Ερώτηση

Τί ισχύει για μια συνάρτηση f με f΄(x)=λf(x) ,για κάθε x R∈

όπου λ R∈ ;

Απάντηση

Ισχύει f(x)=ceλx

16η Ερώτηση

Ποια σχέση συνδέει τη μονοτονία μιας συνάρτησης f με την παράγωγό της;

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ

Αν f΄(x)>0 για κάθε x R∈

τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ

Αν f΄(x)<0 για κάθε x R∈

τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ

7ο Παράδειγμα

Να εξετασθεί η συνάρτηση f με

f(x) 1 lnx= −

ως προς τη μονοτονία

16

Page 17: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Λύση

Εύρεση πεδίου ορισμού της f(x) 1 lnx= −

Για να ορίζεται η lnx ,πρέπει x>0

Επομένως

{ } ( )Df x R : x 0 0,= ∈ > = +∞

Η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της

Η παράγωγος της f είναι

1f (x) (1 lnx)x

′ ′= − = −

Παρατηρώ ότι ( )f (x) 0, για κάθε x 0,′ < ∈ +∞

Αυτό σημαίνει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα

( )για κάθε x 0,∈ +∞

17

Page 18: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

17η Ερώτηση

Πώς προσδιορίζονται τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης;

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα [α,β]

η οποία είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x0 , στο οποίο όμως είναι συνεχής

τότε

Aν f΄(x)>0 στο διάστημα (α,x0) και f΄(x)<0 στο διάστημα (x0,β) τότε το f(x0) είναι τοπικό μέγιστο

της f Aν f΄(x)<0 στο διάστημα (α,x0) και f΄(x)>0 στο διάστημα (x0,β) τότε το f(x0) είναι τοπικό ελάχιστο

της f

18η Ερώτηση

Τί συμβαίνει αν η f΄(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο

στο ( ) ( )0 0a, x x ,β∪

Απάντηση Αν η f΄(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο

( ) ( )0 0a, x x ,β∪

τότε το f(x0) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα (α,β)

18

Page 19: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

19η Ερώτηση

Τι αναφέρει το θεώρημα του Fermat;

Απάντηση

1)Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ

και έστω x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ

Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο (x0, f(x0))

τότε

f΄(x0)=0

20η Ερώτηση

Ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat;

Απάντηση

το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat δεν ισχύει.

Δηλαδή εάν f΄(x0)=0 στο 0χ Δ∈

Τότε δεν σημαίνει ότι το (x0, f(x0))

είναι σημείο τοπικού ακρότατου απαραίτητα.

Σύμφωνα με όσα αναφέραμε παραπάνω

(15η ερώτηση-απάντηση)

για να είναι το (x0, f(x0))

19

Page 20: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Σημείο τοπικού ακροτάτου πρέπει η f΄ να αλλάζει πρόσημο γύρω από το x0

8ο Παράδειγμα

Δίνεται η συνάρτηση f με

( ) 2 4f x ax x= −

Να προσδιορισθεί το a R∈

ώστε η συνάρτηση να παρουσιάζει στο x0= 1 τοπικό ακρότατο

Λύση

Η συνάρτηση f είναι συνεχής (ως πολυωνυμική)στο R και παραγωγίσιμη με

( ) 2 4 3f x (ax x ) 2ax 4x′ ′= − = −

Επειδή παρουσιάζει στο x0=1 τοπικό ακρότατο

σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat

f΄(x0)=0-> f΄(1)=0

( )32a.1 4.1 0 2a 4 0

2 a 2 0 a 2− = ↔ − = ↔

− = ↔ =

Όμως η συνθήκη f΄(x0)=0 είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή ώστε να εμφανίζει η f τοπικό ακρότατο στο x0 ,επομένως

πρέπει να εξετάσω

20

Page 21: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

αν η f΄ να αλλάζει πρόσημο γύρω από το x0=1

Για α=2 η f γίνεται

( ) 2 4f x 2x x= −

Επομένως

( ) ( ) ( ) ( )2 4 3 2f x (2x x ) 4x 4x 4x 1 x 4x 1 x 1 x′ ′= − = − = − = − +

Σηματίζω το πίνακα προσήμων της f΄

21

Page 22: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Απο το παραπάvω πίνακα παρατηρώ ότι πράγματι η f παρουσιάζει στο σημείο (1,f(1))=(1,1) τοπικό μέγιστο

