UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria IndustrialeUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria IndustrialeProf. Francesco CastellaniProf. Francesco Castellani

castellani@unipg.itcastellani@unipg.it

Corso di Corso di ““Meccanica Applicata Meccanica Applicata ““ A.A. 2011-2012 A.A. 2011-2012Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni)Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni)

SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI

Frequenza naturali – Vettori modali

Funzione di parametri “interni” al sistema

C e Φ DIPENDONO DA PARAMETRI ESTERNI

Se le condizioni iniziali sono:

Allora avremo:

Da cui si ottiene:

Indicando con U la matrice modale:

N.B. Questo tipo di approccio è attuabile fino ai sistemi con 2 GDL per i sistemi con numero maggiore di GDL non è praticabile questo tipo di soluzione.

SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI

Si ottiene quando collego due sistemi ad 1 GDL identici con una molla di costante elastica molto bassa.

Le equazioni di moto sono:

In forma matriciale avremo dunque:

Si cerca una soluzione del tipo:

Dall’equazione di moto avremo dunque:

L’equazione caratteristica è dunque:

I modi di vibrare risultano dunque essere:

Si ottengono due moti sfasati di 180°:

Una soluzione qualsiasi si scrive nella forma:

Imponendo le condizioni iniziali:

Si ottiene:

Considerando che k<<mgL/a2:

L’equazione di moto diventa:

dove ωB rappresenta la frequenza dei battimenti.

SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA

VETTORE COSTANTECerco una soluzione del tipo:

Se ottengo soluzioni negative vuol dire che ho una fase di 180°:

VETTORE COSTANTECerco una soluzione del tipo:

SISTEMI A 2 GDL SMORZATI: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA

La soluzione è dunque:

Se il sistema non è smorzato la matrice impedenza è reale:

Questa soluzione include la fase: l’inversione di segno è dovuta allo

sfasamento di 180°

SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO

RISOLVO IL SISTEMA IPOTIZZANDO PICCOLI SPOSTAMENTI PER LE DUE MASSE.

Ovviamente considero un’unica compontente del moto.

Per piccoli spostamenti avremo:

La forza di gravità introduce dei termini che contribuiscono allo spostamento ma non alle vibrazioni.

Scompongo il moto in contributo statico e contributo vibrazionale.

EQUILIBRIO STATICO EQUILIBRIO DINAMICO

I MODI DI VIBRARE SONO DUNQUE:

Considerando il caso particolare in cui F2=0 e ponendo k=T/L:

Il denominatore è il determinante caratteristico:

SISTEMI A 2 GDL NON SMORZATI: SISTEMA DI ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI

N.B. Sistema impiegato per contenere le vibrazioni quando non è possibile variare massa e/o rigidezza del sistema principale.

Nel caso in cui ω=ωa allora:

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