Post on 05-Mar-2021
Plenumsregning 3
TMA4100 Matematikk 1
Fredag 15. september 2017
NB: Innlevering 1 har frist kl. 16:00 i dag.
Temasidene
Temasidene
Dagen i dag
H16.4: Inverse funksjoner3.2.31–34: Logaritmer3.3.54: Eksponentialfunksjoner3.5.6&9: Inverse trigonometriske funksjoner3.6.5: Hyperbolske funksjoner
H16.4
La f : [0, π]→ R være gitt ved
f (x) = e52+cos x .
Forklar hvorfor f er en-til-en, og finn billedmengden til f . Regnderetter ut (f −1)′(e3).
H16.4
3.2.31–34
Evaluer følgendegrenseverdier:
i) limx→∞
logx 2
ii) limx→0+
logx12
iii) limx→1+
logx 2
iv) limx→1−
logx 2
3.2.31–34
3.3.54
Betrakt det uendelige eksponenttårnet xxx. .
.
for x > 0. Denfantastiske matematikeren Leonhard Euler viste i 1783 at følgenx , xx , xx
x, xx
xx
, . . . konvergerer hvis og bare hvis x ∈[e−e , e
1e
](som er omtrent [0.066,1.44]). Vi kan dermed defineref :[e−e , e
1e
]→ R ved
f (x) = xxx. .
.
.
Euler viste også at billedmengden til f er[1e , e]. Siden 2 ligger i
dette intervallet finnes det en x slik at
xxx. .
.
= 2.
Finn en slik x .
3.3.54
y = xxx. .
.
3.5.6&9
Regn ut:
i) cos(sin−1(0.7)) ii) cos−1(sin(0.2))
Sinus hyperbolicus og cosinus hyperbolicus
Sinus hyperbolicus og cosinus hyperbolicus
Definisjon
cosh(x) =ex + e−x
2
sinh(x) =ex − e−x
2
tanh(x) =sinh(x)cosh(x)
definert for alle x ∈ R.
Sinus hyperbolicus og cosinus hyperbolicus
cosh og sinh har mange av de samme egenskapene som cos og sin.
Egenskaper1 cosh(−x) = cosh(x) (like).2 sinh(−x) = − sinh(x) (odde).3 cosh(x) + sinh(x) = ex .4 sinh(x)′ = cosh(x).5 cosh(x)′ = sinh(x).6 cosh2(x)− sinh2(x) = 1.7 cosh(2x) = 1+ 2 sinh2(x).8 sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x).
3.6.5
Vis atsinh−1(x) = ln
(x +
√x2 + 1
),
og bruk dette til å finne den deriverte av sinh−1.