9ο Παράδειγμα

Να δειχτεί ότι xe x 1, για κάθε x R≥ + ∈

Απόδειξη

Τρόπος δράσης

Θεωρώ τη συνάρτηση f με f(x)=ex-(x+1)= ex-x-1

και στη συνέχεια με τη βοήθεια της μονοτονίας ή των ακροτάτων θα αποδείξω τη σχέση

xe x 1, για κάθε x R≥ + ∈

Eπομένως

H f με f(x)=ex-(x+1)= ex-x-1

είναι συνεχής για κάθε x R∈

Παραγωγίζω την f και έχω

( ) ( ) ( )x x xf x e x 1 e . x 1 0 e 1′ ′′ = − − = − + = −

Βρίσω το σημείο που μηδενίζεται η f΄

( ) x x x 0f x 0 e 1 0 e 1 e e x 0′ = ↔ − = ↔ = ↔ = ↔ =

Βρίσκω το πρόσημο της f΄ «γύρω» από το μηδέν

22

Page 23: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

( ) x x x 0f x 0 e 1 0 e 1 e e x 0′ > ↔ − > ↔ > ↔ > ↔ >

( ) x x x 0f x 0 e 1 0 e 1 e e x 0′ < ↔ − < ↔ < ↔ < ↔ <

Σηματίζω το πίνακα προσήμων της f΄

Παρατηρώ ότι για χ=0 η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο

Αυτό σημαίνει ότι ( ) ( )για κάθε x R , f x f 0∈ ≥

23

Page 24: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Δηλαδή για κάθε

x R∈

x 0 x xe x 1 e 0 1 e x 1 0 e x 1− − ≥ − − ↔ − − ≥ ↔ ≥ +

Τα παραπάνω φαίνονται και στη γραφική παράσταση της f(x)= ex-x-1

21η Ερώτηση

Πώς γίνεται η μελέτη ως προς τα κοίλα και τα κυρτά μιας συνάρτησης f;

Απάντηση

Έστω μια συνάρτση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο Δ

24

Page 25: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Αν f΄΄(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο τουΔ ,τότε η f είναι κυρτή στο Δ

Αν f΄΄(x)<0 για κάθε εσωτερικό σημείο τουΔ ,τότε η f είναι κοίλη στο Δ

22η Ερώτηση

Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f παρουσιάζει σημείο καμπής;

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β)

με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0 στο οποίο όμως η f είναι συνεχής

Αν η f είναι κυρτή στο (α,x0) και κοίλη στο (x0,β)

ή αντίστροφα

και

η γραφική παράσταση της f έχει εφαπτομένη στο σημείο Α(x0,f(x0))

τότε

το σημείο Α(x0,f(x0)) λέγεται

σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και

το x0 λέγεται θέση του σημείου καμπής

25

Page 26: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

23η Ερώτηση

Ποιές είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ;

Απάντηση

οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ είναι

τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία μηδενίζεται η f΄΄

10ο Παράδειγμα

Δίνεται η συνάρτηση f με

( ) 4 3f x ax x= −

Αν το σημείο Α(1,f(1)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α

Απάντηση

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R

Υπολογίζω τη πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της f

( ) ( )4 3 3 2f x ax x 4ax 3x′′ = − = −

( ) 3 2 2f x (4ax 3x ) 12ax 6x′′ ′= − = −

Tο σημείο Α(1,f(1)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f

26

Page 27: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Υπολογίζω την f΄΄(1)

( ) 2f 1 12a.1 6.1 12a 6′′ = − = −

Λύνω την εξίσωση

( )f 1 0′′ =

6 112a 6 0 12a 6 a a12 2

− = ↔ = ↔ = ↔ =

Επειδή η συνθήκη

( )f 1 0′′ =

είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή , θα δείξουμε ότι για α=1/2 η f παρουσιάζει σημείο καμπής στο σημείο Α(1,f(1))

Για α=1/2 η f γίνεται

( ) 4 31f x x x2

= −

Για x=1

( ) 4 31 1 1 2 1f 1 .1 1 12 2 2 2 2

= − = − = − = −

( ) 4 3 3 2 3 21 1f x ( x x ) 4 x 3x 2x 3x2 2

′ ′= − = − = −

( ) 3 2 2f x (2x 3x ) 6x 6x′′ ′= − = −

27

Page 28: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

( ) ( )2 x 0f x 0 6x 6x 0 6x x 1 0x 1

=′′ = ↔ − = ↔ − = ↔

=

Aπό το πίνακα επιβεβαιώνεται ότι το σημείο Α(1,f(1))=Α(1,-1/2)

