Plenumsregning 3

TMA4100 Matematikk 1

Fredag 15. september 2017

NB: Innlevering 1 har frist kl. 16:00 i dag.

Temasidene

Temasidene

Dagen i dag

H16.4: Inverse funksjoner3.2.31–34: Logaritmer3.3.54: Eksponentialfunksjoner3.5.6&9: Inverse trigonometriske funksjoner3.6.5: Hyperbolske funksjoner

H16.4

La f : [0, π]→ R være gitt ved

f (x) = e52+cos x .

Forklar hvorfor f er en-til-en, og finn billedmengden til f . Regnderetter ut (f −1)′(e3).

H16.4

3.2.31–34

Evaluer følgendegrenseverdier:

i) limx→∞

logx 2

ii) limx→0+

logx12

iii) limx→1+

logx 2

iv) limx→1−

logx 2

3.2.31–34

3.3.54

Betrakt det uendelige eksponenttårnet xxx. .

.

for x > 0. Denfantastiske matematikeren Leonhard Euler viste i 1783 at følgenx , xx , xx

x, xx

xx

, . . . konvergerer hvis og bare hvis x ∈[e−e , e

1e

](som er omtrent [0.066,1.44]). Vi kan dermed defineref :[e−e , e

1e

]→ R ved

f (x) = xxx. .

.

.

Euler viste også at billedmengden til f er[1e , e]. Siden 2 ligger i

dette intervallet finnes det en x slik at

xxx. .

.

= 2.

Finn en slik x .

3.3.54

y = xxx. .

.

3.5.6&9

Regn ut:

i) cos(sin−1(0.7)) ii) cos−1(sin(0.2))

Sinus hyperbolicus og cosinus hyperbolicus

Sinus hyperbolicus og cosinus hyperbolicus

Definisjon

cosh(x) =ex + e−x

2

sinh(x) =ex − e−x

2

tanh(x) =sinh(x)cosh(x)

definert for alle x ∈ R.

Sinus hyperbolicus og cosinus hyperbolicus

cosh og sinh har mange av de samme egenskapene som cos og sin.

Egenskaper1 cosh(−x) = cosh(x) (like).2 sinh(−x) = − sinh(x) (odde).3 cosh(x) + sinh(x) = ex .4 sinh(x)′ = cosh(x).5 cosh(x)′ = sinh(x).6 cosh2(x)− sinh2(x) = 1.7 cosh(2x) = 1+ 2 sinh2(x).8 sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x).

3.6.5

Vis atsinh−1(x) = ln

(x +

√x2 + 1

),

og bruk dette til å finne den deriverte av sinh−1.