είναι σημείο καμπής της Cf

28

Page 29: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

24η Ερώτηση

Ποια ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf;

Απάντηση

Αν

( ) ( )0 0x x x x

lim f x ή lim f x− +→ →= ±∞ = ±∞

Τότε η ευθεία x=x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf

25η Ερώτηση

Που αναζητούμε κατακόρυφες ασύμπτωτες ;

Απάντηση

Κατακόρυφες ασύμπτωτες αναζητούμε στα σημεία που η f δεν ορίζεται ή στα σημεία που η f δεν είναι συνεχής

110 Παράδειγμα

Έστω η συνάρτηση f με ( ) 1f xx 2

=−

Να εξετασθεί αν έχει ασύμπτωτες

Λύση

Το πεδίο ορισμού της f είναι το R-{2}

Εξετάζω το όριο της f στο x=2

29

Page 30: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

( )x 2 x 2

1lim f x limx 2− −→ →

= = −∞−

( )x 2 x 2

1lim f x limx 2+ +→ →

= = +∞−

Aυτό σημαίνει ότι η ευθεία x=2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της f

26η Ερώτηση

Πότε η ευθεία της μορφής y=λx+β ονομάζεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ ή

−∞

Απάντηση

Η ευθεία της μορφής y=λx+β ονομάζεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ ή −∞

30

Page 31: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

αν xlim [f(x) (λx β)] 0→+∞ − + =

ή αντίστοιχα

xlim [f(x) (λx β)] 0→−∞ − + =

27η Ερώτηση

Με ποιό τρόπο μπορούμε να εξετάσουμε αν μια ευθεία y=λx+β είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ ή −∞

Απάντηση

Μια ευθεία y=λx+β είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ ή −∞

Αν

( )x x

f xlim λ R και lim f(x) λx β R

x→+∞ →+∞ = ∈ − = ∈

Ή αντίστοιχα

( )x x

f xlim λ R και lim f(x) λx β R

x→−∞ →−∞ = ∈ − = ∈

28η Ερώτηση

Που αναζητούνται ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f;

Aπάντηση

Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f

31

Page 32: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

αναζητούνται :

Στα σημεία στα οποία η f δεν ορίζεται Στα σημεία στα οποία η f ορίζεται αλλά δεν είναι

συνεχής Στο +∞ και στο −∞ εφόσον η f είναι ορισμένη σε

διαστήματα της μορφής ( )a, +∞ και ( ),β−∞

αντίστοιχα

120 Παράδειγμα

Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=1/x

Nα βρεθούν οι ασύμπτωτές της

Λύση

Το πεδίο ορισμού της f είναι το

( ) ( ), 0 0,−∞ ∪ +∞

Εξετάζω το όριο της f στο x=0

( )x 0 x 0

1lim f x limx− −→ →

= = −∞

( )x 0 x 0

1lim f x limx+ +→ →

= = +∞

Aυτό σημαίνει ότι η ευθεία x=0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf

32

Page 33: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Στη συνέχεια εξετάζω αν η C f έχει ασύμπτωτη την ευθεία y=λx+β στο +∞ και στο −∞

( )x x

f xlim λ R και lim f(x) λx β R

x→+∞ →+∞ = ∈ − = ∈

x x x x2

11 1 1xlim lim =0 και lim 0.x lim 0

x x xx→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= − = =

Ομοίως

x x x x2

11 1 1xlim lim =0 και lim 0.x lim 0

x x xx→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

= − = =

Eπομένως

Η ευθεία y=0 είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ και στο −∞

33

Page 34: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

και η ευθεία x=0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf

29η Ερώτηση

Να διατυπωθεί ο κανόνας του de l’ Hopital

Απάντηση

1. Aν ( ) ( )0 0x x x xlim f x 0 και lim g x 0 → →= =

όπου { }0x R ,∈ ∪ +∞ −∞

και υπάρχει το όριο

( )( )0x x

f xlim

g x→

είτε είναι πεπερασμένο είτε άπειρο

τότε

( )( )

( )( )0 0x x x x

f x f xlim lim

g x g x→ →

′=

2. Aν ( ) ( )0 0x x x xlim f x και lim g x→ →= ±∞ = ±∞

όπου { }0x R ,∈ ∪ +∞ −∞

και υπάρχει το όριο

( )( )0x x

f xlim

g x→

34

Page 35: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

είτε είναι πεπερασμένο είτε άπειρο,τότε

( )( )

( )( )0 0x x x x

f x f xlim lim

g x g x→ →

′=

130 Παράδειγμα

Na υπολογισθεί το 2

x 0lim x lnx+→

Λύση

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με g(x)=x2lnx είναι το ( )0, +∞

Επίσης γνωρίζω ότι

x 0lim lnx+→

= −∞

όπως φαίνεται και στη γραφική παράσταση της f(x)= lnx

35

Page 36: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Eπομένως

2x 0

lim x lnx 0( )+→= −∞ , απροσδιόριστη μορφή

Άρση της απροσδιοριστίας με τη βοήθεια του θεωρήματος του de l’hospital

2x 0 x 0

2

lnxlim x lnx lim , απρ.μορφή1x

+ +→ →

−∞= = +∞

Οι συναρτήσεις lnx και 21x

είναι παραγωγίσιμες στο ( )0, +∞

Επομένως

( )2x 0 x 0 x 0

22

32

x 0 x 0 x 0

3

lnxlnxlim x lnx lim lim1 1x x

1x 1xlim lim lim x 0

2 2x 2x

+ + +

+ + +

→ → →

→ → →

′= = =

= − = − =−

30η Ερώτηση

Ποια είναι τα βήματα που ακολουθούμε για να χαράξουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f;

36

Page 37: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Απάντηση

1.Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f

2.Εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της

3.Υπολογίζουμε τις f΄ και f΄΄, τις ρίζες τους, και σχηματίζουμε τους πίνακες των προσήμων τους

4.Με τη βοήθεια του προσήμου της f΄ βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f

5.Με τη βοήθεια του προσήμου της f΄΄ βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή,κοίλη καθώς και

τα σημεία καμπής

6.Βρίσκουμε τα σημεία τομής της f με τους άξονες xx΄ και yy΄

7.Μελετάμε τη «συμπεριφορά» της f στα άκρα του πεδίου ορισμού της (δηλ τις οριακές τιμές)

8.Βρίσκουμε τις ασύμπτωτες αν υπάρχουν

9.Τέλος σχηματίζουμε ένα πίνακα μεταβολών της f με τις παραπάνω πληροφορίες με τη βοήθεια του οποίου

κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση της f

140 Παράδειγμα

Na μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f με

37

Page 38: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

( ) 3f x x 12x= −

Λύση

Το πεδίο ορισμού της f είναι το R

Η f με ( ) 3f x x 12x= − , είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού

της

Υπολογίζω την f΄

( ) ( )3 2f x x 12x 3x 12′′ = − = −

( ) 2 2 2f x 0 3x 12 0 3x 12 x 4 x 2′ = ↔ − = ↔ = ↔ = ↔ = ±

Σχηματίζω το πίνακα προσήμων της f΄

με τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f

38

Page 39: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Υπολογίζω την f΄΄

( ) 2f x (3x 12) 6x′′ ′= − =

( )f x 0 6x 0 x 0′′ = ↔ = ↔ =

Με τη βοήθεια του προσήμου της f΄΄ βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή,κοίλη καθώς και

τα σημεία καμπής

Βρίσκουμε τα σημεία τομής της f με τους άξονες xx΄ και yy΄

Θέτω στην ( ) 3f x x 12x= −

x=0 και έχω

( )f 0 0=

Θέτω στην

( ) 3f x x 12x= −

39

Page 40: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

y=0 και έχω

( )3 20 x 12x x x 12 0

x 0x 12 2 3

x 12 2 3

= − ↔ − = ↔

= = = = − = −

Επομένως η γραφική παράσταση της f τέμνει τον xx΄ στα

σημεία ( )A 2 3, 0 , ( )B 2 3, 0−

και τον yy΄ στο σημείο Κ(0,0)

δηλαδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων

Η γραφ. παράσταση της ( ) 3f x x 12x= −

40

Page 41: 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning

http://www.mathschool-online.gr/elearning

Ο πίνακας μεταβολών της f

Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online

Kαλή ανάγνωση !

41